INTRODUCCIÓN
Cuando un electrón se mueve a través de la red cristalina actúan sobre él fuerzas electrostáticas que hacen variar su cantidad de movimiento, la partícula se acelera al acercarse al núcleo atómico y se desacelera al alejarse de él. ste constante cambio de su ener!ía cinética es compensado con un aumento o disminución de su ener!ía potencial de acuerdo a la distancia de la partícula con respecto al núcleo, núcleo, se establecen por lo tanto niveles de ener!ía ener!ía potencial potencial que delimitaran delimitaran el movimiento de las partículas a través de la red. " medida que el electrón se encuentra en niveles ener!éticos superiores, las bandas permitidas se hacen más amplias y puede moverse con facilidad hasta el punto en las diferentes bandas adyacentes se superponen y el electrón puede desplazarse con libertad de un átomo a otro. #as bandas superpuestas en donde los electrones pueden moverse libremente son llamadas bandas de conducción en la que se encuentra fijos se denominan bandas de valencia$ los electrones de la banda de valencia pueden pasar pasar a la band banda a de condu conducc cció ión n si se le sumi sumini nist stra ra ener! ener!ía ía sufi sufici cient ente. e. #os #os electrones que se encuentran en las capas inferiores a la banda de conducción son llamados electrones de valencia, los que se encuentran en la banda de conducción son considerados electrones libres. l objetivo es entender que e%iste una una rela relaci ción ón entr entre e la estr estruc uctu tura ra de band bandas as de ener! ener!ía ía y el compo comport rtam amie ient nto o atómico local y las propiedades electrónicas.
OBJETIVOS OBEJTIVO GENERAL •
l objetivo !eneral del presente trabajo es estudiar las propiedades electrónicas de sistemas unidimensionales, partiendo de la solución de la ecuación de &chr'din!er para varios potenciales periódicos en los cuales se puede variar la forma, ma!nitud y el periodo.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: •
•
•
•
•
%plicación de la formación de las bandas de ener!ía( mencionamos cómo se forman las bandas de ener!ía considerando un modelo simple asociado a los estados en que se encuentra un átomo de acuerdo a su número cuántico. Cadenas infinitas( se muestra un modelo del ori!en de las bandas de ener!ía considerando una cadena lineal de átomos donde se asocia un átomo a dos estados de ener!ía, así como los principios químicos de las bandas de ener!ía considerando una aleación binaria "). )and !ap en una dimensión( se muestra un análisis de la variación que sufren las bandas de ener!ía en un semiconductor en función de la temperatura y que provocan una e%pansión en la celda cristalina del semiconductor. %plicación del *odelo de electrones casi libres, +unciones de )loch, *odelo de roni!-enne roni!-enney. y. /esarrollo y e%plicación de la cuación de onda de un electrón en un potencial periódico, solución apro%imada cerca de un límite de zona, numero de orbitales en una banda.
ECUACIÓN DE ONDA DE UN ELECTRÓN EN UN POTENCIAL PERIÓDICO #a ecuación de onda de un electrón en el cristal es( H Ψψ = E Ψψ
