LABORATORIO N° 05 “MOVIMIENTO
ARMÓNICO SIMPLE”
CARRERA
: Tecnología Mecánica Eléctrica
CICLO
:I
SECCIÓN
: “B”
DOCENTE
: Sarmiento Acosta Eder
CURSO
: Ondas y Calor
ALUMNO
:
Parodi Prada Gustavo Yamil
Pérez Alverca Franklin
Ramírez lizana Paúl
Riveros Gerónimo Deiner Yovit
Ruiz López Emerson
Santiago Salirrosas Jhorvin
FECHA DE ENTREGA: ENTREGA: 30 de Noviembre Del 2016
2016 II PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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Figura 1. Movimiento Movimiento armónico simple. simple.
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I. INTRODUCCIÓN……………………………………………….………….… INTRODUCCIÓN……………………………………………….………….….4 .4 II. OBJETIVOS………………………………………………….………………. OBJETIVOS………………………………………………….……………….55 2.1. OBJETIVO OBJETIVO GENERAL…………………………………………………5 GENERAL…………………………………………………5 2.2. OBJETIVOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS………………………………………. ESPECÍFICOS……………………………………….…5 III. FUNDAMENTO TEÓRICO …………………..……………………. …………………..…………………….....5 ....5 simple:………………………………………...5 ...5 Movimiento armónico simple:……………………………………… Velocidad:……………………………………………………………………..….6 ….6 Velocidad:…………………………………………………………………… Aceleración:…………………………………………………………………..….6 Aceleración:………………………………………………………………… inicial:…………………………………………………….66 Amplitud y fase inicial:……………………………………………………. Hooke:………………………………………………………………….77 Ley de Hooke:…………………………………………………………………. Resorte:………………………………………………...7 ...7 Sistema Masa - Resorte:……………………………………………… IV. MATERIALES ………………………………………………………….……. ………………………………………………………….…….99 V. PROCEDIMIENTO…………………………………..……………….… PROCEDIMIENTO…………………………………..……………….…...9 ...9 N°1………………………………………………...9-13 -13 ACTIVIDAD GRUPAL N°1………………………………………………...9 ACTIVID AD GRUPAL N°2……………………………………………….13-20 N°2……………………………………………….13-20 VI. ANÁLISIS DE RESULTADOS ……………………………………...20 VII. CUESTIONARIO ……………………………………………………..21 ……………………………………………………..21-22 -22 VIII. CONCLUSIONES ………………………………………………………….2 ………………………………………………………….233 IX. RECOMENDACIONES …………………………………………….……23 X. BIBLIOGRAFÍA ……………………………………………………...…..23
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I.
INTRODUCCIÓN: En el presente informe, daremos a conocer las actividades realizadas en el laboratorio de “Ondas y Calor”, que se llevó a cabo en la institución superio r Tecsup – Tecsup – Norte, Norte, el día miércoles 16 de noviembre del 2016. En las cuales se realizaron las siguientes actividades: Proceso de armado, del soporte universal, configuración del programa Pasco y movimiento armónico simple. Actividades, que tienen como fin, fin, familiarizarse con el sensor de movimiento y el sensor de fuerza y sobre todo con el programa Pasco que clase a clase se aprende más de dicho software, que son de gran utilidad en el proceso de formación de un técnico de Mecánica Eléctrica. El movimiento simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemático, dinámico y energético. Para entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que realizan los lo s cuerpos elásticos Un caso muy particular de movimiento sucede cuando la fuerza sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza se dirige hacia la posición de equilibrio hay un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrás alrededor de esta posición. Este es un movimiento armónico simple en el que el objeto regresa siempre a uno de ambos extremos, convirtiendo la energía cinética en potencial y nueva mente en cinética. Para el desarrollo de estas actividades, se puso en práctica el trabajo en equipo; donde cada miembro del grupo aporta con ideas, para así realizar un mejor trabajo, respetando siempre las normas de seguridad, como son: el uso de los guantes y el guardapolvo; ya que estos elementos nos pueden salvar la vida. Sin más que decir, presento mi peculiar informe; pido perdone por po r algunos errores cometidos.
Figura 2. Logo del programa PASCO PASCO Capstone.
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II.
OBJETIVOS: 2.1
2.2
Objetivo general: Configurar e implementar equipos para toma de datos d atos experimentales y realizar un análisis gráfico utilizando como herramienta el software Pasco Capstone. Determinar experimentalmente el periodo y la frecuencia de oscilación del sistema.
Objetivo específico: Interpretar el movimiento Armónico simple, con sus ecuaciones .
Figura 3. Interpretación Interpretación del M.A.S.
