algebraIeII-0809

` DEGLI STUDI DI MILANO UNIVERSITA Corsi di laurea in Matematica e in Matematica per le applicazioni

LEZIONI DI ALGEBRA di V. ZAMBELLI

anno accademico 2008/09

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Questi appunti riportano lo schema delle lezioni dei Corsi di Algebra I e Algebra II tenuti per i Corsi di laurea in Matematica e in Matematica per le applicazioni. Gli argomenti e l’ordine in cui essi sono esposti sono stati scelti avendo di mira anche un coordinamento con i corsi paralleli di Geometria I e Geometria II. Lo studente pu` o essere guidato da essi nella lettura di testi di Algebra in cui gli stessi (e altri) argomenti sono trattati in modo pi` u approfondito: ad esempio P.M.Cohn, Classic Algebra, 2000 John Wiley M.Curzio, P.Longobardi, M.Maj, Lezioni di algebra, 1994 Liguori E.Marchionna, C.Marchionna Tibiletti, Lezioni di algebra, Masson D. Dikranjan, M.S. Lucido, Aritmetica e Algebra, Liguori ed. 2007 P.Quattrocchi, G.Rinaldi, Algebra, 1995 Zanichelli Lo studente pu` o trovare utile e interessante la consultazione di testi quali P.M.Cohn, Algebra Vol.I, 1981; Vol.II, 1989 John Wiley M.Artin, Algebra, 1997 Bollati Boringhieri L.Childs, Algebra: un’introduzione concreta, 1989 ETS Editrice R.B.J.T.Allenby, Rings, Fields and Groups, 1982 Edward Arnold Ogni capitolo si conclude con una serie di TEMI. Per buona parte di essi viene dato qualche suggerimento per la risoluzione anche richiamando Proposizioni ed Esercizi che possono talvolta essere applicati direttamente, talaltra suggerire un procedimento. Raccolte di esercizi si trovano anche in M.Curzio, P.Longobardi, M.Maj, Esercizi di Algebra, 1994 Liguori C.Marchionna Tibiletti, V.Zambelli, Esercizi di Algebra, 1993 Masson S.Franciosi, F.de Giovanni, Esercizi di Algebra, 1992 Aracne R.Ciampi Procesi, R.Rota, Algebra moderna, Esercizi, 1992 ed.Veschi A.Ragusa, C.Sparacino, Esercizi di Algebra, 1992 Zanichelli

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INDICE I. Numeri interi; divisibilit` a e fattorizzazione. 1. 1. I numeri interi e i numeri naturali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. 1. Principio di induzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3. 1. Divisibilità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. 1. Numeri primi, teorema di fattorizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II. Relazioni di equivalenza e relazioni d’ordine. 1. 1. Relazioni fra insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. 1. Relazioni di equivalenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Congruenze aritmetiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. 1. Relazioni d’ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. Reticoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III. Applicazioni, prodotto di applicazioni. 1. 1. Applicazioni fra insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Prodotto di applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Strutture algebriche: semigruppi, gruppi, anelli, moduli, algebre, reticoli. Sottostrutture di una struttura algebrica. 1. 1. Operazioni e leggi di composizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. 1. Proprietà associativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. Semigruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Sottosemigruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. 1. Elemento neutro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Monoidi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4. 1. Elemento inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Gruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Sottogruppi di un gruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5. 1. Proprietà distributiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Anelli, corpi, campi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3. Sottoanelli, sottocorpi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4. L’anello (Zn ; +, ·). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Anelli di polinomi. L’anello K[x]: divisibilità e fattorizzazione. Radici. . . . . . . 35 6. Domini a fattorizzazione unica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6. 1. Moduli su un anello; spazi vettoriali. Algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2. Sottomoduli di un A-modulo. Sottoalgebre di una A-algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3. Ideali destri e sinistri di un anello. Ideali di una A-algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7. 1. Reticoli come strutture algebriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2. Reticoli e anelli di Boole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3. Sottoreticoli di un reticolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4. Il reticolo delle sottostrutture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8. 1. Isomorfismo. Automorfismi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9. 1. Prodotto cartesiano di strutture algebriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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V. Quoziente di una struttura algebrica rispetto ad una congruenza. 1. 1. Congruenza in una struttura algebrica. Struttura quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2. Gli anelli (Z, +, · ) e (Q; +, · ) come strutture quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3. Immersione di un dominio di integrit` a in un campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2. 1. Laterali di un sottogruppo in un gruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2. Teorema di Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3. Sottogruppo normale. Gruppo quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3. 1. Ideali di un anello. Anello quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4. 1. A-modulo quoziente. A-algebra quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 VI. Omomorfismo fra strutture algebriche. 1. 1. Omomorfismo fra gruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2. 1. Omomorfismo fra anelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2. Ideali massimali, ideali primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3. 1. Omomorfismo di A-moduli e di algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 VII. Sottostruttura generata da una parte di una struttura algebrica. 1. 1. Sottosemigruppo generato da una parte di un semigruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2. 1. Sottogruppo generato da una parte di un gruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2. Gruppi ciclici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3. Prodotto di due sottogruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3. 1. Sottoanello generato da una parte di un anello. Sottoanello fondamentale in un anello dotato di unità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2. Caratteristica in un anello. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3. Sottocorpo generato da una parte di un corpo. Sottocorpo minimo. Campo dei quozienti di un dominio d’integrit` a in un corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4. 1. Sottomodulo generato da una parte di un A-modulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2. Ideali finitamente generati e ideali principali in un anello. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3. Anelli quoziente di K[x]. Campi di Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4. Domini ad ideali principali. Domini euclidei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 VIII. Prodotto diretto, somma diretta. 1. 1. Prodotto diretto di sottogruppi. Teorema di decomposizione per gruppi abeliani finiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2. 1. Somma diretta di ideali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3. 1. Somma diretta di A-sottomoduli e di ideali di un’algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 IX. Elementi di teoria dei campi. 1. 1. Estensioni di campi. Chiusura algebrica di un campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2. Estensione semplice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2. 1. Campo di spezzamento di un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2. Campi finiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Indice analitico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Temi d’esame. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

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I. NUMERI INTERI; ` E FATTORIZZAZIONE DIVISIBILITA

1.1. I numeri interi e i numeri naturali. Indicheremo con Z l’insieme {0, ±1, ±2, . . .} dei numeri interi (relativi), con N l’insieme {1, 2, . . .} dei numeri naturali e con N0 l’insieme N ∪{0}. L’insieme dei numeri naturali verr` a “identificato” con l’insieme dei numeri interi positivi. (cfr. IV, 8.1) In Z sono state introdotte le operazioni di addizione e moltiplicazione che godono delle seguenti proprietà: 1. l’addizione e la moltiplicazione sono associative , ovvero per ogni a, b, c ∈ Z si ha (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c);

2. l’addizione e la moltiplicazione sono commutative, ovvero per ogni a, b ∈ Z si ha a+b=b+a a · b = b · a;

3. la moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione, ovvero per ogni a, b, c ∈ Z si ha a · (b + c) = a · b + a · c;

4. i numeri 0 e 1 sono tali che a + 0 = a e a · 1 = a per ogni a ∈ Z; 5. per ogni a ∈ Z esiste −a ∈ Z tale che a + (−a) = 0; 6. per ogni a, b ∈ Z con a 6= 0 e b 6= 0 è a · b 6= 0; 7. per a, b, c ∈ Z con c 6= 0 l’uguaglianza a · c = b · c implica a = b; 8. per a, b ∈ Z è a · b = 1 se e solo se a = b = 1 o a = b = −1; 9. per a, b, c, d ∈ Z se a ≤ b e c ≤ d, allora a + c ≤ b + d; 10. per a, b, c ∈ Z se a ≤ b e c > 0, allora a · c ≤ b · c. 2.1. Principio di induzione. PRINCIPIO DI INDUZIONE A]. Sia S un sottoinsieme di N0 tale che 0 ∈ S e tale che, se n ∈ S , anche n + 1 ∈ S ; allora S = N0 . Altre formulazioni del Principio di Induzione, equivalenti alla A], sono le seguenti: PRINCIPIO DI INDUZIONE B]. Sia S è un sottoinsieme di N0 tale che 0 ∈ S e tale che, se m ∈ S per ogni m ≤ n, anche n + 1 ∈ S ; allora S = N0 . PRINCIPIO DI INDUZIONE C] Sia S un sottoinsieme di N0 che soddisfa alle seguenti condizioni: i) esiste no ∈ N0 tale che no ∈ S , ii) se per ogni intero m tale che no ≤ m ≤ n è m ∈ S , anche n + 1 ∈ S . Allora appartengono ad S tutti gli interi maggiori o uguali ad no . Se P(n) è un enunciato in cui interviene un intero positivo n, l’enunciato può essere dimostrato “vero” per ogni n (se lo è!) “facendo induzione su n”, ovvero considerando l’insieme S degli interi positivi per i quali P(n) è vero. 5

In alcuni casi può esistere un intero positivo no tale che l’enunciato P(n) perde significato o è falso per n < no ; si applicher` a il Principio di Induzione nella forma C]. Il principio di Induzione è equivalente anche al PRINCIPIO DEL MINIMO. Ogni sottoinsieme non vuoto di N0 ammette elemento minimo. 3.1. Algoritmo della divisione. Teorema 3.1.1. Dati a, b ∈ Z con b > 0, esistono e sono univocamente determinati q, r ∈ Z tali che a = bq + r e 0 ≤ r < b (q e r vengono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione fra a e b.) Per a ≥ 0 si prova la tesi facendo induzione su a. Se a < 0, posto −a = bq + r con 0 ≤ r < b, si ha a = b(−q) per r = 0 e a = b(−q − 1) + (b − r) con 0 ≤ b − r < b per r 6= 0.

Corollario 3.1.2. Dati a, b ∈ Z con b 6= 0, esistono e sono univocamente determinati q¯, r¯ ∈ Z tali che a = b¯ q + r¯ e 0 ≤ r¯ < |b| (dove |b| indica il valore assoluto di b). Esistono q, r ∈ Z tali che a = |b|q + r con 0 ≤ r < |b|; se b < 0, a = b(−q) + r.

Definizione. Dati a, b ∈ Z, diciamo che a divide b (e scriviamo a|b) se e solo se esiste

c ∈ Z tale che b = ac.

Definizione. Dati a, b ∈ Z, si dice che un intero d ∈ Z è massimo comun divisore di a e b (brevemente: d è M.C.D.(a, b)) se e solo se 1) d|a e d|b, 2) se c ∈ Z e c|a, c|b, allora c|d Teorema 3.1.3. Siano a, b ∈ Z. I] Esiste M.C.D.(a, b) (che si può determinare con l’algoritmo delle divisioni successive se a e b non sono nulli); II] se d è M.C.D.(a, b), anche e soltanto −d è M.C.D.(a, b); III] se d è M.C.D.(a, b), esistono x, y ∈ Z tali che d = ax + by. I] Se b = 0, a è M.C.D.(a, b). Sia b 6= 0; esistono q0 , r0 ∈ Z tali che a = bq0 + r0 con 0 ≤ r0 < |b|. Se r0 = 0, b è M.C.D.(a, b). Se r0 6= 0, esistono q1 , r1 ∈ Z tali che b = r0 q1 + r1 con 0 ≤ r1 < r0 . Se r1 6= 0, esistono q2 , r2 ∈ Z tali che r0 = r1 q2 + r2 con 0 ≤ r2 < r1 . Si procede cos`ı con “divisioni successive” ri−1 = ri qi+1 + ri+1 con 0 ≤ ri+1 < ri . Esiste un intero n tale che rn+1 = 0; si verifica che rn è M.C.D.(a, b). II] Se d0 è M.C.D.(a, b), d e d0 si dividono a vicenda. Da d = kd0 e d0 = hd segue d = khd; se d 6= 0, è hk = 1 e quindi h = k = ±1. III] Per induzione su i si prova che esistono xi , yi ∈ Z tali che ri = axi +byi ; essendo d = ±rn , si ha la tesi.

Definizione. Due interi a, b ∈ Z\{0} vengono detti primi fra loro o coprimi se ammettono come divisori comuni solo +1 e -1 (ovvero se 1 è M.C.D.(a, b)). Teorema 3.1.4. Due interi a, b ∈ Z\{0} sono coprimi se e solo se esistono x.y ∈ Z tali che 1 = xa + yb. (Identit` a di Bezout). Se a e b sono coprimi, la tesi segue da III] del Teorema 3.1.3. Viceversa, se 1 = ax+by e se d è M.C.D.(a, b), allora a = a0 d, b = b0 d e quindi 1 = (a0 x+b0 y)d; ne segue d = ±1. 6

Esercizio 1. Siano a, b1 , b2 ∈ Z\{0}; se a divide il prodotto b1 b2 e a è primo con b1 , allora a divide b2 . Esercizio 2. Siano a, b1 , b2 , . . . , bn ∈ Z\{0}; a è primo con ogni bi per i = 1, 2, . . . , n se e solo se a è primo con il prodotto b1 b2 . . . bn . (Induzione su n) Esercizio 3. Siano a1 , a2 , . . . , an ∈ Z\{0} divisori di un intero b a due a due coprimi; allora anche il prodotto a1 a2 · · · an è un divisore di b. (Per l’esercizio precedente basta dimostrare la tesi per n = 2).

4.1 Numeri primi, teorema di fattorizzazione Definizione. Numero primo è ogni numero naturale p, maggiore di 1, i cui divisori in N sono solo 1 e p. Se p è un numero primo ed a un numero naturale, maggiore di 1, p è primo con a se e solo se p non divide a. Tenendo presente l’Esercizio 1 in 3.1 si deduce che Teorema 4.1.1. Sia n un numero naturale, maggiore di 1; n è primo se e solo se, ogni qualvolta n divide un prodotto a1 a2 · · · ar con ai ∈ N, n divide almeno uno dei fattori ai . Si faccia induzione su r.

Teorema 4.1.2. Ogni numero naturale a ∈ N, maggiore di 1, è primo o può essere scritto come prodotto di numeri primi; tale scrittura è unica a meno dell’ordine in cui si scrivono i fattori. Si faccia induzione su a; la tesi è vera per a = 2. Sia a > 2; se a non è primo, sarà a = bc con 1 < b < a, 1 < c < a. Per induzione b e c sono primi o prodotto di primi e quindi a è prodotto di primi. Sia a = p1 p2 · · · pn = p01 p02 · · · p0m con pi , p0j primi per ogni i, j. Poiché p1 divide il prodotto p01 p02 · · · p0m , p1 divide almeno uno dei fattori p0j ; possiamo supporre che p1 divida p01 . Essendo p01 primo, è p1 = p01 e quindi p2 · · · pn = p02 · · · p0m . Per induzione segue n = m e, cambiando eventualmente l’ordine dei fattori, pi = p0i per i = 1, 2, . . . , n.

Corollario 4.1.3.(Euclide) Esistono infiniti numeri primi. Per assurdo supponiamo che l’insieme P dei numeri primi sia finito; sia P={p1 , p2 , . . . , pn }. Posto a = p1 p2 · · · pn + 1, a non è divisibile per alcun pi e questo è assurdo per il Teorema 4.1.2. Esercizio 1. Si mostri che esistono infiniti numeri primi del tipo 4n − 1 con n ∈ N. (Si osservi che il prodotto di due numeri interi del tipo 4n + 1 è un numero dello stesso tipo e che ogni numero primo, diverso da 2, è del tipo 4n + 1 o 4n − 1.) Esercizio 2. Si mostri che esistono infiniti numeri primi del tipo 6n − 1 con n ∈ N.

Dal Teorema 4.1.2 si deduce un “teorema di fattorizzazione” per gli interi relativi. Definizione. Intero primo è ogni numero intero del tipo +p o −p, dove p è un numero naturale primo. Teorema 4.1.4. Ogni numero intero a, diverso da 0, +1, −1, è primo o può essere scritto come prodotto di interi primi. Se a = p1 · · · pr = q1 · · · qs con p1 , . . . , pr , q1 , . . . , qs interi primi, allora è r = s e, cambiando eventualmente l’ordine dei fattori, pi = qi o pi = −qi per ogni i = 1, . . . , r.

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II. RELAZIONI DI EQUIVALENZA E RELAZIONI D’ORDINE

1 1. Relazioni fra insiemi. Definizione. Una relazione (o corrispondenza) da un insieme S ad un insieme T è un qualunque sottoinsieme ρ del prodotto cartesiano S × T . Per indicare che (s, t) ∈ ρ (con s ∈ S, t ∈ T ) si usa spesso anche la notazione s ρ t e si dice che la relazione ρ associa all’elemento s di S l’elemento t di T . Particolari relazioni sono la “relazione vuota” e la “relazione totale”. Esempi. 1. Siano S l’insieme dei punti e T l’insieme delle rette di un piano; sia ρ la relazione che associa ad un punto s ∈ S una retta t ∈ T se e solo se s appartiene a t. Ad ogni elemento di S sono associati dalla ρ pi` u elementi di T e ogni elemento di T è associato dalla ρ a pi` u elementi di S . 2. Sia ρ la relazione definita da N a N ponendo per n, m ∈ N nρm se e solo se m divide propriamente n Né ad 1 né ad alcun numero primo è associato dalla ρ un elemento di N; per ogni elemento n ∈ N con n 6= 1 esiste qualche m ∈ N tale che mρn, ad esempio m = 2n. Se in particolare l’insieme T coincide con l’insieme S , si parlerà di “relazione in S ”. Una relazione ρ in un insieme S può godere di alcune notevoli proprietà: riflessiva: s ρ s per ogni s ∈ S ; simmetrica: per s, t ∈ S se s ρ t, allora t ρ s; transitiva: per s, t, v ∈ S se s ρ t e t ρ v , allora s ρ v ; antisimmetrica: per s, t ∈ S se s ρ t e t ρ s, allora s = t. Osservazioni. 1. Una relazione ρ in un insieme S è simmetrica e antisimmetrica se e solo se essa si riduce alla “relazione identica” su un sottoinsieme T di S : precisamente T = {x ∈ S | esiste y ∈ S tale che x ρ y}. 2. Sia ρ una relazione simmetrica e transitiva; ρ è riflessiva se e solo se per ogni s ∈ S esiste t ∈ S tale che sρt. 3. Una relazione ρ in S pu` o non godere di alcuna delle quattro proprietà sopra citate. Ad esempio in S = {a, b, c} si consideri la relazione ρ definita dal seguente sottoinsieme di S × S: { (a, a), (a, b), (b, a), (a, c) } Esercizio 1. Nell’insieme S = {a, b, c} si definiscano relazioni che godono di una o pi´ u delle quattro proprietà sopra citate, ma non delle altre.

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2 2.1. Relazioni di equivalenza. Definizione. Ogni relazione in un insieme (non vuoto) S , che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, viene detta relazione di equivalenza in S . Esempi. 1. La relazione identica e la relazione totale in un insieme S sono relazioni di equivalenza. 2. Nell’insieme delle rette del piano (o dello spazio) la relazione che associa ad una retta s una retta t se e solo se t coincide con s o ` e parallela ad s, è di equivalenza. La relazione che associa ad una retta s una retta t se e solo se t coincide con s o è incidente ad s, è di equivalenza? 3. Nel prodotto cartesiano N0 ×N0 è equivalenza la relazione ρ definita da (m, n) ρ (r, s) se e solo se m + s = r + n per m, n, r, s ∈ N0 . 4. Nel prodotto cartesiano Z×(Z\{0}) è equivalenza la relazione definita da (a, b) ρ (c, d) se e solo se ad = bc per a, c ∈ Z e b, d ∈ Z\{0}. 5. In Z è equivalenza la relazione ρ definita da aρb se e solo se a + b è pari per a, b ∈ Z. Definizione. Sia ρ una relazione di equivalenza in un insieme S e sia a ∈ S ; l’insieme {a}ρ = { x ∈ S | a ρ x } viene detto classe di equivalenza rappresentata dall’elemento a. Esercizio 1. Per ognuna delle relazioni di equivalenza indicate negli esempi che precedono si indichi da quali elementi è costituita la classe di equivalenza rappresentata da un dato elemento.

Proposizione 2.1.1. Sia ρ una relazione di equivalenza in un insieme S . 1] Per ogni a ∈ S si ha a ∈ {a}ρ . 2] Per ogni a, b ∈ S sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti: i) a ρ b; ii) {a}ρ = {b}ρ . iii) {a}ρ ∩ {b}ρ 6= ∅; Le classi di equivalenza di ρ in S costituiscono pertanto una partizione di S , cioè una collezione di sottoinsiemi non vuoti di S tale che ogni elemento di S appartiene ad uno e uno soltanto di tali sottoinsiemi. ` a ∈ {a}ρ poiché è a ρ a. 1] E 2] i) =⇒ ii). Sia x ∈ {b}ρ ; da a ρ b e b ρ x segue a ρ x e quindi x ∈ {a}ρ . Essendo anche b ρ a, allo stesso modo si prova che, se y ∈ {a}ρ , allora y ∈ {b}ρ . ii) =⇒ iii). Ovvio. iii) =⇒ i). Sia c ∈ {a}ρ ∩ {b}ρ ovvero a ρ c e b ρ c; allora c ρ b per la proprietà simmetrica e quindi a ρ b per la proprietà transitiva.

Viceversa, si verifica facilmente la Proposizione che segue. Proposizione 2.1.2. Siano {Xi }i∈I una partizione di un insieme S e ρ la relazione in S definita da aρb se e solo se a, b ∈ Xi per qualche i ∈ I ; ρ` e una relazione di equivalenza, le cui classi di equivalenza sono i sottoinsiemi Xi . Definizione. Sia ρ è una relazione di equivalenza in un insieme S : l’insieme, i cui elementi sono le classi di equivalenza di ρ, viene detto insieme quoziente di S rispetto a ρ e verr` a indicato con Sρ o con S/ρ.

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2.2. Congruenze aritmetiche. Sia n un intero fissato; sia ≡n la relazione definita in Z ponendo per a, b ∈ Z a ≡n b se e solo se n divide b − a Per n = 0 e per n = 1 la relazione ≡n si riduce rispettivamente alla relazione identica e alla relazione totale; inoltre la relazione ≡n coincide con la relazione ≡−n . Pertanto si supporrà sempre n ≥ 2. La relazione ≡n è una relazione di equivalenza che viene detta congruenza modulo n. Per essa si usa anche la notazione a ≡ b (mod n) al posto di a ≡n b. Per a ∈ Z la classe di equivalenza a cui appartiene a viene solitamente indicata con il simbolo [a]n o con il simbolo {a}n ; la classe [a]n è costituita da tutti e soli gli interi del tipo a + kn che si ottengono al variare di k in Z. Le classi di equivalenza della relazione ≡n vengono dette classi di resti modulo n e sono esattamente [0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n : infatti per a, b ∈ Z, posto a = q1 n + r1 , b = q2 n + r2 con 0 ≤ ri < n, ` e a ≡n b se e solo se r1 = r2 . L’insieme delle classi di resti modulo n verr` a indicato con Zn . Proposizione 2.2.1. 1] Per a, b, c, d ∈ Z se a ≡n b e c ≡n d, allora a + c ≡n b + d e ac ≡n bd. 2] Se k ∈ Z è primo con n e ka ≡n kb, allora a ≡n b. 1] Se b = a + hn, d = c + kn con h, k ∈ Z, allora b + d = (a + c) + (h + k)n e bd = ac + (ak + ch + hkn)n con h + k, ak + ch + hkn ∈ Z. 2] Sia k(b − a) = kb − ka = hn con h ∈ Z; se n è primo con k, n divide b − a. (cfr. I, 3.1 Esercizio 1) Esercizio 1. Mostrare che la congruenza modulo 2 coincide con la relazione definita nell’Esempio 5 in 2.1. Esercizio 2. Sia a ∈ Z ; si provi che esiste qualche x ∈ Z tale che sia ax ≡n 1 se e solo se a è primo con n. Si mostri che in tal caso gli interi x cosiffatti costituiscono una classe di resti mod n. ? Esercizio 3. Siano n1 , n2 , . . . , nr interi positivi a due a due coprimi; per a1 , a2 , . . . , ar ∈ Z esiste qualche x ∈ Z tale che sia x ≡ni ai per ogni i.(Teorema cinese dei resti)

Definizione. Sia n un intero positivo; si indica con Φ(n) il numero degli interi t, primi con n, tali che 1 ≤ t ≤ n. Φ viene detta funzione di Eulero. Teorema 2.2.2 (Eulero, 1707-1783) Sia n un intero positivo; per ogni intero a, primo con n, si ha aΦ(n) ≡n 1 . Caso particolare del Teorema di Eulero è il Teorema 2.2.3 (Fermat, 1601-1665) Sia p un numero primo; per ogni intero a si ha ap ≡p a. I Teoremi di Eulero e di Fermat potranno essere provati pi´ u avanti come conseguenza di IV, 5.2 Esercizio 2, di IV Proposizione 5.4.1 e di VI Corollario 2.2.2.

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3 3.1. Relazioni d’ordine. Definizione. Ogni relazione in un insieme (non vuoto) S , che gode delle proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica, viene detta relazione d’ordine in S . Spesso per indicare relazioni d’ordine si usano simboli del tipo ≤, ¹, · · ·. Un insieme S , in cui è definita una relazione d’ordine ≤, verr` a indicato con (S, ≤) e verr` a detto insieme ordinato o parzialmente ordinato rispetto alla ≤. Definizione. Una relazione d’ordine ≤ in un insieme S verr` a detta totale se e solo se per ogni a, b ∈ S si ha a ≤ b o b ≤ a (due qualsiansi elementi di S sono “confrontabili”); in tal caso l’insieme S verrà detto totalmente (o linearmente) ordinato rispetto alla ≤. Un insieme totalmente ordinato viene spesso detto anche catena. Esempi. 1. In N0 la relazione ≤ definita ponendo per a, b ∈ N0 a≤b se e solo se ∃c ∈ N0 tale che b = a + c è una relazione d’ordine totale e ci fornisce l’usuale ordinamento dell’insieme dei numeri naturali. 2. In N0 la relazione ≤ definita ponendo per a, b ∈ N0 a≤b se e solo se ∃c ∈ N0 tale che b = ac è una relazione d’ordine non totale. 3. Nell’insieme P(X) delle parti di un insieme X la relazione di inclusione insiemistica definita ponendo per A, B ∈ P(X) A≤B se e solo se A ⊆ B è una relazione d’ordine (non totale, se X possiede almeno due elementi distinti). Se un insieme S è ordinato rispetto ad una relazione ≤, S è anche ordinato rispetto alla relazione duale ≥ definita ponendo a ≥ b se e solo se b ≤ a per ogni a, b ∈ S . Definizione. Siano (S, ≤) un insieme ordinato e T un sottoinsieme non vuoto di S : minorante di T è un qualunque elemento k ∈ S tale che k ≤ t per ogni t ∈ T ; minimale in T è un elemento t∗ ∈ T per cui non esiste alcun t ∈ T , t 6= t∗ tale che sia t ≤ t∗ ; minimo in T è un elemento m ∈ T tale che m ≤ t per ogni t ∈ T . Considerando in S la relazione d’ordine duale ≥ si introducono i concetti di maggiorante, massimale, massimo di T . Definizione. Siano (S, ≤) un insieme ordinato e T un sottoinsieme non vuoto di S : maggiorante di T è un qualunque elemento k ∈ S tale che t ≤ k per ogni t ∈ T ; massimale in T è un elemento t∗ ∈ T per cui non esiste alcun t ∈ T , t 6= t∗ tale che sia t∗ ≤ t; massimo in T è un elemento m ∈ T tale che t ≤ m per ogni t ∈ T . E’ importante osservare che un sottoinsieme T di un insieme ordinato S può non possedere elementi del tipo sopra definito. Ad esempio, si consideri N0 ordinato rispetto alla relazione definita nell’Esempio 2. Il sottoinsieme T di N0 , costituito dai numeri primi non ha minimo e ammette come minorante soltanto 1; ogni suo elemento è minimale. Il sottoinsieme V = {6, 12, 18, 24} ha minimo 6, ma non ha massimo; V ammette come minoranti 1, 2, 3, 6 e come maggioranti tutti i multipli di 72. Il sottoinsieme W = {2n | n ∈ N } non ammette elementi massimali; 0´ e l’unico maggiorante di W . Ricordiamo il seguente Assioma o Lemma di Zorn. Sia (S; ≤) un insieme ordinato; se ogni sottoinsieme di S , totalmente ordinato rispetto alla ≤, ammette un maggiorante, allora esiste in S qualche elemento massimale. 11

Definizione. Siano (S, ≤) un insieme ordinato e T un sottoinsieme non vuoto di S ; si chiama massimo minorante o estremo inferiore di T il massimo (se esiste) dell’insieme (se non è vuoto) dei minoranti di T ; si chiama minimo maggiorante o estremo superiore di T il minimo dei maggioranti di T . Essi vengono indicati rispettivamente con inf T e sup T . Osservazioni. Siano (S; ≤) un insieme ordinato e T un sottoinsieme di S . 1. Se T ha minimo (massimo) m, allora m è l’unico elemento minimale (rispettivamente, massimale) di T e anche m =inf T (risp. m =sup T ). 2. Se T possiede un unico elemento minimale (massimale) t∗ , non è detto che t∗ sia minimo (risp. massimo) di T . Ad esempio si può considerare nell’insieme S dell’Esercizio 1 che segue il sottoinsieme T = {2n , 5, 1/5 | n ∈ Z}: 1/5 è l’unico elemento minimale (ma non è minimo!) di T e 5 è l’unico elemento massimale (ma non è massimo!) di T . Proposizione 3.1.1. Sia S un insieme ordinato tale che per ogni sottoinsieme non vuoto T di S esiste inf T . Certamente S ha minimo, ma può non avere massimo; se S ha massimo, allora per ogni sottoinsieme non vuoto T di S esiste sup T . L’elemento inf S è minimo di S. Se S ha massimo m, per ogni sottoinsieme T l’insieme W dei maggioranti di T non è vuoto, poichè m ∈ W ; esiste pertanto inf W . Per ogni t ∈ T e per ogni w ∈ W è t ≤ w; t è un minorante di W e quindi t ≤ inf W . Ne segue che inf W è un maggiorante di T e quindi inf W ∈ W ; allora inf W è il minimo di W , ovvero inf W = sup T .

3.2. Reticoli. Definizione. Un insieme ordinato (S, ≤), in cui esistono inf {a, b} e sup {a, b} per ogni a, b ∈ S , viene detto reticolo. Gli insiemi ordinati considerati in 3.1 negli Esempi 1,2,3 sono reticoli. L’insieme costituito dai ”dischi” del piano e dall’insieme vuoto, ordinato rispetto all’inclusione insiemistica, non è un reticolo. Ogni insieme totalmente ordinato è un reticolo. Esercizio 1. Nell’insieme S dei numeri razionali positivi si consideri la relazione ≤ definita ponendo per a, b ∈ S a ≤ b se e solo se ∃n ∈ N tale che b = na; si mostri che (S, ≤) è un reticolo. Esercizio 2. Nell’insieme S dei numeri reali positivi si consideri la relazione ≤ definita ponendo per a, b ∈ S a ≤ b se e solo se ∃n ∈ N tale che b = na; si mostri che S è ordinato rispetto alla ≤, ma non è un reticolo. Esercizio 3. Ogni insieme ordinato finito ammette elementi massimali ed elementi minimali; ogni reticolo finito possiede massimo e minimo. Esercizio 4. Se un reticolo ammette un elemento minimale (massimale), allora ammette minimo (massimo). Esercizio 5. Sia (S; ≤) un insieme ordinato. Per s1 , s2 ∈ S si scriva s1 < s2 per indicare che s1 ≤ s2 con s1 6= s2 . Sia T = S × S = {(a, b) | a, b ∈ S}; si definisca in T una relazione ρ ponendo per (a, b), (c, d) ∈ T (a, b) ρ (c, d) se e solo se è a < c oppure a = c e b ≤ d. Si verifichi quanto segue. I] ρ è una relazione d’ordine in T . II] (T ; ρ) è totalmente ordinato se e solo se (S; ≤) è totalmente ordinato. III] Sia (S; ≤) non totalmente ordinato; (T ; ρ) è reticolo se e solo se (S; ≤) è reticolo dotato di massimo e di minimo.

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TEMI II. 1. Sia n un intero maggiore di 1 e sia p il minimo primo che divide n. Si mostri che I] M.C.D.(p − 1, n) = 1; II] p non divide 2n − 1 (e quindi n non divide 2n − 1). Sugg. I] Se d =M.C.D.(p − 1, n) 6= 1, esiste un primo q che divide d. II] Proposizione 2.2.1. Per p 6= 2 è 2p−1 ≡ 1 (mod p); se fosse anche 2n ≡ 1 (mod p), da 1 = xn + y(p − 1) con x, y ∈ Z si dedurrebbe un assurdo.

2. Nell’insieme Q+ dell’insieme dei numeri razionali positivi si consideri la relazione ρ definita ponendo a ρ b se e solo se esiste n ∈ N0 tale che 2n (a − b) ∈Z Si verifichi che ρ è una relazione di equivalenza e si mostri che i) se p è un numero primo dispari, le classi di equivalenza { p1 }ρ , { p12 }ρ , . . ., { p1r }ρ , . . ., (con r ∈ N) sono distinte; ii) se p e q sono primi distinti, per ogni r, s ∈ N le due classi { p1r }ρ e { q1s }ρ sono distinte. Le classi { 12 }ρ , { 212 }ρ , . . ., { 21r }ρ , . . . sono distinte tra loro? Sugg. Proposizione 2.1.1; p1r ρ p1s con r ≤ s se e solo se esistono n ∈ N0 e t ∈ Z tali che 2n (ps−r −1) = tps , assurdo per r 6= s, I Teorema 4.1.1.

3. Sia X = {x = 2r 3s | r, s ∈ N }; per x1 , x2 ∈ X si ponga x1 ≤ x2 se e solo se esiste n ∈ N tale che

x2 = xn1 . i) Si verifichi che, rispetto alla relazione ≤ sopra definita, X è un insieme ordinato, non totalmente ordinato. ii) Si mostri che (X; ≤) possiede elementi minimali, ma non possiede minimo. iii) (X; ≤) possiede elementi massimali? iv) (X; ≤) è un reticolo? Sugg. i) 22 · 3 e 2 · 32 non sono confrontabili. ii) Se 1 =M.C.D.(r, s), l’elemento 2r 3s è minimale; 3.1 Osservazioni. iv) L’insieme {22 · 3, 2 · 32 } non ammette né maggioranti né minoranti.

4. In N si definisca una relazione ρ ponendo aρb se e solo se a e b hanno lo stesso numero di cifre e a ≤ b (dove a ≤ b indica l’usuale ordinamento in N) ; si provi che ρ è una relazione d’ordine. (N, ρ) è totalmente ordinato? Ammette minimo o massimo? Quali sono gli elementi minimali e gli ` un reticolo? elementi massimali? E Sugg. 1 e 10 non sono confrontabili. 1, 10 sono elementi minimali; 9, 99 sono elementi massimali. 3.2 Esercizio 4.

5. Si scriva ogni n ∈ N nella forma n = 5r k con r ∈ N0 , k ∈ N e M.C.D.(5, k) = 1. Si considerino le relazioni ρ e σ definite in N ponendo (5r k) ρ (5s h) se e solo se r + s è pari (5r k) σ (5s h) se e solo se 5r k = 5s h oppure r < s. I] Si mostri che ρ è una relazione di equivalenza e se ne determinino le classi di equivalenza distinte. II] Si verifichi che (N, σ) è un insieme ordinato, non totalmente ordinato. (N, σ) è un reticolo? Si mostri che i) ogni sottoinsieme Y di N ammette elementi minimali, mentre esistono sottoinsiemi di N privi di elementi massimali; ii) un sottoinsieme non vuoto Y di N ammette minoranti se e solo se in Y esiste al pi` u un numero non divisibile per 5; iii) un sottoinsieme Y di N è privo di maggioranti se e solo se per ogni r ∈ N0 esiste in Y qualche numero divisibile per 5r . III] Esistono sottoinsiemi non vuoti di N dotati di minimo? dotati di massimo? Esistono sottoinsiemi non vuoti di N privi di minimo? privi di massimo? 13

6. Sia (L; ≤) un reticolo; per ogni a, b ∈ L con a ≤ b si ponga Xa,b = {x ∈ L | a =inf{b, x} }. Si osservi che Xa,b non è vuoto e ammette minimo. I] Si provi che, se (L; ≤) è il reticolo costituito dalle parti di un insieme non vuoto S rispetto all’inclusione insiemistica, ogni insieme Xa,b ammette massimo. II] Si mostri con esempi che possono esistere a, b ∈ L tali che Xa,b non ha massimo sia nel caso ”L finito” che nel caso ”L infinito”. Sugg. I] Per A ⊆ B ⊆ S si consideri A ∪ (S − B). II] Si consideri il diagramma di Hasse

3,2 Esercizio 1.

7. Siano (S, ≤) un insieme parzialmente ordinato ed R una relazione di equivalenza in S. Nell’insieme quoziente

S R

si consideri la relazione σ definita ponendo [x]R σ [y]R se e solo se esiste y ∈ [y]R tale che a ≤ y per ogni a ∈ [x]R . Si provi quanto segue. I] σ è antisimmetrica e transitiva; II] sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) σ è riflessiva, ii) per ogni x ∈ S la classe [x]R ammette massimo rispetto alla relazione ≤ definita in S, iii) per ogni x, y ∈ S è [x]R σ [y]R se per ogni a ∈ [x]R esiste b ∈ [y]R (b dipendente eventualmente da a) tale che a ≤ b.

8. Sia ρ una relazione simmetrica in un insieme X; per ogni x ∈ X esista y ∈ X tale che xρy. Si definisca in X una relazione σ ponendo per x1 , x2 ∈ X x1 σx2 se e solo se esistono y0 , y1 , . . . , yn ∈ X tali che x1 = y0 , x2 = yn , yi ρyi+1 per 0 ≤ i ≤ n − 1 I] Si verifichi che σ è una relazione di equivalenza in X. II] In X=N\{1} si consideri la relazione simmetrica ρ definita da aρb se e solo se M.C.D.(a, b) 6= 1: quali sono le classi di equivalenza della corrispondente relazione σ?

9. Siano (S; ≤) un insieme parzialmente ordinato ed R una relazione di equivalenza in S. Nell’insieme quoziente

S R

si consideri la relazione ρ definita ponendo [x]R ρ [y]R se e solo se per ogni a ∈ [x]R esiste b ∈ [y]R tale che a ≤ b. Si provi quanto segue. I] ρ è riflessiva e transitiva; II] se S è finito, ρ è antisimmetrica; III] per S= Z e ≤ ordinamento naturale, si può scegliere la relazione R in modo che ρ non sia antisimmetrica; IV] condizione sufficiente affinché ρ sia antisimmetrica è che per x, y ∈ S da x ≤ y ≤ z e xRz segua xRy. Mostrare che la condizione non è necessaria.

10. Sia S un insieme non vuoto; per ogni A, B ∈ P(S) si ponga A∆B = (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A). Fissato K ∈ P(S), si definisca in P(S) la relazione ≤ ponendo per X1 , X2 ∈ P(S) X1 ≤ X2 se e solo se K∆X1 ⊆ K∆X2 . Si provi quanto segue. I] (P(S), ≤) è un insieme ordinato, dotato di massimo e di minimo. II] Se K è l’insieme vuoto, la relazione ≤ coincide con la relazione ⊆; se K = S, la relazione ≤ coincide con la relazione ⊇. III] Se K è un sottoinsieme proprio di S, allora (P(S), ≤) non è totalmente ordinato. IV] (P(S); ≤) è totalmente ordinato se e solo se S è costituito da un solo elemento.

11. Sia R l’insieme di tutte le relazioni in un insieme non vuoto S; per ρ1 , ρ2 ∈ R si ponga 14

ρ1 ≤ ρ2 se e solo se xρ1 y implica xρ2 y (per x, y ∈ S) I] Si verifichi che ≤ è relazione d’ordine in R e che (R; ≤) è un reticolo. II] Detto E l’insieme delle relazioni di equivalenza in S, si mostri che E è un sottoreticolo di (R; ≤) se e solo se S possiede al pi` u due elementi.

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III. APPLICAZIONI PRODOTTO DI APPLICAZIONI

1 1.1. Applicazioni fra insiemi. Definizione. Siano S e T due insiemi non vuoti; una applicazione da S a T è una relazione da S a T che associa ad ogni elemento s ∈ S un elemento t ∈ T , univocamente determinato da s. L’insieme delle applicazioni da un insieme S ad un insieme T viene indicato con T S . Una applicazione f da S a T viene solitamente indicata con f : S → T . Se all’elemento s ∈ S la f associa l’elemento t ∈ T , si usa scrivere t = f (s) (o anche t = sf o t = sf ) e dire che t è immagine di s e s è retroimmagine o controimmagine di t nella f . Se X è un sottoinsieme di S , si indica con f (X) l’insieme {f (x) | x ∈ X}; se Y è un sottoinsieme di T , si indica con f −1 (Y ) l’insieme {w ∈ S | f (w) ∈ Y }. Se X ⊆ S , allora f −1 [f (X)] ⊇ X ; se Y ⊆ T , allora f [f −1 (Y )] ⊆ Y . Osservazione. Sia S l’insieme dei numeri razionali positivi; la relazione da S a N che associa ad r/s (con r, s ∈ N) il numero naturale r + s non è una applicazione da S a N, mentre lo è la relazione che associa ad r/s il numero naturale (r + s)/M.C.D.(r, s). Esercizio 1. La relazione ρ in Zn , definita da [a]n ρ [(−1)a a]n , è una applicazione da Zn a Zn se e solo se n è pari.

Definizione. Si dice che una applicazione f : S → T è suriettiva se per ogni t ∈ T esiste almeno un s ∈ S tale che f (s) = t; iniettiva se per ogni t ∈ T esiste al pi´ u un s ∈ S tale che f (s) = t; (ovvero se da f (s1 ) = f (s2 ) con s1 , s2 ∈ S segue s1 = s2 ); biiettiva se è suriettiva e iniettiva. La relazione identica in un insieme S è una applicazione biiettiva da S a S ; essa viene detta applicazione identica su S e indicata con IS o 1S . Se S e T sono finiti e sono costituiti dallo stesso numero di elementi, un’applicazione f :S→T ` e iniettiva se e solo se è suriettiva. Esempio 1. f : Z→Z con f (2a) = f (2a + 1) = a per ogni a ∈ Z è suriettiva, non iniettiva; f : Z→Z con f (a) = 2a per ogni a ∈ Z è iniettiva, non suriettiva; f : Z→Z con f (a) = |a| per ogni a ∈ Z non è iniettiva né suriettiva; f : Z→Z con f (a) = a + 2 per ogni a ∈ Z è biiettiva. Esercizio 2. Sia f : Zn →Zn l’applicazione definita da f ([a]n ) = [ra]n , dove r è un intero fissato. Si provi che sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti: i) r è primo con n; ii) f è iniettiva; iii) f è suriettiva. Esercizio 3. Sia f : S → T una applicazione; si provi che I] f è iniettiva se e solo se per ogni sottoinsieme X di S è f −1 (f (X)) = X; II] f è suriettiva se e solo se per ogni sottoinsieme Y di T è f (f −1 (Y )) = Y . Esercizio 4. i) Si verifichi che esiste una applicazione biiettiva tra Z e l’insieme quoziente (N0 ×N0 )/ρ con ρ definita in II.2.1 Esempio 3. 16

ii) Si verifichi che esiste un’applicazione biiettiva tra Q e l’insieme quoziente (Z× (Z\{0}))/ρ con ρ definita in II.2.1 Esempio 4.

Definizione. Sia f : S → T una applicazione biiettiva; viene detta inversa della f l’applicazione f −1 : T → S definita ponendo per t ∈ T, s ∈ S f −1 (t) = s se e solo se f (s) = t Esempio 2. Se f : Z9 → Z9 è l’applicazione biiettiva (cfr.Esercizio 2) definita da f ([a]9 ) = [2a]9 , f −1 ` e l’applicazione da Z9 a Z9 definita da f −1 ([a]9 ) = [5a]9 . Esercizio 5. Sia f l’applicazione da Z a Z definita ponendo per ogni x ∈ Z ½ (−1)x+1 x, se x < 0; f (x) = (−1)x x + 1, se x ≥ 0. Si verifichi che f è biiettiva e si determini f −1 .

1.2. Prodotto di applicazioni. Definizione. Siano S, T, V insiemi e f : S → T, g : T → V applicazioni; si chiama prodotto delle applicazioni f e g la relazione ρ da S a V definita da s ρ v (con s ∈ S , v ∈ V ) se e solo se v = g[f (s)]. Si provano facilmente le Proposizioni che seguono. Proposizione 1.2.1. Il prodotto di due applicazioni f : S → T e g : T → V è una applicazione da S a V , che verr` a indicata con f g o con g ◦ f . Proposizione 1.2.2. Sia f : S → T un’applicazione; allora i) IS f = f = f IT ; ii) se f è biiettiva, è f f −1 = IS e f −1 f = IT . Proposizione 1.2.3. Siano f : S → T, g : T → V, h : V → W applicazioni; sono definiti i prodotti f g, (f g)h, gh, f (gh) e sussiste l’uguaglianza (f g)h = f (gh). Proposizione 1.2.4. Siano f : S → T, g : T → V applicazioni; allora I]i) se f e g sono iniettive, f g è iniettiva; ii) se f e g sono suriettive, f g è suriettiva; iii) se f e g sono biiettive, f g è biiettiva. II]i) se f g è iniettiva, f è iniettiva; ii) se f g è suriettiva, g è suriettiva; iii) se f g è biiettiva, f è iniettiva e g è suriettiva. Esercizio 1. Sia f : S → T un’applicazione; i) f è iniettiva se e solo se esiste un’applicazione g : T → S tale che f g = IS ; ii) f è suriettiva se e solo se esiste un’applicazione h : T → S tale che hf = IT ; iii) f è biiettiva se e solo se esiste un’applicazione k : T → S tale che f k = IS e kf = IT . Esercizio 2. Sia S un insieme con almeno due elementi e sia f un’applicazione di S in sé. Si mostri che sono tra loro equivalenti le condizioni che seguono: i) f è biiettiva; ii) esiste una ed una sola applicazione g di S in sé tale che f g = IS ; iii) esiste una ed una sola applicazione h di S in sé tale che hf = IS . Esercizio 3. Siano f, g le applicazioni di Q in sé definite da ½ 4x + 1 per x ≥ 0, f (x) = x per x < 0 ½ x + 1 per x ≥ 0, g(x) = 2x + 2 per x < 0. Si mostri che f g è biiettiva, mentre gf non è né iniettiva né suriettiva. L’applicazione f è iniettiva? è suriettiva? L’applicazione g è iniettiva? è suriettiva? 17

TEMI III. 1. Sia S un insieme; siano f e g due applicazioni da S a S tali che f g = IS (IS identità su S). Si provi che I] f è iniettiva; II] se l’insieme S è finito, allora è anche gf = IS ; III] se l’insieme S è infinito, può essere f g = IS e gf 6= IS . Sugg. I] Proposizione 1.2.4 II] f è biiettiva, esiste f −1 ; Proposizione 1.2.2 III] Esempio: S =N0 ; f (n) = n + 1 per ogni n ∈ N0 ; g(0) = 0, g(n) = n − 1 per ogni n ∈ N

2. Sia n un intero relativo fissato; sia φn l’applicazione da Z a Z definita da ( nx φn (x) =

se x ≥ 0; se x < 0, x dispari; se x < 0, x pari

−x x/2

. Si provi che φn è iniettiva se e solo se n è un intero positivo pari e che φn è biiettiva se e solo se n = 2. Sugg. Se n < 0, φn (1) = φn (2n); se n > 0 e n dispari, φn (1) = φn (−n).

3. Sia r un intero fissato; si consideri la relazione ρr fra Z75 e Z90 definita ponendo per a, b ∈ Z [a]75 ρr [b]90

se e solo se

b = ra

I] Si determinino i valori di r per i quali ρr è una applicazione da Z75 a Z90 . II] Fra tali valori di r ne esistono alcuni per i quali ρr è suriettiva o iniettiva? Sugg. I] Se [a]75 = [a0 ]75 , deve essere [ra]90 = [ra0 ]90 II] ρr ([15]75 ) = ρr ([0]75 ) con [15]75 6= [0]75 .

4. Siano X e Y due insiemi non vuoti; sia f : X −→ Y una applicazione. Si provi che un insieme T può essere messo in corrispondenza biunivoca con f (X) se e solo se esistono due applicazioni α : X −→ T suriettiva e β : T −→ Y iniettiva tali che f = αβ. Sugg. f : X → f (X) è suriettiva; Proposizione 1.2.4 Se β : T → f (X) è biiettiva, α = f β −1 è suriettiva. Se f = αβ, è f (X) = β[α(X)] = β(T ); β : T −→ f (X) è biiettiva.

5. Sia f : X → Y un’applicazione da un insieme X ad un insieme Y . I] Si provi che sono tra loro equivalenti le condizioni a) f è suriettiva; b) per ogni sottoinsieme T di X è f (X − T ) ⊇ Y − f (T ); c) esiste V ⊆ X tale che f (X − V ) ⊇ Y − f (V ). II] Si provi che sono tra loro equivalenti le condizioni h) f è iniettiva; k) per ogni sottoinsieme T di X è f (X − T ) ⊆ Y − f (T ). III] Si mostri che non sono tra loro equivalenti le condizioni h) f è iniettiva; l) esiste V ⊆ X tale che f (X − V ) ⊆ Y − f (V ). Sugg. I] c) ⇒ a): per ogni y ∈ Y , è y ∈ f (V ) ⊆ f (X) o y ∈ Y − f (V ) ⊆ f (X − V ) ⊆ f (X). II] k) ⇒ h) Se f (x1 ) = f (x2 ) con X1 6= x2 ,per T = {x1 } si ha f (x2 ) ∈ f (X −T ) e f (x2 ) 6∈ Y −f (T ). III] per y ∈ Y e V = {v ∈ X | f (v) = y} è soddisfatta la condizione l) anche se f non è iniettiva.

6. Siano α e β applicazioni da N a N definite da ( α(x) =

x + 1, x − 1, x,

se x è dispari; se x è pari e x ≥ 10; se x = 2, 4, 6, 8. 18

( 1, β(x) =

x − 1, x + 1,

se x = 1; se x è dispari e x 6= 1; se x è pari.

Si provi che I] α non è né iniettiva né suriettiva; II] β è biiettiva; III] αβ 6= βα; IV] αβ e βα non sono né iniettive né suriettive. Sugg. I] α(1) = 2 = α(2); 3 6∈ α(N) IV] Proposizione 1.2.4.

7. Si considerino le applicazioni f, g : Q → Q definite come segue: ( x − 1,

per x ≤ 0; 2 − x, per 0 < x < 2 ; x + 1, per x ≥ 2; ( x + 1, per x ≤ 0; g(x) = 2 − x, per 0 < x < 2 ; x − 1, per x ≥ 2. I] Si costruisca l’applicazione f g. II] Si stabilisca se le applicazioni f g, f , g sono iniettive e/o suriettive. III] Si stabilisca se l’applicazione gf è suriettiva e/o iniettiva. f (x) =

Sugg. I] f g = IQ II] Proposizione 1.2.4: f iniettiva, g suriettiva. 0 6∈ f (Q), g(0) = g(2). III] Proposizione 1.2.4.

8. Sia f : S → T un’applicazione da un insieme S ad un insieme T . Si provi che f è suriettiva se e solo se è ”cancellabile” a sinistra rispetto al prodotto di applicazioni (i.e. se g, h sono applicazioni dall’insieme T ad un insieme V tali che f g = f h, allora g = h). Si mostri con qualche esempio che, se f è suriettiva, può non essere ”cancellabile” a destra. Sugg. 1.2 Esercizio 1, ii).

9. Sia f : X → X un’applicazione di un insieme X in sé. Si provi quanto segue. 1) f , vista come relazione in X, è riflessiva se e solo se è f = IX . 2) f , vista come relazione in X, è simmetrica se e solo se è f 2 = IX . 3) f , vista come relazione in X, è antisimmetrica se e solo se per ogni x ∈ X tale che sia x = f 2 (x) è anche x = f (x). 4) f , vista come relazione in X, è transitiva se e solo se è f 2 = f . Si provi quindi che, se f 6= IX , allora i) se f è transitiva, f non è né iniettiva né suriettiva; ii) se f è simmetrica, f è biiettiva, ma non vale il viceversa; iii) se f è antisimmetrica, f può essere iniettiva o suriettiva, ma può anche non esserlo.

10. Siano m, n interi maggiori di 1; si considerino gli insiemi Zm e Zn delle classi di resti mod m e mod n rispettivamente. Sia G = { ([a]m , [b]n ) | a, b ∈ Z}. Fissato r ∈ N, si consideri l’applicazione fr : G → G definita ponendo per ogni a, b ∈ Z fr : ([a]m , [b]n ) → ([ra]m , [rb]n ) Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) M.C.D.(r, mn) = 1; ii) M.C.D.(r, m) =M.C.D.(r, n) = 1; iii) l’applicazione fr è biiettiva. Sugg. ii) ⇒ iii) II, Proposizione 2.2.1,2] iii) ⇒ ii) Se d =M.C.D.(r, m) 6= 1 e m = dm0 , allora f (([m0 ]m , [0]n )) = f (([0]m , [0]n )). 19

11. Si definisca in Q una relazione ρ ponendo per a, b ∈ Q a ρ b se e solo se a − b ∈ Z Si verifichi che I] ρ è una relazione di equivalenza; II] esiste una applicazione biiettiva φ tra l’insieme quoziente Q/ρ e l’insieme delle radici complesse dell’unità.

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IV. STRUTTURE ALGEBRICHE: GRUPPI, ANELLI, MODULI. SOTTOSTRUTTURE DI UNA STRUTTURA ALGEBRICA.

1 1.1. Operazioni e leggi di composizione. Definizione. Siano S, T, V tre insiemi non vuoti; si chiama legge di composizione (binaria) fra S e T con risultato in V una applicazione f da S × T a V . Pi´ u in generale si chiama operazione fra S e T con risultato in V un’applicazione f da un sottoinsieme di S×T a V. Per indicare che v = f ((s, t)) con v ∈ V, s ∈ S, t ∈ T si preferisce usare notazioni del tipo v = s ? t oppure v = s ◦ t, ecc. Per S = T = V si parla di operazioni e leggi di composizione interne. Esempi. 1. L’addizione e la moltiplicazione sono leggi di composizione in N0 , Z, Q , R , C. La sottrazione è operazione in N0 e legge di composizione in Z. La divisione è operazione in Z e in Q ed ` e legge di composizione in Q\{0}. 2. In N0 la legge ? definita da a ? b=M.C.D.(a, b) è legge di composizione. 3. In N0 la legge ◦ definita da a ◦ b = m.c.m.(a, b) è legge di composizione. 4. Nell’insieme dei punti dello spazio è legge di composizione quella definita da A ? B = C se A 6= B e il punto C è il simmetrico di A rispetto a B oppure se A = B = C . 5. Nell’insieme dei punti dello spazio è legge di composizione quella definita da A ◦ B = C se C è il punto medio del segmento AB . 6. Nell’insieme X X delle applicazioni di un insieme X in se stesso il prodotto di applicazioni è legge di composizione. 7. In un reticolo (R; ≤) sono definite due leggi di composizione ∩ e ∪ ponendo a∩b =inf{a, b} e a ∪ b =sup{a, b} per ogni a, b ∈ R. Una legge di composizione ? in un insieme finito S = {s1 , s2 , . . . , sn } può essere indicata da una tavola di composizione: si scriver` a ? s1 s2 ... sn

s1 s11 s21 ... sn1

s2

...

sn

s12 s22 ... sn2

... ... ... ...

s1n s2n ... snn

dove sij = si ? sj per ogni i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Gli Esempi mostrano che un’operazione in un insieme S pu` o non essere “commutativa”. Definizione. Un’operazione ? in un insieme S viene detta commutativa se per ogni a, b ∈ S per cui ` e definito a ? b è definito anche b ? a ed è a ? b = b ? a. Esercizio 1. Nell’insieme X X (delle applicazioni di un insieme X in sé) il prodotto è commutativo se e solo se X è costituito da un solo elemento.

