Propagación de Errores Cálculo de errores mediante derivadas parciales Clase: Laboratorios Laboratorios de Física Realizado por: Aux. Carlos Estrada Junio 2017 13 de Junio de 2017
Incertezas Mediante Cálculo Diferencial En las ciencias exactas la palabra error no conlleva el mismo significado que una equivocació equivocación n o engaño. engaño. Por lo tanto no es algo que se pueda evitar siendo siendo “un poco más cuidadoso” con lo que se está haciendo, en este caso una medición. Lo que se puede esperar por parte de las mediciones, que se están haciendo, es que estas sean las más pequeñas posibles. Por lo que obtener una medida sin un error o incerteza incerteza es imposible. imposible. Para ello existen existen diferentes diferentes tipos de manejo manejo de incertezas, en este caso se expondrá cuando se requieren encontrar medidas indirectas que dependen de una función o relación física de otras medidas tomadas de forma directa mediante el cálculo diferencial. Cuando se tiene una función dependiente de varias variables, f ( f (x,y,z. . . ), las cuales son medidas expresadas de la forma x = x = x ∆x, y = y = y ∆y , z = z = z ∆z (o dicho dicho de otra forma forma son medidas medidas con un error) error).. La forma de calcular calcular el error de la función es calcular la razón de cambio en dirección de cada una de las variables, de las cuales es dependiente, a lo largo del error de las variables dependientes siempre y cuando la incerteza sea relativamente pequeña ( menor al 10% de la medida ). En un lenguaje matemático sería:
±
∆f =
∂f ∂ f ∂ f ∆x + ∆y + ∆z ∆z + ... + ... ∂x ∂y ∂z
±
±
(1)
Pero en este caso se obtendría ya sea un incremento o decremento del error de la función en cada una de las direcciones. Se intuye que estas variaciones no pueden hacer disminuir el error por lo tanto se debe tomar el valor absoluto de estas variaciones
∂f ∂f ∂f ∆f = ∆x + ∆y + ∆z + ... + ... ∂x ∂y ∂z 1
(2)
A continuación se presentan 3 ejemplos para exponer de una mejor manera estos cálculos.
Ejemplo 1 Encontrar la incerteza de R en cada caso
Inciso A R = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 La incerteza de R se obtiene utilizando la ecuación (2):
∂R ∂R ∂R ∂R ∂R ∆R = ∆R + ∆R + ∆R + ∆R + ∆R ∂R ∂R ∂R ∂R ∂R 1
1
2
3
2
4
3
4
5
5
Derivando parcialmente R con respecto a cada R n :
∆R = ∆R1 + ∆R2 + ∆R3 + ∆R4 + ∆R5
Inciso B
1
−1
1 R = + R1 R2 La incerteza de R sería, utilizando ecuación (2):
∂R ∂R ∆R = ∆R + ∆R ∂R ∂R 1
2
1
2
Primero se desarrolla R para poder trabajar de una forma mas sencilla: R =
R1 R2 R1 + R2
(3)
Para la realización de la derivada parcial con respecto a R 1 sería: ∂ ∂ (R1 R2 )(R1 + R2 ) (R1 + R2 )(R1 R2 ) ∂R ∂R 1 ∂R 1 = ∂R 1 (R1 + R2 )2
−
Por lo tanto la derivada parcial con respecto a R 1 es: 2 2
∂R R ∂R = (R + R ) 1
1
2
2
(4)
Por la simetría que existe entre la función de R con respecto a las variables R1 y R 2 la derivada parcial con respecto a R 2 , de forma similar, sería: 2 1
∂R R ∂R = (R + R ) 2
1
2
2
2
(5)
Por lo tanto la incerteza de R se expresaría de la siguiente forma: ∆R =
R22 R21 ∆R + ∆R1 1 (R1 + R2 )2 (R1 + R2 )2
(6)
Ejemplo 2 Suponga la práctica No. 2 del laboratorio de física donde se quiere encontrar el tiempo de reacción de una persona. Para ello se encuentra el tiempo en función del desplazamiento de la regla. 1 h = y 0 + V 0y t + gt2 2 Se asume que la velocidad inicial y la posición inicial son cero. Por lo que la expresión quedaría de la siguiente forma. h =
1 2 gt 2
t =
2h
Se despeja t g
Utilizando la ecuación (1), la incerteza de t quedaría de la siguiente forma:
∂t ∂t ∆t = ∆h + ∆g ∂h ∂g
La incerteza de g es cero por lo que únicamente se derivaría parcialmente con respecto a h ∂t = ∂h
2
−
1 √
g2 h
Por lo tanto la incerteza de t sería:
2 1 √ ∆h ∆t = − g 2 h ∆h 2 ∆t =
√
2 h
3
g
Ejemplo 3 Suponga que tiene un Voltaje que ha sido medido con un voltímetro no ideal, obteniendo un valor de voltaje V = (V ∆V )v, y tiene el valor de la resistencia y su incerteza obtenido en el inciso B del primer ejemplo de este documento. Se sabe que la ecuación que modela el voltaje y corriente en una resistencia es: V = IR, ¿Cuál es el valor de I (corriente) y su incerteza? Se sabe que:
±
V = IR
(7)
Por lo tanto la corriente I es: V R Para hallar la incerteza de la corriente se hace de la siguiente manera: I =
Por lo tanto:
∂I ∂I ∆I = ∆V + ∆R ∂V ∂R
(8)
(9)
1 ∂I = ∂V R ∂I V = 2 ∂R R
−
Sustituyendo en la ecuación (10) ∆V V + 2 ∆R R R
∆I = Obteniendo un factor común
1 R
1 ∆I = R
V ∆V + ∆R R
Sustituyendo la ecuación (10) ∆I =
1 (∆V + I ∆R) R
NOTA: Se recomienda al lector que realize las derivadas parciales a su propio ritmo para poder entender de una mejor manera lo que se está haciendo, en dado caso no se logre explicar del todo lo que hay en este documento
4
Deducción de las Ecuaciones para la Dispersión de Error (Física Básica y Física 1) Este apartado está dirigido para los alumnos interesados en la deducción de las fórmulas que se utilizan para la dispersión de errores que normalmente son utilizados en la física básica. El alumno debe manejar el concepto de derivada parcial, para entender de una mejor forma lo que se está exponiendo. En este apartado suponga que las medidas A , B , C se expresan de la siguiente manera: A = A B = B C = C
± ∆A ± ∆B ± ∆C
Estando denotado en negrita la medida con su respectiva incerteza y sin negrita únicamente la magnitud de la medida.
Suma C = A + B
C sería entonces: C = A + B Utilizando la ecuación (2) se encuentra el error de C
∂C ∂C ∆C = ∆A + ∆B ∂A ∂B ∂ (A + B) ∂ (A + B) ∆C = ∆A + ∂B ∆B ∂A
Por lo tanto ∆C sería:
∆C = ∆A + ∆B Con esto se puede deducir que C es:
C = (A + B)
± (∆A + ∆B)
(10)
En el caso que C dependa de más variables, las incertezas de las demás variables simplemente se suman.
5
Resta C = A
−B
C sería entonces: C = A
−B
Utilizando la ecuación (2) se encuentra el error de C
∂C ∂C ∆C = ∆A + ∆B ∂A ∂B ∂ (A − B) ∂ (A − B) ∆C = ∆A + ∂B ∆B ∂A
Por lo tanto ∆C sería:
∆C = ∆A + ∆B Recuerde que el factor ∆B queda positivio debido al valor absoluto. Con esto se puede deducir que C es:
C = (A
− B) ± (∆A + ∆B)
(11)
En el caso que C dependa de más variables, las incertezas de las demás variables simplemente se suman.
Multiplicación C = AB
C sería entonces: C = AB Utilizando la ecuación (2) se encuentra el error de C
∂C ∂C ∆C = ∆A + ∆B ∂A ∂B ∂ (AB) ∂ (AB) ∆C = ∆A + ∆B ∂A ∂B
Por lo tanto ∆C sería:
∆C = B∆A + A∆B 6
Si se obtiene un factor común AB la expresión quedaría: ∆C = AB
∆A
∆B + A B
Con esto se puede deducir que C es:
C = AB
± AB
∆A
∆B + A B
(12)
En el caso que C dependa de más variables, este se debe ir operando uno por uno. Dicho en de otra forma: C = ABDE...
Se tiene que efectuar primero la multiplicación AB este resultado es multiplicado por D y así sucesivamente.
División C =
A B
C sería entonces: C =
A B
Utilizando la ecuación (2) se encuentra el error de C
∂C ∂C ∆A + ∂B ∆B ∆C = ∂A ∂ (A/B) ∂ (A/B) ∆C = ∆A + ∆B ∂A ∂B Realizando cada una de las derivadas parciales: ∂ (A/B) 1 ∂A = B ∂ (A/B) A ∂B = B 2
Por lo tanto ∆C sería:
∆C =
∆A A + 2 ∆B B B 7
Si se obtiene un factor común A/B la expresión quedaría: A ∆C = B
∆A
∆B + A B
Con esto se puede deducir que C es: A C = B
±
A B
∆A
∆B + A B
(13)
Polinomio B = A n
Donde n es cualquier número REAL, B sería entonces B = A n Utilizando la ecuación (2) se encuentra el error de B
∂B ∆B = ∆A ∂A
Realizando la derivada parcial:
Por lo tanto ∆B sería:
∂B ∂A = nA
n−1
∆B = nA n−1 ∆A Con esto se puede deducir que B es: B = An
n
1
± nA − ∆A
8
(14)