III.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
3.1 Movimiento armónico simple: Es un movimiento periódico de periódico de vaivén, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s. Cuando un cuerpo oscila de un lado a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos diferentes de tiempo esto quiere decir que dicho cuerpo tiene una velocidad, aceleración y amplitud de fase inicial.
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3.2 Velocidad: 3.2 Velocidad: La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición posi ción respecto al tiempo:
Figura 4. Velocidad en en el M.A.S.
3.3 Aceleración: 3.3 Aceleración: La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:
Figura 5. Aceleración Aceleración en el M.A.S.
3.4 Amplitud y fase inicial: inicial:
La amplitud y la fase inicial se pueden calcular calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación y de la velocidad iniciales.
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3.5 Ley de Hooke: Originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo. La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida por el resorte con la elongación o alargamiento provocado por la fuerza externa aplicada al extremo extremo del mismo. La Ley de Hooke”, que en términos matemáticos predice la relación r elación directa entre la fuerza aplicada al cuerpo y la deformación producida.
F=kx Donde k es la constante elástica del resorte y x y x es la elongación del resorte.
3.6 Sistema Masa - Resorte: Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable, fija en su extremo superior como se ve en la figura si se aplica una fuerza al cuerpo desplazándose una pequeña distancia y luego se le deja en libertad, oscilara ambos lados de la posición de equilibrio entre las posiciones +A y – y – A debido a la sección de la fuerza elástica. elástica.
Figura 6. Sistema masa - resorte. resorte.
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El movimiento peculiar del resorte, se identifica según la posición vs tiempo, a través de la función sinusoidal.
X = X = elongación A = A = amplitud ω = velocidad angular t = tiempo = constante de fase Frecuencia (f): es el número de oscilaciones completas o ciclos en cada unidad de tiempo. Periodo (T): es el tiempo que emplea el sistema para realizar una oscilación o un ciclo.
La función velocidad vs tiempo, se identifica de igual manera con una función sinusoidal.
Velocidad máxima (v): (v): es todo lo que puede p uede alcanzar un cuerpo en movimiento es decir la última velocidad su fórmula es:
Vmax = ωA
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IV.
V.
MATERIALES: UNIDADES
MATERIALES
OBSERVACIONES
1
Computadora personal con programa Pasco
S/N
1
Interfase USB Link
S/N
1
Sensor de movimiento
S/N
1
Sensor de fuerza
S/N
2
Soportes universales
S/N
2
Varillas
S/N
2
Nuez doble
S/N
1
Pavillo
S/N
1
Pesa
S/N
1
Resorte
S/N
METODOS Y PROCEDIMIENTOS: PROCEDIMIENTOS: ACTIVIDAD GRUPAL 01:
Como primer paso, realizamos el montaje de la figura: (ensamblamos (ensamblamos los soportes universales, las 2 nueces doble, varillas).
Figura 7. Ensamblaje necesario necesario para el experimento. experimento.
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Conectamos el sensor de movimiento y fuerza fuerza a la interfase y éste a la vez a la laptop vía USB. (Hay que tener en cuenta que la interfase la conectamos cuando el programa se encuentre en la pantalla de bienvenida). b ienvenida). Encendemos la laptop e ingresamos al programa Pasco, y luego de haber conectado la interfase, hacemos clic en la opción Tablas y Gráficos. En dicha opción, en la parte de la tabla configuramos las 3 variables: posición, fuerza y tiempo; mientras que en la parte de la gráfica, la variable independiente tiempo y la dependiente posición. Además de configurar 10 hz al sensor de movimiento.
Figura 8. Configuración de las variables en en el software Pasco.
Luego de haber configurado las variables en el software Pasco, debemos recordar que para iniciar con la prueba, el sensor de movimiento debe estar sujetado a la misma altura que el sensor de fuerza, para que de esta manera sea mucho más fácil captar la señal de movimiento y se pueda desarrollar la actividad con la total normalidad (lo ideal), durante el tiempo de 5segundos solicitados para esta actividad. Este procedimiento lo repetimos 2 veces (recordando que el valor de la fuerza debe de variar con respecto al primer experimento). Esta prueba la podemos realizar incluso más de 2 veces debido a que es ligeramente difícil conseguir que la gráfica obtenida por el software so ftware nos muestre una función sinusoidal ideal. Luego de encontrar nuestra función sinusoidal (si la gráfica no es muy curva; es decir nos sale en forma de puntas rectas, es necesario aplicar la opción suavizar para tener una imagen mucho más clara de cómo se forma la onda a lo largo de la trayectoria.) t rayectoria.)