Il termine struttura algebrica indica un insieme S in cui sono definite una o pi´ u operazioni ?, ◦, . . .; essa verr` a indicata con (S; ?, ◦, . . .). 21

2 2.1. Propriet` a associativa. Definizione. Sia ? un’operazione in un insieme S ; si dice che ? è associativa se per ogni a, b, c ∈ S per cui sono definiti a ? b e (a ? b) ? c sono definiti anche b ? c e a ? (b ? c) ed è (a ? b) ? c = a ? (b ? c). Fra gli esempi dati in 1.1 sono associative le operazioni 2, 3 e 6. Teorema 2.1.1. Se ? è una legge di composizione associativa in un insieme S , scelti comunque n elementi s1 , s2 , . . . , sn ∈ S (n ≥ 3), coincidono tutti i “prodotti” che con questi elementi si possono costruire associandoli diversamente, ma nell’ordine dato. (Ad esempio, per n = 4 si ha [(s1 ? s2 ) ? s3 ] ? s4 = (s1 ? s2 ) ? (s3 ? s4 ) = s1 ? [s2 ? (s3 ? s4 )] = s1 ? [(s2 ? s3 ) ? s4 ] = [s1 ? (s2 ? s3 )] ? s4 .) Proviamo la tesi facendo induzione su n; per ipotesi la tesi è vera per n = 3. Sia n > 3; proviamo che ogni “prodotto” p coincide con l’elemento {[(s1 ? s2 ) ? s3 ] · · ·} ? sn . Sarà p = p1 ? p2 , dove p1 è un “prodotto” costruito associando in qualche modo s1 , s2 , . . . , sr e p2 è un “prodotto” costruito associando sr+1 , . . . , sn (con 1 ≤ r ≤ n − 1). Se r ≤ n − 2, per l’ipotesi di induzione sarà p2 = p3 ? sn , dove p3 è un “prodotto” su sr+1 , . . . , sn−1 o p3 = sn−1 per r = n − 2; allora p = p1 ? (p3 ? sn ) = (p1 ? p3 ) ? sn . Se r = n − 1, sarà p2 = sn e p = p1 ? sn . In ogni caso sarà p = p ? sn , dove p è un “prodotto” costruito associando s1 , s2 , . . . , sn−1 ; per l’ipotesi di induzione sarà p = [(s1 ? s2 ) ? · · ·] ? sn−1 e da ciò segue la tesi. Se ? è associativa, è lecito quindi scrivere s1 ? s2 ? · · · ? sn .

Osservazione L’operazione ? definita in N0 ponendo a ? b =M.C.D.(a, b) è associativa; pertanto resta definito anche M.C.D.(a1 , a2 , . . . , ar ) comunque si scelgano r ≥ 2 e a1 , a2 , . . . , ar ∈ N0 . Si prova (per induzione su r) che, se d =M.C.D.(a1 , a2 , . . . , ar ), esistono x1 , x2 , . . . , xr ∈ Z tali che d = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xr ar . 2.2. Semigruppi. Definizione. Sia S un insieme (non vuoto) in cui è definita una legge di composizione ?; se la ? ` e associativa, la struttura (S; ?) viene detta semigruppo. Esempi. 1. N0 , Z, Q, R, C sono semigruppi tanto rispetto all’addizione quanto rispetto alla moltiplicazione; (Z, -) non è un semigruppo. 2. Se X è un insieme non vuoto, X X è un semigruppo rispetto al prodotto di applicazioni. (cfr. III, Proposizione 1.2.3) 3. Se (R; ≤) è un reticolo, (R; ∩) e (R; ∪) sono semigruppi (dove ∩ e ∪ sono definiti come in 1.1 Esempio 7). Definizione. Sia (S; ?) un semigruppo; si definiscono per induzione le potenze di un elemento s ∈ S con esponente intero positivo ponendo per ogni s ∈ S s1 = s e sn+1 = sn ? s Proposizione 2.2.1. Sia (S; ?) un semigruppo; per ogni s ∈ S e per ogni m, n ∈ N si ha sm ? sn = sm+n e (sm )n = smn Induzione su n. Per n = 1 le uguaglianze sono vere per definizione. Inoltre sm ? sn+1 = sm ? (sn ? s) = (sm ? sn ) ? s = sm+n ? s = sm+n+1 (sm )n+1 = (sm )n ? sm = smn ? sm = smn+m = sm(n+1) .

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2.3 Sottosemigruppi. Definizione. Sottosemigruppo di un semigruppo (S; ?) è un sottoinsieme non vuoto H di S , che ` e semigruppo rispetto all’operazione ? definita in S . N0 ` e un sottosemigruppo tanto di (Z;+) quanto di (Z; ·). L’insieme delle applicazioni iniettive (o suriettive) di un insieme X in se stesso è un sottosemigruppo del semigruppo (X X ; ·). (cfr. 2.2 Esempio 2) L’insieme degli interi negativi è sottosemigruppo di (Z;+), ma non di (Z; ·). Un sottoinsieme H di un semigruppo (S; ?) è un sottosemigruppo se e solo se è “chiuso” rispetto all’operazione ? definita in S , ovvero per ogni h1 , h2 ∈ H è h1 ? h2 ∈ H . Esercizio 1. Sia (S; ?) un semigruppo; sia s ∈ S. L’insieme H = {sn | n ∈ N} è un sottosemigruppo di (S; ?) a cui appartiene l’elemento s e che è contenuto in ogni sottosemigruppo di (S; ?) a cui appartiene s.

Proposizione 2.3.1. Sia T{Hi }i∈I una famiglia non vuota di sottosemigruppi di un semigruppo (S; ?): l’insieme i∈I Hi (se non è vuoto) è un sottosemigruppo di S .

T Siano x,Ty ∈ i∈I Hi ; è x, y ∈ Hi per ogni i ∈ I e quindi x ? y ∈ Hi per ogni i ∈ I ovvero x ? y ∈ i∈I Hi .

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3 3.1. Elemento neutro. Definizione. Sia (S; ?) un insieme dotato di legge di composizione; un elemento e ∈ S viene detto elemento neutro se per ogni s ∈ S si ha s ? e = s = e ? s. (Z; +) ammette come elemento neutro 0; (Z; ·) ammette come elemento neutro 1. Osserviamo però che, ad esempio, (Z; - ) non ammette elemento neutro; tuttavia l’elemento 0 è tale che n − 0 = n per ogni n ∈ Z. Ancora, definita in un qualsiasi insieme S , con pi´ u di un elemento, una legge di composizione (associativa) ? ponendo a ? b = b per ogni a, b ∈ S , si osserva che non esiste elemento neutro; tuttavia ogni elemento è “neutro” se è scritto “ a sinistra” in un prodotto. Definizione. Sia (S; ?) un insieme dotato di legge di composizione; un elemento e˜ ∈ S viene detto elemento neutro a sinistra (elemento neutro a destra) se per ogni s ∈ S si ha e˜ ? s = s (s ? e˜ = s). Proposizione 3.1.1. Sia ? una legge di composizione in un insieme S ; se esistono in S un elemento neutro a sinistra es e un elemento neutro a destra ed , allora es = ed . In particolare se esiste in S un elemento neutro, questo è unico. Basta osservare che ed = es ? ed , poiché es è elemento neutro a sinistra e che es = es ? ed , poché ed è neutro a destra.

3.2. Monoidi. Definizione. Un semigruppo (S; ?) dotato di elemento neutro viene detto monoide. N0 , Z, Q, R, C sono monoidi tanto rispetto all’addizione quanto rispetto alla moltiplicazione. Con riferimento agli Esempi in 1.1 sono monoidi 2, 3 e 6. L’insieme P(X) delle parti di un insieme X è un monoide sia rispetto all’intersezione che rispetto all’unione. Definizione. Sia (S; ?) un monoide con elemento neutro e; per ogni s ∈ S poniamo s0 = e

Proposizione 3.2.1. Sia (S; ?) un monoide; per ogni s ∈ S e per ogni m, n ∈ N0 si ha sm ? sn = sm+n e (sm )n = smn . (Si confronti con la Proposizione 2.2.1.) Si devono verificare le uguaglianze per m = 0 o n = 0.

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4 4.1. Elemento inverso. Definizione. Sia ? una legge di composizione in un insieme S con elemento neutro e; un elemento s0 ∈ S viene detto inverso di un elemento s ∈ S se e solo se s ? s0 = e = s0 ? s. Definizione. Sia ? una legge di composizione in un insieme S con elemento neutro e; ogni elemento di S , che ammette “inverso”, viene detto invertibile o unitario. In (Z, +) ogni elemento ha inverso, mentre in (Z, ·) solo +1 e −1 hanno inverso. Negli Esempi 2, 3 in 1.1 solo l’elemento neutro ha inverso. Nel monoide X X delle applicazioni di un insieme X in sé hanno inverso tutte e sole le applicazioni biiettive (cfr.III, 1.2 Esercizio 1, iii) ). Si è però osservato (nello stesso Esercizio) che se f ∈ X X è iniettiva, esiste g ∈ X X tale che f g = IX , mentre se f è suriettiva, esiste h ∈ X X tale che hf = IX . Definizione. Sia ? una legge di composizione in un insieme S con elemento neutro e; sia s ∈ S . Un elemento t ∈ S viene detto inverso destro di s se s ? t = e, mentre viene detto inverso sinistro di s se t ? s = e. In generale un elemento può avere inverso destro e inverso sinistro distinti; ad esempio, si consideri l’insieme S = {a, b, c, e} con le legge di composizione ? definita dalla seguente tavola ?

e

a

b

e a b c

e a b c

a c b e

b e a b

c

c b e a l’elemento e è neutro e l’elemento a ha inverso destro b e inverso sinistro c.

Invece in (X X , ·), se un’applicazione f ha inverso destro g e inverso sinistro h, allora f è biiettiva e g = h = f −1 (cfr. III.1.2, Esercizi 1 e 2); ciò dipende dal fatto che il prodotto di applicazioni è associativo. Proposizione 4.1.1. Sia (S; ?) un monoide; se un elemento s ∈ S ha inverso destro t ∈ S e inverso sinistro v ∈ S , allora t = v. In particolare, se s ∈ S ammette inverso in S , ne ammette uno solo. Sia e l’elemento neutro in S; da s?t = e = v?s segue v = v?e = v?(s?t) = (v?s)?t = e?t = t.

Definizione. Sia (S; ?) un monoide con elemento neutro e; se s ∈ S ammette inverso s0 ∈ S , per ogni intero negativo n poniamo sn = (s0 )−n . −1 0 In particolare sarà s = s ; per questa ragione nel seguito indicheremo con s−1 l’inverso (quando esista) di un elemento s di un monoide S . Proposizione 4.1.2. Sia (S; ?) un monoide; sia s ∈ S un elemento che ammette inverso. Per ogni m, n ∈ Z si ha sm ? sn = sm+n

e

(sm )n = smn .

(cfr. con Proposizione 3.2.1.) Le uguaglianze sono da verificare per m < 0 o n < 0. Esercizio 1. Sia (S : ·) un semigruppo; sia a ∈ S. Siano ρa e σa le applicazioni di S in S definite ponendo ρa (s) = sa e σa (s) = as per ogni s ∈ S. Si provi che sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti: i) (S; ·) è un monoide e l’elemento a è invertibile; 25

ii) ρa e σa sono suriettive; Si provi che la condizione i) implica la condizione iii) ρa e σa sono iniettive, ma non è equivalente ad essa.

4.2. Gruppi. Definizione. Si chiama gruppo un monoide (S; ?) in cui ogni elemento ha inverso. L’elemento neutro di un gruppo viene spesso detto unit` a. Se l’operazione ? è commutativa, si usa dire che il gruppo è abeliano. Se l’insieme S è finito, il numero dei suoi elementi viene detto ordine del gruppo. Esempi. 1. (Z; +), (Q; +), (R; +), (C; +), (Q\{0}; ·), (R\{0}; ·), (C\{0}; ·) sono gruppi abeliani. 2. Per ogni insieme non vuoto X l’insieme SX delle applicazioni biiettive di X in sé è un gruppo rispetto al prodotto di applicazioni; il gruppo (SX ; ·) è abeliano se e solo se X possiede al pi` u due elementi. 3. Siano (S; ?) un monoide e V l’insieme degli elementi invertibili di S : (V ; ?) è un gruppo. 4. Il gruppo simmetrico. Per X = {1, 2, . . . , n} il gruppo (SX ; ·) viene indicato con Sn (o anche con Sym(n)) e viene chiamato gruppo simmetrico su n lettere. Il gruppo Sn ha ordine n! Per σ ∈ Sn si user` a una notazione del tipo : µ σ=

1 a1

2 a2

... ...

n an

¶

dove {a1 , a2 , . . . , an } è una permutazione di {1, 2, . . . , n} tale che σ(i) = ai per i = 1, . . . , n, oppure, pi` u spesso, una notazione del tipo σ = (b11 , b12 , . . . , b1r1 )(b21 , b22 , . . . , b2r2 ) . . . (bs1 , bs2 , . . . , bsrs )

(con s ≥ 1, ri ≥ 1, r1 + · · · + rs = n, bij = blk se e 1 ≤ j ≤ ri−1 e σ(biri ) = bi1 per i = 1. . . . , s. Se ri = 1 per qualche i (ovvero se σ(bi1 ) = bi1 ), termine (bi1 ). Ad esempio sia n = 8 e sia µ 1 2 3 4 σ= 5 6 1 4

(?)

solo se i = l, j = k), dove σ(bij ) = bi(j+1) per si omette in generale nella scrittura (?) il

5 3

6 8

7 2

8 7

¶ ;

si scriver` a σ = (1, 5, 3)(2, 6, 8, 7). Con questa convenzione di scrittura, i termini (1, 5, 3) e (2, 6, 8, 7) possono essere visti anche come elementi di S8 ; precisamente µ τ = (1, 5, 3) = ω = (2, 6, 8, 7) =

1 5 µ

2 2 1 1

3 1 2 6

4 4 3 3

5 3 4 4

6 6 5 5

7 7 6 8

8 8 7 2

¶ , 8 7

¶ ,

Si verifica che σ = τ · ω = ω · τ (prodotto di applicazioni). Ogni sostituzione del tipo (x1 , x2 , . . . , xr ) viene detta ciclo di lunghezza r. La (?) permette allora di dire che la sostituzione σ è “prodotto di cicli disgiunti” (e quindi a due a due permutabili) di lunghezze r1 , r2 , . . . , rs . Esercizio 1. Sia X un insieme con almeno due elementi; sia (SX ; ·) il gruppo costituito dalle applicazioni biiettive di X su X (rispetto al prodotto di applicazioni). I] Si mostri che il gruppo (SX ; ·) non è ridotto all’unità. 26

II] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’insieme X possiede esattamente due elementi; ii) il gruppo (SX ; ·) è abeliano; iii) esiste σ ∈ SX , σ 6= I (I applicazione identica) tale che στ = τ σ per ogni τ ∈ SX .

Per stabilire se (S; ?) è un gruppo può essere utile valersi del seguente criterio. Proposizione 4.2.1. Sia (S; ?) un semigruppo; (S; ?) è un gruppo se (e solo se) esiste in S un elemento neutro a destra e e per ogni s ∈ S esiste s0 ∈ S tale che s ? s0 = e ( s0 è inverso destro di s rispetto ad e). Analogo enunciato con “sinistro” al posto di “destro”. Per le Proposizioni 3.1.1 e 4.1.1 occorre (e basta) provare che per ogni s ∈ S è e ? s = s e s0 ? s = e. Da s ? s0 = e si deduce e ? (s ? s0 ) = e ? e = e e quindi, essendo ? associativa, (e ? s) ? s0 = e = s ? s0 Per ipotesi esiste s” ∈ S tale che s0 ? s” = e; allora [(e ? s) ? s0 ] ? s” = (s ? s0 ) ? s” e quindi (e ? s) ? (s0 ? s”) = s ? (s0 ? s”) (e ? s) ? e = s ? e e ? s = s. Ancora da s ? s0 = e si deduce s0 ? (s ? s0 ) = s0 ? e (s0 ? s) ? s0 = s0 0 [(s ? s) ? s0 ] ? s” = s0 ? s” (s0 ? s) ? (s0 ? s”) = e (s0 ? s) ? e = e s0 ? s = e

Proposizione 4.2.2. Sia (S; ?) un semigruppo; (S; ?) è un gruppo se e solo se per ogni a, b ∈ S esistono x, y ∈ S tali che a ? x = b e y ? a = b. Tali elementi x e y sono univocamente determinati. Sia (S; ?) un gruppo; per ogni a, b ∈ S, indicato con a0 l’inverso di a in S, è a ? (a0 ? b) = (a ? a0 ) ? b = e ? b = b (b ? a0 ) ? a = b ? (a0 ? a) = b ? e = b; pertanto esistono x = a0 ? b e y = b ? a0 tali che a ? x = b e y ? a = b. Mostriamo che x è univocamente determinato. Sia x ∈ S tale che a ? x = b; si deduce a0 ? (a ? x) = a0 ? b (a0 ? a) ? x = a0 ? b e ? x = a0 ? b x = a0 ? b. Analogo ragionamento per y. Viceversa, sia (S; ?) un semigruppo in cui per ogni a, b ∈ S esistono x, y ∈ S tali che a ? x = b e y ? a = b. Scelto a ∈ S, esiste e ∈ S tale che a ? e = a; per ogni s ∈ S esiste y ∈ S tale che y ? a = s. Si deduce y ? (a ? e) = y ? a (y ? a) ? e = y ? a s ? e = s; ci` o prova che e è elemento neutro a destra. Per ogni s ∈ S esiste x ∈ S tale che s ? x = e; x è inverso destro di s. Per la Proposizione 4.2.1 (S; ?) è un gruppo. Esercizio 2. Sia (S; ?) un semigruppo; (S; ?) è un gruppo se possiede uno ed un solo elemento neutro a destra e e per ogni s ∈ S esiste un inverso sinistro s0 ∈ S. (Suggerimento: si osservi che, se s” ? s0 = e, 27

allora e ? (s ? s0 ) = (s” ? s0 ) ? (s ? s0 ) = e.)

E’ importante segnalare la seguente proprietà dei gruppi. Proposizione 4.2.3. In un gruppo (G; ?) valgono le leggi di cancellazione o semplificazione, ovvero per a, b, c ∈ G se a ? c = b ? c o se c ? a = c ? b, allora a = b. Sia a ? c = b ? c; detto c0 l’inverso di c in G, si ha (a ? c) ? c0 = (b ? c) ? c0 a ? (c ? c0 ) = b ? (c ? c0 ) a?e=b?e a = b.

Consideriamo gli Esempi dati in 1.1 e osserviamo che: i) nel monoide (N0 ; +) valgono le leggi di cancellazione, ma il monoide non è un gruppo; ii) in 2 e in 3 non valgono le leggi di cancellazione; iii) in 4 e in 5 valgono le leggi di cancellazione, ma non si tratta di gruppi. Esercizio 3. Ogni semigruppo finito, in cui valgono le leggi di cancellazione, è un gruppo. Esercizio 4. L’insieme delle applicazioni iniettive (o suriettive) di un insieme X in sé è un monoide rispetto al prodotto di applicazioni; è un gruppo? Valgono in questo monoide le leggi di cancellazione?

4.3. Sottogruppi di un gruppo. Definizione. Sottogruppo di un gruppo (G; ·) è un sottoinsieme non vuoto di G, che è gruppo rispetto all’operazione definita in G. I sottoinsiemi {1G } e G di un gruppo (G; ·) sono sottogruppi, che vengono detti impropri; il sottogruppo {1G } viene anche detto sottogruppo banale. Per indicare che un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo di G, si usa scrivere (H; ·) ≤ (G; ·) o pi´ u brevemente H ≤ G. Esempi. 1. (Z; +)≤ (Q; +)≤ (R; +)≤ (C; +). 2. Fissato n ∈ Z l’insieme Hn = {kn | k ∈ Z } è un sottogruppo del gruppo (Z; +). 3. L’insieme Σ delle similitudini sulla retta reale (ovvero delle applicazioni σa,b : R → R con a, b ∈ R, a 6= 0 definite da σa,b (x) = ax + b per ogni x ∈ R), l’insieme T delle traslazioni ( ovvero delle applicazioni σ1,b definite da σ1,b (x) = x + b per ogni x ∈ R), l’insieme Ω delle omotetie (ovvero delle applicazioni σa,0 definite da σa,0 (x) = ax per ogni x ∈ R) sono sottogruppi del gruppo SR costituito da tutte le applicazioni biiettive della retta reale in sé; inoltre Ω ≤ Σ e T ≤ Σ. 4. Il gruppo alterno. Si è visto in 4.2 Esempio 4 che ogni sostituzione su n lettere pu` o essere scritta come prodotto di cicli. Osserviamo per` o che ogni ciclo pu` o essere scritto come prodotto di scambi (o trasposizioni): (a1 , a2 , a3 , . . . , ar ) = (a1 , a2 )(a1 , a3 ) · · · (a1 ar ) :

ne segue che ogni sostituzione pu` o essere scritta come prodotto di scambi. Ad esempio, sar` a σ = (1, 5, 3)(2, 6, 8, 7) = (1, 5)(1, 3)(2, 6)(2, 8)(2, 7);

si osservi per` o che è anche σ = (1, 5)(3, 5)(1, 3)(1, 5))(2, 8)(2, 6)(6, 8))(2, 8)(2, 7).

Non è dunque unica la decomposizione di una sostituzione in prodotto di scambi. Si pu` o tuttavia dimostrare che è univocamente determinata la parit` a del numero degli scambi di cui una sostituzione è prodotto. 28

Ci` o giustifica la definizione che segue. Definizione. Una sostituzione σ ∈ Sn viene detta pari (o dispari) se pu` o essere decomposta in prodotto di un numero pari (rispettivamente, dispari) di scambi. ` facile verificare che l’insieme delle sostituzioni pari su n lettere è un sottogruppo del E gruppo simmetrico Sn , che viene detto sottogruppo alterno e indicato con An o con Alt(n); è |An | = n!2 . 5. Si chiama gruppo di trasformazioni su un insieme X un qualunque sottogruppo del gruppo SX costituito dalle applicazioni biiettive di un insieme X su se stesso rispetto al prodotto di applicazioni.(cfr.4.2 Esempio 2.) In questa accezione i sottogruppi Σ, T, Ω presentati nell’Esempio 3 vengono detti “gruppo delle similitudini”, “ gruppo delle traslazioni”, “gruppo delle omotetie”. Proposizione 4.3.1. Se H è un sottogruppo di un gruppo (G; ·), l’unità di H coincide con l’unità di G e l’inverso in H di un elemento h ∈ H coincide con l’inverso di h in G. Siano 1H e 1G rispettivamente l’unità di H e l’unità di G; per ogni h ∈ H è 1H h = 1G h = h e quindi 1H = 1G per la Proposizione 4.4.5. −1 −1 −1 Siano rispettivamente h−1 H e hG l’inverso di h in H e in G; da hH h = 1H = 1G = hG h −1 −1 segue hH = hG .

Proposizione 4.3.2. i) Un sottoinsieme H di un gruppo (G; ·) è un sottogruppo di G se (e solo se) per ogni h1 , h2 ∈ H si ha h1 h2 ∈ H e h−1 1 ∈ H. ii) Un sottoinsieme H di un gruppo (G; ·) è un sottogruppo di G se (e solo se) per ogni h1 , h2 ∈ H si ha h1 h−1 2 ∈ H. iii) Un sottoinsieme finito H di un gruppo (G; ·) è un sottogruppo di G se (e solo se) per ogni h1 , h2 ∈ H si ha h1 h2 ∈ H . i) Dall’ipotesi segue 1G = h−1 h ∈ H. ii) Per h1 = h2 ∈ H si deduce 1G ∈ H. Per ogni h ∈ H scegliendo h1 = 1G e h2 = h si deduce h−1 ∈ H. Per ogni h, k ∈ H scegliendo h1 = h e h2 = k −1 si deduce hk = h(k −1 )−1 ∈ H. iii) Sia h ∈ H; l’insieme {hr | r ∈ N} è contenuto in H ed è pertanto finito. Esistono allora due interi positivi r e s tali che hr = hr+s = hr hs ; ne segue 1G = hs ∈ H e h−1 = hs−1 ∈ H. Esercizio 1. Sia n un intero tale che n = rs con 1 < r < n (r, s interi). Si mostri che l’insieme H = {[rk]n | k ∈ Z } è un sottogruppo di ordine s del gruppo (Zn ; +). Esercizio 2. Sia (G; ·) un gruppo. 1) Se H è un sottogruppo di G, CG (H) = { x ∈ G | xh = hx per ogni h ∈ H} è un sottogruppo di G detto centralizzante di H in G. In particolare il centralizzante di G in G viene detto centro di G e indicato con Z(G). 2) Per a ∈ G CG (a) = { x ∈ G | xa = ax} è un sottogruppo di G detto centralizzante di a in G. Esercizio 3. In G =R\{−1} si consideri l’operazione ? definita da a ? b = ab + a + b per ogni a, b ∈ G. Si provi che I) (G; ?) è un gruppo; II) H = {h ∈ G | h > −1} è un sottogruppo di (G; ?); III) K = {k ∈ G | − 2 < k ≤ 0} è un insieme chiuso rispetto alla ?, ma non è un sottogruppo di (G; ?); IV) L = {0, −2} è sottogruppo di (G; ?). Esercizio 4. Sia (G; ·) un gruppo; sia a ∈ G. Si provi che l’insieme H = {an | n ∈ Z } è un sottogruppo di (G; ·). (cfr. Esempio 2.)

Proposizione T 4.3.3. Sia {Hi }i∈I una famiglia non vuota di sottogruppi di un gruppo (G; ·): l’insieme i∈I Hi ` e un sottogruppo di G. T L’insieme T i∈I Hi è un sottosemigruppo di G per la Proposizione 2.3.1. T Se x ∈ i∈I Hi , x ∈ Hi per ogni i ∈ I; allora x−1 ∈ Hi per ogni i ∈ I e quindi x−1 ∈ i∈I Hi . 29

5 5.1. Propriet` a distributiva. Definizione. Sia (S; ?, ◦) una struttura algebrica in cui sono definite due operazioni; si dice che vale la propriet` a distributiva a sinistra di ◦ rispetto a ? se e solo se per ogni a, b, c ∈ S per cui sono definiti b ? c e a ◦ (b ? c), sono definiti anche a ◦ b, a ◦ c, (a ◦ b) ? (a ◦ c) ed ` e a ◦ (b ? c) = (a ◦ b) ? (a ◦ c)

In modo analogo si enuncia la proprietà distributiva a destra. ((b ? c)◦ a = (b ◦ a) ? (c ◦ a).) Esempi. 1. In (N ; +, ·), (Q ; +, ·), (R ; +, ·), (C ; +, ·) valgono le propriet` a distributive (a destra e a sinistra) della moltiplicazione rispetto all’addizione, ma non quelle dell’addizione rispetto alla moltiplicazione. 2. In (N0 ; ?, ◦), con ? e ◦ definite come in 1.1 Esempi 2 e 3, valgono le propriet` a distributive di ognuna delle due operazioni rispetto all’altra. 3. Nell’insieme M delle applicazioni di N in N definiamo un’operazione ¦ ponendo per f, g ∈ M e per ogni n ∈ N f ¦ g : n → f (n) + g(n). Il prodotto di applicazioni è distributivo a sinistra rispetto all’operazione ¦, ma non a destra. Quando in un insieme S sono definite due leggi di composizione (e soprattutto quando una delle due è distributiva rispetto all’altra) si usa indicarle con i simboli · e +, anche se S non ha nulla a che vedere con gli abituali insiemi numerici e, di conseguenza, · e + non sono le abituali operazioni di moltiplicazione e addizione. 5.2. Anelli, corpi, campi. Definizione. Si chiama anello una struttura algebrica (A; +, ·) che soddisfa alle seguenti condizioni: i) (A; +) è un gruppo abeliano; ii) (A; ·) è un semigruppo; iii) valgono le proprietà distributive a destra e a sinistra di · rispetto a +. Se l’operazione · (che verr` a detta “prodotto”) è commutativa, si dice che l’anello è commutativo. L’elemento neutro del gruppo (A; +) viene indicato con 0 o con 0A e detto zero; l’inverso di a ∈ A rispetto all’operazione + (che verr` a detta “somma”) viene indicato con −a e detto opposto di a. La potenza n-esima di a ∈ A rispetto alla “somma” viene indicata con na. Si usa scrivere a − b al posto di a + (−b). Proposizione 5.2.1. Sia (A; +, ·) un anello; valgono le seguenti proprietà: i) a·0 = 0·a = 0 per ogni a ∈ A; ii) a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) per ogni a, b ∈ A; iii) a · (b − c) = (a · b) − (a · c) e (b − c) · a = (b · a) − (c · a) per ogni a, b, c ∈ A; iv) n(a · b) = (na) · b = a · (nb) per ogni a, b ∈ A e per ogni n ¡∈ ¢Z; P n i n−i v) se a, b ∈ A e a · b = b · a, allora (a + b)n = an + bn + n−1 per ogni n ∈ N. i=1 i a b i) Per ogni b ∈ A si ha a · b = a · (b+0)=a · b + a·0; da a · b = a · b + a·0 segue a·0=0 poichè (A; +) è un gruppo. ` a · b + a · (−b) = a · [b + (−b)] = a·0=0; da a · b + a · (−b) =0 segue a · (−b) = −(a · b). ii)E iii)a · (b − c) = a · [b + (−c)] = a · b + a · (−c) = a · b + [−(a · c)] = a · b − a · c. iv) Proviamo che (na) · b = n(a · b). Per n = 0 è (0a) · b =0·b =0=0(a · b). 30

Per n > 0 per induzione si deduce (na) · b = [(n − 1)a + a] · b = [(n − 1)a] · b + a · b = = (n − 1)(a · b) + (a · b) = n(a · b). Per n = −1 la tesi segue da ii). Per n < −1, posto n = (−1)n0 con n0 > 0, si ha (na) · b = [−(n0 a)] · b = −[(n0 a) · b] = = −[n0 (a · b)] = n(a · b). v) Induzione su n. Esercizio 1. In un anello (A; +, ·) può esistere qualche elemento z 6=0 tale che sia a · z = z · a = z per ogni a ∈ A?

Se esiste in (A; +, ·) un elemento neutro rispetto al prodotto, esso viene detto unit` a dell’anello e viene spesso indicato con 1A o anche semplicemente con 1; se l’anello possiede almeno due elementi, l’unità (quando esiste) è diversa dallo zero 0 dell’anello. Se l’anello A possiede unità e un elemento a ∈ A ammette inverso rispetto al prodotto, l’elemento a viene detto unitario o invertibile e il suo inverso viene indicato con a−1 . Esercizio 2. In un anello dotato di unità l’insieme degli elementi unitari è un gruppo rispetto al prodotto. (cfr. 4.2 Esempio 3)

Esempi. 1. (Z; +, ·), (Q; +, ·), (R; +, ·), (C; +, ·) sono anelli commutativi, dotati di unit` a, rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione dell’Algebra classica. 2. (RR ; +, ?) è un anello commutativo, dotato di unit` a, rispetto alle operazioni + e ? cos´ı definite: f + g : x → f (x) + g(x) f ? g : x → f (x)g(x)

dove la somma e il prodotto scritti alla destra delle frecce indicano le usuali operazioni in R. Un elemento f è unitario se e solo se f (x) 6= 0 per ogni x ∈ R. Si osservi che (RR ; +, ·) (dove · indica il prodotto di applicazioni definito in III, 1.2) non è un anello! 3. L’insieme dei “vettori” dello spazio è un anello rispetto alla “somma di vettori” e al “prodotto vettoriale”? 4. Sia µ ¶ n o Mat2 (Q) = α = a11 a12 | aij ∈ Q ; a21

a22

definiamo in Mat2 (Qµ) una “somma” ponendo ¶ µ e un “prodotto” ¶ µ µ

a11 a21

a11 a12 b11 b12 a11 + b11 + = a21 ¶ a22 b b a 21¶ 22 21 + b21 µ µ a12 b11 b12 a11 b11 + a12 b21 · = a22 b21 b22 a21 b11 + a22 b21

¶ a12 + b12 a22 + b22 ¶ a11 b12 + a12 b22 a21 b12 + a22 b22

(Mat2 (Q ); +, ·) è un anello non commutativo, dotato di unit` a. L’elemento α è unitario se e solo se è a11 a22 6= a12 a21 . L’anello Mat2 (Q) viene detto anello delle matrici di ordine 2 ad elementi razionali. Il gruppo moltiplicativo degli elementi unitari dell’anello Mat2 (Q ) viene detto gruppo generale lineare di grado 2 su Q e viene indicato con GL(2,Q). Allo stesso modo si definiscono gli anelli Mat2 (Z), Mat2 (R), Mat2 (C) e pi´ u in generale Mat2 (A), dove (A; +, ·) è un qualsiasi anello commutativo. Definizione. Si chiama corpo un anello (K; +, ·) (non ridotto al solo zero) in cui l’insieme degli elementi diversi dallo zero 0 è un gruppo rispetto al prodotto definito nell’anello. Un corpo commutativo viene detto campo. 31

Proposizione 5.2.2. Un anello (A; +, ·) (non ridotto al solo zero) è un corpo se e solo se possiede unità e ogni elemento diverso da 0 è unitario. Sia a · b =0 con a, b ∈ A; supposto a 6=0, esiste a−1 ∈ A e quindi b = 1A · b = (a−1 · a) · b = a−1 · (a · b) = a−1 ·0=0. Ne segue che (A\{0}; ·) è un gruppo.

Tra gli Esempi dati sopra solo (Q; +, ·), (R; +, ·), (C; +, ·) sono corpi, anzi campi. Esercizio 3. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità sinistra e tale che ogni elemento diverso dallo zero ammette inverso sinistro; si provi che l’anello A è un corpo.

Sussiste il seguente Teorema, di cui omettiamo la dimostrazione. Teorema di Wedderburn. Ogni corpo finito è commutativo. Esercizio 4. Si consideri l’insieme H delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi in C del tipo ¶ µ α β −β α dove α indica il complesso coniugato di α. Rispetto alla somma e al prodotto definiti come nell’Esempio 4, H è un corpo non commutativo, noto come corpo dei quaternioni di Hamilton (1805-1865). Esercizio 5. Sia (K; +, ·) un campo; siano a, b, c, d ∈ K con b 6= 0 e d 6= 0. Si provi che valgono

le uguaglianze

ab−1 + cd−1 = (ad + bc)(bd)−1 (ab−1 )(cd−1 ) = (ac)(bd)−1 .

(Si noti che scrivendo

a b

al posto di ab−1 le uguaglianze diventano a c ad+bc b + d = bc a c ac b · d = bd ben note regole di calcolo frazionario.)

Osservazione. In un anello (A; +, ·) può essere a · b =0 (con a, b ∈ A) anche se è a 6=0 e b 6=0. Consideriamo l’Esempio 2 dato sopra. Lo zero dell’anello (RR ; +, ?) è l’applicazione z : R→R tale che z(x) = 0 per ogni x ∈ R. Siano f, g : R→R definite come segue: ½ f (x) = ½ g(x) =

1, 0,

per x = 0, per x = 6 0;

1, 0,

per x = 2, per x = 6 2;

E’ f ? g = z con f 6= z e g 6= z . Definizione. Sia (A; +, ·) un anello; un elemento a ∈ A viene detto divisore dello zero se è a 6=0 ed esiste b ∈ A, b 6=0 tale che a · b = 0 o b · a = 0. Ovviamente ogni corpo è privo di divisori dello zero; (Z; +, ·) è un anello privo di divisori dello zero, ma non è corpo. Definizione. Si dice che in un anello (A; +, ·) valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto se e solo se per a, b, c ∈ A con a 6=0 da a · b = a · c segue b = c e da b · a = c · a segue b = c. Proposizione 5.2.3. Un anello (A; +, ·) è privo di divisori dello zero se e solo se in esso valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto. Sia (A; +, ·) privo di divisori dello zero; siano a, b, c ∈ A tali che a · b = a · c con a 6=0. Si ha 0=(a · b) − (a · c) = a · (b − c) e quindi 0=b − c ovvero b = c. Viceversa valgano in (A; +, ·) le leggi di cancellazione rispetto al prodotto; siano a, b ∈ A tali che a · b =0. Se a 6=0, da a · b = a·0 si deduce b =0.

Proposizione 5.2.4. Ogni anello finito, non ridotto al solo zero e privo di divisori dello zero, è un corpo. (cfr. anche Esercizio 3 in 4.2). 32

Sia (A; +, ·) un anello finito, privo di divisori dello zero; se 06= a ∈ A, per ogni n ∈ N è an 6=0 e l’insieme {an |n ∈ N } è finito. Esistono pertanto due interi positivi s, t tali che as = as+t = as · at = at · as . Per ogni b ∈ A si ha allora as · b = as · at · b e b · as = b · at · as ; essendo as 6=0, si deduce b = at · b = b · at e pertanto at è unità dell’anello A. L’elemento a ammette allora come inverso at−1 (che coincide con a per t = 1). Per la Proposizione 5.2.2 (A; +, ·) è un corpo. Esercizio 6. Si mostri che l’anello (Mat2 (A); +, ·) possiede divisori dello zero. ? Esercizio 7. Sia A un anello dotato di unità. 1) Si mostri che nessun elemento unitario è divisore dello zero. 2) Si provi che se A è finito, i divisori dello zero sono tutti e soli gli elementi non unitari, diversi dallo zero. 3) Se A =Mat2 (Q) o se A =Mat2 (Z) esistono elementi non unitari, diversi dallo zero, che non sono divisori dello zero?

Un anello commutativo, privo di divisori dello zero, viene detto dominio d’integrit` a. Definizione. Un anello (A; +, ·), tale che sia a · b =0 per ogni a, b ∈ A, viene detto zeroanello. Ogni gruppo abeliano G pu` o essere visto come zero-anello, assumendo come “somma” la legge di composizione definita in G e definendo il “prodotto” con a · b =0 per ogni a, b ∈ G (dove 0 indica l’elemento neutro di G). 5.3. Sottoanelli, sottocorpi. Definizione. Sottoanello di un anello (A; +, ·) è un sottoinsieme H di A, che è un anello rispetto alla somma e al prodotto definiti in A. Scriveremo (H; +, ·) ≤ (A; +, ·). Un sottoanello H di un anello (A; +, ·) è dunque un sottogruppo del gruppo additivo (A; +), che è anche sottosemigruppo del semigruppo (A; ·). Pertanto un sottoinsieme H di un anello (A; +, ·) è un sottoanello se e solo se per ogni h1 , h2 ∈ H si ha h1 − h2 ∈ H e h1 h2 ∈ H . I sottoinsiemi {0} e A di un anello (A; +, ·) sono sottoanelli (detti “impropri”) di A. Esempi. 1. Fissato n ∈Z, l’insieme Hn = {kn | k ∈Z} è un sottoanello dell’anello (Z; + ·). 2. (Z; +, ·) è un sottoanello di (Q;+, ·), che è a sua volta sottoanello di (R; +, ·). Se H è un sottoanello di un anello A, il fatto che H possieda unità è indipendente dal fatto che la possieda A; anche nel caso che entrambi possiedano unità, le due unità possono coincidere o essere diverse. Esempio 3. Nell’anello (Mat2 (Z), +, ½ µ·) si considerino ¶ ¾il sottoanello 2a 0 ½µ b B= 0

A=

e il sottoanello

b 0

| a, b ∈ Z

¶ ¾ 0 |b ∈Z ; 0 Mat2 (Z) possiede unit` a, A non la possiede e B possiede unit` a diversa dall’unit` a di Mat2 (Z).

Un sottoanello di un anello (A; +, ·), che sia corpo rispetto alla somma e al prodotto definiti in A, viene detto sottocorpo. Se A è un corpo, un suo sottoanello H può non essere sottocorpo, ad esempio A =Q e H =Z. Anche se A non è un corpo, un suo sottoanello può essere corpo; ad esempio nell’anello Mat2 (Q) il sottoanello 33

½µ C=

a 0

0 a

¶

¾ |a ∈Q

è un sottocorpo. Esercizio 1. Sia k ∈ R fisso. Sia

½µ

¶ ¾ a + kb b A= | a, b ∈ R −b a I] Si verifichi che A è un sottoanello commutativo dell’anello (Mat2 (R);+,·). II] Si determinino i valori di k per i quali l’anello (A; +, ·) è un sottocampo di (Mat2 (R);+,·). III] Si mostri che l’ anello (A; +, ·) è un campo se e solo se è privo di divisori dello zero.

Se (K; +, ·) è un corpo, un suo sottoinsieme H è sottocorpo se e solo se (H; +) è sottogruppo del gruppo additivo (K; +) e (H\{0}; ·) è un sottogruppo del gruppo (K\{0}; ·). Pertanto se H è un sottocorpo di un corpo K , ad H appartengono l’unità di K e l’inverso (in K ) di ogni elemento non nullo di H . Proposizione 5.3.1. 1) Se e una famiglia non vuota di sottoanelli di un anello (A; +, ·), il sottoinsieme T {Hi }i∈I ` H ` e un sottoanello di A. i i∈I T 2) Se {Hi }i∈I è una famiglia di sottocorpi di un corpo (K; +, ·), il sottoinsieme i∈I Hi è un sottocorpo di K . Corollario 5.3.2. L’intersezione di tutti i sottocorpi di un corpo (K; +, ·) è un sottocorpo K0 , che viene detto sottocorpo minimo di K ; esso ` e infatti minimo nella famiglia dei sottocorpi di K , ordinata rispetto all’inclusione insiemistica. 5.4. L’anello (Zn ; +, ·) delle classi di resti mod n. In II.2.2 sono state introdotte la congruenza e le classi di resti modulo n in Z e si è mostrato che la congruenza modulo n è compatibile con la somma e il prodotto definiti in Z (cfr. Proposizione II.2.2.1); da ciò segue Proposizione 5.4.1. 1) Sono “ben definite” in Zn le seguenti leggi di composizione di “somma” e “prodotto”: [a]n + [b]n = [a + b]n [a]n · [b]n = [ab]n

2) (Zn , +, ·) è un anello commutativo, dotato di unità. 3) Un elemento [a]n ∈ Zn è unitario se e solo se è M.C.D.(a, n) = 1. 1) Se [a]n = [a0 ]n e [b]n = [b0 ]n , allora [a + b]n = [a0 + b0 ]n e [ab]n = [a0 b0 ]n . 2) [1]n è l’unità dell’anello. 3) [a]n è unitario in (Zn ; +, ·) se e solo se esiste [b]n ∈ Zn tale che [a]n · [b]n = [1]n ovvero se e solo se esiste b ∈ Z tale che ab ≡ 1 (mod n). La tesi segue da II.2.2 Esercizio 2.

Applicazione. La prova del 9, la prova dell’11. Proposizione 5.4.2. Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (Zn , +, ·) è un campo; ii) (Zn , +, ·) è privo di divisori dello zero; iii) n è un numero primo. i) ⇒ ii): ovvio. ii) ⇒ iii): se n non fosse primo, sarebbe n = rs con r, s ∈ N, 1 < r < n, 1 < s < n; allora [r]n · [s]n = [0]n con [r]n 6= [0]n e [s]n 6= [0]n . iii) ⇒ i): se [a]n 6= [0]n , n non divide a; essendo n primo, è 1=M.C.D.(n, a) e quindi [a]n è unitario in (Zn ; +, ·).

Per ogni numero primo p esiste dunque un campo finito di ordine p, precisamente (Zp , +, ·). 34

Esercizio 1. Nell’anello (Zn ; +, ·) esiste qualche elemento [a]n 6= [0]n tale che [a]2n = [0]n se e solo se esiste qualche primo p tale che p2 divide n. Esercizio 2. Sia n un intero tale che n = rs con 1 < r < n (r, s interi). 1) L’insieme H = {[rk]n | k ∈ Z } è un sottoanello dell’anello (Zn ; +, ·) di ordine s. 2) L’anello (H; +, ·) possiede unità se e solo se è M.C.D.(r, s) = 1; in tal caso l’unità di (H; +, ·) è diversa dall’unità di (Zn ; +, ·). 3) H è un sottocorpo di Zn se e solo se s è un numero primo che non divide r. Esercizio 3. Siano n ∈ N con n ≥ 2 e k ∈ N con 1 ≤ k < n. Si definisca in Zn un’operazione ? ponendo per ogni [a]n , [b]n ∈ Zn [a]n ? [b]n = [kab]n I] Si verifichi che (Zn ; +, ?) è un anello, non zero-anello. II] Si provi che l’anello (Zn ; +, ?) possiede unità se e solo se è M.C.D.(k, n) = 1. III] Si provi che se è M.C.D.(k, n) 6= 1, ogni elemento non nullo dell’anello (Zn ; +, ?) è un divisore dello zero.

5.5. Anelli di polinomi. L’anello K[x]: divisibilit` a e fattorizzazione. Radici. L’Algebra classica ci offre altri esempi notevoli di anelli: gli anelli di polinomi in una o pi` u indeterminate a coefficienti interi, razionali, reali, complessi. Vogliamo ritrovare questi anelli come caso particolare di anelli di polinomi su un anello (A; +, ·). Sia P l’insieme delle successioni α = (a0 , a1 , a2 , . . .) di elementi di A per le quali esiste un intero n tale che an+t = 0A per ogni t > 0; chiameremo polinomio una successione cosiffatta. Per ogni polinomio α, diverso dal polinomio “zero” 0=(0A , 0A , 0A , . . .), si definisce il grado come l’intero n tale che an 6= 0A e an+t = 0A per ogni t > 0; an viene detto coefficiente direttivo del polinomio. Definiamo in P un’operazione di “somma” e un’operazione di “prodotto” come segue. Siano α = (a0 , a1 , a2 , . . .) e β = (b0 , b1 , b2 , . . .) due polinomi con an+t = bm+t = 0A per ogni t > 0. Poniamo α + β = (c0 , c1 , c2 , . . .) con ciP = ai + bi per ogni i ≥ 0, α · β = (d0 , d1 , d2 , . . .) con di = j+l=i aj bl per ogni i ≥ 0; posto r=max{n, m}, è cr+t = 0A e dn+m+t = 0A per ogni t > 0 e pertanto α + β e α · β appartengono a P . Si verifica che P , rispetto alla somma e al prodotto cos`ı definiti, è un anello, che viene detto anello di polinomi sull’anello A. Tra gli elementi non nulli di P esistono i polinomi (a0 , a1 , . . .) tali che ai = 0 per ogni indice i diverso da un dato n; indicheremo un polinomio cosiffatto con an ×n . E’ immediato che per α = (a0 , a1 , . . . , an , 0A , 0A , . . .) ∈ P si ha α = a0 ×0 +a1 ×1 + · · · + an ×n , dove + indica la somma di polinomi sopra definita. Ad esempio per A=Z e α = (2, −3, 0, 1, 0, 4, 0, 0, 0, . . .) sarà α = 2 ×0 +(−3) ×1 +1 ×3 +4×5 . La notazione “algebrica” cos`ı introdotta per i polinomi giustifica il fatto che l’anello di polinomi su un anello A venga indicato con A[×] e detto anello di polinomi con coefficienti in A. Si verifica che se α = a×n e β = b×m , allora αβ = ab×n+m . Questo consente, scritti i polinomi nella forma algebrica, di calcolarne somma e prodotto nel modo in cui nell’Algebra classica si calcolano somma e prodotto di polinomi a coefficienti interi, razionali, reali. Osservazione. L’insieme costituito dallo zero e dai polinomi di grado zero di A[x] è un sottoanello di (A[x]; +, ·): posto a = a×0 = (a, 0A , 0A , . . .) per ogni a ∈ A, è a + b = a + b e a · b = a · b. Non nascono pertanto equivoci se si scrive semplicemente a al posto di a. (Questo discorso verr` a meglio precisato in seguito, cfr.8.1 Esempio 8.) 35

Si verifica facilmente la Proposizione che segue. Proposizione 5.5.1. Sia (A; +, ·) un anello; i) l’anello di polinomi A[×] è commutativo se e solo se è commutativo l’anello A dei coefficienti; ii) l’anello A[×] possiede unità se e solo se l’anello A possiede unità; iii) l’anello A[×] è privo di divisori dello zero se e solo se l’anello A è privo di divisori dello zero. Supponiamo ora che l’anello (A; +, ·) possieda unit` a, che indicheremo con 1; il polinomio (1, 0A , 0A , . . .) è unità di A[×]. Sar` a 1×1 = (0A , 1, 0A , 0A , . . .) e quindi 1×n = (1×1 )n per ogni n ≥ 0; posto inoltre a = a×0 per ogni a ∈ A, è a×n = a · (1×1 )n . Se si conviene allora di scrivere semplicemente × al posto di 1×1 e quindi ×n al posto di (1×1 )n , si può scrivere α(×) = a0 ×0 +a1 ×1 + · · · + an ×n = a0 + a1 · × + · · · + an · ×n , dove nell’ultimo termine i segni + e · indicano somma e prodotto di polinomi. Pertanto, scrivendo semplicemente a al posto di a, ogni polinomio assume la forma α(×) = a0 + a1 × +a2 ×2 + · · · + an ×n .

Ogni polinomio α(×) individua una applicazione α˜ : A → A, detta funzione polinomiale destra definita da α ˜ (k) = a0 + a1 k + a2 k 2 + · · · + an k n per ogni k ∈ A e una funzione polinomiale sinistra α˜˜ : A → A definita da ˜˜ α(k) = a0 + ka1 + k 2 a2 + · · · + k n an per ogni k ∈ A (dove + e · indicano la somma e il prodotto in A). Se l’anello (A; +, ·) è commutativo, le due funzioni polinomiali coincidono; in tal caso è entrato nell’uso valersi dello stesso simbolo α(x) per indicare un polinomio e la relativa funzione polinomiale (si deve però usare una certa cautela poiché a polinomi diversi può corrispondere la stessa funzione polinomiale: ad esempio per A =Zp , α(x) = x , β(x) = xp si ha α˜ = β˜ per II Teorema 2.2.3) e indicare con A[x] l’anello di polinomi a coefficienti in A. Esercizio 1. Siano α(×), β(×) due polinomi di A[×]; siano σ(×) = α(×) + β(×) e π(×) = α(×)β(×) la loro somma e il loro prodotto in A[×]. Si mostri che ˜ i] per ogni k ∈ A è σ ˜ (k) = α ˜ (k) + β(k); ˜ ii] se A è commutativo, è π ˜ (k) = α ˜ (k)β(k); ˜ iii] se A non è commutativo, può essere π ˜ (k) 6= α ˜ (k)β(k). Esercizio 2. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità; sia D l’insieme costituito dallo zero e dai divisori dello zero di A. Si provi che, se il polinomio f (x) = kn xn + · · · + k0 ∈ A[x] è un divisore dello zero nell’anello di polinomi A[x], allora kn , k0 ∈ D. Si determinino a, b ∈ Z6 tali che il polinomio f (x) = ax + b ∈ Z6 [x] sia un divisore dello zero nell’anello Z6 [x]. Un polinomio f (x) = ax + b ∈ Z6 [x] può essere unitario nell’anello Z6 [x]?

L’anello di polinomi su un campo: algoritmo della divisione e fattorizzazione. Se (K; +, ·) è un campo, l’anello di polinomi K[x] gode di proprietà analoghe a quelle viste all’inizio per l’anello Z degli interi relativi. Qui cominciamo a vederne alcune. Osservazione 5.5.2. Siano (A; +, ·) un anello dotato di unità e α(×), β(×) ∈ A[×]; se il coefficiente direttivo di almeno uno dei due polinomi non è un divisore dello zero di A (o addirittura è un elemento unitario di A), è deg (α(×)β(×)) =deg α(×)+deg β(×) (dove deg α(×) indica il grado di α(×)). Proposizione 5.5.3. Siano (A; +, ·) un anello dotato di unità e β(×) un polinomio di A[x] non nullo, con coefficiente direttivo unitario; per ogni α(×) ∈ A[×] esistono e sono univocamente determinati q(×), r(×) ∈ A[×] tali che 36

α(×) = β(×)q(×) + r(×) e r(×) = 0 oppure deg r(×)
In modo analogo si definiscono il quoziente e il resto a destra. Corollario 5.5.4. Se (K; +, ·) è un campo e β(x) è un polinomio non nullo di K[x], per ogni α(x) ∈ K[x] esistono e sono univocamente determinati il quoziente e il resto della divisione di α(x) per β(x). Definizione. Siano α(×), β(×) ∈ A[×]; si dice che α(×) è divisibile a sinistra (o a destra) per β(×) se esiste γ(×) ∈ A[×] tale che α(×) = β(×)γ(×) ( o α(×) = γ(×)β(×)). Definizione. Sia (K; +, ·) un campo; si chiama massimo comun divisore in K[x] di due polinomi α(x), β(x) ∈ K[x] un polinomio d(x) ∈ K[x] tale che 1) d(x) divide α(x) e β(x); 2) se un polinomio c(x) ∈ K[x] divide α(x) e β(x), allora c(x) divide d(x). Scriveremo che d(x) è M.C.D.(α(x), β(x)). Se α(x) = β(x) =0, il polinomio 0 è loro massimo comun divisore. Proposizione 5.5.5. i) Per ogni α(x), β(x) ∈ K[x] non entrambi nulli esiste in K[x] un loro massimo comun divisore, che si può determinare con l’algoritmo euclideo delle divisioni successive; ii) se d(x) è M.C.D.(α(x), β(x)) in K[x], tutti e soli i polinomi kd(x) con k ∈ K\{0} sono M.C.D.(α(x), β(x)); iii) se d(x) è M.C.D.(α(x), β(x)) in K[x], esistono f (x), g(x) ∈ K[x] tali che d(x) = α(x)f (x) + β(x)g(x). La dimostrazione è analoga a quella di I Teorema 3.1.3.

Definizione. Due polinomi non entrambi nulli α(x), β(x) ∈ K[x] vengono detti primi fra loro o coprimi se l’unità di K è loro massimo comun divisore, ovvero (per la Proposizione 5.5.5) se esistono f (x), g(x) ∈ K[x] tali che α(x)f (x) + β(x)g(x) = 1K . Esercizio 3. 1) Sia (K; +, ·) un campo e siano α1 (x), α2 (x) ∈ K[x] non nulli; si provi che α1 (x) e α2 (x) non sono coprimi se e solo se esistono β1 (x), β2 (x) ∈ K[x] non nulli con deg β1 (x) < deg α1 (x), deg β2 (x) < deg α2 (x), tali che α1 (x)β2 (x) = α2 (x)β1 (x). 2) Si considerino i polinomi x3 + 2x2 + 1 ∈ Zp [x] e x3 + x − 2 ∈ Zp [x] (p primo); si determinino i valori di p per i quali i due polinomi non sono coprimi. Esercizio 4. Sia (K; +, ·) un campo; siano α1 (x), α2 (x) ∈ K[x], aventi grado maggiore di zero. 37

Detto d(x) un massimo comun divisore di α1 (x) e α2 (x) in K[x] e posto α1 (x) = d(x)β1 (x), α2 (x) = d(x)β2 (x), si provi che esistono f1 (x), f2 (x) ∈ K[x] tali che sia d(x) = α1 (x)f1 (x) + α2 (x)f2 (x), con deg f1 (x) < deg β2 (x) e deg f2 (x) < deg β1 (x). Esercizio 5. Si stabiliscano e si provino per K[x] enunciati analoghi a quelli dati per Z negli Esercizi 1,2,3 di I, 3.1.

Definizione. Per ogni polinomio f (x) ∈ K[x] i polinomi del tipo kf (x), dove k ∈ K\{0}, vengono detti associati a f (x). Due polinomi non nulli di K[x] si dividono a vicenda se e solo se sono associati. Definizione. Un polinomio g(x) ∈ K[x], non nullo e avente grado maggiore di zero, viene detto irriducibile in K[x] se i suoi divisori in K[x] sono solo gli elementi unitari (ovvero i polinomi di grado zero) e i polinomi ad esso associati. Proposizione 5.5.6. Se un polinomio irriducibile g(x) ∈ K[x] divide un prodotto di n polinomi di K[x], esso divide almeno uno dei fattori. Basterà dimostrare la tesi per n = 2 e fare quindi induzione su n. Sia a(x)b(x) = g(x)c(x) con a(x), b(x), c(x) ∈ K[x]; supponiamo che g(x) non divida a(x). Essendo g(x) irriducibile, sarà 1K =M.C.D.(g(x), a(x)) e quindi 1K = k(x)g(x) + h(x)a(x) per qualche k(x), h(x) ∈ K[x]. Ne segue b(x) = k(x)g(x)b(x) + h(x)a(x)b(x) = [k(x)b(x) + h(x)c(x)]g(x) e pertanto g(x) divide b(x).

