Incerteza de medição

Estat´ıstica para Metrologistas e C´ alculo de Incerteza

Instrutor: Dorival Leão

Estatcamp Consultoria em Estat´ıstica e Qualidade Rua: Adolfo Catani, 682 Jardim Macarengo

CEP: 13560-470

São Carlos/SP

Fone/Fax: (16) 3376-2047 E-mail: [email protected] Site: www.estatcamp.com.br Dezembro / 2007

ii

Sum´ ario 1 No¸c˜ oes B´ asicas de Estat´ıstica

1

1.1

Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Exposi¸caõ de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Distribui¸caõ de Freq¨ uências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.6

Medidas de Posi¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.7

Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.8

Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.9

Distribui¸caõ Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10 Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.11 Distribui¸caõ amostral do desvio padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.12 A Distribui¸cão t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.13 A estat´ıstica F e a distribui¸caõ F de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.14 Teste para Duas Variâncias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.15 Teste de Valor Extremo (Grubbs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.16 Teste de Dixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.17 Teste de Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.18 Teste de Igualdade das Variâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.18.1 Teste de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.18.2 Teste de Levene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.19 Compara¸caõ entre Sistemas de Medi¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Fundamentos do C´ alculo de Incerteza em Medi¸c˜ ao

41

2.1

Medi¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2

Erros, efeitos e corre¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Sumário

iii

2.3

Incerteza de Medi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4

Avalia¸cão da Incerteza Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5

Determina¸cão da Incerteza Padrão Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6

Determina¸cão da Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6.1

Comprova¸cão Metrológica - Equipamento de Medi¸cão . . . . . . . . . . . 60

2.7

Determina¸cão da Variância Agrupada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.8

Regras de arredondamento de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.9

Propaga¸cão da Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Estudos de Estabilidade

68

4 M´ etodo da ANOVA (Completo)

74

4.0.1

Método da ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 C´ alculo de Incerteza de um Rel´ ogio Comparador

92

5.1

Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2

Cálculo da Incerteza Padrão das grandezas de entrada . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3

5.4

5.2.1

Repetitividade (∆l ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.2

Incerteza Herdada do Padrão U (ls ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.3

Resolu¸cão do Calibrador (Res(Cal)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.4

Resolu¸cão do Relógio (Res(Rel)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.5

Cálculo da Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Cálculo de Incerteza do Relógio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3.1

Cálculo da Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.2

Graus de liberdade Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 C´ alculo de Incerteza de um Manˆ ometro

97

6.1

Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2

Cálculo da Incerteza Padrão das grandezas de entrada . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2.1

Repetitividade (∆l ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.2

Incerteza Herdada do Manômetro Padrão - U(Upadrão)

6.2.3

Resolu¸cão do Manômetro Pãdrão - U(Res(padra)) . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.4

Resolu¸cão do Manômetro - U(Res(man)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.5

Cálculo da Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

. . . . . . . . . 100

Sumário 6.3

iv Cálculo da Incerteza do Manômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.3.1

Cálculo da Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3.2

Graus de liberdade efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.3

Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.4

Expressão da Incerteza em Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7 C´ alculo de Incerteza de um Volt´ımetro Digital

103

8 C´ alculo de Incerteza no Ensaio de Tens˜ ao

105

8.1

Calibra¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.2

Aplica¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9 C´ alculo de Incerteza no Ensaio de Corrente

109

9.1

Calibra¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.2

Aplica¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10 C´ alculo de Incerteza no Ensaio de Impedˆ ancia

113

10.1 Calibra¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.2 Aplica¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A Parˆ ametros Caracter´ısticos de um Sistema de Medi¸c˜ ao

117

B Tabelas Estat´ısticas

123

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

132

1

Cap´ıtulo 1 No¸ c˜ oes B´ asicas de Estat´ıstica Nosso curso de incerteza de medi¸caõ está dividido em duas partes. A primeira parte contempla as técnicas estat´ısticas e os fundamentos do cálculo de incerteza, enquanto que a segunda parte contempla as aplica¸co˜es para calibra¸cões espec´ıficas. A seguir, vamos apresentar os conceitos básicos de Estat´ıstica necessários para expressarmos a incerteza em medi¸co˜es.

1.1

Introdu¸c˜ ao

Com a finalidade de estudar métodos estat´ısticos utilizados para expressarmos a incerteza de medi¸caõ, faremos inicialmente uma breve abordagem aos conceitos básicos de Estat´ıstica. Ao efetuarmos uma medi¸caõ, diversas fontes de varia¸caõ estão presentes. A temperatura, umidade, resolu¸cão do instrumento entre outras, fazem com que o valor de um mensurado tenha varia¸cão. A variabilidade está presente em todo lugar. Ao estacionar um carro em sua garagem, a posi¸caõ do carro na garagem não é a mesma ao longo dos dias. A posi¸caõ do carro apresenta uma varia¸cão. As técnicas estat´ısticas são utilizadas para avaliarmos as varia¸co˜es. A aplica¸caõ de técnicas estat´ıstica envolve várias etapas: • Coleta dos dados - Amostragem; • Exposi¸caõ dos dados; • Modelos Estat´ısticos.

1. No¸cões Básicas de Estat´ıstica

1.2

2

Coleta de Dados

Uma popula¸c˜ ao é um agregado de elementos (finitos ou não) para o qual deseja-se obter informa¸co˜es sobre algumas de suas caracter´ısticas. Duas popula¸cões são consideradas distintas se uma delas contém um elemento que não está contido na outra popula¸caõ. Como exemplo de popula¸caõ temos a produ¸cão diária de um empresa, conjunto de resultados de medi¸caõ de uma haste de a¸co realizada com um micrômetro, entre outras. A amostra é uma parcela de uma popula¸caõ que pode conter informa¸co˜es sobre a popula¸caõ. Para estudarmos adequadamente uma popula¸cão através de uma amostra devemos planejar a coleta de dados. Planejando a Coleta de Dados - Amostragem • Qual a pergunta a ser respondida? • Como comunicar a resposta obtida? • Qual ferramenta de análise pretende-se usar e como vai comunicar os resultados? • Que tipo de dados é necessário para utilizar as ferramentas desejadas e responder a pergunta? • Onde acessar estes dados? • Como coletar esse dados com um m´ınimo de esfor¸co e de erro? • Quais informa¸co˜es adicionais serão necessárias para estudos futuros, referências ou reconhecimento?

1.3

Exposi¸c˜ ao de Dados

Antes da exposi¸caõ dos dados coletados é necessário que se fa¸ca um trabalho de revisão e corre¸caõ nos dados coletados na tentativa de eliminar poss´ıveis enganos na elabora¸caõ do relatório. Medidas Quantitativas Cont´ınuas Quando os poss´ıveis valores incluem “todos” os n´ umeros do intervalo de varia¸caõ da caracter´ıstica medida. Ao medirmos um bloco padrão com um micrômetro externo obtemos uma medida quantitativa cont´ınua .


3

Exemplo 1.1. Na calibra¸cão de um micrômetro externo, o avaliador tomou 10 pontos (ou blocos padrão) com 10 leituras de cada ponto. Os desvios de cada leitura em rela¸cão ao valor do ponto estão na tabela 1.1. -0.012 0.008 -0.002 -0.006 0.000 0.024 0.016 0.006 -0.005 0.004

0.003 -0.001 0.006 0.000 -0.012 -0.003 0.012 0.008 -0.008 0.002

0.015 0.000 -0.021 0.009 0.001 -0.011 -0.002 0.004 0.013 -0.004

0.012 0.003 -0.001 -0.011 0.006 -0.007 -0.007 0.002 -0.004 0.002

-0.018 -0.008 0.000 0.000 0.000 -0.009 -0.013 0.006 0.001 0.011

0.013 0.008 0.007 -0.006 -0.002 0.018 0.008 0.000 -0.005 -0.012

-0.015 0.002 -0.006 0.012 0.017 0.013 0.002 -0.002 -0.009 0.018 0.000 0.010 -0.001 0.012 0.004 -0.002 -0.004 0.012 0.003 0.020 -0.017 0.006 -0.004 0.019 -0.013 0.001 0.017 0.012 -0.008 0.017 -0.002 0.019 0.000 -0.007 0.012 -0.003 -0.011 0.003 0.002 -0.006

Tabela 1.1: Desvios Podemos fazer a apura¸caõ considerando intervalos de medidas como apresentado na tabela 1.2. Intervalos −0.021 ` −0.017 −0.017 ` −0.013 −0.013 ` −0.009 −0.009 ` −0.005 −0.005 ` −0.001 −0.001 ` 0.003 0.003 ` 0.007 0.007 ` 0.011 0.011 ` 0.015 0.015 ` 0.019 0.019 ` 0.024

No de Desvios 3 3 8 12 15 22 9 7 11 8 2

Tabela 1.2: Freq¨ uência absoluta Ao se estabelecer intervalos, está-se admitindo que o desvio pode assumir qualquer valor entre o limite inferior, inclusive, e o limite superior, exclusive. A exposi¸caõ dos dados pode ser feita através de tabela e/ou gráficos. In´ umeros gráficos auxiliam na apresenta¸cão e interpreta¸caõ dos fatos, mas destacaremos os mais usuais.

1.4

Distribui¸c˜ ao de Freq¨ uˆ encias

Com as tabelas e/ou gráficos em mãos, apresentando uma melhor visualiza¸caõ dos dados, muitas vezes já temos condi¸co˜es de interpretar o fenômeno em estudo. Entretanto, em muitos


4

casos há necessidade de se efetuar opera¸cões numéricas para se chegar a conclusões mais sólidas. Devido ao fato de dados quantitativos serem os mais freq¨ uentemente encontrados no estudo de Sistemas de medi¸cão, desenvolveremos os métodos de análise para estes tipos de dados.

Dados Cont´ınuos: ˜ na tabela 1.2. Note que neste exemplo a variável Vejamos o exemplo 1.1, com APURAC ¸ AO de interesse é o ”Desvio”enquanto que “N´ umero de Desvios” representa a freq¨ uência de medidas em cada intervalo (Tabela 1.2). Defini¸co ˜es: ´ o n´ Freq¨ uˆ encia Absoluta (fi ): E umero de observa¸cões correspondentes a cada intervalo. A freq¨ uência absoluta é, geralmente, chamada apenas de freq¨ uência. No exemplo anterior, a freq¨ uência é o n´ umero de desvios. Para um dado intervalo i, denotaremos a freq¨ uência absoluta correspondente por fi . Assim, por exemplo, a freq¨ uência do quarto intervalo é f4 = 12. ´ o quociente entre a freq¨ Freq¨ uˆ encia Relativa (f ri ): E uência absoluta e o n´ umero total de observa¸cões, e será denotada por f ri . Isto é, f ri = observa¸cões. No nosso exemplo, f r4 =

12 100

fi n

onde n representa o n´ umero total de

= 0.12, onde n = 100.

´ conseguida multiplicando-se a freq¨ Freq¨ uˆ encia Percentual: (pi ): E uência relativa por 100

p4 =

12 100% = 12% 100

´ o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores até Freq¨ uˆ encia Acumulada: E a classe atual. Pode ser Freq¨ uência Acumulada Absoluta (Fi ), Freq¨ uência Acumulada Relativa (F ri ), ou Freq¨ uência Acumulada Percentual (Pi ). ´ obtido somando o limite inferior e o limite superior de cada intervalo Ponto M´ edio (xi ): E e dividindo o resultado por 2. Este ponto se constitui no valor representativo de cada intervalo. No caso do primeiro intervalo, no exemplo dado, temos: x1 =

−0.021 + (−0.017) = −0.019 2

Agora que temos estas quantidades definidas, vamos usar o exemplo que estamos acompanhando e mostrar todas elas através de uma tabela completa. Como Freq¨ uência Acumulada iremos apresentar somente a Freq¨ uência Acumulada Percentual. Algumas indica¸co˜es na constru¸caõ da distribui¸cão de freq¨ uências são:


5

Diâmetro −0.021 ` −0.017 −0.017 ` −0.013 −0.013 ` −0.009 −0.009 ` −0.005 −0.005 ` −0.001 −0.001 ` 0.003 0.003 ` 0.007 0.007 ` 0.011 0.011 ` 0.015 0.015 ` 0.019 0.019 ` 0.024

Xi −0.019 −0.015 −0.011 −0.007 −0.003 0.001 0.005 0.009 0.013 0.017 0.021

fi 3 3 8 12 15 22 9 7 11 8 2

f ri pi (%) Pi (%) 0.03 3 3 0.03 3 6 0.08 8 14 0.12 12 26 0.15 15 41 0.22 22 63 0.09 9 72 0.07 7 79 0.11 11 90 0.08 8 98 0.02 2 100

Tabela 1.3: Distribui¸caõ de freq¨ uências 1. Na medida do poss´ıvel, as classes deverão ter amplitudes iguais. 2. Escolher os limites dos intervalos entre duas poss´ıveis observa¸co˜es. 3. O n´ umero de intervalos não deve ultrapassar 20. 4. Escolher limites que facilitem o agrupamento. 5. Marcar os pontos médios dos intervalos. 6. Ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter a´rea proporcional a` freq¨ uência relativa (ou à freq¨ uência absoluta, o que dá no mesmo) correspondente. 7. Um critério para determinar os intervalos (classes) é: Tamanho da Amostra (n) 30 a 50 51 a 100 101 a 250 acima de 250

N´ umero de Classes (c) 5a7 6 a 11 7 a 13 10 a 20

Tabela 1.4: N´ umero de classes Determina¸caõ do tamanho da classe ou intervalo (L): L=

amplitude R = o n de classes c

onde R= maior valor da amostra menos o menor valor da amostra.


1.5

6

Histograma

Uma representa¸cão gráfica da distribui¸cão de freq¨ uência, como as anteriores, é o Histograma. ´ um gráfico onde a freq¨ E uência relativa do intervalo i (f ri ) é representada pela a´rea de um retângulo que é colocado acima do ponto médio da classe i. Consequentemente, a a´rea total do histograma (igual a soma das a´reas de todos os retângulos) será igual a ”1”. No caso em que os intervalos sejam de tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retângulos serão iguais a`s freq¨ uências relativas (ou iguais a`s freq¨ uências absolutas) dos intervalos correspondentes. Para a distribui¸caõ de freq¨ uências da tabela 1.3, o histograma correspondente é o seguinte:

Figura 1.1: Histograma dos desvios Ao analisarmos a distribui¸caõ de freq¨ uência dos desvios, observamos que 15% das observa¸cões encontram-se entre −0, 005 a −0, 001 e que pelo menos 10% das observa¸co˜es estão acima de 0, 015.

1.6

Medidas de Posi¸c˜ ao

Essas medidas visam representar ”onde”os valores estão localizados ou posicionados. As mais usuais são média aritmética, mediana e moda. M´ edia Aritm´ etica: A média aritmética, ou simplesmente Média, é calculada somando-se os valores das observa¸co˜es e dividindo-se o resultado pelo n´ umero de valores. Nota¸caõ: • xi : cada valor individual. • x¯ : média de uma amostra. • µ : média da popula¸caõ. • n : tamanho da amostra. • N : tamanho do universo (popula¸caõ).


7

Dado uma popula¸caõ e uma amostra {x1 , . . . , xn } retirada desta popula¸caõ, a média amostral é dada por :

x=

x1 + x2 +, . . . , +xn n

Exemplo 1.2. No exemplo dos desvios das 100 leituras x= 0, 00161. Confira !!! O ideal é que o desvio seja zero. Entretanto, há um pequeno deslocamento. Exemplo 1.3. Foram realizadas 5 leituras de uma massa padrão com valor nominal 2, 45g com um comparador. Os valores foram: 2, 45; 2, 46; 2, 45; 2, 44; 2, 45. A média amostral para as medidas da massa é:

x=

12, 25 2, 45 + 2, 46 + 2, 45 + 2, 44 + 2, 45 = = 2, 45 . 5 5

A média das 5 leitura é x= 2, 45. Mediana: Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o n´ umero de observa¸co˜es for ´ımpar, a mediana será a observa¸caõ central. Se o n´ umero de observa¸cões for par, a mediana será a média aritmética das duas observa¸cões centrais. Nota¸caõ : A mediana será denotada por x˜. Exemplo 1.4. Nos dados referentes ao exemplo 1.3, obtemos a seguinte ordena¸cão: 2, 44; 2, 45; 2, 45; 2, 45; 2, 46. Como o n´ umero de observa¸cões é ´ımpar, a mediana é o valor central, isto é, x˜ = 2, 45. Exemplo 1.5. Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 rolos de fio de a¸co: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68. Ordenando os valores, temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77. Como o n´ umero de observa¸cões é 8, portanto par, a mediana é dada pela média dos dois valores centrais que são 68 e 69, isto é:

x=

68 + 69 = 68, 5 2

Moda: A moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta a maior freq¨ uência. Nota¸caõ: A moda será denotada por Mo. No exemplo 1.4, a moda é Mo = 2,45. Confira !


1.7

8

Medidas de Dispers˜ ao

Dispersão é sinônimo de varia¸cão ou variabilidade. Para medir a dispersão são usadas mais freq¨ uentemente duas medidas: a amplitude e o desvio padr˜ ao. Amplitude: A amplitude é definida como sendo a diferen¸ca entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Denotaremos a amplitude por R. Exemplo 1.6. Os comprimentos de 8 rolos de fio de a¸co foram: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77 . A amplitude deste conjunto é : R = 77 − 60 = 17 Para definirmos desvio padrão é necessário definir variância. A nota¸caõ mais comumente usada é : Desvio Padr˜ ao: • s2 : Variância amostral. • σ 2 : Variância populacional. • s : Desvio padrão amostral. • σ : Desvio padrão populacional. A variância de uma amostra {x1 , . . . , xn } de n elementos é definida como a soma dos quadrados dos desvios de elementos em rela¸cão à sua média amostral x¯ dividido por (n − 1). Ou seja, a variância amostral é dada por:

2

s =

n X (xi − x)2 i=1

n−1

O desvio padrão de um conjunto de dados é igual a` raiz quadrada positiva da variância. Assim, o desvio padrão amostral é dado por: √ s=

v u n uX (xi − x)2 s2 = t n−1 1=i

Exemplo 1.7. Suponha a amostra dos comprimentos de 8 rolos de fio de a¸co cujos valores foram: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68 metros. Para calcularmos o desvio padrão devemos primeiramente calcular a média X, isto é:


x¯ =

9

65 + 72 + 70 + 77 + 60 + 67 + 69 + 68 = 68, 5 8

Agora vamos subtrair x de cada valor, elevar os resultados ao quadrado e somá-los. Então dividimos o total dos quadrados pelo n´ umero de valores menos 1, ou seja, por (n−1) e extra´ımos a raiz quadrada:

65 72 70 77 60 67 69 68

-

(x − x) (x − x)2 68.5 = −3.5 (−3.5)2 = 12.25 68.5 = 3.5 (3.5)2 = 12.25 68.5 = 1.5 (1.5)2 = 2.2 2 68.5 = 8.5 (8.5) = 72.25 2 68.5 = −8.5 (−8.5) = 72.25 68.5 = −1.5 (−1.5)2 = 2.25 68.5 = 0.5 (0.5)2 = 0.25 68.5 = 0.5 (0.5)2 = 0.25 Total = 174.00

Tabela 1.5: Cálculo do Desvio Padrão

s2 =

√ 174 = 24 ⇒ s = 24 ⇒ s = 4.9 7

Portanto o desvio padrão é 4.9. Exemplo 1.8. No exemplo 1.1, que trata os desvios das leituras do micrômetro referente ao valor do padrão, o desvio padrão é igual a 0.00957. Confira !!!.

1.8

Probabilidade

Os dados são originados de uma amostra de medi¸co˜es realizadas com a aplica¸cão do procedimento de medi¸caõ, equipamentos e operadores. Estas medi¸cões apresentam varia¸cões que podem ser analisadas através da distribui¸caõ de freq¨ uências (visualmente, o histograma). Observe que a varia¸caõ obtida pelos desvios das leituras do micrômetro em blocos padrão (exemplo 1.1) pode ser caracterizado pela freq¨ uências relativas,por exemplo, 15% dos desvios estão entre −0.005 e −0.001 mm). Uma forma de modelarmos a variabilidade presente nos dados relativos a quaisquer amostras é a probabilidade. Considere H uma haste de a¸co, um experimento é realizado para se obter o comprimento da haste H. Este experimento é realizado n vezes de forma independente, isto é, cada realiza¸caõ do experimento é independente das outras realiza¸cões do experimento.


10

Considere Ω o espa¸co formado por todos os poss´ıveis resultados da medi¸cão do comprimento da haste, denominado espa¸co amostral. Para caracterizar a variabilidade dos resultados da medi¸caõ, podemos modelar a probabilidade do resultado da medi¸caõ pertencer a subconjuntos do espa¸co amostral Ω, denominados eventos. Por exemplo, considere o evento A como sendo a classe de resultados da medi¸caõ inferiores a C1 e o evento B como sendo a classe de resultados da medi¸caõ superiores a C2, onde C1 e C2 são constantes numéricas. Ao denotarmos por X a variável referente ao resultado da medi¸caõ, podemos tomar como espa¸co amostral, Ω = {−∞ < X < +∞} A = {X < C1 } B = {X > C2 } Com os eventos A e B, podemos associar os eventos: • A união com B = A ∪ B = {A ou B}; • A interseçcão com B = A ∩ B = {A e B}; • Complementar de A, denotado por Ac = não A; A probabilidade é uma fun¸cão de associa valores (pesos) aos eventos de um experimento, satisfazendo as seguintes propriedades: a) Prob (Ω) = 1 b) Prob (A ∪ B) = P rob(A) + P rob(B) − P rob(A ∩ B) Ao associarmos probabilidades (pesos) aos eventos de um experimento, satisfazendo as propriedades acima, obtemos um modelo para a variabilidade, denominado modelo de probabilidade. A seguir, vamos estudar alguns modelos de probabilidade utilizados na prática.

1.9

Distribui¸c˜ ao Normal

A varia¸cão natural de qualquer medida é realmente aleatória (incerta). Embora as distribui¸co˜es possam assumir uma variedade de formas, muitas variáveis observadas possuem uma distribui¸caõ de freq¨ uências que é, aproximadamente, como a da distribui¸caõ Normal (simétrica e em forma de sino).


11

Como discutimos anteriormente, a probabilidade é um modelo para calcularmos a chance real de ocorrer um determinado evento, isto é, a chance de ocorrer uma medida em um determinado intervalo. Por exemplo, a freq¨ uência relativa deste intervalo, observada a` partir de uma amostra de medidas, é a aproxima¸caõ da probabilidade. E a distribui¸caõ de freq¨ uências é a aproxima¸caõ da distribui¸cão de probabilidades. Uma das formas mais tradicionais de modelar a distribui¸caõ de probabilidade dos dados corresponde a distribui¸caõ normal ou gaussiana. A denomina¸cão gaussiana é devido ao matemático e astrônomo Gauss, que utilizou esta distribui¸caõ para modelar a varia¸caõ do resultado de medi¸co˜es do posicionamento de planetas.

Figura 1.2: Distribui¸caõ Normal A forma da distribui¸cão normal é simétrica em torno da média e com formato de sino. O gráfico desta distribui¸caõ é apresentado na figura 1.2. Densidade:

"

−1 f (x) = √ exp 2 2πσ 2 1

x−µ σ

2 #

   −∞ < µ < ∞   0 < σ < ∞     −∞ < x < ∞

A distribui¸cão dos ”desvios”do Exemplo 1.1 tem uma forma parecida com a distribui¸caõ normal. Volte e confira!! Se concluirmos que o modelo da distribui¸caõ normal é adequado para caracterizar a variabilidade, podemos calcular probabilidade do resultado da medi¸cão estar entre determinados intervalos, calculando a a´rea sob a curva naquele intervalo. Então, a probabilidade de um evento A ocorrer é dado por Z P rob(A) =

f (x) dx A

Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos (também chamados de parâmetros), a média µ e o desvio padrão σ. O gráfico a seguir (figura 1.3) mostra


12

algumas áreas importantes:

´ Figura 1.3: Area sob a Curva Normal Quando µ e σ são desconhecidos, como geralmente acontece, são substitu´ıdos por X e S, respectivamente, a partir da amostra. ´ Nota: Areas sob a curva normal são probabilidades que na prática são dadas em porcentagens Para cada valor de µ e/ou σ , temos uma distribui¸caõ. Mas para se calcular áreas espec´ıficas, se faz uso de uma distribui¸cão particular: a ”distribui¸cão normal padronizada”. Esta distribui¸caõ tem média µ = 0 e desvio padrão σ = 1, e está tabelado (a tabela se encontra no apêndice). Como a distribui¸caõ é simétrica em rela¸caõ à média µ = 0, a a´rea à direita de µ é igual a a´rea à esquerda de µ . Assim, a tabela fornece áreas acima de valores não-negativos que vão desde 0.00 até 4.09. Veja o gráfico (figura 1.4) da curva normal padronizada a seguir: Nota: A variável que tem distribui¸caõ normal padronizada é denotada por Z. Exemplo 1.9. A área sob a curva normal para Z maior do que 4.00 é 0.00003. Ou seja, a probabilidade de Z ser maior do que 4.00 é 0.003%. Veja o gráfico! Exemplo 1.10. : A área sob a curva para Z maior do que 1.00 é 0.1587. Ou seja, a probabilidade de Z ser maior do que 1 é 15.87%, veja figura 1.5.

Exemplo 1.11. A área sob a curva para Z maior do que 1.19 é 0.1170,ou seja, a probabilidade de Z ser maior do que 1.19 é 11.70%. Exemplo 1.12. A área sob a curva para Z menor do que 2.00 não é fornecida diretamente pela tabela. Então devemos encontrar a área para Z maior do que 2.00. Em seguida fazemos


13

Figura 1.4: Distribui¸c˜ ao Normal Padronizada 1 menos a área encontrada e temos a área desejada. A área sob a curva para Z maior do que 2.00 é 0.0228. A área desejada é 1 − 0.0228 = 0.9772. Ou seja, a probabilidade de Z ser menor do que 2.00 é 97.72%. Quando se tem uma variável X com distribui¸caõ normal com média µ diferente de 0 (zero) e/ou desvio padrão diferente de 1 (um), devemos reduzi-la a uma Z, efetuando o seguinte cálculo:

Z=

X −µ σ

Exemplo 1.13. Considere uma variável X com distribui¸cão normal com média µ = 4.888 e


14

Figura 1.5: Cálculo de probabilidades com a distribui¸caõ Normal desvio padrão σ = 0.31949, se quisermos calcular a probabilidade de X ser inferior a 5.0 mm, fazemos:

Z=

5.0 − 4.888 = 0.35 0.31949

Usando a tabela da normal padronizada, temos que a área sob a curva e abaixo de 0.35 é 0.6368. Ou seja, a probabilidade de X ser inferior a 5.0 mm é 63.68%.


