Ecuacion de La Cantidad de Movimiento

INDICE:

INDICE………………………………………………………….……………..……02 INTRODUCCION……………………………………………..……………….…...03 OBJETIVOS………………………………………………………………..….……04 GENERALIDADES CONCEPTOS BASICOS………………………………………………………….05 CANTIDAD DE MOVIMIENTO O IMPETU…………………..……..……....05-06 EL IMPULSO………………………..………………………..........................06-09

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA.………………………..………………………..........................09-10 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DEL MOVIMIENTO LINEAL………...10 EJERCICIOS…………………………………………………………………...11-19 MATERIALES A UTILIZAR………………………………….………………….....20 CONCLUSIONES……………………………………………………….……….....21 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………...….......22

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

INTRODUCCION

Siempre que hablamos de movimiento nos referimos a los conceptos de posición, velocidad y aceleración para describirlo. Y cuando nos referimos a interacciones entre cuerpos siempre hablamos de fuerzas. En forma natural, estos dos hechos físicos, movimiento de un cuerpo y fuerzas que actúan sobre él, se relacionan. Todos sabemos que un cuerpo en movimiento tiene la capacidad de ejercer una fuerza sobre otro que se encuentre en su camino. Llamaremos momento lineal o cantidad de movimiento a la magnitud que nos permite medir esta capacidad (algunos la llaman momentum). Fue el propio Newton quien introdujo el concepto de momento lineal(aunque él lo llamaba cantidad de movimiento) que combina las magnitudes características de una partícula material en movimiento: su masa (toda partícula material tiene masa) y su velocidad (magnitud que caracteriza el movimiento). La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" (el momento lineal o momentum) dependía tanto de la masa como de la velocidad: si podemos imaginar una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca se puede detener con la mano, mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad. ¿Por qué es más difícil detener a un camión que a una mosca si se mueven a la misma velocidad? ¿Qué ocurre cuando chocan dos bolas de billar? ¿Qué pasa cuando la raqueta golpea la pelota de tenis? Al golpear una pelota con una raqueta, un palo de golf o un bate de béisbol, la pelota experimenta un cambio muy grande en su velocidad en un tiempo muy pequeño. Todos estos hechos tienen en común la magnitud cantidad de movimiento o momento lineal. Como ya lo dijimos, esta magnitud combina la inercia y el movimiento, o, lo que es lo mismo, la masa y la velocidad. Un cuerpo puede tener una gran cantidad de movimiento (momento lineal) si tiene una masa muy grande o si se mueve a gran velocidad.

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO OBJETIVOS

Estudiar el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal para una partícula y aplicarlo para resolver problemas que impliquen fuerza, velocidad, y tiempo. Estudiar la conservación de cantidad de movimiento lineal para partículas Definir lo que es la cantidad de movimiento, así como su ecuación. Llegar hacia la ecuación general del principio de la cantidad de movimiento. Conocer

la

ecuación

de

cantidad

de

movimiento

para

flujos

permanentes. Conocer la ecuación del principio de cantidad de movimiento aplicada a un corriente liquida. Desarrollar ejercicios que nos permitan comprender de una forma más clara el principio de la cantidad de movimiento.

GENERALIDADES

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LA SEGUNDA LEY DE NEWTON fue expresada en base a la variación de la cantidad de movimiento en función del tiempo, es decir que si se aplica una fuerza exterior a un cuerpo este experimentará una variación de cantidad de movimiento a medida que transcurre el tiempo. Fue el propio Newton quien introdujo el concepto de momento lineal (aunque él lo llamaba cantidad de movimiento) que combina las magnitudes características de una partícula material en movimiento: su masa (toda partícula material tiene masa) y su velocidad (magnitud que caracteriza el movimiento).

CONCEPTOS BASICOS CANTIDAD DE MOVIMIENTO O IMPETU


La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. , se conoce como la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Como m es un escalar positivo, el vector de cantidad de movimiento lineal tiene la misma dirección que v. La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento.

