Ecuacion de Cantidad de Movimiento de Von Karman

ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE VON KARMAN

δ

Como se estudió en la sección previa (señalada con asterisco), Blasius encontró el espesor de capas límites laminares para dpldx = 0 llegando a las ecuaciones (39) que serán útiles para hacer comparaciones y verificar métodos aproximados que establezcan el espesor   como alguna función de X. Ahora se considerará específicamente la ecuación integral de momentum de Von Kármán que dará muy buenos resultados para , no sólo en el rango de flujo laminar, sino también en el rango de flujo turbulento.

δ

δ

Considérese un volumen de control de espesor unitario y longitud dx con una altura correspondiente al espesor de la capa límite, como se muestra en la figura. Se considera la ecuación de momentum lineal en la dirección x para este volumen de control en el caso de un flujo permanente. Las fuerzas sobre la superficie de control en la dirección x se muestran en la figura.

Debido a que el flujo es casi flujo  paralelo, puede suponerse, como en flujo en tuberías, que la presión es uniforme en la sección si se ignora la presión hidrostática. Asimismo, debido a que la capa límite es delgada, esta presión en x es igual a la presión en el flujo de la corriente principal en la posición x, inmediatamente afuera de la capa límite. Lafuerza en la dirección x puede escribirse como

 =  −( − ( +  ) )  + +  + ( + 12  ) −  

Donde   es el esfuerzo cortante en la pared. Cancelando términos y dejando de lado las expresiones de segundo orden. Se obtiene:

 = −(  + ) 

(36)

Luego, se considera el flujo de salida de momentum lineal a través del volumen de control en la dirección x. En el lado vertical del volumen de control x se tiene :

  − ∫  

Y en la otra sección vertical en (X + dx) puede expresarse el flujo de salida de momentum lineal como una serie de Taylor con dos términos

     ∫   +  ∫   Con esto se concluye que el flujo de momentum lineal varía en forma continua a lo largo de la dirección X. En la superficie superior del volumen de control con y  como componentes de la velocidad de la corriente principal, hay una tasa de flujo de masa hacia afuera dada en este caso como .

  

  + .− +  −      −(  + ) =  ∫   +  −   

.

De manera que la componente  x del momentum que sale del volumen de control a través de la superficie superior es . Luego, la ecuación de momentum lineal puede darse como

Donde principal.

y

(37)

  deben considerarse como componentes de la velocidad local de la corriente

Luego se considera la ecuación de continuidad para el volumen de control escogido. Se tiene:

    ∫  +  + − ++[∫  +  ∫ ] = 0

(38)

Cancelando términos cuando sea posible y ordenando, se obtiene:

   −  = −  ∫ 

(39)

       −  −  =  ∫  −   ∫  

(40)

Ahora se sustituye este resultado en la ecuación (37) para remplazar la última expresión entre paréntesis. Luego de cancelar dx se obtiene:

Ésta es una forma general de la ecuación integral de momentum de Von Kármán. Si dpldx = 0, entonces U, esencialmente es una constante que se denotará como U y pueden combinarse las integrales de la parte derecha de la ecuación (40) para llegar a la siguiente forma más restringida de la ecuación integral de momentum de Von Kármán:

   − =  [∫   − ]

(41)