Teorema 5.5.7. In K[x] ogni polinomio non nullo, avente grado maggiore di zero, può essere scritto in uno ed un solo modo come prodotto di un elemento non nullo di K e di un numero finito di polinomi monici (i.e. aventi come coefficiente direttivo l’unità di K ) irriducibili di K[x]. Ne segue che se α(x) = g1 (x) · · · gs (x) = h1 (x) · · · ht (x) con gi (x) e hj (x) polinomi irriducibili di K[x] per ogni i e j , allora s = t e (cambiando eventualmente gli indici) per ogni i = 1, . . . , s i polinomi gi (x) e hi (x) sono associati. Facendo induzione sul “grado” si prova che ogni polinomio di K[x], non nullo e avente grado maggiore di zero, è irriducibile o è prodotto di un numero finito di polinomi irriducibili. Si osservi poi che se g(x) = kn xn + . . . + k1 x + k0 , allora kn 6= 0 e g(x) = kn−1 g(x) è un polinomio monico, irriducibile in K[x]. Pertanto si potrà scrivere a(x) = d g1 (x) · · · gs (x), con d ∈ K, s ≥ 1, gi (x) monico, irriducibile in K[x] per i = 1, . . . , s. Sia anche a(x) = d∗ h1 (x) · · · ht (x) con hj (x) monico irriducibile in K[x] per j = 1, . . . , t e d∗ ∈ K; supponiamo s ≤ t. d e d∗ coincidono con il coefficiente direttivo di a(x) e quindi d = d∗ ; allora g1 (x) · · · gs (x) = h1 (x) · · · ht (x). Per la Proposizione 5.5.6 g1 (x) divide uno dei fattori hj (x); cambiando eventualmente gli indici (K[x] è commutativo!), possiamo supporre che g1 (x) divida h1 (x). Poniamo h1 (x) = g1 (x)l(x); poiché h1 (x) è irriducibile, sarà l(x) = l ∈ K e, poiché h1 (x) e g1 (x) sono monici, sarà l = 1K ovvero h1 (x) = g1 (x). Si deduce g2 (x) · · · gs (x) = h2 (x) · · · ht (x); se s = 1, da 1K = h2 (x) · · · ht (x)) segue t = 1. Facendo induzione su s si deduce s = t e (cambiando eventualmente gli indici) gi (x) = hi (x) per i = 1, . . . , s.

Definizione. Se il polinomio g(x) è un fattore irriducibile di α(x), si dice che g(x) ha molteplicit` a r se α(x) è divisibile per g(x)r e non è divisibile per g(x)r+1 . Ci` o equivale a dire che il polinomio monico associato a g(x) compare esattamente r volte nella decomposizione di α(x) in prodotto di polinomi irriducibili (di cui si è detto al Teorema 5.5.7). ` facile determinare la decomposizione di α(x) in prodotto di polinomi irriducibili, E 38

quando si conoscano i suoi divisori irriducibili distinti. In molti casi è possibile determinare un polinomio che è il prodotto dei divisori irriducibili distinti di α(x) o stabilire se i fattori irriducibili di α(x) siano tutti semplici (i.e. molteplicità 1). Definizione. Si chiama derivata del polinomio α(x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 ∈ K[x] il polinomio α0 (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 . Proposizione 5.5.8. 1) Se α(x) = β(x)γ(x) allora α0 (x) = β 0 (x)γ(x) + β(x)γ 0 (x). 2) Se α(x) = β(x)n (con n ∈ N), allora α0 (x) = nβ(x)n−1 β 0 (x). 3) Se α(x) è divisibile per β(x)n , allora α0 (x) è divisibile per β(x)n−1 e β(x)n−1 divide M.C.D.)(α(x), α0 (x)). 1) Verifica banale. 2) Induzione su n. Ovvio per n = 1. Se n ≥ 2, per la 1) da α(x) = β(x)β(x)n−1 si deduce α0 (x) = β 0 (x)β(x)n−1 + β(x)[(n − 1)β(x)n−2 β 0 (x)] = nβ(x)n−1 β 0 (x). 3) Se α(x) = β(x)n γ(x), allora α0 (x) = nβ(x)n−1 β 0 (x)γ(x) + β(x)n γ 0 (x) = = β(x)n−1 [nβ 0 (x)γ(x) + β(x)γ 0 (x)].

Dalla 3) della Proposizione 5.5.8 segue che, se è M.C.D.(α(x), α0 (x)) = 1, ogni fattore irriducibile di α(x) ha molteplicità 1. Diamo ora alcune proprietà relative a sottocampi del campo complesso; segnaliamo però che la Proposizione 5.5.9. che segue e il suo Corollario possono essere estesi ad altri campi.(cfr. Esercizi 4 e 5 in V, 3.2.) Proposizione 5.5.9. Sia K un sottocampo del campo complesso (C,+, ·). 1) Sia g(x) un fattore irriducibile del polinomio α(x) ∈ K[x] avente molteplicità r; g(x) è fattore irriducibile di α0 (x) se e solo se è r ≥ 2 e in tal caso g(x) è fattore di α0 (x) con molteplicità r − 1. 2) Posto d(x)=M.C.D.(α(x), α0 (x)) e α(x) = d(x)β(x), il polinomio β(x) ha gli stessi fattori irriducibili di α(x), ognuno con molteplicità 1. 1) Sia α(x) = g(x)r γ(x) e quindi α0 (x) = g(x)r−1 [rg 0 (x)γ(x) + g(x)γ 0 (x)]. Poiché rg 0 (x) 6=0 e g(x) non divide né γ(x) né rg 0 (x), g(x)r non divide α0 (x); se ne deduce facilmente la tesi. 2) Ogni fattore irriducibile di β(x) è ovviamente fattore irriducibile di α(x). Se g(x) è fattore irriducibile di α(x) con molteplicità r, g(x) è fattore irriducibile di d(x) con molteplicità r − 1 (attenzione al caso r = 1!) e pertanto è fattore di β(x) con molteplicità 1.

Corollario 5.5.10. Sia K un sottocampo del campo complesso; sia α(x) ∈ K[x]. I fattori irriducibili di α(x) hanno tutti molteplicità 1 se e solo se M.C.D.(α(x), α0 (x)) = 1. Radici di un polinomio. Definizione. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità; siano 06= α(x) ∈ A[x] e k ∈ A. Si dice che k ` e radice di α(x) se la funzione polinomiale α˜ si annulla in k, ovvero se è α(k) = 0. Teorema 5.5.11.(Ruffini 1765-1822) Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità; siano k ∈ A, 06= α(x) ∈ A[x]. L’elemento k è radice di α(x) se e solo se il polinomio α(x) è divisibile in A[x] per il polinomio x − k. Per la Proposizione 5.5.3 esistono q(x) ∈ A[x] e r ∈ A tali che α(x) = (x − k)q(x) + r; poiché l’anello A è commutativo, è α(k) = (k − k)q(k) + r = r e quindi α(k) = 0 se e solo se r = 0.

Osservazione. I] Dal teorema di Ruffini si deduce che se (K; +, ·) è un campo e α(x) ∈ K[x], i) se α(x) è irriducibile in K[x] e deg α(x) ≥ 2, allora α(x) non ha radici in K ; ii) se α(x) non ha radici in K e 2 ≤ deg α(x) ≤ 3, allora α(x) è irriducibile in K[x]. II] Il polinomio α(x) = a1 x + a0 con a1 6= 0 è irriducibile e ammette come radice −a−1 1 a0 . 2 2 III] Per K =Q e α(x) = (x + 1) , α(x) non ha radici in Q, ma è riducibile in Q[x]. 39

Se l’anello A non è commutativo (ad esempio se A è un anello di matrici), ad ogni polinomio α(×) si possono associare due funzioni polinomiali, quella destra e quella sinistra. Vale anche in questo caso un enunciato “tipo Ruffini”: Esercizio 6. Siano (A; +, ·) un anello dotato di unità (non necessariamente commutativo), k ∈ A, α(×) ∈ A[×]. I] Si provi che il resto a destra della divisione di α(×) per × − k è α ˜ (k) (dove α ˜ indica la funzione polinomiale destra). Pertanto α(×) è divisibile a destra per × − k se e solo se è α ˜ (k) = 0. II] Si mostri che le condizioni i) α ˜ (k) = 0, ii) α(×) è divisibile a sinistra per × − k, sono indipendenti. Esercizio 7. Sia p un numero primo, maggiore di 2. Si provi che se r ∈ N è un divisore (proprio o improprio) di p − 1, il polinomio xr − 1 ∈ Zp [x] è prodotto di polinomi monici di primo grado.

Definizione. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità; siano 06= α(x) ∈ A[x] e k ∈ A una sua radice. Si chiama molteplicit` a della radice k di α(x) il massimo intero positivo r tale che α(x) è divisibile per (x − k)r . Il Teorema di Ruffini garantisce che, se k è radice di α(x), esiste qualche intero positivo s tale che α(x) ` e divisibile per (x − k)s ; l’Osservazione 5.5.2 garantisce che s ≤ deg α(x) e che pertanto esiste il massimo intero positivo r tale che α(x) è divisibile per (x − k)r . Esercizio 8. Si consideri il polinomio f (x) = x3 + ax + 1 ∈ Z5 [x]; si determinino i valori di a ∈ Z5 per i quali f (x) ammette una radice doppia. Esercizio 9. Determinare per quali valori del primo p il polinomio x3 + 2x + 1 ∈ Zp [x] ammette una radice almeno doppia in Zp . Esercizio 10. Sia p un numero primo fissato; si consideri il polinomio α(x) = x3 + 2x + 2 ∈ Zp [x]. 1) Si provi che se a ∈ Zp è radice doppia (i.e. con molteplicità 2) di α(x), allora è a ∈ {[0]p , [1]p , [2]p }. 2) Si determinino i valori di p per i quali il polinomio α(x) ammette una radice doppia in Zp . Esercizio 11. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità; sia D l’insieme costituito dallo zero e dai divisori dello zero di (A; +, ·). Si provi che, se il polinomio f (x) ∈ A[x] è divisore dello zero nell’anello (A[x]; +, ·), allora f (a) ∈ D per ogni a ∈ A.

In particolare, se (K; +, ·) è un campo, k ∈ K è radice di α(x) ∈ K[x] con molteplicità r se e solo se il polinomio x − k è un fattore irriducibile di α(x) con molteplicità r; dal Teorema 5.5.7 si deduce allora il teorema seguente. Teorema 5.5.12. Se (K; +, ·) è un campo e 06= α(x) ∈ K[x], la somma delle molteplicità ( e quindi anche il numero) delle radici in K di α(x) non supera il grado di α(x). Corollario 5.5.13. (Principio d’identit` a dei polinomi) Sia (K; +, ·) un campo e siano α(x), β(x) due polinomi in K[x] di grado n; se esistono n + 1 elementi distinti k1 , . . . , kn+1 ∈ K tali che α(ki ) = β(ki ) per i = 1, . . . , n + 1, allora α(x) = β(x). Sia γ(x) = α(x) − β(x); gli elementi k1 , . . . , kn+1 sono radici distinte di γ(x). Se fosse γ(x) 6=0, questo sarebbe assurdo poiché sarebbe anche deg γ(x) ≤ n.

Corollario 5.5.14. Se K è un campo infinito, polinomi distinti di K[x] individuano funzioni polinomiali distinte. Se α(x) e β(x) sono polinomi distinti di K[x], è finito l’insieme {k1 , . . . , kn } delle radici di α(x) − β(x); pertanto esiste k ∈ K\{k1 , . . . , kn } e α(k) 6= β(k).

Concludiamo citando l’importante Teorema fondamentale dell’Algebra. Teorema 5.5.15. Ogni polinomio di C[x], avente grado maggiore di zero, ammette una radice in C, ovvero per ogni polinomio non nullo di C[x] la somma delle molteplicità delle radici in C è uguale al grado del polinomio. Ne segue che i polinomi irriducibili di C[x] sono tutti e soli i polinomi di grado 1. 40

5.6. Domini a fattorizzazione unica. Abbiamo stabilito per gli anelli Z (cfr. I Teorema 4.1.2) e K[x] (cfr. Teorema 5.5.7) teoremi di fattorizazione; Z e K[x] sono esempi degli anelli che presenteremo in questo paragrafo. In tutto il paragrafo sia (D; +, ·) un dominio d’integrit` a dotato di unità 1; sia inoltre VD l’insieme degli elementi unitari di D (cfr.5.2). Definizione. Siano a, b ∈ D; si dice che a divide b (e si scrive a|b) se e solo se esiste c ∈ D tale che b = ac. Proposizione 5.6.1. La relazione ∼ definita in D ponendo per a, b ∈ D a∼b se e solo se a|b e b|a è un’equivalenza; se a ∼ b, si dice che a e b sono associati. Gli elementi unitari di D sono tutti e soli gli elementi associati all’unità 1 di D. ` a ∼ b se e solo se esiste un elemento unitario v ∈ VD tale che a = bv. E Per ogni a ∈ D gli elementi associati ad a e gli elementi unitari sono divisori (detti “impropri”) di a. Definizione. Siano a, b ∈ D; si chiama massimo comun divisore di a e b un elemento d ∈ D tale che 1) d|a e d|b, 2) se c|a e c|b (con c ∈ D), allora c|d. Si scriver` a d=M.C.D.(a, b) o, pi´ u brevemente, d = (a, b). Se 1=M.C.D.(a, b), gli elementi a e b vengono detti primi fra loro o coprimi. Osservazioni. 1. a=M.C.D.(0, a) per ogni a ∈ D. 2. Sia d=M.C.D.(a, b); è d0 =M.C.D.(a, b) se e solo se è d0 ∼ d. 3. Se per le coppie qui di seguito indicate esiste massimo comun divisore, si ha (ac, bc) ∼ (a, b)c, ((a, b), c) ∼ (a, (b, c)) Definizione. Un elemento non nullo e non unitario p ∈ D viene detto irriducibile se e solo se ammette solo divisori impropri. Un elemento non nullo e non unitario p ∈ D è irriducibile se e solo se da p = ab (con a, b ∈ D) segue che a o b ` e unitario (ovvero, rispettivamente b ∼ p o a ∼ p). Definizione. Un elemento non nullo e non unitario p ∈ D viene detto primo se e solo se, ogniqualvolta p divide un prodotto ab (con a, b ∈ D), allora p divide a o p divide b. Facendo induzione su n si prova che, se un elemento primo p ∈ D divide un prodotto di n fattori, allora p divide almeno uno dei fattori. Proposizione 5.6.2. Ogni elemento primo in D è irriducibile. Sia p ∈ D un elemento primo; sia p = ab con a, b ∈ D. Poiché p divide se stesso, p|a o p|b; supponiamo p|a. Allora p ed a sono associati ed esiste v ∈ VD tale che p = av; da p = av = ab con a 6= 0 segue b = v e ciò prova che i divisori di p sono banali.

Alcuni tra gli Esempi che seguono mostrano che un elemento irriducibile non è necessariamente primo. Esempi. 1. D=Z. Gli elementi unitari sono +1 e −1. Esiste M.C.D.(a, b) per ogni a, b ∈ Z (cfr. I, 3.1). Gli elementi irriducibili coincidono con gli elementi primi; essi sono tutti e soli i numeri +p e −p, dove p ` e un numero (naturale) primo (cfr. I, 4.1). 2. D = K[x] con (K; +, ·) campo. 41

Gli elementi unitari sono tutti e soli i polinomi di grado zero, ovvero gli elementi non nulli di K . Esiste M.C.D.(a(x), b(x)) per ogni a(x), b(x) ∈ K[x] (Proposizione 5.5.5). Gli elementi irriducibili coincidono con gli elementi primi (Proposizione 5.5.6). √ 3. D=Z[ −1] = {a + ib|a, b ∈ Z } (anello degli interi di Gauss), sottoanello del campo complesso C. Gli elementi unitari sono ±1 e ±i. √ Si vedr` a in seguito (cfr. V, 4.3) che per ogni α, β ∈ Z[ −1] esiste M.C.D.(α, β): ad esempio 1 + 2i=M.C.D.(5, 7 − i). Inoltre √ gli elementi irriducibili coincidono con gli elementi primi. Se a ∈ Z è irriducibile in Z[ −1], a = ±p dove e un numero primo; tuttavia un numero √ p ` intero primo p pu` o essere riducibile in Z[ −1], ad esempio 2 = (1 + i)(1 − i). √ √ 4. D=Z[ −3] = {a + ib 3|a, b ∈ Z } sottoanello del campo complesso C. Gli elementi unitari√ sono ±1 √. Gli elementi 2, 1 + i 3, 1 − i 3 sono a due a due non associati; da 4 = 2 · 2 = √ √ √ irriducibili, √ (1 + i 3)(1 − i 3) segue che √ 2, 1 + 3i, 1 − 3i non √sono elementi primi. √ √ I divisori comuni a 4 e 2+2i 3 sono ±1, ±2, ±(1+i 3), ±(1−i 3); 4 e 2+2i 3 non ammettono massimo comun divisore. √ √ √ (Si osservi che, se a + ib 3 divide c + id 3 in Z[ −3], allora a2 + 3b2 divide c2 + 3d2 in N.)

5. D = {f (x) ∈ Q[x]|f (0) ∈ Z } sottoanello dell’anello di polinomi Q[x]. Gli elementi unitari sono ±1. I numeri interi primi sono elementi irriducibili di D. Se f (x) ∈ D è irriducibile in D, allora f (x) = ±p (p primo) oppure f (x) è irriducibile in Q[x] e f (0) = ±1. Ogni polinomio del tipo kx con k ∈ Q\{0} è irriducibile in Q[x], ma è riducibile in D poiché kx = k2 x · 2 con k2 x, 2 ∈ D. Ogni elemento irriducibile in D è primo. Per ogni f (x), g(x) ∈ D esiste M.C.D.(f (x), g(x)). Negli anelli Z e K[x] (K campo) si è provato che ogni elemento irriducibile è primo e se ne è dedotto che ogni elemento non nullo, non unitario e riducibile può essere scritto come prodotto di un numero finito di elementi irriducibili in modo “essenzialmente” unico (non unico: in Z è −6 = 2 · (−3) = (−2) · 3, in Q[x] è x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) = (2x − 2)( 12 x + 12 )). L’esistenza di una tale scrittura è stata provata applicando il Principio di induzione. Nel dominio D del precedente Esempio 5 si verifica che l’elemento x ∈ D è riducibile, ma non può essere scritto come prodotto di elementi irriducibili in D; tuttavia nello stesso dominio ogni elemento irriducibile è primo. Nel dominio D dell’Esempio 4, l’elemento 4 ammette due fattorizzazioni in prodotto di elementi irriducibili, ma i termini di una fattorizzazione non sono associati a quelli dell’altra. Definizione. Sia (D; +, ·) un dominio d’integrit` a dotato di unità; si dice che D è un anello gaussiano o un dominio a fattorizzazione unica (brevemente “ D è UFD”) se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni: (F) ogni elemento a ∈ D non nullo, non unitario e riducibile può essere scritto come prodotto di un numero finito di elementi irriducibili di D; (U) se a = p1 p2 · · · pr = p01 p02 · · · p0s con pi , p0j ∈ D irriducibili per ogni i, j , allora r = s e, cambiando eventualmente l’ordine dei fattori, pi ∼ p0i per i = 1, 2, . . . , r (fattorizzazione “essenzialmente” unica). Proposizione 5.6.3. Sia D un dominio d’integrit` a dotato di unità. 1) Condizione sufficiente affinché valga in D la condizione (F) è che non esista alcuna successione infinita a1 , a2 , . . . di elementi di D tale che ogni ai+1 sia divisore proprio di ai (condizione della catena). 2) Condizione sufficiente affinchè valga in D la condizione (U) è che ogni elemento irriducibile di D sia primo. 42

1) Proviamo anzitutto che ogni elemento a ∈ D non nullo, non unitario e riducibile possiede un divisore irriducibile. Essendo a riducibile, è a = a1 b1 con a1 divisore proprio di a. Se a1 è irriducibile, la tesi è provata; altrimenti è a1 = a2 b2 con a2 divisore proprio di a1 (e quindi anche di a). Se a2 è irriducibile, la tesi è provata; altrimenti a2 = a3 b3 con a3 divisore proprio di a2 . Si ottiene una successione a, a1 , a2 , . . . in cui ogni termine è un divisore proprio del precedente; se a non possedesse alcun divisore irriducibile, questa successione sarebbe infinita. Proviamo che è soddisfatta la condizione (F). Si può scrivere a = p1 c1 con p1 irriducibile. Se c1 è irriducibile, la tesi è provata; se c1 è riducibile, si potrà scrivere c1 = p2 c2 con p2 irriducibile. Allora a = p1 p2 c2 ; se c2 è irriducibile, la tesi è provata; altrimenti sarà c2 = p3 c3 . Si ottiene una successione a, c1 , c2 , . . . in cui ogni termine è un divisore proprio del precedente; necessariamente esiste un intero n tale che cn è irriducibile e a = p1 p2 · · · pn cn è prodotto di elementi irriducibili. 2) Sia a = p1 p2 · · · pr = p01 p02 · · · p0s con pi , p0j ∈ D irriducibili per ogni i, j; supponiamo r ≤ s. Poiché p1 è primo e divide il prodotto p01 p02 · · · p0s , p1 divide almeno uno dei fattori p0j ; poiché D è commutativo, si possono cambiare eventualmente gli indici e supporre che p1 divida p01 . Essendo p01 irriducibile, i suoi divisori sono banali e quindi p1 è associato a p01 ; sia p0 1 = p1 v1 con v1 ∈ VD . Poiché in D valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto, ne segue p2 · · · pr = v1 p02 · · · p0s . Allo stesso modo si deduce p02 = p2 v2 , . . . , p0r = pr vr con v2 , . . . , vr ∈ VD . Se fosse r < s si avrebbe 1D = v1 v2 · · · vr p0r+1 · · · p0s , assurdo poiché p0s non è unitario. Pertanto r = s e pi ∼ p0i per i = 1, 2, . . . , r.

I precedenti Esempi 4 e 5 mostrano che le due condizioni (F) e (U) sono indipendenti. Proposizione 5.6.4. Sia D un dominio d’integrit` a dotato di unità; D è un dominio a fattorizzazione unica se e solo se vale in D la condizione della catena e ogni elemento irriducibile in D è primo. Avendo già provato la Proposizione 5.6.3, resta da provare che in un dominio a fattorizzazione unica D vale la condizione della catena e ogni elemento irriducibile è primo. Per ogni a ∈ D, a 6= 0 e non unitario possiamo definire una “lunghezza l(a) di a” come il numero dei termini di una fattorizzazione di a in prodotto di elementi irriducibili. Si verifica che, se a divide propriamente b (con a, b ∈ D), allora l(a) < l(b); se ne deduce che in D è soddisfatta la condizione della catena. Infatti, se a1 , a2 , . . . è una successione di elementi di D tali che ogni ai+1 divide propriamente ai , la successione di interi positivi l(a1 ), l(a2 ), . . . è strettamente decrescente ed è quindi necessariamente finita; ne segue che è finita la successione a1 , a2 , . . .. Sia p un elemento irriducibile in D; siano a, b, c ∈ D tali che ab = cp. Se a è unitario, b = a−1 cp e p divide b; analogo se b è unitario. Se a e b non sono unitari, posto a = p1 · · · pr , b = q1 · · · qs , c = t1 · · · tn con pi , qj , tl irriducibili, si ha p1 · · · pr q1 · · · qs = t1 · · · tn p: per la condizione (U) sarà p ∼ pi per qualche i o p ∼ qj per qualche j e quindi rispettivamente p|a o p|b. Esercizio 1. Sia p un primo fissato; si consideri nel campo razionale il sottoanello A = { rs ∈ Q | M.C.D.(r, s) =M.C.D.(s, p) = 1}. Si determinino gli elementi unitari e gli elementi irriducibili dell’anello (A; +, ·). Si mostri che (A; +, ·) è un dominio a fattorizzazione unica.

Proposizione 5.6.5. Sia (D; +, ·) un dominio d’integrit` a dotato di unità; D è un dominio a fattorizzazione unica se e solo se vale in D la condizione della catena e due qualsiansi elementi di D ammettono massimo comun divisore. Sia D un dominio a fattorizzazione unica; si è già visto che in D vale la condizione della catena. Per a, b ∈ D non nulli e non unitari si può supporre che essi ammettano fattorizzazioni del tipo αr γ 1 γs 1 a = pα 1 · · · pr q1 · · · qs 43

b = pβ1 1 · · · pβr r w1δ1 · · · wtδt con pi , qj , wl irriducibili a due a due non associati e αi ≥ 0, βi ≥ 0. Si verifica quindi che, se r > 0, posto ²i =min{αi , βi } per ogni i = 1, . . . , r, l’elemento d = p²11 · · · p²rr è M.C.D.(a, b); se r = 0, allora 1D è M.C.D.(a, b). Viceversa, valga in D la condizione della catena ed esista M.C.D.(a, b) per ogni a, b ∈ D. Siano a, b ∈ D e p un elemento irriducibile che divide il prodotto ab. Se p non divide a, è 1 =M.C.D.(a, p) e quindi b =M.C.D.(a, p)b =M.C.D.(ab, pb) (cfr. Osservazioni, 3); poiché p divide ab e pb, ne segue che p divide b.

Notiamo che in Z e in K[x] si verifica facilmente che è soddisfatta la condizione della catena; pertanto, dopo aver provato l’esistenza di massimo comun divisore, dalla Proposizione 5.6.5 seguono i teoremi di decomposizione degli interi in prodotto di primi e dei polinomi in prodotto di polinomi irriducibili. Esercizio 2. Sia (D; +, ·) un dominio a fattorizzazione unica; siano a, b, c ∈ D. Si provi che i) se a e b sono divisori di c e M.C.D.(a, b) = 1 , allora ab divide c; ii) se M.C.D.(a, c)=M.C.D.(b, c) = 1, allora M.C.D.(ab, c) = 1; iii) se a divide bc e M.C.D.(a, b) = 1, allora a divide c. √ Si mostri che nel dominio Z[ −3] non valgono le implicazioni i), ii), iii). Esercizio 3. Sia (D; +, ·) un dominio a fattorizzazione unica; siano a, b ∈ D tali che 1D =M.C.D.(a, b). Si provi che per ogni h ∈ D è M.C.D.(h, ab) ∼ M.C.D.(h, a)M.C.D.(h, b) √ √ Esercizio 4. Si mostri che per α, β ∈ Z[ −1] con β 6= 0 esistono γ, ρ ∈ Z[ −1] tali che α = βγ + ρ e N (ρ) < N (β). √ Se√ne deduca che due qualsiansi elementi di Z[ −1] ammettono massimo comun divisore e quindi che Z[ −1] è un dominio a fattorizzazione unica.

` di fondamentale importanza il Teorema di trasporto che segue. E Teorema 5.6.6. Se (D; +, ·) è un dominio a fattorizzazione unica, anche l’anello di polinomi D[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Corollario 5.6.7. Gli anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate, a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica (in particolare in Z o in un campo) sono domini a fattorizzazione unica. Vogliamo dare qui la dimostrazione del Teorema 5.6.6 nel caso particolare D=Z. Ci sarà utile il concetto di polinomio “primitivo”. Definizione. Un polinomio non nullo a(x) = an xn + · · · + a0 ∈ Z[x] viene detto primitivo se e solo se M.C.D.(an , . . . , a0 ) = 1. Osservazioni. 1. Ogni polinomio irriducibile in Z[x] è primitivo. 2. Per ogni polinomio non nullo f (x) ∈ Z[x] si può scrivere f (x) = d · f (x) con d ∈ Z e f (x) ∈ Z[x] primitivo. 3. Se f (x) ∈ Z[x] è primitivo e n ∈ Z, allora n è massimo comun divisore dei coefficienti del polinomio n · f (x). 4. Per ogni polinomio non nullo φ(x) ∈ Q[x] si può scrivere φ(x) = k · f (x) con k ∈ Q e f (x) ∈ Z[x] primitivo. 5. Ogni divisore di un polinomio primitivo è primitivo. Proposizione 5.6.8. Siano a(x), b(x) ∈ Z[x] polinomi primitivi: 1) il polinomio c(x) = a(x) · b(x) è primitivo; 2) se a(x) e b(x) sono associati in Q[x], allora a(x) = ± b(x). 1) Siano a(x) = an xn + · · · + a0 e b(x) = bm xm + · · · + b0 ; sia c(x) = cn+m xn+m + · · · + c0 . Sia d =M.C.D.(cn+m , . . . , c0 ); supposto d 6= ±1, sia p un divisore primo di d. 44

Poiché a(x) è primitivo, esiste r tale che p divide a0 , a1 , . . . , ar−1 e non divide ar ; analogamente esiste s tale che p divide b0 , . . . , bs−1 e non divide bs . Poiché p divide cr+s = P e assurdo. i+j=r+s ai bj , se ne deduce che p divide il prodotto ar bs , il che ` 2) Se a(x) = hk b(x) con h, k ∈ Z, allora k · a(x) = h · b(x) e k = ±h per l’Osservazione 3 fatta sopra.

Proposizione 5.6.9. Sia f (x) ∈ Z[x] con deg f (x) > 0; f (x) è irriducibile in Z[x] se e solo se è primitivo ed è irriducibile in Q[x]. Sia f (x) irriducibile in Z[x]; abbiamo già osservato che f (x) è primitivo. Per assurdo sia f (x) = α(x)β(x) con α(x), β(x) ∈ Q[x] e deg α(x) > 0, deg β(x) > 0. Posto α(x) = q1 · a(x), β(x) = q2 · b(x) con q1 , q2 ∈ Q, a(x), b(x) ∈ Z[x] primitivi, per la Proposizione 5.6.8 è f (x) = ±a(x) · b(x), contro l’ipotesi che f (x) sia irriducibile in Z[x]. Viceversa, sia f (x) primitivo; se f (x) è riducibile in Z[x], è f (x) = a(x)b(x) con a(x), b(x) ∈ Z[x] e deg a(x) > 0, deg b(x) > 0 e pertanto f (x) risulta riducibile anche in Q[x].

Teorema 5.6.10. L’anello di polinomi Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Si verifica facilmente che in Z[x] è soddisfatta la “condizione della catena” e pertanto è soddisfatta la condizione (F). Siano f (x) = p1 · · · pl · a1 (x) · · · an (x) = q1 · · · qk · b1 (x) · · · bm (x) due fattorizzazioni di un polinomio f (x) ∈ Z[x] in prodotto di elementi irriducibili con deg ai (x) > 0, deg bj (x) > 0 per ogni i, j. I polinomi ai (x) e bj (x), essendo irriducibili, sono primitivi; ne segue p1 · · · pl = ±q1 · · · qk e quindi l = k e (cambiando eventualmente gli indici) ph = ±qh per ogni h = 1, . . . , l. Per la Proposizione 5.6.9 i polinomi ai (x) e bj (x) sono irriducibili in Q[x]; per il Teorema 5.5.7 sarà n = m e (cambiando eventualmente gli indici) per ogni r = 1, . . . , n i polinomi ar (x) e br (x) saranno associati in Q[x]. Per la Proposizione 5.6.8,2) sarà ar (x) = ± br (x) e ciò prova che è soddisfatta la condizione (U).

Osservazione. Per la Proposizione 5.6.5 due qualsiansi polinomi a(x), b(x) ∈ Z[x] ammettono massimo comun divisore sia in Z[x] che in Q[x]; li indicheremo rispettivamente con M.C.D.Z[x] (a(x), b(x)) e M.C.D.Q[x] (a(x), b(x)). Il secondo è facilmente determinabile con l’algoritmo euclideo delle divisioni successive; il primo resta determinato di conseguenza in virt´ u dell’Esercizio che segue. ? Esercizio 5. Siano a(x), b(x) ∈ Z[x] ; si pongano a(x) = m · a(x) e b(x) = n · b(x) con m, n ∈ Z e a(x), b(x) ∈ Z[x] primitivi. Allora 1) M.C.D.Z[x] (a(x), b(x)) = ±M.C.D.Z (m, n) · M.C.D.Z[x] (a(x), b(x); 2) M.C.D.Z[x] (a(x), b(x)) è primitivo ed è M.C.D.Q[x] (a(x), b(x)) e M.C.D.Q[x] (a(x), b(x)) .

Si badi però che non sempre esistono f (x), g(x) ∈Z[x] tali che sia d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x); si considerino ad esempio a(x) = x + 1 e b(x) = 2x. (cfr. V, 4.3 Esercizio 1.) Esercizio 6. Siano a(x) = 2x4 − 5x3 + 9x2 − 8x + 4 b(x) = 2x5 − 3x4 − 2x3 + 8x2 − 7x + 2; si determini un loro massimo comun divisore d(x) in Z[x] e si mostri che non esistono f (x), g(x) ∈ Z[x] tali che sia d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x).

` E DECOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN Q[x] RIDUCIBILITA Il problema di vedere se un polinomio φ(x) ∈ Q[x] è irriducibile in Q[x] è riconducibile a quello di vedere se un polinomio f (x) ∈ Z[x] è irriducibile in Q[x] o in Z[x]. Infatti abbiamo già notato che un polinomio φ(x) ∈ Q[x], avente grado maggiore di zero, pu` o essere scritto nella forma φ(x) = k · f (x)

con k ∈ Q e f (x) ∈ Z[x] primitivo. Per la Proposizione 5.6.9 sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: 45

i) φ(x) è irriducibile in Q[x]; ii) f (x) è irriducibile in Q[x]; iii) f (x) è irriducibile in Z[x]. Una condizione sufficiente affinché f (x) ∈ Z[x] sia irriducibile in Q[x] è espressa dal Criterio di Eisenstein che segue. Proposizione 5.6.11. Sia f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ Z[x]; se esiste un numero primo p tale che i] p non divide an , ii] p divide ogni ai per 0 ≤ i < n, iii] p2 non divide a0 , allora f (x) è irriducibile in Q[x]. Supponiamo che f (x) sia riducibile in Q[x]; per la Proposizione 5.6.9 si potrà scrivere f (x) = f1 (x)f2 (x) con f1 (x), f2 (x) ∈ Z[x]. Posto f1 (x) = br xr + · · · + b0 e f2 (x) = cs xs + · · · + c0 , sarà a0 = b0 c0 ; poiché p divide a0 ma p2 non divide a0 , p dividerà uno ed uno solo dei coefficienti b0 e c0 . Supponiamo che p divida b0 e non c0 . Poiché p non divide an = br cs , p non divide br ; sia m l’intero (≤ r) tale che p non divide bm ma p divide ogni bj con j = 0, 1, . . . , m − 1. P Poiché s ≥ 1, è m < n e quindi p divide am . Da am = j+l=m bj cl segue allora che p divide bm c0 , assurdo. 2 Esercizio 7. Sia p un numero naturale primo; il polinomio ¡p¢si consideri ¡p¢ ¡p¢ p−1 f (x) = 1 + (1 + x) + (1 + x) + p−1 · · · + (1 + x) ∈ Q[x]. Si provi che f (x) = 1 + 2 x + · · · + p x e che f (x) è irriducibile in Q[x]. Se ne deduca che il polinomio g(x) = 1 + x + · · · + xp−1 è irriducibile in Q[x].

Un’altra condizione sufficiente affinché un polinomio primitivo di Z[x] sia irriducibile in Q[x] si pu` o dedurre attraverso la cosiddetta riduzione modulo p. Proposizione 5.6.12. Sia p un primo; sia f (x) = kn xn + · · · + k0 ∈ Z[x] primitivo. Ad f (x) possiamo associare il polinomio fp (x) = [kn ]p xn + · · · + [k0 ]p ∈ Zp [x]. Se p non divide kn e fp (x) è irriducibile in Zp [x], allora f (x) è irriducibile in Z[x] (ovvero in Q[x]). Sia f (x) = a(x)b(x) con a(x), b(x) ∈ Z[x]. Poiché p non divide kn (coefficiente direttivo di f (x)), p non divide né il coefficiente direttivo di a(x) né quello di b(x); ne segue che i polinomi f (x), a(x), b(x) hanno grado uguale rispettivamente a quello di fp (x), ap (x), bp (x). Essendo fp (x) = ap (x)bp (x) e fp (x) irriducibile in Zp [x], sarà deg a(x)=deg ap (x) = 0 o deg b(x)=deg bp (x) = 0 e quindi a(x) = ±1 oppure b(x) = ±1. Ciò prova la tesi.

Osservazione. Il polinomio f (x) = x4 − x2 + 1 ∈ Z[x] è ”riducibile modulo p” per ogni primo p, ma è irriducibile in Q[x]. ` f2 (x) = (x2 + x + 1)2 e f3 (x) = (x2 + 1)2 . E Sia p = 2r + 1 > 3. Si verifica facilmente che i quadrati distinti e non nulli di Zp sono in numero di r = p−1 2 ; siano a1 , a2 , . . . , ar tali elementi. Se [−1]p non è un quadrato in Zp , non sono quadrati gli elementi −a1 , −a2 , . . . , −ar ; ne segue che per ogni s ∈ Z uno dei due elementi [s]p e [−s]p è un quadrato in Zp . Ciò premesso e scelto t ∈ Z tale che 2t ≡ 1 (mod p), si potrà scrivere fp (x) = (x2 + [t]p )2 − ([t2 − 1]p fp (x) = (x2 + [1]p )2 − [3]p x2 fp (x) = (x2 − [1]p )2 + x2 Basterà provare che almeno uno degli elementi [t2 − 1]p , [3]p , [−1]p è un quadrato in Zp . Supposto che [−1]p e [3]p non siano quadrati in Zp , [−3]p sarà un quadrato. Da t2 − 1 ≡ 4t2 (t2 − 1) ≡ t2 (2t − 2)(2t + 2) (mod p) segue [t2 − 1]p = [t]2p [−1]p [3]p = [t]2p [−3]p e pertanto [t2 − 1]p è un quadrato in Zp . 46

Presentiamo infine un metodo (detto metodo di interpolazione di Lagrange), che consente di stabilire se un polinomio primitivo di Z[x] è riducibile e anche di determinarne una decomposizione in prodotto di elementi irriducibili. In II.2.2 abbiamo presentato il “Teorema cinese dei resti” per gli interi relativi (Esercizio 3; un analogo teorema vale in K[x] (con (K; +, ·) campo). Proposizione 5.6.13. (Teorema cinese dei resti in K[x]). Siano g1 (x), g2 (x), . . . , gr (x) polinomi di K[x] a due a due coprimi (r ≥ 2). Scelti comunque a1 (x), a2 (x), . . . , ar (x) ∈ K[x], esiste h(x) ∈ K[x] tale che gi (x) divide h(x)−ai (x) per i = 1, 2, . . . , r. Facciamo induzione su r. Sia r = 2. Esistono f1 (x), f2 (x) ∈ K[x] tali che 1K = g1 (x)f1 (x) + g2 (x)f2 (x); posto ki (x) = fi (x)(a1 (x) − a2 (x)) per i = 1, 2, la tesi sarà soddisfatta per h(x) = a1 (x) − g1 (x)k1 (x) = a2 (x) + g2 (x)k2 (x). Sia r > 2. Per l’ipotesi di induzione esiste l(x) ∈ K[x] tale che gj (x) divide l(x) − aj (x) per j = 1, 2, . . . r −1. Il polinomio g(x) = g1 (x)g2 (x) · · · gr−1 (x) e il polinomio gr (x) sono coprimi (cfr. 5.5 Esercizio 4); per quanto provato sopra esiste h(x) ∈ K[x] tale che h(x) − l(x) è divisibile per g(x) e h(x) − ar (x) è divisibile per gr (x). Il polinomio h(x) soddisfa alla tesi.

Corollario 5.6.14. Siano b1 , b2 , . . . , br ∈ Z distinti; scelti comunque a1 , a2 , . . . , ar ∈ Z non tutti nulli, esiste uno ed un solo polinomio f (x) ∈ Q[x] tale che deg f (x) < r e f (bi ) = ai Per la Proposizione precedente, esiste h(x) ∈ Q[x] tale che x ¡−Qbi divide h(x) ¢ − ai per i = r 1, 2, . . . , r; sarà h(bi ) = ai per ogni i. Si potrà scrivere h(x) = (x − b ) i q(x) + f (x) con i=1 f (x) ∈ Q[x] e deg f (x) < r; è f (bi ) = h(bi ) = ai . Per quanto riguarda l’unicità, basta osservare che se anche f ∗ (x) ∈ Q[x] soddisfa alla tesi, posto l(x) = f (x) − f ∗ (x), è deg l(x) < r e l(bi ) = 0 per i = 1, 2, . . . , r; per il Teorema 5.5.12 segue l(x) = 0.

Costruzione del polinomio f (x) del Corollario. Q

Q

Sia g(x) = ri=1 (x − bi ); posto tj (x) = i6=j (x − bi ) e quindi g(x) = (x − bj )tj (x), Q è g 0 (bj ) = tj (bj ) = i6=j (bj − bi ) 6= 0. Posto kj (x) = g(x)/[(x − bj )g 0 (bj )], ` e kj (bj ) = 1 e kj (bi ) = 0 per i 6= j . Pr Ora, se f (x) = j=1 aj kj (x), è f (bi ) = ai per ogni i. Il Corollario rappresenta la premessa al metodo che consente di determinare i divisori di un polinomio f (x) ∈ Z[x]. Sia f (x) ∈ Z[x] primitivo con deg f (x) = n ≥ 2. Se f (x) non è irriducibile in Z[x], esso possiede un fattore di grado ≤ [ n2 ]; sia r = [ n2 ] + 1. Siano b1 , b2 , . . . , br ∈ Z distinti e tali che sia f (bi ) 6= 0 per i = 1, 2, . . . , r. Se h(x) ∈ Z[x] è un divisore di f (x) in Z[x], allora h(bi ) divide f (bi ) per i = 1, 2, . . . , r. Consideriamo pertanto tutte le possibili r-ple v = (a1 , a2 , . . . , ar ) con ai divisore di f (bi ) per ogni i; le r-ple cosiffatte sono in numero finito. Per ognuna di esse determiniamo il polinomio hv (x) ∈ Q[x] avente grado < r e tale che hv (bi ) = ai . Baster` a allora vedere se tra i polinomi hv (x) (detti polinomi interpolatori di Lagrange) ve ne è qualcuno appartenente a Z[x] e divisore di f (x). In caso negativo f (x) è irriducibile in Z[x] (ovvero in Q[x]); in caso positivo si itera il procedimento fino ad ottenere una decomposizione di f (x) in prodotto di polinomi irriducibili.

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6 6.1. Moduli su un anello: spazi vettoriali. Algebre. Definizione. Siano (A; +, ·) un anello, (V ; +) un gruppo abeliano, • una legge di composizione fra A e V con risultato in V (ovvero un’applicazione da A × V a V ); si dice che V è un modulo sinistro su A o un A-modulo sinistro rispetto alla legge di composizione • (che verr` a detta prodotto esterno fra A e V ) se sono soddisfatte le seguenti condizioni per ogni a, a1 , a2 ∈ A e per ogni v, v1 , v2 ∈ V : 1) a • (v1 + v2 ) = a • v1 + a • v2 ; 2) (a1 + a2 ) • v = a1 • v + a2 • v; 3) a1 • (a2 • v) = (a1 · a2 ) • v. Definizione. Si dice che (V ; +) è un A-modulo sinistro unitario se l’anello A possiede unit` a 1A e 1A • v = v per ogni v ∈ V . Definizione. Se l’anello (A; +, ·) è un corpo e (V ; +) è un A-modulo sinistro unitario, V viene detto spazio vettoriale sinistro su A. In modo analogo si definisce un A-modulo destro V rispetto ad un prodotto esterno tra V e A con risultato in V . Un A-modulo V è dunque una struttura algebrica con quattro “operazioni” (S; +, ·, +, •), dove S ` e l’unione insiemistica di A e V . Nel seguito per lo pi` u indicheremo con + tanto la somma definita nell’anello A quanto la somma + definita in V e con · tanto il prodotto in A quanto il prodotto esterno • (spesso il segno · verr` a sostituito dal semplice accostamento); sarà ovvio, ad esempio, che in un’espessione del tipo x + y il segno + indicher` a la somma in A o la somma in V a seconda che sia x, y ∈ A o x, y ∈ V . Definizione. Siano (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità, (V ; +, ·) un anello e • un prodotto esterno fra A e V con risultato in V ; si dice che V è una A-algebra sinistra o una algebra sinistra su A se (V ; +) è un A-modulo sinistro unitario rispetto al prodotto esterno • e se per ogni a ∈ A e per ogni v1 , v2 ∈ V è soddisfatta l’uguaglianza a • (v1 v2 ) = (a • v1 ) · v2 = v1 · (a • v2 )

In modo analogo si definisce una A-algebra destra, Si dice che la A-algebra è commutativa se l’anello (V ; +, ·) è commutativo. Se (V ; +, ·) è un corpo, si parla di A-algebra con divisione. Esempi. −−→ → 1. I “vettori” dello spazio (ovvero i segmenti orientati − v = OP uscenti da un punto fisso O) costituiscono un gruppo abeliano V rispetto alla “somma” (definita attraverso la regola del parallelogramma) e un modulo su R rispetto al prodotto esterno definito → → → → ponendo 0 · v = − 0 per ogni v ∈ V e r · − v =− w per ogni r ∈ R\{0}, dove − w ` e il vettore che ha − → → − → modulo |r|| v |, la stessa direzione di v e verso uguale od opposto a quello di − v a seconda che r sia positivo o negativo. 2. Ogni gruppo abeliano (G; ·) pu` o essere visto come Z-modulo rispetto al prodotto esterno che associa ad un intero n e ad un elemento g ∈ G la potenza n-esima di g .(cfr. Proposizione 4.1.2) Ogni anello (A; +, ·) pu` o essere visto come Z-algebra rispetto al prodotto esterno definito da n • a = na per ogni n ∈ N e per ogni a ∈ A. (cfr. Proposizione 5.2.1, iv) 3. Se (A; +, ·) è un anello, il gruppo additivo (A; +) pu` o essere visto come A-modulo (sinistro o destro) rispetto al prodotto esterno coincidente con il prodotto definito in A. Se l’anello (A; +, ·) è dotato di unit` a, (A; +) è A-modulo unitario. Se l’anello (A; +, ·) è commutativo e dotato di unit` a, esso pu` o essere visto come A-algebra rispetto al prodotto definito in A. 4. Il gruppo additivo (A[×]; +) dell’anello (A[×]; +, ·) pu` o essere visto come modulo sinistro su A rispetto al prodotto esterno definito da 48

b • α(×) = b • (an ×n + · · · + a1 × +a0 ) = ban ×n + · · · + ba1 × +ba0

per ogni b ∈ A e per ogni α(×) ∈ A[×]. Se l’anello ((A; +, ·) è commutativo e dotato di unit` a, l’anello (A[x]; +, ·) pu` o essere visto come A-algebra. 5. Siano (A; +, ·) un anello e V = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ A}, ove n è un intero positivo fissato. V ` e un gruppo abeliano rispetto alla “somma” + definita per ogni ai , bi ∈ A da (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ) e un A-modulo sinistro rispetto al “prodotto esterno” definito per ogni k ∈ A da k • (a1 , a2 , . . . , an ) = (ka1 , ka2 , . . . , kan ). 6. Il gruppo additivo (Matn (K); +), costituito dalle matrici quadrate di ordine n ad elementi in un campo (K; +, ·) rispetto alla somma “elemento per elemento”, è uno spazio vettoriale su K rispetto al prodotto esterno definito ponendo per ogni (aij ) ∈ Matn (K) e per ogni k ∈ K k • (aij ) = (bij ) con bij = k · aij per ogni i, j . L’anello (Matn (K); +, ·) è una K -algebra rispetto al prodotto esterno •. 7. Siano (A; +, ·) un anello commutativo, a, e (G; ·) un gruppo; si indichi P dotato di unit` con AG l’insieme delle somme formali g∈G ag g con ag ∈ A, g ∈ G per le quali è finito l’insieme {g ∈ G | ag 6= 0A }. AG ` e un anello rispetto alla somma e al prodotto definiti come segue: P P P c g dove cg = ag + bg per ogni g ∈ G, b g= a g+ P P P g∈G g P g∈G g P g∈G g d g dove dg = hk=g ah bk = k∈G agk−1 bk . b g = a g · g∈G g g∈G g g∈G g L’anello (AG; +, ·) è una A-algebra P sinistra rispetto al prodotto • definito da P a • g∈G ag g = g∈G (aag )g ; questa algebra viene detta algebra gruppo di G su A. Proposizione 6.1.1. Sia (V ; +) un modulo sinistro su un anello (A; +, ·); siano 0 lo zero di A e 0 lo zero di V . Per ogni a ∈ A, v ∈ V, n ∈Z si ha i) 0v = a0=0; ii) (−a)v = a(−v) = −av; iii) (na)v = a(nv) = n(av); iv) se A è un corpo e V è spazio vettoriale su A, è av =0 se e solo se a = 0 o v=0. i) Da av = (0 + a)v = 0v + av segue 0v =0; da av = a(0+v) = a0+av segue a0=0. ii) Da 0=0v = [a + (−a)]v = av + (−a)v segue (−a)v = −(av). Da 0=a0=a[v + (−v)] = av + a(−v) segue a(−v) = −(av). iii) per n ≥ 0 si faccia induzione su n; per n < 0 ci si valga della ii). iv) Sia av =0; supponiamo a 6= 0. Essendo A un corpo, esiste a−1 ∈ A e v = 1A v = (a−1 a)v = a−1 (av) = a−1 0=0.

(Si confronti questa Proposizione con la Proposizione 5.2.1.) 6.2. A-sottomoduli di un A-modulo. A-sottoalgebre di una A-algebra. Definizione. A-sottomodulo di un A-modulo sinistro (V ; +) su un anello (A; +, ·) è un sottoinsieme di V , che è A-modulo rispetto alla somma e al prodotto esterno, rispetto ai quali (V ; +) è A-modulo. Definizione. A-sottoalgebra di una A-algebra sinistra (V ; +, ·) è un sottoinsieme H di V , che ` e A-algebra rispetto alle operazioni rispetto alle quali è A-algebra V . Un A-sottomodulo H di un A-modulo sinistro (V ; +) è dunque un sottogruppo del gruppo (V ; +) tale che per ogni a ∈ A e per ogni h ∈ H si abbia ah ∈ H . Un sottoinsieme H di un A-modulo V è un A-sottomodulo se e solo se per ogni h1 , h2 ∈ H e per ogni a ∈ A si ha h1 − h2 ∈ H, ah1 ∈ H . 49

Se (V ; +) è un A-modulo unitario, un sottoinsieme H di V è un A-sottomodulo di V se e solo se per ogni h1 , h2 ∈ H e per ogni a ∈ A si ha h1 + h2 ∈ H, ah1 ∈ H . {0} e V sono A-sottomoduli (impropri) dell’A-modulo V . Una A-sottoalgebra H di una A-algebra (V ; +, ·) è un A-sottomodulo dell’A-modulo (V ; +), che è anche sottoanello dell’anello (V ; +, ·); un sottoinsieme H di V è quindi una Asottoalgebra se e solo se per ogni a ∈ A e per ogni h1 , h2 ∈ H si ha h1 + h2 ∈ H , h1 h2 ∈ H , ah1 ∈ H . Esempi. 1. Sia G un gruppo abeliano; se si considera G come Z-modulo (cfr. 6.1 Esempio 2), gli Z-sottomoduli sono tutti e soli i sottogruppi di G. 2. Sia A un anello; se si considera (A; +) come A-modulo sinistro (cfr.6.1 Esempio 3), ogni A-sottomodulo è un sottoanello, ma non viceversa: ad esempio Z è sottoanello dell’anello (Q,+, ·) ma non è Q-sottomodulo del Q-modulo (Q; +). 3. Sia A un anello; si consideri (A[x]; +) come A-modulo (cfr.6.1 Esempio 4). L’insieme dei polinomi di grado ≤ n (con n ≥ 1) è un A-sottomodulo ma non è sottoanello dell’anello A[x]. 4. Siano (A; +, ·) un anello e B un suo sottoanello: (A; +) pu` o essere visto come B -modulo rispetto al prodotto esterno coincidente con il prodotto definito in A. Un B -sottomodulo pu` o non essere un sottoanello di A (se B 6= A) e un sottoanello di A pu` o non essere un B -sottomodulo: si dia qualche esempio in proposito. Proposizione 6.2.1. Se {Hi }i∈I è una famiglia non vuota di A-sottomoduli (A-sottoalgeT bre) di un A-modulo sinistro (di una A-algebra) V , il sottoinsieme i∈I Hi è un A-sottomodulo sinistro (A-sottoalgebra) di V . 6.3. Ideali destri e sinistri di un anello. Ideali di una A-algebra. Sia (A; +, ·) un anello; se si considera (A; +) come A-modulo sinistro (come in 6.1 Esempio 3), un A-sottomodulo di (A; +) è un sottoinsieme H di A tale che per ogni h, h0 ∈ H e per ogni a ∈ A si ha h − h0 ∈ H e ah ∈ H : un sottoinsieme cosiffatto viene detto ideale sinistro dell’anello A. In modo analogo si definisce ideale destro dell’anello A un sottoinsieme H di A tale che sia h − h0 ∈ H e ha ∈ H per ogni h, h0 ∈ H e per ogni a ∈ A. Gli ideali destri di A sono gli A-sottomoduli di (A; +), visto come A-modulo destro. Un sottoinsieme H di A che sia contemporaneamente ideale destro e sinistro viene detto ideale bilatero o brevemente ideale dell’anello A. {0} e A sono ideali bilateri (impropri) dell’anello (A; +, ·). Se (V ; +, ·) è un’algebra su un anello (A; +, ·), si chiama ideale sinistro (destro, bilatero) della A-algebra V un sottoinsieme di V che sia ideale sinistro (rispettivamente destro o bilatero) dell’anello (V ; +, ·) e A-sottomodulo dell’A-modulo (V ; +). Esempi. 1. Nell’anello di matrici Matn (K) (ove (K; +, ·) è un campo) per r ∈ {1, 2, . . . , n} è ideale sinistro il sottoinsieme Tr = {(aij ) ∈ Matn (K) | aij = 0 per ogni j 6= r } mentre è ideale destro il sottoinsieme Hr = {(aij ) ∈ Mn (K) | aij = 0 per ogni i 6= r }; si pu` o dimostrare che l’anello (Matn (K); +, ·) non possiede ideali bilateri propri. 2. Nell’anello Z degli interi relativi ogni sottoanello Hn = {kn|k ∈ Z } con n ∈ N0 è un ideale. 3. Se H è un ideale dell’anello (A; +, ·), H è in particolare un sottoanello di A; non ogni sottoanello di un anello è per` o un suo ideale. Ad esempio Z è un sottoanello del campo 50

razionale Q, ma non è un suo ideale. 4. In uno zero-anello gli ideali sono tutti e soli i sottogruppi del gruppo additivo. 5. Nell’anello di polinomi K[x] ((K; +, ·) campo) l’insieme costituito dal polinomio zero e dai polinomi di grado ≤ n è sottogruppo del gruppo additivo, ma non è sottoanello per n ≥ 1; l’insieme costituito dal polinomio zero e dai polinomi di grado zero ` e un sottoanello, ma non è ideale. Per a ∈ K l’insieme Ia = {f (x) ∈ K[x] | f (a) = 0 } è un ideale. Proposizione 6.3.1. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità; se un elemento unitario appartiene ad un ideale sinistro (o destro) I , allora è I = A. Sia v un elemento unitario di A appartenente all’ideale sinistro I; allora 1A = v −1 v ∈ I e quindi per ogni a ∈ A si ha a = a1A ∈ I.