CANTIDAD DEL MOVIMIENTO

Cantidad de movimiento

S.I. kg.m/s

Técnico lb.s

Al aplicarse una fuerza es evidente que la velocidad de un cuerpo cambia, cambia “la cantidad de movimiento” de ese cuerpo y la cantidad de movimiento puede medirse físicamente.  Tenemos un cuerpo que tiene una masa m, (valor escalar) el que adquiere una velocidad determinada al aplicársele una fuerza exterior. La masa y la velocidad resultan ser inversamente proporcionales ya que, a igual magnitud de fuerza, si la masa aumenta al doble su velocidad se reducirá a la mitad.

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Ejemplo: expresado de una manera más sencilla, si empujamos el mouse adquirirá mayor velocidad que si empujamos, con la misma cantidad de fuerza, a la cpu

EL IMPULSO 

El concepto de la cantidad de movimiento es útil cuando debe considerarse el tiempo en el análisis del movimiento. Sin embargo puede ocurrir durante el movimiento que actúe una Fuerza modificando la cantidad de movimiento. Esta fuerza recibe el nombre de fuerza impulsiva o Impulso.



El impulso es la magnitud vectorial medida por el producto de la fuerza aplicada a un cuerpo y el intervalo de tiempo durante el cual actúa.



El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto: Si la fuerza es constante: el impulso se calcula multiplicando la F por Δt.

I =F ∆ t

Si la fuerza es variable y se expresa en función del tiempo: se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulsoa esto se le conoce como impulso lineal.


t1

I =∫ Fdt t0

IMPULSO LINEAL Como el tiempo es un escalar positivo, el impulso actúa en la misma dirección que la fuerza. 

Unidades del impulso:

Impulso

S.I. kg.m/s

Técnico lb.s

RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento. El término fue acuñado por Isaac Newton en su segunda ley, donde la llamóvi motricirefriéndose a una especie de fuerza del movimiento. En la mecánica clásica, a partir de la segunda ley de Newton sobre la fuerzatenemos que:

⃗ F=

d ⃗L dt

Lo que nos dice que el cambio en la cantidad de movimiento es proporcional a una fuerza aplicada sobre la partícula durante algún intervalo de tiempo:

∆⃗ L=∫ ⃗ F .dt A lo que llamamos impulso es ese valor de la integral de la fuerza en el tiempo:

I =∫ ⃗ F . dt Entonces: 

Para modificar la cantidad de movimiento es necesario considerar el impulso, o sea la magnitud de la fuerza y el tiempo de contacto.

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Un golfista golpea una pelota con gran fuerza para impartirle momento; pero para obtener el máximo momento, efectúa un movimiento complementario, prolongado el tiempo de contacto de la fuerza sobre la pelota. Una fuerza grande multiplicada por un tiempo grande da por resultado un gran impulso, el cual produce un mayor cambio en el momento de la pelota. Las fuerzas que intervienen en el impulso no son fuerzas de valores permanentes, sino que por lo general varían de un instante a otro.



Ahora considere el caso de un cuerpo que inicialmente tiene un momento hasta que se detiene por medio de un impulso. Un auto que se desplaza a alta velocidad, choca contra un muro de contención. El gran momento se “extingue” en un tiempo muy breve. Compárense los resultados para un auto a alta velocidad que choca contra un muro de concreto y contra un montón de heno. En ambos casos, el momento del auto es el mismo, por lo que el impulso necesario para detenerlo en cada caso es el mismo.

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Sin embargo, los tiempos de impacto son diferentes. Cuando el auto golpea el muro de concreto, ese tiempo es corto, por lo que la fuerza promedio de impacto es enorme. En cambio, cuando golpea el montón de heno, el impulso se prolonga por un tiempo mayor y la fuerza de impacto es considerablemente menor.

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA

Con cinemática, la ecuación de movimiento de una partícula de masa m puede escribirse como:

Donde a y v se miden a partir de un marco de referencia inercial. Al reordenar los términos e

integrarlos entre los límites

cuando

y

cuando

, tenemos:

Esta ecuación se conoce como principio de impulso y cantidad de movimiento lineal. Por la derivación se ve que es simplemente una integración con respecto al tiempo de la ecuación de movimiento. Proporciona un medio directo de obtener la velocidad final v2 de la partícula después de un lapso de tiempo especificado cuando la velocidad inicial de la partícula se conoce y las fuerzas que actúan en ella son constantes o pueden expresarse como una función de tiempo. Por comparación, si v2 se determinara por medio de la ecuación de movimiento, se

requeriría un proceso de dos pasos: es decir, aplicar

para obtener a y luego integrar

para obtener v2.