Figura 1.6: Cálculo de probabilidades com a distribui¸caõ Normal

Figura 1.7: Cálculo de probabilidades com a distribui¸caõ Normal

15


16

Exemplo 1.14. Suponha que a varia¸cão nas espessuras das arruelas possa ser modelado pela distribui¸cão normal com média 11.15 e desvio padrão 2.238. Qual a porcentagem de arruelas que tem espessura entre 8.70 e 14.70? Temos que encontrar dois pontos da distribui¸cão normal padronizada. O primeiro ponto é:

Z1 =

8.70 − 11.15 = −1.09 2.238

A área para valores maiores do que −1.09 é 0.8621 ou 86.21%. O segundo ponto é:

Z2 =

14.70 − 11.15 = 1.58 2.238

A a´rea para valores maiores do que 1.58 é 0.0571 ou 5.71%. O que procuramos é a área entre Z1 e Z2, como mostram os gráficos a seguir:

Figura 1.8: Cálculo de percentis com a distribui¸caõ Normal Portanto, fazemos: 0.8621 − 0.0571 = 0.8050 Ou seja, a porcentagem de arruelas com espessura entre 8.70 e 14.70(limites de tolerância da especifica¸cão) é somente de 80.50%. Portanto,cerca de 19.50% das arruelas não atendem aos limites de especifica¸cões. Anteriormente hav´ıamos calculado esta porcentagem diretamente do histograma e o valor encontrado foi de 22%. A diferen¸ca entre os dois cálculos fica por conta da suposi¸cão de normalidade que fizemos. Exerc´ıcio 1.1. Com os dados do exemplo 1.1, relativos aos desvios, utilize a distribui¸c˜ ao normal para calcular a probabilidade de que o módulo dos desvios seja maior 0.02. Desvio Padr˜ ao da M´ edia


17

Figura 1.9: Cálculo de percentis com a distribui¸caõ Normal Ao obtermos uma amostra de leituras de um equipamento, denotadas x1 , x2 , · · · , xn , a média e o desvio padrão relativo a medidas são definidos por.

x=

x1 + x2 + · · · , +xn n

v u n √ uX (xi − x)2 2 . s= s =t n − 1 i=1 respectivamente. Por outro lado, o desvio padrão relativo a média das medidas é dado por


18

s sx = √ n Observe que quanto maior o n´ umero de leituras melhor é a aproxima¸cão da média amostral em rela¸caõ a média populacional. Da mesma forma, quanto maior o n´ umero de leitura menor o desvio padrão da média. Exerc´ıcio 1.2. Calcule a média e o desvio padrão da média para os seguintes dados: VR

Leituras

M´ edia

12,5

12,501

12,502

12,501

15

15,001

15,001

15

17,5

17,5

17,501

17,502

20

20,001

20

20

DP

Repetitividade

Onde, s Repetitividade = Desvio padrão da média = sx = √ n Repetitividade Total do Sistema (Rptotal ): • Maior Repetitividade; Com isso, Rptotal = M aiorRepetitividade =

• Desvio padrão agrupado: Com isso, sP Rptotal =

j i=1

Rep2i = j

onde: – j: representa o n´ umero de pontos (no exemplo, j=4); – Repi : representa a Repetividade no ponto i (i=1,2,3,4); Exerc´ıcio 1.3. Considere o sistema de medi¸cão para o furo de um pistão de automóvel. Esta dimensão apresenta uma tolerância (Limite Superior de Especifica¸cão-Limite Inferior de Es-


19

pecifica¸cão) de 0,005mm. Em um estudo preliminar foram obtidas 30 leituras do furo de um pistão. Os dados estão abaixo de forma ordenada. 18997,6 18999,0

18999,4 19000,0

19000,9 19001,6

18997,7 18999,0

18999,5 19000,1

19000,9 19001,8

18998,1 18999,1

18999,6 19000,4

19001,1 19001,8

18998,5 18999,1

18999,8 19000,6

19001,2 19002,1

18998,6 18999,2

18999,9 19000,7

19001,4 19002,9

a) Montar a tabela de distribui¸cão de freq¨ uências. Diâmetro Xi 18997, 6 ` 18998, 6 18998, 1 18998, 6 ` 18999, 6 18999, 1 18999, 6 ` 19000, 6 19001, 1 19000, 6 ` 19001, 6 19002, 1 19001, 6 ` 19002, 9 19002, 25

fi 4 8 6 7 5

f ri

pi (%) Pi (%)

Tabela 1.6: Distribui¸caõ de freq¨ uências b) Montar o histograma. c) Calcular a média. 30 X

x=

xi

i=1

30

=

570002 = 30

d) Calcular o desvio-padrão. 30 X (xi − x)2

s2 =

i=1

n−1

=

52, 4344 = 30 − 1

e) Dado que o verdadeiro diâmetro do furo de uma pe¸ca é 19001.Utilize a distribui¸cão normal para calcular a probabilidade do sitema de medi¸cão reprovar essa pe¸ca.

1.10

Teorema do Limite Central

O teorema central do limite é um resultado estat´ıstico fundamental em aplica¸co˜es práticas, pois este teorema garante que mesmo que os dados não sejam distribu´ıdos conforme uma distribui¸caõ normal, a média dos dados converge para a distribui¸cão normal conforme o n´ umero


20

de dados aumenta. Para ilustrar, considere os dados da tabela 1.7 com histograma apresentado na figura 1.10.

0,18039 0,04858 2,04899 0,29371 1,82698 0,70571 0,10034 0,18068 1,67637 0,75177 1,86995 1,20456 1,84546 0,20692 1,07056 0,33364 0,835 0,97558 0,49084 1,88966 1,21121 0,3745 1,19616 0,30181 3,21402 0,0903 2,61544 0,49725 0,35147 0,97265 0,77907 0,25324 0,57609

0,06105 0,05189 0,00578 0,07804 0,9184 2,32028 1,09242 0,03391 0,3829 0,14673 0,11694 1,32523 1,00032 1,04208 1,56307 0,10242 1,0241 0,70493 0,42526 2,54082 1,63265 0,55206 1,31787 1,88888 2,01428 2,67363 0,34815 0,29042 0,13475 0,05683 0,04533 0,06947 0,00047

0,33264 0,04937 0,24781 0,483 1,30431 1,44356 0,11591 0,33554 0,66678 0,85142 1,0702 0,15098 0,18113 0,77392 3,97567 0,24987 1,75904 0,02362 0,21363 0,05887 2,49013 0,96108 0,1115 0,9136 1,5868 0,38425 3,7862 2,32141 2,31799 0,08027 1,21407 0,14656 0,15099

1,0589 4,0006 0,43687 0,2983 0,68007 1,04687 0,93788 2,82354 1,27616 0,60226 5,24055 3,82457 1,95966 0,53456 0,12068 0,436 0,655 1,8392 1,71473 0,49302 0,58964 0,87766 0,3589 1,7155 0,01396 0,17188 0,17602 0,56294 1,42038 0,6846 0,15632 1,43476 0,74214

0,04611 2,44309 0,02991 3,75236 3,9539 3,07768 0,86555 0,21896 0,15644 0,10131 0,91629 2,21574 0,12043 0,37931 0,0591 0,63775 1,5316 0,23149 0,1912 1,94563 0,73067 0,52777 0,61516 0,49844 0,31211 4,38611 0,49381 1,10058 0,28477 0,29454 1,54651 0,58053 0,88673

2,07919 1,19279 0,52321 0,283 1,00186 0,91547 0,11135 0,61599 1,49853 0,00041 0,74449 1,24752 0,02755 0,55943 0,09311 0,92961 2,38105 0,42528 0,30273 2,88959 0,5809 0,10678 2,2579 1,80252 1,41659 0,47624 1,11899 0,23771 0,61507 0,40381 1,03375 0,2361 1,0456

0,16426 0,36034 1,19931 0,01252 2,1392 1,0711 0,22064 2,70122 0,2438 1,04934 1,54706 3,01742 1,12134 0,1528 0,13433 0,1736 1,31363 0,70005 0,50795 0,76715 0,20309 0,89247 0,5537 0,78627 0,20996 1,7204 0,33027 0,16611 0,70722 0,38346 0,20112 1,30842 3,40522

0,13756 0,14896 0,97063 0,07863 0,65945 0,78354 2,54724 0,59041 0,69662 0,71689 1,71929 0,48124 0,15825 0,32622 1,13353 0,5642 4,87441 0,81429 0,59502 0,08922 1,19891 0,68666 1,12084 2,30031 0,56251 1,97416 0,91986 0,19464 0,16977 0,3467 0,21492 0,90432 1,31729

2,25764 1,02117 0,65404 1,51493 2,44657 0,10735 2,32252 0,9296 0,03946 0,6841 0,57949 0,50226 0,39719 1,34607 0,06729 0,07914 1,87911 0,14648 0,0055 1,50332 0,41577 0,40921 1,18308 0,37888 0,64183 0,15397 1,10484 0,53044 2,07863 0,08971 1,23729 0,38311 0,19672

Tabela 1.7: Dados Exponenciais

0,69611 0,22775 1,2899 0,58831 2,26175 1,8086 0,21121 0,37208 1,68575 0,40779 0,06082 0,752 0,73928 0,1881 0,73302 1,69506 1,19198 1,14152 0,99069 1,44135 4,83329 3,13698 5,6274 0,27255 0,7217 0,20741 0,3501 1,10223 0,21453 0,29033 0,02209 0,01359 0,84027

0,00666 0,19664 0,56337 0,40478 0,04064 3,58991 0,99732 0,96049 1,68336 0,655 4,50549 0,07319 0,75933 0,63464 3,68017 3,81342 4,01736 1,63649 0,05411 0,25575 0,83598 0,15909 0,38246 0,13101 0,01722 1,23387 0,6366 2,63819 2,31535 0,71624 1,92794 0,2938 0,38748

1,43685 0,67209 0,28809 0,12692 0,90853 0,28985 0,73894 0,97886 1,97248 2,59891 1,31121 0,7532 0,98665 0,01368 0,36334 1,18567 0,98998 0,42354 0,08015 0,52356 3,31921 0,78276 1,26049 0,25451 0,2567 0,83222 0,64013 1,73767 0,06885 2,05792 1,81139 1,03444 1,29327


21

Figura 1.10: Dados Exponenciais Notamos que o gráfico mostra que o conjunto de dados segue uma distribui¸caõ não simétrica, mas se agruparmos os valores do conjunto de dados em grupos de 5 e tirando a média de cada grupo, temos o seguinte gráfico (figura 1.11): Percebemos que a média dos dados foi deslocada, fazendo com que os dados mudassem suas caracter´ısticas de simetria. Novamente, vamos agrupar os dados em grupos de 5 e tirar a média. O resultados estão na figura 1.12. Como percebemos, este gráfico já possui uma distribui¸cão similar a da distribui¸caõ normal. Teorema do Limite Central: Para amostras grandes, a distribui¸c˜ ao amostral da m´ edia pode ser aproximada pela distribui¸c˜ ao normal. Se combinarmos esse resultado com µx = µ

e

σx =

√σ n

para amostras aleatórias de popula¸cões infinitas, temos que se é a média de uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma popula¸caõ infinita com média e desvio padrão X , para n grande


22

Figura 1.11: Média de grupos de 5

z=

X −µ √ σ/ n

representa os valores de uma variável aleatória com distribui¸caõ normal com média zero e desvio padrão igual a 1. O Teorema Central do Limite é de fundamental importância em estat´ıstica porque justifica o intenso uso da curva normal. Ele se aplica à popula¸co˜es infinitas, e também em popula¸cões ´ dif´ıcil finitas quando n, embora grande, constitui-se em uma pequena por¸cão da popula¸cão. E dizer precisamente quão grande deve ser n para que o Teorema Central do Limite possa ser aplicado, mas a menos da distribui¸caõ populacional tenha uma forma muito ”estranha”n = 30 é considerado suficientemente grande. Nota: Quando uma amostra proveniente de uma popula¸caõ realmente normal, a distribui¸caõ amostral da média é normal não importando o tamanho de n.


23

Figura 1.12: Médias

1.11

Distribui¸c˜ ao amostral do desvio padr˜ ao

Uma importante distribui¸cão amostral associada a amostras aleatórias de variáveis normais corresponde a distribui¸caõ qui-quadrado (χ2 ). Suponha que Z1 , ..., Zn são variáveis aleatórias normalmente distribu´ıdas com média zero e variância 1. Então, a variável aleatória Qn = Z12 + ... + Zn2 tem distribui¸caõ qui-quadrado com n graus de liberdade (χ2n ). A fun¸caõ densidade da quiquadrado é definida por: f (x) =

1 2n/2 Γ(n/2)

x(n/2)−1 exp(−x/2) ; x > 0.

A distribui¸caõ qui-quadrado é assimétrica e tem média E(Qn ) = n e variância V ar(Qn ) = 2n. Como um exemplo de uma variável aleatória qui-quadrado, suponha que y1 , ..., yn são variáveis aleatórias normais independentes e identicamente distribu´ıdas com média µ e desvio


24

padrão σ. Então, temos que a estat´ıstica Pn Qn =

i=1 (yi σ2

− y)2

=

(n − 1)s2 σ2

tem distribui¸caõ qui-quadrado com (n-1)graus de liberdade, onde s é o desvio padrão amostral. Graus de liberdade Ao denotarmos SS =

n X

(yi − y)2 = (n − 1)s2

i=1

obtemos que # " n # n n X X X σ2 (µ + σ 2 ) − n(µ + )2 = (n − 1)σ 2 . yi2 − n(y)2 = E(SS) = E (yi − y)2 = E n i=1 i=1 i=1 "

A quantidade (n−1) multiplicando σ 2 é denominado graus de liberdade da soma de quadrados SS. De forma geral, se tomarmos Y uma variável aleatória com variância σ 2 , a soma de quadrado SS =

n X

(yi − y)2 .

i=1

Tem graus de liberdade ν se E(SS) = νσ 2 . O n´ umero de graus de liberdade de uma soma de quadrados corresponde ao n´ umero de elementos independentes na soma de quadrados. Por exemplo, se y1 , ..., yn são variáveis aleatórias normais independentes e identicamente distribu´ıdas com média µ e desvio padrão σ. Então, os elementos da soma de quadrados y1 − y, ..., yn − y, não são todos independentes, pois n X (yi − y). i=1

Na realidade, somente (n − 1) destes elementos são independentes, implicando que SS tem (n − 1) graus de liberdade.

1.12

A Distribui¸c˜ ao t-Student

Em calibra¸co˜es, não conhecemos o desvio padrão da medi¸cão e coletamos amostras de tamanho pequeno (3 a 10), que não permite uma boa estimativa do desvio padrão. Considere


25

que as leituras realizadas por um equipamento são modeladas por variáveis X1 , ..., Xn independentes e com distribui¸cão normal com média e desvio padrão. Então, a variável t=

X −µ √ s/ n

onde s é o desvio padrão amostral, tem distribui¸caõ t-student com n − 1 graus de liberdade.

Figura 1.13: Fun¸caõ densidade da distribui¸cão t-Student


26

Para calcularmos os valores da distribui¸cão t-Student precisamos conhecer o grau de liberdade ”ν”, associado ao n´ umero de repeti¸co˜es da medida. Os graus de liberdade para uma amostra com n repeti¸co˜es da mesma medida é definido por ν(graus de liberdade) = n − 1. Exemplo 1.15. A média de uma série de dez medi¸cões de uma anel padrão é 40,0078 mm com um desvio padrão de 0,0002 mm. Qual o intervalo do resultado da medi¸cão com confian¸ca de 95% ? Solu¸c˜ ao Graus de liberdade: 10 - 1 = 9

P rob[−t2.5 ≤

X −µ √ ≤ t2.5 ] = 0, 95. s/ n

O intervalo de 95% é dado por: s X ± t2,5 √ n onde t2,5 é o valor tabelado igual a 2,262. Assim, o intervalo de confian¸ca com 95% é : 0, 0002 = 0, 000143. 40, 0078 ± 2, 262 √ 10 Exerc´ıcio 1.4. Continuando o exerc´ıcio 1.3, a mesma pe¸ca que foi medida no chão de fábrica da empresa, foi enviada ao laboratório de Metrologia para determinar o valor de referência. Após 100 medi¸cões da pe¸ca, o laboratório da RBC determinou o valor de referência para a pe¸ca VR=19001 µm. Avaliar a consistência das medi¸cões da empresa com rela¸cão ao valor de referência (estudo de tendência). Na seq¨ uência vamos determinar o intervalo de confian¸ca para a média das medi¸cões da empresa. s LI = X − t2,5 √ = n s LS = X + t2,5 √ = n Conclusão:


1.13

27

A estat´ıstica F e a distribui¸ c˜ ao F de Snedecor

Considere Qn e Qm variáveis aleatórias com distribui¸cão qui-quadrado com n e m graus de liberdade respectivamente, além disso, vamos supor que estas variáveis aleatórias são independentes. Então a variável aleatória F =

Qn /n Qm /m

tem distribui¸caõ F de Snedecor com n graus de liberdade no numerador e m graus de liberdade no denominador. A fun¸cão densidade de probabilidade é definida por m + n m m2 m −1 x2 Γ 2 n f (x) = h i h i h . i m+n n m m 2 Γ x+1 Γ 2 2 n

Um importante exemplo da distribui¸caõ F de Snedecor corresponde a estat´ıstica F . Suponha que temos duas popula¸co˜es independentes tendo distribui¸cões normais com variância comum igual a σ 2 . Considere y11 , ..., y1n uma amostra aleatória da primeira popula¸caõ com n observa¸cões e y21 , ..., y2m uma amostra aleatória da segunda popula¸caõ com m observa¸co˜es. Então, a estat´ıstica

(n − 1)s21 (n − 1)σ 2 F = (m − 1)s22 (m − 1)σ 2

tem distribui¸caõ F de Snedecor com (n − 1) graus de liberdade no numerador e (m − 1) graus de liberdade no denominador, onde s1 e s2 são os desvios padrão amostrais.

1.14

Teste para Duas Variˆ ancias

Suponha que queiramos comparar as variâncias σ12 e σ22 de duas popula¸co˜es normais independentes. Para isso retiramos uma amostra aleatória X1 , X2 , ..., da popula¸cão 1, e Y1 , Y2 , ..., da popula¸cão 2. Já vimos que Q1 =

(n1 − 1)s21 ∼ χ2(n1 −1) σ12

Q2 =

(n2 − 1)s22 ∼ χ2(n2 −1) σ22


28

onde s21 é a variância amostral da popula¸caõ 1 e s22 a variância amostral da popula¸caõ 2. Então a estat´ıstica F definida por Q1 s2 n1 − 1 F = = 12 Q2 s2 n2 − 1 tem distribui¸cão ”F de Snedecor”com (n1 − 1) graus de liberdade no numerador e (n2 − 1) graus de liberdade no denominador, e denotamos F(n1 −1)(n2 −1) . Para executar um teste, podemos seguir os passos: 1) Estabelecer as hipóteses, por exemplo H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 6= σ22 que é equivalente a  σ2    H0 : 12 = 1 σ2 σ12    H1 : 2 6= 1. σ2 2) Fixar o n´ıvel de significância α. 3) Determinar a região cr´ıtica; neste caso devemos determinar os pontos cr´ıticos F1− α2 e F α2 com (n1 − 1) graus de liberdade no numerador e (n2 − 1) graus de liberdade no denominador usando a tabela da distribui¸cão ”F de Snedecor”. Graficamente: 4) Calcular, sob a hipótese nula, o valor Fobs =

s21 s22

onde: s21 : variância da amostra retirada da popula¸cão 1. s22 : variância da amostra retirada da popula¸cão 2. 5) Conclusão, neste caso se Fobs < F1− α2 ou Fobs > F α2 , rejeita-se H0 , caso contrário, aceita-se H0 . 6) Temos que


29

P-valor = 2 ∗ min{ P [F > Fobs |H0 ] ; P [F < Fobs |H0 ] } Observa¸cão: Geralmente, não se tem interesse aqui em considerar hipóteses alternativas do tipo H1 : σ12 > σ22 ou H1 : σ12 < σ22 . Exemplo 1.16. Para avaliar a eficácia de um sistema de medi¸cão, uma empresa enviou uma pe¸ca para um laboratório do cliente medir. Esta pe¸ca foi medida 30 vezes pelo laborat´ orio cliente, obtendo uma variância de 70 microns. A mesma pe¸ca foi medida também 30 vezes pelo laboratório da empresa obtendo uma variância de 81 microns. Considerando α = 0, 05, podemos concluir que a variância do sistema de medi¸cão do cliente é menor que a variância do sistema de medi¸cão da empresa? Resposta:


30

1) H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 6= σ22

2) α = 0.05. 3) Região cr´ıtica

4) Fobs =

S12 81 2 = 70 = 1, 157 S2

5) Conclusão: F0.975 = 0, 476 e F0.025 = 2, 1 Como F0.025 ≤ Fobs ≤ F0.975 , não rejeitamos H0 .


31

6) Temos que P-valor= 2 ∗ min{P [F > 1, 157|H0 ] ; P [F < 1, 157|H0 ]} = 2 ∗ min{0, 35; 0, 65} = 0, 7. Assim, como o P − valor = 0, 7 > 0, 05, não rejeitamos a hipótese H0 .

1.15

Teste de Valor Extremo (Grubbs)

Este teste é desenvolvido para verificar a presen¸ca de valores extremos em observa¸cões amostrais. Valores extremos podem ser considerados como manifesta¸co˜es da variabilidade aleatória inerente aos dados, ou apenas um erro no cálculo durante o recolhimento dos dados e até mesmo uma anota¸caõ preciptada pelo operador. Existem in´ umeros critérios para testar valores extremos. Em todos eles, desenvolvemos o cálculo numérico amostral (Estat´ıstica) e comparamos com um valor cr´ıtico baseado na teoria de amostras aleatórias para decidirmos se existe ou não uma observa¸cão considerada valor extremo. No teste de Grubbs, usamos a seguinte estat´ıstica: Z =

|xi − x¯| s

onde • xi : é uma observa¸caõ da amostra x1 , x2 , · · · , xn ; • x¯: é a média amostral e ; • s: é o desvio padrão amostral. Esta estat´ıstica testa as seguintes hipóteses:   H : xi é uma observa¸caõ considerada valor extremo 0  H : x não é uma observa¸caõ considerada valor extremo. 1 i Rejeitamos a hipótese H0 , com n´ıvel de significância α, se Z > Zc . Onde Zc é um valor cr´ıtico baseado na distribui¸caõ de Z e encontra-se tabelado (Ver F. E. Grubbs (1969) ) para alguns valores de α. Na Tabela B.3, encontra-se alguns valores cr´ıticos para 5%.


1.16

32

Teste de Dixon

O teste de DIXON é um critério para rejei¸cão de valores extremos de um conjunto de dados. Objetivo: Determinar valores extremos em conjunto de dados. Exemplo 1.17. Um metrologista realizou uma série de medidas com uma Régua graduada. As medidas são: 20,1; 19,9; 20,2; 19,9; 21,1; 20,0. Para sabermos se o resultado 21,1 pertence à mesma distribui¸cão dos outros 5 , aplicamos o Teste de Dixon. Etapas do Teste de Dixon a) Etapa 1 - Ordenar os dados; 19,9

19,9

20

20,1

20,2

21,1

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6 ou ZH

b) Etapa 2 - Calcular a Estat´ıstica; N´ umero de Repeti¸ c˜ oes

rD

ZH (suspeito)

Z1 (suspeito)

3 ≤ H ≤ 7

Q10

(ZH − ZH−1 ) (ZH − Z1 )

(Z2 − Z1 ) (ZH − Z1 )

8 ≤ H ≤ 12

Q11

(ZH − ZH−1 ) (ZH − Z2 )

(Z2 − Z1 ) (ZH−1 − Z1 )

13 ≤ H

Q22

(ZH − ZH−2 ) (ZH − Z3 )

(Z3 − Z1 ) (ZH−2 − Z1 )

ZH (suspeito) =

21, 1 − 20, 2 = 0, 75 21, 1 − 19, 9

Z1 (suspeito) =

19, 9 − 19, 9 = 0 21, 1 − 19, 9

c) Etapa 3 - Encontrar o Valor Cr´ıtico na Tabela, para 5% de significância; Valor Cr´ıtico = 0,628. Como o valor calculado de ZH (suspeito) é maior do que o valor tabelado conclui-se pela rejei¸cão da medida 21,1mm. Como o valor calculado de Z1 (suspeito) é menor do que o valor tabelado conclui-se pela não rejei¸cão da medida 19,9mm. Após a rejei¸cão de um dos extremos devemos aplicar mais uma vez o Teste de Dixon nos novos valores extremos.


33

Exerc´ıcio 1.5. Considere um sistema de medi¸cão do diâmetro por uma coluna pneumática. O equipamento realizou 8 medi¸cões, conforme abaixo: 12,5013; 12,5012; 12,5016; 12,5015; 12,5018; 12,5030; 12,5022; 12,5022. a) Etapa 1 - Ordenar os dados; b) Etapa 2 - Calcular a Estat´ıstica; c) Etapa 3 - Comparar com a tabela e concluir. Valor de RD Q10

Q11

Q22

Valor de RD Q22

1.17

Valores cr´ıticos H 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

5% 0.970 0.829 0.710 0.628 0.569 0.608 0.504 0.530 0.502 0.479 0.611 0.586 0.565 0.546 0.529 0.514 0.501 0.489 0.488 0.468 0.459 0.451 0.444 0.436 0.429 0.423 0.417

Valores cr´ıticos 30 31 32 33

0.412 0.407 0.402 0.397

Teste de Cochran

ˆ (HOMOGENEIDADE DE VARIANCIA) O teste de Cochran é usado para comparar a maior variância com as outras variâncias de um grupo. Pode ser utilizado para comparar metrologistas, métodos ou laboratórios. Para aplicar o Teste de Cochran vamos seguir as seguintes etapas a seguir:


34

a) Etapa 1 - Calcular a Estat´ıstica; s2 maior variância C = Ppmax 2 = soma de todas as variâncias i=1 si onde: • p: representa o n´ umero de metrologistas, métodos ou laboratórios; • s2i : representa a variância amostral. Esta é calculada por: Pn s2i

=

− y¯)2 ; n − 1

j=1 (yj

• n: representa o n´ umero de medidas feitas por cada metrologista, métodos ou laboratórios. b) Etapa 2 - Comparar com valor tabelado. Exemplo 1.18. Em um laboratório de metrologia, 4 metrologistas realizam 5 medi¸cões para calibrarem um certo equipamento. veja as medi¸cões na tabela 1.9.