Corollario 6.3.2. Un corpo non possiede né ideali destri né ideali sinistri propri. Proposizione 6.3.3. Ogni anello (A; +, ·), dotato di unità e privo di ideali sinistri (o destri) propri, è un corpo. Per ogni a ∈ A, a 6=0, l’insieme I = {xa | x ∈ A} è un ideale sinistro di A e a = 1A a ∈ I; pertanto I 6= {0} e quindi I = A. Esiste allora x ∈ A tale che 1A = xa e a ammette inverso sinistro. (cfr. 5.2 Esercizio 3)

Proposizione 6.3.4. Ogni anello (A; +, ·), privo di ideali sinistri (destri) propri, è un corpo o uno zero anello. ( di ordine primo; cfr.V, 2.2 Esercizio 7.) Supponiamo che (A; +, ·) non sia uno zero-anello; siano a, b ∈ A tali che ab 6=0. I = {xb | x ∈ A} è un ideale sinistro di A e ab ∈ I; allora I 6= {0} e quindi I = A. Pertanto b ∈ I ed esiste y ∈ A tale che b = yb. Proviamo che y è unità dell’anello A; seguirà la tesi per la Proposizione precedente. Per ogni c ∈ A si ha cb = cyb e quindi (c − cy)b =0; l’elemento c − cy appartiene all’ideale sinistro J = {z ∈ A | zb =0}. Poiché a 6∈ J, è J = {0} e quindi c = cy; y è pertanto unità a destra. Per ogni x, c ∈ A è c(x − yx) = cx − cyx =0 e quindi l’elemento x − yx appartiene all’ideale bilatero T = {t ∈ A | ct =0 per ogni c ∈ A}; poiché y 6∈ T , sarà T = {0} e quindi yx = x per ogni x ∈ A. Ciò prova che y è anche unità sinistra. Esercizio 1. Sia k ∈ Q\{0} fissato. Sia A = {(a, b) | a, b ∈ Q}; A è un anello ripetto alla somma e al prodotto definiti come segue: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ad + bc, bd + kac) I] Si mostri che esistono valori di k per i quali l’anello (A; +, ·) è un campo ed altri per i quali non lo è. II] Si mostri che per ogni r ∈ Q l’insieme Hr = {(a, ra) | a ∈ Q} è un sottogruppo del gruppo additivo (A; +) e che esiste qualche r ∈ Q per il quale Hr non è sottoanello dell’anello (A; +, ·). III] Si mostri che nell’anello (A; +, ·) esistono sottoanelli che non sono ideali. IV] Esistono nell’anello (A; +, ·) ideali propri? ? Esercizio 2. 1) Sia (A; +, ·) un anello commutativo; l’insieme I degli elementi nilpotenti di A (i.e. elementi x ∈ A tali che xn =0 per qualche intero positivo n) è un ideale di A, detto nilradicale di A.(Si tenga presente la Proposizione 5.2.1, v).) 2) Nell’anello (Zn ; +, ·) il nilradicale è proprio se e solo se esiste almeno un primo p tale che p2 divide n. Esercizio 3. Siano (A; +, ·) un anelloPcommutativo P con unità e (G; ·) un gruppo; nell’algebra gruppo AG (cfr. 6.1 Esempio 7) l’insieme I = { g∈G ag g | g∈G ag = 0A } è un ideale bilatero dell’algebra gruppo AG. Esercizio 4. Sia (V ; +, ·) un’algebra sinistra su un anello (A; +, ·); si mostri che, se l’anello (V ; +, ·) è dotato di unità, gli ideali sinistri dell’anello (V ; +, ·) sono tutti e soli gli ideali dell’A-algebra (V ; +, ·).

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7 7.1. Reticoli come strutture algebriche. In II, 3.2 abbiamo introdotto i reticoli come insiemi ordinati (R; ≤); in 1.1 abbiamo osservato che ad un reticolo può essere associata una struttura algebrica (R; ∩, ∪) definita ponendo per ogni a, b ∈ R a ∩ b=inf{a, b} , a ∪ b=sup{a, b}. (∗) Proposizione 7.1.1 Se (R; ≤) è un reticolo e (R; ∩, ∪) è la struttura algebrica ad esso associata, le leggi di composizione ∩ e ∪ sono associative, commutative e soddisfano alla seguente condizione: a ∩ (a ∪ b) = a = a ∪ (a ∩ b) per ogni a, b ∈ R (leggi di assorbimento) Proposizione 7.1.2 Sia (R; ∧, ∨) una struttura algebrica con due leggi di composizione (dette rispettivamente “intersezione” ed “unione”) commutative, associative, soddisfacenti alle leggi di assorbimento a ∧ (a ∨ b) = a = a ∨ (a ∧ b) per ogni a, b ∈ R; allora i) per ogni a ∈ R è a ∧ a = a = a ∨ a; ii) per ogni a, b ∈ R è a ∧ b = a se e solo se è a ∨ b = b; iii) la relazione ¹, definita in R ponendo per x, y ∈ R x ¹ y se e solo se ` e x ∧ y = x, è una relazione d’ordine in R e l’insieme ordinato (R; ¹) è un reticolo (reticolo “associato” alla struttura algebrica (R; ∧, ∨)). iv) se (R; ∩, ∪) è la struttura algebrica associata al reticolo (R; ¹), per ogni a, b ∈ R è a ∩ b = a ∧ b e a ∪ b = a ∨ b (ovvero le operazioni ∩ e ∪ coincidono rispettivamente con le operazioni ∧ e ∨) . i) Scelto comunque b ∈ R si ha a ∧ a = a ∧ [a ∨ (a ∧ b)] = a a ∨ a = a ∨ [a ∧ (a ∨ b)] = a ii) Se a = a ∧ b allora a ∨ b = (a ∧ b) ∨ b = b. Se a ∨ b = b, allora a ∧ b = a ∧ (a ∨ b) = a. iii) Si verifica che per ogni a, b ∈ R è a ∧ b=inf{a, b} e a ∨ b=sup{a, b} rispetto alla relazione d’ordine ¹.

Si verifica facilmente la Proposizione che segue. Proposizione 7.1.3 Sia (R; ≤) un reticolo e sia (R; ∩, ∪) la struttura algebrica ad esso associata; se (R; ¹) è il reticolo associato alla struttura algebrica (R; ∩, ∪), allora per ogni a, b ∈ R ` e a ≤ b se e solo se è a ¹ b (ovvero le relazioni d’ordine ≤ e ¹ coincidono). Un reticolo potrà pertanto essere definito e visto tanto come struttura ordinata quanto come struttura algebrica e verr` a indicato con (R; ∩, ∪; ≤), dove le operazioni ∩, ∪ e la relazione d’ordine ≤ sono legate dalla (∗) e dalla condizione a ≤ b se e solo se a ∩ b = a. Esercizio 1. In un reticolo (R; ∩, ∪, ≤) la relazione d’ordine è compatibile con le operazioni ∩ e ∪, cioè per ogni a, b, c, d ∈ R, se è a ≤ b e c ≤ d, allora è a ∩ c ≤ b ∩ d e a ∪ c ≤ b ∪ d.

Esempi. 1. L’insieme P(X) delle parti di un insieme X è un reticolo rispetto alle operazioni di intersezione e unione insiemistiche e rispetto alla relazione d’ordine di inclusione insiemistica. 2. N0 è un reticolo rispetto alla relazione d’ordine ≤ definita ponendo per a, b ∈N0 a≤b se e solo esiste c ∈ N0 tale che b = ac; per a, b ∈ N0 sar` a a ∩ b=M.C.D.(a, b) e a ∪ b=m.c.m.(a, b) (dove in particolare M.C.D.(0, a) = a e m.c.m.(0, a) = 0 per ogni a ∈ N0 ). 3. Sia S l’insieme dei punti di un piano π; sia R l’insieme i cui elementi sono l’insieme vuoto ∅, i punti di π, le rette di π, S stesso. (R; ≤) è un reticolo rispetto all’inclusione 52

insiemistica. Si osservi che in questo reticolo, se A e B sono due punti distinti, A∩B è l’insieme vuoto, mentre A ∪ B è la retta che li congiunge (e non è quindi l’unione “insiemistica”); se r ed s sono due rette distinte, ` e S = r ∪ s. 4. Sia π un piano proiettivo; l’insieme che ha per elementi l’insieme vuoto, i punti di π , le rette di π e π stesso è un reticolo rispetto all’inclusione insiemistica. Anche in questo caso l’unione (nel reticolo) di due elementi non è in generale la loro unione insiemistica. Accanto ad ogni reticolo (R; ∩, ∪; ≤) si può considerare il reticolo duale (R; ∧, ∨; ¹) dove a ∧ b = a ∪ b, a ∨ b = a ∩ b e a ¹ b se e solo se b ≤ a (si badi che qui i simboli ∧, ∨, ¹ sono usati con significato diverso da quello che avevano nelle Proposizioni 7.1.2 e 7.1.3). Teorema 7.1.4 - Principio di dualit` a. Sia P un enunciato di una proposizione in teoria dei reticoli ove intervengono soltanto le operazioni ∩, ∪ e sia P¯ l’enunciato ottenuto da P scambiando fra loro i simboli delle operazioni ∩, ∪. Allora anche P¯ è un enunciato in teoria dei reticoli detto “duale di P ”. Definizione. Se in un reticolo (R; ∩, ∪) esiste elemento neutro rispetto all’unione, tale elemento viene detto zero del reticolo R e viene indicato con 0; lo zero di un reticolo, qualora esista, è l’elemento minimo dell’insieme ordinato (R, ≤). Definizione. Se in un reticolo (R; ∩, ∪) esiste elemento neutro rispetto all’intersezione, tale elemento viene detto unit` a del reticolo R e viene indicato con 1; l’unità di un reticolo, qualora esista, è l’elemento massimo dell’insieme ordinato (R, ≤). I reticoli dati negli Esempi sono tutti dotati di zero e unità. Rispetto alla relazione d’ordine definita nell’Esempio 2 anche N è un reticolo, che possiede zero, ma non unità; il suo duale è ovviamente un reticolo dotato di unità, ma non di zero. Il reticolo dato in II.3.2 Esercizio 1 è privo di zero e di unità. Esercizio 2. Ogni reticolo finito possiede zero e unità.

Definizione. Sia R un reticolo dotato di zero e di unità e sia a ∈ R; un elemento a0 ∈ R viene detto complemento di a se a ∩ a0 = 0 e a ∪ a0 = 1. Osservazioni. Lo zero e l’unità sono rispettivamente l’uno il complemento dell’altro e se a0 è un complemento di a, a è un complemento di a0 . Con riferimento agli Esempi dati sopra notiamo che in 1 ogni elemento ha uno ed un solo complemento (il cosiddetto “insieme complementare”); in 2 nessun elemento, diverso dallo zero e dall’unità del reticolo, ha complemento; in 3,4 ogni elemento (diverso dallo zero e dall’unità) ha pi` u di un complemento. Osserviamo che negli Esempi 1 e 2 ognuna delle due operazioni del reticolo è distributiva rispetto all’altra; ciò non accade negli Esempi 3 e 4. Definizione. Un reticolo (R; ∩, ∪) è detto distributivo se per ogni a, b, c ∈ R si ha: i) a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c), ii) a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c). Si verifica facilmente che le condizioni i) e ii) si implicano a vicenda. Proposizione 7.1.5 Sia (R; ∩, ∪) un reticolo distributivo, dotato di zero e di unità; se un elemento a ∈ R ha complemento, ne ha uno solo. Siano a0 , a” ∈ R due complementi di a in R. Si ha a0 = a0 ∪ (a ∩ a”) = (a0 ∪ a) ∩ (a0 ∪ a”) =1∩(a0 ∪ a”) = a0 ∪ a”, a” = a” ∪ (a ∩ a0 ) = (a” ∪ a) ∩ (a” ∪ a0 ) =1∩(a” ∪ a0 ) = a” ∪ a0 ; 0 da a ∪ a” = a” ∪ a0 segue a0 = a”. Esercizio 3. Sia (L; ∩, ∪, ≤) un reticolo; per ogni a, b ∈ L con a ≤ b sia Xa,b = {x ∈ L | a =inf{b, x} }. Si osservi che Xa,b non è vuoto e ammette minimo. 53

Si provi che, se il reticolo è finito e distributivo, per ogni a, b ∈ L l’insieme Xa,b ammette massimo. Si mostri con esempi che non vale il viceversa.

Abbiamo già osservato che il reticolo dato nell’Esempio 4 non è distributivo; tuttavia per ogni x, y, z ∈ R con x ≤ z si ha x ∪ (y ∩ z) = (x ∪ y) ∩ (x ∪ z) = (x ∪ y) ∩ z

Una condizione di questo genere (pi` u debole della proprietà distributiva) definisce i cosiddetti reticoli “modulari”. Definizione. Un reticolo (R; ∩, ∪) è detto modulare (o di Dedekind) se per ogni a, b, c ∈ R con a ≤ c risulta a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ c

Come già detto, ogni reticolo distributivo è modulare, ma non viceversa: Esempio 4. Esistono reticoli non modulari: Esempio 3. 7.2. Reticoli e anelli di Boole. Definizione. Un reticolo (R; ∩, ∪) è detto di Boole o algebra di Boole se: i) è distributivo, ii) è dotato di zero e unità, iii) ogni elemento a ∈ R ha un complemento a0 ∈ R (unico, per la Proposizione 7.1.5). Esempio. Il reticolo (P(X); ∩, ∪) (cfr. 7.1 Esempio 1) è un reticolo di Boole. Esercizio 1. Sia n un intero fissato con n ≥ 2. Sia R l’insieme dei divisori interi positivi di n; sia (R; ≤) il reticolo definito da a ≤ b se e solo se a divide b. Si provi che (R; ≤) è un reticolo di Boole se e solo se n non è divisibile per alcun quadrato di primo.

Proposizione 7.2.1. (Leggi di De Morgan) Sia (R; ∩, ∪) un reticolo di Boole; per ogni a, b ∈ R si ha: i) (a ∪ b)0 = a0 ∩ b0 , ii) (a ∩ b)0 = a0 ∪ b0 . Occorre e basta verificare che (a ∪ b) ∩ (a0 ∩ b0 ) =0 e (a ∪ b) ∪ (a0 ∩ b0 ) =1.

La classe delle algebre di Boole è strettamente connessa con una classe di anelli usualmente detti “anelli di Boole”. Definizione. Un anello (R; +, ·) è detto anello di Boole se è dotato di unità e per ogni a ∈ R, si ha a2 = a, cio` e ogni a ∈ R è “idempotente”. Esempio. L’anello (Z2 ; +, ·) è un anello di Boole. Proposizione 7.2.2. Sia (R; +, ·) un anello di Boole: 1) Per ogni a ∈ R si ha 2a = a + a = 0, cioè a = −a, 2) R è un anello commutativo. ` 2a = (2a)2 = 4a2 = 4a e quindi 2a = 0. 1) E 2) Per ogni a, b ∈ R da a + b = (a + b)2 = a2 + b2 + ab + ba = a + b + ab + ba segue ab + ba = 0 e quindi ab = −ba = ba. Si osservi che nell’anello Z2 [x] valgono le condizioni 1) e 2), ma l’anello non è di Boole.

La connessione fra anelli di Boole e algebre di Boole è espressa dalla seguente: Proposizione 7.2.3. 1) Sia (R; ∩, ∪) un’algebra di Boole; per ogni a, b ∈ R si ponga a + b = (a ∩ b0 ) ∪ (a0 ∩ b) a · b = a ∩ b.

Si definiscono cos´ı in R due operazioni + e · tali che (R, +, ·) è un anello di Boole. 54

2) Sia (R; +, ·) un anello di Boole; per ogni a, b ∈ R si ponga a∩b=a·b a ∪ b = a + b + a · b.

Si definiscono cos´ı in R due operazioni ∩, ∪ tali che (R, ∩, ∪) è un’algebra di Boole. Esercizio 2. In S = { σ = (x1 , x2 , . . .) | xi ∈ Z2 } si definisca un prodotto componente per componente. Per σ, τ ∈ S si ponga σ ≤ τ se e solo se esiste ω ∈ S tale che σ = τ ω. Si verifichi quanto segue. i) ≤ è relazione d’ordine, non totale, in S. ii) (S; ≤) è un reticolo di Boole.

7.3. Sottoreticoli di un reticolo. Definizione. Sottoreticolo di un reticolo (R; ∩, ∪) è un sottoinsieme H di R che è reticolo rispetto alle operazioni ∩ e ∪ definite in R. Un sottoinsieme H di un reticolo (R; ∩, ∪) è un sottoreticolo se e solo se per ogni h1 , h2 ∈ H si ha h1 ∩ h2 ∈ H e h1 ∪ h2 ∈ H . Esempi. 1. Sia X un insieme e Y un suo sottoinsieme; il reticolo P(Y ) delle parti di Y è un sottoreticolo del reticolo P(X) delle parti di X . 2. Nel gruppo (Z; +) per ogni intero non negativo n si consideri il sottogruppo Hn = {kn | k ∈ Z }; l’insieme { Hn | n ∈ N0 } ` e un reticolo rispetto all’inclusione insiemistica, ma non è un sottoreticolo del reticolo P(Z) delle parti di Z. Definizione. Sia X un insieme; si chiama algebra su X un qualunque sottoanello M dell’anello di Boole (P(X); +, ·) (cfr. Proposizione 7.2.3) che contiene l’unità X dell’anello. Un’algebra è pertanto un qualunque sottoinsieme M di P(X) tale che i) X ∈ M; ii) per ogni Y ∈ M è Y c ∈ M ( dove Y c = X − Y complemento di Y in X ); iii) per ogni Y1 , Y2 ∈ M è Y1 ∪ Y2 ∈ M. Se M è un’algebra su X , allora per ogni n ∈ N e per ogni Y1 , Y2 , . . . , Yn ∈ M si ha ∪ni=1 Yi ∈ M e ∩ni=1 Yi ∈ M. Un’algebra su X è in particolare un sottoreticolo del reticolo (P(X); ∩, ∪). e una collezione di Definizione. σ -algebra su X è un’algebra M tale che, se {Yi }∞ i=1` sottoinsiemi di X appartenenti ad M, allora ∪∞ Y ∈ M (e pertanto anche ∩∞ i=1 i i=1 Yi ∈ M.) 7.4. Il reticolo delle sottostrutture. Sia S una delle strutture considerate nei paragrafi precedenti; l’insieme L[S] delle sottostrutture di S ( a cui si aggiunga eventualmente l’insieme vuoto, ad esempio se S è un semigruppo) è un reticolo rispetto all’inclusione insiemistica. Precisamente se H e K sono due sottostrutture di S , l’intersezione insiemistica H ∩ K è inf{H, K}, mentre l’intersezione di tutte le sottostrutture di S che contengono H e K (fra le quali c’è S stessa) è sup{H, K} (cfr. II, Proposizione 3.1.1). In generale sup{H, K} non coincide con l’unione insiemistica di H e K ; pertanto, sebbene gli elementi di L[S] siano anche elementi di P(S), il reticolo (L[S]; ⊆) non è sottoreticolo del reticolo (P(S); ⊆). Esercizio 1. Siano H e K due sottogruppi di un gruppo (G; ·); si provi che sup{H, K} coincide con l’unione insiemistica di H e K se e solo se è H ⊆ K o K ⊆ H.

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8 8.1. Isomorfismo. Automorfismi. Definizione. Siano S e T due insiemi; siano ? una legge di composizione in S e ¦ una legge di composizione in T . Si dice che un’applicazione f : S → T conserva la legge di composizione se per ogni a, b ∈ S è f (a ? b) = f (a) ¦ f (b). Definizione. ˆ ˆ?) sono due strutture algebriche omologhe con una legge di compo1. Se (S; ?) e (S; sizione (ad esempio, entrambe semigruppi, entrambe monoidi, entrambe gruppi), ˆ ˆ?) un’applicazione biiettiva da S a T che consi chiama isomorfismo di (S; ?) su (S; serva il prodotto. ˆ +,ˆ ˆ ·) sono due anelli, si chiama isomorfismo del primo anello sul 2. Se (A; +, ·) e (A; secondo un’applicazione biiettiva f : A → Aˆ che conserva la somma e il prodotto, ˆ (b) e f (ab) = f (a)ˆ·f (b). ovvero tale che per ogni a, b ∈ A si ha f (a + b) = f (a)+f ˆ +,ˆ ˆ ·) ` Un isomorfismo dell’anello (A; +, ·) sull’anello (A; e dunque un isomorfismo del ˆ ˆ che conserva anche il prodotto. gruppo additivo (A; +) sul gruppo additivo (A; +) ˆ sono due moduli (entrambi sinistri o destri) sullo stesso anello 3. Se (V ; +) e (Vˆ ; +) ˆ un’applicazione biiettiva f : (A; +, ·), si chiama A-isomorfismo di (V ; +) su (Vˆ ; +) V → Vˆ che conserva la somma e il prodotto esterno, ovvero tale che per ogni v, w ∈ V ˆ (w) e f (av) = af (v). e per ogni a ∈ A è f (v + w) = f (v)+f ˆ ` Un A-isomorfismo dell’A-modulo (V ; +) sull’A-modulo (Vˆ ; +) e dunque un isomorfismo ˆ che conserva il prodotto esterno. del gruppo (V ; +) sul gruppo (Vˆ ; +) ˆ ˆ?, ◦, . . .) sono strutture algebriche omologhe, si chiama 4. In generale, se (S; ?, ◦, . . .) e (S, isomorfismo della prima sulla seconda un’applicazione biiettiva di S su Sˆ che conserva tutte le operazioni.

Osservazione. Indicato con Z+ l’insieme dei numeri interi positivi, l’applicazione f : N→ Z+ definita ponendo f (n) = +n per ogni n ∈ N, ` e un isomorfismo della struttura algebrica (N;+, ·) sulla struttura algebrica (Z+ , +, ·) (dove + e · indicano le usuali operazioni di somma e prodotto in N e in Z). In questo senso si “identificano” N e Z+ . Nell’insieme di tutte le strutture omologhe di un dato tipo (semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, A-moduli sullo stesso anello A) si definisce una relazione di equivalenza assoˆ ˆ?, . . .) se e solo se esiste un isomorfismo ciando ad una struttura (S; ?, . . .) una struttura (S; della prima sulla seconda; due strutture associate in questa relazione vengono dette isomorfe. Ogni struttura algebrica (S; ?, . . .) è in particolare isomorfa a se stessa; gli isomorfismi di (S; ?, . . .) su se stessa vengono detti automorfismi. Proposizione 8.1.1 Gli automorfismi di una data struttura algebrica (S; ?, . . .)costituiscono un gruppo Aut(S) rispetto al prodotto di applicazioni. Aut(S) è un sottoinsieme del gruppo delle applicazioni biiettive di S in se stesso; basterà allora verificare che per α, β ∈Aut(S) è αβ ∈Aut(S) e α−1 ∈Aut(S).

Diamo solo alcuni esempi; molti altri verranno visti in seguito e negli Esercizi. Esempi. 1. Siano (G; ·) il gruppo costituito dai numeri reali positivi rispetto all’ordinario prodotto e (R; +) il gruppo costituito dai numeri reali rispetto all’ordinaria somma: l’applicazione f : G → R definita da f (x) = log x per ogni x ∈ G ` e un isomorfismo. 2. Il gruppo (R; +) e il gruppo (R \{0}; ·) non sono isomorfi. 56

3. Il gruppo (R; + ) è isomorfo al gruppo (T ; ·) delle traslazioni sulla retta reale. (cfr. 4.3 Esempio 3) 4. Il gruppo simmetrico S3 (cfr. 4.2) è isomorfo al gruppo costituito dall’insieme di matrici ad½elementi in R ¶ µ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶¾ 1 0

0 1

,

0 1

1 0

,

0 −1

1 −1

,

−1 1

−1 0

,

−1 0

−1 1

,

1 −1

0 −1

.

rispetto al prodotto “righe per colonne”(cfr.Esempio 4 in 5.2) 5. L’applicazione f : Z →Z definita da f (a) = −a per ogni a ∈ Z è un automorfismo del gruppo (Z ; +), ma non è un automorfismo dell’anello (Z; +, ·). Visto (Z ; +) come Z-modulo (rispetto al prodotto esterno coincidente con il prodotto definito in Z), f è un suo Z-automorfismo. 6. Il gruppo degli automorfismi del gruppo (Q ; +) è isomorfo al gruppo (Q\{0}; ·). Il campo (Q; +, ·) e il campo (R ;+, ·) possiedono solo l’automorfismo identico. 7. Se in R4 = {(a0 , a1 , a2 , a3 ) | ai ∈ R } si definiscono una “somma” componente per componente e un “ prodotto” ponendo (a0 , a1 , a2 , a3 )(b0 , b1 , b2 , b3 ) = (a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 , a0 b1 + a1 b0 + a2 b3 − a3 b2 , a0 b2 + a2 b0 − a1 b3 + a3 b1 , a0 b3 + a3 b0 + a1 b2 − a2 b1 ), si ottiene un corpo. Questo corpo è isomorfo al corpo dei quaternioni di Hamilton H (cfr. 5.2, Esercizio 4): basta considerare ad esempio l’applicazione f : R4 → H definita da µ f ((a0 , a1 , a2 , a3 )) =

a0 + a1 i −a2 + a3 i

a2 + a3 i a0 − a1 i

¶

Segnaliamo che spesso gli elementi del corpo qui introdotto (e quindi del corpo dei quaternioni reali) vengono scritti come somme formali a0 + a1 i + a2 j + a3 k su cui il prodotto opera (attraverso le propriet` a distributive) ponendo i2 = j 2 = k2 = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik . 8. Se (A; +, ·) è un anello, il sottoanello di (A[×]; +, ·), costituito dallo zero e dai polinomi di grado zero, è isomorfo all’anello (A; +, ·). ˆ ˆ?). Se S possiede elemento neutro e rispetto alla ?, Esercizio 1. Sia f un isomorfismo di (S; ?) su (S; ˆ allora f (e) è elemento neutro di S rispetto alla ˆ?; se un elemento s ∈ S ammette inverso s−1 ∈ S, allora f (s) ammette come inverso in Sˆ l’elemento f (s−1 ). Esercizio 2. Sia (A; +, ·) un anello commutativo; fissato un elemento c ∈ A\{0A }, si definisca in A una legge di composizione ? ponendo per ogni a, b ∈ A a ? b = abc, Si mostri che I] (A; +, ?) è un anello; II] se l’anello (A; +, ?) possiede unità, allora anche l’anello (A; +, ·) possiede unità e i due anelli sono isomorfi; III] anche se l’anello (A; +, ·) possiede unità, l’anello (A; +, ?) può non avere unità e in tal caso i due anelli non sono isomorfi; IV] se l’anello (A; +, ·) è un campo, allora l’anello (A; +, ?) è un campo isomorfo a (A; +, ·). Esercizio 3. Sia n un intero positivo pari; nell’insieme Zn delle classi di resti mod n si definisca una legge ? ponendo per ogni [a]n , [b]n ∈ Zn [a]n ? [b]n = [(−1)b a + (−1)a b]n . Si verifichi che I] ? è una legge di composizione in Zn ; II] (Zn ; ?) è un gruppo; III] l’applicazione f : (Zn ; +) →(Zn ; ?) , definita ponendo f ([r]n ) = [(−1)r−1 r]n per ogni [r]n ∈ Zn , è un isomorfismo di gruppi. Esercizio 4. Sia α(x) ∈ R[x]; si provi che se a + ib ∈ C è radice di α(x), lo è anche a − ib ∈ C. Se ne deduca che i polinomi irriducibili in R[x] hanno grado ≤ 2.( Si tenga presente il Teorema 5.5.15.)

57

La Proposizione che segue mostra come ogni gruppo possa essere “visto” come un gruppo di trasformazioni. Proposizione 8.1.2. Sia (G; ·) un gruppo; per ogni a ∈ G si considerino le applicazioni δa e σa da G a G definite rispettivamente da δa (g) = ga e σa (g) = ag per ogni g ∈ G. i) δa e σa sono applicazioni biiettive di G su se stesso; ii) ∆(G) = {δa | a ∈ G} e Σ(G) = {σa | a ∈ G} sono gruppi di trasformazioni, isomorfi al gruppo G; essi vengono detti rispettivamente Cayleyano destro e Cayleyano sinistro di G. i) Se g1 a = g2 a allora g1 = g2 e pertanto δa è iniettiva; per ogni g ∈ G è g = (ga−1 )a = δa (ga−1 ) e pertanto δa è suriettiva. ii) Per ogni a, b ∈ G è δa δb−1 = δab−1 ∈ ∆(G) e σa σb−1 = σb−1 a ∈ Σ(G); pertanto ∆(G) e Σ(G) sono gruppi di trasformazioni. L’applicazione φ : ∆(G) → G definita ponendo φ(δa ) = a e l’applicazione ψ : Σ(G) → G definita ponendo ψ(σa ) = a−1 sono isomorfismi di gruppi.

La Proposizione che segue mostra come ogni anello possa essere “visto” come sottoanello di un anello dotato di unità. Proposizione 8.1.3. Sia (A; +, ·) un anello; sia R = {(a, n) | a ∈ A, n ∈ Z }. L’insieme R è un anello rispetto alla somma componente per componente e rispetto al prodotto definito come segue: (a1 , n1 )(a2 , n2 ) = (a1 a2 + n2 a1 + n1 a2 , n1 n2 )

L’anello (R; +, ·) è dotato di unità (0A , 1) e l’insieme {(a, 0) | a ∈ A} è un suo sottoanello, isomorfo all’anello (A; +, ·). La dimostrazione è una semplice verifica.

Infine abbiamo introdotto anche la struttura algebrica di reticolo (R; ∩, ∪). ˆ ∧, ∨) una Definizione. Si chiama isomorfismo del reticolo (R; ∩, ∪) sul reticolo (R; ˆ applicazione biiettiva f : R → R che conserva l’intersezione e l’unione, cioè tale che per ogni a, b ∈ R si ha f (a ∩ b) = f (a) ∧ f (b), f (a ∪ b) = f (a) ∨ f (b). Ricordiamo che un reticolo è stato definito come “struttura ordinata” (cfr.II,3.2). ˆ ¹) due reticoli; sia f : R → R ˆ un’applicazione Proposizione 8.1.4. Siano (R; ≤) e (R; biiettiva di R su Rˆ . Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’applicazione f è un isomorfismo fra i reticoli R e Rˆ , visti come strutture algebriche, (ovvero per ogni a, b ∈ R è f (inf{a, b})=inf{f (a), f (b)} e f (sup{a, b})=sup{f (a), f (b)}); ii) per ogni a, b ∈ R è a ≤ b se e solo se è f (a) ¹ f (b). Esercizio 5. Siano (R72 ; ≤) e (R96 ; ≤) i reticoli costituiti dai divisori in N rispettivamente di 72 e di 96 rispetto alla relazione d’ordine ≤ definita da a ≤ b se e solo se a divide b in N; si mostri che esistono applicazioni biiettive tra i due reticoli, ma nessuna di esse è un isomorfismo. β1 β2 1 α2 Esercizio 6. Si considerino due interi positivi n = pα 1 p2 (con p1 , p2 primi distinti), m = q1 q2 (con q1 , q2 primi distinti) e i reticoli (Rn ; ≤), (Rm ; ≤) definiti come nell’Esercizio 3; si provi che i due reticoli sono isomorfi se e solo se è possibile scegliere gli indici in modo che sia αi = βi per i = 1, 2.

58

9 9.1. Prodotto cartesiano di strutture algebriche. Sia {(Sλ ; ?, ◦, · · ·)}λ∈Λ una famiglia di strutture algebriche omologhe ( semigruppi, gruppi, anelli, reticoli, A-moduli su un dato anello A),non necessariamente distinte. Indichiamo con Crλ∈Λ Sλ il prodotto cartesiano degli insiemi Sλ n o Crλ∈Λ Sλ = {sλ }λ∈Λ |sλ ∈ Sλ e definiamo in esso delle operazioni, che indichiamo ancora con ?, ◦, · · ·, ponendo {sλ }λ∈Λ ? {tλ }λ∈Λ = {sλ ? tλ }λ∈Λ {sλ }λ∈Λ ◦ {tλ }λ∈Λ = {sλ ◦ tλ }λ∈Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .;

(Crλ∈Λ Sλ ; ?, ◦, · · ·) è una struttura algebrica omologa alle date (Sλ ; ?, ◦, · · ·) e viene detta prodotto cartesiano delle Sλ . Esercizio 1. Sia {(Sλ ; ?, ◦, · · ·)}λ∈Λ una famiglia di strutture algebriche omologhe ( semigruppi, gruppi, anelli, reticoli, A-moduli); sia T l’unione degli insiemi Sλ . Si consideri l’insieme F delle applicazioni f : Λ → T tali che sia f (λ) ∈ Sλ per ogni λ ∈ Λ e si definiscano in F le operazioni ?, ◦, · · · ponendo per ogni f1 , f2 ∈ F e per ogni λ ∈ Λ (f1 ? f2 )(λ) = f1 (λ) ? f2 (λ) (f1 ◦ f2 )(λ) = f1 (λ) ◦ f2 (λ) ........................... Si verifichi che (F ; ?, ◦, · · ·) è una struttura algebrica omologa a quelle date e isomorfa a (Crλ∈Λ Sλ ; ?, ◦, · · ·).

Se {(Gλ ; ·)}λ∈Λ è una famiglia di gruppi (non necessariamente distinti), il prodotto cartesiano (Crλ∈Λ Gλ ; ·) è un gruppo, che viene detto anche prodotto diretto completo dei gruppi Gλ . Proposizione 9.1.1 Sia {(Gλ ; ·)}λ∈Λ una famiglia di gruppi. I) L’insieme n o {gλ }λ∈Λ ∈ Crλ∈Λ Gλ | gλ 6= 1λ (unit` a di Gλ ) per al pi´ u un numero finito di λ è un sottogruppo del gruppo (Crλ∈Λ Gλ ; ·); esso viene detto prodotto diretto discreto dei gruppi Gλ e indicato con Drλ∈Λ Gλ (ma anche con Xλ∈Λ Gλ ). II) Per ogni µ ∈ Λ l’insieme n o Hµ = {gλ }λ∈Λ ∈ Crλ∈Λ Gλ | gλ = 1λ per ogni λ 6= µ è un sottogruppo del gruppo (Drλ∈Λ Gλ ; ·), isomorfo al gruppo (Gµ ; ·). Osservazioni. 1. Se l’insieme Λ è finito, i gruppi Crλ∈Λ Gλ e Drλ∈Λ Gλ coincidono; si parla allora semplicemente di prodotto diretto dei gruppi Gλ e lo si indica per lo pi´ u con Xλ∈Λ Gλ . 2. Se nei gruppi Gλ l’operazione è indicata come “somma”, si usa parlare di “somma diretta” anziché di “prodotto diretto” e scrivere ⊕λ∈Λ Gλ . Esercizio 2. Siano G1 e G2 due gruppi (non ridotti all’unità) e sia G = G1 × G2 il loro prodotto diretto; si provi quanto segue. i) G è finito se e solo se G1 e G2 sono finiti. ii) G è abeliano se e solo se G1 e G2 sono abeliani. Esercizio 3. Siano r e s due interi maggiori di 1; siano G1 = (Zr ; +), G2 =(Zs ; +) e G = G1 × G2 . Si osservi che il gruppo G ha ordine rs e si provi che G è isomorfo al gruppo (Zrs ; +) se e solo se M.C.D.(r, s) = 1.

Il prodotto diretto discreto di una qualsiasi famiglia di gruppi isomorfi a (Z; +) viene detto gruppo abeliano libero; la cardinalità della famiglia viene detta rango del gruppo abeliano libero. 59

Ogni gruppo abeliano libero è isomorfo al prodotto diretto discreto di una famiglia di “copie” del gruppo (Z ;+). Se {(Aλ ; +, ·)}λ∈Λ è una famiglia di anelli, il prodotto cartesiano (Crλ∈Λ Aλ ; +, ·) è un anello che viene detto anche somma diretta completa degli anelli Aλ . Proposizione 9.1.2 Sia {(Aλ ; +, ·)}λ∈Λ una famiglia di anelli. I) L’insieme © ª {aλ }λ∈Λ ∈ Crλ∈Λ Aλ | aλ 6= 0λ (zero di Aλ ) per al pi´ u un numero finito di λ è un anello rispetto alla somma e al prodotto definiti nell’anello (Crλ∈Λ Aλ ; +, ·); esso viene detto somma L diretta discreta degli anelli Aλ e indicato con Drλ∈Λ Aλ (o anche, pi` u spesso, con λ∈Λ Aλ ). II) Per ogni µ ∈ Λ l’insieme n o Hµ = {aλ }λ∈Λ ∈ Crλ∈Λ Aλ | aλ = 0λ per ogni λ 6= µ è un ideale bilatero dell’anello (Drλ∈Λ Aλ ; +, ·), isomorfo all’anello (Aµ ; +, ·). Esercizio 4. Sia {(AλL ; +, ·)}λ∈Λ ) una famiglia di anelli (non ridotti al solo zero) con |Λ| > 1; siano A =Crλ∈Λ Aλ e sia B = λ∈Λ Aλ . Si provi che i) gli anelli A e B possiedono divisori dello zero; ii) l’anello A possiede unità se e solo se ogni anello Aλ possiede unità; iii) se l’insieme Λ degli indici è infinito, l’anello B non possiede unità.

Se {(Vλ ; +)}λ∈Λ è una famiglia di A-moduli tutti sinistri (o tutti destri) (non necessariamente distinti) sullo stesso anello A, il prodotto cartesiano (Crλ∈Λ Vλ ; +) è un A-modulo sinistro (risp. destro), che viene detto anche somma diretta completa degli A-moduli Vλ . Proposizione 9.1.3 Sia {(Vλ ; +)}λ∈Λ una famiglia di A-moduli sinistri. I) L’insieme n o {vλ }λ∈Λ ∈ Crλ∈Λ Vλ | vλ 6= 0λ (zero di Vλ ) per al pi´ u un numero finito di λ è un A-modulo sinistro rispetto alla somma e al prodotto esterno definiti per Crλ∈Λ Vλ ; esso viene detto somma diretta discreta (o anche semplicemente L somma diretta) degli A-moduli Vλ e indicato con Drλ∈Λ Vλ (o anche pi` u spesso con λ∈Λ Vλ ). II) Per ogni µ ∈ Λ l’insieme n o Hµ = {vλ }λ∈Λ ∈ Crλ∈Λ Vλ | vλ = 0λ per ogni λ 6= µ è un A-sottomodulo dell’ A-modulo (Drλ∈Λ Vλ ; +), isomorfo all’A-modulo (Vµ ; +). In particolare, se A è un anello dotato di unità, ogni somma diretta di una famiglia di A-moduli sinistri (o destri) isomorfi all’A-modulo sinistro (risp. destro) (A; +), presentato in 6.1 Esempio 3, viene detto A-modulo libero sinistro (risp. destro); se l’anello A è commutativo, la cardinalità della famiglia viene detta rango dell’A-modulo libero. Un gruppo abeliano G pu` o essere visto come Z-modulo (cfr.6.1 Esempio 2); G sarà un gruppo abeliano libero se e solo se G è uno Z-modulo libero. Se (K; +, ·) è un corpo, il gruppo (K; +) può essere visto come spazio vettoriale sinistro (o destro) su K ; la somma diretta di n copie di (K; +) è spazio vettoriale sinistro (risp. destro) (di dimensione n) su K .

60

TEMI IV 1. Sia (S; ·) un semigruppo commutativo tale che s2 = s per ogni s ∈ S. Si definisca in S una relazione ρ ponendo per x.y ∈ S x ρ y se e solo se x = xy. I] Si verifichi che (S; ρ) è un insieme ordinato in cui esiste inf(a, b) per ogni a, b ∈ S. II] Si mostri che, se |S| = 2, allora (S; ρ) è un reticolo. III] Si mostri con esempi che, se |S| = 3, (S; ρ) può essere un reticolo, ma può anche non esserlo. (A tale scopo si pu` o dare il semigruppo (S; ·) attraverso la sua tavola di composizione.) Sugg. I] ab =inf {a, b} II] Se |S| = 2, (S; ρ) è totalmente ordinato.

2. Sia X un insieme infinito; sia S = X X il monoide costituito dalle applicazioni da X a X rispetto al prodotto di applicazioni. Si mostri che, se f ∈ S è iniettiva ma non suriettiva, f non possiede inverso sinistro in S, ma possiede infiniti inversi destri. Sugg. III Proposizione 1.2.4. Per ogni y ∈ X si definisca gy : X → X ponendo ½ 0 x , se x = f (x0 ) ∈ f (X); gy (x) = y, se x 6∈ f (X).

3. Sia X un insieme con almeno due elementi; sia (SX ; ·) il gruppo costituito dalle applicazioni biiettive di X su X (rispetto al prodotto di applicazioni). I] Si mostri che il gruppo (SX ; ·) non è ridotto all’unità. II] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’insieme X possiede esattamente due elementi; ii) il gruppo (SX ; ·) è abeliano; iii) esiste σ ∈ SX , σ 6= I (I applicazione identica) tale che στ = τ σ per ogni τ ∈ SX . Sugg. II] iii) ⇒ i) Sia σ(x1 ) = x2 6= x1 . Se |X| ≥ 3 e x3 ∈ X − {x1 , x2 } è στ 6= τ σ per τ ∈ SX tale che τ (x2 ) = x3 , τ (x3 ) = x2 .

4. Sia G un gruppo non ridotto all’unità e sia G∗ = G\{1G }. Si definisca in G∗ una relazione ρ ponendo per a, b ∈ G∗

aρb se e solo se ab = ba. Si provi quanto segue. I] ρ è una relazione di equivalenza in G∗ se e solo se due qualsiansi elementi permutabili di G∗ hanno lo stesso centralizzante. In tal caso il centro Z(G) è un sottogruppo improprio di G. II] Se Z(G) = G, allora ρ è una relazione di equivalenza. Se Z(G) = {1G }, ρ può essere relazione di equivalenza, ma può anche non esserlo. (Si possono ad esempio considerare i gruppi di sostituzioni S3 e S4 .) Sugg. I] 4.3 Esercizio 2. II] In G = S4 siano σ = (12)(34), τ = (13)(24); è στ = τ σ, (12) ∈ CS4 (σ) ma (12) 6∈ CS4 (τ ).

5. Sia G = {(x, y) | x, y ∈ C}. I] Si verifichi che G è un gruppo rispetto al prodotto definito da (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 + x1 x2 ), dove x2 indica il complesso coniugato di x2 . II] Si mostri che G non è abeliano e se ne determini il centro Z(G). Sugg. II] Z(G) = {(0, y)|y ∈C}.

6. Nel gruppo simmetrico (S5 ; ·) su 5 lettere si considerino gli elementi α = (1, 2, 3, 4, 5),

β = (1, 2, 3)(4, 5)

e gli insiemi 61

A = {αr | r ∈ Z} B = {β r | r ∈ Z}. I] Si provi che A e B sono sottogruppi abeliani di (S5 ; ·) e se ne determinino l’ordine e gli elementi distinti. II] Posto C = {αr β s | r, s ∈ Z}, si mostri che C non è un sottogruppo di (S5 ; ·). Sugg. II] β, α ∈ C ma βα = (1, 3, 2, 4) 6∈ C: basta mostrare che βαβ −s 6∈ A per 0 ≤ s ≤ 5.

7. Sia (A; ·) un gruppo; sia G = {(a, d) | a ∈ A, d ∈ {+1, −1}}. Si definisca in G un “prodotto” ponendo (a1 , d1 )(a2 , d2 ) = (a1 ad21 , d1 d2 ) Si provi che I] (G; ·) è un gruppo se e solo se il gruppo (A, ·) è abeliano; II] (G; ·) è un gruppo abeliano se e solo se è a2 = 1A per ogni a ∈ A.

8. Sia (A; +, ·) un anello finito, non ridotto al solo zero; si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) L’anello non possiede unità; ii) ogni elemento non nullo di A è divisore dello zero. Sugg. Un elemento non nullo, non divisore dello zero, è cancellabile a destra e a sinistra rispetto al prodotto.

9. Sia (A; +, ·) un anello non ridotto al solo zero. Si provi che esso è un corpo se e solo se per ogni a ∈ A, a 6= 0 e per ogni b ∈ A esiste uno ed un solo x ∈ A tale che ax = b. Sugg. Se ab = 0A con a, b ∈ A\{0}, allora l’equazione ax = 0A ammette almeno due soluzioni.

10. Sia (K; +, ·) un campo; sia (A; +, ·) l’anello (commutativo, dotato di unità) costituito dalle coppie ordinate (a, b) ∈ K × K rispetto alla somma componente per componente e al prodotto definito come segue (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) Si provi che sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti: i) esiste k ∈ K tale che k 2 = −1K (dove 1K indica l’unità di K); ii) l’anello A possiede divisori dello zero; iii) l’anello A non è un campo. Sugg. i) ⇒ ii)Se k 2 = −1K , (k, 1)(1, k) = (0, 0). iii) ⇒ i) Se k 2 6= −1K , per (a, b) 6= (0, 0) è a2 + b2 6= 0.

11. Sia (G; ·) un gruppo abeliano non banale; sia (A; +, ·) l’anello costituito dalle coppie (g, n) con g ∈ G e n ∈ Z rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite come segue: (g1 , n1 ) + (g2 , n2 ) = (g1 g2 , n1 + n2 ) (g1 , n1 ) · (g2 , n2 ) = (g1n2 g2n1 , n1 n2 ). I] Si verifichi che l’anello (A; +, ·) è commutativo, dotato di unità e dotato di divisori dello zero. II] Si determinino gli elementi unitari di (A; +, ·). III] Si verifichi che, se (G; ·) è il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli, ogni elemento non unitario e non nullo dell’anello A è un divisore dello zero. IV] Se (G; ·) è il gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli, si determinino i divisori dello zero dell’anello A. Sugg. 0A = (1G , 0) e 1A = (1G , 1). II] (g, 1)(g −1 , 1) = 1A = (g, −1)(g −1 , −1). III] per ogni n ∈ Z esiste c ∈ C tale che cn = 1. IV] (g, 2k)(−1, 0) = 0A .

12. Sia (A; +, · ) un anello commutativo; sia c ∈ A, c 6= 0A . 62

Definita l’applicazione φ : A → A ponendo φ(a) = ac per ogni a ∈ A, si provi quanto segue. I] L’applicazione φ è iniettiva se e solo se l’elemento c non è un divisore dello zero in (A; +, ·); II] Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’applicazione φ è biiettiva; ii) l’anello (A; +, · ) possiede unità e l’elemento c è unitario in (A; +, · ); Sugg. Se φ è suriettiva esistono e, x ∈ A tali che ec = c e xc = e.

13. Sia (K; +, ·) un campo; si consideri l’insieme G = { (a, b) | a, b ∈ K, a 6= 0K } e si definisca in G un ”prodotto” ponendo (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 , a1 b2 + b1 a−1 2 ) per ogni (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ G. I] Si verifichi che (G; ·) è un gruppo. II] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) il gruppo (G; ·) è abeliano; ii) per ogni k ∈ K , k 6= OK è k = k −1 ; iii) il campo K è finito di ordine 2 o 3. Sugg. II] ii) ⇒ iii) Da k = k −1 segue k 2 = 1K e quindi (k + 1K )(k − 1K ) = 0K .

14. Sia K = { (a, b) | a, b ∈ R}; fissato k ∈ R, si considerino in K le leggi di composizione + e · definite come segue: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 + kb1 b2 ) Si provi quanto segue: I] (K; +, ·) è un anello commutativo, dotato di unità; II] (K; +, ·) è un campo se e solo se è −2 < k < 2; III] se (K; +, ·) non è un campo, esso possiede divisori dello zero. Sugg. II] (a, b) ammette inverso se e solo se è a2 + kab + b2 6= 0.

15. Sia p un numero primo e sia k ∈ Zp(fissato. Nell’anello (Mat2 (Z)p ); +, ·) si consideri il sottoinsieme µ

A=

α=

a kb

b a

¶

: a, b ∈ Zp

Si verifichi che A è un sottoanello di (Mat2 (Zp ); +, · ) e si provi quindi quanto segue. I] Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’anello (A; +, ·) non è un campo; ii) l’anello (A; +, ·) possiede divisori dello zero; iii) k è ”quadrato” di qualche elemento di Zp . II] Se p = 2, l’anello (A; +, ·) non è un campo. III] Se p 6= 2, esistono esattamente (p − 1)/2 valori di k per i quali (A; +, ·) è un campo. Sugg. I] La matrice α ammette inverso in A se e solo se è det α = a2 − kb2 6= 0. III] Per x, y ∈ Zp è x2 = y 2 se e solo se è x = ±y. I quadrati distinti degli elementi di Zp sono p−i 2 + 1.

16. Nell’anello (Mat2 (R); +, ·)( si considerino i sottoinsiemi ) µ

A= (µ B=

x −5y y x + ky

¶

m −5n n m + tn

: x, y ∈ R

ove k ∈ R fisso )

¶ : m, n ∈ Z

ove t ∈ Z fisso

I] Si verifichi che A e B sono sottoanelli di (Mat2 (R); +, ·), dotati di unità. II] Si provi che gli elementi unitari dell’anello (A; +, ·) e quelli dell’anello (B; +, ·) sono unitari in (Mat2 (R); +, ·). III] Si mostri che gli elementi di A, che sono unitari in (Mat2 (R); +, ·), sono unitari in (A; +, ·), mentre esistono elementi di B, unitari in (Mat2 (R); +, ·), che non sono unitari in (B; +, ·). 63

IV] Si mostri che esistono valori di k ∈ R per i quali l’anello (A; +, ·) è un campo, mentre non esiste alcun valore di t ∈ Z per il quale l’anello (B; +, ·) è un campo.

17. Nell’anello (Zn ; +, ·) sia H l’insieme degli elementi non unitari. I] Si mostri che (H; ·) è un semigruppo; si provi che (H; ·) è un gruppo se e solo se n è primo. II] Si provi che (H; +) è un gruppo se e solo se n è potenza di primo. Sugg. Se n = rs con 1 < r < n e 1 < s < n, allora [r]n , [s]n ∈ H. I] Da [x]n [r]n = [r]n e [x]n [s]n = [s]n segue x = 1+ls = 1+kr; allora 1 =M.C.D.(x, s) =M.C.D.(x, r) e quindi 1 = M.C.D.(x, n) ovvero [x]n 6∈ H. II] Sia (H; +) un gruppo; se M.C.D.(r, s) = 1, da [r]n , [s]n ∈ H segue [1]n ∈ H, assurdo .

18. Sia n un intero, maggiore di 1; per ogni r ∈ {1, 2, . . . , n − 1} si verifichi che l’insieme Ar = {[rk]n | k ∈ Z} ⊆Zn . è un sottogruppo del gruppo (Zn ; +). Si provi quanto segue. I] Per r, s ∈ {1, 2, . . . , n − 1} è Ar = As se e solo se M.C.D.(r, n)=M.C.D.(s, n). ` Ar =Zn se e solo se r e n sono coprimi. II] E III] Per ogni r ∈ {1, 2, . . . , n − 1} è Ar = Ad , dove d =M.C.D.(r, n); se ne deduca che l’ordine di Ar è un divisore di n.

19. Sia (A; +, ·) un anello (non ridotto al solo zero) commutativo e dotato di unità; sia D l’insieme costituito dallo zero 0A e dai divisori dello zero di A. Sia f (x) = ax + b ∈ A[x] con a 6= 0A . I] Si provi che, se f (x) è un divisore dello zero in A[x], allora a, b ∈ D. II] Per (A; +, ·)=(Z6 ; +, ·) si determinino a, b ∈ Z6 tali che f (x) = ax + b sia un divisore dello zero in Z6 [x]. Sugg. I] Sia (ax + b)(kn xn + · · · + k0 ) = 0 con kn 6= 0; esiste i ≥ 0 tale che ki 6= 0 e ki−1 = ki−2 = · · · = k0 = 0.

20. Sia (A; +, ·) un anello commutativo dotato di unità; sia a ∈ A. Si mostri che I] il polinomio x − a ∈ A[x] non è divisore dello zero nell’anello (A[x]; +, ·); II] se f (x) ∈ A[x] è un divisore dello zero nell’anello (A[x]; +, ·), allora f (a) = 0A oppure f (a) è un divisore dello zero nell’anello (A; +, ·); III] se f (a) è un divisore dello zero in (A; +, ·), f (x) può non essere un divisore dello zero in (A[x]; +, ·).

21. Sia p un numero primo. Nell’anello di polinomi (Zp [x]; +, ·) si considerino

a(x) = x4 + x3 + 5x + 8 , b(x) = x2 − 1 Al variare di p si determinino un M.C.D.((a(x), b(x)) e due polinomi f (x), g(x) ∈ Zp [x] tali che sia M.C.D.(a(x), b(x))=f (x)a(x) + g(x)b(x).

22. Nell’anello di polinomi Q[x] si considerino f (x) = x4 + x3 − 2x2 − 2x

e

g(x) = x2 + a

Si determinino i valori di a ∈ Q per i quali g(x) divide f (x) e quelli per i quali f (x) e g(x) sono coprimi.

23. Sia (K; +, ·) un campo. In K[x] si definisca una relazione ρ ponendo per f (x), g(x) ∈ K[x] f (x) ρ g(x) se e solo se f (x) divide g(x) in K[x] I] Si verifichi che la relazione ρ è riflessiva e transitiva, ma non simmetrica. II] Si mostri che si può scegliere il campo K in modo che ρ sia antisimmetrica e anche in modo che non lo sia. (Si indichi un opportuno campo per ognuno dei due casi.) III] Si provi che se ρ è relazione d’ordine in K[x], allora l’insieme ordinato (K[x]; ρ) è un reticolo. dotato di minimo e di massimo. 24. Si consideri il polinomio f (x) = x4 + x3 − x2 + 3x + 1 ∈ Zp [x]. Si dia una decomposizione di f (x) in prodotto di polinomi irriducibili in Zp [x] per p = 2, 3, 5. Il polinomio f (x) è riducibile in Z[x]? 64

25. Sia p un primo dispari. Si verifichi che il polinomio f (x) = x2 + bx + c ∈ Zp [x] è riducibile se e solo se esiste k ∈ Zp tale che sia b2 − 4c = k 2 . Si determini il numero dei polinomi riducibili di grado 2 in Zp [x].

26. Sia p un numero primo. Si consideri l’anello (A; +, ·) dove A = {(a, b) | a, b ∈ Zp } (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ad + bc, bd − 2ac) Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’anello (A; +, ·) è privo di divisori dello zero; ii) l’anello (A; +, ·) è un campo; iii) il polinomio x2 + [2]p ∈ Zp [x] è irriducibile in Zp [x]. Si indichi qualche valore di p per cui (A; +, ·) è un campo e qualche valore di p per cui non lo è.

27. Sia (K; +, ·) un campo. Si verifichi brevemente che ¶ l’insieme¾di matrici ½µ

a b | a, b ∈ K −b a è un anello rispetto alla somma elemento per elemento e rispetto al prodotto righe per colonne. I] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (A; +, ·) è un campo; ii) il polinomio x2 + 1 ∈ K[x] è irriducibile in K[x]; iii) il polinomio x2 + 1 non ha radici in K. II] Si verifichi che se (K; +, ·) = (R;+, ·), allora (A; +, ·) è isomorfo al campo complesso (C; +, ·). III] Si verifichi che, se (K; +, ·)=(C;+, ·), ogni elemento non unitario e non nullo dell’anello (A; +, ·) è un divisore dello zero. A=

Sugg. I] cfr. µTema 15. ¶ a b II] φ : → a + ib. µ −b ¶aµ ¶ µ 2 a b a −b a + b2 IV] = −b a b a 0

¶ 0 . a2 + b2

28. Si consideri il polinomio f (x) = x3 − 1 ∈ Zp [x] con p primo. Si provi che se f (x) si decompone in Zp [x] in prodotto di fattori lineari, allora p ≡ 1 (mod 3) o p = 3. Sugg. Sia p = −1 + 3k. Se [a]p ∈ Zp è radice di f (x), da a3 ≡ 1 (mod p) e ap ≡ a (mod p) (I Teorema 2.2.3) si deduce a ≡ 1 (mod p).