Para solucionar problemas, la ecuación


Se escribirá como:

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA

La cual expresa la cantidad de movimiento inicial de la partícula en el instante t1 más la suma de todos los impulsos aplicados a la partícula de t1 a t2 equivale a la cantidad de movimiento final de la partícula en el instante t2. Si cada uno de los vectores en la ecuación se divide en sus componentes x, y, z, podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes de impulso y cantidad de movimiento lineales.

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN SUS TRES EJES


CONSERVACION DE LA CANTIDAD DEL MOVIMIENTO LINEAL Supóngase que una partícula se desplaza desde un punto A hasta un punto B, y en su recorrido no actúan fuerzas o la sumatoria de las fuerzas actuantes es cero, en tal caso diremos que la cantidad de movimiento no ha variado, es decir que se conserva. Puede concluirse que la suma de la cantidad de movimiento de las partículas A y B en cualquier

instante es igual a una constante, es decir si en la ecuación siguiente.

(mivi)1 +

Fidt =

(mivi)2

La sumatoria de las fuerzas es cero:

mAvA + mBvB = Constante

(mivi)1

=

(mivi)2

ECUACION DE LA CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

EJERCICIOS 1. Una pelota de 2.3 lb se lanza en la dirección mostrada con una rapidez inicial VA = 20 ft/s. Determinar el tiempo necesario para que alcance su punto más alto B. Use el principio del impulso y momentum para encontrar la solución.

VA=20 ft/seg

40°


Solución: VY2 =0

VA =20ft/seg

40° -W= -2.3

V0 =0

-W= -2.3lb

Cálculo del tiempo que invierte entre A-B



Por el principio del impulso y momentum en la dirección normal al movimiento:

Con datos: VY2 =0


2. Un hombre golpea la pelota de golf de 50 g de manera que la pelota deja el soporte a un ángulo de 40º con la horizontal y toca el suelo a la misma elevación a una distancia de 20 m. Si el impulso que produce el palo sobre la pelota es de 0.7 Ns. Determina el tiempo que requiere en llegar al suelo.

Solución




Por el principio del impulso y momentun en la dirección paralela al movimiento se tiene:

mv 1 + ∑∫ Fdt =mv 2 En la posición 1: la bola está en reposo:

v 1=0 m/s

0+∫ Fdt =( 0.05 ) ( v 2 ) 1=0.05 v 2 0.7=0.05 v 2 14 m/s=v 2 

Por cinemática se tiene:

x=v 0 + v f t 20=0+v 2 cos 40 ° t ∴t=1.865 seg

3. Una bola de tenis tiene 180g lleva una rapidez horizontal de 15m/s cuando es golpeada con la raqueta. Si luego del impacto la bola viaja a una dirección de 250 con la horizontal si después de un tiempo t de haber iniciado el movimiento el módulo de la cantidad de movimiento es de 30kgm/s. hallar dicho tiempo.


SOLUCION 

Datos:

VX=13.59 m/ s

VY =6.34 P=30 Kgm/ S 

La velocidad en x siempre es constante en cualquier punto de la trayectoria:

VX=15COS250

Vfy

VY=15sen250 VX=15COS250



Encontrando la velocidad final de Y: Ecuación de movimiento

dv =a dt Integrando en dicho punto:

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO VF−V 0=−¿ 

Reemplazando datos:

VF=6.34−9.81T Módulo de velocidad

V X +¿ +VF V =√ ¿ 2

2 Y

V = √13.592 +(6.34−9.81T )2 

Teniendo en cuenta la fórmula de cantidad de movimiento línea:l

P=mv 2.5=0.18( √ 13.592+(6.34−9.81 T )2)

13.89= √13.592 +(6.34−9.81T )2 2

2

192.90=13.59 +(6.34−9.81T ) 8.21=(6.34−9.81 T )2 2.87=6.34−9.81T

−3.47=−.9.81 t ∴t=0.35 s


4. Una pelota de ping pong de masa

v i=2.4 ^j+1.8 k^ m/s F=0.139 t∋¿

m=5.67 g

tiene una velocidad inicial de

cuando una ráfaga de viento le ejerce una fuerza

(t expresada en segundos). Determinar el tiempo cuando la

velocidad de la pelota es de

^ ^j−3.10 k^ m/ s v f =3.07 i+2.40 .