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Acto seguido con la ayuda de la herramienta herramienta sombrear y la opción curva, encontramos la función lineal para así encontrar la constante experimental y poder compararla con la teórica posteriormente. Recordar que este procedimiento lo debemos realizar en 2 ocasiones con una fuerza promedio distinta.
Figura 9. Encontrando la constante medida medida en Pasco. Pasco. (Prueba 1).
Figura 10. Encontrando la constante medida medida en Pasco. Pasco. (Prueba 2).
Para encontrar el valor teórico de la constante, aplicamos la ecuación de la Ley de Hooke. F= -k*x.
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1) ENSAYO 1:
DATOS INICIALES:
ó = 18 ó á = 34.5 ó ó = 16.5 = 0.165 CONSTANTE MEDIDA DE LA GRÁFICA:
= 0.2 ± 0.0 0.036 36 = = −1.9
CONSTANTE CALCULADA:
CÁLCULO DEL ERROR:
= − − ∗ ∗ −1.9 → = 11.52 − = 0.165
= | − |100 − 0.2| 100 = 0.983% = |11.52 0.983% 11.52 2) ENSAYO 2:
DATOS INICIALES:
ó = 18 ó á = 36 ó ó = 18 = 0.18
CONSTANTE MEDIDA DE LA GRÁFICA:
= 0.168 = = −2
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CONSTANTE CALCULADA:
CÁLCULO DEL ERROR:
= − − ∗ ∗ −2 → = 11.11 − = 0.18
= | − |100 0.168| 100 = 0.985% = |11.11− 0.985% 11.11 Constante “K” teórico. (N/m)
11.52
11.11
Constante “K”.(N/m)
0.2 0.983%
0.168 0.985%
Error
Tabla 1. (Prueba 1: Ensayo 1 y 2).
ACTIVIDAD GRUPAL N° 2 PARTE 1:
Como primer primer paso, paso, realizamos realizamos el mismo montaje anterior (ensamblamos los soportes universales, las 2 nueces doble, varillas). A diferencia di ferencia que en esta actividad le quitaremos el sensor de fuerza y colocamos una masa (despreciable) al resorte, como se muestra en la figura.
Figura 11. Ensamblaje necesario necesario para el experimento. experimento.
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Cerramos todo e ingresamos nuevamente a Pasco, configuramos en la opción tablas y gráficos las variables: posición vs tiempo con 5hz en la toma to ma de datos. Luego de configurar correctamente el software, medimos la distancia del resorte (con ayuda de una regla), para que posteriormente al estirarlo podamos encontrar su elongación por diferencia de medidas. (Recordar que para realizar la prueba el sensor de movimiento debe de estar debajo de la masa sostenida por el resorte). Realizamos una toma de 5 segundos de la actividad (tiempo suficiente para que el software arroje la gráfica en la pantalla de la laptop). Puede ser dificil conseguir que la imagen de la onda mostrada en pasco sea s ea clara ,por ello tendremos que hacer muchas pruebas hasta conseguir una imagen clara o en todo caso podemos usar la herramienta suavizar. Modificamos el gráfico para que aparezca un gráfico sinusoidal ( opción curva función sinusoidal).
Figura 12. Encontrando la constante mediante la función función sinusoidal.
Las gráficas obtenidas se presentan a continuación:
Figura 13. Hallando valores valores sinuidales (Ensayo 1).
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Figura 14. Hallando valores valores sinuidales (Ensayo 2).
Figura 15. Hallando valores valores sinuidales (Ensayo 3).
Este procedimiento lo realizamos 3 veces para obtener 3 valores distintos y poder llenar la tabla con los valores obtenidos en la l a gráfica experimental y de manera empírica. Debemos saber que la amplitud la determinamos con la ecuación sinusoidal, el periodo en la tabla gráfico (tiempo que se demora para realizar un ciclo). La amplitud teórica, se realiza con la fórmula de la velocidad máxima.
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ENSAYO 1:
DATOS:
= 0.0178 = 10.5 = −2.98 ( () = 5.5
ENSAYO 2:
DATOS:
= −0.0192 = 10.7 = 1.42 () = 6.1
ENSAYO 3:
DATOS :
= 0.0264 = 3.38 = 0.0103 ( () = 5.2
CÁLCULO DEL PERIODO TEÓRICO:
2 = = + 3 + 10.7++ 3.3 3.333 = 10.5 + 10.7 3 = 8.193 2 → = 8.193 ∴ = 0.766 PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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CÁLCULO DEL ERROR (EN EL PERIODO):
= | − |100 − 5.6| 100 = |0.766 6.31% 0.766 100 = 6.31%
FUNCIÓN SINUSOIDAL EN FUNCIÓN DEL TIEMPO:
= cos( + ) ) = 0.2211 = 12.49 = 0.2836 Masa suspendida Amplitud (m) Periodo (s) Periodo teorico X(t)
1 2 0.0178 -0.0192 5.5 6.1 0.5
3 0.0264 5.2
Promedio total 0.2211 5.6 E%
= cos( + ) ) = 0.2211cos(12.49 0.2211 cos(12.49 − 0.2836)
6.31%
Tabla 2. Valores obtenidos de manera experimental y empírica.