012 ψ
/ónde( 3 es la hamiltoniana y es el autovalor de la ener!ía y funciones propias en orbitales. #a ecuación de &chr'din!er(
son las
r r − h2 d 2 2m dx 2 + U (x) ψΨ (r ) = E Ψψ (r )
042 #lamemos 50%2 la ener!ía potencial de un electrón en una red lineal con una constante 6a7 donde se cumple( U( χ ) = U( χ + α )
082 #a ener!ía potencial puede desarrollarse en series de +ourier por lo tanto( U ( χ ) =
∑U
G
eiG χ
G
092
U G
#os coeficientes para potenciales en el cristal reales son inversamente proporcionales a :$ esto quiere decir que tiende a decrecer rápidamente, entonces U ( χ )
queremos de la función
sea real entonces se debe cumplir que( ∗
U ( χ ) = U ( χ )
0;2
∑
=∑
G
G
U G eiG χ
∗ − iG χ
UGe
&iendo(
(e
− iG χ ∗
) =e
U −G
− iG χ
= U G∗ 0<2
U ( χ ) = U( − χ )
U ( χ )
&i
es función para entonces(
∑U
G
e
− iG χ
∗
= ∑U G e
G
− iG χ
G
0=2 UG
= U G∗
0>2 ?os quiere decir que los coeficientes son reales si la función 50%2 es par entonces( U ( χ ) =
∑U
G
( eiG χ + e−iGχ )
G>0
U ( χ ) = 2
∑U
G >0
G
cos G χ
0@2
*uchos cristales poseen centros de inversión y si dicho punto es ele!ido como U ( χ ) = U( − χ )
ori!en de coordenadas entonces( , la simetría lleva a una reducción en los cálculos entonces para los potenciales esco!emos el ori!en. − h2 d 2 2m dx 2 + U (x) ψΨ ( χ ) = E Ψψ ( χ ) u r2
P = − h
&abemos que
2
d 2 dx 2
, reemplazando(
01A2
u r
P 2 + U ( χ ) Ψψ ( χ ) = E Ψψ ( χ ) 2m
0112
Beemplazando el potencial( u r
P 2 + ∑U G eiG χ Ψψ ( χ ) = E Ψψ ( χ ) 2m G
0142
%pandiendo la función de onda en series de +ourier de la forma( Ψψ ( χ ) =
∑ C( K )e
iK χ
K
K i =
Con
0182
2π ni L
0condiciones periódicas2
/eterminaremos los coeficientes C 02$ para ello e%presaremos primeramente la ecuación de onda como un conjunto de ecuaciones al!ebraicas lineales en C. u r
P 2 iG χ + ∑U G e Ψψ ( χ ) = E Ψψ (χ ) 2m G 1 P
2
2 m
Ψψ (χ ) =
1 P
1 2m
2
2 m
Ψψ ( χ ) =
(− i h
d dx
− h2 d 2 2m dx
) 2 Ψψ ( χ )
Ψψ ( χ )
2
− h2 d 2 C( K )e iK χ Ψ ψ ( χ ) = ∑ 2 m 2m dx K
1 P
2
1 P
Ψψ ( χ ) =
2 m
2 m
∑ C( K )(iK χ ) e 2m 2
iK χ
K
2
1 P
− h2
Ψψ ( χ ) =
−h2 2m
∑ k
2 C( K )eiK χ (14.α )
K
D la ener!ía potencial( (
∑U
G
e
iG χ
)Ψψ ( χ ) =
G
∑∑U G
iG χ
G
e
ik χ
c( k ) e
k
(∑U G eiG χ )ψΨ ( χ ) = ∑∑U G c (k )ei ( k +G ) χ (14.b) G
G
k
α
&umando 019. 2 y 019.b2 tenemos
−h2
∑ 2m k
2
C( K )e
iK χ
+ ∑∑U Gc(k )e i( k +G ) χ = E ∑ C(K )e iK χ (14.c)
k
G
k
K
or propiedad de orto!onalidad de las componentes de +ourier(
ei ((k −k ) L −1 L = 0; i ( k − k ) χ = e dx L ' ∫ 0 i (k − k ) '
'
si : k
'
≠ k '
; si : k = k
k =
2π n
/onde(
L
n
n
"demás y
k = '
2π n '
L
y '
son números enteros por lo que
L 2π i( n − n' ) = 1 exp i( k − k ' ) L = exp i(2π n − 2π n' ) = exp L
e
ntonces en 019.c2 multiplicamos por − h2
∑ 2m k
2
'
C( K )eiK χ .eiK χ +
k
∑∑U G
2
h
G
−
ik ' x
c( k ) e
'
.eiK χ = E
k
∫
∑ C( K ) e
iK χ
'
.eiK χ (15)
K
k 2 C( K ) ei ( k − k ) χ dx +
2m
i( k + G) χ
'
∑
∫
UG C( K ) e i (k +G −k ) χ dx '
G
= E ∑ C( K )∫ e i ( k − k ) χ dx (16) '
K
Eenemos( 2
h
2m
'2 ' k C( K ) L+
∑U G
G
C( K ' − G) L = EC( K ' ) L
sta es la ecuación más importante de la teoría de bandas de los sólidos.