MEDIDA 1 MEDIDA 2 MEDIDA 3 MEDIDA 4 MEDIDA 5 ´ MEDIA ˜ DESVIO PADRAO ˆ VARIANCIA

˜ JOAO 50,0071 50,0072 50,0072 500.071 500.072 50,00716 0,000055 0,000000003

METROLOGISTAS NOVATO MOACIR 50,007 50,0072 50,0076 50,0074 50,0075 50,0073 50,0071 50,0072 50,0078 50,0072 50,0074 50,00726 0,00034 0,000089 0,000000115 0,000000008

ROBERTO 50,0073 50,0074 50,0073 50,0072 50,0072 50,00728 0,000084 0,000000007

Tabela 1.8: Tabela resumo das medi¸cões dos metrologistas 2 Observamos que Smax = 0, 000000115, com isso: Ccalculado =

0, 000000115 = 0, 985 0, 000000003 + 0, 000000115 + 0, 000000008 + 0, 000000007

Ctabelado (Tabela C, para 5% de significância) = 0,629. Portanto, como Ccalculado > Ctabelado , a variância do metrologista NOVATO não é homogênea em rela¸cão a dos demais metrologistas. Exerc´ıcio 1.6. Considere um laboratório de metrologia com 4 metrologistas realizando o mesmo tipo de calibra¸cão. Ao realizarmos uma compara¸cão interlaboratorial, obtemos os seguintes resultados:


35 METROLOGISTAS M1

M2

M3

M4

MEDIDA 1

12,501

12,502 12,502

12,501

MEDIDA 2

12,501

12,501 12,502

12,501

MEDIDA 3

12,502

12,501 12,502

12,501

MEDIDA 4

12,503

12,502 12,501

12,501

MEDIDA 5

12,502

12,501 12,501

12,502

MEDIDA 6

12,502

12,501 12,503

12,501

´ MEDIA ˜ DESVIO PADRAO ˆ VARIANCIA Avaliar a homogeneidade dos quatro metrologistas! Tabela C para um n´ıvel de significância de 5%. p

n=4

n=5

n=6

2

0,939 0,906 0,877

3

0,798 0,746 0,707

4

0,684 0,629

5

0,598 0,544 0,506

6

0,532

0,48

7

0,48

0,431 0,397

8

0,428 0,391

9

0,403 0,358 0,328

0,59

0,445

0,36

10 0,373 0,321 0,302

1.18

Teste de Igualdade das Variˆ ancias

Apesar de utilizarmos o gráfico de res´ıduos para avaliar a igualdade de variância, diversos testes estat´ısticos podem ser encontrados na literatura. Considere as hipóteses H0 : σ12 = σ22 = ... = σk2 H1 :

pelo menos um dos σ 2 ’s diferente.

Os métodos mais utilizados são o teste de Bartlett e o teste de Levene.


1.18.1

36

Teste de Bartlett

Este procedimento consiste em calcular uma estat´ıstica cuja distribui¸caõ amostral é aproximada por uma qui-quadrado com k − 1 graus de liberdade. A estat´ıstica de teste é B0 =

q c

onde q = (N − k) ∗

ln s2p

−

k X

(ni − 1) ∗ ln s2i

i=1 k X

1 c = 1+ 3 ∗ (k − 1)

i=1

1 1 − ni − 1 N − k

ni X (yij − y i. )2

k X (ni − 1)s2i

s2p =

i=1

N −k

!

;

s2i =

j=1

ni − 1

A quantidade q é grande quando as variâncias amostrais s2i são significativamente diferentes e é igual a 0 quando estas variâncias são iguais. Portanto, rejeitamos H0 para valores de B0 forem alto, isto é, rejeitamos H0 se B0 > Q[1−α;k−1] . Onde Q[1−α;k−1] representa o percentil com (1 − α) ∗ 100% da distribui¸caõ qui-quadrado com k − 1 graus de liberdade. O P-valor é calculado por P − valor = P [ χ2(k−1) > B0 | H0 ]. Exemplo 1.19. Vamos aplicar aos dados do Exemplo1.18 o método de Bartlett para testar a igualdade de variância. As variâncias amostrais são s2JOAO = 0, 0000000030; s2N OV AT O = 0, 0000001156;

s2M OACIR = 0, 0000000079; s2ROBERT O = 0, 0000000071.


37

Então, temos que 4 ∗ (0, 0000000030) + 4 ∗ (0, 0000001156) + 4 ∗ (0, 0000000079) + 4 ∗ (0, 0000000071) 20 − 4 = 0, 000033.

s2p =

Logo q = [16 ∗ ln(0, 000000033)] − 4 ∗ [ln(0, 0000000030) + ln(0, 0000001156)] − 4 ∗ [ln(0, 0000000079) + ln(0, 0000000071)] = −275, 6281 − −292, 0694 = 16, 44. Temos também que 1 1 c = 1+ 1− 3∗3 16 = 1, 1 Então, a estat´ıstica do teste B0 = 16, 44/1, 1 = 14, 94545. Como Q[0,95;3] = 7, 81, nós rejeitamos a hipótese de que todas as variância são iguais. Abaixo calculamos o p-valor para o teste de Bartlett. P − valor = P [ χ2(k−1) > B0 | H0 ] = P [ χ2(3) > 14, 94545 | H0 ] = 0, 00186386. Como o p-valor está abaixo de 5% rejeitamos a hipótese H0 .

1.18.2

Teste de Levene

Este procedimento consiste em fazer uma transforma¸caõ aos dados originais e aplicar os dados transformados ao teste da ANOVA. Levene (1960) proprõe a seguinte transforma¸caõ: zij = |xij − xi. | , i = 1, · · · , k, e j = 1, · · · , ni .

(1.1)


38

onde • zij : representa os dados após transforma¸cão; • xij : representa os dados originais; • xi. : representa a média do n´ıvel i, para os dados originais; • As duas barras verticais representa o módulo ou valor absoluto da diferen¸ca. Uma transforma¸cão (robusta) alternativa considerada para o procedimento de Levene, proposto por Brown (1974), é substituir a média do n´ıvel pela mediana. Com isso, a expressão 1.1 é substitu´ıda por zij = |xij − x˜i. | , i = 1, · · · , k, e j = 1, · · · , ni

(1.2)

onde • zij : representa os dados após transforma¸cão; • xij : representa os dados originais; • x˜i. : representa a mediana do n´ıvel i, para os dados originais; • As duas barras verticais representa o módulo ou valor absoluto da diferen¸ca. Após a transforma¸caõ dos dados originais pela expressão 1.2, aplicamos o teste da ANOVA. Se a estat´ıstica F for significativa rejeitamos a hipótese de igualdade das variâncias, ou seja, se o p-valor for inferior ao valor de α (n´ıvel de significância do teste) rejeitamos H0 . Exemplo 1.20. Utilizando os dados do Exemplo1.18 iremos aplicar o teste de Levene para testar a igualdade de variância. Os dados estão apresentados na tabela 1.9. ˜ (i = 1), obtemos os Usando a expressão 1.2, para os dados da medi¸cão metrologista JOAO dados transformado que são dados por: z11 = |50, 0071−50, 0072| = 0, 0001 ; z12 = |50, 0072−50, 0072| = 0 ; z13 = |50, 0072−50, 0072| = 0; z14 = |50, 0071 − 50, 0072| = 0, 0001 ; z15 = |50, 0072 − 50, 0072| = 0. Fazendo o mesmo para os demais n´ıveis, obtemos a tabela 1.10 com os dados transformados para todos os n´ıveis.


MEDIDA 1 MEDIDA 2 MEDIDA 3 MEDIDA 4 MEDIDA 5 SOMA (xi. ) ´ MEDIA (¯ xi. ) MEDIANA (x˜i. )

39

˜ JOAO NOVATO 50,0071 50,007 50,0072 50,0076 50,0072 50,0075 50,0071 50,0071 50,0072 50,0078 250,036 250,037 50,0072 50,0074 50,0072 50,0075

MOACIR ROBERTO 50,0072 50,0073 50,0074 50,0074 50,0073 50,0073 50,0072 50,0072 50,0072 50,0072 250,036 250,036 50,0073 50,0073 50,0072 50,0073

x.. = 1000, 146 x¯.. = 50, 0073

Tabela 1.9: Tabela resumo das medi¸cões dos metrologistas Operador ˜ JOAO NOVATO MOACIR ROBERTO

0,0001 0,0005 0,0000 0,0000

0,0000 0,0001 0,0002 0,0001

Medi¸co˜es 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000

0,0001 0,0004 0,0000 0,0001

0,0000 0,0003 0,0000 0,0001

Tabela 1.10: Dados Transformados para as Medi¸cões Com os dados transformados, aplicamos o teste da Anova. A tabela 1.11 apresenta o resultado do teste. Fonte de Varia¸caõ Fator Erro Total

Soma de Graus de Quadrados Estat´ıstica F P-valor Quadrados Liberdade Médios 1,615e-07 3 5,3833e-08 3,778 0,0318 2,280e-07 16 1,4250e-08 3,895e-07 19

Tabela 1.11: Análise de Variância para os dados transformados. Como o p-valor é menor que 5%, temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.

1.19

Compara¸c˜ ao entre Sistemas de Medi¸ c˜ ao

Aqui, vamos apresentar uma técnica para comparar dois sistemas de medi¸cão. Para ilustrar, vamos considerar um exemplo. Exemplo 1.21. O diâmetro de um anel padrão pode ser medido por dois tipos de sistemas de medi¸cão. Para comparar estes sistemas de medi¸cão, um anel padrão foi medido 5 vezes por cada sistema de medi¸cão utilizando o mesmo operador. Os resultados estão abaixo:


40 SM 1

SM 2

Média

15,601mm

15,603mm

Incerteza Expandida

0,001mm

0,0015mm

Etapa 1: Calcular a Estat´ıstica: |M SM 1 − M SM 2| EN = √ U SM 12 + U SM 22 onde: • MSM1: representa a média do sistema de medi¸cão 1; • MSM2: representa a média do sistema de medi¸cão 2; • USM1: representa a incerteza expandida do sistema de medi¸cão1; • USM2: representa a incerteza expandida do sistema de medi¸cão2. Com isso, temos que |15, 601 − 15, 603| 0, 002 EN = p = 1, 109 = 2 2 0, 0018 (0, 001) + (0, 0015) Etapa 2: • Se EN < 1, os dois sistemas de medi¸cão são compat´ıveis; • Se EN > 1, os dois sistemas de medi¸cão não são compat´ıveis, isto é, os sistemas de medi¸cão apresentam diferen¸cas significativas. Como, no exemplo, EN = 1, 109 é maior que 1, conclu´ımos que existe uma diferen¸ca significativa entre os dois sistemas medi¸cão. Exerc´ıcio 1.7. Considere dois sistemas de medi¸cão de dureza na escala HB. Um mesmo padr˜ ao foi medido várias vezes por cada sistema, os resultados estão abaixo: SM 1

SM 2

Média

56 HB

58,2 HB

Incerteza Expandida

1,25 HB

2,2 HB

|56 − 58, 2| EN = p = 0, 8695 (1, 25)2 + (2, 2)2 Como o EN = 0, 8695 é menor que 1, conclu´ımos que não existe uma diferen¸ca significativa entre os dois sistemas medi¸cão.

41

Cap´ıtulo 2 Fundamentos do C´ alculo de Incerteza em Medi¸ c˜ ao 2.1

Medi¸c˜ ao

O objetivo de uma medi¸caõ é determinar o valor de uma grandeza, isto é, um valor particular de uma quantidade da grandeza. Esta medi¸caõ come¸ca com uma apropriada especifica¸caõ da grandeza, do método e procedimento de medi¸caõ. Em geral, o resultado de uma medi¸cão é uma aproxima¸caõ ou estimativa do valor da grandeza. Assim, o resultado da medi¸caõ somente está completo se estiver acompanhado da incerteza da estimativa. Na prática, a especifica¸cão ou defini¸caõ da grandeza é conseq¨ uência da exatidão (accuracy) desejada. Para atender a exatidão requerida, a grandeza deve ser especificada de tal forma que, esta tenha um u ńico valor para os propósitos práticos associados. Exemplo 2.1. Considere uma haste de 75 mm onde a exatidão requerida é de micrômetros. Neste caso, sua especifica¸cão deve incluir a temperatura e pressão. Por outro lado, se o comprimento da haste deve ser determinado em mil´ımetros, sua especifica¸cão não requer a defini¸c˜ ao da temperatura e pressão. Na grande maioria dos casos, o resultado da medi¸cão é determinado através de uma série de leituras obtidas sob condi¸cões de repetitividade. Varia¸co˜es obtidas nas leituras repetidas são conseq¨ uência de fatores que afetam os resultados das leituras. Além disso, o modelo matemático da medi¸cão, que transforma as leituras repetidas no resultado da medi¸cão é cr´ıtico, pois inclu´ı fatores que não são totalmente conhecidos. Assim, a

2. Fundamentos do Cálculo de Incerteza em Medi¸caõ

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varia¸cão obtida nas leituras repetidas e a falta de informa¸cão do modelo matemático, contribuem para a incerteza do resultado da medi¸cão. Medi¸c˜ ao é o conjunto de opera¸cões com objetivo de determinar o valor de uma grandeza. Estas opera¸cões podem ser realizadas automaticamente. Medir é um processo experimental pelo qual o valor momentâneo de uma grandeza f´ısica (grandeza a medir) é determinado como m´ ultiplo e/ou uma fra¸caõ de uma unidade, estabelecida por um padrão, e reconhecida internacionalmente.

2.2

Erros, efeitos e corre¸ co ˜es

Em geral, uma medi¸caõ tem imperfei¸cões que dão origem a um erro no resultado da medi¸cão. Tradicionalmente, um erro é visto como tendo dois componentes, a saber, um componente aleatório e um componente sistemático. NOTA - Erro é um conceito idealizado e os erros não podem ser conhecidos exatamente. O erro aleatório presumivelmente se origina de varia¸cões temporais ou espaciais, estocásticas ou imprevis´ıveis, de grandeza de influência. Os efeitos de tais varia¸co˜es, daqui para a frente denominamos efeitos aleatórios, são a causa de varia¸cões em observa¸co˜es repetidas da grandeza. Embora não seja poss´ıvel compensar o erro aleatório de um resultado de medi¸caõ, ele pode geralmente ser reduzido aumentando-se o n´ umero de observa¸co˜es; sua esperan¸ca ou valor esperado é zero. NOTAS 1. O desvio padrão experimental da média aritmética ou média de uma série de observa¸c˜ oes não é o erro aleatório da média embora ele assim seja designado em algumas publica¸c˜ oes. Ele é, em vez disso, uma medida de incerteza da média devida a efeitos aleatórios. O valor exato do erro na média, que se origina destes efeitos, não pode ser conhecido. 2. Deve-se tomar muito cuidado em distinguir entre os termos ”erros”e ”incerteza”. Eles não são sinônimos, ao contrário representam conceitos completamente diferentes; eles não deveriam ser confundidos um com o outro, nem ser mal empregados.

O erro sistemático, como o erro aleatório, não pode ser eliminado porém ele também,


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freq¨ uentemente, pode ser reduzido. Se um erro sistemático se origina de um efeito reconhecido de uma grandeza de influência em um resultado de medi¸caõ, daqui para diante denominado como efeito sistemático, o efeito pode ser quantificado e, se for significativo com rela¸caõ a` exatidão requerida da medi¸cão, uma corre¸caõ ou fator de corre¸caõ pode ser aplicado para compensar o efeito. Supõe-se que, após esta corre¸cão, a esperan¸ca ou valor esperado do erro provocado ou um efeito sistemático seja zero. NOTA - A incerteza de uma corre¸cão aplicada a um resultado de medi¸cão, para compensar um efeito sistemático, não é o erro sistemático, freq¨ uentemente denominado efeito de tendência, ´ ao contr´ como é algumas vezes denominada no resultado de medi¸cão devido ao efeito. E, ario, uma medida de incerteza do resultado devido ao conhecimento incompleto do valor requerido da corre¸cão. O erro originado da compensa¸cão imperfeita de um efeito sistemático não pode ser exatamente conhecido, Os termos ”erro”e ”incerteza”devem ser usados apropriadamente e deve-se tomar cuidado em distinguir um do outro. Supõe-se que o resultado de uma medi¸cão tenha sido corrigido para todos os efeitos sistemáticos reconhecidos como significativos e que todo esfor¸co tenha sido feito para identificar tais efeitos. Exemplo 2.2. Uma corre¸cão devida à impedância finita de um volt´ımetro usado para medir uma diferen¸ca de potencial (a grandeza), através de um resistor de alta impedância é aplicada para reduzir o efeito sistemático sobre no resultado da medi¸cão proveniente do efeito de carregamento do volt´ımetro. Entretanto, os valores da impedância do volt´ımetro e do resistor, que s˜ ao usados para estimar o valor da corre¸cão e são obtidos a partir de outras medidas, s˜ ao, eles mesmos, incertos. Essas incertezas são usadas para avaliar a componente de incerteza da determina¸cão de diferen¸ca de potencial originada da corre¸cão e, assim, do efeito sistem´ atico devido à impedância finita do volt´ımetro.

NOTA - Freq¨ uentemente, os instrumentos e sistemas de medi¸cão são ajustados ou calibrados, utilizando-se padrões de medi¸cão e materiais de referência para eliminar os efeitos sistemáticos; entretanto, as incertezas associadas a esses padrões e materiais ainda devem ser levadas em conta.


2.3

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Incerteza de Medi¸c˜ ao

A incerteza do resultado de uma medi¸cão reflete a falta de conhecimento exato do valor da grandeza. O resultado de uma medi¸caõ, após corre¸cão dos efeitos sistemáticos reconhecidos, é ainda, tão somente uma estimativa do valor da grandeza por causa da incerteza proveniente dos efeitos aleatórios e da corre¸caõ imperfeita do resultado para efeitos sistemáticos. NOTA - O resultado de uma medi¸cão (após corre¸cão) pode, sem que se perceba, estar muito próximo do valor da grandeza (e, assim, ter um erro desprez´ıvel), muito embora possa ter uma incerteza grande. Portanto, a incerteza do resultado de uma medi¸cão não deve ser confundida com o erro desconhecido remanescente. Na prática, existem muitas fontes poss´ıveis d incerteza em uma medi¸caõ, incluindo: a) defini¸caõ incompleta da grandeza; b) realiza¸caõ imperfeita da defini¸cão da grandeza; c) amostragem não-representativa - a amostra medida pode não representar a grandeza definida; d) conhecimento inadequado dos efeitos das condi¸cões ambientais sobre a medi¸caõ ou medi¸cão imperfeita das condi¸cões ambientais; e) erro de tendência pessoal na leitura de instrumentos analógicos; f) resolu¸caõ finita do instrumento ou limiar de mobilidade; g) valore inexatos dos padrões de medi¸caõ e materiais de referência; h) valore inexatos de constantes e de outros parâmetros obtidos de fontes eternas e usados no algoritmo de redu¸caõ de dados; i) aproxima¸co˜es e suposi¸co˜es incorporadas ao método e procedimento de medi¸caõ; j) varia¸co˜es nas observa¸co˜es repetidas da grandeza sob condi¸co˜es aparentemente idênticas. Essas fontes não são necessariamente independentes e algumas das fontes de a) a i) podem contribuir para a fonte j). Naturalmente, um efeito sistemático não reconhecido não pode ser levado em considera¸cão na avalia¸caõ da incerteza do resultado de uma medi¸caõ, porém contribui para seu erro. NOTA - Em algumas publica¸cões, os componentes da incerteza são categorizados como ”aleatório”e ”sistemático”e são associados com erros provenientes de efeitos aleatórios e de efeitos sistemáticos conhecidos, respectivamente. Tal categoriza¸cão de componentes de in-


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certeza pode se tornar amb´ıgua quando aplicada genericamente. Por exemplo, um componente ”aleatório”de incerteza em uma medi¸cão pode se tornar um componente ”sistemático”da incerteza em outra medi¸cão na qual o resultado da primeira medi¸cão é usado como dado de entrada. Categorizando os métodos de avalia¸cão dos componentes de incerteza, em vez de fazêlo com os próprios componentes, evita-se tal ambig¨ uidade. Ao mesmo tempo, isto não impede designar componentes individuais que tenham sido avaliados pelos dois diferentes métodos em grupos distintos, a serem usados para uma finalidade em particular. O propósito da classifica¸caõ Tipo A e Tipo B é de indicar as duas maneiras diferentes de avaliar os componentes da incerteza e serve apenas para discussão; a classifica¸cão não se propõe a indicar que haja qualquer diferen¸ca na natureza dos componentes resultando dos dois tipos de avalia¸cão. Ambos os tipos d avalia¸cão são baseados em distribui¸co˜es de probabilidade e os componentes de incerteza resultantes de cada tipo são quantificados por variâncias ou desvios padrão. A variância estimada u2 , caracterizando um componente de incerteza obtido de uma avalia¸caõ do Tipo A, é calculada a partir de uma série de observa¸cões repetidas, e é a conhecida variância s2 estatisticamente estimada. O desvio padrão estimado u, a raiz quadrada positiva de u2 , é portanto u = s e, para maior conveniência, é por vezes denominada incerteza padrão do Tipo A. Para um componente de incerteza obtido por uma avalia¸caõ do Tipo B, a variância estimada u2 é avaliada, usando-se o conhecimento dispon´ıvel, e o desvio padrão estimado u é, por vezes, denominado incerteza padrão do Tipo B. Assim, uma incerteza padrão do Tipo A é obtida a partir de uma fun¸cão densidade de probabilidade derivada da observa¸cão de uma distribui¸caõ de freq¨ uência, enquanto que a incerteza padrão do Tipo B é obtida de uma suposta fun¸cão densidade de probabilidade, baseada no grau de credibilidade de que um evento vá ocorrer (freq¨ uentemente chamada probabilidade subjetiva). Ambos os enfoques empregam interpreta¸co˜es reconhecidas de probabilidade. NOTA - Uma avalia¸cão do Tipo B de um componente de incerteza é usualmente baseada em um conjunto de informa¸cões comparativamente confiáveis. A incerteza padrão do resultado de uma medi¸cão, quando este resultado é obtido de valores e um n´ umero de outras grandezas, é denominada incerteza padrão combinada e designada ou uc . Ela é o desvio padrão estimado, associado com o resultado, e é igual a` raiz quadrada positiva da variância combinada, obtida a partir de todos os componentes da variância e covariância,


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independente de como tenham sido avaliados, usando o que é denominado, de lei da propaga¸cão de incerteza. Para satisfazer as necessidades de algumas aplica¸cões industriais e comerciais, assim como a requisitos nas a´reas da sa´ ude e seguran¸ca, uma incerteza expandida U é obtida, multiplicandose a incerteza padrão combinada uc por um fator de abrangência k. A finalidade pretendida para U é fornecer um intervalo em torno do resultado de uma medi¸cão, com o qual se espera abranger uma grande fra¸caõ da distribui¸caõ de valores que poderiam razoavelmente ser atribu´ıda a grandeza. A escolha de k, o qual está geralmente na faixa de 2 a 3, é baseada na probabilidade de abrangência ou n´ıvel da confian¸ca requerido do intervalo. NOTA - O fator de abrangência k deve sempre ser declarado de forma que a incerteza padr˜ ao da grandeza medida possa ser recuperada para uso no cálculo de incerteza padrão combinada de outros resultados de medi¸cão que possam depender dessa grandeza. Se houver varia¸caõ de todas as grandezas das quais o resultado de uma medi¸caõ depende, sua incerteza poderá ser calculada por meios estat´ısticos. Entretanto, uma vez que isso, na prática, raramente é poss´ıvel, devido a tempo e recursos limitados, a incerteza de um resultado de medi¸caõ é, geralmente, avaliada, utilizando-se um modelo matemático da medi¸cão e a lei de propaga¸cão da incerteza. Assim, está impl´ıcita a suposi¸caõ de que uma medi¸cão pode ser modelada matematicamente até o grau imposto pela exatidão requerida na medi¸cão. Uma vez que o modelo matemático pode ser incompleto, todas as grandezas relevantes dever ser variadas até a maior extensão prática poss´ıvel, de modo que a avalia¸cão da incerteza possa ser baseada, tanto quanto poss´ıvel, nos dados observados. Sempre que fact´ıvel, o uso de modelos emp´ıricos da medi¸cão, fundamentados em dados quantitativos, colecionados ao longo do tempo, e o uso de padrões de verifica¸cão e gráficos de controle que possam indicar se uma medi¸caõ está sob controle estat´ıstico, devem ser parte do esfor¸co de obten¸cão de avalia¸co˜es confiáveis de incerteza. O modelo matemático deverá sempre ser revisado quando os dados observados, incluindo o resultado de determina¸co˜es independentes da mesma grandeza, demonstrarem que o modelo está incompleto. Um experimento bem projetado pode, muito, facilitar avalia¸cões confiáveis da incerteza e é uma parte importante da arte de medi¸caõ. De forma a decidir se um sistema de medi¸cão está funcionando adequadamente, a variabilidade observada experimentalmente de seus valores de sa´ıda, conforme medida pelo seu desvio padrão observado, é, freq¨ uentemente, comparada com o desvio padrão previsto obtido, combinando-se os vários componentes da incerteza que caracterizam a medi¸caõ. Em tais ca-


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sos, somente aqueles componentes (obtidos de avalia¸cões Tipo A ou Tipo B) que poderiam contribuir para a variabilidade experimentalmente observada destes valores de sa´ıda devem ser considerados. NOTA - Tal análise pode ser facilitada, reunindo-se aqueles componentes que contribuem para a variabilidade e aqueles que não o fazem em dois grupos separados e adequadamente rotulados. Em alguns casos, a incerteza de uma corre¸cão para um efeito sistemático não precisa ser inclu´ıda na avalia¸caõ da incerteza de um resultado de medi¸caõ. Embora a incerteza tenha sido avaliada, ela pode ser ignorada se sua contribui¸caõ para a incerteza padrão combinada de um resultado de medi¸caõ é insignificante. Se o valor da própria corre¸caõ for insignificante relativamente a` incerteza padrão combinada, ele também pode ser ignorado. Muitas vezes ocorre na prática, especialmente no dom´ınio da metrologia legal, que um equipamento é ensaiado através de uma compara¸caõ com um padrão de medi¸caõ e as incertezas associadas com o padrão e com o procedimento de compara¸caõ são desprez´ıveis relativamente a` exatidão requerida do ensaio. Um exemplo é o uso de um conjunto de padrões de massa bem calibrados para verificar a exatidão de uma balan¸ca comercial. Em tais casos, porque os componentes da incerteza são pequenos o bastante para serem ignorados, a medi¸caõ pode ser vista como determina¸cão do erro do equipamento sob ensaio. A estimativa do valor de uma grandeza, obtida pelo resultado de uma medi¸cão, é algumas vezes expressa em termos de valor adotado de um padrão de medi¸cão, em vez de termos da unidade apropriada do Sistema Internacional de Unidades (SI). Em tais casos, a magnitude da incerteza atribu´ıvel ao resultado de medi¸caõ pode ser significativamente menor do que quando aquele resultado for expresso na unidade SI apropriada (na realidade, a grandeza foi redefinida para ser razão entre o valor da grandeza a ser medida e do valor adotado do padrão). Exemplo 2.3. Um padrão de tensão Zener de alta qualidade é calibrado por compara¸c˜ ao com uma referência de tensão de efeito Josephson baseado no valor convencional da constante Josephson recomendada para uso internacional pelo CIPM. A incerteza padrão combinada relativa uc (VS )/VS da diferen¸ca de potencial calibrada VS é relatado em termos do valor convencional, mas uc (VS )/VS é 4 × 10−7 quando VS é relatado em termos da unidade SI da diferen¸ca de potencial, volt(V ), por causa da incerteza adicional associada com o valor SI da constante Josephson.


