Informe Circulo de Mhor

Dpto. ciencias de la ingeniería y construcción. Universidad Católica del Norte. Antofagasta miércoles 03 de Junio 0!"

Círculo de Mohr 

 Nombres: Camilo Abarca. Nicolás Marín. Oscar Palma. Claudio Guerra. Josué Morales. Asignatura: Mecánica de Suelos. Proesor: !oberto Galleguillos.

Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

Introducción: Al igual "ue la ma#oría de los materiales$ los suelos allan al ser sometidos a esuer%os de tracci&n o a esuer%o cortantes. 'os esuer%os de tracci&n dan lugar a la ormaci&n de isuras "ue (ueden signiicar la alla del material. Por otra (arte en la ma#oría ma#oría de los (roblemas (roblemas "ue se (resenta en geotecnia geotecnia solo solo la resistencia resistencia a la alla (or  cortes es de interés. 'a alla (or corte se inicia en un (unto de la masa de suelo cuando se alcan%a simu simult ltán ánea eame ment ntee a lo larg largo o de un (lan (lano o dete determ rmin inad ado o una una comb combin inac aci& i&n n críti crítica ca de esuer esuer%os %os normal normales es # cortan cortantes tes.. Para in)est in)estiga igarr estas estas combin combinaci acione oness critic criticas as se han desarrollad desarrollado o )arios ti(os ti(os de ensa#os$ ensa#os$ dentro de los cuales cuales el mas usado es el ensa#o ensa#o tria*ial. tria*ial. +ste ensa#o ensa#o (ermite (ermite determina determinarr los (arámetros (arámetros undament undamentales ales "ue caracteri%an caracteri%an com(ortamiento mecánico mecánico del suelo tales tales como el ángulo ángulo de ricci&n interna interna del suelo # de cohesi&n. +l círculo de Mohr nos (ermite obtener los esuer%os actuantes sobre el suelo # su tra#ectoria.

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

Esfuerzos en una masa de suelo Concepto de esfuerzo efectivo en un sistema de partículas 'a igura siguiente muestra una (e"ue,a celda de medici&n hi(otética -elemento A enterrada en una masa de suelo.

/maginemos "ue esta celda se ha colocado de tal orma "ue las (artículas del suelo no se han des(la%ado. 'os diagramas de dicha igura re(resentan las caras hori%ontal # )ertical del elemento A$ con las (artículas de suelo "ue cargan sobre esas caras. +stas (artículas e0ercen generalmente uer%as normales # tangenciales sobre dichas caras. Si cada cara es cuadrada$ de lado a $ (odemos deinir los esuer%os "ue act1an sobre la celda (or:

2onde N) # Nh re(resentan res(ecti)amente las 4) # 4h son res(ecti)amente las

fuerzas normales en direcciones )erticales # hori%ontales3

fuerzas tangenciales  en direcciones )ertical # hori%ontal3 # σ  )$ σ  h$ τ  ) # τ  h

re(resentan los esuer%os corres(ondientes. 2e esta orma hemos deinido cuatro esuer%os "ue$ al menos te&ricamente$ (ueden )isuali%arse # medirse directamente.

+n este a(artado$ e*ce(to cuando se indi"ue lo contrario$ se su(ondrá "ue la (resi&n en la ase intersticial del suelo es nula3 es decir igual a la (resi&n en la atmosérica. 2e a"uí "ue las uer%as N ) $Nh $4 ) # 4 h se deben 1nicamente a las uer%as transmitidas a tra)és del es"ueleto mineral. +n un suelo seco$ el esuer%o (uede imaginarse como la uer%a e*istente en el es"ueleto mineral (or unidad de área de suelo.

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

!ealmente$ es bastante diícil medir con (recisi&n los esuer%os e*istentes en el interior de un suelo$  (rinci(almente debido a "ue la (resencia de un medidor altera el cam(o de esuer%os "ue e*istiría si a"uel no se hubiera colocado. Con ob0eto de "ue nuestra deinici&n de esuer%os se (ueda a(licar con inde(endencia de un medidor$ (odemos hacer (asar un (lano imaginario a tra)és del suelo$ como se indica en la igura a continuaci&n.

+ste (lano atra)esara los granos minerales # los es(acios intersticiales. Puede suceder "ue este (lano (ase a tra)és de uno o más (untos de contacto entre (artículas. +n cada (unto en "ue este (lano atra)iesa materia mineral$ la uer%a transmitida a tra)és del es"ueleto mineral (uede descom(onerse en uer%as normales # tangenciales al (lano. 'as com(onentes tangenciales (ueden a su )e% descom(onerse seg1n un (ar de e0es coordenados. 'a suma de las com(onentes normales al (lano de todas las uer%as$ di)idida (or el área del (lano es el esuer%o normal

σ  "ue act1a sobre dicho (lano. Análogamente$ la suma de todos los com(onentes tangenciales

sobre el (lano en la direcci&n *$ (or e0em(lo$ di)idida (or el área de este (lano es el esuer%o tangencial o cortante

τ 

*

en la direcci&n *.