01=2
NIVELES otencial
ELECTRÓNICOS
UN
EN
POTENCIAL PERIÓDICO
.eriódico
ropiedades :enerales #a distribución re!ular y periódica de los iones de un cristal permite considerar a U ( r )
un electrón sometido a un potencial )ravais asociada(
con la misma periodicidad que la red de
U ( r) = U ( r + R)
012 para todos los vectores de la red de )ravais
R
#as consideraciones de la dinámica de los electrones debe tener en cuenta el efecto de la periodicidad del potencial pues la lon!itud de onda de )ro!lie de un electrón, en el modelo de &ommerfeld de electrón libre, es del mismo orden que el parámetro de la red. *uchas de las propiedades del sólido podrán derivarse a partir del modelo que se desarrollará a partir de la hipótesis de una periodicidad perfecta, que corresponde a una situación idealizada. #os sólidos reales nunca están libres de imperfecciones. stas producidas por átomos de impurezas, vacancias, distintos tipos de dislocaciones, etc. ntre otros defectos y que destruyen la simetría de traslación del cristal. sos defectos son directamente responsables de la resistividad eléctrica de los metales, que no se anula aún a temperaturas crio!énicas. #a idealización de la periodicidad permite contar con un modelo inicial sobre que las perturbaciones introducidas en el potencial permiten modelar situaciones de cristales reales en un amplio ran!o de comportamiento eléctrico( metales, semiconductores y aislantes. Ftra complicación adicional necesaria al modelo es la incorporación de la vibración térmica de los iones, que a su vez interactúan con los electrones como fonones. stos aspectos permiten interpretar en forma ínte!ra las propiedades derivadas del transporte de carga y dependientes con la temperatura( G Conductividad térmica
G Conductividad eléctrica G Capacidad calorífica G fecto termoeléctricos G fecto fotovoltaicos G fecto fotoeléctricos G fecto piezoeléctricos l problema de los electrones en un sólido puede ser descrito a partir del 3amiltoniano, que con temple la interacción de cada electrón con todos los iones de la red y con los demás electrones 0función de las coordenadas de pares de electrones2. La primera aproximación considera al electrón independiente y inmerso en un potencial efectivo de un electrón U(r). ste potencial puede tener una diversidad
de formas, pero todas ellas satisfaciendo la condición de periodicidad 012. l aspecto del potencial puede tener cualitativamente la forma representada en la figura1.
Figura 1: Esuema ue muestra el potencial periódico visto por un electrón no ligado en un sólido cristalino como función de su posición en la red. !otencial periódico ideal en la dirección del ordenamiento de los iones. Las esferas representan las posiciones de euili"rio de los iones. Las l#neas sólidas son el potencial a lo largo de la l#nea de iones. Las l#neas punteadas el potencial entre planos de iones. La l#nea de tra$o cortado corresponde al potencial de un ión aislado.
#a ecuación de &chr'din!er para un solo electrón toma la forma(
2
Hψ = (−
h
2m
r
∇2 + U ( r))ψ = E ψ
042
Con 5 potencial con la periodicidad 012. Cada electrón independiente que obedece a la ecuación de &chr'din!er 042 con un potencial periódico es denominado electrón de %loc&. sta desi!nación se hace para diferenciar este electrón de los electrones libres en un potencial periódico donde el potencial es constante sobre cada ión. #os electrones de )loch satisfacen el teorema si!uiente(
EL TEOREMA DE BLOCH &i!nificado físico( ara entender el si!nificado físico del teorema de )loch es necesario comprender primero el del cuasimomento. Da se ha introducido antes que la letra representa el vector de ondas del electrón, también llamado cuasimomento. ara entender qué simboliza, es necesario recordar que un electrón libre viene representado por el si!uiente autoestado , que representa una onda plana que transporta una cantidad de movimiento i!ual a . /e este modo, se puede apreciar que la función de onda de un electrón contenido en un sólido es la de un electrón libre, pero en este caso modulada por una función periódica que está relacionada con la estructura del sólido 0y es la llamada función de )loch2. n el caso de un electrón contenido en el sólido, no necesariamente se cumple la relación , y aunque el cuasimomento es siempre constante, la cantidad de movimiento no siempre lo es. or esto, no debe confundirse el cuasimomento con la cantidad de movimiento. &in embar!o, en las e%presiones del teorema de )loch, el cuasimomento no solo aparece en la e%ponencial, si no también como subíndice de las funciones. sto se debe a que es también un número cuántico que proviene de considerar que el sólido es finito, y de imponerle las condiciones de contorno de )orn-von
arman. stas condiciones de contorno establecen que si el sólido tiene ' átomos, el átomo ' H 1 será equivalente al átomo número 1, de modo que se pasa de tratar un sólido finito, a tratar un sólido periódico e infinito. "l resolver las ecuaciones de contorno se tiene que este número cuántico 6etiqueta7 al electrón, y por este motivo se usa como subíndice en los autoestados del electrón . l teorema de )loch es de !ran utilidad porque permite simplificar enormemente el tratamiento de un sólido, ya que la tercera hipótesis implica que todos los electrones se comportan i!ual. /e manera que, para tratar el movimiento de todos los electrones del sólido, basta con resolver la ecuación de &ch'din!er para un único electrón que ten!a una función de ondas de la forma indicada por )loch. ψ
l
teorema(
Hψ = −
#os
autoestados
del
amiltoniano
de
un
electron
r
2
h
2m
∇ 2 + U (r )
U ( r + R) = U ( r)
, dónde esco!erse de modo de tener la forma de una onda plana multiplicada por una función con la periodicidad de la red de )ravais( r r
ψ nkr (r) = eik .r unkr ( r )
082 donde unkr ( r) = unkr ( r + R)
092 para todo
R
de la red de )ravais.