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Erros grosseiros no registro ou na análise dos dados podem introduzir um erro desconhecido significativo no resultado de uma medi¸caõ. Grandes erros grosseiros podem ser, geralmente, identificados por uma revisão apropriada dos dados; os pequenos erros grosseiros podem ser mascarados por varia¸co˜es aleatórios, ou até mesmo podem aparecer como tais. Medidas de incerteza não são projetadas para levar em conta tais erros. A avalia¸cão da incerteza não é uma tarefa de rotina nem uma tarefa puramente matemática; ela depende de conhecimento detalhado da natureza da grandeza e da medi¸cão. A qualidade e utilidade da incerteza indicada para o resultado de uma medi¸caõ, dependem, portanto, e em u ´ltima análise, da compreensão, análise cr´ıtica e integridade daqueles que contribuem para o estabelecimento de seu valor. Resultado da Medi¸c˜ ao A expressão de um resultado de medi¸cão encontra-se incompleta caso esta não se apresente com a declara¸cão da Incerteza de medi¸cão associada. A incerteza de um resultado define uma faixa de valores em torno da média das medi¸co˜es, dentro da qual o valor verdadeiro da grandeza se encontra com n´ıvel de confian¸ca estabelecido. Resultado = M´ edia (das medidas) - Erro Sistem´ atico ± IM (Incerteza) Embora não seja ainda de entendimento geral e até mesmo algumas vezes de desconhecimento de alguns, cumpre-nos observar que dentre as parcelas mostradas na expressão do Resultado de uma medi¸cão a IM (Incerteza de Medi¸caõ) é a mais importante, até mesmo do que a Média (das medidas) e mereceria uma maior compreensão e aplica¸cão. Vejamos um exemplo em que a um Metrologista fosse solicitado para medir as dimensões do seu Laboratório de Metrologia para a prepara¸cão de um layout, e este não dispusesse de trena ou qualquer outro meio de medi¸caõ. Este poderia utilizar-se das dimensões padronizadas das placas do piso (Por exemplo Paviflex, 30 × 30 cm) e após uma contagem do n´ umero de placas em cada lado emitir um resultado de medi¸caõ, como o seguinte: 4,0 × 4,0 m ± 0,15 m . Metrologicamente falando, o resultado da sua medi¸caõ está correto mesmo se o solicitante não estivesse satisfeito com a IM apresentada e neste caso o mesmo poderia propor uma altera¸caõ no procedimento de medi¸caõ utilizado, como por exemplo o uso de uma trena. Sob o mesmo ponto de vista, errado estaria se a medi¸caõ fosse feita, por exemplo com uma trena e o resultado apresentado fosse: 4,010 × 4,047 m (sem a declara¸caõ da IM). Tipos de Incertezas de Medi¸c˜ ao


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Por recomenda¸co˜es do INC-1 (1981) [ISO GUM ver.95] os componentes da incerteza foram divididos em dois grupos de acordo com o método utilizado para estimar seus valores numéricos: Tipo A - Aquelas que são avaliadas por métodos estat´ısticos Tipo B - Aquelas que são avaliadas por outros métodos Estas categorias aplicam-se somente a incerteza e não são substitutos das palavras “aleatórios” e “sistemáticos”. Ora os componentes da incerteza de medi¸cão são classificados como “Tipo A” ou “Tipo B” e modelados pelo tipo de avalia¸cão, mas todos estes componentes independente de suas classifica¸co˜es são modelados pelo tipo de distribui¸cão de probabilidade e quantificados pela variância ou pelo desvio padrão. Portanto, a incerteza do tipo A é obtida da fun¸caõ densidade de probabilidade derivada das observa¸co˜es (leituras), isto é, da distribui¸cão de freq¨ uência. Enquanto a incerteza do tipo B é obtida da fun¸caõ densidade de probabilidade previamente assumida. • A avalia¸caõ do Tipo A será normalmente utilizada para obter o valor da repetitividade ou aleatoriedade de um processo de medi¸caõ, exibido em um dado momento. Para algumas medi¸co˜es o componente aleatório da incerteza pode não ser significante em rela¸cão a outras contribui¸co˜es da incerteza. ´ provável que os componentes sistemáticos da incerteza, por exemplo aqueles relativos • E a erros que permanecem quase constantes enquanto a medi¸caõ é realizada, serão obtidas por avalia¸cões Tipo B. A mais importante dessas componentes sistemáticas, para um instrumento, normalmente será a incerteza associada aos padrões de referência utilizados de forma a atender às necessidades da rastreabilidade aos Padrões Nacionais ou Internacionais. Exemplos de Componentes de Incerteza de Medi¸c˜ ao Tipo “A”

GRANDEZA

FONTE DE INCERTEZA - TIPO “A”

Dimensional

Repetitividade entre as várias medi¸cões em um calibrador

Temperatura

Repetitividade entre as medi¸cões de microvoltagens em um Termopar Tipo S

Dureza

Repetitividade entre 10 medidas em uma placa padrão de dureza

Exemplos de Componentes de Incerteza de Medi¸c˜ ao Tipo “B”


GRANDEZA

FONTE DE INCERTEZA - TIPO “B”

Dimensional

Incerteza no medidor de temperatura utilizado para compensar a expans˜ ao t´ ermica do mensurando

Dimensional

Resolu¸ c˜ ao do Instrumento

Dimensional

Incerteza do Coeficiente de Expans˜ ao t´ ermica utilizado

Temperatura

Erro estimado na determina¸ ca õ do ponto zero

Temperatura

Incerteza do padr˜ ao utilizado

Temperatura

Uniformidade do forno

Medidas El´ etricas

Influˆ encias das condi¸ c˜ oes ambientais

Medidas El´ etricas

Estabilidade estimada do instrumento ao longo do tempo

Massa

Estabilidade (Drift) da massa padr˜ ao

Massa

Incerteza do padr˜ ao

Massa

Linearidade da balan¸ ca

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Algumas Fontes de Erros para Estimativas de Componentes Tipo “B” Dimensional • Fonte de Incerteza; • D´ uvida na leitura (resolu¸caõ do instrumento); • Desconhecimento do coeficiente de expansão térmica do mensurando ou padrão a ser calibrado; • Diferen¸cas de temperatura; • Erros de cosseno; • Erros geométricos; • Incertezas do equipamento de medi¸caõ usado na calibra¸caõ.


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Temperatura • Incerteza assumida para os instrumentos elétricos usados durante da calibra¸cão; • Drift (instabilidade) desde a u ´ltima calibra¸cão; • Resolu¸caõ da leitura; • Instabilidade e gradientes de temperatura no ambiente; • Efeito do auto aquecimento dos termômetros de resistência Pt; • Interpola¸co˜es em tabelas de referência. El´ etrica • Drift ( instabilidade ) desde a u ´ltima calibra¸cão; • Condi¸co˜es ambientais diferentes daquela recomendada para a calibra¸caõ; • Interpola¸caõ nos dados de calibra¸caõ; • Resolu¸caõ; • Layout dos instrumentos e padrões durante a calibra¸caõ (fugas de corrente, campos eletromagnéticos); • Impedância dos cabos, terminais e instrumentos.

2.4

Avalia¸c˜ ao da Incerteza Padr˜ ao

Em muitos casos, uma grandeza y não é medida diretamente, mas é determinado em fun¸cão de n outras grandezas x1 , x2 , . . . , xn , através de uma rela¸cão funcional f : y = f (x1 , x2 , . . . , xn ) As grandezas de entrada x1 , x2 , . . . , xn , sobre o qual o valor de sa´ıda y depende, pode ser uma medida ou depender de outras variáveis, incluindo corre¸co˜es e fatores de corre¸co˜es para efeitos sistemáticos. A fun¸cão f pode ser determinada experimentalmente, ou existe somente, como um algoritmo que pode ser avaliado numericamente. As grandezas de entradas x1 , x2 , . . . , xn podem ser caracterizadas como:


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I valores e incertezas determinados diretamente em medi¸caõ; esses valores e incertezas podem ser obtidos de uma simples observa¸caõ, repetidas observa¸co˜es ou julgamentos baseados na experiência. Também podem envolver as determina¸co˜es de corre¸cões para indica¸caõ dos instrumentos e corre¸co˜es por grandezas de influências, tais como: temperatura ambiente, pressão barométrica e umidade; I valores e incertezas, os quais são conduzidos para uma medi¸cão de fontes externas, tais como: grandezas associadas com calibra¸caõ de padrões, certificados de materiais de referência e referência de informa¸co˜es obtidas através de manuais. Exemplo: Para medirmos o volume, podemos utilizar o seguinte método: V ol =

M assa Densidade

onde a grandeza volume é obtida através das grandezas massa e densidade . A estimativa do desvio padrão, associado com cada estimativa de entrada xi , é denominada de incerteza padr˜ ao e indicada por u(xi ). A estimativa do desvio padrão, associado com a estimativa do resultado de medi¸caõ y, é denominado incerteza padr˜ ao combinada e indicado por uc (y), e é determinada pela combina¸cão das incertezas padrão, associada com as estimativas de entrada (xi ). Cada estimativa de entrada xi e sua incerteza associada u(xi ) são obtidas pela distribui¸cão dos valores de uma grandeza de entrada (xi ). A avalia¸c˜ ao da incerteza de medi¸c˜ ao “Tipo A” ´ e baseada na distribui¸c˜ ao de freq¨ uˆ encia, enquanto que a avalia¸c˜ ao “Tipo B” ´ e baseada em informa¸c˜ oes dispon´ıveis da variabilidade da grandeza de entrada (xi ). Exemplo 2.4. (NIS 3003, 1995) Calibra¸cão de uma massa padrão com valor nominal 10 Kg de classe M1, utilizando um comparador. Neste caso, obtemos a equa¸cão da massa desconhecida WX , por WX = WS + DS + δC + Ab + ∆W. Na prática não aplicamos corre¸caõ para esta classe de massa e o comparador tem linearidade desconhecida. Entretanto, associamos incertezas para estas contribui¸co˜es. Avalia¸c˜ ao da Incerteza Padr˜ ao Tipo A. Na grande maioria dos casos, a melhor estimativa para o valor esperado de uma quantidade que varia aleatoriamente, e para o qual temos n leituras independentes k obtidas sob condi¸cões

2. Fundamentos do Cálculo de Incerteza em Medi¸caõ S´ımbolo WS DS δC Ab ∆W

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Fonte de Incerteza Tipo Massa padrão B Deriva (drift) massa padrão B Linearidade do comparador B Efeito do ar B Repetitividade A

Limites M´ edia ± 30 mg (k=2) 10 kg ± 15 mg 0 ± 10 mg 0 ± 10 mg 0

de repetitividade, corresponde a média aritmética. Assim, quando a estimativa de uma grandeza de entrada xi , tem sido obtida de n medidas, sob condi¸cões de repetitividade, a incerteza padrão u(xi ) é obtida pela estimativa da variância da média, dada por: s sX¯ = √ . n onde n = n´ umero de medidas e s = desvio padrão correspondente às n leituras. Voltando ao exemplo 2.4: Considerando o processo de calibra¸caõ da massa padrão do exemplo anterior, o avaliador realizou cinco medidas da diferen¸ca entre a massa padrão e a massa desconhecida. Os resultados estão abaixo: Leitura 1

15 mg

Leitura 2

25 mg

Leitura 3

20 mg

Leitura 4

13 mg

Leitura 5

18 mg

Média

18,20 mg

Desvio Padrão

4,66 mg

Desvio Padrão da Média

2,08 mg

Incerteza do tipo A : 2,08 mg.


54

Avalia¸c˜ ao da Incerteza Padr˜ ao Tipo B Para uma estimativa de uma grandeza de entrada xi , que não tenha sido obtida de observa¸cões repetidas, a variância estimada u2 (xi ) ou a incerteza padrão u(xi ) é avaliada pelo julgamento espec´ıfico baseado em todas as informa¸cões dispon´ıveis na variabilidade de xi . No conjunto destas informa¸co˜es inclu´ımos: a) informa¸cões prévias de medi¸caõ; b) experiência ou conhecimento geral do comportamento e propriedades dos instrumentos e materiais relevantes; c) especifica¸cões do fabricante; d) informa¸cões de relatórios de calibra¸caõ e outras especifica¸cões; e) incerteza transmitidas pelas informa¸cões de referências obtidas de manuais. Por conveniência, u2 (xi ) e u(xi ) avaliados desta maneira são chamados de Variˆ ancia Tipo B e Incerteza Padr˜ ao Tipo B, respectivamente. O propósito de usar várias informa¸co˜es dispon´ıveis para a avalia¸cão da incerteza padrão do Tipo B é para buscar um discernimento baseado na experiência e nos conhecimentos gerais, ´ reconhecido que uma avalia¸cão da e é uma habilidade que pode ser obtida com a prática. E incerteza pelo Tipo B pode ser tanto confiável quanto a do Tipo A, especialmente na situa¸caõ em que a avalia¸cão do Tipo A é baseada na compara¸caõ de pequenos n´ umeros de observa¸co˜es estatisticamente independentes (ISO GUM, 1995) A seguir, são apresentados 4 suposi¸co˜es dispon´ıveis para as grandezas de entradas de influência xi , para a avalia¸caõ da Incerteza Padrão Tipo B. • Caso 1 Se a estimativa xi é retirada da especifica¸caõ do fabricante, certificados de calibra¸caõ, manuais ou outras fontes, sua incerteza padrão u(xi ) é simplesmente o valor citado dividido pelo multiplicador. Exemplo 2.5. Um certificado de calibra¸cão afirma que a massa de um a¸co inoxidável de massa padrão ms = 1000, 000325g, tem como incerteza 240µg para um n´ıvel de confian¸ca com k = 3. A incerteza padrão da massa padrão, é então:

u(ms) = 240 µg/3 = 80 µg


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A incerteza de xi , não necessariamente é relatada como um m´ ultiplo de um desvio padrão, como abordado acima.

Em vez disso, pode-se encontrar uma declara¸caõ que a incerteza

declarada possui 90, 95 ou 99 % de n´ıvel de confian¸ca. Salvo indica¸caõ contrária, poderá assumir que uma distribui¸caõ normal (ou, t-Student) será utilizada para o cálculo da incerteza declarada, e a incerteza padrão u(xi ), pode ser encontrada dividindo-se a incerteza declarada por um fator k, apropriado da distribui¸caõ normal. Exemplo 2.6. Um certificado de calibra¸cão afirma que a resistência de um resistor padr˜ ao RS de valor nominal 10 Ohms é 10, 000742Ω a 23o C e com incerteza de 129mΩ, definindo um intervalo de com n´ıvel de significância de 99%. Então, a incerteza padrão é dada por:

u(RS ) =

129 = 50 µΩ 2, 58

Neste caso, utilizamos a tabela da distribui¸cão normal para determinar o valor de k. • Caso 2 Em alguns casos, pode ser poss´ıvel estimar somente os limites (limite superior a+ e inferior a− ) para xi , por exemplo, quando a grandeza de influência é a varia¸caõ da temperatura. Neste caso, consideramos que a probabilidade de que o valor de xi se encontra dentro do intervalo a− até a+ , para todo propósito prático, é igual a 1 e a probabilidade que xi esteja fora deste intervalo é essencialmente zero. Se não há conhecimento espec´ıfico sobre a possibilidade do valor xi estar dentro do intervalo, pode-se somente admitir que, é igualmente provável encontrá-lo por toda parte, dentro do intervalo (uma distribui¸cão uniforme ou retangular). Então xi , é o ponto médio do intervalo , onde: xi =

(a− +a+ ) , 2

cuja variância associada é dada

por: u2 (xi ) =

(a+ − a− )2 . 12

Se a diferen¸ca entre os limites, (a+ − a− ), é representado por 2a, ou seja, os limites são simétricos, então a equa¸cão para variância será: u2 (xi ) =

a2 2


56

base 2a a u= √ = √ = √ 2 3 2 3 3 Exemplo 2.7. Um manual estabelece que o valor do coeficiente linear de expansão térmica de um bloco padrão de a¸co é determinado por αS = 11, 5 × 10−6 ◦ C −1 e que o “erro” neste valor n˜ ao deve exceder 2 × 10−6 ◦ C −1 . Baseado nesta informa¸cão limitada, é razoável assumir que o coeficiente de expansão térmica pertence ao intervalo 9, 5 × 10−6 ◦ C −1 a 13, 5 × 10−6 ◦ C −1 , com probabilidade 1. A incerteza padrão do coeficiente de expansão térmica é dado por

u(αS ) =

(2 × 10−6 ) √ = 1, 2 × 10−6 ◦ C −1 3

• Caso 3 Os limites superiores e inferiores a− ea+ para uma grandeza de entrada xi pode não ser simétrico, ou seja, se o limite menor é escrito como a− = xi − b− e o limite superior como a+ = xi + b+ , então b− 6= b+ . Neste caso, xi não é o centro do intervalo (a− , a+ ) e a distribui¸caõ de probabilidade de xi não pode ser uniforme. Entretanto, pode não existir informa¸cão suficiente para escolher uma distribui¸caõ apropriada e diferentes modelos conduzirão para diferentes expressões para a variância. Na ausência de tais informa¸co˜es uma simples aproxima¸caõ é: (b+ + b− )2 (a+ + a− )2 u (xi ) = = 12 12 2

que corresponde a variância da distribui¸cão retangular com comprimento b− + b+ . Exemplo 2.8. Caso o exemplo anterior referente ao coeficiente de expansão térmica especifique aS = 11, 5×10−6 ◦ C −1 tal que o menor valor poss´ıvel seja 10, 0×10−6 ◦ C −1 e que o maior valor poss´ıvel seja de 14, 0 × 10−6 ◦ C −1 . Neste caso, b− = 1, 5 × 10−6 ◦ C −1 e b+ = 2, 5 × 10−6 ◦ C −1 . Assim, a incerteza padrão é determinada por


u(αS ) =

57

(4 × 10−6 ) √ = 1, 15 × 10−6 ◦ C −1 12

Exemplo 2.9. Voltando ao exemplo 2.4 da calibra¸cão da massa padrão, vamos estimar as incertezas padrão do tipo B: S¨ımoblo

Fonte de Incerteza

Limites

Distribui¸cão

Incerteza

WS

massa padrão

± 30 mg

Normal

30/2=15 mg

DS

Deriva (drift) massa padrão

± 15 mg

Retangular

15/(3)1/2 = 8, 66mg

δC

Linearidade do comparador

± 10 mg

Retangular

10/(3)1/2 = 5, 77mg

Ab

Efeito do ar

± 10 mg

Retangular

10/(3)1/2 = 5, 77mg

• Caso 4 Nos casos acima não temos informa¸cão sobre os valor da grandeza Xi , apenas que ela se encontra dentro dos limites especificados. Por isso, assumimos que os valores da grandeza são equiprováveis dentro destes limites, e que tem probabilidade zero de estar for destes limites. Muitas vezes é mais realista assumirmos que valores perto dos limites especificados são menos prováveis do que valores próximos ao centro. Neste caso, é razoável trocarmos a distribui¸cão retangular pela distribui¸cão triangular. Assumindo uma distribui¸caõ triangular para a grandeza Xi , obtemos como média xi = (a+ + a− )/2 com incerteza associada u2 (xi ) = a2 /6


58

2a a base u= √ = √ = √ 2 6 2 6 6

2.5

Determina¸c˜ ao da Incerteza Padr˜ ao Combinada

Quando a incerteza do resultado do mensurado y é obtida pela combina¸caõ das incertezas padrão das estimativas de entrada x1 , x2 , . . . , xN , esta incerteza combinada da estimativa y é representada por uc (y), e denominada de incerteza padrão combinada. As estimativas de entrada x1 , x2 , . . . , xN , podem ser classificadas como grandezas: • Estatisticamente independentes ou não correlacionadas; • Estatisticamente dependentes ou correlacionadas. Para as grandezas estatisticamente independentes, considera-se as séries de medi¸cões que foram realizadas com diferentes sistemas de medi¸caõ. Neste caso, a incerteza padrão combinada uc (y) é a raiz quadrada positiva da variância combinada. Quando as medi¸co˜es são realizadas com o mesmo sistema de medi¸caõ, considera-se que as grandezas de entradas são estatisticamente dependentes entre si. Neste caso, a covariância estimada deve ser considerada como uma contribui¸caõ adicional para a incerteza. A expressão para se determinar esta incerteza padrão combinada no caso não correlacionado é apresentada por:

u2c (y)

=

2 N X ∂f i=1

∂xi

u2 (xi )

onde u(xi ) é a incerteza padrão associada com a grandeza de entrada Xi . As derivadas parciais (df /dxi ) calculada no ponto xi são denominadas coeficientes de sensibilidade, pois descrevem como a estimativa de y varia com pequenas mudan¸cas nos valores das estimativas das grandezas de entrada x1 , x2 , . . . , xN . Nota: A incerteza combinada padrão no caso correlacionado não será tratado nesta apostila. Exemplo: Na calibra¸caõ da massa padrão, obtemos a seguinte incerteza combinada

uc (m) =

p (15)2 + (8, 66)2 + (5, 77)2 + (5, 77)2 + (2, 08)2 = 19, 26mg


2.6

59

Determina¸c˜ ao da Incerteza Expandida

Embora a incerteza combinada uc (y) possa ser universalmente usado para expressar a incerteza de um resultado de medi¸cão, devido a necessidade de algumas ind´ ustrias e aplica¸co˜es comerciais, bem como requisitos em a´reas de sa´ ude e seguran¸ca, é freq¨ uentemente necessário apresentar uma medida de incerteza que defina um intervalo sobre o resultado de medi¸caõ. Neste caso, a incerteza compreende uma fra¸cão da distribui¸cão dos valores, que podem ser razoavelmente atribu´ıdos para um mensurando, denominada de incerteza expandida U. Este requisito foi reconhecido pelo Working Group e Recomenda¸cões do CIPM, INC (1981). A incerteza expandida U é obtida pela multiplica¸cão da incerteza padrão combinada uc (y) por um fator k: U = k ∗ uc (y) O valor do fator k é escolhido com base no n´ıvel de confian¸ca requerido para o intervalo. Em geral, k é usado entre 2 e 3. Portanto, para aplica¸co˜es especiais, k poderá ser determinado conforme o n´ıvel de confian¸ca requerido, de acordo com a distribui¸cão normal ou t-Student. A Namas (NIS 3003 , 1995) recomenda que o fator k seja igual a 2 para calcular a incerteza expandida. Este valor corresponde a aproximadamente 95% de confian¸ca. Entretanto, se as contribui¸cões para a incerteza relativo a repetitividade for grande comparado com as outras distribui¸co˜es e o n´ umero de repeti¸cões for pequeno, existe uma possibilidade de que a distribui¸caõ de probabilidade normal não seja adequada. Neste caso, o fator k = 2 nos garante um n´ıvel de confian¸ca menor que 95%. Aqui, devemos utilizar a distribui¸caõ t-Student para encontrar o valor do fator k que garante 95%. Regra: Se a incerteza do tipo A for menor que metade da incerteza combinada, vamos utilizar o fator k = 2. Caso contrário, devemos utilizar a distribui¸caõ t-Student para obtermos o valor de k que nos garante um intervalo com 95% confian¸ca. A norma ISO GUM ver. 95 recomenda a utiliza¸caõ da equa¸cão de Welch-Satterwaite para calcular os graus de liberdade, baseado nos graus de liberdade de cada fonte de incerteza.

υef f

u4c (y)

u4 (y) = PN 4 = 4 c = uA (y)/νA i=1 ui (y)/νi

uc (y) uA (y)

4 νA

onde νi representa os graus de liberdade do fator de incerteza i e νA e representa os graus de liberdade do tipo A. Para contribui¸co˜es da incerteza tipo A, consideramos como graus de liberdade o n´ umero de leitura menus 1 vezes o n´ umero de pontos de calibra¸cão. Para os graus


60

de liberdade referente a contribui¸co˜es da incerteza tipo B, vamos considerar υi igual a infinito. Exemplo 2.10. Voltando ao exemplo 2.4 da calibra¸cão da massa padrão, observe que a incerteza do tipo A é menor que metade da incerteza combinada. Assim, a incerteza expandida é dada por: U = 2x19, 26mg = 38, 52mg (k = 2) Neste caso o resultado da medi¸cão é expresso na forma:

10000, 000 g + 0, 018 g ± 0, 04 g (k = 2)

10000, 018 g ± 0, 04 g (k = 2) Exemplo 2.11. Suponha um sistema de medi¸cão com incerteza do tipo A, baseada em 4 observa¸cões, tenha valor ui (y) de 3,5 unidades, existem outras 5 fontes de incerteza do tipo B que apresentam incerteza estimada muito pequeno, de tal forma que a incerteza combinada uc (y) seja igual a 5,7 unidades. Como a incerteza do tipo A é maior que metade da incerteza combinada, vamos utilizar a distribui¸cão t-Student para determinar o fator k. Através da equa¸c˜ ao de Welch-Satterwaite, temos

υef f =

(5, 7)4 = 21, 1 ((3, 5)4 /(4 − 1)) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

Tomando valor de υef f igual a 20, obtemos que k = 2, 13.

2.6.1

Comprova¸ c˜ ao Metrol´ ogica - Equipamento de Medi¸c˜ ao

Determinar o erro m´ aximo permiss´ıvel.

EM P =

menor tolerancia medida J

O mais utilizado é J = 10. Assim EM P =

tolerancia . 10

com J = (5; 15]


61

Crit´ erio:

maxi {| Ti | +U (i)} ≤ EM P

(2.1)

A comprova¸caõ metrológica no caso em que o EMP é fun¸caõ das leituras é discutido abaixo.

EM P

=

± (a + b × leitura)

a = 0, 01 b = 0, 01

Crit´ erio: |Ti | + U (i) ≤ EM P (i), para todo ponto de calibra¸cão. (i, representa o ponto de calibra¸caõ). Exemplo 2.12. Suponha que temos uma tolerância de 1 g para as massas padrão. Após a calibra¸cão das massas, obteve-se as seguintes informa¸cões do certificado de calibra¸cão apresentado


62

na Tabela 2.1. Ponto (g) Tendˆ encia (g) U (g) k 1000 0,009 0,015 2 1000 0,01 0,015 2 1000 0,016 0,015 2 1000 0,01 0,015 2 5000 -0,014 0,075 2 5000 -0,069 0,075 2 5000 -0,043 0,075 2 5000 0,025 0,075 2 Tabela 2.1: Certificado de Calibra¸caõ Considerando J = 10 temos que

EM P =

Tolerancia = 0, 1 g. 10

A Tabela 2.2 apresenta o critério de aprova¸cão (|T | + U ≤ EM P ) para as oito massas padrão. Como podemos ver, duas massas de 5 kg foram reprovadas. Com isso, o certificado de calibra¸cão cujo os valores foram apresentados na Tabela 2.1 não está aprovado. Ponto (g) 1000 1000 1000 1000 5000 5000 5000 5000

|T|+U Crit´ erio 0,024 Aprovado 0,025 Aprovado 0,031 Aprovado 0,025 Aprovado 0,089 Aprovado 0,144 Reprovado 0,118 Reprovado 0,1 Aprovado

Tabela 2.2: Critério de Aprova¸caõ

2.7

Determina¸c˜ ao da Variˆ ancia Agrupada

Para agrupar k variâncias com (n-1) graus de liberdade, utilizamos a seguinte fórmula

2

s =

Pk

Pk

2 i=1 (n − 1)si Pk i=1 (n − 1)

=

i=1

s2i

k

onde (n - 1) = Grau de Liberdade; e s2 = Variância Considere que o método de calibra¸caõ de um equipamento utilize três pontos da escala deste equipamento. Para cada ponto é obtido o variância da média a partir de 5 leituras. Para


63

obtermos variância da média do equipamento, aplicamos a fórmula para o grupo de 3 variâncias, na forma

s2 agrupada =

4 × 0, 0000000030 + 4 × 0, 0000000070 + 4 × 0, 0000000080 = 0, 0000000060 4+4+4

A variância agrupada de 0,0000000060 representa a variância da média do equipamento.

