FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS FISICAS Y FORMALES
PENDULO INVERTIDO
TRABAJO PRESENTADO POR: MARTIN VALENCIA ALEJO EDUARDO ROQUE ORTEGA
Arequipa – Perú Perú 2014
RESUMEN
Presentamos el diseño e implementación del péndulo invertido basado controlador PID. El sistema es capaz de mantener el equilibrio. se realizará el diseño de una estrategia de control usando la herramienta de Matlab de tal forma que actuando sobre el carrete de impresora consigamos en un primer momento la estabilidad del péndulo partiendo de un estado de reposo y posteriormente mantener la verticalidad del mismo. ABSTRACT ABSTRA CT
We present the design and implementation of the inverted invert ed pendulum based PID controller. The system is able to maintain balance. The design of a control strategy will be performed using the Matlab tool so that acting on the spool printer get at first the stability of the pendulum starting from a state of rest and then maintain the same verticality. PALABRAS CLAVE Control péndulo invertido, Modelado, Sintonizacion, simulación, controlador PID. Matlab KEYWORDS
Controlling inverted pendulum, modeling, tuning, PID controller, simulation y Matlab
1 Introducción
realizar tanto prácticas como proyectos de investigación es el péndulo invertido. El sistema más común es el que está compuesto por un carro que se mueve libremente a lo largo de un eje y una barra que pende de él. El proyecto propone el uso no sólo de un control clásico sobre el sistema, sino una combinación de diferentes estrategias como el control PID de ganancia programada lazo cerrado. Si se considerase un sistema real, para poder mover el carro, este se conecta mediante una cinta de transmisión que está conectada al motor, este motor va a proporcionar un par proporcional a la tensión de control aplicada, dependiendo de la polaridad de esta tensión se consigue que le motor gire en uno u otro sentido, haciendo que la cinta se mueva en ambas direcciones que es lo que se pretende controlar con este sistema. Un
mecanismo
muy
utilizado
hoy
en
dıa
para
1.1. Marco Teorico
El sistema de péndulo invertido, es un problema clásico en la ingeniería de control, el cual consiste en una varilla con una masa en un extremo y en el otro un eje que puede pivotar bidimensionalmente, todo esto va montado sobre un carro que puede moverse longitudinalmente. El primer péndulo invertido fue diseñado en los años setenta y casi cuarenta años después permanece en los laboratorios como objeto de estudio. El interés es porque el modelo matemático para el péndulo invertido presenta ciertas analogías con modelos de procesos más complejos, tales como los generadores. Inicialmente, la demostración consistía en situar de forma manual el péndulo en la posición vertical invertida, soltarlo luego y que de forma autónoma, realimentando su posición, el péndulo continuase en la posición invertida mediante la adecuada actuación sobre el carro. APLICACIONES DEL PÉNDULO INVERTIDO
A pesar de que el péndulo es utilizado principalmente, para demostrar conceptos sobre control, además de probar nuevos controladores, tiene diferentes aplicaciones tales como: 1. Las perturbaciones que existen en el vuelo de una aeronave, pueden desestabilizar su vuelo, esto se puede corregir con el péndulo invertido. 2. Los sistemas robóticos pueden comportarse como un péndulo invertido, por ejemplo, el péndulo invertido simula la dinámica de un brazo robótico cuando el centro de presión cae sobre el centro de gravedad, en ese momento el sistema se vuelve inestable. Este tipo de problemas pueden ser modelados con el péndulo, y de esta forma aumentar la probabilidad de un buen funcionamiento 3. El control de la postura y la caminata de los robots bípedos, puede ser modelado y controlado por el péndulo invertido, la estructura de un robot humanoide puede asemejarse a la de un péndulo invertido como el de la figura 1.1. La semejanza se establece en que la masa del humanoide (m) se concentra en el punto extremo del péndulo y que la masa de la barra rígida de longitud l es despreciable respecto de la masa, siendo l la distancia desde el suelo al centro de masas del humanoide, el movimiento en la base del péndulo simula la caminata en el bípedo.
