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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO El círculo trigonométrico es un círculo unitario que tiene su centro en el origen de coordenadas.
Y
r =1 X
0
Figura 1. Círculo trigonométrico.
Para la obtención de las Identidades Pitagóricas, puede apoyarse en el círculo trigonométrico. También se puede determinar el signo de las funciones trigonométricas como a continuación se ilustra.
Signos de las funciones trigonométricas sen θ
y cosθ .
Y
Y
r=1
θ
0
Abril de 2011
sen θ
sen θ
cos θ
X
r=1
θ cos θ 0
X
sen θ
positivo
sen θ
positivo
cos θ
positivo
cos θ
negativo
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Y
Y
cos θ sen θ
θ
cos θ
X
0
0
r=1
sen θ cos θ
θ
r=1
sen θ cos θ
negativo negativo
Figura 2. Signo de las funciones trigonométricas
sen θ
X
negativo positivo
sen θ y cos θ .
Ejemplo: El sen 30° es positivo y el cos 30° es positivo. El sen 135° es positivo y el cos 135° es negativo. El sen 225° es negativo y el cos 225° es negativo. El sen 315° es negativo y el cos 315° es positivo.
En la siguiente gráfica de la función senθ , se observa que en el intervalo
( 0°,180° )
o bien ( 0, π ) el senθ es positivo, mientras que de (180°,360° ) o bien
(π , 2π ) el
senθ es negativo.
f (θ )
θ
Figura 3. Función
Abril de 2011
sen θ .
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En la siguiente gráfica de la función cos θ , se observa que en los intervalos
( 0°,90°)
y
( 270°,360°)
⎛ π⎞ ⎛3 ⎞ o bien ⎜ 0, ⎟ y ⎜ π , 2π ⎟ , el cos θ es positivo, mientras ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠
⎛π 3 ⎞ que en el intervalo ( 90°, 270° ) o bien ⎜ , π ⎟ el cos θ es negativo. ⎝2 2 ⎠
f (θ )
θ
Figura 4. Función
cos θ .
Identidades Pitagóricas Utilizando el círculo trigonométrico, se pueden obtener las Identidades Pitagóricas, como se muestra a continuación. Y
1
1
θ
θ
sen θ X
cos θ
sen θ
cos θ
Empleando el teorema de Pitágoras se obtiene:
sen 2 θ + cos2 θ = 1 Figura 5. Representación gráfica del seno y del coseno del ángulo
θ
en el círculo
trigonométrico. Abril de 2011
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Y
sec θ
θ
Recta tangente tan θ
sec θ
1
tan θ
θ
X
1
Empleando el teorema de Pitágoras se obtiene:
1 + tan 2 θ = sec 2 θ Figura 6. Representación gráfica de la tangente y de la secante del ángulo
θ
en el
círculo trigonométrico.
Y
cot θ 1
cot θ
θ
csc θ
1 X
θ
csc θ
Empleando
el
teorema
de Pitágoras se obtiene:
1 + cot 2 θ = c sc 2 θ Figura 7. Representación gráfica de la cotangente y de la cosecante del ángulo