Solución: 

En la figura se aprecia el diagrama de la pelota, donde aparece el peso la fuerza

F del viento, donde la masa de la pelota debe estar expresada en kg:

m=5.67(10−3)kg 

W =mg y

Y el impulso de la pelota en un tiempo ‘‘t’’:

t

mv f

0

mv i

^ ( 10−3 ) (9.81) k^ ] dt=∫ d (mv) ∫ [ 0.139 t i−5.67

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO v m¿ ¿

2 0.139t i^ −5.67 ( 10−3 ) (9.81) t k^ =¿ 2

2 0.139t i^ ^ ^j−3.10 k−2.40 ^ ^j+1.8 k^ ) −5.67 ( 10−3 ) ( 9.81 ) t k^ =(5.67 x 10−3)(3.07 i+2.40 2

∴t=0.5 s

5. Un automóvil que pesa 4000 lb desciende por una pendiente de 5 0 a una velocidad de 60mi/h cuando se aplica los frenos, lo que provoca una fuerza de frenado total constante (aplicada por el camino sobre los neumáticos) de 1500 lb. Determine el tiempo que se requiere para que el automóvil se detenga.

Solución 

Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento. Puesto que cada una de las fuerzas es constante en magnitud y dirección. Cada impulso es correspondiente es igual producto de la fuerza y el intervalo de tiempo

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 

Datos:



Por la ecuación de la cantidad de movimiento:

6. El portaaviones pesa resistencia

91 000

hidrodinámica

desaceleración de

toneladas. Suponga que sus motores y la

ejercen

sobre

él

una

fuerza

constante

de

1 000000 lb .

(a) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar cuánto tarda la nave en detenerse desde su velocidad máxima de aproximadamente 30 nudos (un nudo equivale a alrededor de

6076 pie /h ).

(b) Con el principio del trabajo y la energía, determine la distanciaque recorre la nave antes de detenerse.


SOLUCION:

a

Aplicando conservación de la cantidad del movimiento lineal se tiene:

t2

v2

−∫ Fdt =m∫ dv t1

v2

t

0

−∫ 10 6 dt=91000 0

∫

dv

182280

−10 t=910008 (0−182280) ∴t=0.09128 seg

b

Aplicando el teorema de trabajo y energía para hallar el trabajo de la fuerza: x

U 1 →2=−∫ Fdx 0

6

U 1 →2=−10 x Aplicando el teorema de trabajo y energía para hallar el trabajo total del sitema:

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 2

U 1 →2=m(

2

v 2 v1 − ) 2 2

−7822802 U 1 →2=91000( ) 2 U 1 →2=−1.66 x 10 10 lb. ft Igualando se tiene:

−10 6 X =−1.66 x 1010 4

X =1.66 x 10

MATERIALESA UTILIZAR: -BASE DE MADERA. -ALUMINIO.

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO -CANICAS 2. -GUINCHA. -PAPEL CARBON.

ECUACIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO CONCLUSION ES:

 La ecuación de cantidad de movimiento, es muy importante en nuestra carrera, ya que con esta podemos diseñar y conocer las fuerzas que actúan sobre una estructura.  Se aprendió

y

analizó

de

forma

clara

la

ecuación

de

cantidad

de

movimiento, y sus aplicaciones.  Se desarrolló la ecuación de cantidad de movimiento, mediante la aplicación de la ley de la conservación de cantidad de movimiento de la materia situado en el seno del fluido en movimiento.  Se proporcionó información sobre la ecuación de cantidad de movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más sencillo su manejo.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:




Potter MERLE, David. Mecánica de Fluidos – tercera edición,(2002) México



Chereque Moran, WENDOR 1987-MECANICA DE FLUIDOS I. Lima – Perú. Pag. (100112)



Victor L. Streeter. Mecánica de Fluidos – cuarta Edición, 1970 México. Pág. (141-149)

Ecuacion de La Cantidad de Movimiento

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