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

Análisis de 4ensiones

1. Tensiones planas 'as condiciones de tensi&n a las cuales se encuentra sometido un suelo en (articular$ son e0em(los de un estado de tensi&n llamado tensión plana. Para e*(licar la tensi&n (lana$ consideraremos el elemento de tensi&n mostrado en la igura 5.a. +ste elemento es ininitesimal en tama,o # (uede esbo%arse como un cubo o un (aralele(í(edo rectangular. 'os e0es *#% son  (aralelos a los bordes del elemento$ cu#as caras se designan seg1n las direcciones de sus normales dirigidas hacia uera3 Cuando el material esta en tensi&n (lana en el (lano *#$ s&lo las caras * # # del elemento están sometidas a tensiones # todas las tensiones act1an (aralelamente a los e0es * e # como se muestran en la igura 5.a. +sta condici&n de tensi&n es mu# com1n (or"ue está (resente en la su(ericie de cual"uier cuer(o tensionado$ e*ce(to en (untos donde las cargas e*ternas act1an sobre la su(ericie. Tensión normal  σ   tiene un subíndice "ue identiica la cara sobre la "ue act1a la tensi&n3 (or e0em(lo$ la

tensi&n

σ   x

act1a sobre la cara  x del elemento # la tensi&n

σ   y

$ sobre la cara #. Puesto "ue el tama,o del

elemento es ininitesimal$ las tensiones normales "ue act1an sobre las caras o(uestas son iguales. 'a convención de signos (ara las tensiones normales es la usual3 es decir$ la tracci&n es (ositi)a # la com(resi&n es negati)a.

-a

-b

-c

Figura 1 +lementos en tensi&n (lana: -a )ista tridimensional de un elemento orientado seg1n los e0es  xyz  -b )ista bidimensional del mismo elemento -c )ista bidimensional de un elemento orientado seg1n los e0es  x1y1z1.

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

'a tensión tangencial  τ   tiene dos subíndices 6 el (rimero re(resenta la cara sobre la "ue act1a la tensi&n  y la segunda da el sentido sobre esa cara7. 'a con)enci&n de signos  (ara las tensiones tangenciales es como sigue. 8na tensi&n tangencial es (ositi)a cuando act1a sobre una cara (ositi)a de un elemento en el sentido (ositi)o de un e0e # es negati)a cuando act1a sobre una cara (ositi)a de un elemento en el sentido negati)o de un e0e. 'a con)enci&n de signos anterior es congruente con el e"uilibrio del elemento$ (or"ue sabemos "ue las tensiones tangenciales sobre caras o(uestas de un elemento ininitesimal deben ser iguales en magnitud # o(uestos en sentido3 (or lo tanto$ de acuerdo con nuestra con)enci&n de signos$ una tensi&n (ositi)a

τ   xy

 act1a hacia arriba sobre la cara

 (ositi)a -igura 5.a # hacia aba0o sobra la cara negati)a. 2e manera similar$ las tensiones

τ   yx

"ue act1an sobre

las caras su(erior e inerior del elemento son (ositi)as aun"ue tengan sentidos o(uestos.

Sabemos también "ue las tensiones tangenciales sobre (lanos (er(endiculares son iguales en magnitud # tienen signos tales "ue ambas tensiones se acercan o ale0an de la línea de intersecci&n de las caras. +n tanto

τ   xy

 #

τ   yx

sean (ositi)as en los sentidos mostrados en la igura$ son congruentes con esta inormaci&n3 (or lo tanto$ notamos "ue:

τ  xy = τ  yx

1.1 Tensiones sobre secciones inclinadas Ahora estamos listos (ara considerar las tensiones "ue act1an sobre secciones inclinadas$ su(oniendo "ue se conocen las tensiones

σ   x

$

σ   y

 #

τ   xy

 -igura 5.a # 5.b. Para re(resentar las tensiones "ue act1an sobra una

secci&n inclinada$ ahora tomamos en cuenta un nue)o elemento de tensi&n -igura 5.c "ue se encuentra en el mismo (unto en el material "ue el elemento original -igura 5.b. Sin embargo$ el nue)o elemento (osee caras  (aralelas # (er(endiculares a la direcci&n inclinada. Asociados con este nue)o elemento se tienen los e0es  x1$ y1 #  z1$ tales "ue el e0e z1 coincide con el e0e z  # los e0es x1y1 están girados en sentido anti horario un ángulo θ  con res(ecto a los e0es xy. 'as tensiones normales # tangenciales "ue act1an sobre este nue)o elemento se denotan σ   x5 $ σ   y5 $ τ  x5 y5 #

