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6.1 - PROCEDIMENTO DIRETAS
DE
AVALIAÇÃO
DE
INCERTEZA
EM
MEDIÇÕES
A medição direta é aquela cuja indicação resulta naturalmente da aplicação do sistema de medição sobre o mensurando. Há apenas uma grandeza de entrada envolvida. 6.1.1 - Identificaçào das fontes de incerteza Cada fonte de incerteza deve ser claramente identificada. Recomenda-se o uso de termos simples e que evitem interpretações ambigüas. Se conveniente, um símbolo pode ser associado à fonte de incertezas. Recomenda-se também explicitar a unidade em que os valores relativos à fonte de incertezas serão expressos. Se esta unidade difere da unidade do mensurando, recomenda-se que seja também indicada o fator multiplicativo que converte o efeito da fonte de erro em termos de alteração da indicação do sistema de medição. Se esta relação não for linear, deve ser claramente apresentada no memorial de cálculo. 6.1.2 - Estimativa dos efeitos sistemáticos Devem ser quantificados os efeitos sistemáticos de cada fonte de incertezas. O desvio da grandeza de influência em relação ao seu valor ideal pode ser apresentado na sua unidade natural, mas a correção decorrente deste efeito sistemático sobre a indicação do sistema de medição deve ser convertida e apresentada na unidade do mensurando. Opcionalmente, se as influências dos efeitos sistemáticos não são conhecidas, ou deliberadamente são desconsideradas, estas devem ser deixadas deixadas em branco. 6.1.3 - Estimativa dos efeitos aleatórios Cada fonte de erro influi de forma sistemática e aleatória sobre o erro de medição. Após compensar a parcela sistemática, restará ainda ainda a parcela aleatória a ser considerada. considerada. Para quantificar quantificar a parcela aleatória é comum estimar experimentalmente sua dispersão por meio do desvio padrão. Como definido a incerteza padronizada de uma fonte de erro é a faixa de dispersão em torno do valor central equivalente a um desvio padrão. A incerteza padronizada deve ser estimada para cada fonte de erro envolvida. É importante fazer uma análise crítica do processo de medição para identificar as fontes significativas de erros e quantificar os valores correspondentes das respectivas incertezas padronizadas de cada componente. A análise do conjunto destas incertezas padronizadas levará à estimativa da incerteza combinada. a- Avaliação da incerteza padronizada tipo A O procedimento tipo “A” para estimar a incerteza padronizada baseia-se em parâmetros estatísticos, estimados a partir de valores de observações repetitivas do mensurando. Seja q uma variável aleatória. Sejam q k (para k = 1, 2, ..., n) n valores independentemente independentemente obtidos para a variável q . .
8 Sua média pode ser estimada por: −
q
1
=
n
n
∑q k =1
(6.1)
k
O desvio padrão experimental da variável q, representado por “s”, é estimado por: 2
n
− − q q ∑ k k =1 s(q ) = n −1
(6.2)
Deve ser lembrado que, para que a estimativa de s(q) pela equação (6.2) seja confiável, é necessário envolver um número suficientemente grande de observações independente (é recomendável pelo menos n > 10). Quando é utilizado o valor médio das indicações, obtido a partir da média de um conjunto de “m” indicações de q , o desvio padrão experimental da média de q é estimado por: − = s(q ) s q m
(6.3)
Neste caso, a incerteza padronizada associada à variável q, representada por u(q), u(q), é estimada pelo desvio padrão da média das “m”observações efetuadas. Assim: u( q )
− q = s
(6.4)
Quando não são envolvidas médias de indicações, mas apenas um único valor da indicação, a incerteza padronizada coincide com o desvio padrão experimental s(q) , que já deve ter sido determinado a priori. O número de graus de liberdade envolvidos (υ ) na determinação u(q) é dado pelo número de medições independentes efetuadas menos um, isto é: υ
= n −1
b- Avaliação da incerteza padronizada tipo B Nem sempre é possível ou economicamente viável quantificar a influência de certas fontes de incertezas em uma medição a partir da anállise de observações repetitivas. Entretanto, ainda assim, é necessário estimar a influência de cada fonte de incertezas para estimar a incerteza combinada da medição. A determinação tipo “B” da incerteza padrão de uma fonte de incerteza é realizada por meios não estatísticos. Em geral outras informações conhecidas a priori são consideradas: medições anteriores, certificados de calibração, especificações do instrumento, de manuais técnicos e outros certificados e mesmo estimativas baseadas em conhecimentos e experiências anteriores do experimentalista. .
