Informe 4- Mov Oscilatorio Amortiguado (1)

[UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO]

I.

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INTRODUCCION

En el presente informe se expone un estudio sobre el comportamiento dinámico en un sistema pendular sometido a la fuerza resistiva del medio. Para ello se ha empleado un dispositivo electrónico capaz de percibir su posición relativa en muchos instantes de tiempo, permitiendo observar la variación de la amplitud en las oscilaciones. Gracias a esto se tomaron suficientes datos, los cuales al ser analizados han descrito características propias del movimiento amortiguado en la configuración experimental.

Las oscilaciones que desarrollan un M.A.S realmente no existen en la naturaleza ya que fuerzas disipativas, propias de cada medio, se oponen al movimiento haciendo que la amplitud de este, disminuya gradualmente a medida que el tiempo transcurre. Tales fuerzas son debidas a la rapidez desarrollada por las vibraciones además de la masa y la forma geométrica del objeto oscilante.

Un caso particular de este fenómeno es observado en la dinámica de los sistemas oscilatorios con dos grados de libertad, allí claramente se aprecia como el movimiento con el paso del tiempo, disminuye hasta finalmente detenerse.

Lo anterior se debe a que la fuerza resistiva del medio en cual se desarrolla el fenómeno, actúa en cada subsistema afectando la amplitud de sus respectivas oscilaciones y en definitiva, el estado dinámico en todo sistema.

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II. OBJETIVOS 

Observación del movimiento oscilatorio amortiguado y medición de sus parámetros característicos.



Medir experimentalmente la variación exponencial decreciente de la oscilación en un sistema oscilatorio con amortiguamiento.



Comprobar experimentalmente que existe una relación entre la amplitud y el tiempo en un péndulo con amortiguación.



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III. MATERIALES SOPORTE UNIVERSAL

XPLORER GLX

HILO

SENSOR DE MOV. CIRCULAR

BALANZA ANALITICA

ESFERA



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IV. FUNDAMENTO TEORICO OSCILACIONES AMORTIGUADAS En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fuerza de fricción o rozamiento. Cuando esto ocurre, la energía mecánica del movimiento oscilante disminuye con el tiempo y el movimiento se denomina amortiguado. La representación más sencilla y más común de una fuerza de amortiguamiento es aquella que la considera proporcional a la velocidad de la masa pero en sentido opuesto.

Donde b es una constante que describe el grado de amortiguamiento. Puesto que siempre está dirigida en sentido opuesto a la dirección del movimiento, el trabajo realizado por la fuerza es siempre negativo. Así pues, hace que disminuya la energía mecánica del sistema. La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un objeto de masa m situado en un muelle de constante k cuando la fuerza amortiguadora es

se escribe

Cuando la fuerza amortiguadora es pequeña comparada con kx, es decir, cuando b es pequeña, la solución de la ecuación es:



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En donde la frecuencia del movimiento es:

CLASES DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Resulta conveniente expresar la frecuencia de la vibración en la forma

En donde

representa la frecuencia de la oscilación en ausencia de

una fuerza de resistencia (el oscilador no amortiguado). En otras palabras, cuando la fuerza resistiva es cero y el sistema oscila con su frecuencia natural, o. a) AMORTIGUAMIENTO DEBIL.- Cuando la fuerza disipativa es pequeña en comparación con la fuerza de restitución, el carácter oscilatorio del movimiento se conserva pero la amplitud de la vibración disminuye con el tiempo y, finalmente el movimiento cesará. Este sistema se conoce como oscilador subamortiguado. En el movimiento con una constante de resorte y una partícula masiva dadas, las oscilaciones se amortiguan con más rapidez a medida que el valor máximo de la fuerza disipativa tiende al valor máximo de la fuerza de restitución. La solución de la ecuación diferencial del movimiento es la expresada anteriormente.



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b) AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO.- Si el amortiguamiento del oscilador aumenta suficientemente, puede llegar a alcanzar un valor crítico

, tal que

;

entonces, de acuerdo con la definición de la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas, será 

. Evidentemente, en estas condiciones no

hay oscilaciones y el oscilador regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o, a lo más, rebasándola una sóla vez. La condición de b = 2mo se conoce con el nombre de amortiguamiento crítico. En este caso, la solución de la ecuación diferencial es de la forma

Donde Ao y A1 son dos constantes de integración, que pueden expresarse en función de las condiciones iníciales, esto es, de la posición xo y de la velocidad vo de la partícula en el instante inicial:



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c) SOBREAMORTIGUAMIENTO.- El sobre amortiguamiento se presenta cuando . Entonces de acuerdo con la definición de la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas,  será imaginaria. En estas condiciones es evidente que no habrán oscilaciones, y la partícula regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o rebasándola una vez a lo sumo. Para

unas

condiciones

iníciales

dadas

cuanto

mayor

sea

el

amortiguamiento más tiempo empleará el sistema en quedar en reposo en la posición de equilibrio. Para el oscilador sobre amortiguado, la solución de la ecuación diferencial es de la forma



Con





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Donde A1 y A2 son dos constantes de integración cuyos valores dependerán

de las condiciones iníciales

FACTOR DE CALIDAD Observamos la ecuación obtenida para una oscilación subamortiguada:

Definimos ahora una constante de tiempo,  como

Que es el tiempo que tarda la energía en disminuir en el factor 1/e. Cuando el amortiguamiento es pequeño, b es pequeño y  es grande, el oscilador perderá una Laboratorio De Física II


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fracción muy pequeña de energía durante una oscilación. En este caso, la pérdida de energía por período viene dada por la ecuación

Donde T es el período. El amortiguamiento de un oscilador subamortiguado se describe normalmente mediante la magnitud adimensional Q denominada factor de calidad o factor Q. Si la energía total es E y la pérdida en un período es   

Así pues, el factor Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo:

Utilizando las ecuaciones anteriores podemos relacionar el factor Q con la constante de amortiguamiento y la constante de tiempo:



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V. ACTIVIDAD EXPERIMENTAL 1. Fije al soporte universal el sensor de movimiento circular como se muestra en la Figura 2. Cuelgue de la polea grande el péndulo. Amarre bien el hilo a esta polea. 2. Mira la masa y la distancia desde el eje de la polea hasta el centro de masa del cuerpo esta es la longitud “L” del péndulo. Anote los valores en la hoja de reporte. 3. Enchufe el cargador al tomacorriente de 220V y conecte este al Xplorer, espre a que este cargue automáticamente. Luego conecte el sensor de movimiento circular a un puerto del Xplorer y con AYUDA DEL PROFESOR ajuste la escala del Xplorer. 4. Luego active la tecla PLAY del Xplorer y seguidamente mueva la esfera 20 grados hacia un costado de la vertical y soltarlo. 5. Observe la pantalla del Xplorer y note que la amplitud de las oscilaciones disminuye en el tiempo. Cuando la oscilación se haya reducido en un 80% active nuevamente la tecla PLAY. 6. Directamente de la pantalla del Xplorer tome lectura del tiempo y de la máxima amplitud de las oscilaciones y anote los valores en la hoja de reporte. 7. Repita el paso anterior, pero tomando lectura para cada 3 oscilaciones hasta completar la tabla de la hoja de reporte. 8. Directamente de la pantalla de Xplorer tome lectura del periodo T de las oscilaciones del periodo amortiguado. Anote el valor en la hoja de reporte. 9. Grafique en papel milimetrado. 10. Repita todos los pasos de la experiencia anterior pero con la otra esfera, para completar la tabla 2.



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VI. CUESTIONARIO  Realice un grafico de amplitud vs tiempo para cada una de las oscilaciones estudiadas, el tiempo t en el eje X, la amplitud A en el eje Y. Escribir la ecuación matemática que describe esta grafica. La ecuación obtenida del grafico es:

Grafico 1:



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Grafico 2:



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 Realice la pregunta 1 en Data para los datos de la tabla 1. Luego con ajuste exponencial en base natural determine las constantes. Sea:

Tomando logaritmo natural:

Acomodando la ecuación:

Tiene la forma de la ecuación de la recta con pendiente negativa:

 Realice un grafico de ln(A) en el eje Y, el tiempo t en el eje X, con un ajuste de mininos cuadrados. Determine el parámetro de amortiguamiento  . 1ª Tabla:

t (s)

2.68

4.36

5.98

-0.27906

-0.62176

-1.0106

7.70

9.34

-1.210662 -1.3863



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2ª Tabla: t (s)

3.14

4.68

6.28

-1.0996

-1.1332

-1.14885

7.9 -1.1744

9.44 -1.1842

11.02 -1.21402

Grafico de la tabla 1:

De las ecuaciones:

   0  e  t y  e mx Laboratorio De Física II


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Ahora igualando:

   t  mx

Considerando X = t, entonces: m = -0.16817 Finalmente:

 = 0.16817

Grafico de la tabla 2:



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Del grafico anterior: m = -0.01357 Finalmente:

 = 0.01357



Con el resultado de  obtenido del problema anterior y junto a la ecuación 4, determine el coeficiente de viscosidad del aire y compare con el valor de la teoría. Partiendo de la ecuación:



b 3    d   2 m 2 m

3. Determine la frecuencia angular propia y la frecuencia angular amortiguada. ¿cuál es la diferencia entre estos dos valores?