2.8

Regras de arredondamento de valores

Quando desejamos arredondar um n´ umero para que seja expresso com uma certa quantidade de d´ıgitos significativos, devemos aplicar regras convencionais de arredondamento. Regra 1: Se o algarismo a` direita do u ´ltimo d´ıgito que se pretende representar for inferior a 5, apenas desprezamos os demais d´ıgitos a` direita Exemplo: 3, 14159265 para 3, 14 Regra 2: Se o algarismo a` direita do u ´ltimo d´ıgito que se pretende representar for maior que 5, adicionamos uma unidade ao u ´ltimo d´ıgito representado e desprezamos os demais d´ıgitos à direita. Exemplo 2.13. 3, 14159265 para 3, 1416 Regra 3: Se o algarismo à direita que se pretende representar for igual a 5, então o arredondamento deve ser tal que o u ´ltimo d´ıgito representado depois do arredondamento deve ser par. Exemplo 2.14. 3, 14159265 para 3, 142 N´ umeros de algarismo na incerteza de medi¸c˜ ao Não existe uma regra bem definida para o n´ umero de algarismos que devem ser indicados para a incerteza de medi¸caõ. Em geral, utilizamos 2 algarismos significativos, além dos zeros a` esquerda. Em alguns casos, pode ser necessário utilizar mais d´ıgitos significativos para evitar erros de arredondamento nos cálculos subseq¨ uentes. Em outros casos, não é poss´ıvel atribuir mais de 1 algarismo para incerteza de medi¸cão. Regras para n´ umero de algarismo na incerteza de medi¸cão.


64

• Incerteza de medi¸caõ deve ser apresentada com 2 algarismos quando o primeiro algarismo na incerteza for 1 ou 2. • Incerteza de medi¸caõ pode ser apresentada com 1 algarismo quando o primeiro algarismo da incerteza for 3 ou maior. • o Incerteza de medi¸caõ pode ser representada com 2 algarismos em qualquer caso. De acordo com as regras acima apresentamos os exemplos:

2.9

Incorreto

Correto

0,144 (mm)

0,14 (mm)

1,026 (s)

1,0 (s)

3,49 (mm)

3,5 (mm)

Ou

3 (mm)

3,51 (mm)

3,5 (mm)

Ou

4 (mm)

0,00514 (mm)

0,0050 (mm)

Ou 0,005 (mm)

Propaga¸c˜ ao da Incerteza

Um mensurando y calculado em fun¸caõ de outras grandezas x1 , . . . , xn com u(x1 ), . . . , u(xn ) as incertezas padrão correspondente, tem como incerteza combinada uc (y) definida por: u2c (y)

=

2 n X ∂y i=1

∂xi

u2 (xi )

• Soma de variáveis

y = x 1 ± x 2 ± x 3 ± · · · ± xn Assim, todas as derivadas são iguais a 1. Então, Exemplo 2.15. Determinar a incerteza de medi¸cão, na composi¸cão de dois blocos padrão: Dados: • Bloco 1 Dimensão nominal: 10 (mm) Incerteza Expandida u(x1 ) = 0,0077(nm) para k = 2


65

• Bloco 2 Dimensão nominal: 20 (mm) Incerteza Expandida u(x2 ) = 0,084(nm) para k = 2 O resultado da combina¸cão dos blocos pode ser expresso matematicamente por:

y = x 1 + x2 A incerteza padrão u(xi ) de cada bloco é obtida dividindo-se a incerteza expandida pelo fator k. Assim,

u(x1 ) = 0, 077/2 =

u(x2 ) = 0, 084/2 = Então, a variância combinada é:

u2c (y) =

=

(µm)2

A incerteza combinada é:

uc (y) = • Rela¸caõ linear

y = a + bx Admitindo-se que a e b são constantes isentas de incertezas ou com incertezas desprez´ıveis, somente a variável x é considerada para o cálculo de incerteza. Assim,

u2c (y) = a2 u2 (x)

ou

uc (y) =| a | u(x)


66

Produto de Variáveis:

y = axw Temos que: ∂y = aw ∂x

∂y = ax ∂w

Então,

u2c (y) = (aw)2 u2 (x) + (ax)2 u2 (w) Dividindo a expressão acima por y2 = (axw)2 , obtemos

u2c (y)/y2 = u2 (x)/x2 + u2 (w)/w2 Exemplo 2.16. Determinar a incerteza da área de um c´ırculo, cujo diâmetro foi medido experimentalmente através de um sistema de medi¸cão denominado paqu´ımetro: Valor do diâmetro obtido com o micrômetro digital, com resolu¸cão de 0,002 mm e incerteza expandida U=0,001 mm (k=1,96): Leituras

Diâmetro

1

10,28

2

10,26

3

10,28

4

10,3

5

10,28

Média das leituras Desvio padrão das leituras Desvio padrão da média das leituras A expressão para o cálculo da área é dada por: 1 2 πd 4

2. Fundamentos do Cálculo de Incerteza em Medi¸caõ Admitindo-se que

1 4

67

e π são constantes isentas de incerteza ou com incertezas desprez´ıveis,

somente a variável d é considerada para cálculo da incerteza. Assim, a variância combinada relativa é: 22 u2 (d) u2c (y) = y2 d2 Incerteza combinada relativa: uc (y) 2u(d) = y d Substituindo os valores do exemplo, obtemos a incerteza combinada relativa: uc (y) y

=

e a incerteza combinada da área,

uc (y) =

68

Cap´ıtulo 3 Estudos de Estabilidade Estabilidade é a quantidade de varia¸cão total na tendência do sistema ao longo do tempo com rela¸caõ a um padrão rastreável (ou amostra). Antes de estudarmos qualquer propriedade estat´ıstica do sistema de medi¸caõ, vamos analisar a capacidade do sistema manter tais propriedades ao longo do tempo. O objetivo da estabilidade consiste em avaliarmos: • A intera¸caõ do sistema de medi¸cão e o meio ambiente; • Desgaste de componentes; • Ajuste de dispositivos e sensores. Diretrizes para sistemas n˜ ao destrutivos: • Obter padrão rastreável (ou amostra); • Montar diário de bordo; • Medir periodicamente (diário, semanal, quinzenal ou mensal) o padrão (ou amostra); ¯ e R, conforme descrito abaixo. • Após 20 ou mais grupos de medi¸cões, construir o gráfico X Crit´ erio de avalia¸c˜ ao: ¯ e R, primeiro o gráfico R e na seq¨ ¯ Analisar os gráficos X uencia o gráfico X: • Pontos fora dos limites de controle. • 7 ou mais pontos consecutivos crescentes ou decrescentes. • 7 ou mais pontos consecutivos acima ou abaixo da linha média.

3. Estudos de Estabilidade

69

Limites dos Gráficos

No de element. amostra (n) 2 3 4 5 6 7 8 9 10

¯ Gr´ afico das M´ edias X ¯ +A R ¯ LSC = Limite Superior = X 2 ¯ LC = Limite Central = X ¯ −A R ¯ LIC = Limite Inferior = X 2 Gr´ afico das Amplitudes R ¯ LSC = Limite Superior = D4 R ¯ LC = Limite Central = R ¯ LIC = Limite Inferior = D3 R

A2

D3

D4

1, 880 1, 023 0, 729 0, 577 0, 483 0, 419 0, 373 0, 337 0, 308

0 0 0 0 0 0, 076 0, 136 0, 184 0, 223

3, 267 2, 574 2, 282 2, 114 2, 004 1, 924 1, 864 1, 816 1, 777

¯ e R estejam fora de controle, investigar as causas e estabelecer a¸co˜es Caso os gráficos X corretivas. • Se o processo apresentar falta de estabilidade, identifique as causas, estabele¸ca a¸cão corretiva. Repita o estudo de estabilidade; Discrimina¸c˜ ao do Sistema de medi¸c˜ ao no estudo de Estabilidade Capacidade do sistema de medi¸caõ de detectar e indicar de forma confiável, pequenas varia¸cões da grandeza que está sendo medida. Uma forma de quantificar o poder discriminador é expressando a menor varia¸cão da grandeza que o sistema de medi¸cão pode detectar. Critério de avalia¸caõ: Verificar se o gráfico de controle R não apresenta muitas amplitudes iguais a zero (acima de 30%). Caso isso ocorra, existe uma boa evidência de que o equipamento de medi¸caõ não tem uma resolu¸caõ adequada para esta necessidade. Neste caso, fa¸ca uma análise cr´ıtica. Exemplo 3.1. O metrologista deve realizar um estudo sobre a estabilidade do sistema de calibra¸cão de um micrômetro com um bloco padrão. O metrologista selecionou um bloco padr˜ ao, que foi medida 3 vezes diariamente por um avaliador. Os valores estão na Tabela 3.1. Montar ¯ e R e interpretar os resultados! os gráficos de Controle X Solu¸c˜ ao Da Tabela 3.1 tomamos a média dos valores da coluna Média e a média dos valores da coluna Amplitude e obtemos: ¯ = 4, 200486 X

e

¯ = 0, 001292 . R


70

Data

Hor´ ario

Temperatura

6/ago 13/ago 20/ago 27/ago 4/set 11/set 19/set 25/set 1/out 8/out 16/out 24/out 1/nov 8/nov 14/nov 22/nov 29/nov 7/dez 12/dez 20/dez 28/dez 4/jan 10/jan 15/jan

09:15 16:35 14:13 09:40 15:28 10:39 15:10 09:25 15:40 09:25 16:10 10:05 13:40 14:55 11:00 15:50 09:42 08:20 15:30 11:05 15:30 16:00 15:15 16:00

20,3 20,0 19,4 19,8 19,9 19,9 20,1 20,2 19,3 19,9 20,8 20,1 19,5 20,1 19,3 19,8 20,1 19,6 19,8 20,1 20,1 20,2 20,7 20,8

Medidas 1 4,202 4,201 4,199 4,200 4,200 4,202 4,200 4,200 4,198 4,200 4,202 4,201 4,199 4,200 4,199 4,200 4,201 4,199 4,200 4,199 4,201 4,200 4,203 4,204

2 4,201 4,202 4,198 4,201 4,201 4,201 4,201 4,199 4,199 4,202 4,203 4,202 4,199 4,200 4,198 4,199 4,201 4,200 4,201 4,199 4,200 4,200 4,204 4,203

3 4,202 4,203 4,200 4,201 4,200 4,200 4,200 4,199 4,199 4,200 4,203 4,201 4,198 4,201 4,199 4,200 4,200 4,199 4,199 4,200 4,199 4,202 4,203 4,203

M´ edia

Amplitude

4,20167 4,20200 4,19900 4,20067 4,20033 4,20100 4,20033 4,19933 4,19867 4,20067 4,20267 4,20133 4,19867 4,20033 4,19867 4,19967 4,20067 4,19933 4,20000 4,19933 4,20000 4,20067 4,20333 4,20333

0,001 0,002 0,002 0,001 0,001 0,002 0,001 0,001 0,001 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,001 0,002 0,002 0,001 0,001

Tabela 3.1: Dados Os limites de controle são calculados da seguinte forma: • Gr´ afico R. Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3 = 0 e D4 = 2, 574, com isso: LSC

=

2, 574 ∗ 0, 001292 = 0, 003325

LIC

=

0 ∗ 0, 001292 = 0

¯ Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de A2 = 1, 023, • Gr´ afico X.


71

com isso: LSC

=

4, 200486 + 1, 023 ∗ 0, 001292 = 4, 201807

LIC

=

4, 200486 − 1, 023 ∗ 0, 001292 = 4, 199165


72

Exerc´ıcio 3.1. O metrologista deve realizar um estudo sobre o sistema de medi¸cão para calibra¸cão de um anel padrão em um banco micrométrico. O metrologista selecionou um anel padrão, que foi medido (3 réplicas) diariamente por um avaliador. Os valores estão na Tabela 3.2.

Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Medidas

Data 22/set 22/set 23/set 24/set 27/set 27/set 1/out 6/out 7/out 8/out 8/out 13/out 13/out 14/out 18/out 20/out 25/out 26/out 26/out 28/out 4/nov 8/nov 8/nov 10/nov 15/nov 16/nov 17/nov 18/nov 18/nov

1 20006,6 20006,8 20006,1 20005,4 20005,7 20005,9 20005,4 20006,6 20006,1 20006,1 20006,2 20005,9 20006,2 20006,5 20005,4 20005,9 20006,8 20006,3 20006,5 20006,4 20005,8 20006 20006,4 20006,2 20006,7 20006,6 20006,4 20006,6 20006,9

2 20006,6 20006,7 20006,2 20005,3 20005,9 20006 20005,7 20006,6 20006,1 20006 20006,3 20006 20006,1 20006,3 20005,4 20006,2 20006,9 20006,3 20006,5 20006,3 20005,9 20005,8 20006,3 20006,3 20006,4 20006,5 20006,2 20006,5 20006,8

3 20006,7 20006,9 20006,2 20005,3 20005,8 20006 20005,7 20006,5 20006,1 20006 20006,3 20006 20006,2 20006,4 20005,5 20006,2 20006,6 20006,3 20006,5 20006,2 20005,9 20005,9 20006,2 20006,3 20006,4 20006,5 20006,2 20006,4 20006,8

M´ edia

Amplitude

20006,63 20006,8 20006,17 20005,33 20005,8 20005,97 20005,6 20006,57 20006,1 20006,03 20006,27 20005,97 20006,17 20006,4 20005,43 20006,1 20006,77 20006,3 20006,5 20006,3 20005,87 20005,9 20006,3 20006,27 20006,5 20006,53 20006,27 20006,5 20006,83

0,1 0,2 0,1 0,1 0,2 0,1 0,3 0,1 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,1 0,3 0,3 0 0 0,2 0,1 0,2 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2 0,2 0,1

Tabela 3.2: Estabilidade do Diâmetro do Furo


73

¯ ¯ e R e interpretar os resultados! (X Montar os gráficos de Controle X

= 20006, 21 e

¯ = 0, 1448). R

• Gr´ afico R. Temos 3 elementos em nossa amostra, então: D3 =

e

D4 =

, com

isso: LSC

=

¯ = D4 R

LIC

=

¯ = D3 R

¯ Novamente, temos 3 elementos em nossa amostra, então: A2 = • Gr´ afico X isso: LSC

=

¯ + AR ¯ = X 2

LC

=

¯ = X

LIC

=

¯ − AR ¯ = X 2

, com

74

Cap´ıtulo 4 M´ etodo da ANOVA (Completo) 4.0.1

M´ etodo da ANOVA

Em cada sistema de medi¸caõ, existe um valor de referência para uma caracter´ıstica para cada amostra. Estes valores de referência variam de amostra para amostra em torno de um n´ıvel médio. Isto pode ser representado simplesmente como: 1) Valor Padrão = Média das Medi¸co˜es + Varia¸caõ Própria da Amostra Na prática, existe algum erro introduzido pelo sistema de medi¸cão, o qual pode ser escrito como: 2) Valor observado = Valor Padrão + Erro de Medi¸cão: Um modo simples de modelar o erro de medi¸caõ. 3) Erro de Medi¸cão = Tendência + Efeito do Fator1 + Erro de Replica¸co˜es. A tendência é um n´ umero u ńico que representa o erro geral, sistemático, introduzido pelo sistema de medi¸caõ. Além disso, poderiam existir erros introduzidos pelo uso de diferentes Fatores1. O termo erro de replica¸co˜es reflete as diferen¸cas nas observa¸co˜es repetidas da mesma amostra, com o mesmo sistema de medi¸caõ e pelo mesmo Fator1. Combinando (1), (2) e (3), obtém-se o modelo representado no próximo ´ıtem. 4) Valor Observado = (Média das Amostras + Tendência) + Efeito da Amostra + Efeito do Fator1 + Erro de Replica¸co˜es. A média das amostras e a tendência são constantes. Eles não podem ser estimados separadamente sem ter um sistema de medi¸caõ padrão. O efeito da amostra, o efeito do Fator1 e o erro de repeti¸cão (replica¸caõ) são variáveis aleatórias. O efeito da amostra representa a varia¸caõ no processo de produ¸cão. O efeito do Fator1

4. Método da ANOVA (Completo)

75

representa a varia¸caõ devida aos diferentes Fatores1, denominado reprodutibilidade. O erro de repeti¸cão representa a varia¸caõ resultante de medi¸cões repetidas feitas pelo mesmo Fator1 na mesma amostra, denominado repetitividade. A média das amostras e o efeito da amostra são propriedades do processo de produ¸caõ e não dependem do sistema de medi¸caõ. Os termos restantes no modelo refletem o erro no sistema de medi¸cão. Representa¸c˜ ao Matem´ atica Seja Yijk a k-ésima medi¸caõ feita pelo Fator1 j na i-ésima amostra. Cada amostra tem um valor de referência, digamos Xi , o qual é imposs´ıvel de ser medido na prática. Chame de ijk o erro sobreposto a Xi na prática. Então, temos no próximo ´ıtem que: 0

5) Yijk = Xi + ijk ou Valor Observado = Valor Padrão + Desvio Supondo que os Xi 0 s são distribu´ıdos independentemente conforme uma distribui¸caõ normal de média µ e variância σP2 . O parâmetro µ é a média das amostras. A equa¸caõ (5) pode ser escrita, equivalentemente, como: 0

6) Yijk = µ + αi + ijk Onde: αi = Xi − µ é o efeito da amostra, com média zero e variância σP2 . O desvio pode ser modelado como consistindo de uma tendência sistemática devido ao sistema de medi¸caõ e ao Fator1 como um todo (sistema de medi¸caõ), uma tendência adicional devido ao Fator1 espec´ıfico e um erro associado a` replica¸cão da medi¸caõ. Isto é, 0

7) ijk = b + βj + ijk , ou seja, Desvio = Tendência do sistema de medi¸cão + efeito do Fator1 + Erro de Replica¸cão. Suponha que os erros de replica¸caõ são independentes, com uma distribui¸cão normal de média zero e variância comum σ 2 para todas as combina¸co˜es amostra / Fator1 / replica¸caõ. A variância σ 2 mede a repetitividade para o sistema de medi¸caõ. Se os Fatores1 são selecionados aleatoriamente de uma grande popula¸caõ, pode-se modelar o efeito do Fator1, βj , como sendo normalmente distribu´ıdo com média zero e variância σF2 1 . A variância σF2 1 mede a variabilidade devido ao Fator1, isto, é a reprodutibilidade. Combinando (6) e (7), o modelo pode ser escrito como:


76

8) Yijk = (µ + b) + αi + βj + ijk ou Valor Observado = (Média das Amostras + Tendência do sistema de medi¸caõ) + Efeito da Amostra + Efeito do Fator1 + Erro de Replica¸caõ Onde αi , βj , ijk são variáveis aleatórias independentes com distribui¸co˜es normais de médias zero e variância σP2 , σF2 1 , σ 2 respectivamente. Conseq¨ uentemente, a variância do processo é dada por 9) V ar(Yijk ) = σP2 + σF2 1 + σ 2 . No modelo (8) supõe-se que os efeitos da amostra e do Fator1 são aditivos. Isto significa que o efeito do j-ésimo Fator1 é o mesmo em todas as amostras. Consequentemente, nós nos referimos a este modelo simples como o modelo aditivo. A suposi¸cão de aditividade pode nem sempre ser válida na prática. Além disso, a validade da suposi¸cão poderia ser testada a partir dos dados, se cada Fator1 repetir medi¸cões em cada amostra. A validade do modelo aditivo pode ser testada pela considera¸caõ de um modelo mais geral, que inclua um efeito de intera¸cão entre pe¸ca e Fator1. Supondo que o desvio em (7) seja dado por 0

10) ijk = b + βj + τij + ijk , ou seja, Desvio = Tendência do sistema de medi¸cão + Efeito do Fator1 + Efeito do Fator1 * Amostra + Erro de Replica¸caõ. O termo adicional τij representa a intera¸cão entre o j-ésimo Fator1 e a i-ésima amostra. Então, substituindo (10) em (6) resulta no seguinte modelo não aditivo: 11) Yijk = (µ + b) + αi + βj + τij + ijk , ou seja, Valor Observado = (Média das amostras + tendência do sistema de medi¸cão) + Efeito da Amostra + Efeito do Fator1 + Efeito do Fator1×Amostra + Erro de Replica¸caõ. Se τij é distribu´ıdo normalmente com média zero e variância σI2 , então a variância total para (11) é dada por: 12) V ar(Yijk ) = σP2 + σF2 1 + σI2 + σ 2 Particionando a variância, no caso onde p é o n´ umero de amostras, o o n´ umero de Fatores1 e r é o n´ umero de replica¸co˜es. i = 1, ..., p, j = 1, ..., o e k = 1, ..., r. 1o Passo Coleta de dados e defini¸caõ do modelo:

4. Método da ANOVA (Completo) Amostra 1 2 .. .

1 Y111 , · · · , Y11r Y211 , · · · , Y21r .. .

p M´ edia

Yp11 , · · · , Yp1r Y¯.1.

77 Fator1 2 ··· Y121 , · · · , Y12r · · · Y221 , · · · , Y22r · · · .. .. . . Yp21 , · · · , Yp2r · · · Y¯.2. ···

o Y1o1 , · · · , Y1or Y2o1 , · · · , Y2or .. . Ypo1 , · · · , Ypor Y¯.o.

M´ edia ¯ Y1.. Y¯2.. .. . ¯ Yp.. Y¯...

Tabela 4.1: Tabela de Entradas O modelo estat´ıstico para este planejamento é

Yijk = µ + αi + βj + τij + εijk

   i = 1, · · · , p Amostra   j = 1, · · · , o Fator1     k = 1, · · · , r Réplica

(4.1)

onde: • Yijk representa a k-ésima medi¸caõ do j-ésimo Fator1 na i-ésima amostra ; • µ é a Média das amostras adicionada com a tendência do sistema de medi¸caõ; • αi é o efeito da Amostra; • βj é o efeito do Fator1; • τij é o efeito da intera¸cão Amostra×Fator1; • εijk é o erro de replica¸caõ. Onde αi , βj , τij e εijk são variáveis aleatórias independentes com distribui¸co˜es normais de médias zero e variância σp2 , σF2 1 , σI2 e σ 2 , respectivamente. Conseq¨ uentemente, a variância do processo é:

V ar(yijk ) = σp2 + σF2 1 + σI2 + σ 2

2o Passo: Soma de Quadrados: Vamos mostrar que: SQT = SQP + SQF 1 + SQI + SQE


78

onde SQT é a soma de quadrados total, SQP é a soma de quadrados do fator amostra, SQF 1 é a soma de quadrados do Fator1, SQI é a soma de quadrados da intera¸caõ Fator1 × amostra e SQE é a soma de quadrados do erro. Para isto, temos que p X o X r X

(Yijk − Y¯... )2

=

i=1 j=1 k=1

p X o X r X i=1 j=1 k=1 p X

o X

i=1

j=1

(Y¯i.. − Y¯... )2 + p r

= or

+

2 (Y¯i.. − Y¯... ) + (Y¯.j. − Y¯... ) + (Y¯ij. − Y¯i.. − Y¯.j. + Y¯... ) + (Yijk − Y¯ij. )

p X o X r X

(Y¯.j. − Y¯... )2 + r

p X o X

(Y¯ij. − Y¯i.. − Y¯.j. + Y¯... )2

i=1 j=1

(Yijk − Y¯ij. )2

i=1 j=1 k=1

Portanto p o X r X X

SQT =

(Yijk − Y¯... )2

i=1 j=1 k=1 p

SQP = o r

X (Y¯i.. − Y¯... )2 i=1

SQF 1 = p r

o X

(Y¯.j. − Y¯... )2

j=1 p o XX

SQI = r

(Y¯ij. − Y¯i.. − Y¯.j. + Y¯... )2

i=1 j=1 o X r XX p

SQE =

(Yijk − Y¯ij. )2

i=1 j=1 k=1

Onde: Yi.. =

o X r X

Yijk , Y.j. =

j=1 k=1

o

p r X X

Yijk , Yij. =

i=1 k=1

p

r

r X

Yijk , Y... =

Yijk

i=1 j=1 k=1

k=1

r

p o X r X X

r

p

o

r

1 XX 1X 1 XXX 1 XX Yijk , Y¯.j. = Yijk , Y¯ij. = Yijk , Y¯... = Yijk Y¯i.. = o r j=1 k=1 p r i=1 k=1 r k=1 o p r i=1 j=1 k=1 Da mesma forma,

yi.. =

o X r X j=1 k=1

yijk , y.j. =

p r X X i=1 k=1

yijk , yij. =

r X k=1

yijk , y... =

p o X r X X i=1 j=1 k=1

yijk


o

79

p

r

r

p

r

o

r

1 XX 1 XX 1X 1 XXX y¯i.. = yijk , y¯.j. = yijk , y¯ij. = yijk , y¯... = yijk o r j=1 k=1 p r i=1 k=1 r k=1 o p r i=1 j=1 k=1 Uma forma mais conveniente para se calcular a soma de quadrados é utilizar o cálculo de variância amostral. A tabela 4.2 apresenta quais variâncias devemos calcular. Amostra 1 2 .. . p M´ edia

Fator1 2 ··· Y121 , · · · , Y12r · · · 2 S12 ··· Y221 , · · · , Y22r · · · 2 S22 ··· .. .. . .

1 Y111 , · · · , Y11r 2 S11 Y211 , · · · , Y21r 2 S21 .. . Yp11 , · · · , Yp1r 2 Sp1 Y¯.1.

Yp21 , · · · , Yp2r 2 Sp2 Y¯.2. SF2 1

··· ··· ···

o Y1o1 , · · · , Y1or 2 S1o Y2o1 , · · · , Y2or 2 S2o .. . Ypo1 , · · · , Ypor 2 Spo Y¯.o.

M´ edia Y¯1.. Y¯2.. .. . ¯ Yp..

Sp2

Y¯...

Tabela 4.2: Tabela de Entradas Portanto, 2 SQT = (p o r − 1) S...