9 A estimativa tipo “B” geralmente depende de grande experiência prática e pode ser tão confiável quanto a do tipo “A”. 6.1.4- Incerteza combinada Além de estimar a influência individual de cada fonte de erro sobre o desempenho do processo de medição analisado, é necessário chegar a um único número que estime a incerteza combinada destas várias fontes de erro. Se as várias fontes de erro agem de forma independente, este número não pode ser obtido pela simples soma de cada incerteza. Aspectos estatísticos devem ser levados em conta. Duas variáveis aleatórias são ditas estatisticamente independentes se suas variações se comportam de forma totalmente desvinculadas, isto é, não há nenhuma relação entre o crescimento de uma e o crescimento (ou decrescimento) da outra. Do ponto de vista estatístico estas variáveis são ditas não correlacionadas, e seu coeficiente de correlação é zero. É a situação mais comumente presente entre as fontes de erro em medições diretas. Duas variáveis aleatórias são ditas estatisticamente dependentes se suas variações se dão de forma vinculadas, isto é, há uma relação nitidamente definida entre o crescimento de uma e o crescimento da outra de forma proporcional à primeira. Do ponto de vista estatístico estas variáveis são ditas correlacionadas, e seu coeficiente de correlação é unitário e positivo (+1). Há ainda o caso em que o crescimento da primeira está nitidamente atrelado ao decrescimento proporcional da segunda. Neste caso estas variáveis são ainda ditas correlacionadas, e seu coeficiente de correlação é também unitário porém negativo (-1). Dificilmente fontes de erros estatisticamente dependentes estão presentes em medições diretas. Freqüentemente na medição direta os efeitos associados às às várias fontes de incerteza se manifestam sobre a indicação do sistema de medição de forma aditiva. É como se houvesse uma soma dos efeitos de várias várias variáveis aleatórias. Assim, neste caso, a incerteza combinada (uc) da influência das várias fontes de incerteza pode pode ser estimada a partir das incertezas padronizada de cada fonte de erro por: uc
=
u12
+ u22 +...+un2
(6.5)
É necessário que as incertezas padronizada de cada fonte de erro sejam expressas na mesma unidade do mensurando. A expressão (6.5) só é válida para estimar a incerteza combinada se todas as fontes de incerteza se combinem de forma aditiva e sejam mutuamente estatisticamente independentes. A ação combinada dos efeitos sistemáticos pode ser estimada através da simples adição algébrica da correção atribuída a cada fonte fonte de incertezas. Também neste neste caso a correção para cada fonte de erro deve estar expressa na mesma unidade unidade do mensurando. Obtém-se Obtém-se assim a correção combinada (Cc) que, deverá ser considerada para o cálculo do resultado da medição. 6.1.5 - Incerteza Incerteza Expandida
.
10 A incerteza combinada, estimada através da equação (6.5), reflete a influência da ação combinada das várias fontes de erros considerados. O valor obtido representa uma faixa de valores em torno do valor médio, dentro do qual, com uma probabilidade estatisticamernte definida, espera-se encontrar o erro de medição. Tipicamente uc corresponde a uma probabilidade probabilidade de enquadramento em torno de 68% e apresenta distribuição normal. Na engenharia é comum trabalhar com níveis da confiança de 95%. Para atingir aproximadamente 95%, uc deve ser multiplicado por um coeficiente numérico denominado de fator de abrangência, calculando-se a denominada incerteza expandida (U). Assim: U
= k . uc
(6.6)
O número de graus de liberdade efetivos ( υef ) através da equação de Welch-Satterthwaite (equação 5.2): 4
υef
=
uc N
ui4
i =1
i
∑υ
onde: uc é a incerteza combinada; ui é a incerteza padronizada associada à i-ésima fonte de incerteza; i ncerteza; υi é o número de graus de liberdade associado à i-ésima fonte de incerteza; N é o número total de fontes de incertezas analisadas. O valor de de “k” para nível da confiança confiança de 95% pode então ser obtido. Assim, finalmente a incerteza expandida pode ser calculada por: U 95
= k 95 . uc
(6.7)
6.2 - PROCEDIMENTO DE AVALIAÇÃO DE INCERTEZA EM MEDIÇÕES INDIRETAS A medição indireta envolve a determinação do valor associado ao mensurando a partir da da combinação de duas ou mais grandezas por meio de expressões matemáticas. O procedimento é para estimar a incerteza associada à medição em casos onde o valor do mensurando não não pode ser determinado diretamente a partir da indicação vinda de um único instrumento de medição, mas deve ser calculada por uma equação que relaciona diversas grandezas de entrada medidas independentemente. 6.2.1 Grandezas de entrada estatisticamente dependentes No caso em que há dependência estatística entre as variáveis de entrada, a variação aleatória associada a cada grandeza de entrada poderá estar agindo da mesma maneira sobre as respectivas indicações. Para estimar a incerteza da combinação de duas ou mais grandezas de entrada estatisticamente dependentes, deve ser levado em conta que estas podem assumir, ao mesmo tempo, valores extremos dentro de suas respectivas faixas de incerteza. O valor estimado geralmente representa os limites da variação máxima possível. .