29. Si consideri il polinomio f (x) = x4 + x2 + a ∈ Z7 [x]. I] Si mostri che il polinomio f (x) ha una radice doppia in Z7 se e solo se è a = [0]7 . II] Si determinino i valori di a ∈ Z7 per i quali il polinomio f (x) ammette radici in Z7 e per ognuno di essi si dia una decomposizione di f (x) in prodotto di polinomi irriducibili di Z7 [x], giustificando i risultati. III] il polinomio f (x) è riducibile in Z7 [x] se e solo se è a 6= [3]7 , [6]7 . Sugg. Proposizione 5.5.8;(se k ∈ Z7 è radice doppia di f (x), k è soluzione del sistema x4 + x2 + a = 0 4x3 + 2x = 0

30. Si consideri il polinomio f (x) = x3 + ax + 1 ∈ Z5 [x]; si determinino i valori di a ∈ Z5 per i quali f (x) ammette una radice doppia.

31. Sia K un campo; sia K K l’anello costituito dalle applicazioni di K in se stesso rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite ponendo per λ, µ ∈ K K λ + µ : k → λ(k) + µ(k) λ · µ : k → λ(k)µ(k). 65

I] Si mostri che l’anello (K K ; +, ·) possiede unità e che ogni elemento non nullo e non unitario è un divisore dello zero. II] Detta φ : K[x] → K K l’applicazione che associa ad ogni polinomio f (x) ∈ K[x] la funzione polinomiale definita da f (x), si provi che, se K è infinito, φ è iniettiva ma non suriettiva. Sugg. I] 1(K K ) : k → 1K per ogni k ∈ K; λ ∈ K K è unitario se e solo se 0K 6∈ λ(K). II] Teorema 5.5.12.

32. Sia A un dominio d’integrità, dotato di unità; sia p un elemento irriducibile. Si provi che I) per ogni a ∈ A esiste M.C.D.(p, a); II) condizione necessaria affinchè per ogni a ∈ A esistano x, y ∈ A (dipendenti da a) tali che sia M.C.D.(p, a) = xp + ya è che p sia un elemento primo. Si mostri con qualche esempio che la condizione non è in generale sufficiente. Sugg. II] Siano a, b ∈ A tali che p divide ab e p non divide a; allora 1A = xp + ya.

33. Siano f (x) e g(x) due polinomi non nulli a coefficienti in Z. Si provi che se essi sono primi fra loro nell’anello di polinomi (Z[x]; +, ·), essi lo sono anche nell’anello (Q[x]; +, ·). Si mostri con qualche esempio che f (x) e g(x) possono essere primi fra loro nell’anello (Q[x]; +, ·) senza esserlo in (Z[x]; +, ·).

34. Si consideri il polinomio f (x) = x4 − 5x3 + x + 8 ∈ Z[x]. Per ogni numero primo p sia fp (x) = [1]p x4 − [5]p x3 + [1]p x + [8]p ∈ Zp [x] I] Si decomponga in prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp [x] il polinomio fp (x) per p = 2 e per p = 3. II] Si deduca da I] che f (x) è un elemento irriducibile dell’anello Z[x]. Sugg. I] f2 (x) = x(x2 + x + 1), f3 (x) = (x2 + x − 1)(x2 + 1). II] Se g(x) ∈ Z[x] è fattore irriducibile di f (x), esso è associato in Z[x] ad un polinomio monico; per ogni primo p ne segue deg g(x) = deg gp (x) e gp (x) divide fp (x). Per` o gp (x) potrebbe essere riducibile in Zp [x].

35. Si considerino in Z[x] i polinomi a(x) = 4x3 − 4 e b(x) = 6x3 + 12x2 + 12x + 6. I] Si determini un loro massimo comun divisore d(x) in Z[x]. II] Si provi che d(x) è M.C.D.(a(x), b(x)) anche in Q[x]. III] Si mostri che esiste qualche polinomio h(x) ∈ Z[x] che è M.C.D.(a(x), b(x)) in Q[x] ma non in Z[x]. Sugg 5.6 Esercizio 5.

36. Sia p un numero primo; si considerino in Zp [x] i polinomi

f (x) = x5 + 3x3 + x2 + 2x + 2 g(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 2

Si determinino i valori di p per i quali i due polinomi sono coprimi. Considerati f (x) e g(x) come polinomi di Z[x], essi sono coprimi?

37. Sia (D; +, ·) un dominio a fattorizzazione unica; siano a, b1 , b2 , . . . , bn elementi non nulli di D. Si provi che a è primo con l’elemento c = b1 b2 · · · bn se e solo se a è primo con bi per ogni i = 1, 2, . . . , n. Sugg. Se di =M.C.D.(a, bi ), di divide M.C.D.(a, c). Se p è fattore irriducibile di M.C.D.(a, c), esiste j tale che p divide dj .

38. Sia (D; +, ·) un dominio d’integrità, dotato di unità; sia (D[x]; +, ·) l’anello di polinomi a coefficienti in D. Si mostri che I] gli elementi unitari dell’anello (D[x]; +, ·) sono tutti e soli i polinomi di grado zero coincidenti con gli elementi unitari dell’anello (D; +, ·); 66

II] un elemento a ∈ D è irriducibile in D[x] se e solo se è irriducibile in D; III] l’anello (D[x]; +, ·) è un dominio a fattorizzazione unica se e solo se lo è l’anello (D; +, ·). Sugg. II] Osservazione 5.5.2. III] Teorema 5.6.6.

39. Sia (D; +, ·) un dominio d’integrità dotato di unità, in cui ogni elemento non nullo e non unitario è prodotto di un numero finito di elementi irriducibili. Si provi che (D; +, ·) è un dominio a fattorizzazione unica se e solo se è soddisfatta la condizione (?) seguente: (?) per ogni a, b ∈ D che ammettono come divisori comuni solo gli elementi unitari, se a e b dividono un elemento c ∈ D, allora anche ab divide c. 40. Sia (D; +, ·) un dominio a fattorizzazione unica; siano a, b ∈ D tali che 1D =M.C.D.(a, b). Si provi che I] se gli elementi a e b dividono entrambi un elemento c ∈ D, allora ab divide c; II] per ogni h ∈ D è √ ∼ M.C.D.(h, a)M.C.D.(h, b) √ M.C.D.(h, ab) Si mostri che nell’anello Z[ −3] = {a + ib 3 | a, b ∈ Z} ⊂ C le due proposizioni sono false.

41. Siano (A; +, ·) un anello commutativo; sia M2 (A) l’anello di matrici quadrate di ordine 2 ad elementi in A. Si verifichi che, se I è un ideale bilatero dell’anello (A; +, ·), M2 (I) è un ideale bilatero dell’anello M2 (A). Se ne deduca che, se l’anello M2 (A) è privo di ideali bilateri propri, allora l’anello A è un campo. ¶ nµ o a 0 Sugg. Proposizione 6.3.4. Se (A; +, ·) è uno zero-anello. l’insieme |a ∈ A è un ideale 0 0 dell’anello M2 (A). 42. Sia (K; +, ·) un campo; sia f (x) ∈ K[x] un polinomio monico di grado maggiore di zero. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni α] f (x) è potenza di un polinomio irriducibile di K[x]; β] l’insieme J = {k(x) ∈ K[x]| M.C.D.(f (x), k(x)) 6= 1} ∪ {0} è un ideale di K[x]. Sugg. Se g1 (x), g2 (x) sono divisori irriducibili di f (x), non associati in K[x], allora g1 (x), g2 (x) ∈ J; se J è ideale, allora 1K =M.C.D.(g1 (x), g2 (x)) ∈ J.

43. Sia k ∈ Q\{0} fissato. Sia A = {(a, b) | a, b ∈ Q}; A è un anello ripetto alla somma e al prodotto definiti come segue: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ad + bc, bd + kac) I] Si mostri che esistono valori di k per i quali l’anello (A; +, ·) è un campo ed altri per i quali non lo è. II] Si mostri che per ogni r ∈ Q l’insieme Hr = {(a, ra) | a ∈ Q} è un sottogruppo del gruppo additivo (A; +) e che esiste qualche r ∈ Q per il quale Hr non è sottoanello dell’anello (A; +, ·). III] Si mostri che nell’anello (A; +, ·) esistono sottoanelli che non sono ideali. IV] Esistono nell’anello (A; +, ·) ideali propri? 44. Sia (R; ∩, ∪) un reticolo; sia t ∈ R. Si consideri l’applicazione φ : R −→ R definita da φ(x) = x ∪ t per ogni x ∈ R. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i] φ è iniettiva; ii] t è elemento minimo (ovvero “zero”) di R; iii] φ è suriettiva. Sugg. φ(t) = φ(t ∩ x) e t ≤ φ(x) per ogni x ∈ R.

45. Sia (R; ∩, ∪) un reticolo per il quale esiste un’applicazione ϕ : R →Z tale che per ogni x, y ∈ R si ha i) ϕ(x ∪ y) + ϕ(x ∩ y) = ϕ(x) + ϕ(y), 67

ii) se x < y, allora ϕ(x) < ϕ(y). Si provi che R è modulare. Si mostri con qualche esempio che R può essere distributivo, ma può anche non esserlo. Sugg. Per assurdo, esistano a, b, c ∈ R tali che a ≤ c e a ∪ (b ∩ c) < (a ∪ b) ∩ c. R = L[G] reticolo dei sottogruppi del gruppo (G; +) =(Z2 ; +) ⊕ (Z2 ; +); φ(< 0G >) = 0, φ(G) = 2, φ(H) = 1 per ogni sottogruppo proprio di (G; +); il reticolo (R; ∩, ∪) non è distributivo.

46. Sia n un intero maggiore di 1; sia R il reticolo costituito dai divisori propri e impropri di n in N rispetto alla relazione d’ordine definita da a ≤ b se e solo se a divide b. Si provi che R è un reticolo di Boole se e solo se n è prodotto di primi distinti. Sugg. Se p2 divide n (con p primo), p ∈ R non ha complemento.

47. Nel gruppo generale lineare GL(3,Q) siconsiderino  i sottoinsiemi (

1 0 H = x 1 y x ( 1 0 A = 0 1 a 0 ( 1 b B=  1 2 (b − b) 2

) 0  0 : x, y ∈ Q 1  ) 0 0 : a ∈Q 1  ) 0 0 1 0 : b ∈Q b 1

Si verifichi che I] H, A, B sono gruppi rispetto al prodotto righe per colonne; II] i gruppi (A; ·) e (B; ·) sono isomorfi al gruppo additivo (Q; +); III] per ogni γ ∈ H esistono e sono univocamente determinati α ∈ A e β ∈ B tali che sia γ = αβ. Se ne deduca che il gruppo (H; ·) è isomorfo al gruppo (Q×Q; +) costituito dalle coppie ordinate (r, s) ∈ Q×Q rispetto all’operazione + definita componente per componente.

48. Si provi che gli automorfismi del gruppo (Zn ; +) sono tutte e sole le applicazioni fr : Zn → Zn definite da fr : [a]n → [ra]n dove r è un intero fissato, primo con n. Quanti e quali sono gli automorfismi dell’anello (Zn ; +, ·)? Sugg. Se φ : Zn → Zn è un automorfismo, posto φ([1]n ) = [r]n , per ogni [a]n ∈ Zn è φ([a]n ) = φ(a[1]n ) = = aφ([1]n = a[r]n = [ra]n .

49. Nel campo complesso (C;+,·) si considerino i sottocampi √ √ Q, R, C, Q[ 2] = { a + b 2 | a, b ∈ Q} si mostri che due qualsiansi di essi non sono isomorfi.

√ √ Q[ 3] = { a + b 3 | a, b ∈ Q};

50. In Q si considerino due operazioni ⊕ e × definite come segue: x⊕y =x+y−1 x × y = xy − x − y + 2 dove + e · al secondo membro indicano le usuali operazioni in Q. Si verifichi che (Q;⊕, ×) è un campo isomorfo al campo razionale (Q;+, ·).

51. Fissato r ∈ N, nell’anello (Zn ; +, ·) delle classi di resti mod n si consideri il sottoinsieme Hr = {[xr]n | x ∈ Z} e si provi quanto segue. I] Hr è un sottoanello dell’anello (Zn ; +, ·). II] Se d =M.C.D.(r, n) ∈ N, allora Hr = Hd e, posto n = ds, è |Hd | = s. III] Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: 68

i) M.C.D.(d, s) = 1; ii) l’anello (Hd ; +, ·) possiede unità; iii) l’anello (Hd ; +, ·) è isomorfo all’anello (Zs ; +, · ). Sugg. III] i) ⇒ ii) Se 1 = dx + sy,[dx]n è unit` a in (Hd ; +, ·). ii) ⇒ iii) Φ :Zs → Hd con Φ([t]s ) = [tdx]n .

52. Nell’anello di matrici (Mat2 (R);+, ( ·) si considerino i sottoanelli )

√ ¶ µ a b 5 √ B= ; a, b ∈ Z b 5 a (µ ) √ ¶ a√ b 5 C= ; a, b ∈ Z −b 5 a √ Si mostri che l’anello (B; +, ·) è isomorfo al sottoanello A = { a + b 5 | a, b ∈ Z } del campo reale, mentre l’anello (C; +, ·) non lo è. √ Sugg. Se √ esistesse un isomorfismo φ : A → C, dall’uguaglianza ( 5)2 = 5 in A seguirebbe l’uguaglianza (φ( 5))2 = φ(5) = 5φ(1).

53. Siano (A; +, ·) e (B; +, ·) due anelli commutativi, dotati di unità; siano VA e VB rispettivamente l’insieme dei loro elementi unitari. I] Si provi che se gli anelli (A; +, ·) e (B; +, ·) sono isomorfi, allora sono tra loro isomorfi i gruppi additivi (A; +) e (B; +) e i gruppi moltiplicativi (VA ; ·) e (Vb ; ·). II] Si mostri che non vale il viceversa considerando √ nel campo complesso i sottoanelli A = { x + iy √2 | x, y ∈ Z} B = { x + iy 3 | x, y ∈ Z} e provando che i) i gruppi additivi (A; +) e (B; +) sono isomorfi; ii) i gruppi moltiplicativi (VA ; ·) e (VB ; ·) sono isomorfi; iii) gli anelli (A; +, ·) e (B; +, ·) non sono isomorfi.

54. Sia (G; +) il prodotto cartesiano dei gruppi (Zm ; +) e (Zn ; +). Fissato r ∈ N, si consideri l’applicazione fr : G → G definita ponendo per ogni a, b ∈ Z fr : ([a]m , [b]n ) → ([ra]m , [rb]n ) I] Si verifichi che l’insieme H = {fr | r ∈ N, M.C.D.(r, mn) = 1} è un sottogruppo del gruppo (Aut G; ·) (costituito dagli automorfismi del gruppo (G; +) rispetto al prodotto di applicazioni). II] Si provi che, se M.C.D.(m, n) = 1, allora i) per ogni φ ∈ Aut G esistono x, y ∈ Z tali che φ : ([1]m , [0]n ) → ([x]m , [0]n ) φ : ([0]m , [1]n ) → ([0]m , [y]n ) ii) è Aut G = H. III] Si mostri che per m = n = 2 è H 6= Aut G. Sugg. I] M.C.D.(r, mn) = 1 ⇔ M.C.D.(r, m) = 1 =M.C.D.(r, n). II] i) Se φ([1]m , [0]n ) = ([x]m , [y]n ), allora ([mx]m , [my]n ) = φ([m]m , [0]n ) = ([0]m , [0]n ). ii) II, 2.2 Esercizio 3

55. Sia (A; +, ·) = Q⊕Z, somma diretta esterna degli anelli (Q;+, ·) e (Z;+, ·); si determinino gli elementi idempotenti di A (i.e. x ∈ A tali che x2 = x) e si mostri quindi che in A esiste uno ed un solo sottocorpo. Sugg. Elementi idempotenti: 0A = (0, 0), 1A = (1, 1), (0, 1), (1, 0). Se K è sottocorpo di A, 1K è idempotente e n1K ∈ K per ogni n ∈ Z.

56. Sia k ∈ Q; sia (A; +, ·) l’anello costituito dalle coppie ordinate (x, y) ∈ Q×Q rispetto alla somma componente per componente e al prodotto definito da (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 y2 + x2 y1 , y1 y2 + kx1 x2 ) Si mostri quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) possiede unità. 69

II] (A; +, ·) non è un campo se e solo se esiste h ∈ Q tale che k = h2 . III] Se esiste h ∈ Q tale che k = h2 e k 6= 0, l’applicazione φ definita da −q2 q1 +q2 φ : (q1 , q2 ) → ( q12h , 2 ) è un isomorfismo dell’anello (Q;+,·)⊕(Q;+,·) (somma diretta di anelli) sull’anello (A; +, ·).

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V. QUOZIENTE DI UNA STRUTTURA ALGEBRICA RISPETTO AD UNA CONGRUENZA

1 1.1 Congruenza in una struttura algebrica. Struttura quoziente. Definizione. Siano ? e ρ rispettivamente un’operazione ed una relazione di equivalenza in un insieme S ; si dice che ρ è compatibile a destra (o a sinistra) con ? se per ogni a, b, c ∈ S da a ρ b segue (a ? c) ρ (b ? c) (o rispettivamente (c ? a) ρ (c ? b)). Proposizione 1.1.1 Siano ? un’operazione e ρ una relazione di equivalenza in un insieme S ; la relazione ρ ` e compatibile a destra e a sinistra con l’operazione ? se e solo se nell’insieme quoziente S/ρ è “ben definita” un’operazione (che indichiamo ancora con il simbolo ?) con per ogni a, b ∈ S .

{a}ρ ? {b}ρ = {a ? b}ρ

Sia ρ compatibile a destra e a sinistra con ?. Se {a}ρ = {a0 }ρ e {b}ρ = {b0 }ρ , è a ρ a0 e b ρ b0 ; ne segue (a ? b) ρ(a0 ? b) e (a0 ? b) ρ (a0 ? b0 ) e quindi (a ? b) ρ (a0 ? b0 ), ovvero {a ? b}ρ = {a0 ? b0 }ρ . Viceversa, l’operazione ? in S/ρ sia ben definita. Sia a ρ a0 , ovvero {a}ρ = {a0 }ρ ; per ogni b ∈ S è allora {a}ρ ? {b}ρ = {a0 }ρ ? {b}ρ , ovvero {a ? b}ρ = {a0 ? b}ρ e quindi (a ? b) ρ (a0 ? b). In modo analogo si prova che ρ è compatibile a sinistra con l’operazione ? in S.

Definizione. Si chiama congruenza in una struttura algebrica (S; ?, ◦, . . .) una relazione di equivalenza ρ in S , compatibile a destra e a sinistra con le operazioni definite in S . Esempio 1. La congruenza modulo n introdotta in Z è compatibile con la somma e con il prodotto definiti in Z. (cfr. II, Proposizione 2.2.1.) Per la Proposizione 1.1.1 una congruenza in una struttura algebrica (S; ?, ◦, . . .) determina una struttura algebrica (S/ρ; ?, ◦, . . .) che viene detta struttura quoziente di (S; ?, ◦, . . .) rispetto alla ρ. Esempio 2. L’anello (Zn ; +, ·) introdotto in IV, 5.4 si presenta come struttura quoziente dell’anello (Z ; +, ·) rispetto alla congruenza modulo n. 1.2. Gli anelli (Z; +, ·) e (Q ; +, ·) come strutture quoziente. I] Si considerino l’insieme N0 × N0 = {(n, m)) | n, m ∈ N0 } e in esso le operazioni “addizione” e “moltiplicazione” definite come segue: (n, m) + (r, s) = (n + r, m + s) (n, m) · (r, s) = (nr + ms, ns + mr)

dove n, m, r, s ∈ N0 e n + r, nr, . . . sono calcolati in (N0 ; +, ·). In N0 × N0 si definisca la relazione ρ ponendo (n, m)ρ(n0 , m0 ) se e solo se n + m0 = m + n0 ; ρ` e una congruenza nella struttura algebrica (N0 × N0 ; +, · ). 71

La struttura quoziente ((N0 × N0 )/ρ; +, ·) è un anello che può essere “identificato” con l’anello (Z ; +, · ) attraverso l’isomorfismo f :(N0 ×N0 )/ρ → Z definito da f ([(n, m)]ρ ) = n−m. Per questa ragione la struttura ((N0 ×N0 )/ρ; +, ·) può essere assunta come definizione costruttiva di (Z ; +, ·) a partire dalla conoscenza di (N0 ; +, ·). II] Si considerino l’insieme S = {(a, b) | a, b ∈ Z , b 6= 0} e in esso le operazioni di “addizione” e “moltiplicazione” definite ponendo (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) (a, b) · (c, d) = (ac, bd).

Si definisca in S una relazione ρ ponendo (a, b)ρ(a0 , b0 ) se e solo se ab0 = a0 b; ρ è una congruenza nella struttura algebrica (S; +, ·). La struttura (S/ρ; +, ·) è un anello (anzi un campo) che può essere identificato con il campo razionale (Q; +, ·) attraverso l’isomorfismo f : S/ρ −→ Q definito da f ([a, b]ρ ) = ab . La struttura quoziente (S/ρ; +, ·) può pertanto essere assunta come definizione costruttiva di (Q ; +, ·) a partire dalla conoscenza di (Z ; +, ·). 1.3. Immersione di un dominio d’integrit` a in un campo. La “costruzione” del campo razionale Q a partire dall’anello Z degli interi relativi vista sopra è un caso particolare di “immersione” di un dominio d’integrit` a D in un campo, ovvero di costruzione di un campo (FD ; +, ·) che contiene un sottoanello D isomorfo a (D; +, ·). Sia dunque (D; +, ·) un dominio d’integrit` a (cioè anello commutativo, privo di divisori dello zero) non ridotto al solo zero. Sia S = {(a, b) | a, b ∈ D, b 6=0 }; si definiscano in S due operazioni di “addizione” e “moltiplicazione” e una relazione ρ ponendo per (a, b), (c, d) ∈ S (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) (a, b) · (c, d) = (ac, bd) (a, b) ρ (c, d) se e solo se ` e ad = bc.

Si verifica che 1) la relazione ρ è una congruenza nella struttura algebrica (S; +, ·); 2) la struttura quoziente (S/ρ; +, ·) è un campo, che verr` a brevemente indicato con (FD ; +, ·); 3) l’insieme D = {{(ab, b)}ρ | a, b ∈ D, b 6=0} è un sottoanello di (FD ; +, ·), isomorfo all’anello D; 4) non esistono in (FD ; +, ·) sottocampi propri che che contengano D. Il campo (FD ; +, ·) viene detto campo dei quozienti di (D; +, ·). Osservazione. Il concetto di “campo dei quozienti” di un dominio d’integrit` a permette di dimostrare il Teorema 5.6.6 in IV in modo analogo a quello con cui si è provato che l’anello di polinomi Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. (Esercizio!)

72

2 2.1. Laterali di un sottogruppo in un gruppo. A partire da un sottogruppo H di un gruppo (G; ·) introduciamo in G due relazioni di equivalenza δH e σH . Proposizione 2.1.1. Sia (G; ·) un gruppo. 1) Se H è un sottogruppo di G, la relazione δH definita in G ponendo per a, b ∈ G a δH b se e solo se ba−1 ∈ H è una relazione di equivalenza, compatibile a destra con il prodotto definito in G. Per ogni g ∈ G è {g}δH = {hg | h ∈ H }; la classe di equivalenza {g}δH viene solitamente indicata con il simbolo Hg e viene detta laterale destro di H in G rappresentato da g . 2) Viceversa, se ∼ è una relazione di equivalenza in G, compatibile a destra con il prodotto definito in G, l’insieme H = {h ∈ G | 1G ∼ h} è un sottogruppo di G. La corrispondente relazione δH coincide con ∼ e pertanto le classi di equivalenza della relazione ∼ sono i laterali destri di H in G. 1) La dimostrazione è una semplice verifica. 2) Si osservi che è a ∼ b ⇔ 1G ∼ ba−1 ⇔ ba−1 ∈ H ⇔ a δH b.

Da II, Proposizione 2.1.1 segue immediatamente la Proposizione 2.1.2. Siano (G; ·) un gruppo e H un suo sottogruppo; per ogni a, b ∈ G sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) ba−1 ∈ H , ii) Ha = Hb, iii) Ha ∩ Hb 6= ∅. Esempi. 1. Le classi di resti modulo n sono i laterali destri nel gruppo (Z; +) del sottogruppo H = n Z= {, kn | k ∈ Z }. 2. Nel gruppo simmetrico S4 sia H = {I, (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4, 3, 2)} ; i laterali destri distinti di H in S4 sono H = {I, (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4, 3, 2)} H(1, 2) = {(1, 2), (2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 3)} H(1, 3) = {(1, 3), (1, 2)(3, 4), (2, 4), (1, 4)(2, 3)} H(1, 4) = {(1, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 4, 2), (2, 4, 3)} H(2, 3) = {(2, 3), (1, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 4, 2)} H(3, 4) = {(3, 4), (1, 2, 4), (1, 4, 2, 3), (1, 3, 2)} Si osservi che, ad esempio, H(1, 2) = H(2, 3, 4) = H(1, 3, 2, 4) = H(1, 4, 3), ecc. Sussiste un enunciato analogo a quello della Proposizione 2.1.1. Proposizione 2.1.3. Sia (G; ·) un gruppo. 1) Se H è un sottogruppo di G, la relazione σH definita in G ponendo per a, b ∈ G a σH b se e solo se a−1 b ∈ H è una relazione di equivalenza, compatibile a sinistra con il prodotto definito in G. Per ogni g ∈ G è {g}σH = {gh | h ∈ H }; la classe di equivalenza {g}σH viene solitamente indicata con il simbolo gH e viene detta laterale sinistro di H in G rappresentato da g. 2) Viceversa, se ∼ è una relazione di equivalenza in G, compatibile a sinistra con il prodotto definito in G, l’insieme H = {h ∈ G | 1G ∼ h} è un sottogruppo di G. La corrispondente relazione σH coincide con ∼ e pertanto le classi di equivalenza della relazione ∼ sono i laterali sinistri di H in G. 73

Vale per i laterali sinistri un enunciato analogo a quello della Proposizione 2.1.2; sarà quindi aH = bH se e solo se è a−1 b ∈ H (ovvero se e solo se esiste h ∈ H tale che b = ah). Osservazione. Se il gruppo G è abeliano, per ogni sottogruppo H si ha δH = σH ; inoltre la relazione δH è una congruenza. Se il gruppo G non è abeliano, le relazioni δH e σH possono essere distinte o anche coincidere; ciò dipende dal sottogruppo H . Riprendiamo in esame il gruppo S4 e il suo sottogruppo H , di cui abbiamo costruito i laterali destri nell’Esempio 2; i laterali sinistri di H in S4 sono H = {I, (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4, 3, 2)} (1, 2)H = {(1, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 2, 3), (2, 4, 3)} (1, 3)H = {(1, 3), (1, 4)(2, 3), (2, 4), (1, 2)(3, 4)} (1, 4)H = {(1, 4), (2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2)} (2, 3)H = {(2, 3), (2, 4, 1), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 3)} (3, 4)H = {(3, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2)}. Si osserva che H(1, 2) 6= (1, 2)H , ovvero {(1, 2)}δH 6= {(1, 2)}σH e quindi δH 6= σH . Nello stesso gruppo S4 si consideri il sottogruppo K = {I, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} e si verifichi che per ogni g ∈ S4 è gK = Kg e pertanto δK = σK . Proposizione 2.1.4. L’insieme dei laterali destri e l’insieme dei laterali sinistri di un sottogruppo H in un gruppo G possono essere messi in corrispondenza biunivoca attraverso l’applicazione definita da Hg → g−1 H ; la cardinalità di ognuno dei due insiemi viene detta indice di H in G e viene indicata con il simbolo [G : H]. Si osservi che sono tra loro equivalenti le condizioni che seguono: i) Ha = Hb, ii) ba−1 ∈ H, iii) ab−1 ∈ H, iv) a−1 H = b−1 H. Esercizio 1. Sia G = {(r, s) | r, s ∈ Z }; si consideri in G un“prodotto” definito da (r, s)(h, k) = (r + h, s + (−1)r k). Si verifichi che I) (G; ·) è un gruppo non abeliano; II) H = {(r, 2t) | r, t ∈ Z} e K = {(2n, 0), (2n + 1, 1) | n ∈ Z} sono sottogruppi di G; III) per ogni (r, s) ∈ G è H(r, s) = (r, s)H; IV) per (r, s) ∈ G è K(r, s) = (r, s)K se e solo se (r, s) ∈ K; V) [G : H] = 2, [G : K] è infinito.

2.2. Teorema di Lagrange. La partizione indotta dalla relazione δH (o in modo analogo dalla σH ) nel gruppo G permette di dedurre il seguente Teorema 2.2.1.(Lagrange 1736-1813) Siano (G; ·) un gruppo finito e H un suo sottogruppo; detti r l’ordine di H e s il numero dei laterali di H in G, è |G| = rs. Pertanto in un gruppo finito l’ordine di ogni sottogruppo è un divisore dell’ordine del gruppo. Si osservi anzitutto che, se |H| = r, allora |Hg| = r per ogni g ∈ G. Se Hg1 , Hg2 , . . . , Hgs sono i laterali distinti che H in G, è |G| = |Hg1 |+|Hg2 |+· · ·+|Hgs | = rs. Esercizio 1. Sia (G; ·) un gruppo; siano H e K due sottogruppi di G. 1) Se H e K sono finiti e hanno ordini coprimi, allora H ∩ K = h1G i. 2) Se H ha ordine primo, allora H ∩ K = h1G i oppure H ⊆ K. Esercizio 2. Siano (G; ·) un gruppo finito e H un suo sottogruppo tale che [G : H] è un numero primo. Si provi che non esiste in (G; ·) alcun sottogruppo K tale che sia H ⊂ K ⊂ G.

Osservazione 1. Si badi che il Teorema di Lagrange non afferma che in corrispondenza ad ogni divisore dell’ordine di un gruppo finito esiste un sottogruppo avente per ordine quel divisore. Questa proprietà (nota come “inverso del Teorema di Lagrange”) non 74

vale in generale; ad esempio, nel gruppo alterno A4 non esistono sottogruppi di ordine 6. Vedremo pi´ u avanti che vale anche per i gruppi abeliani (cfr. VII, Proposizione 1.1.6) e per i gruppi aventi ordine potenza di primo, ma non solo per questi (vale ad esempio per i gruppi simmetrici S3 , S4 ). 2.3. Sottogruppo normale. Gruppo quoziente. Per quanto detto nel paragrafo 2.1, se ∼ è una “congruenza” in un gruppo (G; ·), posto H = {h ∈ G | 1G ∼ h}, ` e ∼ = δH e la relazione δH è compatibile anche a sinistra con il prodotto definito in G e al tempo stesso è ∼ = σH e la relazione σH è compatibile anche a destra con il prodotto definito in G. Proposizione 2.3.1. Siano (G; ·) un gruppo e H un suo sottogruppo; sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) la relazione σH è compatibile a destra con il prodotto definito in G; ii) è δH = σH ; iii) la relazione δH è compatibile a sinistra con il prodotto definito in G. Ovviamente la condizione ii) implica tanto la condizione i) quanto la condizione iii). Essendo H = {h ∈ G | 1G σH h}, se σH è compatibile a destra con il prodotto, è σH = δH per la Proposizione 2.1.1, 2); pertanto i) implica ii). Essendo anche H = {h ∈ G | 1G δH h}, se δH è compatibile a sinistra con il prodotto , è δH = σH per la Proposizione 2.1.3, 2); pertanto iii) implica ii).

Proposizione 2.3.2. Siano (G; ·) un gruppo ed H un suo sottogruppo; sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) è δH = σH ; ii) per ogni g ∈ G è gH = Hg ; iii) per ogni g ∈ G e per ogni h ∈ H è g −1 hg ∈ H . i) ⇔ ii) Le relazioni δH e σH coincidono se e solo se inducono la stessa partizione in G, ovvero se e solo se è Hg = gH per ogni g ∈ G. ii) ⇔ iii) Sia Hg = gH per ogni g ∈ G. Per ogni h ∈ H esisterà h ∈ H tale che hg = gh; ne segue g −1 hg = h ∈ H. Viceversa, sia g −1 hg ∈ H per ogni g ∈ G e per ogni h ∈ H; sarà hg = g(g −1 hg) ∈ gH e quindi Hg ⊆ gH. Inoltre da ghg −1 ∈ H seguirà gh = (ghg −1 )g ∈ Hg e quindi gH ⊆ Hg.

Definizione. Un sottogruppo H di un gruppo G viene detto normale se soddisfa ad una delle (e quindi a tutte le) condizioni della Proposizione 2.3.2; in tal caso si usa scrivere H / G. I sottogruppi impropri di un gruppo sono normali. In un gruppo abeliano tutti i sottogruppi sono normali. Il centro Z(G) di un gruppo G (cfr.IV, 4.3) è un sottogruppo normale . Esempio 1. Nel gruppo S4 il sottogruppo K = {I, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} è normale; il sottogruppo H = {I, (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4, 3, 2)} non è normale. Esercizio 1. Siano (G; ·) un gruppo e H un suo sottogruppo; si mostri che per ogni g ∈ G l’insieme g −1 Hg = {g −1 hg | h ∈ H} è un sottogruppo di G. Si provi che i) H è normale in G se e solo se è g −1 Hg = H per ogni g ∈ G; ii) l’insieme NG (H) = {x ∈ G | x−1 Hx = H} è un sottogruppo di G, che contiene H; (il sottogruppo NG (H) viene detto normalizzante in G di H) iii) H è normale in G se e solo se è NG (H) = G; iv) è g1−1 Hg1 = g2−1 Hg2 se e solo se è NG (H)g1 = NG (H)g2 . Esercizio 2. Determinare tutti i sottogruppi del gruppo simmetrico S3 , stabilendo quali fra essi sono normali. 75

? Esercizio 3. Ogni sottogruppo H di indice 2 in un gruppo G è normale. Esercizio 4. Nel corpo dei quaternioni H (cfr. IV, 8.1 Esempio 7) si consideri il sottoinsieme Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k}; Q8 è un gruppo non abeliano rispetto al prodotto definito in H e ogni suo sottogruppo è normale. Il gruppo Q8 viene detto gruppo dei quaternioni di ordine 8. Esercizio 5. Sia (Σ; ·) il gruppo delle similitudini sulla retta reale (cfr. IV, 4.3 Esempio 3). Si provi che il sottogruppo T delle traslazioni su R è normale ed è contenuto in ogni sottogruppo normale proprio del gruppo Σ. Esercizio 6. Siano A e B sottogruppi normali di un gruppo (G; ·); si provi che i) a−1 b−1 ab ∈ A ∩ B per ogni a ∈ A, b ∈ B, ii) se A ∩ B = h1G i, allora ab = ba per ogni a ∈ A, b ∈ B.

Definizione. Un gruppo G, non ridotto all’unità, viene detto semplice se non possiede sottogruppi normali propri. Si può dimostrare che ogni gruppo alterno An (cfr. IV, 4.3) per n 6= 4 è semplice. Un gruppo abeliano è semplice se e solo se è privo di sottogruppi propri e quindi se e solo se è ciclico di ordine primo. (cfr. VI, 2.2 Esercizio 6) Per quanto detto sopra possiamo allora concludere come segue. Proposizione 2.3.4. Una relazione di equivalenza ∼ in un gruppo (G; ·) è una congruenza se e solo se l’insieme H = {h ∈ G | 1G ∼ h } è un sottogruppo normale di G. In tal caso ∼ = δH = σH e le classi di equivalenza della relazione ∼ in G sono i laterali di H in G. Definizione. Sia H un sottogruppo normale di un gruppo (G; ·); la struttura quoziente (G/δH ; ·) ` e un gruppo che viene detto gruppo quoziente di G rispetto ad H e viene G indicato con il simbolo G/H o H . Il gruppo quoziente G/H è dunque costituito dai laterali del sottogruppo normale H rispetto al “prodotto” definito per ogni a, b ∈ G da Ha · Hb = Hab.

Esempio 2. Il gruppo additivo (Zn ; + ) delle classi di resti modulo n è il gruppo quoziente del gruppo (Z; +) rispetto al sottogruppo H = nZ= { kn | k ∈ Z}. Esercizio 7. Con riferimento all’Esempio 1, si scriva la tavola di composizione del gruppo quoziente S4 /K; si verifichi che i gruppi S4 /K e S3 sono isomorfi. Esercizio 8. Si verifichi che il gruppo dei quaternioni Q8 (cfr. Esercizio 4) possiede un unico sottogruppo H di ordine 2; il gruppo quoziente Q8 /H è ciclico o trirettangolo? Esercizio 9. Sia K un campo. Fissato un intero positivo n, nel gruppo additivo (K[x] ; +) si consideri il sottogruppo H = {f (x) ∈ K[x] | deg f (x) < n } ∪ {0} e si provi che ad ogni laterale di H, diverso da H, appartiene uno ed un solo polinomio del tipo k0 xn + k1 xn+1 + · · · + kr xn+r con r ≥ 0. Se ne deduca che il gruppo quoziente (K[x]/H ; +) è isomorfo al gruppo (K[x] ; +). Esercizio 10. Nel gruppo additivo (K[x] ; +), fissato un elemento a ∈ K, si consideri il sottogruppo Ia = {f (x) ∈ K[x] | f (a) = 0 }. Si provi che ad ogni laterale di Ia in (K[x] ; +) appartiene uno ed un solo elemento di K e se ne deduca che il gruppo quoziente (K[x]/Ia ; +) è isomorfo al gruppo additivo (K; +). Esercizio 11. Sia N un sottogruppo normale di un gruppo (G; ·); I) il gruppo quoziente (G/N ; ·) è abeliano se e solo se per ogni a, b ∈ G si ha a−1 b−1 ab ∈ N ; II) se |G/N | = n, è g n ∈ N per ogni g ∈ G.

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3 3.1. Ideali di un anello. Anello quoziente. Ricordiamo che Definizione. Si chiama ideale (bilatero) di un anello (A; +, ·) un sottogruppo H di (A; +) tale che sia ah, ha ∈ H per ogni a ∈ A e per ogni h ∈ H . (cfr. IV, 6.3) Proposizione 3.1.1. Una relazione di equivalenza ∼ in un anello (A; +, ·) è una congruenza se e solo se l’insieme H = {h ∈ A | 0 ∼ h} è un ideale bilatero dell’anello (A; +, ·). La relazione ∼ coincide con la relazione δH definita per a, b ∈ A da a δH b se e solo se b − a ∈ H ; le classi di equivalenza della relazione ∼ sono i laterali del sottogruppo H nel gruppo (A ; +), che verranno indicati con notazione additiva del tipo H + a = {h + a | h ∈ H }. Essendo (A; +) un gruppo abeliano, per la Proposizione 2.3.2 la relazione di equivalenza ∼ nel gruppo (A; +) è compatibile con la somma se e solo se H = {h ∈ A| 0∼ h} è un sottogruppo di (A; +); inoltre è x ∼ y se e solo se y − x ∈ H. Se ∼ è compatibile con il prodotto, da 0∼ h segue 0= a0∼ ah e 0=0a ∼ ha e quindi ah, ha ∈ H. Viceversa, siano ah, ha ∈ H per ogni a ∈ A e per ogni h ∈ H; da x ∼ y segue y − x ∈ H e quindi ay − ax = a(y − x) ∈ H e ya − xa = (y − x)a ∈ H, ovvero ax ∼ ay e xa ∼ ya.

Proposizione 3.1.2. Siano (A; +, ·) un anello e H un suo ideale bilatero. La relazione δH , definita ponendo a δH b se e solo se b − a ∈ H , ` e una congruenza nell’anello A; le classi di equivalenza di δH sono i laterali di H nel gruppo abeliano (A; +). Basta osservare che H = {x ∈ A|0 δH x}.

Definizione. Sia H un ideale di un anello (A; +, ·); la struttura quoziente (A/δH ; +, ·) è un anello, che viene detto anello quoziente di A rispetto ad H e viene indicato con il A simbolo A/H o H . L’anello quoziente A/H è dunque costituito dai laterali dell’ideale H rispetto alle operazioni definite per ogni a, b ∈ A da (H + a) + (H + b) = H + (a + b) (H + a) · (H + b) = H + (ab)

Esempi. 1. L’anello (Zn ; +, ·) è l’anello quoziente dell’anello (Z ;+, · ) rispetto all’ideale n Z= { kn | k ∈ Z }. 2. Nell’anello K[x] ((K; +, ·) campo ), fissato un elemento a ∈ K , si consideri l’ideale Ia = {f (x) ∈ K[x] | f (a) = 0}; l’anello quoziente (K[x]/Ia ; +, ·) ` e un campo isomorfo al campo (K ; +, ·). (cfr. Esercizio 10 in 2.3.) Esercizio 1. Sia (A; +, ·) un anello privo di divisori dello zero; sia (R; +, ·) l’anello costruito in IV, Proposizione 8.1.3. Si osservi che l’anello (R; +, ·) può avere divisori dello zero. Posto I = {(a, n) ∈ R | ax + nx =0 per ogni x ∈ A}, si provi che: 1) I è un ideale dell’anello (R; +, ·); 2) l’anello quoziente R/I è dotato di unità ed è privo di divisori dello zero; 3) l’anello R/I possiede un sottoanello isomorfo all’anello (A; +, ·). √ Esercizio 2.√Nell’anello Z[ −1] si consideri l’insieme I = { a + ib | a ≡ 3b (mod 5)}. Si mostri che l’anello quoziente Z[ −1]/I è un campo di ordine 5. Esercizio 3. Sia (K; +, ·) un campo. Nell’anello (Mat3(K); +, ·) si consideri il sottoanello  0 0 0 n o A = α =  x 0 0  : x, y, z ∈ K y z 0 Sia I = {γ ∈ A | γα = αγ = 0A per ogni α ∈ A}. Si verifichi che 77

I] I è un ideale bilatero dell’anello (A; +, ·); II] il gruppo additivo (A; +) è isomorfo al prodotto cartesiano dei gruppi (I; +) e (A/I; +); III] l’anello (A; +, ·) non è isomorfo al prodotto cartesiano degli anelli (I; +, ·) e (A/I; +, ·).

78

4 4.1. A-modulo quoziente. A-algebra quoziente. Analoga alla dimostrazione delle Proposizioni 3.1.1 e 3.1.2 è la dimostrazione delle due Proposizioni che seguono. Proposizione 4.1.1. Sia (V ; +) un modulo sinistro su un anello (A; +, ·); una relazione di equivalenza ∼ in V è compatibile con la somma definita in V e con il prodotto esterno fra A e V se e solo se l’insieme H = {h ∈ V | 0V ∼ h } è un A-sottomodulo di V . La relazione ∼ coincide con la relazione δH definita per a, b ∈ V da a δH b se e solo se b − a ∈ H ; le classi di equivalenza della relazione ∼ sono i laterali del sottogruppo H nel gruppo (V ; +), ovvero i sottoinsiemi del tipo H + v = {h + v | h ∈ H}. Proposizione 4.1.2. Siano (V ; +) un modulo sinistro su un anello (A; +, ·) e H un suo A-sottomodulo; il gruppo quoziente (A/H ; +) ` e un A-modulo sinistro rispetto al prodotto esterno definito per a ∈ A e per v ∈ V da a(H + v) = H + av

e viene detto A-modulo quoziente di (V ; +) rispetto ad H . Esempi. 1. Si considerino lo Z-modulo V = {(a1 , a2 ) | ai ∈ Z6 } rispetto alla somma e al prodotto esterno definiti componente per componente e lo Z-sottomodulo H = {(x1 , x2 ) ∈ V | 3x1 = 3x2 = [0]6 }; gli elementi distinti dello Z-sottomodulo quoziente sono H, H + ([1]6 , [0]6 ), H + ([0]6 , [1]6 ), H + ([1]6 , [1]6 ). Tanto H quanto V /H sono generabili con due elementi, ma non con meno di due. 2. Si considerino un campo K e il K -spazio vettoriale V = {(k1 , k2 , k3 ) | ki ∈ K } rispetto alla somma e al prodotto componente per componente; sia H = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ V | x1 +x2 +x3 = 0 }. Si mostri che il sottospazio H è generabile con due elementi (e non meno) e che lo spazio quoziente V /H è generato da un elemento. 3. Si considerino l’anello K[x] e H = {f (x) ∈ K[x] | deg f (x) ≤ n} ∪ {0} con n ≥ 1 intero fissato; H non è ideale di K[x], quindi non è definito l’anello quoziente di K[x] rispetto ad H . Tuttavia K[x] pu` o essere visto come K -modulo (anzi K -spazio vettoriale); H è K -sottomodulo e quindi è definito il K -spazio vettoriale quoziente K[x]/H . 4. Se un anello (A; +, ·) è privo di ideali bilateri propri, A non ammette anelli quoziente propri; tuttavia, se A possiede qualche ideale sinistro (o destro) proprio I (ad esempio, se A =Matn (K)), all’insieme dei laterali di I in A si pu` o dare la struttura di A-modulo sinistro (rispettivamente, destro). Si prova facilmente un analogo enunciato per le A-algebre. Proposizione 4.1.3. Sia (V ; +, ·) un’algebra sinistra su un anello (A; +, ·). I] Una relazione di equivalenza ∼ in V è compatibile con la somma e il prodotto definiti in V e con il prodotto esterno fra A e V se e solo se l’insieme H = {h ∈ V | 0V ∼ h } è un ideale bilatero dell’A-algebra V . La relazione ∼ coincide con la relazione δH definita per a, b ∈ V da a δH b se e solo se b − a ∈ H ; le classi di equivalenza della relazione ∼ sono i laterali del sottogruppo H nel gruppo (V ; +), ovvero i sottoinsiemi del tipo H + v = {h + v | h ∈ H}. II] Sia H un ideale bilatero dell’A-algebra (V ; +, ·). L’anello quoziente (V /H; +, ·) è una A-algebra sinistra rispetto al prodotto esterno definito per a ∈ A e per v ∈ V da a(H + v) = H + av

e viene detto A-algebra quoziente di (V ; +, ·) rispetto ad H .

79

TEMI V. 1. Sia G l’insieme dei numeri reali diversi da −1; si consideri in G l’operazione ? definita ponendo a ? b = ab + a + b per ogni a, b ∈ G. Si mostri che (G; ?) è un gruppo. Detto H il sottogruppo costituito dalle potenze di 1 ∈ G (cfr. IV, 4.3 Esercizio 4), si verifichi che H è infinito e ha indice infinito in (G; ?). Sugg. H = {2n − 1 | n ∈ Z }. I laterali del tipo 2r ? H con r ∈ Z sono tutti distinti.

2. Siano S un insieme con più di un elemento, (G; ·) un gruppo e GS l’insieme di tutte le applicazioni da S a G. Si definisca in GS una legge di composizione ? ponendo per α, β ∈ GS α ? β : s −→ α(s)β(s) per ogni s ∈ S. Si verifichi che I] (GS , ?) è un gruppo; II] le applicazioni costanti (ovvero le applicazioni γ : S −→ G tali che γ(s) = kγ per ogni s ∈ S) costituiscono un sottogruppo H di GS , isomorfo a G. III] H è normale in GS se e solo se G è abeliano. Sugg. III] Se (G; ·) è abeliano, (GS ; ?) è abeliano. Per ogni a, b ∈ G con a 6= b si considerino γ ∈ H con γ(s) = a per ogni s ∈ S e α ∈ GS con α(a) = b e α(s) = a per ogni s 6= a; se α−1 γα ∈ H, allora (α−1 γα)(a) = (α−1 γα)(b) . . ..

3. Sia (K; +, ·) un campo; sia½ G=

µ σa,b =

a 0

0 b

¶

µ , τa,b =

0 b

a 0

¶

¾ | a, b ∈ K\{0}

Si provi quanto segue. I] G è un gruppo (sottogruppo di GL(2, K) ). II] Il sottoinsieme H = {σa,b ∈ G | a = b} è un sottogruppo normale di G. G ; ·) è abeliano se e solo se per ogni k ∈ K\{0} è k 2 = 1K e quindi |K| ≤ 3. III] Il gruppo ( H Sugg. III] 2.3 Esercizio 11.

4. Sia G il gruppo costituto dalle coppie (a, b) con a, b ∈ R e a 6= 0 rispetto al prodotto definito da b (a, b)(c, d) = (ac, ad + ) c Sia N = {(1, b) | b ∈ R }. Si provi quanto segue. I] N è un sottogruppo normale di G e il gruppo quoziente (G/N ; ·) è isomorfo al gruppo moltiplicativo (R\{0}; ·). II] Nessun sottogruppo proprio di G, contenuto propriamente in N , è normale in G. III] Ogni sottogruppo di G , che contiene N , è normale in G. Sugg. I] N (a, b) = N (c, d) se e solo se a = c. II] se (1, c) ∈ H / G, allora (a, b)−1 (1, c)(a, b) ∈ H. III] Il gruppo (G/N ; ·) è abeliano; 2.3 Esercizio 11.

5. Sia G il gruppo costituito dalle coppie (n, d) con n ∈ Z e d ∈ {1, −1} composte con il prodotto definito da (n1 , d1 )(n2 , d2 ) = (n1 + d1 n2 , d1 d2 ) Siano A = {(n, 1)|n ∈ Z } C = {(n, (−1)n |n ∈ Z }. I] Dopo aver verificato che A e C sono sottogruppi normali in (G; ·), si mostri che i gruppi quoziente G/A e G/C sono isomorfi, mentre i gruppi A e C non lo sono. II] Posto N = A ∩ C, si determinino gli elementi distinti di N e del gruppo quoziente G/N . Sugg. I] |G/A| = |G/C| = 2. 80

(1, −1) ∈ C è tale che (1, −1)2 = 1G mentre per ogni (n, 1) ∈ A\{1G } è (n, 1)2 6= 1G . II] N = {(2n, 1) | n ∈ Z} e G/N = {N (0, 1), N (0, −1), N (1, 1), N (1, −1)}.

6. Sia (K; +, ·) un campo; siano K ∗ = K\{0} e W = {k2 | k ∈ K ∗ }. I] Si verifichi che W è un sottogruppo (normale) del gruppo (K ∗ ; ·). II] Si provi che, se K è finito, allora i) è [K ∗ : W ] ≤ 2; ii) se −1K 6∈ W e k ∈ K ∗ \W , allora −k ∈ W. iii) il polinomio x4 + 1 ∈ K[x] è riducibile in K[x]. III] Si mostri che il polinomio x4 + 1 è irriducibile in Q[x]. Sugg. II] i) a2 = b2 ⇔ a = ±b. ii) (−1K )W = kW ; (−k)W = (−1K )W · kW = (kW )2 = k 2 W = W . iii) si considerino i casi: −1K ∈ W , 2(1K ) ∈ W , −2(1K ) ∈ W .

7. Sia (G; ·) un gruppo; sia Z(G) = {c ∈ G | cg = gc per ogni g ∈ G}. Si provi quanto segue. I] II] III] IV]

Z(G) è un sottogruppo normale di G, che coincide con G se e solo se il gruppo G è abeliano. Se Z(G) è un sottogruppo proprio di G, allora è |G| ≥ 8. Esiste qualche gruppo G di ordine 8 nel quale Z(G) è un sottogruppo proprio. Esiste qualche gruppo G di ordine maggiore di 8, in cui Z(G) è ridotto all’unità.

Sugg. III] 2.3 Esercizio 4. IV] Il gruppo simmetrico S4 , il prodotto cartesiano S3 × S3 .

8. Sia (G; +) il gruppo quoziente del gruppo (Q;+) rispetto al suo sottogruppo Z. Si provi quanto segue. I] Per ogni n ∈ N ©esiste in G uno ed un solo ª sottogruppo di ordine n; tale sottogruppo è ciclico. II] L’insieme H = 2rn + Z | r ∈ Z, n ∈ N0 è un sottogruppo infinito di G. III] Ogni gruppo quoziente di G, non ridotto all’unità, è infinito. Sugg. III] 2.3 Esercizio 11.

9. Siano (G; ·) un gruppo e H un suo sottogruppo di indice finito n. Sia a ∈ G. I] Si provi che esiste qualche intero positivo t ≤ n tale che at ∈ H. II] Sia r il minimo intero positivo tale che ar ∈ H. Si provi che, se il sottogruppo H è normale in (G; ·), allora r è un divisore di n. Si mostri con qualche esempio che, se H non è normale in (G; ·), r può non essere un divisore di n. Sugg. I] I laterali H , Ha , . . . , Han non possono essere distinti; esistono s, t ∈ {0, 1, . . . , n} tali che Has = Hat . II] Se H / G, è r = |Ha| nel gruppo quoziente (G/H; ·). Esempio: G = S3 e H = h(1, 2)i.

10. Sia (G; ·) un gruppo infinito e sia N un suo sottogruppo normale tale che il gruppo quoziente (G/N ; ·) è finito. Sia H un sottogruppo di (G; ·). Si provi che I] H ∩ N è un sottogruppo normale di H; II] il gruppo quoziente (H/(H ∩ N ); ·) è finito e |H/(H ∩ N )| ≤ |G/N |; III] il sottogruppo H è finito se e solo se è finito il sottogruppo H ∩ N . 11. Nel campo complesso C si considerino √ ©x y

ª A = 2 + i 2 3 | x, y ∈ Z, x ≡ y (mod 2) √ I = {a + ib 3 | a, b ∈ Z, a ≡ b (mod 2)} I] Si verifichi che A è un sottoanello di C e che I è un ideale dell’anello (A; +, ·). II] Si determinino i laterali distinti di I in (A; +, ·) (giustificando il risultato).

Sugg. I laterali distinti sono I, I + 1, I + ( 12 + i

√ 3 2 ),

(I + ( 32 + i

√ 3 2 ).

12. Siano X e Y due anelli commutativi e sia A la loro somma diretta esterna. 81

Se I è un ideale di A, si ponga IX = {v ∈ X | (v, y) ∈ I per qualche y ∈ Y } IY = {w ∈ Y | (x, w) ∈ I per qualche x ∈ X } J = {(v, w) ∈ A | v ∈ IX , w ∈ IY } I] Si osservi che IX , IY e J sono ideali rispettivamente di X, Y e A e che I ⊆ J. II] Si provi che a) una condizione sufficiente affinché sia I = J è che l’anello X (o l’anello Y ) possieda unità, b) una condizione sufficiente affinché sia I = J è che l’anello quoziente A/I sia privo di divisori dello zero. III] Siano X = Y = {2k | k ∈ Z } sottoanelli di Z. a) Si mostri che nessuna delle due condizioni date in II] è necessaria affinché sia I = J, considerando I = {(4r, 4s) | r, s ∈ Z }. b) Si mostri che può essere I 6= J, considerando I = {(2r, 4s) | r, s ∈ Z, r ≡ s (mod 2) }. Sugg. II] a) Se (v, w) ∈ J e (x, w) ∈ I, allora (x, 0) = (x, w)(1X , 0) ∈ I, (0, w) ∈ I . . . b) Se (x, y) ∈ I allora I = [(x, 0) + I] + [(0, y) + I] = [(x, 0) + I][(0, y) + I].

13. Sia (K; +, ·) un campo; sia (A; +, ·) l’anello costituito dalle coppie ordinate (a, b) ∈ K × K rispetto alla somma e al prodotto definiti come segue: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 b2 + a2 b1 , b1 b2 ) I] Si mostri che l’anello A possiede unità e si determinino gli elementi unitari di A. II] Si mostri che l’anello A possiede uno ed un solo ideale proprio I e che l’anello quoziente A/I è un campo. Sugg. I] (a, b) è unitario se e solo se b 6= 0. II] Se a 6= 0, per ogni k ∈ K è (k, 0) = (a, 0)(0, a−1 k); I = {(k, 0) | k ∈ K}.

82

VI. OMOMORFISMO FRA STRUTTURE ALGEBRICHE.

In IV, 8.1 abbiamo introdotto il concetto di “isomorfismo” tra strutture algebriche omologhe, in particolare tra gruppi, tra anelli, tra A-moduli, tra reticoli. Un concetto pi` u generale è quello di “omomorfismo”.