τ     y

 x5

5

$ usando las designaciones (or subíndices # con)enciones de signos descritas (ara las tensiones "ue act1an sobre el elemento xy. 'as conclusiones anteriores relati)as a las tensiones tangenciales a1n son a(licables3 es decir$ τ  x  y = τ  y 5 5

5 x5

5.9

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

A (artir de esta ecuaci&n # del e"uilibrio del elemento$ )emos "ue las tensiones tangenciales que actúan sobre las cuatro caras de un elemento en tensión plana son conocidas si determinamos la tensión tangencial que actúa  sobre cualquiera de las caras. 'as tensiones "ue act1an sobre el elemento inclinado  x1y1 -igura 5.c (ueden e*(resarse en términos de las tensiones sobre el elemento  xy -igura 5.b usando ecuaciones de e"uilibrio. Con este in$ escogemos un elemento de tensi&n en orma de cu,a "ue se muestra en la igura 9.a "ue tiene una cara inclinada "ue es la misma "ue la cara *5 del elemento inclinado -igura 5.c. 'as otras dos caras laterales de la cu,a son (aralelas a los e0es  x e y. A in de escribir las ecuaciones de e"uilibrio (ara la cu,a$ necesitamos un diagrama de cuer(o libre "ue muestre las uer%as "ue act1an sobre las caras. Sea  A0 el área de la cara i%"uierda -esto es$ la cara negati)a  x. +ntonces las uer%as normales # cortantes "ue act1an sobre dicha cara son σ   x5 A:  #

τ   xy  A:

$ seg1n se a(recia en el diagrama

de cuer(o libre de la igura 9.b. +l área de la cara inerior -o cara # negati)a es  A0tg(θ) # el área de la cara inclinada -o cara x1 (ositi)a es A0sec(θ). Así$ las uer%as normales # cortantes "ue act1an sobre esas caras tienen las magnitudes # sentidos mostrados en la igura.

Figura 2 +lemento de tensi&n en orma de cu,a en tensi&n (lana: -a tensiones "ue act1an sobre el elemento -b uer%as "ue act1an sobre el elemento -diagramas de cuer(o libres.

'as uer%as "ue act1an sobre las caras i%"uierdas e inerior (ueden descom(onerse en com(onentes ortogonales "ue act1an en las direcciones  x1 # y1. +ntonces (odemos obtener dos ecuaciones de e"uilibrio sumando uer%as en tales direcciones3 la (rimera ecuaci&n$ obtenida sumando uer%as en la direcci&n  x1$ es

σ  x5 A: sec(θ ) − σ  x A: cos (θ ) − τ  xy A: sen- (θ ) − σ  y A: tg (θ ) sen- (θ  ) + τ  yx A: tg (θ  ) cos (θ  ) = :

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

2e la misma manera$ sumamos las uer%as en la direcci&n #5 obtenemos

τ  x  y  A: sec(θ ) + σ  x A: sen(θ ) − τ  xy A: cos(θ ) − σ  y A:tg (θ ) cos(θ ) + τ  yx A:tg (θ ) sen(θ ) = : 5 5

τ  xy = τ  yx

Si usamos la relaci&n

σ  x

5

 sim(liicamos # reordenamos$ obtenemos estas dos ecuaciones:

= σ  x cos9 (θ ) + σ  y sen9 (θ ) + 9τ  xy sen(θ ) cos(θ )

1.a

= −(σ  x − σ  y  sen(θ ) cos(θ ) + τ  xy ( cos9 ( θ ) − sen9 ( θ ) )

1.b

τ  x  y

5 5

'as ecuaciones -5.;a # -5.;b dan las términos del ángulo θ  # las tensiones

σ   x

tensiones normales # tangenciales "ue act1an sobre el (lano  x1 en $

σ   y

 #

τ   xy

 "ue act1an sobre los (lanos  x #  y.

5.9  Ecuaciones de transformación para tensión plana

'as ecuaciones -5.;a # -5.;b (ara las tensiones sobre una secci&n inclinada (ueden e*(resarse de manera más con)eniente introduciendo las siguientes identidades trigonométricas:

cos

9

5

(θ  ) = (5 + cos( 9θ ) )

 sen 9 ( θ  )

9

= 5 (5 − cos( 9θ ) ) 9

 sen ( θ ) cos ( ϑ )

= 5 sen( 9θ ) 9

Cuando se hacen estas sustituciones$ resultan las ecuaciones σ  x

5

τ  x  y

5 5

Se conocen como

=

σ  x

=−

+ σ  y 9 σ  x

+

σ  x

− σ  y 9

− σ  y 9

(

cos 9θ 

) + τ  xy sen( 9θ  )

sen ( 9θ ) + τ xy cos ( 9θ )

1.!a 1.!b

ecuaciones de transformación para tensión plana  (or"ue transorman las com(onentes de

tensi&n de un con0unto de e0es en otro. Ahora bien$ como se e*(lic& antes$ el estado de tensi&n intrínseco en el  (unto considerado es el mismo$ #a "ue lo re(resentan tensiones "ue act1an sobre el elemento  xy -igura 5.b o sobre el elemento inclinado  x1y1 -igura 5.c.