11 a - Caso Geral A estimativa da incerteza combinada para o caso geral onde as grandezas de entrada se relacionam através de uma expressão matemática qualquer pode ser efetuada através da aplicação de uma expressão genérica. Sua demonstração matemática é baseada na expansão da expressão em termos de série de Taylor e não será tratada neste texto. Seja, por exemplo, uma grandeza G calculada em função de diversas grandezas de entrada relacionadas por: G = f(x1, x2, x3, x4, ...) Após a expansão em série de Taylor, eliminação el iminação de termos de ordens mais altas alt as e redução de termos semelhantes chega-se a: u( G )
=
∂ f ∂ x1
u( x1 ) +
∂ f ∂ x2
u( x2 ) +
∂ f ∂ x3
u ( x3 ) +
∂ f ∂ x4
u ( x4 )+...
(6.8)
onde: u(G)- representa a incerteza padronizada da grandeza G u(x1), u(x2), u(x3), u(x4), ...- representam as incertezas padronizadas associadas às às grandezas de entrada x1, x2, x3, x4, ... respectivamente. Embora exista uma expressão geral para a estimativa da incerteza associada à combinação de grandezas de entrada estatisticamente dependentes, há casos particulares, freqüentemente presentes na prática, onde as equações são drasticamente simplificadas. A soma e subtração e a multiplicação e divisão são dois grupos de operações onde são possíveis simplificações consideráveis. b - Soma e Subtração Na soma ou subtração de qualquer número de grandezas de entrada estatisticamente dependentes, a incerteza padrão combinada combinada do resultado pode ser estimada pela soma algébrica algébrica das incerteza padronizada individuais de cada grandeza envolvida. u( x1 ± x2
± x3 ±...) = u( x1 ) + u(x2 ) + u(x3 )+...
(6.9)
c - Multiplicação e Divisão Na multiplicação e/ou divisão de várias grandezas de entrada estatisticamente dependentes, a incerteza padrão relativa combinada é obtida pela soma das incertezas padronizadas relativas de cada grandeza de entrada envolvida. u( x1 .x 2 . x3 ...) x1 . x2 . x3 ...
=
u( x1 ) x1
+
u( x2 ) x2
+
u( x3 ) x3
+... (6.10)
u( x1 / x2 / x3 /...) x1 / x2
/ x3 ...
=
u( x1 ) x1
+
u( x2 ) x2
+
u( x3 ) x3
+...
6.2.2 Grandezas de entrada estatisticamente independentes independentes
.