l n es el #ndice de la "anda de energ#a , pues para cada ener!ía #a ecuación 092 conduce a(
k
habrá varios niveles de
r u r
ψ nkr (r + R) = eik . Rψ nkr (r)
0;2
#a forma alternativa del teorema e%presa que los autoestados de 3 satisfacen la relación( r r
ψ nkr (r ) = eik .r unkr ( r )
0<2 l teorema de )loch también es conocido como teorema de +loquet, que el primero que lo demostró en su forma uni dimensional.
rimera demostración del teorema de bloch Cada vector de la
R
de la Bed de )ravais vector permite definir el operador
T R
traslación
de modo al aplicarse a una función f0r2 satisfa!a( T Rur f (r ) = f (r + R )
0=2 n particular, si aplicamos este operador al 3amiltoniano periódico( T Rur Hψ = H (r + R )ψ = H (r )ψ (r + R ) = HTuRrψ
0>2
ψ
#a relación 0>2 se cumple para cualquiera
de modo que(
T Rur Hψ = HTuRrψ
0@2 #a aplicación de dos traslaciones sucesivas *+ y *+ por la propiedad 0>2 deben ψ
ser permutables entre sí, para cualquier
(
T RurTuRr´ψ (r ) = TRur´TuRrψ (r ) = ψ (r + R + R ´)
or consi!uiente(
01A2
T RurTRur´ = TuRr´TuRr = TRur + Rur´
0112
#as ecuaciones 0@2 y 0112 afirman que el operador *+ es conmuta"le con el amiltoniano para todos vectores de la Bed de )ravais B. ntonces, los autoestados de lo son tam"i,n de *+ de acuerdo a un teorema fundamental de mecánica cuántica, y se puede ele!ir una base común(
H ψ = εψ
u r
T Rψ = c( R)ψ u r
0142
l c0B2 es un autovalor del operador de traslación que debido a la condición 0112 resulta( T Rur´TRurψ (r ) = TuRr´+ uRrc (R )ψ = c (R´)c (R )ψ
0182
D de acuerdo a 0112( T Rur´TRurψ = TuRr´+ uRr c( R )ψ = c (R´+ R )ψ
0192
Besulta que los autovalores tienen la propiedad( c( R´)c( R) = c( R´+ R)
01;2
ai
&i ahora, es uno de los tres vectores primitivos para la red de )ravais, siempre puede escribirse( c (ai ) = e i
2π xi
xi
por una opción conveniente del &i
R
.
es un vector !eneral de la Bed de )ravais dado por(
01<2
R = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
01=2
ntonces, las aplicaciones sucesivas de 01;2 sobre B( c ( R ) = c (a1 )n1 c (a 2 )n2 c (a3 )n3
01>2
sto es precisamente equivalente a( r u r
c ( R ) = e ik . R
01@2
k
/onde ( k = x1b1 + x2 b2 + x3b3
04A2 ai b j = 2πδ ij
bi
n donde los
son los vectores de la red reciproca que satisfacen(
Besumiendo, se ha demostrado que( T Rψ ( r ) = ψ ( r + R) = c( R)ψ ( r) = e u r
r u r
ik . R
ψ ( r)
0412
que es el teorema de )loch, en la formulación 0<2.