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

Puesto "ue las ecuaciones de transormaci&n nada más se obtu)ieron a (artir del e"uilibrio del elemento$ son a(licables a tensi&n en cual"uier ti(o de material$ sea éste lineal o no lineal$ elástico o inelástico. 8na im(ortante obser)aci&n relati)a a las tensiones normales (uede obtenerse de las ecuaciones de transormaci&n. Como asunto (reliminar$ notamos "ue la tensi&n normal

σ   y5

 "ue act1a sobre la cara  y1 del

elemento inclinado -igura 5.c (uede obtenerse de la ecuaci&n 5.
σ  y

5

=

σ   y5 :

σ  x

+ σ  y σ  x − σ  y cos( 9θ ) − τ  xy sen ( 9θ  ) − 9

Sumamos las e*(resiones (ara

9

σ   x

 #

σ   y

1."

 -+cs. 5.
1.#

σ  x5 + σ  y5 = σ  x + σ  y

+sta ecuaci&n muestra "ue la suma de las tensiones normales "ue act1an sobre las caras (er(endiculares de elementos de tensi&n (lana -en un (unto dado de un cuer(o sometido a tensiones es constante e inde(endiente del ángulo θ .

2 Tensiones principales $ tensiones tangenciales m%&imas 2.2 Tensiones principales 'as tensiones normales má*ima # mínima$ llamadas

tensiones principales$ (ueden encontrarse con la ecuaci&n

de transormaci&n (ara la tensi&n normal σ   x5  -+c. 5.
9

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'a ecuaci&n (ara la deri)ada es:

d σ  x5 d θ 

= −(σ  x − σ  y ) sen( 9θ ) + 9τ  xy cos( 9θ ) = :

9.5

2e donde obtenemos:

tg ( 9θ  p ) =

+l subíndice p indica "ue el ángulo

θ   p

9τ  xy

σ  x

9.9

− σ  y

 deine la orientaci&n de los

planos principales 3 es decir$ los (lanos sobre

los "ue act1an las tensiones (rinci(ales. 2os )alores del ángulo

9θ   p

en el inter)alo de  a ;>? se (ueden obtener de la ecuaci&n -9.9. +stos )alores

diieren en 5@?$ con un )alor entre  # 5@? # el otro entre 5@? # ;>?3 (or lo tanto$ el ángulo )alores "ue diieren en ?$ un )alor entre  # ? # el otro entre ? # 5@?. 'os dos )alores de como

'ngulos principales . Para uno de estos ángulos$ la tensi&n normal

σ   x

5

θ   p θ   p

 tiene dos

 se conocen

 es una tensi&n normal m#xima3

 (ara el otro$ es una tensi&n (rinci(al m$nima. Como los ángulos (rinci(ales diieren en ?$ )emos "ue las tensiones principales ocurren sobre planos mutuamente perpendiculares . 'as tensiones (rinci(ales (ueden calcularse sustitu#endo cada uno de los )alores de

θ   p

 en la (rimera ecuaci&n

de transormaci&n de tensiones -+c. 5.
9

 σ  x − σ  y      % =    + τ xy   9  

9

9.;

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

Figura 

!e(resentaci&n geométrica de la ecuaci&n -9.9

'a cantidad % siem(re es un n1mero (ositi)o # al igual "ue los otros dos lados del triángulo$ tiene unidades de tensi&n. 2el triángulo obtenemos dos relaciones adicionales:

) = σ  − σ 

(

 x

cos 9θ  p

t 

9.
9 %

 sen ( 9θ  p )

τ  xy

=

9.
 %

Al sustituir estas e*(resiones (ara cos 9θ  p  #  sen 9θ  p  en la ecuaci&n -5.
σ 5

= σ  x =

σ  x

5

+ σ  y  σ  x − σ  y   σ  x − σ t     τ  xy        +  + ( ) τ      xy    9 %     9 9        %  

'uego de sustituir el )alor de  % de la ecuaci&n -9.; # de ordenar de manera algebraica$ se tiene

σ 5

=

σ  x

+ σ  y 9

9

 σ  − σ    +   x  y     + τ xy   9  

'a menor de las tensiones (rinci(ales se denota

σ  9

9

9.=

$ (uede encontrarse a (artir de la condici&n de "ue la suma de

las tensiones normales sobre (lanos (er(endiculares es constante -+c. 5.>:

σ 5 + σ 9

= σ  x + σ  y

9.>

Sustituimos la e*(resi&n (ara σ  5  en la ecuaci&n -9.>$ des(e0amos

σ  9

σ 9

σ  9

 # obtenemos

= σ  x + σ  y − σ 

5

=

σ  x

+ σ  y 9

9

 σ  − σ    −   x  y     + τ xy   9  

9

9.B

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2. (ngulos principales 2enotemos ahora los dos ángulos "ue deinen los (lanos (rinci(ales con θ  p5  # θ  p9 $ corres(ondientes a las tensiones (rinci(ales σ  5  #