1 1.1 Omomorfismo fra gruppi. Definizione. Siano (G; ·) e (G; •) due gruppi; si chiama omomorfismo da (G; ·( a (G; •) un’applicazione f : G → G che conserva il prodotto, ovvero tale che per ogni a, b ∈ G si ha f (a · b) = f (a) • f (b). Se f è iniettiva, l’omomorfismo f viene anche detto monomorfismo. Se f è suriettiva, l’omomorfismo f viene anche detto epimorfismo. Se f è biiettiva, l’omomorfimo f è un isomorfismo. L’applicazione f pu` o non essere né iniettiva né suriettiva. Un omomorfismo f : G → G viene detto endomorfismo del gruppo G. Esempi. 1. L’applicazione f : Z → Zn definita da f (x) = [x]n per ogni x ∈ Z, è un epimorfismo del gruppo (Z ; +) sul gruppo (Zn ; +). 2. Sia (K; +, ·) un campo. L’applicazione f : GL(n, K) → (K\{0}; ·), che associa ad ogni matrice non singolare il suo determinante, è un epimorfismo. 3. L’applicazione f : Sn → (Q\{0}; ·) definita ponendo per ogni sostituzione σ ∈ Sn ½ f (σ) =

+1, −1,

se σ è pari; se σ è dispari.

è un omomorfismo di gruppi, non iniettivo né suriettivo. 4. Se H è un sottogruppo di un gruppo (G; ·), l’applicazione i : H → G definita ponendo i(h) = h per ogni h ∈ H ` e un monomorfismo, detto “mappa di inclusione”. 5. L’applicazione f : (Z4 ; +) → S4 definita ponendo f ([r]4 ) = (1234)r è un monomorfismo. 6. L’applicazione f da un gruppo (G; ·) ad un gruppo (G; •), definita ponendo f (g) = 1G per ogni g ∈ G, è un omomorfismo detto omomorfismo nullo. Esercizio 1. Siano f : G1 → G2 e h : G2 → G3 omomorfismi di gruppi; si mostri che f h : G1 → G3 (ove f h indica il prodotto di applicazioni) è un omomorfismo di gruppi.

Proposizione 1.1.1. Siano (G; ·) e (G; •) due gruppi; sia f : G → G un omomorfismo. 1) f (1G ) = 1G . 2) Per ogni g ∈ G è f (g−1 ) = f (g)−1 . 3) Per ogni g ∈ G e per ogni n ∈ Z è f (g n ) = (f (g))n . 4) Se H è un sottogruppo di (G; ·), f (H) = {f (h)|h ∈ H} è un sottogruppo di (G; •). In particolare f (G) è un sottogruppo di (G; •). 5) Se H è un sottogruppo di (G; •), f −1 (H) = {g ∈ G|f (g) ∈ H} è un sottogruppo di (G; ·). 83

6) Se H è un sottogruppo normale di (G; ·), f (H) è un sottogruppo normale di (f (G); •); f (H) pu` o non essere normale in (G; •). 7) Se H è un sottogruppo normale di (G; •), f −1 (H) è un sottogruppo normale di (G; ·). In particolare f −1 (h1G i) = {x ∈ G | f (x) = 1G } è un sottogruppo normale di (G; cot). 1) Sia g ∈ G; da 1G g = g segue f (1G ) • f (g) = f (g) = 1G • f (g). In G valgono le leggi di cancellazione e quindi f (1G ) = 1G . 2) Da gg −1 = 1G segue f (g) • f (g −1 ) = f (1G ) = 1G e quindi f (g −1 ) = f (g)−1 . 3) Per n ≥ 0 si prova la tesi facendo induzione su n. Per 2) la tesi è provata per n = −1. Infine per n = −m con m > 0 si ha g n = (g m )−1 e quindi f (g n ) = f (g m ))−1 = (f (g)m )−1 = f (g)n . 4) Per f (h1 ), f (h2 ) ∈ f (H) (con h1 , h2 ∈ H) si ha f (h1 ) • f (h2 )−1 = f (h1 ) • f (h−1 2 )= −1 = f (h1 h−1 ) ∈ f (H) poich´ e h h ∈ H. 1 2 2 5) Siano g1 , g2 ∈ f −1 (H) ovvero f (g1 ), f (g2 ) ∈ H; si ha f (g1 g2−1 ) = f (g1 ) • f (g2 )−1 ∈ H e quindi g1 g2−1 ∈ f −1 (H). 6) Per h ∈ H e g ∈ G è g −1 hg ∈ H; ne segue f (g)−1 • f (h) • f (g) ∈ f (H). 7) Siano g ∈ G e a ∈ f −1 (H), ovvero f (a) ∈ H; si ha f (g −1 ag) = f (g)−1 • f (a) • f (g) ∈ H e quindi g −1 ag ∈ f −1 (H). Esercizio 3. Sia f : Z→ Zn l’omomorfismo definito da f (x) = [x]n per ogni x ∈ Z; si provi che i) se H = {kr | k ∈ Z}, allora è f (H) = {[kr]n | k ∈ Z }; ii) se H = {[ks]n | k ∈ Z }, allora è f −1 (H) = {kd | k ∈ Z }, dove d =M.C.D.(s, n); iii) per ogni sottogruppo H = {kr | k ∈ Z} è f −1 (f (H)) = H se e solo se r divide n. Esercizio 4. Sia (G; ·) un gruppo abeliano e sia φ un suo endomorfismo. Posto H = {gφ(g −1 ) | g ∈ G}, si mostri che H è un sottogruppo di G e che φ(H) ⊆ H. Si indichi con φ|H la restrizione di φ ad H; si osservi che φ|H è un endomorfismo di H e si provi che φ è suriettivo o iniettivo se e solo se lo è φ|H .

Definizione. Si chiama nucleo di un omomorfismo f : G → G il sottogruppo f −1 {1G }, che viene solitamente indicato con Ker f . Con riferimento agli Esempi dati sopra si verifica che in 1. è Ker f = hni, in 2. Ker f è l’insieme delle matrici che hanno determinante 1K (unità di K ) (questo sottogruppo di GL(n, K) viene indicato con SL(n, K) e detto gruppo speciale lineare), in 3. Ker f è il sottogruppo alterno An , in 4. è Ker f = h1G i, in 5. è Ker f = h1G i, in 6. è Ker f = G. Proposizione 1.1.2. Siano (G; ·) e (G; •) due gruppi; sia f : G → G un omomorfismo. 1) Ker f è un sottogruppo normale di G. 2) Per a, b ∈ G è f (a) = f (b) se e solo se è a Ker f = b Ker f . 3) (I Teorema di isomorfismo) L’omomorfismo f determina un monomorfismo di gruppi ψf : G/Ker f → G, definito ponendo per ogni a ∈ G ψf (a Ker f ) = f (a). ψf ` e un isomorfismo tra G/Ker f e f (G). 1) Segue dalla Proposizione 1.1.1, 7) poiché h1G i / G. 2) Sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti: i) f (a) = f (b), ii)f (a−1 b) = f (a)−1 • f (b) = 1G , iii) a−1 b ∈ Ker f , iv) a Ker f = b Ker f . 3) Per la 2) ψf è “ ben definita” ed è iniettiva; ψf conserva il prodotto poiché ψf [(a Ker f )(b Ker f )] = ψf (ab Ker f ) = f (ab) = f (a) • f (b) = ψf (a Ker f ) • ψf (b Ker f ).

Corollario 1.1.3. Un omomorfismo di gruppi f : G → G è iniettivo (o monomorfismo) se e solo se è Ker f = h1G i. Corollario 1.1.4. Se f : G → G è un omomorfismo suriettivo (o epimorfismo) di gruppi, il gruppo (G; ·) è isomorfo al gruppo quoziente (G/Ker f ; ·). 84

Esercizio 5. Nel gruppo additivo G =(Z; +)⊕(Z; +) (somma diretta esterna) si consideri il sottogruppo N = {(2k, 3k) | k ∈ Z}; si provi che il gruppo quoziente (G/N ; +) è isomorfo al gruppo (Z; +). Esercizio 6. Sia f : G → G un omomorfismo da un gruppo (G; ·) a un gruppo (G; •). Si provi che 1) se S è un sottogruppo di (G; ·), è f −1 (f (S)) = S se e solo se è Ker f ⊆ S; 2) se S è un sottogruppo di (G; •), è f (f −1 (S)) = S se e solo se è S ⊆ f (G); 3) i sottogruppi di (G; ·), che contengono Ker f , sono in corrispondenza biunivoca con i sottogruppi di (f (G); •).

Si usa dire che un gruppo (G; •) è immagine omomorfa (o epimorfa) di un gruppo (G; ·) se esiste un omomorfismo suriettivo f : G → G. Dal Corollario 1.1.4 segue che ogni immagine omomorfa di un gruppo (G; ·) è isomorfa ad un gruppo quoziente di (G; ·). Vale il viceversa. Proposizione 1.1.5. Siano (G; ·) un gruppo ed N un suo sottogruppo normale; l’applicazione π : G → G/N definita ponendo π(g) = gN per ogni g ∈ G, è un epimorfismo (detto omomorfismo naturale), il cui nucleo è N . Il gruppo quoziente (G/N ; ·) è quindi immagine omomorfa di (G; ·). Le immagini omomorfe di un gruppo (G; ·) sono dunque, a meno di isomorfismi (per l’Esercizio 1) , tutti e soli i gruppi quoziente di (G; ·) rispetto ai suoi sottogruppi normali. Un gruppo ammette come immagini omomorfe se stesso e il gruppo ridotto all’unità. Esempio 7. Nel gruppo generale lineare GL(n, K) su un campo K il centro (cfr. IV, 4.3 Esercizio 2) è il sottogruppo Z(GL(n, K)) = {(kij ) ∈ GL(n, K) |kij = 0 per i 6= j, e k11 = k22 = . . . = knn }. Il gruppo quoziente GL(n, K)/Z(GL(n, K)) viene detto gruppo proiettivo generale lineare e indicato con P GL(n, K); se π indica l’omomorfismo naturale del gruppo GL(n, K) sul gruppo P GL(n, K)), il sottogruppo π(SL(n, K)) (cfr. Esempio 2)viene detto gruppo proiettivo speciale lineare e indicato con P SL(n, K). Esercizio 7. Sia f : G → G un omomorfismo suriettivo di gruppi; siano N =Ker f , ψf : G/N → G l’isomorfismo determinato da f (cfr. Proposizione 1.1.2, 3)) e π : G → G/N l’omomorfismo naturale. Si provi che i) è f = πψf ; ii) gli omomorfismi suriettivi di (G; ·) su (G; ·), che hanno come nucleo N , sono tutti e soli del tipo f α, dove α è un automorfismo di (G; ·). Esercizio 8. Siano N e M sottogruppi normali di un gruppo G con N ⊆ M ; siano πN l’omomorfismo naturale di G su G/N e πM l’omomorfismo naturale di G su G/M . Si provi che esiste un omomorfismo φ di G/N su G/M tale che πN φ = πM . Esercizio 9. Sia (Σ; ·) il gruppo costituito dalle similitudini sulla retta reale; si mostri che sono sue immagini omomorfe il gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli, il gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi, il gruppo additivo dei numeri reali, il gruppo (Z2 ; +). Il gruppo (Z3 ; +) è immagine omomorfa di (Σ; ·)? Il gruppo (Z; +) è immagine omomorfa di (Σ; ·)? Esercizio 10. Sia H un sottogruppo normale di un gruppo (G; ·); per ogni a ∈ G si definisca un’applicazione fa : H → H ponendo fa (h) = a−1 ha per ogni h ∈ H. Si mostri che fa ∈ Aut (H); se ne deduca che esiste un omomorfismo dal gruppo (G; ·) al gruppo (Aut (H); ·) che ha come nucleo il sottogruppo CG (H). (cfr. IV, 4.3 Esercizio 2).

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2 2.1. Omomorfismo fra anelli. Definizione. Siano (A; +, ·) e (A; +, •) due anelli; si chiama omomorfismo da A a A un’applicazione f : A → A che conserva la somma e il prodotto, ovvero tale che per ogni a, b ∈ A si ha f (a + b) = f (a) + f (b) e f (a · b) = f (a) • f (b). Un omomorfismo di anelli f è dunque un omomorfismo dal gruppo additivo (A; +) al gruppo additivo (A; +), che conserva anche il prodotto. Esempi. 1. L’applicazione f data in 1.1, Esempio 1, è anche un omomorfismo dall’anello (Z;+, ·) all’anello (Zn ; +, ·). 2. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unit` a e sia k ∈ A; l’applicazione f : A[x] → A definita ponendo f (α(x)) = α(k) per ogni α(x) ∈ A[x] ` e un omomorfismo suriettivo, non iniettivo, di anelli. 3. Sia (K; +, ·) un campo; l’applicazione f : Matn (K) → K , che associa ad ogni matrice il suo determinante, è un omomorfismo di anelli? 4. L’applicazione f da un anello (A; +, ·) ad un anello (A; +, •), definita ponendo f (a) = 0A per ogni a ∈ A, è un omomorfismo detto omomorfismo nullo. 5. L’applicazione h : Z → Zn definita da h(x) = [2x]n per ogni x ∈ Z, è un omomorfismo dal gruppo (Z ; +) al gruppo (Zn ; +); h è un omomorfismo di anelli se e solo se è n = 2, ovvero se e solo se h è l’omomorfismo nullo. Proposizione 2.1.1. Siano (A; +, ·) e (A; +, •) due anelli; sia f : A → A un omomorfismo. 1) f (0A ) = 0A . 2) f (−a) = −f (a) per ogni a ∈ A. 3) f (na) = nf (a) per ogni a ∈ A e per ogni n ∈ Z. 4) Se H è un sottoanello di (A; +, ·), f (H) è un sottoanello di (A; +, •). In particolare f (A) è un sottoanello di (A; +, •). 5) Se H è un sottoanello di (A; +, •), f −1 (H) è un sottoanello di (A; +, ·). 6) Se I è un ideale destro (sinistro) di (A; +, ·), f (I) è un ideale destro (sinistro) di f (A); f (I) pu` o non essere un ideale di (A; +, •). 7) Se I è un ideale destro (sinistro) di (A; +, •), f −1 (I) è un ideale destro (sinistro) di (A; +, ·). In particolare f −1 ({0A }) è un ideale bilatero di (A; +, ·). Esercizio 1. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità 1A ; sia f : A → A un omomorfismo non nullo (cioè tale che f (A) 6= {0A }) dall’anello (A; +, ·) ad un anello (A; +, •). Si provi che f (1A ) è unità dell’anello (f (A); +, •), ma può non essere unità dell’anello (A; +, •). Esercizio 2. Ogni omomorfismo non nullo da un anello (A; +, ·) dotato di unità all’anello (Z; +, ·) degli interi relativi è suriettivo.

Definizione. L’ideale bilatero f −1 ({0A }) viene detto nucleo dell’omomorfismo di anelli f : A → A e indicato con Ker f . Il nucleo di un omomorfismo f di anelli coincide con il nucleo di f visto come omomorfismo tra i gruppi additivi dei due anelli. Dal Corollario 1.1.3 segue Proposizione 2.1.2. Un omomorfismo di anelli f è iniettivo se e solo se è Ker f = {0A }. Corollario 2.1.3. Ogni omomorfismo non nullo f da un corpo (K; +, ·) ad un anello (A; +, •) ` e iniettivo. Poiché un corpo non possiede ideali propri (cfr. IV, Corollario 6.3.2), sarà Ker f = K oppure Ker f = {0K }; nel primo caso f è l’omomorfismo nullo, nel secondo caso f è iniettivo. Esercizio 3. Sia f : A → A un omomorfismo suriettivo da un anello (A; +, ·) ad un anello non banale (A; +, •); si provi che se (A; +, ·) è un corpo, allora (A; +, •) è un corpo, isomorfo ad (A; +, ·). 86

Se (A; +, •) è un corpo, (A; +, ·) è necessariamente un corpo? (cfr.Esempio 1)

Proposizione 2.1.4. Sia f : A → A un omomorfismo di anelli; f determina un monomorfismo di anelli ψf : A/Ker f → A definito ponendo per ogni a ∈ A ψf (a+Ker f ) = f (a). Per la Proposizione 1.1.2 l’applicazione ψf è un monomorfismo dal gruppo (A/Ker f ; +) al gruppo (A; +); basta verificare che ψf conserva anche il prodotto. Esercizio 4. Nell’anello (Z[x]; +, ·) si consideri l’ideale H = { f (x) ∈ Z[x] | f (0) = 0 } = h x i; si mostri che l’anello quoziente (Z[x]/H; +, ·) è isomorfo all’anello (Z;+, ·) ed è pertanto privo di divisori dello zero, ma non è campo. Esercizio 5. Siano f : A1 → A2 e g : A2 → A3 due omomorfismi di anelli; si mostri che f g : A1 → A3 è un omomorfismo di anelli.

Proposizione 2.1.5. Sia I un ideale bilatero di un anello (A; +, ·); l’applicazione π : A → A/I , definita ponendo π(a) = a + I per ogni a ∈ A, ` e un omomorfismo suriettivo di anelli, detto omomorfismo naturale. Dalle Proposizioni 2.1.4 e 2.1.5 segue che le immagini omomomorfe di un anello (A; +, ·) sono, a meno di isomorfismi, tutti e soli gli anelli quoziente di (A; +, ·) rispetto ai suoi ideali bilateri. 2.2. Ideali massimali, ideali primi in un anello. Definizione. In un anello (A; +, ·) un ideale destro, sinistro o bilatero, massimale (rispetto all’inclusione insiemistica) nella famiglia degli ideali rispettivamente destri, sinistri o bilateri di (A; +, ·), diversi da A, viene detto ideale destro, sinistro o bilatero massimale. ? Esercizio 1. Si provi che in un anello commutativo, dotato di unità, esistono ideali massimali. (Si consideri l’insieme degli ideali dell’anello, diversi dall’anello stesso, ordinato rispetto all’inclusione insiemistica e ci si valga dell’Assioma di Zorn; cfr. II, 3.1.)

Lemma 2.2.1. Sia I un ideale bilatero di un anello (A; +, ·); l’omomorfismo naturale π : A → A/I subordina un’applicazione biiettiva ψ dall’insieme degli ideali destri (o sinistri) di (A; +, ·), che contengono I , all’insieme degli ideali destri (risp. sinistri) dell’anello quoziente (A/I; +, ·). Sia ψ l’applicazione che associa ad ogni ideale destro J di (A; +, ·), che contiene I, l’ideale π(J) di (A/I; +, ·). L’applicazione ψ è suriettiva poiché per ogni ideale J di (A/I; +, ·) è J = π(π −1 (J)). Essendo I ⊆ J è π −1 (π(J) = J (cfr. 1.1 Esercizio 6); ne segue che se J1 e J2 sono due ideali destri di (A; +, ·), che contengono I, tali che π(J1 ) = π(J2 ), allora J1 = π −1 (π(J1 )) = π −1 (π(J2 )) = J2 e pertanto l’applicazione ψ è anche iniettiva.

Proposizione 2.2.2. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità 1A ; sia I un suo ideale. L’anello quoziente (A/I; +, ·) è un campo se e solo se l’ideale I è massimale. Sia (A/I; +, ·) un campo. Per IV, Corollario 6.3.2 l’anello A/I è privo di ideali propri; per il Lemma 2.2.1 non esiste in (A; +, ·) alcun ideale proprio che contenga propriamente I e pertanto l’ideale I è massimale. Viceversa, sia I massimale. L’anello (A/I; +, ·) è commutativo ed ha unità I +1A ; inoltre per il Lemma 2.2.1 l’anello A/I è privo di ideali propri. Per IV, Proposizione 6.3.3 (A/I; +, ·) è un campo.

Definizione. Un ideale I di un anello commutativo (A; +, ·) viene detto primo se da ab ∈ I (con a, b ∈ A) segue a ∈ I o b ∈ I (non escludendo che entrambi gli elementi a e b appartengano ad I ). 87

Per ogni anello (A; +, ·) l’ideale improprio A è primo; l’ideale banale {0A } è primo se e solo se l’anello è privo di divisori dello zero. Dalla definizione si deduce immediatamente la Proposizione che segue. Proposizione 2.2.4. Siano (A; +, ·) un anello commutativo ed I un suo ideale ; l’anello quoziente (A/I; +, ·) è privo di divisori dello zero se e solo se l’ideale I è primo. Corollario 2.2.5. In un anello commutativo, dotato di unità, ogni ideale massimale è primo. Si osservi che in Z[x] l’ideale H = {f (x) | f (0) = 0} è primo ma non massimale. Se A = { 2k | k ∈ Z } (sottoanello di (Z;+, ·)) e I = { 4k | k ∈ Z}, I è ideale massimale di (A; +, ·) ma non è ideale primo.

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3 3.1. Omomorfismo di A-moduli e di algebre. Definizione. Siano (V ; +) e (V ; +) due moduli sinistri (o destri) sullo stesso anello (A; +, ·); si chiama A-omomorfismo da (V ; +) a (V ; + ) un omomorfismo f dal gruppo (V ; +) al gruppo (V ; +) che conserva il prodotto per gli scalari, ovvero un’applicazione f da V a V tale che sia f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) e f (av) = af (v) (o rispettivamente f (va) = f (v)a) per ogni v, v1 , v2 ∈ V e per ogni a ∈ A. Definizione. Siano (V ; +.·) e (V ; +, • ) due algebre sinistre (o destre) sullo stesso anello (A; +, ·); si chiama A-omomorfismo da V a V un omomorfismo f dall’anello (V ; +, ·) all’anello (V ; +, •) che conserva il prodotto per gli scalari, ovvero un’applicazione f da V a V tale che sia f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ), f (v1 v2 ) = f (v1 ) • f (v2 ) e f (av) = af (v) ( o rispettivamente f (va) = f (v)a) per ogni v, v1 , v2 ∈ V e per ogni a ∈ A. Si provano facilmente le Proposizioni che seguono. Proposizione 3.1.1. Siano (V ; +) e (V ; +) due A-moduli sinistri; sia f : V → V un A-omomorfismo. 1) Se W è un A-sottomodulo di (V ; +), f (W ) è un A-sottomodulo di (V ; +). 2) Se W è un A-sottomodulo di (V ; +), f −1 (W ) è un A-sottomodulo di (V ; +). Definizione. L’A-sottomodulo f −1 ({0V }) viene detto nucleo dell’A-omomorfismo f e viene indicato con Ker f . Proposizione 3.1.2. Siano (V ; +) e (V ; +) due A-moduli sinistri; ogni A-omomorfismo f : V → V determina un A-monomorfismo di A-moduli ψf : V /Ker f → V definito ponendo per ogni v ∈ V ψf (v+Ker f ) = f (v). Proposizione 3.1.3. Se W è un A-sottomodulo di un A-modulo sinistro (V ; +), l’applicazione π : V → V /W , definita ponendo π(v) = v + W per ogni v ∈ V , è un A-omomorfismo suriettivo, detto omomorfismo naturale. Pertanto le immagini omomorfe di un A-modulo sinistro (V ; +) sono, a meno di Aisomorfismi, tutti e soli gli A-moduli quoziente di (V ; +) rispetto ai suoi A-sottomoduli. Esercizio 1. Sia (V ; +) uno spazio vettoriale sinistro su un corpo K. Sia n un intero prefissato e sia f : V → V l’applicazione definita da f (v) = nv per ogni v ∈ V . Si provi che f è un K-endomorfismo dello spazio vettoriale V ; inoltre, se f non è l’endomorfismo nullo di V , f è un automorfismo di V . Esercizio 2. Siano (V ; +) un A-modulo sinistro e φ un A-endomorfismo di V . Si pongano S = {s ∈ V | φ(s) = s}, T = {v − φ(v) | v ∈ V } e si provi che S e T sono A-sottomoduli di V tali che l’A-modulo quoziente V /S è A-isomorfo a T . L’A-modulo quoziente V /T puó essere A-isomorfo ad S? può non esserlo? Esercizio 3. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità; si consideri l’applicazione f : A → A definita da f (a) = a3 per ogni a ∈ A. 1) Si provi che f è un endomorfismo del gruppo additivo (A; +) se e solo se è 3a2 = 3a per ogni a ∈ A. 2) Si provi che f è un A-endomorfismo dell’A-modulo sinistro (A; +) (cfr.IV, 6.1 Esempio 3) se e solo se è a3 = a per ogni a ∈ A. 3) Si considerino le condizioni seguenti: i) f è un endomorfismo del gruppo additivo (A; +); ii) f è un A-endomorfismo dell’A-modulo sinistro (A; +); iii) f è un endomorfismo dell’anello (A; +, ·). Si mostri che ii)⇒ i), ii)⇒ iii), iii)⇒ i). Si chiede: i)⇒ ii)? iii)⇒ ii)? i)⇒ iii)? Esercizio 4. Si stabiliscano per le A-algebre proposizioni analoghe alle 3.1.2 e 3.1.3.

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TEMI VI. 1. Siano (A; ·) e (B; ·) due gruppi e sia φ : A −→ B un omomorfismo suriettivo da A a B. Si mostri quanto segue: B I] se K è un sottogruppo normale di B, allora i gruppi φ−1A(K) e K sono isomorfi; A B II] se H è un sottogruppo normale di A, i gruppi H e φ(H) possono non essere isomorfi; A B III] se A è finito, i gruppi H e φ(H) sono isomorfi se e solo se Ker φ è contenuto in H. B Sugg. I] ψ : A → K con ψ(a) = φ(a)K; Ker ψ = φ−1 (K). Proposizione 1.1.2. II] H = h1A i. A B A III] 1.1 Esercizio 6; se H ' φ(H) ' φ−1 (φ(H)) , allora |H| = |φ−1 (φ(H))|.

2. Sia (K; +, ·) un campo; sia (G; ·) il gruppo costituito dalle matrici ¶ µ

a 0 con a, b ∈ K, a 6= 0 b 1 rispetto al prodotto righe per colonne. Sia Y = { µ ∈ G | detµ = 1 }. Si verifichi quanto segue. I] Y è un sottogruppo normale di G, isomorfo al gruppo additivo (K; +) e il gruppo quoziente (G/Y ; ·) è isomorfo al gruppo moltiplicativo (K\{0}; ·); II] ogni sottogruppo di G, che contiene Y , è normale in G; III] nessun sottogruppo proprio, contenuto propriamente in Y , è normale in G; IV] ogni sottogruppo proprio, normale in G, contiene Y . µ=

Sugg. I] f : G → K\{0} con f (µ) = a; Ker f = Y . II] 1.1 Esercizio 6 con f (H) / (K\{0}; ·); Proposizione 1.1.1. III] se γ ∈ H / G, allora µ−1 γµ ∈ H per ogni µ ∈ G.

3. Siano (Σ; ·) il gruppo costituito dalle similitudini sulla retta reale σa,b : x0 = ax+b (con a, b ∈ R, a 6= 0) rispetto al prodotto di applicazioni, T il sottogruppo delle traslazioni σ1,k (con k ∈ R), H il sottogruppo generato dall’insieme delle involuzioni σ−1,k (con k ∈ R). I] Si verifichi che T e H sono normali in Σ. II] Si provi che sono tra loro isomorfi il gruppo quoziente Σ/H, il gruppo moltiplicativo (R+ ; ·) dei numeri reali positivi, il gruppo additivo (R; +) dei numeri reali, il gruppo T . III] Si mostri che il gruppo quoziente Σ/T non è isomorfo al gruppo H. Sugg. H = {x0 = ±x + k | k ∈ R }. II] f : Σ → R+ con f (σa,b ) = a2 .

4. Sia (X; ·) un gruppo e sia G = X × X (prodotto diretto esterno); sia ϕ un endomorfismo del gruppo X e sia H = {(x, ϕ(x))|x ∈ X}. I] Si mostri che H è un sottogruppo di G. II] Si provi che H è normale in G se e solo se ϕ(X) è contenuto nel centro di X e che in tal caso il gruppo G/H è isomorfo al gruppo X. Sugg. II] f : G → X con f ((x1 , x2 )) = x2 φ(x−1 1 ); Ker φ = H.

5. Sia (V ; +) un gruppo abeliano additivo; sia End V l’insieme degli endomorfismi di (V ; +). Si definiscano in End V le operazioni + e · ponendo per ogni φ, ψ ∈End V e per ogni v ∈ V φ + ψ : v → φ(v) + ψ(v) φ · ψ : v → ψ[φ(v)] I] Si verifichi che (End V ; +, ·) è un anello dotato di unità. II] Si mostri che (V ; +) può essere visto come End V -modulo destro rispetto al prodotto esterno ? definito da v ? φ = φ(v) per ogni φ ∈End V e per ogni v ∈ V . III] Se (V ; +) è A-modulo destro su qualche anello (A; +, ·), si provi che ogni End V -sottomodulo di V è anche A-sottomodulo; si mostri con qualche esempio che un A-sottomodulo di V può non essere End V -sottomodulo di V . 90

Sugg. III] Per ogni a ∈ A resta definito fa ∈ End V con fa (v) = va per ogni v ∈ V . (V ; +) =(Z2 ; +)⊕(Z2 ; +) è Z-modulo destro rispetto al prodotto esterno (a, b)n = (na, nb) per ogni n ∈ Z e per ogni (a, b) ∈ V ; H = {([0]2 , [0]2 )), ([1]2 , [0]2 )} è Z-sottomodulo, non End V -sottomodulo.

6. Sia (G; ·) un gruppo abeliano; sia (End G; +, ·) l’anello degli endomorfismi di G (cfr. Tema 5). I] Si osservi che, se G è finito, gli elementi di End G che ammettono inverso destro sono tutti e soli quelli che ammettono inverso sinistro e coincidono con gli automorfismi di G. II] Si mostri che se G è infinito, un elemento di End G può avere inverso destro senza avere inverso sinistro, considerando il gruppo G =Drλ∈N Aλ con Aλ =(Z2 ; +) per ogni λ e l’applicazione φ : G → G definita ponendo φ({aλ }λ∈N ) = {bλ }λ∈N con b1 = [0]2 e bλ = aλ−1 per ogni λ ≥ 1. Sugg. I] Se φψ = IG (automorfismo identico), φ è iniettivo.

7. Sia (Zn )Z l’insieme delle applicazioni da Z a Zn (con n > 1). Si consideri in (Zn )Z la legge di composizione ? definita ponendo (α ? β)(r) = α(r) + β(r) per ogni α, β ∈ (Zn )Z e per ogni r ∈ Z. Si provi quanto segue. I] ((Zn )Z ; ?) è un gruppo e l’insieme H degli omomorfismi dal gruppo (Z;+) al gruppo (Zn ;+) è un sottogruppo proprio di ((Zn )Z ; ?); II] L’insieme K degli omomorfismi dall’anello (Z; +, · ) all’anello (Zn ; +, · ) è un sottoinsieme di H, a cui appartiene l’elemento neutro e anche qualche elemento di H diverso dall’elemento neutro. III] Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) n = 2; ii) H e K coincidono; iii) K è un sottogruppo di ((Zn )Z ; ?). Sugg. I] Sia f (r) = 1H per ogni r ∈ Z; f 6∈ H. II] Sia α(r) = [r]n per ogni r ∈ Z; α ∈ K. III] se n = 2, è |H| = 2. Per α come in II], (α ? α)(1) = [2]n ; se α ? α ∈ K si ha [2]n = (α ? α)(12 ) = [4]n .

8. Sia G = { (q, ²) | q ∈ Q\{0}, ² ∈ {+1, −1} }; si definisca in G un “prodotto” ponendo

(q1 , ²1 )(q2 , ²2 ) = (q1 q2²1 , ²1 ²2 ) Si provi che (G; ·) è un gruppo non abeliano. Si consideri nel gruppo (G; ·) il sottoinsieme H = {(q, 1) ∈ G | q > 0}. I] Si mostri che H è un sottogruppo normale di (G; ·) e il gruppo quoziente (G/H; ·) è abeliano di ordine 4. II] Si provi che ogni sottogruppo S di (G; ·), che contiene H, è normale in (G; ·) e il gruppo quoziente (G/S; ·) è abeliano. III] Si determinino i sottogruppi distinti di (G; cot) che contengono H e si osservi che essi costituiscono un sottoreticolo L del reticolo (L[G]; ≤), costituito dai sottogruppi di (G; ·) rispetto all’inclusione insiemistica. (L; ≤) è un reticolo distributivo? è un reticolo complementato? Sugg. 1.1 Esercizi 6 e 8.

9. Siano m, n interi, maggiori di 1; si considerino i gruppi (Zm ; +) e (Zn ; +). Fissato k ∈ Z, si consideri la relazione f che ad ogni [x]n ∈ Zn associa [kx]m ∈ Zm . Si provi che I] f è un omomorfismo dal gruppo (Zn ; +) al gruppo (Zm ; +) se e solo se m divide kn; II] f è un monomorfismo se e solo se è m = n·M.C.D.(k, m); III] f è un epimorfismo se e solo se m divide n e M.C.D.(k, m) = 1. Sugg. II] Per m = m0 ·M.C.D.(k, m) è [m0 ]n ∈ Ker f . III] Se l’applicazione f è suriettiva, esiste [x]n ∈ Zn tale che [1]m = [kx]m . 91

10. Si consideri l’anello commutativo (A; +, ·) costituito dalle coppie ordinate (a, b) con a, b ∈ R rispetto alla somma e al prodotto definiti come segue (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc + 2bd) Posto I = { (a, −a) | a ∈ R }, si mostri che I è un ideale e che l’anello quoziente (A/I; +, ·) è un campo isomorfo ad R. Sugg. Per φ : A → R con φ((a, b)) = a + b è Ker φ = I.

11. Siano (A; +, ·) e (B; +, ·) due anelli e sia ϕ : A → B un omomorfismo di anelli. Sia (V ; +) un B-modulo sinistro rispetto ad un prodotto esterno indicato con ◦. Si verifichi che I] (V ; +) è anche A-modulo sinistro rispetto al prodotto esterno ? definito da a ? v = ϕ(a) ◦ v per ogni a ∈ A e per ogni v ∈ V ; II] se W è un B-sottomodulo di V , W è anche A-sottomodulo di V ; III] se W è A-sottomodulo di V e ϕ è suriettivo, allora W è anche B-sottomodulo di V . Si mostri con qualche esempio che se ϕ non è suriettivo, un A-sottomodulo di V può non essere B-sottomodulo di V . Sugg. III] (V ; +) =(Q;+) modulo su (Q;+,·); φ : Z → Q con φ(n) = n per ogni n ∈ Z. Z è Z-sottomodulo di (Q;+), ma non è Q-sottomodulo. √

12. Nel campo complesso C si consideri il√sottoanello A = {a + ib 11 ∈ C |a, b ∈ Z }. Fissato un primo p, si ponga Hp = {a + ib 11 ∈ A|a ≡ b (mod p)}. I] Si determinino i valori di p per i quali Hp è un ideale di A. II] Si mostri che gli ideali Hp , corrispondenti a tali valori di p, sono massimali in A. Sugg. I] p = 2, 3. √ II] φ : A → Zp con φ(a + ib 11) = [a − b]p ; Ker φ = Hp , Proposizione 2.2.2.

13. Sia (K; +, ·) un campo; sia (A; +, ·) l’anello costituito dalle coppie ordinate (a, b) ∈ K × K rispetto alla somma “componente per componente” e al prodotto definito da (a, b)(c, d) = (a(c + d), b(c + d)) I] Si verifichi che l’applicazione φ : A −→ K definita da φ((a, b)) = a + b è un omomorfismo suriettivo di anelli. II] Si mostri che non esiste alcun ideale destro J di (A; +, ·) tale che sia {0} ⊂ J ⊂Ker φ o Ker φ ⊂ J ⊂ A. III] Si mostri che esiste qualche ideale destro proprio I diverso da Ker φ. Sugg. II] (A/Ker φ; +, ·) è un campo; IV Corollario 6.3.2, Lemma 2.2.1. III] I = {(a, 0) | a ∈ K}.

14. Nell’anello Mat2 (R) delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi nel campo reale R si consideri il sottoinsieme

½ Ak =

µ σa,b =

a kb

b a

¶

¾ | a, b ∈ R

.

dove k è un numero reale fissato. I] Si mostri che Ak è un sottoanello di Mat2 (R) e che esistono valori di k per i quali (Ak ; +, ·) non è campo. II] Si provi che (Ak ; +, ·) possiede al pi` u due ideali propri e che ogni ideale proprio di (Ak ; +, ·) è massimale. Sugg. I] (Ak ; +, ·) non è campo per ogni k ≥ 0. II] Se (Ak ; +, ·) non è campo, è k = c2 con c ∈ R. IV Proposizione 6.3.1: σa,b non è unitario se e solo se a = ±cb. 92

15. Sia (A; +, ·) un dominio d’integrità, dotato di unità. Fissato c ∈ A, si definisca un’applicazione φc : A[x] → A[x] ponendo φc : an xn + · · · + a1 x + a0 → an (cx)n + · · · + a1 (cx) + a0 . I] Si verifichi che φc è un endomorfismo dell’anello (A[x]; +, ·) e se ne determini il nucleo. II] Si provi che φc è un automorfismo di (A[x]; +, ·) se e solo se c è un elemento unitario di A. Sugg. I] Se c 6= 0, Ker φ = h0i; Ker φ0 = hxi. II] Se φc è automorfismo, esiste α(x) ∈ A[x] tale che φc (α(x)) = x.

16. Sia (A; +, · ) un anello commutativo; sia c ∈ A, c 6= 0A . Si definisca in A un “prodotto” ? ponendo a ? b = a · b · c per ogni a, b ∈ A; si osservi che (A; +, ? ) è un anello. Si provi che I] I = {i ∈ A | ic = 0A } è un ideale dell’anello (A; +, ? ); J = {ac | a ∈ A} è un ideale dell’anello (A; +, · ); II] l’anello quoziente (A/I; +, ? ) è isomorfo all’anello (J; +, · ); III] se l’anello (A; +, · ) possiede unità, l’anello quoziente (A/J; +, · ) è isomorfo all’anello (I; +, ? ) se e solo se c è un elemento unitario dell’anello (A; +, · ). II] f : (A; +·) → (J; +, ·) con f (a) = ac; Ker f = I. III] (I; +, ?) è zero anello.

93

VII. SOTTOSTRUTTURA GENERATA DA UNA PARTE DI UNA STRUTTURA ALGEBRICA.

Definizione. Sia (S; ?, ◦, . . .) una struttura algebrica (semigruppo, gruppo, anello, reticolo, A-modulo) e sia X un sottoinsieme di S ; si chiama sottostruttura generata da X la minima (rispetto all’inclusione insiemistica) sottostruttura di S che contiene X . Tale sottostruttura viene indicata con hXi. Quanto detto nei paragrafi precedenti ci garantisce l’esistenza di hXi; hXi è infatti l’intersezione insiemistica di tutte le sottostrutture di S che contengono X (fra le quali c’è almeno S stessa). Il concetto di “sottostruttura generata” da una parte X di S risponde a due esigenze: I] data X , poter vedere X come parte di una sottostruttura di S quanto pi` u possibile “piccola”; II] data una sottostruttura T di S , determinare una parte X di T tale che sia T = hXi e quindi tale che si possa studiare T conoscendo X .

1 1.1. Sottosemigruppo generato da una parte di un semigruppo. Definizione. Sia (S; ·) un semigruppo e sia X un sottoinsieme di S ; si chiama sottosemigruppo generato da X il minimo sottosemigruppo di G che contiene X . Tale sottosemigruppo è l’intersezione di tutti i sottosemigruppi di S che contengono X . Proposizione 1.1.1. Se (S; ·) è un semigruppo e X è un sottoinsieme di S , è hXi = {x1 x2 · · · xn | xi ∈ X, n ∈ N }; in particolare, se a ∈ S , è hai = {an | n ∈ N }. Posto T = {x1 x2 · · · xn | xi ∈ X, n ∈ N }, si verifica che T è un sottosemigruppo di S che contiene X e pertanto contiene hXi; d’altra parte ogni prodotto del tipo x1 x2 · · · xn appartiene al sottosemigruppo hXi e pertanto T ⊆ hXi.

94

2 2.1. Sottogruppo generato da una parte di un gruppo. Definizione. Sia (G; ·) un gruppo e sia X un sottoinsieme di G; si chiama sottogruppo generato da X il minimo sottogruppo di (G; ·) che contiene X . Tale sottogruppo viene indicato con hXi ed è l’intersezione di tutti i sottogruppi di G che contengono X . ` h∅i = {1G } = h1G i (dove 1G indica l’unità di G). E Se in particolare X = {a} con a ∈ G, il sottogruppo hai viene detto sottogruppo ciclico generato da a. Proposizione 2.1.1. Se (G; ·) è un gruppo e a ∈ G, è hai = { an | n ∈Z }. Sia H = {an | n ∈Z }; per ar , as ∈ H è ar (as )−1 = ar−s ∈ H e quindi H è un sottogruppo. Se T è un sottogruppo di G e a ∈ T , allora an ∈ T per ogni n ∈Z e pertanto H ⊆ T .

Proposizione 2.1.2. Se (G; ·) è un gruppo e X è un sottoinsieme di G, è hXi = {x²11 x²22 · · · x²rr | xi ∈ X, ²i ∈ {1, −1}, r ∈N }. La dimostrazione è analoga alla precedente. ? Esercizio 1. Il sottogruppo del gruppo simmetrico Sn , generato dall’insieme degli scambi, coincide con Sn ; per n ≥ 3 il sottogruppo di Sn generato dai 3-cicli coincide con il sottogruppo alterno. (cfr. IV,4.3 Esempio 4.)

Proposizione 2.1.3. Se X = {x1 , x2 , . . . , xn } è un sottoinsieme finito di un gruppo (G; ·) e se gli elementi di X sono a due a due permutabili (in particolare se il gruppo (G; ·) è abeliano) è hx1 , x2 , . . . , xn i = {xs11 xs22 · · · xsnn | si ∈Z }. Siano G un gruppo e g ∈ G: il sottogruppo hgi resta determinato dal cosiddetto “periodo” di g . Definizione. Si dice che un elemento g di un gruppo (G; ·) ha periodo o ordine n ∈N se n` e il minimo intero positivo tale che g n = 1G ; si dice che g ha periodo (o ordine) infinito se per ogni intero relativo r 6= 0 è gr 6= 1G . Si osservi che se g non ha periodo infinito, esiste qualche intero r 6= 0 tale che gr = 1G ; allora anche g −r = 1G e pertanto esiste qualche intero positivo s tale che g s = 1G . Esiste allora il minimo intero positivo n tale che g n = 1G e dunque g ha periodo n. Il periodo di g ∈ G viene indicato con |g| o con o(g). Esercizio 2. I] Si provi che, se ogni elemento diverso dall’unità di un gruppo ha periodo 2, allora il gruppo è abeliano. II] Si consideri nel gruppo GL(3,Zp ) il sottogruppo  ( ) 1 a b   H= 0 1 c | a, b, c ∈ Zp ; 0 0 1 si verifichi che H non è abeliano e che per p 6= 2 ogni elemento di H, diverso dall’unità, ha periodo p. Si determini il periodo degli elementi di H per p = 2. Esercizio 3. Sia f : (G; ·) → (G; ·) un omomorfismo di gruppi. Si provi che se g ∈ G e o(g) = n < ∞, allora o(f (g)) è un divisore di n. Si mostri che se o(g) = ∞, o(f (g)) può essere finito o infinito.

Proposizione 2.1.4. Sia (G; ·) un gruppo e sia g ∈ G. 1) Se g ha periodo infinito, per r, s ∈Z è g r = g s se e solo se è r = s. 2) Se g ha periodo n, per r, s ∈Z è g r = g s se e solo se è r ≡ s (mod n). 3) Il periodo di g è uguale all’ordine del sottogruppo hgi generato da g : se o(g) = ∞, le potenze di g (con esponente intero relativo) sono tutte distinte, mentre se o(g) = n, le potenze distinte di g sono 95

1G = g 0 , g, g 2 , . . . , g n−1 1) Se g r = g s allora g r−s = 1G e quindi r − s = 0. 2) Sia t ∈Z tale che g t = 1G ; posto t = nq + m con q, m ∈Z e 0 ≤ m < n, si deduce g m = 1G e quindi m = 0 e t ≡ 0 (mod n). Viceversa, se t = qn allora g t = (g n )q = 1qG = 1G . ` g r = g s se e solo se g r−s = 1G e quindi se e solo se r − s ≡ 0 (mod n). E 3) Segue da 1) e 2).

Corollario 2.1.5. In un gruppo finito il periodo (o ordine) di ogni elemento è un divisore dell’ordine del gruppo. Osservazione 1. Applicando il Corollario 2.1.5 al gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli del campo (Zp ; +, ·) o al gruppo moltiplicativo degli elementi unitari dell’anello (Zn ; +, ·) si deducono rispettivamente il Teorema di Fermat e il Teorema di Eulero presentati in II, 2.2. Esercizio 4. Sia (G; ·) un gruppo e sia g ∈ G; sia 0 6= k ∈Z: i) se o(g) = ∞, è o(g k ) = ∞ e hgi = hg k i se e solo se k = ±1; ii) se o(g) = n, è hg k i = hg d i ove d=M.C.D.(k, n); pertanto o(g k ) = o(g d ) = se e solo se M.C.D.(k, n) = 1.

n d

e hgi = hg k i

? Esercizio 5. Siano a, b due elementi permutabili di un gruppo (G; ·), aventi periodo finito: i) o(ab) divide m.c.m.(o(a), o(b)); ii) se M.C.D.(o(a), o(b)) = 1, allora o(ab)=m.c.m.(o(a), o(b)) = o(a)o(b). ? Esercizio 6. Sia (G; ·) un gruppo abeliano in cui tutti gli elementi hanno periodo finito; se l’insieme dei periodi degli elementi di G ammette massimo m, allora è g m = 1G per ogni g ∈ G. Esercizio 7. Nel gruppo simmetrico Sn ogni sostituzione ha per periodo il minimo comune multiplo delle lunghezze dei suoi cicli disgiunti. (cfr. IV,4.2 Esempio 4.) Esercizio 8. Sia p un numero primo; per ogni intero positivo n sia Gn = (Zpn ; +). Si mostri che 1) il gruppo Crn∈N Gn possiede elementi di periodo infinito; 2) ogni elemento del sottogruppo Drn∈N Gn ha per periodo una potenza di p; 3) esistono elementi di Crn∈N Gn che non appartengono a Drn∈N Gn e che hanno periodo finito. Esercizio 9. Sia (K; +, ·) un campo finito K di ordine q; sia K = {k0 = 0, k1 , . . . , kq−1 }. Si provi quanto segue. I] Per ogni k ∈ K è k q = k. II] In K[x] vale l’uguaglianza xq − x = x(x − k1 ) · · · (x − kq−1 ). III] Per ogni f (x), g(x) ∈ K[x] le funzioni polinomiali f˜ e g˜ coincidono se e solo se il polinomio f (x)−g(x) è divisibile in K[x] per il polinomio xq − x.

2.2. Gruppi ciclici. Pu` o succedere che per qualche g ∈ G sia hgi = G: ad esempio per G =(Z;+) e g ∈ {±1} oppure per G =(Z10 ; +) e g ∈ { [1], [3], [7], [9]}. Definizione. Si dice che un gruppo (G; ·) è ciclico se esiste a ∈ G tale che hai = G. I gruppi (Z; +) e (Zn ; +) sono esempi di gruppi ciclici. I gruppi (Q; +) e (Q\{0}; ·) non sono ciclici. Ogni gruppo finito di ordine primo p è ciclico: infatti ogni suo elemento diverso dall’unità ha periodo p per il Corollario 2.1.5. Esercizio 1. Sia (G; +) il gruppo abeliano costituito dalle coppie ordinate (a, b) ∈ Z×Z rispetto alla somma componente per componente. Posto N = h(2, 3)i, si mostri che il gruppo quoziente (G/N ; +) è ciclico infinito, generato dal laterale N + (1, 1).

Proposizione 2.2.1. Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico (G; ·) è ciclico; se in particolare G è infinito, ogni suo sottogruppo non banale è infinito. 96

Sia G = hai un gruppo ciclico e sia H un suo sottogruppo. Se H = {1G }, H è ciclico, generato da 1G . Sia quindi H 6= {1G }. Esiste allora qualche intero s 6= 0 tale che as ∈ H; poiché anche a−s = (as )−1 ∈ H, esiste qualche intero positivo m tale che am ∈ H. Sia n il minimo intero positivo tale che an ∈ H; proviamo che H = han i. Per ogni h ∈ H esiste qualche intero t tale che h = at ; posto t = nq + r con q, r ∈Z e 0 ≤ r < n, si deduce ar = at (an )−q ∈ H e quindi r = 0. Pertanto h = at = (an )q ∈ han i e H = han i.

Corollario 2.2.2. I sottogruppi distinti del gruppo (Z; + ) sono tutti e soli i sottoinsiemi Hn = {kn | k ∈Z } con n ∈N. Esercizio 2. Il reticolo L[Z], costituito dai sottogruppi del gruppo (Z; +) rispetto all’inclusione insiemistica è isomorfo al reticolo (N0 ; ≤) dove per r, s ∈N0 è r ≤ s se e solo se s divide r. Esercizio 3. Siano rs , m n ∈Q\{0} con M.C.D.(r, s) = M.C.D.(m, n) = 1; si mostri che nel gruppo additivo (Q; +) è r m M.C.D.(r, m) h , i = h i s n m.c.m.(s, n) Se ne deduca che per ogni sottoinsieme finito X del gruppo (Q ; +) il sottogruppo hXi è ciclico. Si mostri che il gruppo (Q ;+) possiede sottogruppi propri non ciclici. Esercizio 4. Si osservi che il gruppo (Q\{0}; ·) possiede un elemento di periodo 2 e se ne deduca che non è ciclico. Esercizio 5. Sia (G; ·) un gruppo tale che per ogni g ∈ G esista x ∈ G tale che x2 = g; si provi che se G è infinito, G non è ciclico. Si mostri che se G è finito, G può essere ciclico e può non esserlo. Esercizio 6. I gruppi (R; +), (C; +) non sono ciclici. ? Esercizio 7. Un gruppo non banale è privo di sottogruppi propri se e solo se ha ordine primo. ? Esercizio 8. Sia (K; +, ·) un campo finito di ordine q; il gruppo moltiplicativo (K\{0}; ·) è ciclico (Si tengano presenti 2.1 Esercizio 6 e IV Teorema 5.5.12.) e ogni elemento di K è radice del polinomio xq − x ∈ K[x]; di conseguenza è xq − x = x(x − k1 )(x − k2 ) · · · (x − kq−1 ) dove k1 , k2 , . . . , kq−1 sono gli elementi non nulli di K. (cfr. IV, 5.5 Esercizio 7.) Esercizio 9. Sia p un numero primo; il polinomio x2 + 1 ∈ Zp [x] ammette radici in Zp se e solo se è p = 2 o p ≡ 1 (mod 4). Esercizio 10. Sia (G; ·) un gruppo ciclico di ordine n; si provi che 1) per ogni divisore r di n esiste in G qualche elemento di periodo r e qualche sottogruppo di ordine r; 2) se r è un divisore di n e a, b ∈ G con |a| = |b| = r, ogni elemento del sottogruppo ha, bi ha per periodo un divisore di r e di conseguenza è ha, bi = hai = hbi; ne segue che in (G; ·) esiste un solo sottogruppo di ordine r.

Proposizione 2.2.3. Due qualsiansi gruppi ciclici, aventi lo stesso ordine finito o entrambi infiniti, sono isomorfi. Pertanto (Z; +) e (Zn ; +) sono, a meno di isomorfismi, i soli gruppi ciclici. Siano A = hai e B = hbi due gruppi ciclici aventi lo stesso ordine finito o entrambi infiniti. Se |A| = |B| = n è ar = as se e solo se è br = bs per la Proposizione 2.1.4, 2); pertanto è ` banale ben definita e biiettiva l’applicazione φ : A → B tale che φ(ar ) = br per ogni r ∈ Z. E verificare che φ conserva il prodotto. Se A e B sono gruppi infiniti, le potenze (con esponente intero relativo) di a e quelle di b sono tutte distinte e l’applicazione φ, definita come sopra, realizza un isomorfismo fra i due gruppi A e B. Esercizio 11. Un gruppo di ordine 2 o 3 è necessariamente ciclico; un gruppo di ordine 4 può non essere ciclico (si consideri ad esempio il gruppo delle simmetrie del rettangolo o il gruppo moltiplicativo 97

degli elementi unitari dell’anello (Z8 , +, ·)). Si mostri che, a meno di isomorfismi, esiste un solo gruppo di ordine 4 non ciclico (detto gruppo trirettangolo); la tavola di composizione di tale gruppo è ?

1

a

b

c

1 a b c

1 a b c

a 1 c b

b c 1 a

c b a 1

L’Esercizio 10,1) mostra in particolare che per i gruppi ciclici finiti si inverte il Teorema di Lagrange; esso costituisce anche il punto di partenza per provare che lo stesso accade per i gruppi abeliani finiti. Un primo passo in questa direzione è il cosiddetto ”Lemma di Cauchy” che segue. Lemma 2.2.4 Se un numero primo p divide l’ordine di un gruppo abeliano finito (G; ·), in (G; ·) esiste un sottogruppo di ordine p (ovvero un elemento di periodo p). L’asserto vale se G è ciclico. Dimostriamo la tesi facendo induzione sull’ordine del gruppo. Sia 1G 6= a ∈ G e sia A = hai il sottogruppo ciclico generato da a. Se p divide |A|, esiste in A (e quindi anche in G) un sottogruppo di ordine p. Se p non divide |A|, p divide |G/A|; per l’ipotesi di induzione nel gruppo quoziente G/A esiste un sottogruppo di ordine p e quindi un elemento Ab di periodo p. Posto |b| = m, sarà bm = 1G e quindi (Ab)m = Abm = A; pertanto il periodo p di Ab divide m. Essendo m = |hbi|, nel gruppo ciclico hbi (e quindi anche in G) esiste un sottogruppo di ordine p. Esercizio 12. Un gruppo abeliano finito, il cui ordine è prodotto di primi distinti, è ciclico.

Possiamo ora provare la cosiddetta inversione del Teorema di Lagrange per i gruppi abeliani. Proposizione 2.2.5. Sia (G; ·) un gruppo abeliano finito: si provi che 1) per ogni divisore r di |G| esiste in G un sottogruppo di ordine r; 2) se |G| = rs con M.C.D.(r, s) = 1, allora R = {x ∈ G | xr = 1G } è l’unico sottogruppo di G di ordine r. 1) Induzione sull’ordine del gruppo. La tesi è banale per r = 1; sia r > 1 e sia p un divisore primo di r (e quindi anche di |G|). Per il Lemma di Cauchy esiste in G un sottogruppo H (normale, poiché G è abeliano) di ordine p. Per l’ipotesi di induzione nel gruppo quoziente G/H esiste un sottogruppo K di ordine pr . Nell’omomorfismo naturale π : G → G/H ogni elemento di G/H ha p controimmagini; di conseguenza il sottogruppo π −1 (K) di G ha ordine r. 2) Se xr = y r = 1G , allora (xy −1 )r = xr (y r )−1 = 1G ; R è quindi un sottogruppo di G. Il periodo di ogni elemento di R è un divisore di r ed è pertanto primo con s; ancora per il Lemma 2.2.4 l’ordine di R è primo con s e, di conseguenza, divide r. Se K è un sottogruppo di G di ordine r, per il Corollario 2.1.5 per ogni k ∈ K è k r = 1G e quindi K ⊆ R. Ne segue |R| = r e R = K.

2.3. Prodotto di due sottogruppi. Abbiamo già osservato che l’unione insiemistica di due sottogruppi di un gruppo (G; ·) non è in generale un sottogruppo; per H, K ∈ L[G] (reticolo dei sottogruppi di G) sup{H, K} è il sottogruppo generato dall’unione insiemistica di H e K , che viene indicato con hH, Ki. Segnaliamo che il sottogruppo hH, Ki viene spesso detto unione gruppale di H e K e indicato con H ∪ K . Dalla Proposizione 2.1.2 si deduce facilmente che hH, Ki = {h1 k1 h2 k2 · · · hn kn | hi ∈ H, ki ∈ K, n ∈ N }. Esercizio 1. Nel gruppo Σ delle similitudini sulla retta reale (cfr.IV,4.3 Esempio 3) si considerino gli elementi σ1 : x0 = −x e σ2 : x0 = −x + 1 e i sottogruppi H = hσ1 i e K = hσ2 i; si mostri che H e K hanno 98

ordine 2 e che hH, Ki = {x0 = ±x + n | n ∈ Z }.