12 No caso em que as grandezas de entrada não apresentam dependências estatística entre si, dificilmente as variações aleatórias associadas a cada grandeza de entrada estarão agindo sincronizadamente e da mesma maneira sobre todas estas grandezas. grandezas. A estimativa da incerteza padronizada combinada de duas ou mais grandezas de entrada estatisticamente independentes deve levar em conta aspectos probabilísticos. O valor estimado para a incerteza padronizada combinada geralmente é consideravelmente menor menor do que o valor obtido se as grandezas de entrada fossem tratadas como estatisticamente dependentes. a - Caso Geral Há uma expressão genérica que permite estimar a incerteza padronizada combinada para o caso geral onde apenas grandezas de de entrada estatisticamente independentes independentes se relacionam através de uma expressão matemática. matemática. Seja, por exemplo, uma grandeza G calculada em função função de de diversas diversas grandezas de entrada relacionadas por : G = f(x1, x2, x3, x4, ...) A incerteza combinada da grandeza grandeza G pode ser estimada por: 2
2
2
2
∂ f ∂ f ∂ f ∂ f 2 = − − − ( ) . ( 1 ) . ( 2 ) . ( 3 ) . ( 4 ) u G u x u x u x u x + ... (6.11) ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3 ∂ x 4 onde: u(G) - representa a incerteza padronizada padronizada da grandeza G u(x1), u(x2), u(x3), u(x4), ...- representam as incertezas padronizada associadas às grandezas de entrada x1, x2, x3, x4, ... respectivamente. Embora, também neste caso, exista uma expressão geral para a estimativa da incerteza padronizada associada à combinação de grandezas de entrada estatisticamente independentes, há casos particulares, freqüentemente presentes na prática, onde as equações são drasticamente simplificadas. b - Soma e Subtração Na soma e subtração de várias grandezas de entrada estatisticamente independentes, o quadrado da incerteza padronizada combinada é obtida pela soma dos quadrados das incertezas padronizadas de cada grandeza de entrada envolvida. u2(x1 ± x2 ± x3 ± ...) = u2(x1) + u2(x2) + u2(x3) + ...
( 6.12)
c - Multiplicação e divisão Na multiplicação e divisão de várias grandezas de entrada estatisticamente independentes, o quadrado da incerteza padronizada relativa combinada combinada é obtida obtida pela soma dos quadrados das incertezas padronizadas de cada grandeza de entrada envolvida. Seja G a grandeza de interesse calculada por multiplicações e/ou divisões de várias grandezas de entrada (x1, x2, x3, ...). .
13 A incerteza relativa combinada pode ser estimada por: 2
2
2 u(G ) u(x1 ) u(x2 ) + +... = G x1 x2
(6.13)
6.2.3 Dependência estatística parcial Há casos mais complexos onde as interações entre grandezas de entrada que compõem uma medição direta não podem ser realisticamente modeladas como sendo completamente estatisticamente dependentes e nem independentes. independentes. Pode haver dependência estatística parcial. A forma de quantificar a dependência estatística linear parcial é através do coeficiente de correlação linear entre cada par de grandezas de entrada envolvidas. Haverá dependência parcial se o coeficiente de correlação for um número não inteiro. a) Combinação de grandezas estatisticamente dependentes e independentes Será inicialmente abordado o caso onde apenas combinações de grandezas de entrada estatisticamente dependentes e independentes são envolvidas. Sejam por exemplo as grandezas a, b e c onde sabe-se, a priori , que: a e b são estatisticamente dependentes (r(a,b) = 1) a e b e b e c são estatisticamente independentes entre si (r(a,c) = 0 e r(b,c) = 0) A incerteza padronizada combinada da grandeza G dada por G= f(a, b, c) pode ser estimada por: 2
2
∂ f ∂ f ∂ f 2 .u (a ) + .u (b ) + .u (c) u (G ) = ∂b ∂ a ∂ c
(6.14)
b) Caso Geral A expressão usada para estimar a incerteza padronizada combinada de uma grandeza G=f(x1, x2, x3, ..., xn) considerando que pode haver dependência estatística parcial entre cada par das grandezas de entrada x1, x2, x3, ..., xn , é dada por: 2
n −1 n ∂ f 2 ∂ f ∂ f 2 u (G ) = ∑ u( xi )u ( x j )r ( xi , x j ) u ( xi ) + 2∑ ∑ i =1 ∂ x i =1 j = i +1∂ xi ∂ x j n
(6.15)
onde r(xi, xj) é o coeficiente de correlação entre as grandezas de entrada xi e xj. 6.2.4 Incerteza Expandida Recomenda-se que a incerteza associada à medição indireta seja estimulada através das estimativas das incertezas padronizada de cada grandeza de entrada. Somente após obter a incerteza padronizada combinada da medição indireta, determina-se a correspondente incerteza expandida. Também neste caso, a incerteza expandida é estimada pela multiplicação da incerteza padronizada combinada pelo fator de abrangência. O fator de abrangência é determinada em função do número de graus de liberdade efetivo, obtido a partir da equação de Welch-Satterthwaite.
.