σ  9

. Ambos ángulos (ueden determinarse de la ecuaci&n (ara tg ( 9θ  )  -+c. 9.93 sin

embargo$ no (odemos saber de esa ecuaci&n cuál ángulo es θ  p  # cuál es θ  p9 . 8n (rocedimiento sim(le (ara 5

identiicarlos es tomar uno de los )alores # sustituirlo en la ecuaci&n (ara σ   x5  -+c. 5.
5

 será σ  5  o

σ  9

 -su(oniendo "ue #a hemos encontrado σ  5  #

σ  9

 de las ecuaciones 9.= # 9.B$ lo "ue

 (ermite relacionar los ángulos (rinci(ales con las dos tensiones (rinci(ales. Otro método (ara relacionar los ángulos (rinci(ales con las tensiones (rinci(ales es usar las ecuaciones 9.
θ   p

 #a "ue el 1nico ángulo "ue satisace las dos ecuaciones es θ  p5 . +ntonces (odemos reescribir 

estas ecuaciones como sigue:

(

cos 9θ  p

) = σ 

− σ  y

 x

5

 sen( 9θ  p5 )

=

9.@a

9 %

τ xy

9.@b

 %

+*iste s&lo un ángulo entre  # ;>? "ue satisace ambas ecuaciones. Así$ el )alor de θ  p  (uede determinarse en 5

orma 1nica con las ecuaciones 9.@a # 9.@b. +l ángulo θ  p9  corres(ondiente a

σ  9

 deine un (lano (er(endicular

al (lano deinido (or θ  p 3 (or lo tanto$ θ  p9  (uede tomarse como ? ma#or o ? menor "ue θ  p . 5

5

2.! Tensiones tangenciales sobre los planos principales 8na característica im(ortante de los (lanos (rinci(ales (uede obtenerse de la ecuaci&n de transormaci&n (ara las tensiones tangenciales -+c. 5.
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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

obser)aci&n "ue sigue relati)a a los (lanos (rinci(ales: las tensiones tangenciales son cero sobre los planos  principales.

2." Tensiones tangenciales m%&imas a encontradas las tensiones (rinci(ales # sus direcciones (ara un elemento en tensi&n (lana$ se determinan las tensiones tangenciales má*imas # los (lanos sobre los "ue act1an. 'as tensiones tangenciales τ  x5 y5  "ue act1an sobre (lanos inclinados están dados (or la segunda ecuaci&n de transormaci&n -+c. 5.
θ   $

igualamos a cero # obtenemos

d τ  x5 y5 θ 

= −(σ  x − σ  y ) cos( 9θ ) + 9τ  xy sen( 9θ ) = :

9.

2e donde:

tg ( 9θ  s )

+l subíndice s indica "ue el ángulo

θ   s

=−

σ  x

− σ  y

9.5

9τ  xy

 deine la orientaci&n de los (lanos de tensiones tangenciales má*imas

 (ositi)as # negati)as. 'a com(araci&n de la ecuaci&n -9.5 (ara

tg ( 9θ  s )

=−

θ   s

 con la -9.9 (ara

5

tg ( 9θ  p )

θ   p

 muestra "ue

= − cot ( 9θ  p )

A (artir de esta ecuaci&n (odemos obtener la siguiente relaci&n entre los ángulos

θ  s = θ  p ± <=

9.55

θ   s

 #

θ   p

:

9.59

+sta ecuaci&n muestra "ue los planos de tensión tangencial m#xima ocurren a &'" respecto a los planos  principales. +l (lano de la tensi&n tangencial má*ima (ositi)a

τ  m#x

está deinido (or el ángulo θ  s $ (ara el cual son 5

a(licables las siguientes ecuaciones:

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

(

τ  xy

cos 9θ  s

5

)=

 sen ( 9θ  s

5

)=−

9.5;a

 % σ  x

− σ  y

9.5;b

9 %

+n donde  % esta dado (or las ecuaciones -9.;. Además$ el ángulo θ  s  se relaciona con el ángulo θ  p5   como 5

sigue:

θ  s

5

= θ p − <=?

9.5<

5

'a tensi&n tangencial má*ima corres(ondiente se obtiene sustitu#endo las e*(resiones (ara

 sen

9θ  s

5

cos 9θ  s

5

#

 en la segunda ecuaci&n de transormaci&n -+c. 5.
9

τ m#x

 σ  − σ    =   x  y     + τ  xy   9  

9

9.5=

'a tensi&n tangencial má*ima negati)a τ  min  tiene la misma magnitud (ero signo o(uesto. Otra e*(resi&n (ara la tensi&n tangencial má*ima se (uede obtener a (artir de las tensiones (rinci(ales σ  5  # $ "ue dan las ecuaciones -9.= # -9.>. !estamos la e*(resi&n (ara

σ  9

σ  9

 de la e*(resi&n (ara σ  5  # com(arándola

luego con la ecuaci&n -9.5=$ )emos "ue:

τ m#x

=

σ 5 − σ 9 9

9.5>

+ntonces$ la tensión tangencial m#xima es igual a la mitad de la dierencia de las tensiones principales .

