UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA CIVIL MECÁNICA DE FLUIDOS Ecuación de Cantidad de Movimiento. ALUMNOS: ALFARO PAISIG, ROCIO DEL PILAR. CHICCHON DIAZ, JOÁO MINCHAN HUACCHA, KATHERINE JULIANA TERRONES RUIZ, NELZON
DOCENTE: ING. VAQUEZ RAMIREZ, LUIS.
Cajamarca, 3 de diciembre del 2013
MECÁNICA DE FLUIDOS - ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
I.
INTRODUCCION.
La carrera de ingeniería civil es una rama muy amplia; en la actualidad realiza todo tipo de proyectos los cuales incluyen toda clase de conocimientos, que se adquieren a lo largo de la carrera; uno de los conocimientos más grandes que debemos adquirir son la mecánica de fluidos, esta rama es necesaria para todo tipo de proyectos: una vivienda (instalaciones sanitarias), carreteras (canales), abastecimientos (diques, tanques, compuertas), muros de contención, represas, pilares de puentes, etc. La rama de mecánica de fluidos, es compleja y conlleva varios temas y subtemas que se deben estudiar de forma clara y comprensible; uno de los temas más importantes es la ecuación de cantidad de movimiento, la cual nos sirve para poder diseñar la estructura y calcular las fuerzas de movimiento de un fluido que actúan en una estructura como un puente, muro de contención, etc. La ecuación de cantidad de movimiento es la magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En mecánica de fluidos se define como la rapidez de variación de la cantidad de movimiento en el volumen de control más el flujo neto de cantidad de movimiento que sale del volumen de control. El presente informe tiene como objetivo principal, aprender y analizar de forma clara la ecuación de cantidad de movimiento, con el fin de poder aplicar dichos conocimientos en la carrera de ingeniería civil.
MECÁNICA DE FLUIDOS - ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
II.
OBEJTIVOS:
2.1. OBJETIVO GENERAL. Aprender y analizar de forma clara la ecuación de cantidad de movimiento, con el fin de poder aplicarla en un interés práctico.
2.2. OBJETIVO ESPECIFICO
Desarrollar la ecuación de cantidad de movimiento, mediante la aplicación de la ley de la conservación de cantidad de movimiento de la materia situado en el seno del fluido en movimiento.
Proporcionar información sobre la ecuación de cantidad de movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más sencillo su manejo.
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III.
MARCO TEORICO.
1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO. La segunda ley de Newton, a menudo llamada ecuación de cantidad de movimiento, plantea que la fuerza resultante que actúa en un sistema es igual a la velocidad de cambio de la cantidad de movimiento del sistema cuando se mide en un marco de referencia inercial; es decir, ∑
∫
∑
∑
∫
(̅)
∫
∫
̅
(̅
)
La ecuación de cantidad de movimiento se utiliza principalmente para determinar las fuerzas inducidas por el flujo.
Dónde: -
̅ escalar para cada área diferencial (dA)
La integral de la superficie de control del lado derecho representa el flujo de cantidad de movimiento neto a través de la superficie de control del fluido que entra y/o sale del volumen de control. Cuando se aplica la segunda ley de Newton la cantidad ∑
representa todas las fuerzas que
actun en el volumen de control. Las fuerzas incluyen las fuerzas superficiales generadas por el ambiente al actuar en la superficie de control y las fuerzas de cuerpo originadas por campos magnéticos y gravitacionales. A menudo se utiliza la ecuación de cantidad de movimiento para determinar las fuerzas inducidas por el flujo. Ejemplo: La ecuación permite calcular la fuerza en el soporte de un codo en una tubería o la fuerza en un cuerpo sumergido en un flujo superficial libre.
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Cuando se aplica la ecuación de cantidad de cantidad de movimiento el fluido circundante y en ocasiones todo el conducto o recipiente se separa del volumen de control. Ejemplo: En la boquilla horizontal de la fig. a la boquilla y el fluido en esta están aislados. Por lo tanto se debe tener cuidado de incluir las fuerzas de presión mostradas y la fuerza
. Es
conveniente utilizar presiones manométricas de modo que la presión que actúa en el exterior del tubo sea cero. Por otra parte, se podría hacer seleccionando un volumen de control que incluya solo el fluido que hay en la boquilla. En ese caso se tiene que considerar las fuerzas de presión a la entrada y salida y la fuerza de presión resultante la boquilla en el fluido. Naturalmente, la fuerza
y
de la pared interior de son iguales en cuanto a
magnitud, como es obvio en un diagrama de cuerpo libre de la boquilla que excluye el fluido. Si el problema es determinar la fuerza ejercida por el flujo en la boquilla, se tiene que invertir la dirección de la fuerza calculada
. Esto se ilustra con ejemplos al final de esta
sección.