1.2.
Descripción del problema
Consiste en ajustar los parámetros del sistema combinado (péndulo invertido - servomotor), por medio de datos en lugar de ecuaciones matemáticas. Por consiguiente, muestran el desarrollo del modelo matemático del sistema péndulo invertido, servomotor y combinado. Para identificar las ecuaciones y parámetros que describen la relación del sistema no lineal.
1.3. Description del Sistema Esquema Basico de Control
Controlador: Tiva C 80MHz, 32bits Actuador: Sistema de movimiento de brazo Sensores: Posición del péndulo Controlador
Placa adquisidora de datos Tiva C123G de Texas Instruments 10 entradas analógicas de 0-3V, conversor A/D de 12 bits 10 salidas analógicas de 0-3V, conversor D/A de 8 bits 40 entradas y salidas multiplexadas
Actuador
Motor o Características Eléctricas: sin escobillas tensión nominal 24 VCC corriente nominal 2ª
o Características Mecánicas: El motor cuenta con caja de reducción
Puente H o Amplificador de Potencia o Inversor de Marcha Señal PWM o Por medio de un canal del microcontrolador se enviara una señal modulada en ancho de pulso que controlara la velocidad del motor
Sensores
La posición del péndulo es medida por un potenciómetro lineal.
1.4 Modelamiento Matemático
Variables del Sistema
m: masa del péndulo g: gravedad l: longitud del péndulo r: radio de giro del brazo
x
I: inercia del brazo
Ecuación de Estado:
ml 2 mrl cos
mrl cos
0 mrl sin 2 2 mrl sin I mr 0 mgl sin b s K K 0 R v R 1
2
Se establece como: x
1
, x2
,
x
3
,
x
4
y
u
v
Para definir la matriz de variables de estado:
x3 x4 x1 x ( I mr 2 )( 1 mrlx x sin x b x ) r cos x ( 1 mrlx 2 sin x K u K x ) 3 4 1 s 3 1 2 3 1 4 2 R R 2 2 2 2 x3 ml 2 ( I mr 2 mr 2 cos2 x1 ) l (I mr mr cos x1 ) x 4 1 mrlx 2 sin x K u K x r cos x ( 1 x x sin x mgl sin x b x ) 3 1 4 1 2 3 4 1 1 s 3 R R 2 2 2 2 2 2 2 l ( I mr mr cos x1 ) ( I mr mr cos x1 ) 2
2
Definición de la función de transferencia, de la entrada respecto a la salida.
s r l (s )(s 2 g ) ( s) 1 l U (s) Y (s) C sI A B U (s ) ( s) s ( s ) Para la aplicación Real solo se deben contar con los siguientes parámetros:
l =0.41 [m]
r =0.13 [m]
M = 0.5 [kg]
m = 0.05 [kg]
g =
9.8 [m/seg 2]
Parámetros desconocidos
K: constante de fuerza electromotriz
R: resistencia eléctrica
2.