PARTE 2:
A continuación y de manera inmediata realizamos el mismo procedimiento para llenar la tabla número 3, con la diferencia que en el software Pasco configuramos las variables de Posición vs Tiempo a Velocidad vs Tiempo. También realizamos 3 pruebas para esta actividad.
Figura 16. Determinación de valores sinusoidales – primera primera prueba.
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Figura 17. Determinación de valores sinusoidales – segunda segunda prueba.
Figura 18. Determinación de valores sinusoidales – tercera tercera prueba.
ENSAYO 1:
DATOS PRODUCTO DE LA GRÁFICA:
= 0.101 = 10.2 = 0.162 () = 5.6 á = 0.14 PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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ENSAYO 2:
DATOS PRODUCTO DE LA GRÁFICA:
= 0.0751 = 10.2 = −2.67 ( () = 5.9 á = 0.09
ENSAYO 3:
DATOS PRODUCTO DE LA GRÁFICA:
= 0.185 = 7.01 = −3 ( () = 5.3 á = 0.14 CÁLCULO DE LA AMPLITUD TEÓRICA:
ó =
= + 3 + 0.09 + 0.14 0.14 = 0.14 + 0.09 3 = 0.1233 = + 3 + 10.2++ 7.0 7.011 = 10.2 + 10.2 3 = 9.134 → = 0.1233 9.134 ∴ = 0.0135 PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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FUNCIÓN SINUSOIDAL EN FUNCIÓN DEL TIEMPO:
= − − sin( sin( + ) = 0.1203 = 9.134 = −1.836 Masa suspendida Amplitud (m) Periodo (s) Amplitud teórica V(t)
1
2
3
Promedio total
0.101
0.0751
0.185
0.1203
5.9
5.3 0.0135
5.6 E%
5.6 0.9976%
= − sin( + ) = −0.1203 − 0.1203 ∗ 9.134sin(9.134 9.134 sin(9.134 − 1.836) Tabla 3. Valores obtenidos de manera experimental y empírica.
VI. ANÁLISIS DE RESULTADOS:
Para cada una de las partes de este experimento utilizamos un resortes y a él le fuimos colgando una masa conocida, el resorte midió 11.6 cm, la l a característica principal de todo movimiento Armónico Simple es presentar una fuerza que pretende regresar al sistema a su posición de equilibrio, determinada fuerza restauradora o recuperadora; ya que después del estudio de fenómenos ocurridos en nuestra cotidianidad observamos, en el campo de oscilaciones que una oscilación depende de la amplitud del cuerpo y es directamente proporcional al tiempo. También pudimos observar que entre menos elástico sea el resorte menor constante va a tener, es decir, d ecir, que el alargamiento es inversamente proporcional a la constante de elasticidad, nos dimos cuenta de que podemos comprobar experimentalmente todas las propiedades y características de un movimiento armónico simple, como lo es la relación de proporcionalidad entre la fuerza y el alargamiento, es decir comprobamos la ley de Hooke. Todo estos procedimientos realizados los pudimos hallar mediante el programas PASCO y también mediante la ley de HOOKE. Dado que todo esto también se halló el error porcentual de cada práctica realizada. En cuanto al resorte tenemos que: De la grafica No 1 del ensayo 1 se puede observar que se obtuvo una regresión lineal (fuerza (N) y elongación (m)); donde su constante de fase es de 0.162 De la gráfica No 2 del ensayo 2 se obtuvo la constante de -2.67. Por Por último en la gráfica N 3 del ensayo 3 se obtuvo una constante de -3. Después de haber realizado regresión por logaritmos, ya que al comienzo sin la regresión por logaritmos, era una relación exponencial. Al hacer la regresión por logaritmos lo garitmos pudimos hallar todos los datos los cuales cuales nos sirvieron para así hallar la k experimental. Al ver los errores porcentuales de las k, podemos observar que no son mayores, pero aun así que podemos decir que este resorte se comporta con movimiento armónico simple.
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VII.
CUESTIONARIO:
1. ¿cuál es la ley de Hooke?