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 CI)C*+, -E ,/) 0')' TEI3 0+'' 'as ecuaciones de transormaci&n (ara la tensi&n (lana (ueden re(resentarse en orma gráica (or medio de un tra%ado conocido como

círculo de o4r. +sta re(resentaci&n gráica es de gran utilidad (or"ue (ermite

)isuali%ar las relaciones entre las tensiones normales # las tangenciales "ue act1an sobre )arios (lanos inclinados en un (unto de un cuer(o sometido a tensiones3 sir)e también (ara calcular las tensiones (rinci(ales$ las tensiones tangenciales má*imas # las tensiones en (lanos inclinados. Además el circulo de Mohr es )álido no s&lo (ara tensiones$ sino también (ara otras cantidades de naturale%a matemática similar$ tales como las deormaciones # los momentos de inercia.

.2 Ecuaciones del círculo de o4r 'as ecuaciones del círculo de Mohr (ueden deducirse de las ecuaciones de transormaci&n (ara la tensi&n (lana -+cs. 5.
−

σ  x

5

τ  x  y

5 5

σ  x

=−

+ σ  y 9 σ  x

=

− σ  y 9

σ  x

− σ  y 9

(

) + τ  xy sen( 9θ )

cos 9θ 

;.5a

sen ( 9θ ) + τ xy cos ( 9θ )

;.5b

Por la geometría analítica$ se (odrá reconocer "ue ambas son las ecuaciones de un círculo en orma (aramétrica$ de donde el ángulo 9θ   es el (arámetro # las tensiones σ   x5 # τ  x  y  son las coordenadas. +n esta eta(a no es 5

5

necesario identiicar la naturale%a de las ecuaciones3 si eliminamos el (arámetro$ el signiicado de las ecuaciones resultará claro. Para su(rimir el (arámetro 9θ  $ ele)amos al cuadrado ambos lados de cada ecuaci&n # luego sumamos ambas. +l resultado es:

9

9

σ  + σ       σ  x − σ  y    σ  x −  x  y   + = τ     x  y  9     + τ xy 9         9

5

5 5

9

;.9

15

Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

+sta ecuaci&n (uede escribirse en orma más sim(le usando la siguiente notaci&n

σ  prom

=

σ  x

+ σ  y

;.;a

9 9

 σ  x − σ  y      % =    + τ xy   9  

9

;.;b

'a ecuaci&n -;.9 toma la orma

(

σ   x 5

− σ   prom ) 9 + τ  x  y 9 =  % 9

;.<

5 5

Due es la ecuaci&n algebraica de un círculo. 'as coordenadas son σ   x5 # τ  x  y $ el radio es  % # el centro del 5

círculo tiene las coordenadas σ  x

5

5

= σ  prom  # τ  x  y = : . 5

5

. Construcción del círculo de o4r +l círculo de Mohr (uede construirse de )arias maneras$ de(endiendo de

cuáles sean las tensiones "ue se

cono%can # cuáles se descono%can. Para nuestro (ro(&sito inmediato$ "ue es mostrar las (ro(iedades básicas del círculo$ su(ondremos "ue conocemos las tensiones

σ   x

$

σ   y

#

τ   xy

 "ue act1an sobre los (lanos  x #  y de un

elemento en tensi&n (lana -igura 5.b. Como )eremos$ esta inormaci&n es suiciente (ara construir el círculo. 'uego$ como con el círculo dibu0ado$ (odemos determinar las tensiones σ   x5 $ σ   y5 $ τ  x5 y5  "ue act1an sobre un elemento inclinado -igura 5.c. 4ambién (odemos obtener las tensiones (rinci(ales # las tensiones tangenciales má*imas con a#uda del círculo.

Con

σ   x

$

σ   y

 #

τ   xy

 conocidos$ el (rocedimiento (ara construir el círculo de Mohr se muestra a continuaci&n:

5. 2ibu0e un con0unto de e0es coordenados con σ   x5  como abscisa -(ositi)a hacia la derecha # τ  x5 y5  como ordenada -(ositi)o hacia arriba. 9. 'ocalice el centro C del círculo en el (unto con coordenadas σ  x

5

= σ  prom

# τ  x  y 5

5

=:.

16

Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

;. 'ocalice el (unto A$ "ue re(resenta las condiciones de tensi&n sobre la cara  x del elemento mostrado en la

= σ  x  #

igura <$ marcando sus coordenadas σ  x

5

τ  x  y

5 5

= τ  xy . Note "ue el (unto A corres(onde a θ  = : .