Fuerzas que actúan en el volumen de control de una boquilla horizontal. a). el volumen de control incluye la boquilla y el fluido en ella. b). el volumen de control incluye solo en la boquilla. Se omitieron las fuerzas de cuerpo.
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2. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
1.1. Formulación General. Podemos deducir la ecuación de cantidad de movimiento a partir de la segunda ley de Newton para un sistema, mediante procedimientos análogos a los utilizados para deducir las ecuaciones de continuidad y de la energía.
Fig. 1 volumen de control y sistema para la deducción de la Ecuación de la cantidad de movimiento
La ecuación de la cantidad de movimiento se deduce para una dirección arbitraria x, después se puede considerar para tres ejes mutuamente perpendiculares, y se obtiene la ecuación vectorial de la cantidad de movimientos por suma vectorial. En el instante
la cantidad de movimiento en la dirección
dentro del sistema y del
volumen de control coincidente (Fig. 1) es: ( )
En el instante
el sistema se ha desplazado un pequeño espacio a partir del
volumen de control. La cantidad de movimiento del sistema en la dirección expresar entonces como: (
)
(
)
( )
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se puede
Dónde: : Flujo de cantidad de movimiento en la dirección x que sale del volumen de control en el intervalo
.
: Flujo de cantidad de movimiento en la dirección x que entra en el volumen de control en el intervalo
.
Restando la Ec.(2) y dividiendo entre
(
)
(
:
)
( )
Es decir, “para una dirección X, la rapidez de variación de la cantidad de movimiento en el sistema, es igual a la rapidez de variación de la cantidad de movimiento en el volumen de control más el flujo neto de cantidad de movimiento que sale del volumen de control”
-
El primer término se puede expresar: (
)
∑
Aumento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la dirección x dentro del sistema
-
El segundo término se puede escribir:
Aumento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la dirección x dentro del volumen de control
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-
El tercer término se puede expresar: ̅
∫ (
)̅
̅ (̅
∫
)
Salida neta por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la dirección x.
Donde
̅ y la normal hacia afuera en
es el ángulo que forma el vector velocidad
un punto cualquiera de la superficie de control.
Reemplazando en las expresiones en (3):
∑
̅
∫
(̅
)
( )
Es decir, la ecuación de la cantidad de movimiento para un volumen de control, considerando la dirección , establece que la fuerza resultante que actúa sobre el fluido en el interior del volumen de control en la dirección
es exactamente igual a la suma de
la variación de la cantidad de movimiento en la dirección
con el tiempo dentro del
volumen de control y el flujo saliente neto, por unidad de tiempo, de la cantidad de movimiento en la dirección
a partir del volumen de control.
Para flujo permanente la cantidad de movimiento en la dirección
dentro del volumen
de control permanece constante, y:
∑
∫
̅ (̅
)
( )
Por analogía para las direcciones y de un sistema cartesiano de referencia:
∑
∫
̅ (̅
)
∑
∫
̅ (̅
)
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Multiplicando la primera ecuación por i, la segunda por j y la tercera por k, vectores unitarios paralelos respectivamente a , , , y sumando,
∑
∫
̅(̅
)
( )
La ecuación de la cantidad de movimiento para flujo permanente tiene la ventaja de que no necesita información sobre las condiciones dentro del volumen de control. Solo necesita para su aplicación las fuerzas externas y el flujo saliente neto de la cantidad de movimiento, por unidad de tiempo. La ecuación de la cantidad de movimiento se puede aplicar a la solución de problemas de flujo permanente en las formas dadas por las ecuaciones (5) y (6).
Fig.2 Volumen de control con entrada de flujo uniforme y salida normal a la superficie de control
En tuberías y canales es posible elegir el volumen de control d modo que el flujo de cantidad de movimiento que sale y que entra sean normales a las secciones transversales (Fig.2). Si además se considera que el líquido que circula es incompresible y la velocidad es constante en la superficie de entrada o de salida, se tendrá, siempre para flujo permanente y en una dirección :
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̅
∑
∫
̅
∫
∑
( )
∑
( )
Fig. 3 Flujo no uniforme a través de una Superficie de control
Para entrada o salida no uniforme de flujo por una porción de la superficie de control, donde la velocidad sea normal a la superficie (como en la Fig.3), en cada sección hay una distribución de velocidades por lo que es necesario corregir los flujos de cantidad de movimiento. Para ello se utiliza el coeficiente de Boussinesq
cuyo valor depende
únicamente de la distribución de velocidades en la sección.
El flujo saliente de cantidad de movimiento, por unidad de tiempo, a través de la superficie para flujo no uniforme es:
∑
( )
O también: ∑
(
)
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Expresión del coeficiente de Boussinesq ( ).