MODELO DE KRONING- PENNEY
roni! y enney plantearon un modelo matemático de potencia iónico periódico, que permite describir el comportamiento de los electrones dentro de un cristal
+i!ura 4( -odelo de potencial periódico de ronig y !enney. Las regiones / corresponden a las de las posiciones iónicas mientras ue L representa el par0metro de real.
l modelo considera a un único electrón desplazándose a través de la red, de tal manera que la ener!ía potencial E p es nulo en las re!iones del tipo I y E en 0
las de tipo II. #os iones se ubican en las re!iones del tipo I y la separación entre los mismos !enera una barrera de potencial para los electrones. l movimiento de la partícula está determinado por la ecuación de &chr'din!er independiente del tiempo. ∂ ψ ( x ) ħ E p− E c = 2 2 2 mψ ( x ) ∂ x 2
012
2
∂ ψ ( x ) ħ + ( E p− E c ) ψ ( x )=0 2 2 mψ ( x ) ∂x
042
#a solución de la ecuación es una función de onda de )loch( ψ ( x )= u ( x ) e
iKx
082
/onde u ( x ) es la amplitud con el periodo de la red #. la forma de amplitud y los valores permitidos de son los que deberán determinarse.
u
E (¿¿ p ( x ) =0 ):
#a ec. 0A42 en la re!ión I ∂ ψ ( x ) 2
∂x
2
=
2
α =
&i
¿
−2 m ( ) ψ x
092
ħ
2m
ψ I ( x )=u I ( x ) e
jKx
y
ħ
0;2
Bemplazando 0A;2 en 0A92( ∂ψ I ( x ) ∂x
=−α u I ( x ) e jKx 2
0<2
Bealizando la derivadas de las funciones de onda ( ∂ψ I ( x ) ∂ [ u1 ( x ) e = ∂x ∂x ∂ ψ I ( x ) 2
∂x
2
jKx
]
0=2
( ) ∂ [ u I ( x ) ] jKx ∂ [ u ( x )] iKx jKx ∂ [ u I x ] jKx e − jK u I ( x ) e + e jK e = jK I + 2 ∂x ∂x ∂x 2
0>2
Bemplazando 0A>2 en 0A<2 y rea!rupando términos resulta( ∂ [ u I ( x ) ] 2
∂x
2
e
jKx
+ 2 jK
∂ [ u I ( x ) ]
∂ [ u I ( x ) ] ∂x
2
∂x
2
jKx
e
+ 2 jK
or otra parte, en la Be!ión II
e
jKx
− K u I ( x ) e jKx =−α u I ( x ) e jKx 2
∂ [ u I ( x ) ] ∂x
jKx
e
2
−( K −α ) u I ( x ) e jKx =0 ( 10)
E (¿¿ p ( x ) = E0 ) (
¿
2
2
0@2
∂ II ψ ( x ) 2
∂x
2
&i β =
2
=
−2 m [ E − E ]
[ − E ]
2 m E 0
ħ
0
ħ
ψ II ( x )
ψ II ( x )=u II ( x ) e
y
0112
jKx
0142
Bemplazando 0142 en 0112( ∂ ψ II ( x ) 2
∂x
2
2
=
∂ ( u II ( x ) e jKx ) 2 ∂x
0182
"sí se obtiene la ecuación diferencial( ∂ ψ II ( x ) 2
∂x
2
+ 2 jK
∂ [ u II ( x ) ]
∂ jKx 2 2 u II ( x )−( K + β ) e u II ( x )=0 ∂x
2
∂x
2
e
jKx
+ 2 jK
∂ [ u II ( x ) ] ∂x
e
jKx
−( K − β ) u II ( x ) e jKx=0 2
2
0192
01;2
#as soluciones de las ecuaciones 01A2 y 01;2 tendrá las forma
u I ( x )= A e
j ( α − K ) x
u II ( x )=C e
− B e− j( α + K ) x
j ( α − K ) x
− D e− j( α + K ) x
01<2 01=2
stas soluciones u ( x ) y su derivada deberán satisfacer las condiciones de continuidad en los límites de las re!iones(
n x =0 u I ( 0 )=u II ( 0 )
∂ ψ I ( x ) ∂x
|
=
∂ ψ II ( x ) ∂x
x = 0
|
x =0
01>2
#a condición en x =−b , x =a
permitirá introducir la periodicidad en a red fi!ura
4.c u I ( a )=u II (−b ) ∂ ψ I ( x ) ∂x
|
=
x =a
∂ ψ II ( x ) ∂x
|
x =−b
01@2
#a aplicación de 01>2 y 01@2 a las ecuaciones de 01<2 y 01=2 conducen a un sistema de inco!nitas que al combinarse permite obtener una sola condición de vinculo E− E : 0
2
2
β − α s h ( βb ) sen ( αa ) + c h ( βb ) cos ( αa )=cos [ K ( a + b ) ] 2 αβ
Con
K =
2 nπ
N ( a + b )
y N I ?umero de Jtomos
0412 1.- l primer miembro de 01@2 es una relación tri!onométrica. 4.- l se!undo miembro es una función armonice valida entre H1 y -1.