Obser)e también "ue la cara * del elemento -igura < esta marcada A* (ara mostrar su corres(ondencia con el (unto A del círculo. <. 'ocalice el (unto E "ue re(resenta las condiciones de tensi&n sobre la cara # del elemento mostrado en la igura <$ tra%ando sus coordenadas σ  x

5

θ  = A:? .

= σ  y

#

τ  x  y = −τ  xy 5 5

. Note "ue el (unto  +  corres(onde a

Además$ la cara y del elemento -igura < esta marcada +* (ara mostrar su corres(ondencia

con el (unto + en el diagrama. =. 2ibu0e una línea del (unto A al (unto +. +sta línea es un diámetro del círculo # (asa (or el centro , . 'os  (untos A #  +$ "ue re(resentan las tensiones sobre (lanos a ?$ están en e*tremos o(uestos del diámetro -#$ (or lo tanto$ están a 5@? uno del otro sobre el círculo. >. Con el (unto ,   como centro$ trace el círculo de Mohr (ara los (untos  A #  +. +l círculo dibu0ado de esta manera tiene radio % -+c. 9.;$ como se e*(one en el siguiente (árrao.

Figura 4

17

Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

.! Tensiones sobre un elemento inclinado: Consideraremos ahora las tensiones σ   x5 $ σ   y5 $ τ  x5 y5  "ue act1an sobre las caras de un elemento de tensi&n (lana orientado seg1n un ángulo

θ    res(ecto

al e0e x -igura <. Si se conoce el ángulo

θ   $

estas tensiones (ueden

determinarse con el círculo de Mohr. +l (rocedimiento es el siguiente. Sobre el círculo de la igura <$ medimos un ángulo 9θ   en sentido horario desde el radio ,A$ (or"ue el (unto A corres(onde a

θ 

= :  # es el (unto de reerencia desde donde medimos los ángulos. +l ángulo

9θ   locali%a el

 (unto -$ "ue -seg1n se e*(one en el (árrao siguiente tiene coordenadas σ   x5  # τ  x5 y5 3 (or lo tanto$ el (unto sobre el círculo$ el cual re(resenta las tensiones sobre la cara  x5  del elemento de la igura <. +n consecuencia$ esta cara del elemento se marca -* en la igura.  Note "ue un ángulo 9θ   sobre el círculo de Mohr corres(onde a un ángulo

θ    sobre

el elemento de tensi&n3 (or

e0em(lo$ el (unto 2 sobre el círculo esta a un ángulo 9θ   del (unto A$ (ero la cara  x5  del elemento mostrado en la igura < -la marca -*) esta a un ángulo

θ    de

la cara

 x del elemento ilustrado en la igura -la cara marcada

A*. 2e manera similar$ los (untos A # + están se(arados 5@? sobre el círculo$ (ero las caras corres(ondientes del elemento lo están (or ?. Para encontrar las tensiones de un elemento inclinado se desarrollaran las siguientes ecuaciones:

σ  x

5

=

σ  x

+ σ  y 9

+  % cos( β )

;.=a

τ  x  y   = %sen( β )

;.=b

5 5

2e esta manera "ueda demostrado "ue el (unto - sobre el círculo de Mohr$ deinido (or el ángulo 9θ  $ re(resenta las condiciones de tensi&n sobre la cara  x5  del elemento de tensi&n deinido (or el ángulo

θ   .

." Tensiones principales: Dui%á la determinaci&n de las tensiones (rinci(ales sea la a(licaci&n más im(ortante del círculo de Mohr. Note "ue al mo)ernos alrededor del circulo de Mohr -igura <$ encontramos "ue el (unto tangencial es cero3 (or consiguiente$ el (unto abscisa

σ  5  del

(unto

 .  5  da

 .  5   re(resenta

la

 .  5  en

donde la tensi&n

tensión principal  # un plano principal. 'a

la tensi&n (rinci(al algebraicamente ma#or # su ángulo 9θ  p5 desde el (unto de

18

Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

reerencia  A  -donde

θ 

=:

(ro(orciona la orientaci&n del (lano (rinci(al. +l otro (lano (rinci(al$ esta

re(resentado (or el (unto  . 9 $ diametralmente o(uesto al (unto

 .  5 .

Por la geometría del círculo$ )emos "ue la tensi&n (rinci(al más grande en términos algebraicos es:

σ 5 = /, + ,. 5 =

σ  x + σ y 9

+ %

 la tensi&n (rinci(al menor resulta:

σ 9

= /,  − ,.  = 5

σ  x + σ y 9

− %

.# Tensiones tangenciales m%&imas 'os (untos 0 5  # 0 9 $ "ue re(resentan los (lanos de tensiones tangenciales má*ima (ositi)a # má*ima negati)a$ res(ecti)amente$ se locali%a en la (arte inerior # su(erior del círculo de Mohr -igura <. +stos (untos están a los ángulos 9θ  = A:? de los (untos

 .  5

#  . 9 $ lo "ue concuerda con el hecho de "ue los (lanos de tensi&n

tangencial má*ima están orientados a <=? res(ecto de los (lanos (rinci(ales. 'as tensiones tangenciales má*imas son iguales en términos numéricos al radio  %  del círculo. Además$ las tensiones má*imas son iguales a la abscisa del (unto , $ "ue es la tensi&n normal (romedio

σ   prom

.