Esto es lo que se conoce como la ley de Hooke. Establece que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional al módulo de la fuerza que se le aplique, siempre y cuando no se deforme permanentemente dicho muelle. Dónde: F es el módulo de la fuerza que se aplica sobre el muelle. F=-kx Donde k es la constante elástica del resorte y x y x es es la Elongación del resorte.
2. ¿Qué es la frecuencia? ¿Cómo se determina?
Frecuencia es una repetición de un hecho o un suceso. Es también el número de veces que se repite un proceso periódico en un intervalo de tiempo determinado. Número de oscilaciones, vibraciones u ondas por unidad de tiempo en cualquier fenómeno periódico. ω =2 π f
Para determinar la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido. Según el Sistema Internacional (SI), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz.
3. ¿qué es periodo? ¿Cuál es su ley l ey para determinarlo?
Periodo también es el tiempo que tarda algo en llegar desde su punto de inicio hasta su final, en este caso se dice que esa determinada acción cumplió su periodo de d e vida. A esta palabra también se la relaciona con el tiempo que tienen t ienen las cosas.
La función velocidad vs tiempo, se identifica de igual manera Con una función sinusoidal. V = - ro A sen (ro t + 6)
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4. ¿Qué es la amplitud? ¿Cuál es su fórmula teórica? Amplitud es el conjunto de características que hacen de cierta extensión, una zona de grandes dimensiones. En el ámbito físico, el término es empleado para calificar la velocidad máxima de una fuerza en un período de tiempo, mientras está en desplazamiento, en pocas palabras, la amplitud es usada para medir las variaciones periódicas que se aprecian a lo largo de su trayectoria; de manera similar, en las matemáticas se trata como una medida para observar el valor más alto o bajo de una variable. 5. ¿Cuáles son los materiales utilizados en la sesión? Los materiales utilizados en el laboratorio son: Computadora personal con programa Pasco Interface USB Link Sensor de movimiento Sensor de fuerza Soportes universales (2) Varillas (2) Nuez doble(2) Pavillo Pesa Resorte 6. ¿Explica cómo hallo la constante experimental y/o empírica Utilizando fuerza vs desplazamiento?
Medimos la deformación del resorte estirado con La posición posi ción normal del mismo (X) luego Sostenemos el sensor de movimiento a la misma Altura que el sensor de fuerza, Aplicamos una breve fuerza (F) hacia hacia abajo (sin que se balance), luego hacer una toma por 10 segundos, en la gráfica que nos arroja sacamos la constante con la formula K”. (N/m).
7. ¿Explica el procedimiento para hallar la ecuación sinusoidal en la Gráfica posición vs tiempo? En esta prueba ya no utilizamos el sensor de fuerza, sino una pesa de masa despreciable. Empezamos midiendo la longitud final (Lf) y la longitud inicial (Li). Luego se realizó una nueva prueba en el programa PASCO de posición vs tiempo, se dio clic en “grabar” e inmediatamente después aplicamos una fuerza al resorte es peramos por 5 segundos, en ese tiempo se forma la gráfica en el programa Pasco. 8. Relata el procedimiento para hallar la amplitud y el periodo en la Gráfica velocidad vs tiempo. tiempo.
en esta fórmula remplazamos los datos Para hallar el periodo se utilizó la formula que nos arroja el programa Pasco y para la amplitud lo determinamos a través de la formula sinusoidal V = - ω A sen (ω t + ) de tabla y gráfico en el tiempo que se demora para realizar un ciclo.
=
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VIII.
IX.
X.
CONCLUSIONES: Se aprendió a determinar la constante experimental y de manera empírica. En este laboratorio se aprendió a determinar la velocidad máxima, la velocidad angular, la constante de fase, el período y la amplitud promedio en forma experimental. las oscilaciones que genero el péndulo dependió de la forma de como nosotros lo estiramos al resorte, de eso va a depender una oscilación sea sinusoidal. Se logró el desplazamiento V en función del tiempo.
RECOMENDACIONES: Al momento de estirar el resorte debemos hacerlo suavemente para que el sensor de movimiento lo pueda captar y así las oscilaciones os cilaciones sean constantes. Antes de empezar debemos escuchar escuchar las recomendaciones del profesor, para así no tener tener problemas al momento de realizar el laboratorio. Se debe tener cuidado con los instrumentos de dicho laboratorio, por otro lado cuando amarramos la pesa al resorte se debe amarrar bien, para que así no se caiga en el trascurso del laboratorio.
BIBLIOGRAFÍA: Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (volumen 2) Sánchez Guillén, Joaquín. Braun, Mijail A. (1993). Física cuántica. Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young, Física, Aguilar, Madrid, 1981, pp. 1134.
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