Diseño del PID
Resultados con los valores cálculos del modelamiento matemático: Cada uno de estos valores se encuentra escalado y las constantes de tiempo son en (ms). kp=8.86; ki=1/1000; kd=250; Tc=250;
% casi es cero % Tiempo de Muestra para los valores
Limite superior de
pwm = 50ms Proporcional E(k)
100
0 ] )t k( e
-100 [ or P
-200
-300
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
Integral E(k)
35
40
Derivativo Y(k)
20
300 200
0 100 ] ] t) (k
)t k(
-20 e t[
0 y [
In D
-100 -40 -200 -60
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
-300
40
0
5
10
Muestras Tomadas Y(kt)
15
20 n(kt)
25
30
35
40
30
35
40
Señal - Error [ e(kt)=rkt-ykt ]
120
0.3 0.2
110 0.1 100 )t k( y
0 )t k( e
90
-0.1 -0.2
80 -0.3 70
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
-0.4
40
0
5
10
15
20 n(kt)
25
Señal - Control u(kt) 400 200 0 )t u
k(
-200 -400
-600 0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
40
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
En busca de una buena sintonización se realizo un cambio de pwm = 80ms
Resultados obtenidos:
Proporcional E(k) 400 300 200 ] t)
100 (k e [
0 ro P
-100 -200 -300
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
Integral E(k)
35
40
Derivativo Y(k)
100
400 200
50 ] )t
] e y
0 t)
k( (k nI
[t [ D
-200
0 -400
-50
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
40
-600
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
40
Muestras Tomadas Y(kt)
Señal - Error [ e(kt)=rkt-ykt ]
120
0.6
110 0.4 100 0.2
90 t) (k y
t) (k e
80
0
70 -0.2 60 50
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
-0.4
40
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
40
Señal - Control u(kt) 800 600 400 200 t) (k u
0 -200 -400 -600 0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
40
25
30
35
40
Yk 120
100
80
ol u
60 g n A
40
20
0
0
5
10
15
20 n(kt)
NUEVO VALOR PARA KP
Reduje el valor de kp a la mitad Kp=4.43 Obtuve buenos resultados en la parte de fuerza pero aun sigue siendo brusca por la parte derivativa. Analisis de graficas para detección de error
Proporcional E(k) 150 100 50 ] t) (k e
0 [ ro P
-50 -100 -150 0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
Integral E(k) 200
20
100 ]
10 )t
t)
k( (k
0
e y t[ nI
[
0 D
-100
-10
-20
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
-200 0
40
5
10
Muestras Tomadas Y(kt)
(k y
0.4
110
0.3
100
0.2
(k e
-0.1
60
-0.2 5
10
15
20 n(kt)
25
25
30
35
40
30
35
40
0
70
0
20 n(kt)
0.1 t)
80
50
15
Señal - Error [ e(kt)=rkt-ykt ]
120
90 t)
40
Derivativo Y(k)
30
]
35
30
35
-0.3
40
0
5
10
15
20 n(kt)
25
Señal - Control u(kt) 400 300 200 100 t) (k u
0 -100 -200 -300
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
40
25
30
35
40
Yk 120
100
80
lo u
60 g n A
40
20
0
0
5
10
15
20 n(kt)
La parte proporcional opero muy bien hasta el punto en que se presentó una caída ligera del péndulo que lo saco hasta 71° en la muestra 29, por lo que la parte derivadita quiso dar velocidad a la corrección del error generando que el sistema oscilara. Nota: de seguir así tendré que escoger otro tipo de control, aparte del PID, la mejor opción es el PI+D, puesto que este deriva
la señal de salida y entrega mejor estabilidad al sistema, cuando el tiempo de los controladores es lento. NUEVO VALOR PARA Kd
Reducire el valor de kd en ¼; manteiendo el valor de kp en 4.43.