Osservazione. Se H e K sono sottogruppi di un gruppo abeliano (G; ·), risulta hH, Ki = { hk | h ∈ H, k ∈ K }

. Definizione. Se H e K sono due sottogruppi di un gruppo (G; ·), il sottoinsieme di G HK = { hk | h ∈ H, k ∈ K }

viene detto prodotto dei due sottogruppi H e K . Osservazioni. 1. Se il gruppo (G; ·) è abeliano, il prodotto HK è un sottogruppo. 2. Se il gruppo (G; ·) non è abeliano, HK può essere un sottogruppo, ma può anche non esserlo: ad es. se (G; ·) è il gruppo simmetrico S3 e H = h(1, 2, 3)i, K = h(1, 2)i, F = h(1, 3)i, allora HK è un sottogruppo, mentre KF non lo è. Definizione. Due sottogruppi H e K di un gruppo (G; ·) vengono detti permutabili se e solo se è HK = KH . Proposizione 2.3.1. Due sottogruppi H e K di un gruppo (G; ·) sono permutabili se (e solo se) per ogni h ∈ H e per ogni k ∈ K esistono h0 ∈ H e k0 ∈ K tali che sia hk = k0 h0 (o, analogamente, se per ogni h ∈ H e per ogni k ∈ K esistono h” ∈ H, k” ∈ K tali che kh = h”k”). Per ipotesi è HK ⊆ KH. Per ogni h ∈ H e per ogni k ∈ K esistono però h1 ∈ H e k1 ∈ K −1 tali che h−1 k −1 = k1 h1 ; ne segue kh = (k1 h1 )−1 = h−1 1 k1 ∈ HK e quindi KH ⊆ HK.

Proposizione 2.3.2. Siano H e K due sottogruppi di un gruppo (G; ·); sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) HK è un sottogruppo di G; ii) hH, Ki = HK ; iii) H e K sono permutabili. i) ⇔ ii) Per definizione è HK ⊆ hH, Ki; inoltre H ⊆ HK e K ⊆ HK. Se HK è un sottogruppo, necessariamente contiene il sottogruppo hH, Ki generato da H e K e quindi coincide con esso. Viceversa, è ovvio che, se HK coincide con il sottogruppo hH, Ki, HK è un sottogruppo. i) ⇔ iii) Sia HK un sottogruppo. Per ogni h ∈ H e per ogni k ∈ K è h, k ∈ HK e quindi kh ∈ HK; per la Proposizione 2.3.1 H e K sono permutabili. Viceversa, siano H e K permutabili. Per g1 = h1 k1 e g2 = h2 k2 in HK si ha g1 g2−1 = (h1 k1 )(h2 k2 )−1 = h1 [k1 (k2 )−1 ]h−1 2 ; per ipotesi esistono h0 ∈ H, k 0 ∈ K tali che [k1 (k2 )−1 ]h−1 = h0 k 0 e quindi si ha g1 g2−1 = 2 0 0 = (h1 h )k ∈ HK. Esercizio 2. Il gruppo delle traslazioni e il gruppo delle omotetie sulla retta reale (cfr. IV,4.3 Esempio 3) sono sottogruppi permutabili del gruppo SR di tutte le trasformazioni sulla retta reale. Esercizio 3. Si verifichi che ogni sottogruppo normale di un gruppo (G; ·) è permutabile (cfr. V, Proposizione 2.3.1) con ogni sottogruppo di (G; ·). Esercizio 4. Se l’ordine di un gruppo finito (G; ·) è prodotto di due primi (uguali o distinti), il centro Z(G) è un sottogruppo improprio di (G; cot).

Come abbiamo visto nell’Esercizio 1, se H e K sono due sottogruppi finiti di un gruppo G, il sottogruppo hH, Ki pu` o anche essere infinito; è invece ovvio che in tal caso l’insieme HK ` e finito e |HK| ≤ |H||K|. Pi´ u precisamente si può provare quanto segue. Proposizione 2.3.3. Siano H e K due sottogruppi di un gruppo (G; ·). 1) Per h, h0 ∈ H e k, k0 ∈ K è hk = h0 k0 se e solo se esiste i ∈ H ∩ K tale che sia h0 = hi e k 0 = i−1 k . 99

2) Se H e K sono finiti, allora è |HK| =

|H||K| . |H ∩ K|

1) Per h ∈ H, k ∈ K, i ∈ H ∩ K è h0 = hi ∈ H, k 0 = i−1 k ∈ K e h0 k 0 = hk. Viceversa siano h, h0 ∈ H e k, k 0 ∈ K tali che hk = h0 k 0 ; allora i = k(k 0 )−1 = h−1 h0 ∈ H ∩ K e h0 = hi, k 0 = i−1 k. 2) Fissata una coppia (h, k) con h ∈ H, k ∈ K, le coppie (h0 , k 0 ) tali che hk = h0 k 0 sono tante quanti sono gli elementi di H ∩ K; poiché il numero delle coppie (h, k) è |H||K|, il numero degli elementi distinti dell’insieme HK è (|H||K|)/|H ∩ K|. Esercizio 5. Sia (G; ·) un gruppo di ordine p2 (p primo); si mostri che ogni sottogruppo di ordine p è normale in G. (Può essere utile considerare il prodotto di sottogruppi H · g −1 Hg con g ∈ G.)

Proposizione 2.3.4. I sottogruppi normali di un gruppo (G; ·) costituiscono un sottoreticolo del reticolo L[G] dei sottogruppi di G (cfr.IV, 7.4). Siano H e K due sottogruppi normali di G; H ∩K è un sottogruppo di G per IV, Proposizione 4.3.3. Per ogni g ∈ G e per ogni x ∈ H ∩ K si ha g −1 xg ∈ H (poiché x ∈ H e H / G) e g −1 xg ∈ K (poiché x ∈ K e K / G); pertanto g −1 xg ∈ H ∩ K e H ∩ K / G. Per l’Esercizio 3 e per la Proposizione 2.3.2 è hH, Ki = HK; pertanto ogni y ∈ hH, Ki potrà essere scritto come y = hk con h ∈ H e k ∈ K. Allora g −1 yg = (g −1 hg)(g −1 kg) ∈ HK e HK / G.

100

3 3.1. Sottoanello generato da una parte di un anello. Sottoanello fondamentale in un anello dotato di unit` a. Definizione. Sia (A; +, ·) un anello e sia X una parte di A; si chiama sottoanello generato da X il minimo sottoanello di A che contiene X , ovvero l’intersezione insiemistica di tutti i sottoanelli di A che contengono X . ` h∅i = {0} = h0i. E Esercizio 1. Sia (A; +, ·) un anello; per a ∈ A il sottoanello generato da a è {n1 a+n2 a2 +· · ·+nr ar | ni ∈ Z, r ∈ N }. Esercizio 2. Nel campo (Q; +, ·) si determini il sottoanello h 23 , 51 i. (Si confronti con 2.2 Esercizio 2.) Esercizio 3. Sia (A; +, ·) un anello e sia a ∈ A; condizione sufficiente affinché il sottoanello generato da a coincida con il sottogruppo di (A; +) generato da a è che sia a2 = a (a è idempotente). La condizione è necessaria?

Esempio. Sia X un insieme non vuoto; in IV.7.3 abbiamo definito le algebre su X . Sia C una parte di P(X ). hCi = algebra generata da C è la minima (rispetto all’inclusione insiemistica) algebra su X che contiene C , ovvero l’intersezione delle algebre che contengono C ; hCi è pertanto il sottoanello dell’anello (P(X); +, ·) generato dall’insieme C ∪{X}. Poiché è A2 = A e A = −A per ogni A ∈ C , se C è chiusa rispetto all’intersezione (ad esempio se C è l’insieme degli aperti di uno spazio topologico), sarà hCi = { Y1 + Y2 + · · · + Yn | n ∈ N, Yi ∈ C ∪{X} con Yi 6= Yj per i 6= j}. In modo analogo si definisce la σ -algebra generata da C . Definizione. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità 1A ; il sottoanello h1A i, generato da 1A , ` e costituito dai multipli (secondo interi relativi) di 1A e viene detto sottoanello fondamentale dell’anello A. Il sottoanello fondamentale h1A i di (A; +, ·) coincide quindi con il sottogruppo ciclico generato da 1A nel gruppo additivo (A; +). Esercizio 4. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità 1A ; sia f : Z→ A definita da f (n) = n1A per ogni n ∈ Z. Si mostri che f è un omomorfismo di anelli e che f (Z) è il sottoanello fondamentale di A .

3.2. Caratteristica in un anello. Definizione. Siano (A; +, ·) un anello e a ∈ A. Si dice che a ha caratteristica n (intero positivo) se n è il periodo dell’elemento a nel gruppo additivo (A; +); si dice che a ha caratteristica “zero” se l’elemento a ha periodo infinito nel gruppo (A; +). Nei due casi scriveremo rispettivamente car a = n e car a = 0. ` car a = 1 se e solo se è a =0. E Esempi. 1. Negli anelli Z, Q, R, C tutti gli elementi diversi dallo zero hanno caratteristica zero. 2. Sia 0 6= f (x) = as xs + · · · + a1 x + a0 ∈ Zn [x]; è car f (x)=m.c.m.{car ai | i = 0, 1, . . . , s}. 3. Sia 1 < n ∈ N; sia A=Zn ⊕ Z l’anello costituito dalle coppie ([r]n , s) con [r]n ∈ Zn , s ∈ Z rispetto alla somma e al prodotto componente per componente (cfr.IV, 9.1). Tutti e soli gli elementi L del tipo ([r]n , 0) hanno caratteristica diversa da zero. 4. Sia A = 2≤n∈N Zn (somma diretta discreta di anelli; cfr. IV, Proposizione 9.1.2); ogni elemento di questo anello ha caratteristica diversa da zero, ma l’insieme delle caratteristiche non ha massimo. 101

Proposizione 3.2.1. Se a è un elemento idempotente di un anello (A; +, ·) (in particolare, se l’anello possiede unità e a = 1A ), allora i) se car a = n, il sottoanello generato da a ha ordine n ed è isomorfo all’anello (Zn ; +, ·); ii) se car a = 0, il sottoanello generato da a è isomorfo all’anello (Z; +, ·). Il sottoanello hai generato da a è {ra | r ∈ Z}. Basta allora considerare l’omomorfismo suriettivo φ : Z→ hai definito da φ(r) = ra: è Ker φ = hni se car a = n e Ker φ = h0i se car a = 0. Basta ora applicare VI, Proposizione 2.1.4.

Proposizione 3.2.2. In un anello privo di divisori dello zero tutti gli elementi diversi dallo zero hanno la stessa caratteristica e questa è zero o un numero primo p. La tesi è ovvia se tutti gli elementi dell’anello (A; +, ·), diversi dallo zero, hanno caratteristica zero. ` a(nb) = (na)b =0b =0 (cfr. IV, Sia 06= a ∈ A con car a = n > 0; sia 06= b ∈ A. E Proposizione 5.2.1,iv)) e quindi nb =0 poiché A è privo di divisori dello zero. Pertanto è car b = m ≤ n. Allo stesso modo da mb =0 si deduce ma =0 e quindi n =car a ≤ m; ne segue n = m. Sia n = rs con r, s ∈ N; da (ra)(sa) = (na)a =0 segue ra =0 o sa =0 e quindi r ≥ n o s ≥ n; pertanto è r = n o s = n e ciò prova che n è un numero primo.

Proposizione 3.2.3. Sia (K; +, ·) un corpo finito; l’ordine di K è pn , dove p è la caratteristica di K (e quindi p è primo). Per la Proposizione 3.2.2 gli elementi non nulli di K hanno tutti caratteristica p (primo); ciò significa che nel gruppo (K; +) tutti gli elementi, diversi dall’elemento neutro, hanno periodo p. Per il Corollario 2.1.5 p divide |K|. Se |K| non fosse potenza di p, |K| sarebbe divisibile per qualche primo q diverso da p; per il Lemma 2.2.4 esisterebbe nel gruppo (K; +) un elemento di periodo q, assurdo. Esercizio 1. Sia (K; +, ·) un campo; si mostri che il gruppo additivo (K; +) e il gruppo moltiplicativo (K\{0K }; ·) non sono isomorfi. (Pu` o essere utile ragionare sul periodo degli elementi nei due gruppi) Esercizio 2. L’ordine di un sottocorpo dell’anello (Zn ; +, · ) è un numero primo che divide n. Se n = pr (p primo), l’anello (Zn ; +, · ) possiede un sottocorpo di ordine p se e solo se p non divide r.

Definizione. Si dice che un anello ha caratteristica n se ogni elemento dell’anello ha caratteristica diversa da zero e n è il massimo di tali caratteristiche; altrimenti si dice che l’anello ha caratteristica zero. Se un anello A ha caratteristica n, allora per ogni a ∈ A è na = 0. (cfr. 2.1 Esercizio 6 applicato al gruppo (A; +).) Un anello ha caratteristica zero se possiede almeno un elemento di caratteristica zero (Esempi 1,3) o se tutti gli elementi hanno caratteristica diversa da zero, ma l’insieme delle caratteristiche non ha massimo (Esempio 4). Ogni anello di caratteristica zero è infinito; l’Esempio 2 mostra che un anello infinito non ha necessariamente caratteristica zero. Se un anello (A; +, ·) possiede unità, la caratteristica dell’anello è uguale alla caratteristica dell’unit` a : infatti, se car 1A = n, per ogni a ∈ A si ha na = n(1A · a) = (n1A ) · a = 0 . Esercizio 3. Per ogni intero n ≥ 2 sia An =(Zpn ; +, ·) (p numero primo); si determini la caratteristica degli anelli L L10 Crn∈ N An , n∈ N An , n=2 An , Z⊕A2 .

Per la Proposizione 3.2.2, la caratteristica di un campo è zero o un numero primo p. Ovviamente un campo finito ha caratteristica p. Un campo di caratteristica p non è però necessariamente finito; si consideri ad esempio il dominio Zp [x] e il suo campo dei quozienti (definito in V, 1.3) che è costituito dalle funzioni razionali sul campo (Zp ; +, ·). Proposizione 3.2.4. Siano a e b sono due elementi permutabili di un anello tali che car a =car b = p (p primo); per ogni intero positivo r si ha r

r

(a ± b)p = ap ± bp 102

r

Pp−1 ¡ ¢ p p p Sia r = 1; per la Proposizione + i=1 pi ai bp−i . ¡p¢ IV, 5.2.1,v) è (a + b) = a ¡p+ ¢ bi p−i Per 1 ≤ i ≤ p − 1 l’intero i è divisibile per p; ne segue i a b = 0 e quindi (a + b)p = p p a +b . Inoltre (a − b)p = [a + (−b)]p = ap + (−b)p = ap + (−1)p bp = ap − bp (anche per p = 2) Si prova la tesi facendo induzione su r. Esercizio 4. Sia K un campo finito di caratteristica p (primo); si mostri che per ogni intero positivo r r l’applicazione fr : K → K definita da fr (k) = k p è un automorfismo del campo K. Se |K| = pn , gli automorfismi fr costituiscono (rispetto al prodotto di applicazioni) un gruppo ciclico di ordine n. Esercizio 5. Sia K un campo di caratteristica zero; sia 06= f (x) ∈ K[x]. 1) Si provi che è f 0 (x) =0 se e solo se è f (x) = k ∈ K\{0}. 2) Si mostri che valgono per K gli enunciati dati per ogni sottocampo del campo complesso in IV Proposizione 5.5.9 e suo Corollario. ? Esercizio 6. Sia K un campo finito di ordine pn (p primo); sia 06= f (x) ∈ K[x]. Si provi che 1) è f 0 (x) =0 se e solo se è f (x) = kr xpr + kr−1 xp(r−1) + · · · + k1 xp + k0 ; 2) se g(x)è un fattore irriducibile di f (x) con molteplicità r, allora g(x) è fattore irriducibile di f 0 (x) se e solo se è r ≥ 2; 3) ogni fattore irriducibile di f (x) ha molteplicità 1 se e solo se è M.C.D.(f (x), f 0 (x)) = 1.

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3.3. Sottocorpo generato da una parte di un corpo. Sottocorpo minimo. Campo dei quozienti di un dominio in un corpo. Definizione. Sia (K; +, ·) un corpo e sia X una parte non vuota di K ; si chiama sottocorpo generato da X il minimo (rispetto all’inclusione insiemistica) sottocorpo di (K; +, ·) che contiene X . Esso è l’intersezione di tutti i sottocorpi di (K; +, ·) che contengono X . Il sottocorpo generato da una parte X di K è anche il minimo sottocorpo di (K; +, ·) che contiene il sottoanello generato da X . Il sottocorpo minimo K0 di (K; +, ·) (cfr. IV, Corollario 5.3.2) è il sottocorpo generato da {1K } e anche il sottocorpo generato dal sottoanello fondamentale di (K; +, ·): infatti ogni sottocorpo di (K; +, ·) contiene l’unità di (K; +, ·) e quindi anche il sottoanello fondamentale. Proposizione 3.3.1. Sia (K; +, ·) un corpo e sia D un suo sottoanello commutativo (e quindi un dominio di integrit` a) non ridotto al solo zero. Il sottocorpo generato da D è QK (D) = {ab−1 | a, b ∈ D, b 6=0 }. QK (D) ` e commutativo e viene detto campo dei quozienti di D in (K; +, ·). Si verifica che per a, b ∈ D con b 6=0 è ab−1 = b−1 a; se anche a 6=0, allora a−1 b−1 = b−1 a−1 . Scelti ab−1 e cd−1 con a, b, c, d ∈ D, b 6=0, d 6=0, è ab−1 − cd−1 = (ad − bc)(bd)−1 ∈ QK (D) e (ab−1 )(cd−1 ) = (ac)(bd)−1 ∈ QK (D). Scelto a ∈ D\{0} si ha 1K = aa−1 ∈ QK (D). Inoltre, se ab−1 6=0, allora a 6=0; esiste quindi ba−1 ∈ QK (D) e (ab−1 )(ba−1 ) = 1K . Pertanto QK (D) è un sottocorpo di K. Per 06= a ∈ D si ha a = a2 a−1 ∈ QK (D) e quindi D ⊆ QK (D). Se T è un sottocorpo di K con D ⊆ T , per ogni a, b ∈ D con b 6=0 è ab−1 ∈ T e quindi QK (D) ⊆ T . Segnaliamo che si usa anche scrivere ab al posto di ab−1 .

Esempio. Fissato un intero positivo n e il sottoanello D = {nk | k ∈ Z} del campo reale R, è QR (D) =Q. Proposizione 3.3.2. Siano (K1 ; +, ·) e (K2 ; +, ·) due corpi e siano rispettivamente D1 e D2 loro sottoanelli commutativi non ridotti allo zero; se D1 e D2 sono isomorfi, lo sono anche i rispettivi campi dei quozienti QK1 (D1 ) e QK2 (D2 ). Sia φ un isomorfismo dell’anello D1 sull’anello D2 ; si prova facilmente che l’applicazione ψ da QK1 (D1 ) su QK2 (D2 ), definita ponendo ψ(ab−1 ) = φ(a)φ(b)−1 per ogni ab−1 ∈ QK1 (D1 ), è un isomorfismo di anelli.

Pertanto la struttura del campo dei quozienti di un dominio di integrit` a dipende dalla struttura del dominio e non da quella del corpo in cui è immerso. Osservazione. In V. 1.3 abbiamo costruito il cosidetto campo dei quozienti (FD ; +, ·) di un dominio d’integrit` a (D; +, ·). Il nome è giustificato dalla Proposizione 3.3.2 e dal fatto che il ”campo dei quozienti di D in (FD ; +, ·) è esattamente FD . √ Esercizio 1.√ Nel campo reale R si considerino il sottoanello A = {a + b 2 | a, b ∈ Z} e il sottoanello B = {2a + b 2 | a, b ∈ Z}; si verifichi che gli anelli (A; +, ·) e (B; +, ·) non sono isomorfi e che hanno lo stesso campo dei quozienti in R.

Caso particolare. Il sottocorpo minimo K0 di un corpo K è il campo dei quozienti del sottoanello fondamentale di K ; pertanto sarà K0 = { (r1K )(s1k )−1 | r, s ∈ Z , s1K 6=0 }. Dalle Proposizioni 3.2.1 e 3.3.2 (tenendo presente anche la Proposizione 3.2.2) segue che 1) se car K = p, è K0 = {r1K | r = 0, 1, . . . , p − 1 } '(Zp ; +, ·); 2) se car K = 0, è K0 = {(r1K )(s1K )−1 | r, s ∈ Z, s 6= 0} '(Q; +, ·). 104

Un corpo è primo (ovvero privo di sottocorpi propri) se e solo se esso coincide con il suo sottocorpo minimo e pertanto se e solo se esso è isomorfo al campo (Zp ; +, ·) o al campo (Q; +, ·).

105

4 4.1. Sottomodulo generato da una parte di un A-modulo. Ideale generato da una parte di un anello. Definizione. Sia (V ; +) un A-modulo sinistro e sia X una parte di V ; si chiama A-sottomodulo generato da X il minimo A-sottomodulo di V che contiene X . Esso è l’intersezione di tutti gli A-sottomoduli di (V ; +) che contengono X . Proposizione 4.1.1. Sia (V ; +) un A-modulo sinistro e sia X una parte di V . 1) L’A-sottomodulo di (V ; +) generato da X è hXiA = {(r1 x1 + a1 x1 ) + · · · + (rn xn + an xn ) | xi ∈ X, ri ∈ Z, ai ∈ A, n ∈ N }. 2) Se (V ; +) è A-modulo unitario, allora è hXiA = {a1 x1 + · · · + an xn | xi ∈ X, ai ∈ A, n ∈ N }. Se X è finito e X = {x1 , x2 , . . . , xs }, allora sarà hXiA = {a1 x1 + · · · + as xs | ai ∈ A}. 1) Posto T = {(r1 x1 + a1 x1 ) + · · · + (rn xn + an xn ) | xi ∈ X, ri ∈ Z, ai ∈ A, n ∈ N }, è T ⊆ hXiA poiché hXiA è un A-sottomodulo che contiene X. Si verifica inoltre facilmente che T è un A-sottomodulo che contiene X; da ciò segue hXiA ⊆ T e quindi la tesi. 2) Basta osservare che per ogni r ∈ Z, a ∈ A, x ∈ X è rx = r(1A x) = (r1A )x e quindi rx + ax = (r1A + a)x con r1A + a ∈ A.

Osservazione. Se indichiamo con hXi+ il sottogruppo del gruppo abeliano (V ; +) generato dall’insieme X , sar` a Pn hXi+ = { i=1 ri xi | ri ∈ Z, xi ∈ X , n ∈ N } e quindi hXi+ ⊆ hXiA ; ad esempio, se si considera lo spazio vettoriale dato in IV, 6.1 Esempio 1, per un vettore v ∈ V sarà hvi+ = {rv | r ∈ Z} e hviA = {av | a ∈ R}. Gli A-sottomoduli di un A-modulo (V ; +) costituiscono - rispetto all’inclusione insiemistica (cfr.IV, 7.4)- un reticolo LA [V ], contenuto nel reticolo L[V ] dei sottogruppi del gruppo (V ; +); possiamo provare che LA [V ] ` e un sottoreticolo di L[V ]. Proposizione 4.1.2. Se U e W sono A-sottomoduli di un A-modulo (V ; +), l’intersezione insiemistica U ∩ W e l’unione gruppale di U + W = hU, W i+ = {u + w | u ∈ U, w ∈ W } sono A-sottomoduli di (V ; +); in particolare U + W = hU, W iA . ` U + W ⊆ hU, W iA . E Per ogni a ∈ A, u ∈ U , w ∈ W si ha a(u + w) = au + aw ∈ U + W ; pertanto U + W è un A-sottomodulo e quindi hU, W iA ⊆ U + W .

Quanto detto sopra si applica in particolare all’A-modulo costituito dal gruppo additivo (A; +) di un anello (A; +, ·) (cfr. IV, 6.1 Esempio 3); gli A-sottomoduli sono i cosiddetti “ideali sinistri o destri” dell’anello (A; +, ·). (cfr. IV, 6.3) Dalla Proposizione 4.1.2 segue anche che Proposizione 4.1.3. Gli ideali destri (o sinistri o bilateri) di un anello (A; +, ·) costituiscono un reticolo rispetto all’inclusione insiemistica; in particolare, se I e J sono ideali destri di (A; +, ·), è sup{I, J} = hI, JiA = I + J = {i + j | i ∈ I, j ∈ J }, mentre inf{I, J} è la loro intersezione insiemistica. 4.2. Ideali finitamente generati e ideali principali in un anello. Per quanto detto in 4.1, se (A; +, ·) è un anello e X è una parte di A, restano definiti l’ideale sinistro hXis e l’ideale destro hXid generati da X . Un ideale sinistro (o destro) I di un anello (A; +, ·) verr` a detto finitamente generato se esiste un sottoinsieme finito X di I tale che I = hXis (o rispettivamente I = hXid ). Se in particolare è X = {x} sarà hxis = {nx + ax | n ∈ Z , a ∈ A } 106

hxid = {nx + xa | n ∈ Z , a ∈ A }

Se l’anello (A; +, ·) è dotato di unità, l’A-modulo (A; +) è unitario e quindi hxis = {ax | a ∈ A } hxid = {xa | a ∈ A }.

Se l’anello (A; +, ·) è commutativo si parlerà semplicemente di “ideale generato da un insieme X ” e in particolare di “ideale principale generato dall’elemento x” , che verranno indicati rispettivamente con hXi e hxi. Esempi. 1. Nell’anello (Z ;+, ·) e nell’anello (Zn ; +, ·) gli ideali coincidono con i sottogruppi dei rispettivi gruppi additivi e sono tutti principali.(cfr. Corollario 2.2.2). 2. Nell’anello (K[x]; +, ·) ((K; +, ·) campo) per ogni a ∈ K l’ideale Ia = {f (x) ∈ K[x] | f (a) = 0 } è principale, generato dal polinomio x − a. 3. Nell’anello di matrici Matn (K) l’ideale sinistro Tr , definito in IV, 6.3 Esempio 1, è generato dall’elemento (tij ) con t1r = 1 e tij = 0 per ogni (i, j) 6= (1, r). Esercizio 1. Determinare le immagini omomorfe degli anelli (Z ; +, ·) e (Zn ; +, ·). Esercizio 2. Nell’anello (Z; +, ·) l’ideale hni è massimale se e solo se n è primo. Esercizio 3. Sia (D; +, ·) un dominio d’integrità, dotato di unità. Si provi che 1) per a, b ∈ D è hai = hbi se e solo se a e b sono associati; 2) per a ∈ D è hai = D se e solo se a è unitario; 3) per a, b ∈ D, non nulli e non unitari, l’ideale hai è contenuto propriamente nell’ideale hbi se e solo se b divide propriamente a. Esercizio 4. Sia (A; +, ·) un dominio d’integrità, dotato di unità; si provi che un elemento a ∈ A è primo (cfr. IV, 5.6) se e solo se l’ideale principale hai è primo. Esercizio 5. Sia (D; +, ·) un dominio a fattorizzazione unica; si mostri che se ogni ideale primo proprio è massimale, allora ogni ideale primo proprio è principale. Esercizio 6. Nell’anello (Z[x]; +, ·) si considerino i sottoinsiemi H = { f (x) ∈Z[x] | f (0) = 0 }, L = { f (x) ∈Z[x] | f (0) ≡ 0 (mod n)}, ove n è un intero prefissato, maggiore di 1. Si verifichi che i) H e L sono ideali; ii) H è principale, L non lo è; iii) L è l’ideale generato dall’insieme {x, n}. Esercizio 7. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità; per x ∈ A è hxis = A se e solo se x ammette inverso sinistro in A. Esercizio 8. In uno zero-anello gli ideali sono tutti principali se e solo se il gruppo additivo è ciclico. Esercizio 9. Siano (K1 ; +, ·) e (K2 ; +, ·) due campi e sia A = K1 ⊕ K2 ; si mostri che i soli ideali propri dell’anello A sono I1 = {(k1 , 02 ) ∈ A | k1 ∈ K1 } e I2 = {(01 , k2 ) ∈ A | k2 ∈ K2 }. Gli ideali di A sono tutti principali?

Proposizione 4.2.1. 1) Se (K; +, ·) è un campo, gli ideali dell’anello (K[x], +, ·) sono tutti principali. 2) Per f (x), g(x) ∈ K[x] è hf (x)i = hg(x)i se e solo se è f (x) = k · g(x) con k ∈ K\{0}. 3) Per f (x) ∈ K[x] è hf (x)i = K[x] se e solo se deg f (x) = 0. 1) Sia I[x] un ideale di K[x]. Se I[x] = {0}, I[x] è principale, generato da 0. Sia I[x] 6= h0i; sia f (x) un polinomio non nullo, avente grado minimo in I[x]. Per ogni a(x) ∈ I[x] esistono q(x), r(x) ∈ K[x] tali che a(x) = f (x)q(x) + r(x) con r(x) =0 o deg r(x)
` hf (x)i = K[x] se e solo se 1K ∈ hf (x)i e ciò accade se e solo se deg f (x) = 0. 3) E Esercizio 10. Sia (K; +, ·) un campo; nell’anello (K[x]; +, ·) si considerino due ideali I = hf (x)i e J = hg(x)i. Si provi che I ∩ J = hm.c.m.(f (x), g(x))i e I + J = hM.C.D.(f (x), g(x))i. √ Esercizio 11. Si consideri l’anello D =Z[ −3] (cfr. IV, 5.6, Esempio 4). Si provi che gli insiemi √ I = {a + ib 3 ∈ D | a ≡ b (mod 4)} e J = {2γ ∈ D | γ ∈ I} sono ideali principali di D e se ne determini un generatore. Posto poi L = h4i, si stabilisca se gli ideali L ∩ J e L + J sono principali. Esercizio 12. Siano a(x), b(x) ∈ Z[x] e sia d(x) = M.C.D.(a(x), b(x)); si provi che l’ideale ha(x), b(x)i di Z[x] è principale se e solo se esistono f (x), g(x) ∈ Z[x] tali che d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x). Esercizio 13. Sia (D; +, ·) un dominio d’integrità dotato di unità; si provi che ogni ideale dell’anello di polinomi (D[x]; +, ·) è principale (se e) solo se (D; +, ·) è un campo.

Definizione. Un anello commutativo, dotato di unità, viene detto noetheriano se ogni suo ideale è finitamente generato. Segnaliamo che sussiste il seguente Teorema “di trasporto” (cfr. IV, Teorema 5.6.6). Teorema Se (A; +, ·) è un anello noetheriano, anche l’anello di polinomi (A[x]; +, ·) è noetheriano. Essendo (Z;+, ·) e (K[x]; +, ·) (con (K; +, ·) campo) anelli noetheriani, sono noetheriani anche gli anelli di polinomi Z[x1 , . . . , xn ] e K[x1 , . . . , xn ] in un numero finito di indeterminate. 4.3. Anelli quozienti di K[x]. Campi di Galois. Osservazioni. 1. Poichè nell’anello (Z;+, ·) degli interi relativi gli ideali sono tutti principali, le possibili “congruenze” in Z (con il significato dato al termine “congruenza” in 1.1) sono tutte e sole le congruenze aritmetiche introdotte in II, 2.2 (considerando anche i casi n = 0, 1). In modo analogo, se (K; +, ·) è un campo e f (x) ∈ K[x], si può definire nell’anello (K[x]; +, ·) una “congruenza modulo f (x)” ponendo per a(x), b(x) ∈ K[x] a(x) ≡ b(x) (mod f (x)) se e solo se f (x) divide b(x) − a(x); le possibili “congruenze” nell’anello (K[x]; +, ·) sono tutte e sole le “congruenze modulo f (x)”. 2. Sappiamo che se I = hni è un ideale dell’anello Z, per ogni laterale I + a di I in Z (ovvero per ogni classe di resti [a]n ) esiste uno ed un solo intero r ∈Z con 0 ≤ r < n tale che I + a = I + r (ovvero [a]n = [r]n ). In modo analogo si prova che se I[x] = hf (x)i è un ideale di K[x], per ogni laterale I[x] + a(x) esiste uno ed un solo r(x) ∈ K[x] con r(x) = 0 o r(x) 6= 0 e deg r(x) 0; sia

H = {r(t) = k0 + k1 t1 + · · · + kn−1 tn−1 | ki ∈ K} ⊆ K[t]. Definito in H un “prodotto ? modulo f (x)” ponendo per ogni r1 (t), r2 (t) ∈ H r1 (t) ? r2 (t) = r3 (t) ∈ H

se e solo se

r1 (x)r2 (x) ≡ r3 (x) (mod f (x)), i) H è un anello rispetto all’ordinaria somma di polinomi e al prodotto ?; ii) l’anello (H; +, ?) contiene (a meno di isomorfismi) l’anello (K; +, ·); iii) l’anello (H; +, ?) è isomorfo all’anello quoziente (K[x]/hf (x)i; +, ·).

Esercizio 1. Siano a(x), f (x) ∈ K[x]; si provi che esiste qualche b(x) ∈ K[x] tale che sia a(x)b(x) ≡ 1 (mod f (x)) se e solo se a(x) e f (x) sono coprimi (ovvero M.C.D.(a(x), f (x)) = 1). ? Esercizio 2. Siano f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) ∈ K[x] polinomi a due a due coprimi. Per a1 (x), a2 (x), . . . , an (x) ∈ K[x] esiste qualche b(x) ∈ K[x] tale che sia b(x) ≡ ai (x) (mod fi (x)) per ogni i. (Teorema cinese dei resti) 108

Proposizione 4.3.1. Se (K; +, ·) è un campo finito di ordine q e f (x) ∈ K[x] ha grado n, l’anello quoziente (K[x]/hf (x)i; +, ·) ha ordine qn . Per l’Osservazione precedente l’ordine dell’anello quoziente K[x]/hf (x)i è uguale alla cardinalità dell’insieme di polinomi { kn−1 xn−1 + · · · + k1 x + k0 | ki ∈ K}.

L’analogia per certi aspetti già segnalata tra l’anello Z e l’anello K[x] si rileva ancora confrontando la Proposizione 5.4.2 in IV con quella che segue. Proposizione 4.3.2. Sia (K; +, ·) un campo; sia I[x] = hf (x)i un ideale proprio di K[x]. Sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti: i) l’anello quoziente K[x]/I[x] è un campo; ii) l’anello quoziente K[x]/I[x] è privo di divisori dello zero; iii) f (x) è un polinomio irriducibile in K[x]; iv) l’ideale I[x] è massimale. i) ⇒ ii) Ovvio. ii) ⇒ iii) Se f (x) fosse riducibile in K[x], sarebbe f (x) = r(x)s(x) con r(x), s(x) ∈ K[x] e deg r(x) < deg f (x), deg s(x)
Corollario 4.3.3. Se f (x) è un polinomio irriducibile di Zp [x] di grado n > 0, l’anello quoziente (K[x]/hf (x)i; +, ·) è un campo di ordine pn , che viene detto campo di Galois di ordine pn e indicato con GF (pn ). Si vedr` a in seguito (cfr. IX, Proposizione 2.2.1) che tutti i campi di ordine pn sono tra loro isomorfi. ? Esercizio 4. Si costruiscano un campo di ordine 52 e un campo di ordine 53 . Ricordando che per un campo finito (K; +, ·) il gruppo moltiplicativo (K\{0 ; ·) è ciclico , si determini per ognuno dei due campi costruiti un generatore del gruppo moltiplicativo.

4.4. Domini ad ideali principali, domini euclidei. Definizione. Si chiama dominio ad ideali principali (brevemente “PID”) un dominio d’integrit` a, dotato di unità, in cui ogni ideale è principale. Esempi. 1. (Z ;+, ·) e (K[x]; +, ·) (con (K; +, ·) campo) sono PID. 2. L’anello (Z[x]; +, ·) non è PID: l’ideale hx, 2i = {f (x) ∈ Z[x]|f (0) ≡ 0 (mod 2)} non è principale. 3. L’anello di polinomi (K[x, y]; +, ·) non è PID: l’ideale hx, yi = {f (x, y) ∈ K[x, y] | f (0, 0) = 0} non è principale. Esercizio 1. Sia p un numero primo fissato. Si consideri nel campo razionale il sottoanello A = { rs ∈ Q | M.C.D.(s, p) =M.C.D.(r, s) = 1} e si mostri che esso è un dominio ad ideali principali.

Osservazione 4.4.1. Un dominio d’integrit` a unitario D soddisfa alla condizione della catena (cfr. IV, Proposizione 5.6.3) se e solo se ogni successione strettamente ascendente I1 ⊆ I2 ⊆ · · · di ideali principali di D ` e finita.( si tenga presente 4.2 Esercizio 3) 109

Proposizione 4.4.2. Ogni dominio D ad ideali principali è un dominio a fattorizzazione unica. Proviamo che ogni successione strettamente ascendente I1 ⊂ I2 ⊂ . . . di ideali di D è finita. L’unione insiemistica J degli ideali della successione è un ideale di D.(cfr. IV, Proposizione 7.4.1). Posto J = hai, sarà a ∈ Is per qualche s e quindi J ⊆ Is ; essendo Is ⊆ J, è J = Is . Se esistesse nella successione un ideale Is+1 si avrebbe l’assurdo J = Is ⊂ Is+1 ⊆ J. Pertanto vale in D la condizione della catena. Sia p un elemento irriducibile; supponiamo che p divida un prodotto ab e che non divida a. Sia x ∈ D un generatore dell’ideale hp, ai: da p = kx segue che x è unitario o associato a p e quindi rispettivamente hp, ai = D o hp, ai = hpi. Poiché a 6∈ hpi, è hp, ai = D e pertanto esistono h, k ∈ D tali che 1D = hp + ka; ne segue b = hpb + kabide b. Pertanto ogni elemento irriducibile è primo; per IV, Proposizione 5.6.4 D è un dominio a fattorizzazione unica. Esercizio 2. Sia (D; +, ·) un dominio ad ideali principali; siano a, b ∈ D e d =M.C.D.(a, b). Si provi che l’ideale ha, bi coincide con l’ideale hdi e se ne deduca che esistono f, g ∈ D tali che d = af + bg. Esercizio 3. Si provi che in un dominio ad ideali principali, che non sia un campo, gli ideali massimali sono tutti e soli gli ideali primi propri.

Definizione. Si chiama dominio euclideo un dominio d’integrit` a (E; +, ·), dotato di unit` a, per cui si può definire un’applicazione ϕ : E → Z che soddisfa alle seguenti condizioni: 1) se a, b ∈ E\{0} e a divide b, allora ϕ(a) ≤ ϕ(b); 2) per ogni a, b ∈ E con b 6=0 esistono q, r ∈ E tali che a = bq + r e ϕ(r) < ϕ(b). Esempi. 1. L’anello (Z ;+, ·) è un dominio euclideo rispetto all’applicazione ϕ definita da ϕ(a) = |a|. 2. L’anello (K[x]; +, ·) (con (K; +, ·) campo) è un dominio euclideo rispetto all’applicazione ϕ definita da ϕ(f (x)) =deg f (x) per f (x) 6=0 e ϕ(0)= −1. Esercizio 4. Sia (D; +, ·) un dominio euclideo rispetto ad un’applicazione ϕ; si provi che un elemento a ∈ D è unitario se e solo se è ϕ(a) = ϕ(1D ). √ ? Esercizio 5. I sottoanelli del campo complesso Z[ −1] (anello degli interi di Gauss, cfr.IV, 5.6) e √ √ Z[ −2] = {a + ib 2|a, b ∈ Z } sono √ domini euclidei rispetto all’applicazione ϕ definita rispettivamente da ϕ(a + ib) = a2 + b2 e ϕ(a + ib 2) = a2 + 2b2 .

Proposizione 4.4.3. Sia (E; +, ·) un dominio euclideo rispetto a ϕ : E → Z ; per ogni x ∈ E\{0} ` e ϕ(0)< ϕ(x). Per la condizione 2) esistono q, r ∈ E tali che 0= xq + r con ϕ(r) < ϕ(x); se fosse r 6=0, da r = x(−q) seguirebbe per la 1) ϕ(x) ≤ ϕ(r), assurdo. Pertanto r =0 e ϕ(0)= ϕ(r) < ϕ(x).

Osservazione. L’esistenza dell’applicazione ϕ : E → Z è equivalente all’esistenza di un’applicazione ψ : E\{0} → N0 che soddisfa alle condizioni 1’) se a, b ∈ E\{0} e a divide b, allora ψ(a) ≤ ψ(b); 2’) per ogni a, b ∈ E con b 6=0 esistono q, r ∈ E tali che a = bq + r e r =0 oppure r 6=0 e ψ(r) < ψ(b). Sia ϕ : E → Z un’applicazione che soddisfa alle condizione 1) e 2); l’applicazione ψ : E\{0} → N0 , definita ponendo ψ(a) = ϕ(a) − ϕ(0), soddisfa alle condizioni 1’) e 2’). Viceversa, se ψ : E → N0 soddisfa alle condizioni 1’) e 2’), esiste x ∈ E\{0} tale che ψ(x) sia minimo; l’applicazione ϕ : E → Z, definita ponendo ϕ(a) = ψ(a) per ogni a ∈ E\{0} e ϕ(0)= ψ(x) − 1, soddisfa le condizioni 1) e 2).

Proposizione 4.4.4. Ogni dominio euclideo è un dominio ad ideali principali (e quindi un dominio a fattorizzazione unica). Sia (E; +, ·) un dominio euclideo rispetto ad una applicazione ϕ : E → Z. Sia I un ideale di E diverso dall’ideale zero. Per la Proposizione 4.4.3 l’insieme { ϕ(i) | i ∈ I\{0} } ammette minimo; sia a ∈ I\{0} tale che ϕ(a) ≤ ϕ(i) per ogni i ∈ I\{0}. Per ogni i ∈ I esistono 110

q, r ∈ E tali che i = aq + r con ϕ(r) < ϕ(a); poiché r = i − aq ∈ I, necessariamente r =0 e i = aq ∈ hai. Ne segue I = hai. Esercizio 6. √ √ 1) I sottoanelli del campo complesso Z[ −1] e Z[ −2] (cfr. Esercizio 5) sono domini a fattorizzazione unica. √ 2) Se k è√un intero maggiore di 2 e privo di quadrati, nel sottoanello del campo complesso Z[ −k] = √ {a+ib k|a, b ∈ Z } l’elemento 2 è irriducibile, ma non primo; pertanto Z[ −k] non è a fattorizzazione unica. √ Esercizio 7. Nell’anello degli interi gaussiani Z[ −1] si considerino gli insiemi I = {a + ib | a, b ∈ Z, a + b ≡ 0 (mod 2)}, J = {(x − y) + i(x + y) | x, y ∈ Z}, L =√ {x + iy | x, y ∈ Z, x ≡ 8y (mod 13)}. Si provi che I, J, L sono ideali di Z[ −1] e se ne determini un generatore. Esercizio 8. Sia p un numero naturale primo; si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) il polinomio x2 + 1 ∈ Zp [x] ha radici √ in Zp ; ii) p è elemento riducibile nell’anello Z[ −1]; iii) esistono a, b ∈ Z tali che p = a2 + b2 . √ Se ne deduca che p è elemento irriducibile in Z[ −1] se e solo se è p ≡ 3 (mod 4). (cfr. 2.2 Esercizio 9.) Esercizio 9. 1) Sia D un dominio a fattorizzazione unica; siano a, b, c ∈ D tali che ab = cn (con n ∈ N). Si provi che, n n se M.C.D.(a, b) = 1, esistono √ x, y ∈ D tali che a ∼ x , b ∼ y .(cfr. IV, Proposizione 5.6.1) 2) Valendosi del fatto che Z[√ −1] è UFD, si determinino le soluzioni intere dell’equazione x2 + 4 = y 3 . 3) Valendosi del fatto che Z[ −2] è UFD, si determinino le soluzioni intere delle equazioni x2 + 2 = y 3 , x2 + 2 = y 5 , x2 + 2 = y 7 . (Suggerimenti: 2) x2 + 4 = (x + 2i)(x − 2i) e M.C.D.(x + 2i, x − 2i) divide 4i; se x è dispari, si deduce M.C.D.(x + 2i, x − 2i) = 1 e quindi x + 2i = (a + ib)3 , ecc. . . .; per x = 2s, y = 2t √ si deduce √ (s + i)(s − i) = s2 + 1 = 2t3 = (1 + i)2 (it)3 , ecc. . . .) 2 3) x + 2 = (x + i 2)(x − i 2) e x è necessariamente dispari.)

111

TEMI VII. 1. Sia n un intero, maggiore di 1; per ogni r ∈ {1, 2, . . . , n − 1} sia Ar = {[rk]n | k ∈ Z} ⊆Zn . Sia H un sottogruppo del gruppo (Zn ; +) (non ridotto al solo [0]n ). Si provi quanto segue: I] esiste uno ed un solo divisore (positivo) s di n tale che H = As ; II] è |H| = t se e solo se è n = st; III] il gruppo (H; +) è isomorfo al gruppo (Zt ; +).

2. Sia (G; ·) un gruppo abeliano finito; per ogni n ∈ N sia Xn = { x ∈ G | xn = 1G }. Si provi che Xn è un sottogruppo di (G; ·) e si mostri che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) il gruppo (G; ·) è ciclico; ii) per ogni n ∈ N è |Xn | ≤ n. Sugg. i) ⇒ ii) Proposizione 2.2.1; se Xn = hai, |Xn | = |a| ≤ n. ii) ⇒ i) 2.1 Esercizio 6.

3. Sia (G; ·) un gruppo ciclico, non ridotto all’unità. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) G è finito e l’ordine di G non è potenza di numero primo; ii) esistono in G due sottogruppi propri la cui intersezione è ridotta all’unità. Si mostri che, se G è abeliano, non ciclico, le due condizioni non sono equivalenti. Sugg. i) ⇒ ii) 2.2 Esercizio 10. ii) ⇒ i) In (Z;+) è rs ∈ hri ∩ hsi.

4. Sia (G; ·) un gruppo (non ridotto all’unità) i cui sottogruppi costituiscono un insieme totalmente ordinato rispetto all’inclusione insiemistica. Si provi che I] G è abeliano; II] ogni elemento di G ha periodo finito; III] esiste un primo p tale che il periodo di ogni elemento di G è una potenza di p. Se ne deduca che il gruppo G è finito se e solo se è ciclico. Sugg. I] Per ogni a, b ∈ G è hai ⊆ hbi o hbi ⊆ hai. II] L’ipotesi non è soddisfatta in (Z;+). III] 2.2 Esercizio 10: se M.C.D.(|a|, |b|) = 1, a 6∈ hbi e b 6∈ hai. Se G è finito, l’insieme dei periodi degli elementi di G ammette massimo; 2.1 Esercizio 6.

5. Sia (G; ?) il gruppo costituito dall’insieme G =R\{0} dei numeri reali non nulli rispetto alla legge di composizione ?, definita ponendo per a, b ∈ G ½ ab, se a > 0; a?b= a se a < 0. b, dove ab e ab sono calcolati secondo l’ordinario prodotto in R. Dopo aver determinato il periodo degli elementi di (G; ?) si provi che I] gli elementi di periodo infinito, insieme all’unità, costituiscono un sottogruppo M di (G; ?); II] i sottogruppi normali di (G; ?), diversi da G, sono tutti e soli i sottogruppi di M ; III] se H è un sottogruppo di (G; ?) non normale, esiste k ∈ G con |k| = 2 tale che H = (H ∩ M )hki.

6. Sia G = {(x, y) | x, y ∈ Z}; G è un gruppo rispetto all’operazione + definita componente per componente. Siano (r, s) e (t, z) elementi di G, diversi dall’elemento neutro; si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) il sottogruppo H = h(r, s), (t, z)i è ciclico; ii) il sottogruppo K = h(r, s)i ∩ h(t, z)i non è banale; 112

iii) rz = st. Sugg. i) ⇒ ii) Il gruppo (H; +) è isomorfo a (Z;+). ii) ⇒ iii) Esistono h, k ∈ Z\{0} tali che h(r, s) = k(t, z); ne segue hrz = ktz = hst. iii) ⇒ i). Posto d =M.C.D.(r, t) con r = dr0 e t = dt0 , r0 divide s; posto s = r0 w, è H ⊆ h(d, w)i.

7. Sia (G; ·) un gruppo abeliano finito; per ogni intero positivo r che divide l’ordine di G sia Hr = { x ∈ G | xr = 1G }. Si mostri che I] Hr è un sottogruppo del gruppo (G; ·) con |Hr | ≥ r; II] può essere |Hr | > r (esempio !); III] se per ogni divisore r dell’ordine di G è |Hr | = r, allora il gruppo (G; ·) è ciclico. Sugg. I] Proposizione 2.2.5. II] (Zp ; +)⊕(Zp ; +). III] 2.1 Esercizio 6.

9. Sia (G; +) il gruppo abeliano costituito dalle coppie ordinate (a, b) ∈ Z×Z rispetto alla somma componente per componente. I] Fissati r, s ∈ Z\{0} e posto N = h(r, s)i, si mostri che il gruppo quoziente (G/N ; +) è infinito. II] Si provi quindi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (G/N ; +) è ciclico; ii) ogni elemento di G/N , diverso dall’elemento neutro, ha periodo infinito; iii) r e s sono primi tra loro. Sugg. I] I laterali (a, 0) + N con a ∈ N sono tutti distinti. II] i)⇒ ii) Proposizione 2.2.1. ii) ⇒ iii) se r = dr0 , s = ds0 allora d[(r0 , s0 ) + N ] = N . iii) ⇒ i) l’applicazione φ : (G; +) → (Z;+) definita da φ : (a, b) = sa − rb è un omomorfismo di gruppi con Ker φ = N .

10. Sia (K; +, ·) un campo finito di ordine pn > p (p primo); sia K0 il suo sottocorpo minimo. Si consideri il gruppo G = {(a, b) | a, b ∈ K} con (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 + a1 ap2 ) Posto H = {(x, y) | x ∈ K0 , y ∈ K}, si provi che I] H è un sottogruppo normale del gruppo (G; ·); II] i gruppi (H; ·) e (G/H; ·) sono abeliani; III] il gruppo (H; ·) non è ciclico, mentre il gruppo (G/H; ·) è ciclico se e solo se è n = 2. ¡ ¢ Sugg. III] Per (a, b) ∈ G e n ∈ N è (a, b)n = (na, nb + n2 ap+1 ).

11. Sia (A; +, ·) un anello finito il cui ordine n è prodotto di primi distinti. Si provi quanto segue. I] Il gruppo additivo (A; +) è ciclico; se ne deduca che l’anello è commutativo. II] L’anello (A; +, ·) è isomorfo ad un anello (Zn ; +, ?), dove il prodotto ? è definito da [a]n ? [b]n = [abr]n con r intero fisso e 0 ≤ r ≤ n − 1. Per quali valori di n ed r l’anello A è dotato di unità? Per quali valori di n ed r l’anello A è privo di divisori dello zero? Per quali valori di n ed r l’anello A è un campo? Sugg. I] 2.1 Esercizio 5. II] Sia (A; +) = hxi+ ; sia x2 = rx con r ∈ N0 , 0 ≤ r ≤ n − 1. Sia φ : Zn −→ A con φ([s]n ) = sx.

12. Si consideri il polinomio f (x) = x3 − 1 ∈ Zp [x] con p primo. Si provi che f (x) si decompone in Zp [x] in prodotto di fattori lineari se e solo se p ≡ 1 (mod 3) o p = 3. Sugg. Se a ∈ Zp è radice di x3 − 1 e a 6= [1]p , allora a ha periodo 3 nel gruppo (Zp \{[0]p }; ·); cfr. 2.2 Esercizio 8. 113

13. Nel gruppo generale lineare GL2 (Z) (costituito dagli elementi unitari dell’anello (Mat2 (Z); +, ·) rispetto al prodotto righe per colonne) µsi considerino gli elementi ¶ µ ¶ 0 −1 0 −1 α= e β= 1 0 1 −1 I] Si determini l’ordine dei sottogruppi A = hαi , B = hβi, C = hα, βi. II] Vale l’uguaglianza C = hA, Bi? Vale l’uguaglianza C = AB? I sottogruppi A e B sono permutabili?

14. Nel gruppo GL(2,R) si considerino ½il µsottoinsieme¶ (−1)n 0

K=

¾

n 1

|

n ∈Z

e gli elementi µ α=

1 2 0 1

¶

µ ,β=

−1 1 0 1

¶

µ ,γ=

−1 0

−1 1

¶

Si provi che I] K è un sottogruppo di GL(2,R) e K = hα, βi = hβ, γi = hγ, αi; II] posto A = hαi, B = hβi, C = hγi, è K = AB = AC , ma K 6= BC; III] i sottogruppi propri finiti di K sono ciclici di ordine 2; IV] K possiede qualche sottogruppo proprio infinito. Sugg. I) α = βγ II) Per I] è K = hA, Bi = hB, Ci = hA, Ci. Proposizioni 2.3.2 e 2.3.3 III) Gli elementi di K sono del tipo αr e αr β con r ∈ Z.

15. Si consideri il gruppo (G; ·) costituito dalle coppie ordinate ([a], [b]) ∈ Zp2 × Zp2 (p primo) rispetto al prodotto definito da ([a1 ].[b1 ]) · ([a2 ], [b2 ]) = ([a1 + a2 ], [b1 (1 + a2 p) + b2 ]) Si verifichi che per ogni intero n ≥ 2 è ¡ ¢ ([a], [b])n = ([na], [b(n + n2 ap)]) Si provi quanto segue. I) L’insieme H = {([0], [b]) | [b] ∈ Zp2 } è un sottogruppo ciclico e normale in (G; ·), isomorfo al gruppo quoziente (G/H; ·). II) L’insieme K = {([a], [b]) ∈ G | ([a], [b])p = 1G } è un sottogruppo non ciclico e normale in (G; ·), isomorfo al gruppo quoziente (G/K; ·). III) Il gruppo (G; ·) possiede qualche sottogruppo normale S non isomorfo al gruppo quoziente (G/S; ·).

16. Siano (G1 , ·) e (G2 ; ·) due gruppi ciclici non banali; sia G = G1 × G2 il loro prodotto cartesiano. Si provi che il gruppo (G; ·) è ciclico se e solo se G1 e G2 sono finiti e hanno ordini coprimi. Sugg. Sia G = h(a1 , a2 )i con ai ∈ Gi . Per ogni g1 ∈ G1 sar` a (g1 , 12 ) = (a1 , a2 )r ovvero g1 = ar1 e r a2 = 12 ; segue G1 = ha1 i e |a2 | < ∞. Analogamente G2 = ha2 i e |a1 | < ∞. Se d =M.C.D.(|G1 |, |G2 |) 6= 1, scelti ( 2.2 Esercizio 10) b1 ∈ G1 , b2 ∈ G2 con |b1 | = |b2 | = d, il sottogruppo h(b1 , 12 ), (11 , b2 )i ha ordine d2 e non è ciclico.

17. Un gruppo infinito (G; ·) è il prodotto di un suo sottogruppo ciclico A = hai e di un suo sottogruppo C = hci ciclico di ordine 2. Si provi quanto segue. I] Il sottogruppo A è infinito, normale in G e A ∩ C = h1G i . Inoltre, se (G; ·) non è abeliano, è cac = c−1 ac = a−1 II] Posto B = ha2 ihaci, B è un sottogruppo infinito di G. III] Il sottogruppo B è ciclico se e solo se il gruppo G è abeliano. Sugg. I] Proposizione 2.3.3; V, 2.3 Esercizio 3. 114

2

Se c−1 ac = ar , allora a = c−2 ac2 = c−1 ar c = ar , da cui r2 = 1. II] Proposizione 2.3.2. III] Se (G; ·) non è abeliano, (ac)2 = 1G . Se (G; ·) è abeliano, a2 = (ac)2 .

18. Sia (K; +, ·) un campo; ½ sia

¶ µ ¶ ¾ 0 a a 0 , τa,b = | a, b ∈ K\{0} 0 b b 0 I] Si verifichi che G è un sottogruppo di GL(2, K) e che H = {σa,b ∈ G | b = a−1 } è un sottogruppo normale di G. II] Si mostri che G i) il gruppo quoziente H è abeliano, G ii) l’elemento Hτ1,1 di H (dove 1 indica l’unità di K) ha periodo 2, G , isomorfo al gruppo (K\{0}; ·). iii) l’insieme {Hσa,1 | a ∈ K\{0} } è un sottogruppo di H G III] Se ne deduca che se H è ciclico, esso è finito e K è un campo finito di ordine pari. G IV] Si mostri anche che, se K è un campo finito di ordine pari, H è ciclico. G=

µ

σa,b =

Sugg. II] iii)V Proposizione 2.1.2 o VI Proposizione 2.1.4. III] Proposizione 2.2.1. 2.2 Esercizio 109: il gruppo (K\{0K }; ·) non pu` o avere elementi di periodo 2. IV] |G/H| = 2(|K| − 1); 2.2 Esercizio 7; 2.1 Esercizio 4;.