 Frecuencia angular propia para la primera experiencia (bola grande y ligera):

√ √

Frecuencia angular amortiguada: Laboratorio De Física II


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√ √

Diferencias de frecuencias:

 Frecuencia angular propia para la segunda experiencia (bola pequeña y pesada ligeramente):

√ √

Frecuencia angular amortiguada: √ √

Diferencias de frecuencias:



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Como podemos observar la frecuencia angular propia y la frecuencia angular amortiguada se diferencian en un valor mínimo. 4. Calcular el periodo del péndulo simple y el periodo del péndulo amortiguado. Para la primera experiencia (bola grande y ligera):  Periodo del péndulo simple: √

√



Periodo del péndulo amortiguado:

√

Para la segunda experiencia (bola pequeña y pesada ligeramente): 

Periodo del péndulo simple: √

√


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Periodo del péndulo amortiguado:

√

5. ¿Cuál es el tiempo de relajamiento

de la oscilación amortiguada de

cada experiencia realizada en el laboratorio? De la ecuación (6): Tomamos logaritmo natural y se obtiene: Luego de la tabla: t (s)

0.94

2.42

3.86

5.34

6.8

8.24

9.72

0.443

0.347

0.286

0.245

0.217

0.193

0.174

Ahora la constante se obtiene aplicando el método de los mínimos cuadrados al logaritmo natural de la amplitud vs el tiempo, es decir reemplazando : PRIMERA TABLA t (s)

2.68

4.36

5.98

7.70

-0.27906

-0.62176

-1.0106

9.34

-1.210662 -1.3863

SEGUNDA TABLA t (s)

3.14

4.68

-1.0996

-1.1332

6.28

7.9

-1.14885 -1.1744

9.44 -1.1842

11.02 -1.21402



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NOTA: Los 2 últimos datos se eliminaron por no corresponder a las mediciones correctas en la primera tabla y en la segunda se eliminó el primer dato por el mismo error. Usando la fórmula: ∑

∑ ∑

∑ ∑

Ahora reemplazamos en la ecuación:



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6. Calcular la amplitud de las oscilaciones para los tiempos:

Aplicaremos la fórmula:

Para la primera experiencia (bola grande y ligera): : Amplitud inicial (0.743 rad)

Reemplazando valores:

Para la segunda experiencia (bola pequeña y pesada ligeramente): : Amplitud inicial (0.333 rad) Laboratorio De Física II

;

;


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Reemplazando valores:

7. calcule la energía mecánica para cada valor de la amplitud y tiempo de la tabla N° 1 y realice el gráfico de energía en función del tiempo Para calcular la energía mecánica se empleará la siguiente formula

además se tiene que la energía inicial es √

√ Datos:


.


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Reemplazamos y obtenemos la energía inicial que es:

.

Por lo tanto al comparar con la ecuación (*);

y usamos la

siguiente relación para hallar la constante de tiempo

,

Luego Solo queda reemplazar el valor de la energía inicial y de la constante de tiempo en la ecuación que permite calcular la energía mecánica en cualquier instante de tiempo, así tenemos:

A continuación presentamos la energía mecánica para cada tiempo de la primera tabla: Tiempo t (s)

Energía E (J)

0.94 2.42 3.86 5.34 6.8000 8.2400 9.7200



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Luego la gráfica de este cuadro:



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VII. RECOMENDACIONES Y CONCLUSIONES CONCLUSIONES Pudimos evidenciar que sí hay caída en el valor de la amplitud, y esta se relaciona con el tiempo. Por el gráfico obtenido a partir de los valores de la energía mecánica para cada tiempo, también se demostró que la energía no se conserva y disminuye con el tiempo. Las formulas conocidas para este tipo de oscilaciones tales como de la amplitud y la energía tienen relación con los gráficos obtenidos en el papel milimetrado pues son curvas, propias de las ecuaciones exponenciales.

VIII. BIBLIOGRAFIA  FISICA UNIVERSITARIA, Sears - Zemansky  FISICA, Serway - Jewett  http://www.lawebdefisica.com/dicc/oscil/


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