Proporcional E(k) 150 100 50 ] )t k( e
0 [ or P
-50 -100 -150
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
Integral E(k)
35
40
Derivativo Y(k)
30
40
20
20
10 ]
]
0
t) (k
)t k(
0 e t[ In
y [ D
-20
-10 -40
-20 -30 0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
-60 0
40
5
10
Muestras Tomadas Y(kt) 0.3
110
0.2
25
30
35
40
0.1 ) t k ( e
90 80
0 -0.1 -0.2
70 60
20 n(kt)
Señal - Error [ e(kt)=rkt-ykt ]
120
100 ) t k ( y
15
-0.3 0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
-0.4
40
0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
40
Señal - Control u(kt) 200
100
) t k ( u
0
-100
-200 0
5
10
15
20 n(kt)
25
30
35
40
3. Construcción del péndulo invertido
Microcontrolador Texas Instruments, Placa de adquisidor de datos
Potenciómetro Lineal Industrial
Puente Inversor H, 100V, a 23 Amp
Motor DC con caja Reductora, 24Vdc - 2 A
Vista Superior del Péndulo Invertido
Vista Lateral del Péndulo Invertido
Vista Completa del Péndulo Invertido
ANEXO Programación del Microcontrolador: #include "Energia.h" #include void void void void void
setup(); loop(); Motor_Parada(); Motor_Izquierda(int dutty); Motor_Derecha(int dutty);
#define PIN1 PB_5 #define PIN2 PB_0 /*Constantes Calculadas float kp = 4.42; float ki = 1/100; float kd = 62.5; float Tc = 250;*/ float float float float
kp ki kd Tc
= = = =
4.42; 1/200; 0; 250;
int ek = 0, ek1 = 0, fXg = 0; int rkt = 90; int ucontrol; void setup() { LCD.init(PA_7, PA_6, PA_5, PA_4, PA_3, PA_2); pinMode(PIN1, OUTPUT); // sets the pin as output pinMode(PIN2, OUTPUT); // sets the pin as output } void loop() { float alpha = 0.15; int fxg = 0; int teta = 0; char Mensaje1[20];*/ int rti0 = 0; int limitband=30; while (1) { int Xg = analogRead(A7);
fxg = (int) (Xg * alpha + fxg * (1 - alpha)); teta = (int) (0.625 * (fxg - 760) + 90);
if(90-limitband<= teta && teta <=90+limitband) { ek = rkt - teta; if (-3<= ek && ek <=1) ek = 0; float float float float
uik = kp * ki * (ek + ek1) * Tc / 2; pk = kp * ek; dky = kp * kd * (ek - ek1) / Tc; var_ukt = pk + uik + dky;
ucontrol = (int) var_ukt; if (0<= ucontrol && ucontrol <=5) Motor_Parada(); else if (5 50) ucontrol = 50; Motor_Derecha(ucontrol); } else if (-50<= ucontrol && ucontrol <0) { ucontrol = -ucontrol; if (ucontrol > 50) ucontrol = 50; Motor_Izquierda(ucontrol+40); } ek1 = ek; } else { Motor_Parada(); } rti0++; delay(2); } }
void Motor_Parada() { analogWrite(PIN1, 0); analogWrite(PIN2, 0); }
void Motor_Izquierda(int dutty) { dutty = (int) dutty * 255 / 100; analogWrite(PIN2, 0); analogWrite(PIN1, dutty); } void Motor_Derecha(int dutty) { dutty = (int) dutty * 255 / 100; analogWrite(PIN2, dutty); analogWrite(PIN1, 0); } 6. Conclusión:
El sistema de control sigue siendo inestable, por lo que es necesario cambiar los parámetros kp, ki y kd, a partir del ya calculado.
Usando el cálculo teórico de PID, se entiende que la velocidad y la fuerza de kp y kd son, por lo tanto, debemos centrarnos en estos dos valores, ya ki es casi cero.
Si Kd se reduce, sumado a la velocidad de la señal de control se reducirá y hasta ahora lo que tengo se quebró en marcha para corregir el ángulo del péndulo.
Kp debe reducirse primero, entonces voy a variar la kd constante si no obtengo buenos resultados pwm, deben estar dentro de los límites de 10 ms y 80 ms, pero por ahora, calcular los valores de rendimientos más altos que los de 80 ms.
BIBLIOGRAFÍA
Aplicación Informe SPRA083: "Aplicación de los controladores PID y Deadbeat con la familia TMS320" Katsuhiko Ogata, "Sistemas de Control de Tiempo Discreto". Enrique Palacios Mauricio Otros Y, Microcontrolador PIC16F84A "Desarrollo de proyectos". Eduardo Esquivel Zenteno, "Introducci ó n una los Microcontroladores PIC ". Ogata, Katsuhiko. Ingenier í a de control Moderna. Controles PID e introducci ó n robusto de control al. Tercera edici ó n. P á gina 669. Editorial Prentice Hall. 1998.