(4.2)

2 SQP = o r (p − 1) Si..

(4.3)

2 SQF 1 = p r (o − 1) S.j. p o X X 2 SQE = (r − 1) Sij.

(4.4) (4.5)

i=1 j=1

SQI = SQT − SQP − SQF 1 − SQE

(4.6)

Onde: 2 • S... : representa a variância amostral com rela¸caõ a todos os dados. Com isso, p

2 S...

o

r

XXX 1 (y... − y¯... )2 = p o r − 1 i=1 j=1 k=1

onde y¯... é a média de todos os dados;

2 • Si.. : representa a variância amostral com rela¸caõ aos valores das médias das amostras, ou


80

seja, a variância com rela¸caõ a u ´ltima coluna da tabela 4.2. Com isso, o

2 Si.. =

r

1 XX (¯ yi.. − y¯... )2 p − 1 j=1 k=1

onde y¯i.. é a média em cada amostra e

y¯... é a média de todos os dados; 2 • S.j. : representa a variância amostral com rela¸caõ aos valores das médias dos Fatores1, ou

seja, a variância com rela¸caõ a u ´ltima linha da tabela 4.2. Com isso, p

2 S.j.

r

1 XX (¯ y.j. − y¯... )2 = o − 1 i=1 k=1

onde y¯.j. é a média em cada Fator1 e

y¯... é a média de todos os dados; 2 : representa a variância amostral com rela¸cão a cada combina¸caõ de amostra e Fator1, • Sij.

ou seja, em cada casela da tabela 4.2. Com isso, r

2 Sij.

1 X = (¯ yij. − y¯... )2 r − 1 k=1

onde y¯ij. são as medi¸co˜es em cada casela e y¯... é a

média de todos os dados;

3o Passo: Cálculo dos graus de liberdade: O n´ umero de graus de liberdade em uma soma de quadrados é a quantidade de elementos P independentes nessa soma. Por exemplo, considere a soma de quadrados pi=1 (Y¯i.. − Y¯... )2 . P Neste caso, como pi=1 (Y¯i.. − Y¯... ) = 0, nem todos os elementos (Y¯1.. − Y¯... ), · · · , (Y¯p.. − Y¯... ) são independentes. Portanto, temos p − 1 graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são: Efeito Grau de Liberdade Amostra p−1 Fator1 o−1 Intera¸cão (p − 1)(o − 1) Erro p o (r − 1) Total p o r−1

4o Passo: Cálculo do erro quadrático médio:


81

Cada soma de quadrados dividido por seu grau de liberdade determina o quadrado médio (QM), ou seja SQP p−1 SQF 1 = o−1 SQI = (p − 1)(o − 1) SQE = p o (r − 1)

QMP = QMF 1 QMI QME

Amostra

(4.7)

Fator1

(4.8)

Amostra × Fator1

(4.9)

Réplica

(4.10)

Considerando as expressões 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6 vamos calcular o valor esperado do QM. Para o fator amostra, temos que: " ! 2 # p X Yi..2 1 Y... E(QMP ) = E −E p−1 or por i=1    !2  !2  p p o X r o X r   X X X X 1 1 1 = Yijk  − E Yijk  E  p − 1  o r i=1 por j=1 k=1 i=1 j=1 k=1   !2  p o X r  X X 1 1 = E (µ + αi + βj + τij + εijk )  − p − 1  o r i=1 j=1 k=1  !2  p o X r  X X 1   (µ + αi + βj + τij + εijk ) E −  por i=1 j=1 k=1 ( p 1 1 X = (o r µ)2 + (o r σP )2 + o r2 σF2 1 + o r2 σI2 + o r σ 2 − p − 1 o r i=1 1 2 2 2 2 2 (p o r µ) + p (o r σP ) + o (p r σF 1 ) + o p (r σI ) + p o r σ − por = o r σP2 + r σI2 + σ 2 Podemos resumir que E(QMP ) = σ 2 + r σI2 + o rσP2 E(QMF 1 ) = σ 2 + r σI2 + p rσF2 1 E(QMI ) = σ 2 + r σI2 E(QME ) = σ 2 5o Passo: Definindo os testes:


82

Especificamente, estamos interessados em testar as seguintes hipóteses :   H = σ2 = 0 0 P A:  H = σ2 > 0 1 P

;

  H = σ2 = 0 0 F1 B:  H = σ2 > 0 1 F1

;

  H = σ2 = 0 0 I C:  H = σ2 > 0 1 I

Vamos mostrar como essas hipóteses são testadas usando a análise de variância. Para determinarmos a estat´ıstica do teste C, vamos observar que SQI ∼ χ2(p−1)(o−1) σ 2 + r σI2

e também,

SQE ∼ χ2p σ2

o (r−1)

,

onde ambas são independentes. Assim, sob H0 temos que a estat´ıstica

F0 =

SQI (σ 2 +r σI2 ) (p−1)(o−1) SQE σ 2 p o (r−1)

QMI QME

=

∼ F ((p − 1)(o − 1); p o (r − 1))

tem distribui¸caõ de Fisher-Snedecor com (p − 1)(o − 1) graus de liberdade no numerador e p o (r − 1) graus de liberdade no denominador. A região cr´ıtica (RC) do teste F é dada por RC = {F ∈ <+ | F > Fc }. Com isso, utilizando o n´ umero de graus de liberdade do numerador e denominador, podemos, considerando um n´ıvel de significância α encontrar o valor de Fc na tabela da distribui¸cão F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a região cr´ıtica do teste. Para determinarmos a estat´ıstica do teste A, vamos observar que SQP ∼ χ2(p−1) σ 2 + r σI2 + o r σP2

e também,

SQI ∼ χ2(p−1)(o−1) , σ 2 + r σI2


F0 =

SQP 2 ) (p−1) (σ 2 +r σI2 +o r σP SQI (σ 2 +r σI2 ) (p−1)(o−1)

=

QMP QMI

∼ F ((p − 1); (p − 1)(o − 1))

tem distribui¸cão de Fisher-Snedecor com (p − 1) graus de liberdade no numerador e (p − 1)(o − 1) graus de liberdade no denominador. A região cr´ıtica (RC) do teste F é dada por RC = {F ∈ <+ | F > Fc }. Com isso, utilizando o n´ umero de graus de liberdade do numerador e denominador, podemos, considerando um n´ıvel de significância α encontrar o valor de Fc na tabela da distribui¸cão F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a região cr´ıtica do teste. Para determinarmos a estat´ıstica do teste B, vamos observar que


83

Figura 4.1: Região Cr´ıtica do Teste

σ2

SQF 1 ∼ χ2(o−1) + r σI2 + p r σF2 1

e também,

σ2

SQI ∼ χ2(p−1)(o−1) , + r σI2


F0 =

SQP 2 ) (o−1) (σ 2 +r σI2 +p r σF 1 SQI (σ 2 +r σI2 ) (p−1)(o−1)

=

QMF 1 QMI

∼ F ((o − 1); (p − 1)(o − 1))

tem distribui¸cão de Fisher-Snedecor com (o − 1) graus de liberdade no numerador e (p − 1)(o − 1) graus de liberdade no denominador. A região cr´ıtica (RC) do teste F é dada por RC = {F ∈ <+ | F > Fc }. Com isso, utilizando o n´ umero de graus de liberdade do numerador e denominador, podemos, considerando um n´ıvel de significância α encontrar o valor de Fc na tabela da distribui¸cão F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a região cr´ıtica do teste. 6o Passo: Tabela de ANOVA: O teste estat´ıstico para as hipóteses (A, B, C) propostas é resumido na tabela 4.3. Essa tabela é chamada tabela de análise de variânica. Caso o teste C implique em H0 ser não


84

significativo, ou seja, a intera¸caõ ( Amostra × Fator1 ) será considerada nula. Neste caso, os testes A e B serão realizados conforme a tabela 4.4. Para isso, vamos incorporar a soma de quadrados da intera¸cão à soma de quadrados do erro. Assim, temos que SQE = SQT − SQP − SQF 1 . Fonte de Varia¸c˜ ao Amostra Fator1 Intera¸c˜ ao Erro Total

Graus de Soma de Quadrado Teste Liberdade Quadrados M´ edio F QMP p−1 SQP QMP QMI QMF 1 o−1 SQF 1 QMF 1 QMI QMI (p − 1)(o − 1) SQI QMI QME p o (r − 1) SQE QME p o r−1 SQT

Tabela 4.3: Tabela de Análise de Variância (ANOVA) - Com intera¸caõ

Fonte de Varia¸c˜ ao Amostra Fator1 Erro Total

Graus de Liberdade p−1 o−1 p o r−p−o+1 p o r−1

Soma de Quadrado Quadrados M´ edio P SQP QMP = pSQ − 1 SQF 1 QMF 1 = oSQ−F 11 E SQE QME = p o r −SQ p − o SQT

Teste F QMP QME QMF 1 QME + 1

Tabela 4.4: Tabela de Análise de Variância (ANOVA) - Sem intera¸caõ

7o Passo: Componentes de variância: Aqui, vamos estimar as componentes de variância pelo método de momentos. Este método, visa igualar os momentos populacionais aos momentos amostrais. Considerando o modelo com intera¸cão temos:

E(QME ) = σ 2

=⇒

σ ˆ 2 = QME

E(QMI ) = σ 2 + r σI2

=⇒

σ 2\ + r σI2 = QMI

E(QMF 1 ) = σ 2 + r σI2 + p rσF2 1

=⇒

σ2 + r \ σI2 + p rσF2 1 = QMF 1

E(QMP ) = σ 2 + r σI2 + o rσP2

=⇒

σ 2 + r\ σI2 + o rσP2 = QMP

Assim, obtemos que as fontes de varia¸caõ podem ser estimadas por


s VF1

=

85

QMF 1 − QMI pr

Fator1

(4.11)

intera¸cão

(4.12)

repetitividade

(4.13)

reprodutibilidade

(4.14)

r

VI

=

VE

=

VF

=

R&R

=

VP

=

VT

=

QMI − QME r p QME q (VF1 )2 + (V I)2 p (V E)2 + (V O)2 r QMP − QMI o∗r p (R&R)2 + (V P )2

R&R

(4.15)

amostra

(4.16)

total

(4.17)

Considerando que a intera¸cão não é significativa, temos que

E(QME ) = σ 2

=⇒

σ ˆ 2 = QME

E(QMF 1 ) = σ 2 + p rσF2 1

=⇒

\ σ2 + p rσF2 1 = QMF 1

E(QMP ) = σ 2 + o rσP2

=⇒

σ2 \ + o rσP2 = QMP

Assim, obtemos que as fontes de varia¸caõ podem ser estimadas por

s VF1

=

VE

=

VF

=

R&R

=

VP

=

VT

=

QMF 1 − QME pr

p QME q (VF1 )2 p (V E)2 + (V F )2 r QMP − QME o∗r p (R&R)2 + (V P )2

Fator1

(4.18)

repetitividade

(4.19)

reprodutibilidade

(4.20)

R&R amostra total

(4.21) (4.22) (4.23)

Exemplo 4.1. Nesta aplica¸cão usaremos uma anova two-way, ou seja, dois fatores aleatórios. A tabela 4.5 apresenta as medi¸cões realizadas no copo PS, a coluna Ponto representa o ponto de medi¸cão.

4. Método da ANOVA (Completo) T empo (s) 20 20 22 22 22 20 20 22 20 20 22 22 22 20 20 22 20 20 22 22 22 20 20 22

86 P essoa Camila Paula Paula Paula Camila Camila Paula Camila Camila Paula Paula Paula Camila Camila Paula Camila Camila Paula Paula Paula Camila Camila Paula Camila Soma

Absorcao (g/m2 ) 0,11479 0,05992 0,06308 0,06308 0,05740 0,03021 0,08200 0,08458 0,09667 0,05362 0,09777 0,05362 0,09969 0,06948 0,07569 0,08458 0,05135 0,03785 0,08516 0,03785 0,07854 0,09063 0,11039 0,11177 1,78972

Desvio 0,001618 0,000215 0,000132 0,000132 0,000295 0,001968 0,000055 0,000100 0,000488 0,000439 0,000538 0,000439 0,000631 0,000026 0,000001 0,000100 0,000539 0,001348 0,000112 0,001348 0,000016 0,000258 0,001283 0,001384 0,013466

Tabela 4.5: Tabela de dados O modelo estat´ıstico para este experimento é:

Yijk = µ + αi + βj + εijk

    

i = 1, · · · , p

   

k = 1, · · · , r

j = 1, · · · , o

Tempo Pessoa

(4.24)

Réplicas

onde: • Yijk representa a k-ésima medi¸cão no j-ésimo Fator 2 no i-ésima copo; • µ é a Média das medi¸cões; • αi é o efeito do Tempo; • βj é o efeito do Fator Pessoa; • εijk é o erro de replica¸cão. Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes variâncias amostrais :


87

p

2 S...

o

r

=

XXX 1 (yijk − y¯... )2 = 0, 0005855 p o r − 1 i=1 j=1 k=1

=

1 X (¯ yi.. − y¯... )2 = 0, 0000778 p − 1 i=1

=

1 X (¯ y.j. − y¯... )2 = 0, 0000069 o − 1 j=1

p

Sp2

o

So2

onde,    p = 1, 2 Pessoa   o = 1, 2 Tempo     r = 6 Réplica

2 2 SQT otal = (p o r − 1) S... = (23) S... = 0, 0134657

SQP essoa = o r (p − 1) Sp2 = (12) Sp2 = 0, 000933255 SQT empo = p r (o − 1) So2 = (12) So2 = 0, 000083 SQErro = SQT otal − SQP essoa − SQT empo = 0, 012449957 Os graus de liberdade são: Efeito Grau de Liberdade Pessoa

p−1 = 1

Tempo

o−1 = 1

Erro

por − p − o + 1 = 21

Total

por − 1=23


88

Com isso, o quadrado médio é: SQP essoa 0, 000933 = p−1 1 = 0, 000933

QMP essoa =

0, 000083 SQT empo = o−1 1 = 0, 000083

QMT empo =

SQErro 0, 012449957 = por − p − o + 1 21 = 0, 000592855

QMErro =

A tabela abaixo apresenta o resumo da análise de variância. Fonte G.L. Soma Quad Média Quad Estat. F P-valor Tempo 1 0,000083 0,000083 0,139300 0,712719 Pessoa 1 0,000933255 0,000933 1,57417 0,223387 Residuals 21 0,012449957 0,000593 Total 23 0,01347 Tabela 4.6: Tabela de Análise de Variância Aqui, temos que P-Valor é dado por: T empo

P (F1;

21

> 0, 139) = 0, 712719

P essoa

P (F1;

21

> 1, 574) = 0, 223387

Portanto, temos que a estimativa da variabilidade com dois fatores é: σ ˆ 2 = QME = 0, 000593 Considerando que os fatores não são significativo, temos que os componentes de variância s˜ ao desprez´ıveis. Exemplo 4.2. Para avaliar a exatidão das medi¸cões de dureza na escala HRB (ponto 52,39), tomamos 2 tipos de penetradores e 2 operadores. Cada operador realizou 6 medi¸cões com cada penetrador aleatóriamente. Os dados estão apresentados na tabela 4.7.


89

Op. A Medi¸c˜ oes Penetrador 1 2 3 4 5 6 Bom 52 52 52,4 52 52,4 53 Ruim 72,2 71,2 71 70,2 72 72

Op. B Medi¸c˜ oes 1 2 3 4 5 6 53 53 53,2 53,4 52,8 53 42 72,4 72 73 73,2 72,3

Tabela 4.7: Medi¸caõ de Dureza Escala HRB Solu¸ c˜ ao 2o Passo: Soma de Quadrados: 2 • Cálculo do S... . Seja y¯... = 61, 07 a média dos dados, com p = 2, o = 2 e r = 6. Ent˜ ao:

2 S...

(52 − 61, 07)2 + (72, 2 − 61, 07)2 + · · · + (72, 00 − 61, 07)2 + (53, 00 − 61, 07)2 24 − 1 109, 6195

= =

2 • Cálculo do Si.. . Veja a tabela 4.8.

Penetrador Média (¯ yi.. ) Média das Médias (¯ y... ) Bom 52,6833 61,0708 Ruim 69,4583 61,0708 Total

(¯ yi.. − y¯... )2 70,35 70,35 140,7

2 Tabela 4.8: Cálculo do Si..

Portanto, 2 Si.. =

140, 7 = 140, 7 1

2 • Cálculo do S.j. . Veja a tabela 4.9.

Operador A B

Média (¯ y.j. ) Média das Médias (¯ y... ) 61,87 61,0708 60,28 61,0708 Total

(¯ y.j. − y¯... )2 0,6334 0,6334 1,2667

2 Tabela 4.9: Cálculo do S.j.

Portanto, 2 S.j. =

1, 2667 = 1, 2667 1

Utilizando as expressões (4.2), (4.3), (4.4), (4.5) e (4.6) e os resultados das variâncias amotrais, temos que:


90

2 SQT = (p o r − 1) S... = 2521, 2496 2 SQO = p r (o − 1) S.j. = 15, 2004 2 SQP = o r (p − 1) Si.. = 1688, 4038

SQE = SQT − SQP − SQO = 817, 6454

3o Passo: Cálculo dos graus de liberdade: Efeito Grau de Liberdade Penetrador p-1 =1 Operador o-1 =1 Erro por-p-o+1 = 21 Total por-1 = 23

4o Passo: Cálculo do erro quadrático médio: Utilizando as expressões (4.7), (4.8), (4.9) e (4.10) temos que:

QMP =

SQP = p−1

(Penetrador)

QMO =

SQO = o−1

(Operador)

QME =

SQE = por − p − o + 1

(Erro)

6o Passo: Tabela de ANOVA: Siga os procedimentos de montagem da tabela anova, com base na tabela 4.3, apresentada no sexto passo da teoria. 7o Passo: Componentes de variância:

4. Método da ANOVA (Completo) Fonte Penetrador Operador Erro Total

91

GL

SQ

QM

F

Tabela 4.10: Tabela de Análise de Variância (ANOVA) - Sem intera¸caõ

VE =

p QME = r

VP =

QMP − QME = o∗r

s =

QMO − QME = p∗r

R&R =

p (V E)2 + (VO )2 =

VO

VT =

p (R&R)2 + (V P )2 =

92

Cap´ıtulo 5 C´ alculo de Incerteza de um Rel´ ogio Comparador Considere o processo de calibra¸caõ de um relógio de resolu¸caõ de 0,01mm. Esta calibra¸cão é realizada por compara¸cão utilizando-se um calibrador de relógio. O calibrador apresenta uma resolu¸caõ 0,001 mm com incerteza expandida de 0,001 mm com k=2. Os resultados são apresentados na tabela 9.2. Ref. 0,1 0,5 0,7 1

A 0,101 0,503 0,7 1,002

R 0,098 0,502 0,695 1

Leituras (mm) A R 0,102 0,101 0,504 0,501 0,702 0,697 1,001 1,001

A 0,102 0,504 0,703 0,996

R 0,102 0,502 0,698 0,998

M´ edia

Tend

DP

DPM

0,101 0,502667 0,699167 0,999667

0,001 0,0026667 -0,0008333 -0,0003333

0,0015492 0,0012111 0,0030605 0,0022509

0,000633 0,000494 0,001249 0,000919

Tabela 5.1: Tabela de Dados Na tabela 9.2, temos que • A: representa a leitura no avan¸co; • R: representa a leitura no retorno; • Tend: representa a tendência; • Ref: representa o valor de referência; • DP: representa o Desvio Padrão; • DPM: representa o Desvio padrão da Média ou repetitividade.

5. Cálculo de Incerteza de um Relógio Comparador

93

M´ etodo de Medi¸c˜ ao A calibra¸caõ corresponde a diferen¸ca entre as medi¸co˜es do relógio e do calibrador

d = l − lS onde • l: representa a leitura ajustada no relógio comparador; • lS : representa a leitura obtida pelo calibrador.

Modelo Matem´ atico Os desvios obtidos apresentam as seguintes fontes de incerteza

d = ∆l + Res(Rel) + Res(Cal) + Histerese Então,

l = d + ls = ∆l + Res(Rel) + Res(Cal) + Histerese + ls onde, • ∆l : representa a diferen¸ca observada entre a medi¸cão do relógio e a medi¸cão do calibrador (repetitividade); • Res(Rel) : Resolu¸cão do relógio; • Res(Cal) : Resolu¸cão do calibrador; • ls : representa a contribui¸caõ do padrão; • Histerese: Máxima diferen¸ca entre a medi¸caõ no avan¸co e no retorno.


5.1

94

Incerteza Combinada

Através da equa¸caõ de propaga¸cão da incerteza, temos que a expressão da incerteza combinada é dada por

uc (d)

5.2

p

=

u2 (∆l ) + u2 (Res(Rel)) + u2 (Res(Cal)) + u2 (ls ) + u2 (Histerese)

C´ alculo da Incerteza Padr˜ ao das grandezas de entrada

A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.

5.2.1

Repetitividade (∆l )

Incerteza do tipo A Agrupada:

r Pn u(∆l ) =

u2A (i) = n

i=1

r

0, 0000030 = 4

Onde • u(∆l ): representa a incerteza combinada (agrupada) do tipo A; • uA (i): representa a incerteza do tipo A no ponto de calibra¸caõ i; • n: representa o n´ umero de pontos de calibra¸caõ.

5.2.2

Incerteza Herdada do Padr˜ ao U (ls )

Distribui¸caõ: Normal u(ls ) =


5.2.3

95

Resolu¸ c˜ ao do Calibrador (Res(Cal))

Distribui¸caõ: Retangular u(Res(Cal)) =

5.2.4

Resolu¸ c˜ ao do Rel´ ogio (Res(Rel))

Distribui¸caõ: Retangular u(Res(Rel)) =

5.2.5

C´ alculo da Histerese Referˆ encia M´ edia do Avan¸co 0,1 0,101667 0,5 0,503667 0,7 0,701667 1 0,999667

M´ edia do Retorno 0,100333 0,501667 0,696667 0,999667

|Histerese| 0,0013333 0,002 0,005 0

Histerese Máxima:

5.3

C´ alculo de Incerteza do Rel´ ogio

5.3.1

C´ alculo da Incerteza Combinada

Fonte Repetitividade Res(Rel) Res(Cal) Incert. Herdada do ls Histerese

Estimativa Tipo 0,000866 A 0,01 B 0,001 B 0,001 B 0,005 B

Distribui¸c˜ ao Normal Retangular Retangular Normal Retangular

Divisor Incerteza 1 0,000866 3,464 0,002887 3,464 0,0002887 2 0,0005 3,464 0,00144342


96

Incerteza Combinada: uc (d)

=

p

(0, 000866)2 + (0, 002887)2 + (0, 0002887)2 + (0, 0005)2 + (0, 00144342)2

=

5.3.2

Graus de liberdade Efetivo

νef f =

uc (d) u(∆l )

4 νA =

Através da tabela t-Student encontramos k =

5.4

Incerteza Expandida U = k ∗ uc (d) =

O relógio de medi¸caõ é utilizado para medir uma tolerância de 0,2mm. Fa¸ca um estudo da comprova¸caõ metrológica.

97

Cap´ıtulo 6 C´ alculo de Incerteza de um Manˆ ometro Objeto a ser calibrado: Manômetro Resolu¸caõ: 1kgf /cm2. Faixa de Indica¸caõ (faixa nominal): 0 − 160kgf /cm2.

Padr˜ ao de referˆ encia: Manômetro padrão. Resolu¸caõ: 0, 1kgf /cm2 Incerteza expandida - U = 0, 1% (k = 2) (Fundo de escala). Temperatura durante a calibra¸caõ: 22 ± 1 ◦ C. Faixa de Indica¸caõ (faixa nominal): 0 − 200kgf /cm2.

Resultados: A bancada foi ajustada com o manômetro (a ser calibrado) e as leituras foram realizadas com o padrão. A tabela 6.1 apresenta os dados.

6. Cálculo de Incerteza de um Manômetro Ajustado 15 30 45 60 75 90 105 120 140 160

A 14,9 29,8 45 60,1 75 89,9 104,9 119,9 140,2 160,3

Leituras (Kgf /cm2 ) R A R A 14,9 14,8 14,9 14,9 29,6 29,7 29,7 29,8 44,6 45,1 44,7 45,1 59,7 60 59,8 60,1 74,6 75 74,6 75 89,5 89,9 89,6 89,8 104,5 105 104,6 105 119,7 119,8 119,8 119,9 140 140,1 140,2 140,2 160,1 160,2 160,2 160,2

98

R 14,9 29,7 44,7 59,8 74,6 89,6 104,6 119,7 140 160,2

Média

Tendência

DP

DPM

14,883 29,717 44,867 59,917 74,8 89,717 104,767 119,8 140,117 160,2

-0,11667 -0,28333 -0,13333 -0,08333 -0,2 -0,28333 -0,23333 -0,2 0,116667 0,2

0,040825 0,075277 0,225093 0,17224 0,219089 0,17224 0,225093 0,089443 0,098319 0,063246

0,016667 0,030732 0,091894 0,070317 0,089443 0,070317 0,091894 0,036515 0,040139 0,02582

Tabela 6.1: Tabela de Dados para o Manômetro Na tabela 6.1, temos que • A: representa a leitura no avan¸co; • R: representa a leitura no retorno; • D: representa o Desvio; • DP: representa o Desvio Padrão; • DPM: representa o Desvio padrão da Média ou repetitividade.

Equa¸c˜ ao Matem´ atica

Desvio = Medida do Manômetro − Manômetro padrão Fontes de Incerteza • Repetitividade - tipo A; • Resolu¸caõ do manômetro; • Resolu¸caõ do manômetro padrão; • Incerteza herdada do padrão, U = 0, 1% (k = 2): Porcentagem tomada em rela¸caõ ao fundo de escala.

U=

U (unidade) 100% 200

,

6. Cálculo de Incerteza de um Manômetro

99

Então

U (unidade) =

uc =

U (%) 200 100

U (unidade) k

• Histerese.

6.1

Incerteza Combinada

Através da equa¸caõ de propaga¸cão da incerteza, temos que a expressão da incerteza combinada para o manômetro é dada por

uc (M )

=

p

u2 (∆l ) + u2 (Res(man)) + u2 (Res(padra)) + u2 (hP ad ) + u2 (Hist)

Onde • u(∆l ): representa a incerteza devido a repetitividade; • u(Res(man)): representa a incerteza devido a resolu¸caõ do manômetro; • u(Res(padra)): representa a incerteza devido a resolu¸caõ do manômetro padrão; • u(hP ad ): representa a incerteza herdada do manômetro padrão; • u(Hist): representa a incerteza devido a histerese;

6.2

C´ alculo da Incerteza Padr˜ ao das grandezas de entrada

A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.


6.2.1

Repetitividade (∆l )

Incerteza do tipo A Agrupada:

sP u(∆l ) =

n i=1

u2Ai

n

r =

0, 0396111 = 10

Onde • u(∆l ): representa a incerteza do tipo A; • uAi : representa a incerteza do tipo A para o i-ésimo ponto de calibra¸caõ; • n: representa o n´ umero de pontos de calibra¸caõ.

6.2.2

Incerteza Herdada do Manˆ ometro Padr˜ ao - U(Upadr˜ ao)

Distribui¸caõ: Normal u(hP ad ) =

6.2.3

Resolu¸ c˜ ao do Manˆ ometro P˜ adr˜ ao - U(Res(padra))

Distribui¸caõ: Retangular u(Res(padra)) =

6.2.4

Resolu¸ c˜ ao do Manˆ ometro - U(Res(man))

Distribui¸caõ: Retangular u(Res(man)) =

100


6.2.5

101

C´ alculo da Histerese M´ edia do Avan¸co 14,867 29,767 45,0667 60,067 75 89,867 104,9 119,867 140,1 160,233

M´ edia do Retorno |Histerese| 14,9 0,033333 29,667 0,1 44,667 0,4 59,767 0,3 74,667 0,333333 89,567 0,3 104,567 0,333333 119,733 0,133333 140,067 0,033333 160,233 0

Histerese Máxima:

6.3

6.3.1

C´ alculo da Incerteza do Manˆ ometro

C´ alculo da Incerteza Combinada FV Estimativa Tipo Repetitividade 0,062937 A Inc. Herdada 0,2 B Res-Padrão 0,1 B Res-manôm. 1 B Histerese 0,4 B

Distribui¸c˜ ao Normal Normal Retangular Retangular Retangular

Divisor Incerteza 1 0,062937 2 0,1 3,464 0,02887 3,464 0,2887 3,464 0,11547

6. Cálculo de Incerteza de um Manômetro Incerteza combinada:

uc (M )

=

p (0, 062937)2 + (0, 1)2 + (0, 02887)2 + (0, 2887)2 + (0, 11547)2

=

6.3.2

Graus de liberdade efetivo

νef f =

uc (M ) u(∆l )

4 νA =

Através da tabela t-Student encontramos k =

6.3.3

Incerteza Expandida U = k ∗ uc (M ) =

6.3.4

Express˜ ao da Incerteza em Porcentagem U=

U (unidade) 100% 160

102

103

Cap´ıtulo 7 C´ alculo de Incerteza de um Volt´ımetro Digital Exemplo 7.1. Considere a calibra¸cão de um volt´ımetro digital por compara¸cão. Código: VO341

Série: 006-C

Menor Div. 0,1 mV

Unidade: mV

Descri¸cão: Volt´ımetro digital Faixa de leitura: 0 a 200 mV

Temperatura ambiente: 20 ± 3o C;

Padrão de referência: Mult´ımetro digital HP - 3458A U = ± 0,001% (k=2) (em rela¸cão ao fundo de escala)

Resolu¸cão: 0,01 mV

Drift (estabilidade) =± 0,002 mV Faixa de leitura: 0 a 200 mV Modelo Matem´ atico Desvio = (Voltagem indicada no equipamento em calibra¸caõ) - (voltagem do padrão de referência) Valores Encontrados: Leitura Padrão

1

2

3

4

Média

Tend.