04A2
8.- l tercer miembro puede dar valores mayores que 1. 0fi!ura 4c2
+esolución grafica de la ecuación de ronig!enney ue demuestra la aparición de $onas de energ#a permitida
Banda d! !n!"#$a %!"&'('da) donde los valores ener!éticos son permitidas. Banda d! !n!"#$a %"*+','da) donde no son permitidos los valores ener!éticos. or otro lado, la situación para E > E 2
β =
2m
[ E − E ] 0
ħ
0
tiene en parámetro β de la forma(
0442
ntonces β = jγ , es ima!inario y la ecuación tendrá las si!uientes situaciones( sen h ( jγβ ) = jsen ( jγ ) cos h
( jγβ )= cos ( jγ )
Beemplazando las transformaciones 0482 en 01@2(
0482
2
2
− γ − α 2 αγ
.senαa.senγb + csγb . csαa=csK!
K =
Con
2 nπ
N!
ara E > E
0492
y !=a + b
04;2
0
l modelo de roni!-enney puede simplificarse de la manera si!uiente( E0 " # a ≅ !
β
2
≅
*n
ħ
E0
⇒
es constante.
βb= 0
y
2 m E0
β " 0
04<2
Eeniendo en cuenta( senh ( βb ) ≅ βb 2
cos h
( βb )≅ 1
2
β ≫ α
04=2
ntonces ( 2
β βbsenaα + csaα =cos K! 2 αβ
Con las simplificaciones 04>2 E 0 b senaα + csaα =cos K! 2 α
s decir la ecuación tiene la forma(
04>2
structura de bandas de ener!ía phobividas y permitidas 0marcadas en celeste 2 obtenidas por un modelo de roni! enney. #os trazos sinusoidales representan la onda en una banda permitida.
/esarrollo de problemas(
1.Consideremos una red bidimensional en la que los iones ejercen un potencial U ( x, y) = −4U cos(
periódico débil sobre los electrones de la forma
2π x a
) cos(
2π y a
)
.
π π
3allar la anchura del interval prohibido de ener!ia en el vertice 0esquema en zona reducida2
( , ) a a
de la K)
&olución l potencial indicado es periodic en las direcciones % e y, siendo 6a7 el periodo. orlo tanto, puede interpretarse como una red cuadrada con vectores base a1 = (a ,0)
a2 = (0, a)
. #os vectores base de la red recíproca pueden obtenerse a partir de la relación ai b j = 2πδ ij
, resultando( ur
b1 = (
2π a
uu r
b2 = (0,
, 0)
2π a
)
#os vectores de la red recíproca son, por tanto, de la forma ur
G=
2π a
( m1 , m2 ) = Gm1 ,m2
Con lo que la red recíproca resulta ser tambien una red cuadrada, siendo el estado k PZB ≡ (π / a, π / a )
, en efecto, una esquina de K) 0ver la fi!ura 2. k PZB
/ado que esta cuadrupemente de!enerado, sistema de ecuaciones
ε (k PZB )
se calcula a partir del
U ε
"qui
Gi
son los coeficientes de fourier del potencial, y k f
red reciproca tales que
=
son los 9 vectores de la
k PZB − Gi
k PZB
sean equivalents a
. Con ayuda de la
Go,o , G1,o , Go,1
fi!ura puede comprobarse que estos vectores son notación
G1,1
y
. 5tilizando la
l sistema de ecuaciones anterior puede e%presarse como(
/ado que el ori!en de ener!ies del potencial puede esco!erse de modo que U 0,0
IA, el anterior sistema de ecuaciones puede e%presarse en forma matricial se!ún(
ste sistema de ecuaciones tiene solución si el determinante de los coeficientes es nulo(
U i , j
&olo falta por determinar los coeficientes de +ourier del potencial . ara ello comparemos el potencial del enunciado con la e%pression !eneral para la e%pansión en serie de +ourier
5tilizando la relación , se obtiene para el potencial del enunciado
U1,1 , U1, −1 , U −1,1
con lo que los únicos coeficientes no nulos son i!uale a L5. Con esto, el anterior determinante resulta
U −1,−1
y
, todos ellos
(π / a, π / a)
con lo que el interval prohibido de ener!ía en ∆ε = 2U .
presenta una amplitu de