En una l.c.,
Cantidad de movimiento:
Cantidad de movimiento por unidad de tiempo, o flujo de cantidad de movimiento
Flujo de cantidad de movimiento en toda la corriente
∫
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En toda la corriente, Flujo de cantidad de movimiento utilizando la velocidad media: Flujo real de cantidad de movimiento:
Igualando las dos expresiones:
∫
∫ (
)
Cuando en la práctica no se indica su valor, es porque se está suponiendo
IV.
.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
Ejemplo 1. Un chorro de agua de 75mm de diámetro con una velocidad de 36 m/seg descarga en dirección horizontal por una boquilla montada en un bote. ¿Qué fuerza se necesita para mantener el bote en reposo?
Tobera montada en un bote
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Seleccionando un volumen de control, como se muestra en la figura, el flujo saliente neto de cantidad de movimiento, por unidad de tiempo, será (
(
)
)(
)
(
)
Esta fuerza debe ser aplicada al bote en la dirección en que descarga el chorro para mantenerlo en reposo.
Ejemplo 2. Encontrar la fuerza ejercida por la boquilla sobre la tubería de la figura. Despreciar las perdidas. El fluido es aceite de peso específico relativo 0.85, y . Para determinar el caudal en volumen se escribe la ecuación de Bernoulli aplicada a la sección 1 anterior a la boquilla y a la sección 2 aguas abajo del extremo de la tobera la expresión es nula. ( )( ) ( )( )
Como
(
,y
(
(
Sea
)
, sustituyendo. )
( )( ) ( )( )
)
fig. (b) la fuerza ejercida sobre el cuerpo libre del líquido por la boquilla; entonces
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( )(
)
(
)
(
)(
)(
)(
)
De donde . El aceite ejerce una fuerza sobre la boquilla de 212 kg hacia la derecha, y una fuerza de tracción de 212 kg es ejercida por la boquilla sobre la tubería.
Ejemplo 3: Los pilares de un puente está separados una distancia entre ejes de 6.10 m. Aguas arriba el tirante es 3.05 m. y la velocidad media del agua 3.05 m/sg. Aguas abajo el tirante es 2.90 m. Despreciando la pendiente del río y las pérdidas por fricción, encontrar el empuje del agua sobre cada pilar.
Se elige un volumen de control, como el indicado, de 6.10 m de ancho y limitado por las secciones (1) y (2).
Suponiendo distribución hidrostática de presión en las secciones 1 y 2, la ecuación de la cantidad de movimiento escrita en la dirección de la corriente es: (
)
Asumiendo que sobre el agua actúa la fuerza F hacia la izquierda. Despejando: (
)
Reemplazando:
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y los valores conocidos de ,
Y
Se obtiene: El signo positivo indica que el sentido es el correcto. Naturalmente el agua ejerce una fuerza igual y contraria sobre el pilar, es decir Hacia la derecha.
Ejemplo 4: En un canal rectangular de fondo horizontal y ancho 3 m se halla instalada una puerta deslizante. Aguas arriba el tirante de agua es de 2.40 m y aguas abajo 0.60 m. Despreciando las pérdidas calcular. a) el gasto en la compuerta. b) el empuje sobre la compuerta.
1. ecuación de la energía.
Ecuación de continuidad:
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Resolviendo el sistema para
:
Es decir:
Eligiendo un volumen de control como el indicado y suponiendo distribución hidrostática de presiones en la sección (1) y (2), le ecuación de la cantidad de movimiento en la dirección del flujo es:
(
)
Asumiendo que sobre el agua actúa la fuerza F hacia la izquierda. Despejando: (
)
Reemplazando: ( )( ( )( Y los valores conocidos de
) )
y
Se obtiene:
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V.
CONCLUSIONES:
La ecuación de cantidad de movimiento, es muy importante en nuestra carrera, ya que con esta podemos diseñar y conocer las fuerzas que actúan sobre una estructura.
Se aprendió y analizó de forma clara la ecuación de cantidad de movimiento, y sus aplicaciones.
Se desarrolló la ecuación de cantidad de movimiento, mediante la aplicación de la ley de la conservación de cantidad de movimiento de la materia situado en el seno del fluido en movimiento.
Se proporcionó información sobre la ecuación de cantidad de movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más sencillo su manejo.
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VI.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:
-
Potter MERLE, David. Mecánica de Fluidos – tercera edición,(2002) México
-
Chereque Moran, WENDOR 1987-MECANICA DE FLUIDOS I. Lima – Perú. Pag. (86-93)
-
Victor L. Streeter. Mecánica de Fluidos – cuarta Edición, 1970 México. Pág. (141-149)
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