DPM

40

40,11

40,15

40,16

40,12

40,135

0,135

0,0119024

80

80,12

80,16

80,14

80,13

80,138

0,1375 0,0085391

120

120,15

120,17

120,19 120,19 120,175

0,175

0,0095743

160

160,23

160,18

160,17 160,18

0,19

0,0135401

200

200,21

200,23

200,26 200,27 200,243 0,2425 0,0137689

160,19

7. Cálculo de Incerteza de um Volt´ımetro Digital

104

Planilha de Incerteza Fonte de Incerteza

Valor

Tipo

Dist

Divisor Incerteza

gl

Repetitividade Incerteza do Padrão Resolu¸caõ Padrão Drift do Padrão Resolu¸caõ Volt´ımetro Incerteza Combinada:

Graus de Liberdade efetivo

υef f =

uc (y) uA (y)

4 νA =

Onde νA = j ∗ (n − 1) corresponde ao grau de liberdade tipo A, tal que j é o n´ umero de pontos de calibra¸cão e n o n´ umero de leituras por ponto. Incerteza Expandida:

Avalia¸cão da incerteza: Suponha que este equipamento seja utilizado para medir uma tolerância de 3 mV. Fa¸ca uma análise cr´ıtica da capacidade deste equipamento para medir tal tolerância.

105

Cap´ıtulo 8 C´ alculo de Incerteza no Ensaio de Tens˜ ao 8.1

Calibra¸c˜ ao

X Equa¸c˜ ao de Medi¸c˜ ao A expressão 8.1 representa a equa¸cão de medi¸cão utilizada para a obten¸cão da Tensão: T = M + Res + Inst + ∆

(8.1)

T : Representa a Tensão M : Representa a tensão no mult´ımetro padrão do laboratório. Podemos supor que M tem distribui¸caõ Normal com incerteza u(herdM ) e fator de abrangência obtidos via certificado de calibra¸caõ. Res: Resolu¸caõ do mult´ımetro. Podemos supor que a resolu¸caõ tem distribui¸caõ retangular , onde Res é a resolu¸cão do artefato. Logo, a (ou uniforme) no intervalo − Res , Res 2 2 incerteza devida a resolu¸caõ será dada por: Res u(Res) = √ 2 3 Inst: Instabilidade do mult´ımetro. Podemos supor que a Instabilidade tem distribui¸caõ retan gular (ou uniforme) no intervalo − Inst , Inst , onde Inst é a Instabilidade do artefato. 2 2

8. Cálculo de Incerteza no Ensaio de Tensão

106

Logo, a incerteza devida a Instabilidade será dada por: Inst u(Inst) = √ 2 3 ∆: Representa a leitura do equipamento. Podemos supor que a distribui¸caõ da média das medi¸co˜es (repetitividade) tem distribui¸cão normal. Logo, podemos estimar sua incerteza (desvio padrão) como s u(∆) = √ , n onde s2 =

1 n−1

Pn

2 i=1 (xi − X)

é a variância amostral e X =

1 n

Pn

i=1

xi é a média amostral;

X Incerteza Combinada (uc (T )) A incerteza combinada para a Tensão é dada por:

uc (T )2 = u2 (herdM ) + u2 (Res) + u2 (Inst) + u2 (∆) Logo, uc (T ) =

p u2 (herdM ) + u2 (Res) + u2 (Inst) + u2 (∆).

X Incerteza Expandida (U (T )) Aqui, a expressão 8.2 representa a incerteza expandida para a Tensão.

U (T ) = k × uc (T )

(8.2)

onde, k (fator de abrangência) é o quantil da distribui¸caõ t-Student com νef f (T ) graus de liberdade e confian¸ca de 95%. Aqui, os graus de liberdade são dados por:

νef f (T ) =

(uc (T ))4 u4 (∆) n−1

+

u4 (herdM ) ∞

+

u4 (Res) ∞

+

u4 (Inst) ∞

A tabela 9.3 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Tensão.


107

C´ alculo de Incerteza - Canal de Tens˜ ao S´ımbolo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tipo Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L. ∆ Repetitividade A Normal 1 1 n−1 M Equip. Medi¸c˜ ao B Normal k 1 ∞ √ Res Resolu¸c˜ ao B Retangular 2 √3 1 ∞ Inst Instabilidade B Retangular 2 3 1 ∞ Incerteza Combinada uc (T ) Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) νef f (T ) Fator de Abrangˆ encia k Incerteza Expandida U (T ) Est. = Estimativa Distr. = Distribui¸ca õ Div. = Divisor C.S. = Coeficiente de Sensibilidade Contr. = Contribui¸c˜ ao G.L. = Graus de Liberdade

Tabela 8.1: Resumo do Cálculo de Incerteza para a Tensão

8.2

Aplica¸c˜ ao

Considere um Ensaio de Tensão, utilizando um Mult´ımetro, são realizadas 5 leituras, na unidade de milivolts (mV). Os resultados são apresentados na Tabela 8.2. Leituras (mV) 97,761 102,488 100,870 98,941 100,510 M´ edia 100,1139 Repetitividade 0,8148 Tabela 8.2: Tabela de Dados Os dados necessários para esta aplica¸caõ são: • A incerteza do mult´ımetro U (herdM ) = 1% da leitura com k = 2; • A resolu¸caõ do mult´ımetro Res(M ) = 0, 1% da leitura; • A instabilidade do mult´ımetro Inst(M ) = 0, 04% da leitura; √

0,8148 • A repetitividade (%) é dada por: u(∆) = 100 s/T n = 100 100,1139 = 0, 81383%

A seguir, todos os cálculos serão feitos em porcentagem (%)!!!! A incerteza combinada para a Tensão é dada por:

uc (T ) = Os graus de liberdade são:


νef f (T ) =

108

((uc (T ))4 u4 (∆) n−1

+

u4 (herdM ) ∞

+

u4 (Res) ∞

+

u4 (Inst) ∞

=

Considerando os graus de liberdade efetivo e uma confian¸ca de aproximadamente 95%, temos pela tabela da distribui¸cão t-student, que o fator de abrangência é k =

. Com isso,

a incerteza expandida para a variável tensão:

U (T ) = k × uc (T )

=

S´ımbolo Fontes de Incerteza ∆ Repetitividade M Equip. Medi¸c˜ ao Res Resolu¸c˜ ao Inst Instabilidade Incerteza Combinada Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) Fator de Abrangˆ encia Incerteza Expandida

C´ alculo de Incerteza - Canal de Tens˜ ao Unidade Est. Tipo Distr. Div. % 0,81383 A Normal 1 % 1 B Normal 2 √ % 0,1 B Retangular 2 √3 % 0,04 B Retangular 2 3

Incerteza 0,81383 0,5 0,0289 0,01155

Tabela 8.3: Resumo do Cálculo de Incerteza para a Tensão

C.S. 1 1 1 1

Contr. 0,81383 0,5 0,0289 0,01155

G.L. 4 ∞ ∞ ∞ 0, 9557 7, 61 2, 33 2, 22 %

109

Cap´ıtulo 9 C´ alculo de Incerteza no Ensaio de Corrente 9.1

Calibra¸c˜ ao

X Equa¸c˜ ao de Medi¸c˜ ao A expressão 9.1 representa a equa¸cão de medi¸cão utilizada para a obten¸cão da Corrente:

I = M + Res + Inst + ∆

(9.1)

I: Representa a Corrente M : Representa a tensão no mult´ımetro padrão do laboratório. Podemos supor que M tem distribui¸caõ Normal com incerteza u(herdM ) e fator de abrangência obtidos via certificado de calibra¸caõ. Res: Resolu¸caõ do mult´ımetro. Podemos supor que a resolu¸caõ tem distribui¸caõ retangular Res (ou uniforme) no intervalo − Res , , onde Res é a resolu¸cão do artefato. Logo, a 2 2 incerteza devida a resolu¸caõ será dada por: Res u(Res) = √ 2 3 Inst: Instabilidade do mult´ımetro. Podemos supor que a Instabilidade tem distribui¸caõ retan Inst gular (ou uniforme) no intervalo − Inst , , onde Inst é a Instabilidade do artefato. 2 2

9. Cálculo de Incerteza no Ensaio de Corrente

110

Logo, a incerteza devida a Instabilidade será dada por: Inst u(Inst) = √ 2 3 ∆: Representa a leitura do equipamento. Podemos supor que a distribui¸caõ da média das medi¸co˜es (repetitividade) tem distribui¸cão normal. Logo, podemos estimar sua incerteza (desvio padrão) como s u(∆) = √ , n onde s2 =

1 n−1

Pn

2 i=1 (xi − X)


1 n

Pn

i=1

xi é a média amostral;

X Incerteza Combinada (uc (I)) A incerteza combinada para a Tensão é dada por:

uc (I)2 = u2 (herdM ) + u2 (Res) + u2 (Inst) + u2 (∆) Logo, uc (I) =

p u2 (herdM ) + u2 (Res) + u2 (Inst) + u2 (∆).

X Incerteza Expandida (U (I)) Aqui, a expressão 9.2 representa a incerteza expandida para a Corrente.

U (I) = k × uc (I)

(9.2)

onde, k (fator de abrangência) é o quantil da distribui¸caõ t-Student com νef f (I) graus de liberdade e confian¸ca de 95%. Aqui, os graus de liberdade são dados por:

νef f (I) =

(uc (I))4 u4 (∆) n−1

+

u4 (herdM ) ∞

+

u4 (Res) ∞

+

u4 (Inst) ∞

A tabela 9.1 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Corrente.


111

C´ alculo de Incerteza - Canal de Corrente S´ımbolo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tipo Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L. ∆ Repetitividade A Normal 1 1 n−1 M Equip. Medi¸c˜ ao B Normal k 1 ∞ √ Res Resolu¸c˜ ao B Retangular 2 √3 1 ∞ Inst Instabilidade B Retangular 2 3 1 ∞ Incerteza Combinada uc (T ) Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) νef f (T ) Fator de Abrangˆ encia k Incerteza Expandida U (T ) Est. = Estimativa Distr. = Distribui¸ca õ Div. = Divisor C.S. = Coeficiente de Sensibilidade Contr. = Contribui¸c˜ ao G.L. = Graus de Liberdade

Tabela 9.1: Resumo do Cálculo de Incerteza para a Corrente

9.2

Aplica¸c˜ ao

Considere um Ensaio de Corrente, utilizando um Mult´ımetro, são realizadas 5 leituras, na unidade de miliamper (mA). Os resultados são apresentados na Tabela 9.2. Temos que, a Instabilidade do Mult´ımetro é ±0, 2%. Leituras (mA) 500,41 500,32 501,75 498,06 496,71 M´ edia 499,45 Repetitividade 0,9058 Tabela 9.2: Tabela de Dados Os dados necessários para esta aplica¸caõ são: • A incerteza do mult´ımetro u(herdM ) = 1% da leitura com k = 2; • A resolu¸caõ do mult´ımetro res(M ) = 0, 1% da leitura ; • A instabilidade do mult´ımetro inst(M ) = 0, 4% da leitura; √

• A repetitividade (%) é dada por: u(∆) = 100 s/I n = 100 0,9058 = 0, 18% 499,45 A incerteza combinada para a Tensão é dada por:

uc (I) = Os graus de liberdade são:


νef f (I) =

112

(uc (I))4 u4 (∆) n−1

+

u4 (herdM ) ∞

+

u4 (Res) ∞

+

u4 (Inst) ∞

= Considerando os graus de liberdade efetivo e uma confian¸ca de aproximadamente 95%, temos pela tabela da distribui¸cão t-student, que o fator de abrangência é k =

. Com isso,

a incerteza expandida para a variável corrente:

U (I) = k × uc (I) =

S´ımbolo Fontes de Incerteza ∆ Repetitividade M Equip. Medi¸c˜ ao Res Resolu¸c˜ ao Inst Instabilidade Incerteza Combinada Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) Fator de Abrangˆ encia Incerteza Expandida

C´ alculo de Incerteza - Canal de Corrente Unidade Est. Tipo Distr. Div. % 0,18 A Normal 1 % 1 B Normal 2 √ % 0,1 B Retangular 2 √3 % 0,4 B Retangular 2 3

Incerteza 0,18 0,5 0,0289 0,0115

C.S. 1 1 1 1

Tabela 9.3: Resumo do Cálculo de Incerteza para a Corrente

Contr. 0,18 0,5 0,0289 0,0115

G.L. 4 ∞ ∞ ∞ 0, 5328 297, 96 1, 96 1, 04 %

113

Cap´ıtulo 10 C´ alculo de Incerteza no Ensaio de Impedˆ ancia 10.1

Calibra¸c˜ ao

X Equa¸c˜ ao de Medi¸c˜ ao A expressão 10.1 representa a equa¸cão de medi¸cão utilizada para a obten¸cão da Impedancia:

R=

V +∆ I

R: Representa a Impedancia; V : Representa a tensão no mult´ımetro padrão do laboratório. Podemos supor que V tem distribui¸caõ Normal com incerteza U (V ) e fator de abrangência obtidos na cap´ıtulo 8. I: Representa a corrente no mult´ımetro padrão do laboratório. Podemos supor que I tem distribui¸caõ Normal com incerteza U (I) e fator de abrangência obtidos na cap´ıtulo 9. ∆: Representa a leitura do equipamento. Podemos supor que a distribui¸caõ da média das medi¸co˜es (repetitividade) tem distribui¸cão normal. Logo, podemos estimar sua incerteza (desvio padrão) como s u(∆) = √ , n onde s2 =

1 n−1

Pn

2 i=1 (xi − X)


X Incerteza Combinada (uc (R))

1 n

Pn

i=1

xi é a média amostral.

10. Cálculo de Incerteza no Ensaio de Impedância

114

A incerteza combinada para a Tensão é dada por:

u2c (R)

2 2 ∂R ∂R 2 = u (V ) + u2 (I) + u2 (∆) ∂V ∂I 2 2 1 V 2 = u (V ) + − 2 u2 (I) + u2 (∆) I I

A Incerteza combinada relativa é dada por u2r (R)

u2 (R) = c 2 = R

2 2 2 2 u (V ) 1 V u (I) u2 (∆) + − + I R2 I2 R2 R2

Logo, s ur (R) = =

u(V ) V

2

+

u(I) I

2

+

u(∆) R

2

p u2r (V ) + u2r (I) + u2r (∆)

X Incerteza Expandida (U (R)) Aqui, a expressão 10.1 representa a incerteza expandida para a Impedância.

U (R) = k × ur (R)

(10.1)

onde, k (fator de abrangência) é o quantil da distribui¸cão t-Student com νef f (R) graus de liberdade e confian¸ca de 95%. Aqui, os graus de liberdade são dados por:

νef f (R) =

(ur (R))4 u4r (V ) ∞

+

u4r (I) ∞

+

u2r (∆) n−1

=∞

A tabela 10.3 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Impedância.


115

C´ alculo de Incerteza - Canal de Impedˆ ancia S´ımbolo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tipo Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L. ∆ Repetitividade % A Normal 1 1 n−1 V Herdada da Tens˜ ao % B Normal k 1 ∞ I Herdada da Corrente % B Normal k 1 ∞ Incerteza Combinada uc (R) Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) νef f (R) Fator de Abrangˆ encia k Incerteza Expandida U (R) Est. = Estimativa Distr. = Distribui¸ca õ Div. = Divisor C.S. = Coeficiente de Sensibilidade Contr. = Contribui¸c˜ ao G.L. = Graus de Liberdade

Tabela 10.1: Resumo do Cálculo de Incerteza para a Impedância

10.2

Aplica¸c˜ ao

Considere um Ensaio de Impedância, utilizando os dados dos Cap´ıtulos 9 e 8, temos os valores da Impedância na Tabela 10.2 Tens˜ ao (mV) Corrente (mA) Impedˆ ancia 97,761 500,41 0,195 102,488 500,32 0,205 100,870 501,75 0,201 98,941 498,06 0,199 100,510 496,71 0,202 M´ edia 100,113856 M´ edia 499,45 M´ edia 0,2004 Repetitividade 0,8148 Repetitividade 0,9058 Repetitividade 0,0017 Tabela 10.2: Tabela de Dados Os dados necessários para esta aplica¸caõ são: • A incerteza herdada da Tensão U (V ) = 2, 22 % com k = 2, 33; • A incerteza herdada da Corrente U (I) = 1, 04 % com k = 1, 96; √

• A repetitividade (%) é dada por: u(∆) = 100 s/R n = 100 0,0017 = 0, 829%. 0,2004 A incerteza combinada para a Impedância é dada por:

ur (R) =


116

Os graus de liberdade são: νef f (R) =

(ur (R))4 u4r (V ) ∞

+

u4r (I) ∞

+

u2r (∆) n−1

= Considerando os graus de liberdade efetivo e uma confian¸ca de aproximadamente 95%, temos pela tabela da distribui¸cão t-student, que o fator de abrangência é k =

. Com isso, a

incerteza expandida para a variável impedância:

U (R) = k × ur (R) =

S´ımbolo Fontes de Incerteza ∆ Repetitividade I Herdada da Corrente V Herdada da Tens˜ ao Incerteza Combinada Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) Fator de Abrangˆ encia Incerteza Expandida

C´ alculo de Unidade % % %

Incerteza - Canal de Impedˆ ancia Est. Tipo Distr. Div. Incerteza 0,829 A Normal 1 0,829 1,0442 B Normal 1, 96 0,5328 2,2238 B Normal 2, 33 0,9557

C.S. 1 1 1

Tabela 10.3: Resumo do Cálculo de Incerteza para a Impedância

Contr. 0,829 0,5328 0,9557

G.L. 4 ∞ ∞ 1,3727 30,07 2,04 2,8%

117

Apˆ endice A Parˆ ametros Caracter´ısticos de um Sistema de Medi¸ c˜ ao Para caracterizar o comportamento metrológico de um sistema de medi¸caõ, são empregados alguns parâmetros metrológicos. Estes parâmetros podem ser expressos na forma de um simples n´ umero, uma faixa de valores ou na forma de um gráfico. Aqui, são descritos os principais parâmetros. Faixa Nominal A faixa nominal é a faixa de indica¸cão que se pode obter em uma posi¸cão espec´ıfica dos controles de um instrumento de medi¸caõ. A faixa nominal normalmente é definida em termos de seus limites inferiores e superiores. Exemplos: • Termômetro: 100o C a 200o C • Manômetro: 0 bar a 20 bar • Contador: 5 d´ıgitos ( isto é 99999 pulsos ) Quando o limite inferior é zero, a faixa nominal pode ser definida unicamente em termos do limite superior, por exemplo: a faixa nominal de 0V a 100V é expressa como ”100 V”. Amplitude da Faixa Nominal A amplitude da faixa nominal é a diferen¸ca, em módulo, entre os dois limites de uma faixa nominal de -10 V a + 10 V a amplitude da faixa nominal é 20 V. Em algumas a´reas, a diferen¸ca entre o maior e o menor valor é denominado faixa.

A. Parâmetros Caracter´ısticos de um Sistema de Medi¸caõ

118

Faixa de Medi¸c˜ ao A faixa de medi¸caõ, também denominada faixa de trabalho, é o conjunto de valores de um mesurando para o qual admite-se que o erro de um instrumento de medi¸cão mantém-se dentro dos limites especificados. Exemplo: Num relógio Apalpador a faixa de medi¸caõ é de ± 50 µm a + 50 µm ). A faixa de medi¸cão é menor ou, no máximo, igual a faixa nominal. O valor da faixa de medi¸caõ pode ser obtidas através: • do manual de opera¸caõ do SM; • de sinais gravados sobre a escala; • das especifica¸cões de normas técnicas; • dos relatórios de calibra¸caõ. Divis˜ ao de Escala ´ a parte de uma escala compreendida entre duas marcas sucessivas quaisquer. E Comprimento de uma Divis˜ ao ´ a distância entre duas marcas sucessivas quaisquer, medidas ao longo da linha do comE primento de escala. O comprimento de uma divisão é expresso em unidades de comprimento. Qualquer que seja a unidade mensurado ou a unidade marcada sobre a escala. Valor de uma Divis˜ ao O valor de uma divisão é a diferen¸ca entre os valores de escala correspondente a duas marcas sucessivas. Condi¸co ˜es de Utiliza¸c˜ ao São as condi¸co˜es de uso para as quais as caracter´ısticas metrológicas especificadas de um instrumento de medi¸caõ mantém-se dentro de limites especificados. Condi¸co ˜es de Referˆ encia


119

As condi¸cões de referência são as condi¸co˜es usuais prescritas para ensaio de desempenho de um instrumento de medi¸cão ou para intercompara¸caõ de resultados de medi¸co˜es. Estas condi¸cões geralmente incluem os valores de referência ou as faixas de referência para as grandezas de influência que afetam o instrumento de medi¸caõ. Caracter´ıstico de Resposta ´ a rela¸caõ entre um est´ımulo e a resposta correspondente, sob condi¸co˜es definidas. ExemE plo: a for¸ca elemotriz ( fem) de um termopar como fun¸caõ da temperatura. A rela¸caõ poderá ser expressa na forma de uma equa¸caõ matemática, uma tabela numérica ou um gráfico. Sensibilidade A sensibilidade é caracterizada pela varia¸cão da resposta de um instrumento de medi¸caõ dividida pela varia¸caõ de estimulo. Nos instrumentos com indicador de ponteiro comumente se estabelece a sensibilidade como sendo a rela¸caõ entre o deslocamento da extremidade do ponteiro em (mm) e o valor unitário da grandeza a medir. Limiar de Mobilidade ´ a maior varia¸caõ no estimulo que não produz varia¸caõ detectável na resposta de um E instrumento de medi¸caõ, sendo a varia¸caõ no sinal de entrada lenta e uniforme. O limiar de mobilidade ( também chamado threshold ) pode depender, por exemplo de ru´ıdo ( interno e externo ) ou atrito. Pode depender também, do valor do est´ımulo. Resolu¸c˜ ao A resolu¸caõ é a menor diferen¸ca entre as indica¸cões de um dispositivo mostrador que pode ser significativamente percebida. A avalia¸caõ da resolu¸caõ é executada em fun¸cão do tipo de instrumento: a) Para dispositivo mostrador digital, a resolu¸caõ é a varia¸cão na indica¸caõ quando o d´ıgito menos significativo varia de uma unidade. b) Nos sistemas de medi¸cão com dispositivo mostrador analógico, a resolu¸cão é fun¸cão das limita¸co˜es do executor da leitura, da qualidade do indicador e da própia necessidade de leituras mais ou menos criteriosas.


120

Estabilidade A estabilidade é a aptidão de um instrumento de medi¸caõ em conservar constantes suas caracter´ısticas metrológicas ao longo do tempo. A estabilidade pode ser quantificada de várias maneiras, por exemplo: pelo tempo no qual a caracter´ıstica metrológica varia de um valor determinado, ou, em termos de varia¸caõ de uma caracter´ıstica em um determinado per´ıodo de tempo. Discri¸c˜ ao Caracteriza a aptidão de um instrumento de medi¸caõ em não alterar o valor do mensurado. Por exemplo: Uma balan¸ca é um instrumento discreto para medi¸cão de massas, pois o sistema de medi¸caõ não altera o valor da massa. Um termômetro de resistência que aquece o meio ambiente no qual a temperatura está sob medi¸caõ, não é discreto. Deriva A deriva é a varia¸caõ lenta de uma caracter´ıstica metrológica de um instrumento de medi¸caõ. Tempo de Resposta ´ o intervalo entre o instante em que o est´ımulo é submetido a uma varia¸caõ brusca e o E instante em que a resposta atinge e permanece dentro de limites especificados em torno do seu valor final estável. Exatid˜ ao de Um Instrumento de Medi¸c˜ ao A exatidão é a aptidão de um instrumento de medi¸cão par dar respostas próximas a um valor verdadeiro ( também denominada de acurácia ). A exatidão é um conceito qualitativo, não devendo ser confundido com precisão. Classe de Exatid˜ ao Classe de instrumentos de medi¸caõ ou medidas materializadas, que satisfazem a certas exigências metrológicas para conservar os erros dentro de certos limites especificados. Uma classe de exatidão é usualmente indicada por um n´ umero ou s´ımbolo adotado por conven¸caõ e denominado de ´ındice de classe, por exemplo: jogo de blocos padrão classe 0. Erro de Indica¸c˜ ao em um Instrumento de Medi¸c˜ ao


121

Este erro é determinado pela diferen¸ca da indica¸cão de um instrumento de medi¸cão e um valor verdadeiro da grandeza de entrada correspondente. Uma vez que um valor verdadeiro não pode ser determinado, então na prática é utilizado um valor verdadeiro convencional. Este conceito de erro aplica-se principalmente quando o instrumento é comparado a um padrão de referência. Para uma medida materializada, o erro é caracterizado entre a indica¸caõ e o valor atribu´ıdo a ela. Erros M´ aximos Admiss´ıveis São os valores extremos de um erro admiss´ıvel por especifica¸cões, regulamentos, etc, para um dado instrumento de medi¸caõ. Também denominado de Limites de Erros Admiss´ıveis. Tendˆ encia A tendência é o erro sistemático da indica¸cão de um instrumento de medi¸caõ ( também denominado: bias of a measuring instrument, erreur de justesse ). A tendência de um instrumento de medi¸cão é normalmente estimada pela média dos erros de indica¸cão de um n´ umero apropriado de medi¸cões repetidas. Isen¸c˜ ao de Tendˆ encia Aptidão de um instrumento de medi¸cão em dar indica¸cões isentas de erros sistemáticos. Repetitividade A repetitividade é a aptidão de um instrumento de medi¸caõ em fornecer indica¸co˜es muito próximas, em repetidas aplica¸co˜es do mesmo mensurando, sob as mesmas condi¸co˜es de medi¸cão. Estas condi¸co˜es incluem: • Redu¸caõ ao m´ınimo das variáveis devido ao observador; • Mesmo procedimento de medi¸cão; • Mesmo avaliador; • Mesmo equipamento de medi¸cão, sendo utilizado nas mesmas condi¸co˜es; • Mesmo local; • Repeti¸co˜es em um curto per´ıodo de tempo.


122

A repetitividade pode ser expressa quantitativamente em termos das caracter´ısticas de dispersão das indica¸co˜es. Histerese A histerese de um instrumento de medi¸caõ é um erro de medi¸caõ, que ocorre quando há diferen¸ca entre a medida para um dado valor do mensurado quando esta foi atingida por valores crescentes e a medida quando atingida por valores decrescentes do mensurado. Este valor poderá ser diferente se o ciclo de carregamento e descarregamento for completo ou parcial. A histerese é um fenômeno bastante t´ıpico nos instrumentos mecânicos, tendo como fonte de erro, principalmente, folgas e deforma¸cões associadas ao atrito.