19

Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

E5ercicio1: +n un (unto sobre la su(ericie de un cilindro a (resi&n$ el material esta sometido a tensiones bia*iales σ  x =

A: 1pa  #

σ   y =

9: 1pa $ seg1n se )e sobre el elemento de tensiones de la igura 575a. 8sar el circulo de

Mhor (ara determinar las tensiones "ue act1an sobre un elemento inclinado en un ángulo de

θ 

= ;: ? .Considerar 

solo las tensiones en el (lano.

Figura 2-2 a) Elemento en tension plana b) Circulo de mhor correspondiente

olución: Construcci&n del círculo de Mhor. Comen%amos i0ando los e0es (ara las tensiones normales # tangenciales$ con σ   x5  (ositi)o

hacia la derecha # τ  x  y  (ositi)o hacia aba0o$ como se muestra en al igura 979b. 'uego situamos 5

5

el centro C del circulo sobre el e0e σ   x5  en el (unto en "ue la tensi&n es igual a la tensi&n normal (romedio.

σ  prom

=

σ  x

+ σ  y 9

=

A: 1pa

+ 9: 1pa 9

= == 1pa

+l (unto A$ "ue re(resenta las tensiones sobre la cara * del elemento - θ  σ   x5 =

A: 1pa

τ  x  y = 5 5

= : $ tiene coordenada:

:

2e manera similar$ las coordenadas dl (unto E$ "ue re(resentan las tensiones sobre la cara # - -θ  σ   x5 =

9: 1pa

τ  x  y = 5 5

=

A:?  $ son:

:

Ahora dibu0amos el circulo a tra)és de los (unto A # E con centro C # radio ! igual a:

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

9

 σ  x − σ  y   A: 1pa − 9: 1pa     + τ  xy =    % =     + : = ;= 1pa   9       9   9

9

= ;: ? .'as tensiones "ue act1an sobre un (lano orientado seg1n un ángulo θ  = ;: ?  están dados (or las coordenadas del (unto 2 "ue se halla a un ángulo 9θ  = >: ?  del (unto A -Figura 97

4ensiones sobre un elemento a

θ 

9b.

Por ins(ecci&n del círculo$ )emos "ue las coordenadas del (unto 2 son:

-Punto 2 =

σ   x5 = σ   prom +

% cos >:?

== 1pa + -;= 1pa-cos >:? 

=

B9.= 1pa

τ  x5 y5 = − %sen >: ? = − -;= 1pa - sen >:?  = −;:.; 1pa

2e manera similar$ (odemos encontrar las tensiones re(resentadas (or el (unto 2$ "ue corres(onde a un ángulo θ  = 59:? -o9θ  =

9<:?  :

-Punto 2 =

σ   x5 = σ   prom −

% cos >:?

== 1pa − -;= 1pa-cos >:? 

τ  x5 y5 =  %sen>: ? =

=

;B.= 1pa

-;= 1pa - sen>: ? 

=

;:.; 1pa

+stos resultados se (resentan en la igura 979 sobre un cro"uis de un elemento orientado a un ángulo θ  direcciones )erdaderas.

= ;: ? $ con todas las tensiones en sus Note "ue la suma

de las tensiones normales sobre el elemento inclinado es igual a

σ  x

+ σ  y $

o

55 M(a.

Figura 2-2 continuación Las tensiones que actúan sobre un elemento orientado a un θ  = ;: ?

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Mecánica de Suelos Método Círculo de Mohr

Conclusiones: 2e manera sencilla # rá(ida$ en este documento se (uede a(render$ com(render # desarrollar el análisis #a estudiado$ "ue (ermiten conocer los estados tensi&nales de cuer(os sometidos a esuer%os.

Se (uede agregar "ue$ aun"ue muchas técnicas gráicas #a no se utili%an en el traba0o en ingeniería$ el círculo de Mohr contin1a siendo de gran )alor (or"ue (ro(orciona una re(resentaci&n clara # sim(le de un análisis relati)amente com(licado. 'a re(resentaci&n graica del circulo de Mhor es de gran utilidad (or"ue (ermite )isuali%ar las relaciones entre las tensiones normales # tangenciales "ue act1an sobre )arios (lanos inclinados en un  (unto de un cuer(o sometido a tensiones3 (ermite calcular tensione (rinci(ales$ tangenciales má*imas # las tensiones en (lanos inclinados.

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