123

Apˆ endice B Tabelas Estat´ısticas

B. Tabelas Estat´ısticas

124

• Distribui¸caõ Normal - Tabela 6 Sigma Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49

´ Area 0,500000000 0,496010644 0,492021686 0,488033527 0,484046563 0,480061194 0,476077817 0,472096830 0,468118628 0,464143607 0,460172163 0,456204687 0,452241574 0,448283213 0,444329995 0,440382308 0,436440537 0,432505068 0,428576284 0,424654565 0,420740291 0,416833837 0,412935577 0,409045885 0,405165128 0,401293674 0,397431887 0,393580127 0,389738752 0,385908119 0,382088578 0,378280478 0,374484165 0,370699981 0,366928264 0,363169349 0,359423567 0,355691245 0,351972708 0,348268273 0,344578258 0,340902974 0,337242727 0,333597821 0,329968554 0,326355220 0,322758110 0,319177509 0,315613697 0,312066949

Z 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

´ Area 0,308537539 0,305025731 0,301531788 0,298055965 0,294598516 0,291159687 0,287739719 0,284338849 0,280957309 0,277595325 0,274253118 0,270930904 0,267628893 0,264347292 0,261086300 0,257846111 0,254626915 0,251428895 0,248252230 0,245097094 0,241963652 0,238852068 0,235762498 0,232695092 0,229649997 0,226627352 0,223627292 0,220649946 0,217695438 0,214763884 0,211855399 0,208970088 0,206108054 0,203269392 0,200454193 0,197662543 0,194894521 0,192150202 0,189429655 0,186732943 0,184060125 0,181411255 0,178786380 0,176185542 0,173608780 0,171056126 0,168527607 0,166023246 0,163543059 0,161087060

Z 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49

´ Area 0,158655254 0,156247645 0,153864230 0,151505003 0,149169950 0,146859056 0,144572300 0,142309654 0,140071090 0,137856572 0,135666061 0,133499513 0,131356881 0,129238112 0,127143151 0,125071936 0,123024403 0,121000484 0,119000107 0,117023196 0,115069670 0,113139446 0,111232437 0,109348552 0,107487697 0,105649774 0,103834681 0,102042315 0,100272568 0,098525329 0,096800485 0,095097918 0,093417509 0,091759136 0,090122672 0,088507991 0,086914962 0,085343451 0,083793322 0,082264439 0,080756659 0,079269841 0,077803841 0,076358510 0,074933700 0,073529260 0,072145037 0,070780877 0,069436623 0,068112118

Z 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99

´ Area 0,066807201 0,065521712 0,064255488 0,063008364 0,061780177 0,060570758 0,059379941 0,058207556 0,057053433 0,055917403 0,054799292 0,053698928 0,052616138 0,051550748 0,050502583 0,049471468 0,048457226 0,047459682 0,046478658 0,045513977 0,044565463 0,043632937 0,042716221 0,041815138 0,040929509 0,040059157 0,039203903 0,038363570 0,037537980 0,036726956 0,035930319 0,035147894 0,034379502 0,033624969 0,032884119 0,032156775 0,031442763 0,030741909 0,030054039 0,029378980 0,028716560 0,028066607 0,027428950 0,026803419 0,026189845 0,025588060 0,024997895 0,024419185 0,023851764 0,023295468

B. Tabelas Estat´ısticas Z 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31 2,32 2,33 2,34 2,35 2,36 2,37 2,38 2,39 2,40 2,41 2,42 2,43 2,44 2,45 2,46 2,47 2,48 2,49

´ Area 0,022750132 0,022215594 0,021691694 0,021178270 0,020675163 0,020182215 0,019699270 0,019226172 0,018762766 0,018308900 0,017864421 0,017429178 0,017003023 0,016585807 0,016177383 0,015777607 0,015386335 0,015003423 0,014628731 0,014262118 0,013903448 0,013552581 0,013209384 0,012873721 0,012545461 0,012224473 0,011910625 0,011603792 0,011303844 0,011010658 0,010724110 0,010444077 0,010170439 0,009903076 0,009641870 0,009386706 0,009137468 0,008894043 0,008656319 0,008424186 0,008197536 0,007976260 0,007760254 0,007549411 0,007343631 0,007142811 0,006946851 0,006755653 0,006569119 0,006387155

125 Z 2,50 2,51 2,52 2,53 2,54 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 2,60 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,70 2,71 2,72 2,73 2,74 2,75 2,76 2,77 2,78 2,79 2,80 2,81 2,82 2,83 2,84 2,85 2,86 2,87 2,88 2,89 2,90 2,91 2,92 2,93 2,94 2,95 2,96 2,97 2,98 2,99

´ Area 0,006209665 0,006036558 0,005867742 0,005703126 0,005542623 0,005386146 0,005233608 0,005084926 0,004940016 0,004798797 0,004661188 0,004527111 0,004396488 0,004269243 0,004145301 0,004024589 0,003907033 0,003792562 0,003681108 0,003572601 0,003466974 0,003364160 0,003264096 0,003166716 0,003071959 0,002979763 0,002890068 0,002802815 0,002717945 0,002635402 0,002555130 0,002477075 0,002401182 0,002327400 0,002255677 0,002185961 0,002118205 0,002052359 0,001988376 0,001926209 0,001865813 0,001807144 0,001750157 0,001694810 0,001641061 0,001588870 0,001538195 0,001488999 0,001441242 0,001394887

Z 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 3,20 3,21 3,22 3,23 3,24 3,25 3,26 3,27 3,28 3,29 3,30 3,31 3,32 3,33 3,34 3,35 3,36 3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49

´ Area 0,001349898 0,001306238 0,001263873 0,001222769 0,001182891 0,001144207 0,001106685 0,001070294 0,001035003 0,001000782 0,000967603 0,000935437 0,000904255 0,000874032 0,000844739 0,000816352 0,000788846 0,000762195 0,000736375 0,000711364 0,000687138 0,000663675 0,000640953 0,000618951 0,000597648 0,000577025 0,000557061 0,000537737 0,000519035 0,000500937 0,000483424 0,000466480 0,000450087 0,000434230 0,000418892 0,000404058 0,000389712 0,000375841 0,000362429 0,000349463 0,000336929 0,000324814 0,000313106 0,000301791 0,000290857 0,000280293 0,000270088 0,000260229 0,000250707 0,000241510

Z 3,50 3,51 3,52 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58 3,59 3,60 3,61 3,62 3,63 3,64 3,65 3,66 3,67 3,68 3,69 3,70 3,71 3,72 3,73 3,74 3,75 3,76 3,77 3,78 3,79 3,80 3,81 3,82 3,83 3,84 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,90 3,91 3,92 3,93 3,94 3,95 3,96 3,97 3,98 3,99

´ Area 0,000232629 0,000224053 0,000215773 0,000207780 0,000200064 0,000192616 0,000185427 0,000178491 0,000171797 0,000165339 0,000159109 0,000153099 0,000147302 0,000141711 0,000136319 0,000131120 0,000126108 0,000121275 0,000116617 0,000112127 0,000107800 0,000103630 0,000099611 0,000095740 0,000092010 0,000088417 0,000084957 0,000081624 0,000078414 0,000075324 0,000072348 0,000069483 0,000066726 0,000064072 0,000061517 0,000059059 0,000056694 0,000054418 0,000052228 0,000050122 0,000048096 0,000046148 0,000044274 0,000042473 0,000040741 0,000039076 0,000037475 0,000035936 0,000034458 0,000033037

B. Tabelas Estat´ısticas Z 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 4,20 4,21 4,22 4,23 4,24 4,25 4,26 4,27 4,28 4,29 4,30 4,31 4,32 4,33 4,34 4,35 4,36 4,37 4,38 4,39 4,40 4,41 4,42 4,43 4,44 4,45 4,46 4,47 4,48 4,49

´ Area 0,000031671 0,000030359 0,000029099 0,000027888 0,000026726 0,000025609 0,000024536 0,000023507 0,000022518 0,000021569 0,000020658 0,000019783 0,000018944 0,000018138 0,000017365 0,000016624 0,000015912 0,000015230 0,000014575 0,000013948 0,000013346 0,000012769 0,000012215 0,000011685 0,000011176 0,000010689 0,000010221 0,000009774 0,000009345 0,000008934 0,000008540 0,000008163 0,000007801 0,000007455 0,000007124 0,000006807 0,000006503 0,000006212 0,000005934 0,000005668 0,000005413 0,000005169 0,000004935 0,000004712 0,000004498 0,000004294 0,000004098 0,000003911 0,000003732 0,000003561

126 Z 4,50 4,51 4,52 4,53 4,54 4,55 4,56 4,57 4,58 4,59 4,60 4,61 4,62 4,63 4,64 4,65 4,66 4,67 4,68 4,69 4,70 4,71 4,72 4,73 4,74 4,75 4,76 4,77 4,78 4,79 4,80 4,81 4,82 4,83 4,84 4,85 4,86 4,87 4,88 4,89 4,90 4,91 4,92 4,93 4,94 4,95 4,96 4,97 4,98 4,99

´ Area 0,000003398 0,000003241 0,000003092 0,000002949 0,000002813 0,000002682 0,000002558 0,000002439 0,000002325 0,000002216 0,000002112 0,000002013 0,000001919 0,000001828 0,000001742 0,000001660 0,000001581 0,000001506 0,000001434 0,000001366 0,000001301 0,000001239 0,000001179 0,000001123 0,000001069 0,000001017 0,000000968 0,000000921 0,000000876 0,000000834 0,000000793 0,000000755 0,000000718 0,000000683 0,000000649 0,000000617 0,000000587 0,000000558 0,000000530 0,000000504 0,000000479 0,000000455 0,000000433 0,000000411 0,000000391 0,000000371 0,000000352 0,000000335 0,000000318 0,000000302

Z 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 5,15 5,16 5,17 5,18 5,19 5,20 5,21 5,22 5,23 5,24 5,25 5,26 5,27 5,28 5,29 5,30 5,31 5,32 5,33 5,34 5,35 5,36 5,37 5,38 5,39 5,40 5,41 5,42 5,43 5,44 5,45 5,46 5,47 5,48 5,49

´ Area 0,000000287 0,000000272 0,000000258 0,000000245 0,000000233 0,000000221 0,000000210 0,000000199 0,000000189 0,000000179 0,000000170 0,000000161 0,000000153 0,000000145 0,000000137 0,000000130 0,000000123 0,000000117 0,000000111 0,000000105 0,000000100 0,000000094 0,000000089 0,000000085 0,000000080 0,000000076 0,000000072 0,000000068 0,000000065 0,000000061 0,000000058 0,000000055 0,000000052 0,000000049 0,000000046 0,000000044 0,000000042 0,000000039 0,000000037 0,000000035 0,000000033 0,000000032 0,000000030 0,000000028 0,000000027 0,000000025 0,000000024 0,000000023 0,000000021 0,000000020

Tabela B.1: Tabela Normal 6σ

Z 5,50 5,51 5,52 5,53 5,54 5,55 5,56 5,57 5,58 5,59 5,60 5,61 5,62 5,63 5,64 5,65 5,66 5,67 5,68 5,69 5,70 5,71 5,72 5,73 5,74 5,75 5,76 5,77 5,78 5,79 5,80 5,81 5,82 5,83 5,84 5,85 5,86 5,87 5,88 5,89 5,90 5,91 5,92 5,93 5,94 5,95 5,96 5,97 5,98 5,99 6,00

´ Area 0,000000019 0,000000018 0,000000017 0,000000016 0,000000015 0,000000014 0,000000013 0,000000013 0,000000012 0,000000011 0,000000011 0,000000010 0,000000010 0,000000009 0,0000000085 0,0000000080 0,0000000076 0,0000000071 0,0000000067 0,0000000064 0,0000000060 0,0000000056 0,0000000053 0,0000000050 0,0000000047 0,0000000045 0,0000000042 0,0000000040 0,0000000037 0,0000000035 0,0000000033 0,0000000031 0,0000000029 0,0000000028 0,0000000026 0,0000000025 0,0000000023 0,0000000022 0,0000000021 0,0000000019 0,0000000018 0,0000000017 0,0000000016 0,0000000015 0,0000000014 0,0000000013 0,0000000013 0,0000000012 0,0000000011 0,0000000010 0,0000000010


127

• Distribui¸caõ T-Student GLα/2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 maior

0,10 3,078 1,886 1,638 1,533 1,576 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282

0,05 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,745 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645

0,025 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960

0,01 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326

Tabela B.2: Distribui¸caõ T-Student


128

• Tabela do Teste de Grubbs N´ umero de Laborat´ orios 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5% de Significˆ ancia 1,15 1,48 1,71 1,89 2,02 2,13 2,21 2,29 2,36 2,41 2,46 2,51 2,55 2,59 2,62 2,65 2,68 2,71

Tabela B.3: Tabela de Grubbs

B. Tabelas Estat´ısticas • Distribui¸caõ de Fisher-Snedecor

129

G.L. Denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 60 120 ∞

1 647,8 38,50 17,44 12,21 10,00 8,813 8,073 7,571 7,209 6,937 6,724 6,554 6,414 6,298 6,2 6,115 6,042 5,978 5,922 5,871 5,827 5,786 5,75 5,717 5,686 5,659 5,633 5,61 5,588 5,568 5,286 5,152 5,024

3 864,2 39,17 15,44 9,98 7,75 6,599 5,89 5,416 5,078 4,826 4,63 4,474 4,347 4,242 4,153 4,077 4,011 3,954 3,903 3,859 3,819 3,783 3,75 3,721 3,694 3,67 3,647 3,626 3,607 3,589 3,343 3,227 3,116

4 899,58 39,248 15,101 9,605 7,388 6,227 5,523 5,053 4,718 4,468 4,275 4,121 3,996 3,892 3,804 3,729 3,665 3,608 3,559 3,515 3,475 3,44 3,408 3,379 3,353 3,329 3,307 3,286 3,267 3,25 3,008 2,894 2,786

5 921,84 39,298 14,885 9,364 7,146 5,988 5,285 4,817 4,484 4,236 4,044 3,891 3,767 3,663 3,576 3,502 3,438 3,382 3,333 3,289 3,25 3,215 3,183 3,155 3,129 3,105 3,083 3,063 3,044 3,026 2,786 2,674 2,567

6 937,11 39,331 14,735 9,197 6,978 5,82 5,119 4,652 4,32 4,072 3,881 3,728 3,604 3,501 3,415 3,341 3,277 3,221 3,172 3,128 3,09 3,055 3,023 2,995 2,969 2,945 2,923 2,903 2,884 2,867 2,627 2,515 2,408

7 948,21 39,355 14,624 9,074 6,853 5,695 4,995 4,529 4,197 3,95 3,759 3,607 3,483 3,38 3,293 3,219 3,156 3,1 3,051 3,007 2,969 2,934 2,902 2,874 2,848 2,824 2,802 2,782 2,763 2,746 2,507 2,395 2,288

Graus de 8 956,65 39,373 14,54 8,98 6,757 5,6 4,899 4,433 4,102 3,855 3,664 3,512 3,388 3,285 3,199 3,125 3,061 3,005 2,956 2,913 2,874 2,839 2,808 2,779 2,753 2,729 2,707 2,687 2,669 2,651 2,412 2,299 2,192

liberdade do numerador 9 10 15 963,29 968,63 984,87 39,387 39,398 39,431 14,473 14,419 14,253 8,905 8,844 8,657 6,681 6,619 6,428 5,523 5,461 5,269 4,823 4,761 4,568 4,357 4,295 4,101 4,026 3,964 3,769 3,779 3,717 3,522 3,588 3,526 3,33 3,436 3,374 3,177 3,312 3,25 3,053 3,209 3,147 2,949 3,123 3,06 2,862 3,049 2,986 2,788 2,985 2,922 2,723 2,929 2,866 2,667 2,88 2,817 2,617 2,837 2,774 2,573 2,798 2,735 2,534 2,763 2,7 2,498 2,731 2,668 2,466 2,703 2,64 2,437 2,677 2,613 2,411 2,653 2,59 2,387 2,631 2,568 2,364 2,611 2,547 2,344 2,592 2,529 2,325 2,575 2,511 2,307 2,334 2,27 2,061 2,222 2,157 1,945 2,114 2,048 1,833 20 993,103 39,448 14,167 8,56 6,329 5,168 4,467 3,999 3,667 3,419 3,226 3,073 2,948 2,844 2,756 2,681 2,616 2,559 2,509 2,464 2,425 2,389 2,357 2,327 2,3 2,276 2,253 2,232 2,213 2,195 1,944 1,825 1,708

25 998,08 39,458 14,115 8,501 6,268 5,107 4,405 3,937 3,604 3,355 3,162 3,008 2,882 2,778 2,689 2,614 2,548 2,491 2,441 2,396 2,356 2,32 2,287 2,257 2,23 2,205 2,183 2,161 2,142 2,124 1,869 1,746 1,626

30 1001,41 39,46 14,08 8,46 6,23 5,07 4,36 3,89 3,56 3,31 3,12 2,96 2,84 2,73 2,64 2,57 2,5 2,44 2,39 2,35 2,31 2,27 2,24 2,21 2,18 2,16 2,13 2,11 2,09 2,07 1,82 1,69 1,57

60 1009,8 39,48 13,99 8,36 6,12 4,96 4,25 3,78 3,45 3,2 3 2,85 2,72 2,61 2,52 2,45 2,38 2,32 2,27 2,22 2,18 2,14 2,11 2,08 2,05 2,03 2 1,98 1,96 1,94 1,667 1,529 1,388

Tabela B.4: Distribui¸caõ de Fisher-Snedecor - Valores fC tais que P (F ≥ fC ) = 0,025

2 799,5 39 16,04 10,64 8,434 7,26 6,542 6,059 5,715 5,456 5,256 5,096 4,965 4,857 4,765 4,687 4,619 4,56 4,508 4,461 4,42 4,383 4,349 4,319 4,291 4,265 4,242 4,221 4,201 4,182 3,925 3,805 3,689

120 1014,02 39,49 13,95 8,31 6,07 4,9 4,2 3,73 3,39 3,14 2,94 2,79 2,66 2,55 2,46 2,38 2,32 2,26 2,2 2,16 2,11 2,08 2,04 2,01 1,98 1,95 1,93 1,91 1,89 1,87 1,581 1,433 1,268

∞ 1018,26 39,5 13,9 8,26 6,02 4,85 4,14 3,67 3,33 3,08 2,88 2,72 2,6 2,49 2,4 2,32 2,25 2,19 2,13 2,09 2,04 2 1,97 1,94 1,91 1,88 1,85 1,83 1,81 1,79 1,482 1,31 1,004

B. Tabelas Estat´ısticas 130

G.L. Denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 60 120 ∞

1 0,0015 0,0013 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010

3 0,0573 0,0623 0,0648 0,0662 0,0672 0,0679 0,0684 0,0688 0,0691 0,0694 0,0696 0,0698 0,0699 0,0700 0,0702 0,0703 0,0704 0,0704 0,0705 0,0706 0,0706 0,0707 0,0708 0,0708 0,0708 0,0709 0,0709 0,0710 0,0710 0,0710 0,0715 0,0717 0,0719

4 0,0818 0,0939 0,1002 0,1041 0,1068 0,1087 0,1102 0,1114 0,1123 0,1131 0,1137 0,1143 0,1147 0,1152 0,1155 0,1158 0,1161 0,1164 0,1166 0,1168 0,1170 0,1172 0,1173 0,1175 0,1176 0,1178 0,1179 0,1180 0,1181 0,1182 0,1196 0,1203 0,1211

5 0,0999 0,1186 0,1288 0,1354 0,1399 0,1433 0,1459 0,1480 0,1497 0,1511 0,1523 0,1533 0,1541 0,1549 0,1556 0,1562 0,1567 0,1572 0,1576 0,1580 0,1584 0,1587 0,1590 0,1593 0,1595 0,1598 0,1600 0,1602 0,1604 0,1606 0,1633 0,1648 0,1662

6 0,1135 0,1377 0,1515 0,1606 0,1670 0,1718 0,1756 0,1786 0,1810 0,1831 0,1849 0,1864 0,1877 0,1888 0,1898 0,1907 0,1915 0,1922 0,1929 0,1935 0,1940 0,1945 0,1950 0,1954 0,1958 0,1962 0,1965 0,1968 0,1971 0,1974 0,2017 0,2039 0,2062

Graus de liberdade do 7 8 9 0,1239 0,1321 0,1387 0,1529 0,1650 0,1750 0,1698 0,1846 0,1969 0,1811 0,1979 0,2120 0,1892 0,2076 0,2230 0,1954 0,2150 0,2315 0,2002 0,2208 0,2383 0,2041 0,2256 0,2438 0,2073 0,2295 0,2484 0,2100 0,2328 0,2523 0,2123 0,2357 0,2556 0,2143 0,2381 0,2585 0,2161 0,2403 0,2611 0,2176 0,2422 0,2633 0,2189 0,2438 0,2653 0,2201 0,2453 0,2671 0,2212 0,2467 0,2687 0,2222 0,2479 0,2702 0,2231 0,2490 0,2715 0,2239 0,2500 0,2727 0,2246 0,2510 0,2738 0,2253 0,2518 0,2749 0,2259 0,2526 0,2758 0,2265 0,2533 0,2767 0,2270 0,2540 0,2775 0,2275 0,2547 0,2783 0,2280 0,2552 0,2790 0,2284 0,2558 0,2797 0,2288 0,2563 0,2803 0,2292 0,2568 0,2809 0,2351 0,2642 0,2899 0,2382 0,2682 0,2948 0,2414 0,2725 0,3000

Numerador 10 15 0,1442 0,1613 0,1833 0,2099 0,2072 0,2408 0,2238 0,2629 0,2361 0,2796 0,2456 0,2929 0,2532 0,3036 0,2594 0,3126 0,2646 0,3202 0,2690 0,3268 0,2729 0,3325 0,2762 0,3375 0,2791 0,3419 0,2817 0,3458 0,2840 0,3494 0,2860 0,3526 0,2879 0,3555 0,2896 0,3582 0,2911 0,3606 0,2925 0,3629 0,2938 0,3649 0,2950 0,3668 0,2961 0,3686 0,2971 0,3703 0,2981 0,3718 0,2990 0,3733 0,2998 0,3746 0,3006 0,3759 0,3013 0,3771 0,3020 0,3783 0,3127 0,3962 0,3185 0,4063 0,3247 0,4175 20 0,1703 0,2242 0,2592 0,2845 0,3040 0,3197 0,3325 0,3433 0,3525 0,3605 0,3675 0,3737 0,3792 0,3842 0,3886 0,3927 0,3964 0,3998 0,4029 0,4058 0,4084 0,4109 0,4132 0,4154 0,4174 0,4193 0,4210 0,4227 0,4243 0,4258 0,4498 0,4638 0,4795

25 0,1759 0,2331 0,2707 0,2982 0,3196 0,3369 0,3511 0,3632 0,3736 0,3826 0,3906 0,3976 0,4039 0,4096 0,4148 0,4195 0,4238 0,4277 0,4313 0,4347 0,4378 0,4407 0,4434 0,4460 0,4484 0,4506 0,4527 0,4547 0,4566 0,4584 0,4874 0,5048 0,5248

30 0,1796 0,2391 0,2786 0,3077 0,3304 0,3488 0,3642 0,3772 0,3884 0,3982 0,4069 0,4146 0,4215 0,4278 0,4334 0,4386 0,4434 0,4477 0,4518 0,4555 0,4590 0,4623 0,4653 0,4682 0,4709 0,4734 0,4758 0,4780 0,4802 0,4822 0,5155 0,5358 0,5597

60 0,1892 0,2548 0,2992 0,3325 0,3589 0,3806 0,3989 0,4147 0,4284 0,4405 0,4513 0,4610 0,4698 0,4778 0,4851 0,4919 0,4981 0,5039 0,5093 0,5143 0,5190 0,5234 0,5275 0,5314 0,5351 0,5386 0,5419 0,5451 0,5481 0,5509 0,6000 0,6320 0,6750

Tabela B.5: Distribui¸caõ de Fisher-Snedecor. Valores fC tais que P (F ≥ fC ) = 0,975

2 0,0260 0,0256 0,0255 0,0255 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0254 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253 0,0253

120 0,1941 0,2628 0,3099 0,3455 0,3740 0,3976 0,4176 0,4349 0,4501 0,4636 0,4757 0,4867 0,4966 0,5057 0,5141 0,5219 0,5291 0,5358 0,5421 0,5480 0,5535 0,5587 0,5636 0,5683 0,5727 0,5769 0,5809 0,5847 0,5883 0,5917 0,654 0,698 0,763

∞ 0,1990 0,2711 0,3209 0,3590 0,3896 0,4152 0,4371 0,4562 0,4731 0,4882 0,5018 0,5142 0,5256 0,5360 0,5457 0,5547 0,5631 0,5709 0,5783 0,5853 0,5919 0,5981 0,6041 0,6097 0,6151 0,6202 0,6251 0,6298 0,6343 0,6386 0,72 0,788 0,996

B. Tabelas Estat´ısticas 131


132

• Distribui¸caõ Qui-quadrado Graus de liberdade 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

97, 50% 0,001 0,051 0,216 0,48 0,83 1,24 1,69 2,18 2,7 3,25 3,82 4,4 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,28 10,98 11,69 12,4 13,12 13,84 14,57 15,31 16,05 16,79

95% 0,004 0,103 0,352 0,71 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,12 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49

5% 3,841 5,991 7,815 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 22,68 25 26,3 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,89 40,11 41,34 42,56 43,77

2, 50% 5,024 7,378 9,348 11,14 12,83 14,45 16,01 17,53 19,02 20,48 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98

Tabela B.6: Distribui¸caõ Qui-quadrado. Valores vC tais que P (χ2 ≥ vC ) = p

133

Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] Bussab, W. O. e Morettin, P. A. (1987), Estat´ıstica Básica, 4a Edi¸caõ, Atual Editora. [2] Magalhães, M. N. e Lima, A. C. P. De (2001), No¸cões de Probabilidade e Estat´ıstica, 3a edi¸caõ, Editora USP. [3] Meyer, P. L. (1983), Probabilidade: Aplica¸cões à Estat´ıstica, 2a edi¸caõ, Livros técnicos e Cient´ıficos Editora. [4] CIPM (1981) INC, BIPM Proc. Verb. Com. Int. Poids et Mesures, vol. 18, Metrologia (1992), 43-44 (English). [5] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, OIML, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standardization, Genebra, Switzerland, Second Edition, 1995. [6] NIS 3003, The Expression of Uncertainty and Confidence in Measurement for Calibrations, Edition 8, may 1995. [7] Versão Brasileira do Documento de Referência EA-4/02, Expressão da Incerteza em Medi¸cão, Volumes I e II. [8] Montgomery, D. C. (1997), Design and Analysis of Experiments, Fourth Edition - Ed. John Wiley & Sons. [9] Ripley, B. D. (1987), Stochastic Simulation, Wiley: New York. [10] Wichmann, B. A. e Hill, I. D. (1982), “Algorithm AS 183: An Efficient and Portable Pseudo-random Number Generator”, Applied Statistics, vol 31, p 188-190.

Incerteza de medição

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