19. Sia

¶ µ ¶ ª [1]6 a [1]6 a , : a ∈ Z6 [0]6 [1]6 [0]6 [−1]6 Sapendo che il prodotto (righe per colonne) di matrici è associativo, si verifichi che, rispetto a tale prodotto, G è un gruppo di ordine 12. I] Si determini il centro di G e si mostri che esso è l’unico sottogruppo normale di G di ordine 2. II] Si mostri che G possiede un solo sottogruppo di ordine 3 ed esattamente tre sottogruppi di ordine 4. (Si noti che ogni sottogruppo di ordine 4 contiene il centro di G.) III] Si mostri che le immagini omomorfe proprie di G sono, a meno di isomorfismi, il gruppo ciclico di ordine 2, il gruppo trirettangolo e il gruppo simmetrico S3 . G=

©

µ

Sugg. II] Corollario 2.1.5. Se H ≤ G, HZ(G) è sottogruppo di G; Proposizione 2.3.3. Il gruppo quoziente G/Z(G) possiede esattamente tre sottogruppi di ordine 2. III] Se N / G con N 6= h1G i e N 6= G, allora |N | ∈ {2, 3, 6}.

20. In un gruppo (G; ·) esistano due elementi a e b tali che i) G = ha, bi; ii) |a| = |b| = 5 e hai 6= hbi; iii) posto c = a−1 b−1 ab (ovvero b−1 ab = ac), sia c ∈ Z(G) (dove Z(G) indica il centro di G). Si provi I] c5 II] se III] se

che = 1G ; c = 1G , allora |G| = 52 ; c 6= 1G , allora |ha, ci| = 52 , G = ha, cihbi e quindi |G| = 53 .

Sugg. I] 1G = a5 = (b1 ab)5 = (ac)5 = a5 c5 . II] 2.3 III] G = ha, b, ci = hha, ci, hbii.

21. Sia (G; ·) un gruppo; siano a, b ∈ G con |a| = |b| = 3. Detti A e B i sottogruppi generati rispettivamente da a e da b, si provi che i sottogruppi A e B sono permutabili se e solo se è ab = ba. Se ne deduca che ogni gruppo di ordine 9 è abeliano. Sugg. Sia A 6= B. Se AB = BA, allora ab = bar o ab = b−1 ar con 0 ≤ r ≤ 2. Se ab = b−1 a2 , allora (ab)2 = 1, assurdo poiché AB è un sottogruppo di ordine 9; se ab = b−1 a, allora aba−1 = b−1 e quindi b = a3 ba−3 = b−1 da cui b2 = 1, assurdo.

22. Sia (K; +, ·) un campo di ordine pn (p primo). 115

Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) il polinomio x2 + 1 ∈ K[x] è riducibile in K[x]; ii) se è p 6= 2, allora è pn ≡ 1 (mod 4); iii) se è p 6= 2, allora è p ≡ 1 (mod 4) oppure n è pari. ` car K = p. Per p 6= 2 è −1K 6= 1K ; se a ∈ K è radice di x2 + 1, il periodo di a nel Sugg. i) ⇒ ii) E gruppo (K\{0K }; ·) è 4.

23. Sia (K; +, ·) un campo finito di ordine pr ( p primo). Si considerino le applicazioni α e β da K a K definite rispettivamente da α(x) = xp − x r−1 β(x) = x + xp + . . . + xp per ogni x ∈ K. Dopo aver osservato che α e β sono endomorfismi del gruppo additivo (K; +), si dimostri che Ker α e β(K) coincidono e hanno ordine p. Sugg. Proposizione 3.2.4. 3.3 Ker α = K0 (sottocorpo minimo), β(K) ⊆ Ker α.

24. Sia n un intero positivo fissato. Nell’anello di polinomi Z5 [x] si considerino f (x) = x5n − xn + a g(x) = (x + b)5n − (x + b)n + a dove I] II] III]

a e b sono elementi fissati di Z5 e b 6= 0. Si mostri che per ogni k ∈ Z5 si ha f (k) = g(k). Si mostri che esistono valori di n per i quali è f (x) = g(x) e valori di n per i quali è f (x) 6= g(x). Si determinino i valori di n per i quali è f (x) = g(x).

Sugg. I]+ II] Proposizione 3.2.4. III] Si scriva n = 5r s con r, s ∈ N e M.C.D.(s, 5) = 1; IV Proposizione 5.2.1.

25. Sia (K; +, ·) un campo; nel gruppo generale µ ¶ lineare GL(2, K) si considerino i sottogruppi n

G=

a µ0

n a S= 0 nµ a T = 0

o b | a, b, c ∈ K, ac 6= 0 c ¶ o b | a, b ∈ K, a 6= 0 1 ¶ o b | a, b ∈ K, a 6= 0 −1 a

Si mostri quanto segue. I] S e T sono normali in G e G = ST . II] I gruppi quoziente (G/S; ·) e (G/T ; ·) sono isomorfi al gruppo (K\{0}; ·) e quindi sono isomorfi tra loro. III] Se K è un campo finito di caratteristica 2, l’applicazione : T → S definita da µ ¶ µ 2 φ¶ a b a ab φ: → 0 a−1 0 1 è un isomorfismo. IV] Se car K 6= 2, i gruppi T ed S non sono isomorfi. µ ¶ µ ¶ µ −1 ¶ a b ac bc c 0 Sugg. I] = = . 0 c 0 1 0 c µ ¶ a b II] α, β : G → K\{0}, ove per µ = si ponga α(µ) = c e β(µ) = ac; è S =Ker α e T =Ker β. 0 c IV] Pu` o essere utile considerare gli elementi di periodo 2 di S e quelli di T .

26. Sia A un anello e sia 0 6= a ∈ A con a3 = a; sia H il sottoanello generato da a. Si provi che 116

I] il sottoanello H è commutativo e dotato di unità; II] H è privo di divisori dello zero se e solo se sono soddisfatte entrambe le condizioni α) e β) seguenti α) a ha caratteristica zero o un numero primo, β) è a2 = a o a2 = −a. Sugg. I] 3.1 Esercizio 1 II] Proposizione 3.2.2. La β) implica H = {na | n ∈ Z}.

27. Si mostri che i soli anelli dotati di unità, in cui ogni sottoanello è un ideale destro sono (a meno di isomorfismi) Z e Zn . Esistono anelli senza unità che soddisfano alla stessa condizione? Sugg. Proposizione 3.2.1 con a = 1A ; IV Proposizione 6.3.1.

28. Sia {Ai }i∈I una famiglia di anelli e sia A =

L

i∈I Ai la loro somma diretta. Si provi che condizione necessaria affinché l’anello A abbia caratteristica diversa da zero, è che ogni anello Ai abbia caratteristica diversa da zero. Si provi che, se la famiglia I degli indici è finita, la condizione è anche sufficiente; si mostri che non lo è, se la famiglia I è infinita.

Sugg. IV Proposizione 9.1.2; ogni sottoanello di un anello di caratteristica m > 0 ha caratteristica ≤ m. Se I = {1, . . . , n} e car Ai = mi , è car A =m.c.m.{m1 , m2 , . . . , mn }. 3.2 Esempio 4.

29. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità 1A , tale che il gruppo additivo (A; +) è ciclico. Si provi quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) ha caratteristica n > 0 se e solo se esso ha ordine n. II] L’anello (A; +, ·) coincide con il suo sottoanello fondamentale ed è quindi isomorfo all’anello (Z:+, ·) o all’anello (Zn ; +, ·). Sugg. Sia (A; +) = hai+ ; se |A| = n, allora n = car a ≤car 1A =car A ≤ |A|.

30. Si consideri l’anello (A; +, ·) = Q⊕Z somma diretta esterna degli anelli (Q; +, ·) e (Z,+, ·). Si provi che I] ogni elemento non nullo dell’anello (A; +, ·) ha caratteristica zero; II] per ogni intero positivo n i) l’insieme I = { (q, nk) | q ∈ Q, k ∈ Z } è un ideale dell’anello (A; +, ·); ii) l’anello quoziente (A/I; +, ·) è isomorfo all’anello (Zn ; +, ·) ed ha quindi caratteristica n ; iii) I è l’unico ideale dell’anello (A; +, ·) tale che l’anello quoziente (A/I; +, ·) ha caratteristica n. Sugg. II] Se J è ideale di (A; +, ·) tale che car A/J = n, allora per ogni (a, b) ∈ A è n(a, b) ∈ J e quindi I ⊆ J,

31. Sia p un numero primo. I] Si provi che in Zp [x] vale l’uguaglianza (x − 1)p = (x − 1)(1 + x + · · · + xp−1 ) II] Se ne deduca che¡ in Z¢p [x] i polinomi f (x) = 1 + x + x2 + · · · + xp−1 e g(x) = (x − 1)p−1 coincidono e quindi che si ha p−1 ≡ (−1)r (mod p) per ogni intero r tale che 0 ≤ r ≤ p − 1. r Sugg. Proposizione 3.2.4 e IV Proposizione 5.2.1.

32. Si provi che ogni sottocorpo dell’anello (Zn ; +, ·) ha per ordine un numero primo, che divide n. Si mostri quindi che, se è n = rp con p primo, l’anello (Zn ; +, ·) possiede un sottocorpo di ordine p se e solo se p non divide r. Sugg. Proposizione 3.2.2 e Proposizione 2.2.1; IV, 5.4 Esercizio 2.

33. Sia (K; +, ·) un campo; sia H l’insieme delle matrici del tipo 117



1 0 0 (dove 0 e 1 indicano rispettivamente lo zero Si verifichi quanto segue.

 a b 1 a  con a, b ∈ K 0 1 e l’unità del campo K).

I] H è un sottogruppo del gruppo generale lineare GL(3, K). II] Per ogni intero relativo nè 1 0 0

n  a b 1 1 a = 0 0 1 0

 na nb + n(n−1) a2 2  1 na 0 1 III] Se il sottogruppo H è ciclico, il gruppo (K; +) è ciclico e quindi il campo K ha caratteristica diversa da zero. (Si ricordi che il gruppo (Q; +) non è ciclico.) IV] Il sottogruppo H è ciclico se e solo se K ha ordine 2. Sugg. Se (K; +) = hxi, è |K| = car x. Si confrontino |H| e il periodo degli elementi di H.

34. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità, di caratteristica n > 0. I) Si provi che, se gli elementi non unitari di (A; +, ·) costituiscono un ideale di (A; +, ·), allora n è potenza di primo. II) Si indichino un anello (dotato di unità) di caratteristica potenza di primo, in cui gli elementi non unitari costituiscono un ideale e uno in cui ciò non accade. Sugg. Se n = rs con r > 1 e s > 1, è r1A · s1A = 0A e quindi r1A e s1A non sono unitari.

35. Sia (K; +, ·) un campo; nel gruppo½ generale lineare GL(2, K) si ¾considerino ¶ µ a 0 | a, b ∈ K, a 6= 0 −1 b a ½µ ¶ ¾ a 0 T = | a, b ∈ K, a 6= 0 b 1

S=

I] Si verifichi che S e T sono sottogruppi di GL(2, K). II] Si determinino gli elementi di periodo 2 dei gruppi (S; ·) e (T ; ·) e se ne deduca che, se car K 6= 2, i gruppi (S; ·) e (T ; ·) non sono tra loro isomorfi.

36. Se (K; +, ·) è un campo di ordine 9, il sottocorpo minimo di K coincide con l’insieme { k4 | k ∈ K}. Sugg. 2.2 Esercizio 8.

37. Sia A[x] l’anello di polinomi in una indeterminata x a coefficienti in un anello (A; +, ·); si indichi con I[x] l’ideale di A[x] generato dai polinomi f (x) = x + 2 e g(x) = x3 − x2 + 2x + 1. Si provi quanto segue. I] Per A=Z, I[x] non è principale. II] Per A=Q, I[x] è principale; se ne indichi un generatore. III] Per A=Zp , I[x] è principale; se ne indichi un generatore al variare di p (p primo). Sugg. I] f (x) è irriducibile e non divide g(x). II] 4.2 Esercizio 10. III] g(x) = f (x)q(x) − 15. Se A =Q o se A =Zp con p 6= 3, 5 è I[x] = h1i; se A =Zp con p = 3, 5 è I[x] = hf (x)i.

38. Si consideri l’anello Z4 [x] dei polinomi a coefficienti nell’anello Z4 delle classi di resti mod 4. Sia I l’ideale di Z4 [x] generato dal polinomio x − 1 ∈ Z4 [x]. Si provi che I] I = {f (x) ∈ Z4 [x]| f (1) = 0} (con 1, 0 ∈ Z4 ); II] I non è massimale ed esiste uno ed un solo ideale proprio J di Z4 [x] che contiene propriamente I; III] J è finitamente generato, ma non è principale. Sugg. II] (Z4 [x]/I; +, ·)' (Z4 ; +, ·); VI, Lemma 2.2.1 III] J = h x − 1, 2 i. 118

39. Sia (K; +, ·) un campo; sia f (x) un polinomio di K[x]. Si consideri l’anello quoziente A =

K[x] hf (x)i ,

dove hf (x)i indica l’ideale principale di K[x] generato da f (x). Si provi quanto segue. I] Gli ideali propri dell’anello A sono ”tanti quanti” gli ideali propri di K[x] che contengono propriamente l’ideale hf (x)i. II] Se f (x) ha grado 2, l’anello A possiede tanti ideali propri quante sono le radici distinte di f (x) in K. III] Se f (x) ha grado 3 e f (x) ha radici in K, il numero degli ideali di A è maggiore del numero delle radici di f (x) in K. Sugg. I] VI, Lemma 2.2.1. II] Se hf (x)i ⊂ J[x], allora J[x] = hx − ai e f (a) = 0.

40. Nell’anello di polinomi (Z3 [x]; +, ·) si consideri l’ideale I generato dal polinomio x3 + 2. Si consideri l’anello quoziente (Z3 [x]/I; +, ·) e si provi quanto segue: I] i suoi divisori dello zero sono tutti e soli i laterali I + k(x) 6= I con k(1) = 0; II] i suoi elementi non nulli e non unitari sono tutti e soli i divisori dello zero; III] l’anello quoziente (Z3 [x]/I; +, ·) possiede due soli ideali propri. √

41. Si considerino il√sottoanello del campo complesso A = {a+ib 7 | a, b ∈ Z } e l’applicazione φ : A →Z8

definita da φ(a + ib 7) = [a − b]8 . I] Si verifichi che φ è un omomorfismo suriettivo di anelli e se ne determini il nucleo. II] Si osservi che l’anello Z8 possiede due soli ideali propri e se ne deduca che in A esistono due soli ideali propri I e J che contengono propriamente Ker φ. Si mostri che Ker φ è principale, mentre I e J sono finitamente generati, ma non principali. √ Sugg. Ker φ = h1 + i 7i; VI, Lemma 2.2.1.

42. Sia (K; +, ·) un campo di ordine pn (p primo). I] Si provi che il polinomio xp − x ∈ K[x] ammette p radici distinte, che costituiscono il sottocorpo minimo K0 di K. II] Sia n−1 n−2 f (x) = xp + xp + · · · + xp + x ∈ K[x]; siano S = {f (k) | k ∈ K} R = {a ∈ K | f (a) = 0}. Si mostri che |S| · |R| = pn e S ⊆ K0 ; se ne deduca che è S = K0 e che f (x) si decompone in prodotto di fattori lineari distinti di K[x]. Sugg. I] 3.3 e IV Teorema 5.5.12. II] Proposizione 3.2.4 : Φ : (K; +) → (K; +) con Φ(k) = f (k) è un omomorfismo di gruppi.

43. Nell’anello di polinomi R[x] (ove (R;+, ·) è il campo reale) si consideri l’ideale I[x] = hx2 + x + 1i. Si provi quanto segue. I] L’anello quoziente F =R[x]/I[x] è un campo. II] Il gruppo moltiplicativo (F \{0}, ·) possiede uno ed un solo elemento di periodo 2 e di conseguenza esattamente due elementi di periodo 4. III] Esiste qualche isomorfismo (e lo si indichi) tra il campo (F ; +, ·) e il campo complesso. Sugg. I] Proposizione 4.3.3. II] Gli elementi di periodo 4 sono I[x] ± √ √ III] a + ib → I[x] + 33 (2bx + b + a 3).

√ 3 3 (2x

+ 1).

44. Sia (K; +, ·) un campo; siano k1 , k2 ∈ K (fissi). Si consideri la somma diretta esterna (K ⊕ K; +, ·) e l’applicazione φ : K[x] → K ⊕ K 119

definita da φ(f (x)) = (f (k1 ), f (k2 )) per ogni f (x) ∈ K[x]. Si mostri che φ è un omomorfismo di anelli. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) φ è suriettivo; ii) è k1 6= k2 ; iii) esistono due ideali propri I e J dell’anello (K[x]; +, ·) tali che I + J = K[x] e I ∩ J =Ker φ.

45. Sia (K; +, ·) un campo; sia (K K ; +, ·) l’anello costituito dalle applicazioni di K in se stesso rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite ponendo per λ, µ ∈ K K λ + µ : k → λ(k) + µ(k) λ · µ : k → λ(k)µ(k). Sia φ : K[x] → K K l’applicazione che associa ad ogni polinomio f (x) ∈ K[x] la funzione polinomiale definita da f (x). Si provi che I] φ è un omomorfismo di anelli; II] φ è iniettivo se e solo se K è infinito; III] se K è finito di ordine q, si determini un generatore di Ker φ; se ne deduca che φ(K[x]) e K K hanno lo stesso ordine e che pertanto φ è suriettivo. II] Se |K| = q < ∞, xq − x ∈ Ker φ.

46. Si verifichi che per ogni a, b ∈ Z3 vale l’uguaglianza

(a + b)5 = a5 + b5 . Si mostri invece che la stessa uguaglianza non vale per ogni a, b ∈ GF (32 ) (campo di Galois di ordine 32 ). Sugg. 4.3 Osservazione 3; posto H = {at + b | a, b ∈ Z3 } con t2 = −1, è (t + 1)5 = −t − 1 e t5 + 15 = t + 1.

28. Sia (K; +, ·) un campo. I] Si provi che il campo K è immagine omomorfa dell’anello di polinomi K[x] e che K non è isomorfo all’anello K[x]. II] Si mostri che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni:: i) il campo K è finito; ii) se un anello infinito è immagine omomorfa dell’anello K[x], esso è isomorfo all’anello K[x]. Sugg. I] (K; +, ·) ' (K[x]/hxi; +, ·); Proposizione 1.1.5. II] Proposizione 4.3.1; 4.3 Osservazione 2.

47. Sia (K; +, ·) un campo; sia I[x] un ideale dell’anello di polinomi K[x]. Si provi che nell’anello quoziente K[x]/I[x] gli elementi unitari sono tutti e soli gli elementi diversi dallo zero, che non sono divisori dello zero. Si mostri invece che, per qualche ideale I[x] dell’anello di polinomi Z[x], nell’anello Z[x]/I[x] esistono elementi non unitari e non nulli che non sono divisori dello zero. Sugg. 4.3 Esercizio 1. Se I[x] = hxi ⊆ Z[x], il laterale I[x] + 2 non è unitario e non è divisore dello zero.

48. Nell’anello di polinomi (Zp [x]; +, ·) (p primo) si consideri l’ideale I = h x4 + x3 + 5x + 8, x2 − 1i . Si determinino i valori di p per cui l’ideale I è proprio e quelli per cui l’anello quoziente Zp [x]/I è un campo. Sugg. 4.2 Esercizio 10; Proposizione 4.3.2.

49. Sia (K; +, ·) un campo di caratteristica p (primo); sia K p = {kp | k ∈ K}. I] Si provi che K p è un sottocampo di K, isomorfo a K e se ne deduca che, se K è finito, K p coincide con K. 120

II] Si mostri che, se K è il campo dei quozienti dell’anello di polinomi Zp [x], l’elemento x ∈ K non appartiene a K p (e pertanto è K p 6= K). Sugg. I] Proposizione 3.2.4.

50. Sia (K; +, ·) un campo; si consideri in½Mat µ 2 (K) il ¶ sottoanello ¾

a b | a, b ∈ K −b a Si provi che (A; +, ·) è un campo se e solo se il polinomio x2 + 1 ∈ K[x] è irriducibile in K[x]. Si provi che se l’anello (A; +, ·) non è un campo, allora I] se car K 6= 2, l’anello (A; +, ·) possiede esattamente due ideali propri; II] se car K = 2, l’anello (A; +, ·) possiede uno ed un solo ideale proprio; III] ogni immagine omomorfa propria dell’anello (A; +, ·) è isomorfa al campo (K; +, ·). ¶ ¶ o o nµ nµ −kb b kb b |b ∈ K . |b ∈ K e J = Sugg. Se −1K = k 2 , gli ideali propri sono I = −b −kb −b kb A=

51. Sia (K; +, ·) un campo finito di ordine q. Posto I = {f (x) ∈ K[x] | f (k) = 0K per ogni k ∈ K}, si mostri che I è un ideale dell’anello (K[x]; +, ·), generato dal polinomio xq − x. Si mostri che l’anello quoziente K[x]/I non è un campo e che i suoi elementi unitari sono tutti e soli i laterali a(x) + I con a(x) ∈ K[x] privo di radici in K. Se a(x) è irriducibile in K[x], allora a(x) + I è unitario in K[x]/I? Se a(x) + I è unitario in K[x]/I e deg a(x) > 0, a(x) è irriducibile in K[x]?

52. Sia A=

©

r 2n

| r ∈ Z, n ∈ N0

ª

Si provi quanto segue. I] A è un sottoanello del campo razionale che contiene Z; se ne determinino gli elementi unitari. II] Se I è un ideale proprio dell’anello A, I∩Z è un ideale proprio di Z; se I∩Z è generato da un intero positivo s come ideale di Z, allora I è generato dallo stesso elemento s come ideale di A. III] A è un dominio a fattorizzazione unica. Se ne determinino gli elementi irriducibili. Sugg. I] Elementi unitari: ±2m con m ∈ Z. II] 2rn ∈ I se e solo se r = 2n · 2rn ∈ I∩ Z. III] Proposizione 4.3.2; ±2m p con p primo, m ∈ Z.

53. Si considerino in Z[x] i polinomi a(x) = 4x3 − 4 e b(x) = 6x3 + 12x2 + 12x + 6. Siano IZ l’ideale di Z[x] generato da {a(x), b(x)} e IQ l’ideale di Q[x] generato da {a(x), b(x)}. Si mostri che I] IZ ⊆ IQ ∩ Z[x]; II] IQ ∩ Z[x] è un ideale principale di Z[x] e se ne indichi un generatore; III] IZ non è principale. Sugg. IQ = {(x2 + x + 1)φ(x) |φ(x) ∈ Q[x]}; IQ ∩ Z[x] = {(x2 + x + 1)f (x) | f (x) ∈ Z[x]}; M.C.D.Z[x] (a(x), b(x)) = 2(x2 + x + 1) ∈ IQ ∩ Z[x] (IV, 5.6 Esercizio 5) ma 2(x2 + x + 1) 6∈ IZ .

54. Sia (A; +, ·) un anello (non ridotto al solo zero) commutativo e dotato di unità; sia D l’insieme costituito dallo zero 0A e dai divisori dello zero di A. Siano a ∈ A e H = {g(x) ∈ A[x] | g(a) ∈ D}. Si provi che I] è H = {(x − a)q(x) + d | q(x) ∈ A[x], d ∈ D} e H 6= A[x]; II] H è un ideale dell’anello (A[x]; +, ·) se e solo se D è un ideale dell’anello (A; +, ·; III] se H è ideale di (A[x], +, ·), H è principale se e solo se l’anello (A; +, ·) è privo di divisori dello zero. Sugg. IV Proposizione 5.5.3 e Osservazione 5.5.2.

55. Sia (A; +, ·) un anello gaussiano; sia (A0 ; +, ·) un’immagine omomorfa propria di A. 121

I] Si mostri con degli esempi che i) (A0 ; +, ·) può avere divisori dello zero; ii) (A0 ; +, ·) può essere privo di divisori dello zero, senza essere campo; iii) (A0 ; +, ·) può essere campo. II] Si provi che, qualora gli ideali di (A; +, ·) siano tutti principali, se (A0 ; +, ·) è privo di divisori dello zero, allora (A0 ; +, ·) è campo. Sugg. I] i)+iii) A =Z, A0 =Zn . ii) A =Z[x], A0 =Z[x]/hxi. II] (A0 ; +, ·) ' (A/I; +, ·) con I ideale primo di (A; +, ·). 4.4 Esercizio 3.

56. Sia (L; ≤) un reticolo; per ogni a, b ∈ L con a ≤ b si ponga Xa,b = {x ∈ L | a =inf{b, x} }. Si osservi che Xa,b non è vuoto e ammette minimo. Sia (K; +, ·) un campo di caratteristica p (primo); sia (V ; +) uno spazio vettoriale su K. Si provi che I] se L è il reticolo dei sottogruppi del gruppo (V ; +) (rispetto all’inclusione insiemistica), ogni sottoinsieme Xa,b ha massimo se e solo se è |V | = p e di conseguenza |K| = p; II] se L è il reticolo dei K-sottospazi di (V ; +) (rispetto all’inclusione insiemistica), ogni sottoinsieme Xa,b ha massimo se e solo se (V ; +) non possiede K-sottospazi propri. Sugg. I] Per ogni v ∈ V è pv = p(1K v) = (p1K )v = 0V . Se |V | > p, esistono in (V ; +) almeno tre sottogruppi distinti A, B, C di ordine p con C ⊆ A + B. √

57. Sia A =Z[ −1] = {a + ib | a, b ∈ Z } ⊆C l’anello degli interi di Gauss (cfr.IV, 5.6 Esempio 3). Fissato r ∈ Z, si consideri l’ideale H = hr + i, 1 + rii. Si mostri che 2 ∈ H e se ne deduca che, se r è pari, è H = A, mentre se r è dispari, è H = h1 + ii. Sugg. 2 = (1 + ri) − i(r + i) ∈ H. Se r è pari, 1 ∈ H; se r = 2k + 1, allora 1 + i = (r + i) − 2k ∈ H.

58. Sia A l’anello costituito dalle coppie ordinate (a, b) ∈ Z×Z rispetto alla somma componente per componente e al prodotto definito da (a, b)(c, d) = (ad + bc, ac + bd). I] Si determinino i divisori dello zero dell’anello A. II] Detto D l’insieme costituito dallo zero e dai divisori dello zero di A, si mostri che D non è un ideale di A. III] Si verifichi che l’ideale di A generato da D è l’insieme {(a, b) ∈ A|a + b ≡ 0 (mod 2)}. Sugg. D = {(a, −a), (a, a) | a ∈ Z } non è chiuso rispetto alla somma. Se a + b = 2n, (a, b) = (n, n) + (a − n, n − a) ∈ hDi.

59. Si mostri che nell’anello di polinomi (Z[x]; +, ·) esistono ideali non principali. Pi` u in generale, sia (D; +, ·) un dominio d’integrità dotato di unità; si provi che ogni ideale dell’anello di polinomi (D[x]; +, ·) è principale se e solo se (D; +, ·) è un campo.

60. Siano r e n interi positivi con n ≥ 2. Nel sottoanello del campo complesso

√ A = { a + ib n | a, b ∈ Z} √ si consideri l’ideale I = hr, 1 + i ni. Si provi quanto segue: √ I] posto d =M.C.D.N (r, 1 + n), è I = hd, 1 + i ni; II] è I = A se e solo se è d = 1; III] se d 6= 1, l’ideale I è principale se e solo se è d = 1 + n. √ √ Sugg. I] Occorre e basta provare che r ∈ hd, 1 + i ni e d ∈ hr, 1 + i ni. II] I = A se e solo√se 1 ∈ I. III] Se I = ha + ib ni, allora a2 + nb2 divide 1 + n in N.

122

VIII. PRODOTTO DIRETTO, SOMMA DIRETTA.

1 1.1. Prodotto diretto di sottogruppi. Definizione. Sia {(Hλ ; ·)}λ∈Λ una famiglia di sottogruppi di un gruppo (G; ·); si dice che il gruppo G è prodotto diretto dei sottogruppi della famiglia se sono soddisfatte le seguenti condizioni: i) G = h Hλ | λ ∈ Λ i; ii) ogni sottogruppo Hλ è normale in G; iii) Hλ ∩ h Hµ | µ ∈ Λ\{λ} i = h1G i per ogni λ ∈ Λ. In tal caso si scrive G = Xλ∈Λ Hλ . Questa notazione (analoga a quella già introdotta in IV, 9.1) è giustificata dalle Proposizioni 1.1.1 e 1.1.2 che seguono. Osservazioni. 1. Le condizioni i), ii), iii) sono equivalenti alle seguenti: iv) per ogni g ∈ G, g 6= 1G , esistono e sono univocamente determinati un sottoinsieme finito {λ1 , . . . , λn } di Λ e n elementi h1 , . . . , hn con 1G 6= hi ∈ Hλi tali che g = h1 · · · hn ; v) per ogni λ, µ ∈ Λ con λ 6= µ e per ogni hλ ∈ Hλ , hµ ∈ Hµ si ha hλ hµ = hµ hλ . i)+ii)+iii) ⇒ iv)+v) −1 −1 −1 −1 −1 h−1 µ hλ hµ hλ = (hµ hλ hµ )hλ = hµ (hλ hµ hλ ). −1 Essendo Hλ / G e Hµ / G segue h−1 o prova la v). µ hλ hµ hλ ∈ Hλ ∩ Hµ = h1G i. Ci` 0 0 0 Sia g = h1 h2 · · · hn = h1 h2 · · · hs con hi ∈ Hλi e h0j ∈ Hµj . Siano ν1 , ν2 , . . . , νt gli elementi distinti dell’insieme {λ1 . . . . , λn , µ1 , . . . , µs }; potremo scrivere g = a1 a2 · · · at = b1 b2 · · · bt con aj , bj ∈ Hνj per j = 1, 2, . . . , t e precisamente: se νj = λl per qualche l, allora aj = hl , altrimenti aj = 1G se νj = µr per qualche r, allora bj = h0r , altrimenti bj = 1G . Per induzione su t proviamo ai = bi per i = 1, 2, . . . , t. Ciò è ovvio per t = 1. −1 Per t > 1 si deduce b−1 ∈ Hν1 ∩ h Hτ |τ ∈ Λ\{ν1 } i = h1G i 1 a1 = (b2 · · · bt )(a2 · · · at ) e quindi b1 = a1 . Allora a2 · · · at = b2 · · · bt ;per l’ipotesi d’induzione segue ai = bi per ogni i. ` cos`ı provata la iv). E iv)+v) ⇒ i)+ii)+iii) Direttamente da iv) seguono i) e iii). Siano a ∈ Hλ e g ∈ G; per iv) sarà g = h1 h2 · · · hn con hi ∈ Hλi . Se λ 6= λi per ogni i = 1, 2, . . . , n, per v) è ahi = hi a e quindi ag = ga ovvero g −1 ag = a ∈ Hλ . Se λ = λj per qualche j, per la v) si deduce g −1 ag = h−1 o prova la ii). λj ahλj ∈ Hλ . Ci`

2. Se G = Xλ∈Λ Hλ , il gruppo G è abeliano se e solo se è abeliano ogni sottogruppo Hλ . Segue immediatamente dalle iv) e v).

Proposizione 1.1.1. Sia {(Gλ ; ·)}λ∈Λ una famiglia di gruppi e sia G =Drλ∈Λ Gλ (cfr. IV, Proposizione 9.1.1); per ogni µ ∈ Λ si ponga Hµ = {{gλ }λ∈Λ ∈ G | gλ = 1G per λ 6= µ}. Ogni Hµ ` e un sottogruppo di G, isomorfo a Gµ , e G = Xλ∈Λ Hλ . Si verifica che sono soddisfatte le condizioni iv) e v) dell’Osservazione. 123

Proposizione 1.1.2. Sia {(Hλ ; ·)}λ∈Λ una famiglia di sottogruppi di un gruppo (G; ·) tale che G = Xλ∈Λ Hλ ; il gruppo G è isomorfo al prodotto diretto discreto dei gruppi (Hλ ; ·). Per la condizione iv) data sopra ogni elemento di G si scriverà (in modo unico!) g = h1 h2 · · · hn ; l’applicazione f : G →Drλ∈Λ Hλ , definita da f (g) = {hλ }λ∈Λ con hλi = hi per i = 1, 2, . . . , n e hλ = 1G per λ 6∈ {λ1 , λ2 , . . . , λn }, è un isomorfismo.

Esempi. 1. Sia G = {1, a, b, c} un gruppo trirettangolo (cfr. VI, 2.2 Esercizio 11); si ha G = hai × hbi = hbi × hci = hci × hai. + 2. (R\{0}; ·)=(R ; ·)×h−1i (dove R+ indica l’insieme dei numeri reali positivi). 3. (Z; +) e (Zpn ; +) non sono prodotto diretto di loro sottogruppi propri. Un notevole esempio di prodotto diretto è offerto dai gruppi abeliani finiti. Proposizione 1.1.3. Sia (G; ·) un gruppo abeliano finito di ordine pα1 1 · · · pαs s con p1 , . . . , ps primi distinti. Per ogni i = 1, . . . , s l’insieme Pi = {x ∈ G | |x| è potenza di pi } è un sottogruppo di G di ordine pαi i ed è G = Xsi=1 Pi . I sottogruppi Pi vengono detti componenti primarie di G e si usa pertanto dire che “un gruppo abeliano finito è il prodotto diretto delle sue componenti primarie”. Per VII, Proposizione 1.1.6 per ogni i = 1, . . . , s l’insieme Pi = {x ∈ G | |x| è potenza di pi } i è un sottogruppo di G di ordine pα i . Essendo (G; ·) abeliano, per provare che G = Xsi=1 Pi , basterà provare che è soddisfatta la condizione iv) dell’Osservazione che precede. Sia g ∈ G con |g| = r = pβ1 1 · · · pβs s con 0 ≤ βi ≤ αi . Per mi = r/pβi i è M.C.D.(m1 , . . . , ms ) = 1; esistono pertanto x1 , . . . , xs ∈ Z tali che x1 m1 +· · ·+xs ms = 1. Allora è g = g x1 m1 · · · g xs ms βi con (g xi mi )pi = g xi r = 1G e quindi g xi mi ∈ Pi . −1 −1 Da g = a1 a2 · · · as = b1 b2 · · · bs con ai , bi ∈ Pi , si deduce a1 b−1 1 = a2 b2 · · · as bs e quindi, −1 ragionando sui periodi, a1 b1 = 1G da cui a1 = b1 ; allo stesso modo si prova ai = bi per ogni i. ? Esercizio 1. Sia G il sottogruppo del gruppo moltiplicativo del campo complesso, costituito dalle radici complesse dell’unità; per ogni primo p sia n Hp = {x ∈ G | xp = 1 per qualche n ∈ N }. Hp è un sottogruppo di G e G = Xp∈P Hp , dove P indica l’insieme dei numeri primi. Esercizio 2. Un gruppo G sia il prodotto diretto di una famiglia {Hλ }λ∈Λ di suoi sottogruppi; per ogni sottoinsieme Γ di Λ si ha G =(Xγ∈Γ Hγ ) × (Xµ∈Λ\Γ Hµ ). Esercizio 3. Siano (G; ·) un gruppo e A, B suoi sottogruppi con A ⊆ B; si mostri che se B è fattore diretto di G e A è fattore diretto di B, allora A è fattore diretto di G. Esercizio 4. Sia (G; ·) un gruppo di ordine p2 (p primo); si provi che se G non è ciclico, G è prodotto diretto di due suoi sottogruppi di ordine p. Se ne deduca che qualunque gruppo di ordine p2 è abeliano (cfr.VI,2.3 Esercizio 5). Esercizio 5. Sia (G; ·) un gruppo in cui ogni sottogruppo è fattore diretto. Si mostri che I] ogni sottogruppo di G gode della stessa proprietà; II] G è abeliano; III] G non possiede elementi di periodo infinito o quadrato di primo e quindi ogni elemento di G, diverso dall’unità, ha periodo primo o prodotto di primi distinti; IV] per ogni primo p l’insieme Hp = {x ∈ G|xp = 1G } è un sottogruppo di G e G = Xp∈P Hp (dove P indica l’insieme dei numeri primi). ? Esercizio 6. Un gruppo G sia prodotto diretto di due suoi sottogruppi A e B; il gruppo quoziente G/A è isomorfo a B .

1.2. Somma diretta di ideali. Definizione. Se {Hλ }λ∈Λ è una famiglia di ideali destri (sinistri, bilateri) di un anello (A; +, ·), si dice che A ` e somma diretta degli ideali Hλ se il gruppo additivo (A; +) è 124

“prodotto diretto” (come definito in 1.1) dei sottogruppi (Hλ ; +). L In tal caso si scrive A = λ∈Λ Hλ . Questa notazione è giustificata dalle Proposizioni che seguono e che si verificano facilmente. Proposizione 1.2.1. Sia {(Aλ ; +, ·)}λ∈Λ una ©famiglia di anelli; sia A =Drλ∈Λ ª Aλ (cfr. IV, Proposizione 9.1.2). Per ogni µ ∈ Λ sia Hµ = {aλ }λ∈Λ ∈ A |L aλ = 0 per λ 6= µ ; ogni Hµ ` e un ideale bilatero dell’anello A, isomorfo all’anello Aµ , e A = µ∈Λ Hµ . Proposizione 1.2.2. Sia {Hλ }λ∈Λ una famiglia di ideali bilateri di un anello (A; +, ·) L tali che sia A = λ∈Λ Hλ ; l’anello A è isomorfo alla somma diretta discreta degli anelli (Hλ ; +, ·). Esempio. Nell’anello Matn (A) delle matrici quadrate di ordine n ad elementi in un anello A, per ogni r = 1, 2, . . . , n si©considerino l’ideale sinistro ª Hr = (aij ) | aij = 0 per ogni j 6= r e l’ideale destro © ª Ln Ln Kr = (aij ) | aij = 0 per ogni i 6= r ; è Matn (A) = r=1 Hr = r=1 Kr . Osservazione. Non vale per gli ideali destri o sinistri un enunciato analogo a quello della Proposizione 1.2.2. Come detto nell’Esempio, l’anello Mat2 (Z) è somma diretta degli ideali sinistri H1 e H2 . La somma diretta degli anelli (H1 ; +, ·) e (H2 ; +, ·) ammette come unità destra ogni elemento del tipo ³µ

1 x

0 0

¶ µ 0 , 0

y 1

¶´

e non è quindi isomorfa all’anello Mat2 (Z), che ammette una e una sola unità (bilatera). Esercizio 1. Si consideri l’anello A (commutativo e dotato di unità) costituito dalle coppie ordinate (a, b) con a, b ∈ Z7 , composte con la somma componente per componente e con un prodotto definito da (a, b)(c, d) = (ad + bc, bd + 2ac). Si provi che l’anello A è somma diretta di due suoi ideali propri. Esercizio 2. Sia k ∈ Q; sia (A; +, ·) l’anello costituito dalle coppie ordinate (x, y) ∈ Q×Q rispetto alla somma componente per componente e al prodotto definito da (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 y2 + x2 y1 , y1 y2 + kx1 x2 ) Si mostri quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) possiede unità. II] (A; +, ·) non è un campo se e solo se esiste h ∈ Q tale che k = h2 . III] Se l’anello (A; +, ·) non è un campo, esso è isomorfo all’anello (Q;+,·)⊕(Q;+,·) (somma diretta di anelli)

1.3. Somma diretta di A-sottomoduli e di ideali di un’algebra. Definizione. Se {Wλ }λ∈Λ è una famiglia di A-sottomoduli di un A-modulo (V ; +), si dice che V è somma diretta dei sottomoduli Wλ se il gruppo (V ; +) è “prodotto diretto” dei sottogruppi della famiglia {(Wλ ; +)}λ∈Λ . L In tal caso si scrive V = λ∈Λ Wλ ; la notazione è giustificata dalle Proposizioni che seguono. Proposizione 1.3.1. Sia {(Vλ ; +)}λ∈Λ una famiglia di A-moduli; sia V =Drλ∈Λ © ª Vλ (cfr. IV, Proposizione 9.1.3). Per ogni µ ∈ Λ sia Wµ = L{vλ }λ∈Λ ∈ V | vλ = 0 per λ 6= µ ; ogni Wµ è un A-sottomodulo di V , A-isomorfo a Vµ , e V = µ∈Λ Wµ . Proposizione L 1.3.2. Sia {Wλ }λ∈Λ una famiglia di sottomoduli di un A-modulo (V ; +) tali che sia V = λ∈Λ Wλ ; l’A-modulo V è isomorfo alla somma diretta discreta degli A-moduli (Wλ ; +). 125

Definizione. Se {Wλ }λ∈Λ è una famiglia di ideali sinistri (destri, bilateri) di una Aalgebra (V ; +, ·), si dice che V è somma diretta degli ideali Wλ se l’anello (V ; +, ·) è “somma diretta” degli ideali della famiglia {(Wλ ; +)}λ∈Λ . Esercizio 1. Si stabiliscano per le A-algebre Proposizioni analoghe alle 1.3.1 e 1.3.2.

TEMI VIII. 1. Un gruppo G = A × B sia il prodotto diretto di due suoi sottogruppi ciclici A = hai e B = hbi con |A| = 6 e |B| = 15. I] Si mostri che il gruppo G non è ciclico. II] Posto H = ha2 b5 i, si mostri che il gruppo quoziente G/H è ciclico e se ne determini un generatore. Sugg. I] |G| = 90 e per ogni g ∈ G è g 30 = 1G .

2. Sia (G; ·) un gruppo e sia φ un’applicazione di G in G. Si considerino il prodotto diretto G = G × G e in esso il sottoinsieme H = {(g, φ(g)) | g ∈ G }. Si mostri che H è un sottogruppo di G se e solo se φ è un endomorfismo di G. In tal caso si consideri in G il sottogruppo L = {(g, 1G ) | g ∈ G} e si provi che I] è H ∩ L = h(1G , 1G )i se e solo se φ è iniettiva; II] è HL = G se e solo se φ è suriettiva; III] è G = H × L se e solo se G è abeliano e φ è un automorfismo di G. Sugg. H ∩ L ={(g, 1G ) | g ∈ Ker φ}. HL ={(g1 , φ(g2 ) | g1 , g2 ∈ G}.

3. Siano (G; ·) un gruppo, H un suo sottogruppo normale, π : G −→

G H

l’omomorfismo naturale. I] Si provi che condizione necessaria affinché H sia fattore diretto di G (ovvero esista in G un sottogruppo G K tale che G = H × K) è che esista un omomorfismo φ : H −→ G tale che φπ = I G . H II] Si mostri che la condizione non è sufficiente considerando, ad esempio, il gruppo simmetrico S3 .

Sugg. I] Se g = hk con h ∈ H, k ∈ K, si ponga φ(Hg) = k.

4. Sia f un endomorfismo di un gruppo (G; ·) e sia N =Ker f . I] Si mostri che f subordina un endomorfismo φ del gruppo G/N definito ponendo φ(gN ) = f (g)N per ogni g ∈ G. II] Si provi che a) φ è suriettivo se e solo se è G = f (G)N ; b) φ è iniettivo se e solo se è h1G i = f (G) ∩ N . III] Si osservi che se G = f (G) × N , allora φ è un automorfismo di G/N ; si mostri che φ può essere un automorfismo di G/N senza che G sia il prodotto diretto di f (G) e N . Sugg. III] G = S3 .

5. Nell’anello delle matrici quadrate di½ordine 2µ ad elementi in Z20 si¾consideri il sottoinsieme ¶ A=

σa,b =

a b 0 5a

: a, b ∈ Z20

Si verifichi quanto segue. I] A è un anello finito rispetto alla somma e al prodotto di matrici (righe per colonne) e l’elemento σ1,0 è unità sinistra, ma non destra di A. II] Non esiste in A alcun ideale destro proprio a cui appartiene σ1,0 , mentre esiste in A uno ed un solo ideale sinistro proprio I a cui appartiene σ1,0 . Si verifichi che I ha ordine 24 · 5. III] Esistono in A pi` u ideali sinistri propri S tale che sia A = I ⊕ S (somma diretta di ideali). IV] Esiste in A uno ed un solo ideale destro proprio D tale che il gruppo additivo (A; +) sia somma diretta dei sottogruppi (I; +) e (D; +). 126

nµ

¶

o | a, b ∈ Z20 µ 4x III] |A| = 202 , |S| = 5 S = h 0 ¶ nµ o 0 4y IV] D = | y ∈ Z20 . 0 0

Sugg. II] I =

a 0

5b 5a

¶ 4y i con x, y ∈ Z20 e 4y 6= [0]20 0

6. Sia (G; ·) è il gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli; sia (A; +, ·) l’anello costituito dalle coppie (g, n) con g ∈ G e n ∈ Z rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite come segue: (g1 , n1 ) + (g2 , n2 ) = (g1 g2 , n1 + n2 ) (g1 , n1 ) · (g2 , n2 ) = (g1n2 g2n1 , n1 n2 ). Si provi quanto segue. I] L’insieme I, costituito dallo zero e dai divisori dello zero dell’anello A, è un ideale di A; l’ideale I è massimale e l’anello quoziente A/I è un campo. Si determini l’ordine del campo A/I. II] Esiste qualche ideale proprio J di A tale che I + J = A, ma non esiste alcun ideale proprio J di A tale che I ⊕ J = A. Sugg. I] I = {(g, 2k) | g ∈ G, k ∈ Z }; |A/I| = 2. II] A = I + h(1, −1)i. Per ogni (g, n) ∈ A è (g, n)(1, 2) ∈ I ∩ h(g, n)i.

7. Si consideri l’anello A (commutativo e dotato di unità) costituito dalle coppie ordinate (a, b) con a, b ∈ Z7 , composte con la somma componente per componente e con un prodotto definito da (a, b)(c, d) = (ad + bc, bd + 2ac). Si provi che l’anello A è isomorfo alla somma diretta esterna Z7 ⊕Z7 . Sugg. Proposizione 1.2.1 e Proposizione 1.2.2. (A; +, ·) ' Z7 ⊕ Z7 se e solo se A = I ⊕ J con I e J ideali di A isomorfi a Z7 ; +, ·).

8. Sia p un numero primo. Si consideri l’anello (A; +, ·) con A = {(a, b) | a, b ∈ Zp} (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ad + bc, bd − ac) Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’anello (A; +, ·) è somma diretta di due suoi ideali propri; ii) è p ≡ 1 (mod 4); iii) il polinomio x2 + 1 ∈ Zp [x] è riducibile e p 6= 2.

9. Si consideri l’anello di polinomi (R[x]; +, ·) e in esso l’ideale principale I[x] = hx2 − 2i. I] Si mostri che un elemento I[x] + f (x) dell’anello quoziente (R[x]/I[x]; +, ·) è unitario se e solo se è M.C.D.(f (x), x2 − 2) = 1. II] Si provi che l’anello quoziente (R[x]/I[x]; +, · ) è somma diretta di due suoi ideali propri, entrambi isomorfi al campo (R; +,· ), ed è quindi isomorfo alla somma diretta esterna (R ⊕ R; + , ·).

10. Sia (K; +, ·) un campo; sia (A; +, •) l’anello costituito da A = { (x, y) | x, y ∈ K} rispetto alle operazioni + e • definite da (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (x1 , y1 ) • (x2 , y2 ) = (x1 (x2 + y2 ), y1 (x2 + y2 )) I] Posto I = { (k, −k) | k ∈ K}, si mostri che I è un ideale bilatero dell’anello (A; +, •) e che l’anello quoziente (A/I; +, •) è isomorfo al campo (K; +, ·). II] Si consideri un elemento (x, y) ∈ A con (x, y) 6∈ I. Detto D l’ideale destro di (A; +, •) generato da (x, y), si provi che l’anello (A; +, •) è la somma diretta degli ideali destri I e D. Si mostri che l’ideale sinistro di (A; +, •) generato da (x, y) coincide con A.

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IX. ELEMENTI DI TEORIA DEI CAMPI.

1 1.1. Estensioni di campi. Chiusura algebrica di un campo. Definizione. Se K è un sottocampo di un campo F , si dice che F è una estensione o ampliamento di K . Pi` u in generale si dice che un campo F è un’estensione di un campo K se F contiene un sottocampo K isomorfo a K ; in tal caso si identificano K e K . L’estensione F di K (meglio, il gruppo additivo (F ; +))pu` o essere vista come spazio vettoriale su K ; la “dimensione” di F su K viene detta grado dell’estensione e indicata con [F : K] o con dimK F . Se [F : K] è finito, si dice che F è un’estensione di K di grado finito o, pi´ u brevemente, che F è un’estensione finita di K . Ad esempio [C :R ]=2, [R :Q ]=∞. Il concetto di base di uno spazio vettoriale permette di dedurre le proposizioni che seguono. Proposizione 1.1.1. Ogni campo finito K è un’estensione finita del suo sottocorpo minimo K0 ; se [K : K0 ] = n allora |K| = pn , dove p =car K .(cfr. VI, Proposizione 3.2.3) L’ordine di K è uguale al numero delle n-ple ordinate di elementi di K0 e |K0 | =car K = p.

Proposizione 1.1.2. Siano F un’estensione finita di un campo K e K un’estensione finita di un campo H ; allora F è un’estensione finita di H e [F : H] = [F : K][K : H]. Siano [F : K] = r e [K : H] = s; siano {v1 , . . . , vr } una base di F su K e {w1 , . . . , ws } una base di K su H. Per ogni f ∈ F esistono k1 , . . . , kr ∈ K tali che f = k1 v1 + · · · + kr vr e per ogni ki esistono hi1 , . . . , his ∈ HPtali P che ki = hi1 w1 + · · · + his ws ; ne segue r s f = i=1 j=1 hij (wj vi ). L’insieme {wj vi | i = 1, . . . , r; j = 1, . . . , s} è quindi un sistema di generatori per lo spazio vettoriale (F ; +) sul campo H; si verifica facilmente che è una base e si ottiene la tesi.

Definizione. Sia F un’estensione di un campo K . Un elemento a ∈ F è algebrico su K se esiste f (x) ∈ K[x]\{0} tale che f (a) = 0; altrimenti si dice che l’elemento a è trascendente √ rispetto a K . Ad esempio 2 ∈ R è algebrico su Q, π, e ∈ R (e molti altri!) sono trascendenti rispetto a Q (Lindemann 1882, Hermite 1873). Si osservi che, poich´ e Q è numerabile, è numerabile anche Q[x]; ne segue che l’insieme dei numeri reali algebrici su Q è numerabile e quindi l’insieme dei numeri reali trascendenti rispetto a Q ha la potenza del continuo. Definizione. Si dice che F è un’estensione algebrica di un campo K se ogni elemento di F è algebrico su K ; altrimenti si dice che F è un’estensione trascendente di K . Esempio. Il campo complesso C è estensione algebrica del campo reale R. Proposizione 1.1.3. Ogni estensione finita è algebrica. Sia F un’estensione finita di un campo K; sia [F : K] = n. Per ogni a ∈ F gli elementi 1, a, a2 , . . . , an sono linearmente dipendenti su K (poiché sono in numero maggiore di n =dimK F ); esistono pertanto k0 , k1 , . . . , kn ∈ K non tutti nulli, 128

tali che k0 + k1 a + · · · + kn an = 0. L’elemento a è quindi radice del polinomio non nullo k0 + k1 x + · · · + kn xn ∈ K[x].

Caso particolare. Sia K un campo. 1) il campo dei quozienti K(x) di K[x] (cfr. V, 1.3) è un’estensione trascendente di K ; 2) se f (x) è un polinomio irriducibile di K[x] di grado n, il campo F = K[x]/hf (x)i (cfr.VI, 4.3) è un’estensione di K di grado n (e quindi algebrica). 1) K è isomorfo al sottoanello di K[x] (e quindi di K(x)) costituito dallo zero e dai polinomi di grado zero. 2) K è isomorfo al sottoanello di F costituito dai laterali hf (x)i + k con k ∈ K. I laterali hf (x)i + 1, hf (x)i + x, . . . , hf (x)i + xn−1 costituiscono una base per (F ; +) su K.

Ricordiamo che un campo F viene detto algebricamente chiuso se ogni polinomio f (x) ∈ F [x], avente grado maggiore di zero, si spezza in F [x] in prodotto di fattori lineari, ovvero se la somma delle molteplicità delle radici di f (x) è uguale al grado di f (x). (Il Teorema 5.5.15 in IV ci dice che C è un campo algebricamente chiuso.) Esercizio 2. Un campo finito non è algebricamente chiuso.

Definizione. Sia K un campo; si chiama chiusura algebrica di K un’estensione F di K che sia algebrica e algebricamente chiusa. Sussiste il seguente Teorema, di cui omettiamo la dimostrazione. Teorema 1.1.4. Per ogni campo K esiste una e (a meno di isomorfismi) una sola chiusura algebrica. 1.2. Estensione semplice. Definizione. Sia K un sottocampo di un campo F ; sia a ∈ F . Si chiama estensione semplice di K mediante l’elemento a - e la si indica con K(a) - il minimo sottocampo di F che contiene K e a. L’insieme K[a] = {f (a) | f (x) ∈ K[x]}

è il minimo sottoanello di F che contiene K e a; pertanto (cfr. 6.3) K(a) è il campo dei quozienti di K[a] in F , ovvero K(a) = {f (a)g(a)−1 | f (x), g(x) ∈ K[x], g(a) 6= 0}.

Proposizione 1.2.1. Sia K un sottocampo di un campo F ; sia a ∈ F . 1] Se a è trascendente rispetto a K , l’anello K[a] è isomorfo all’anello K[x] e quindi il campo K(a) è isomorfo al campo K(x) (campo dei quozienti di K[x]). 2] Se a è algebrico su K , allora i) i polinomi di K[x], che ammettono a come radice, costituiscono un ideale I[x] di K[x], generato da un polinomio m(x) irriducibile in K[x] (e ovviamente di grado minimo in I[x]; il polinomio monico associato a m(x) viene detto polinomio minimo di a su K ); ii) è K(a) = K[a]; iii) il campo K(a) è isomorfo al campo K[x]/hm(x)i ed è quindi un’estensione di K di grado n =deg m(x). L’applicazione φ : K[x] → K[a], definita ponendo φ(f (x)) = f (a) per ogni f (x) ∈ K[x], è un omomorfismo e Ker φ = {f (x) ∈ K[x] | f (a) = 0}. L’anello K[a] è isomorfo all’anello quoziente K[x]/Ker φ per VII, Proposizione 2.1.4. 1] Se a è trascendente rispetto a K, è Ker φ = h0i e l’anello K[a] è isomorfo al dominio d’integrità K[x]; pertanto K(a) è isomorfo al campo K(x) delle funzioni razionali in x su K. (cfr. VI, Proposizione 3.3.2) 129

2] Se a è algebrico su K, è Ker φ = hm(x)i con 0 6= m(x) ∈ K[x] di grado minimo in Ker φ.(cfr. VI Proposizione 4.2.1). Il polinomio m(x) è irriducibile in K[x]. Infatti se m(x) fosse riducibile, sarebbe m(x) = r(x)s(x) con deg r(x)
Corollario 1.2.2. Ogni campo finito K è un’estensione semplice del suo sottocorpo minimo (ovvero di Zp ) ed è quindi isomorfo ad un campo di Galois (cfr. VI, Corollario 4.3.3). Il gruppo moltiplicativo (K\{0}; ·) è ciclico (cfr. VI, 2.2 Esercizio 7); detto k un suo generatore, K è l’estensione (finita) del suo sottocorpo minimo h1K i mediante k. L’elemento k è algebrico per la Proposizione 1.1.3 e la tesi deriva dalla Proposizione 1.2.1, 2], iii)). Esercizio 1. Si consideri il campo (F ; +, ·), dove F = {(a, b) | a, b ∈ Q } e le operazioni di somma e prodotto sono definite come segue: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − 4bd, bc + ad + 2bd) I] Si verifichi che K = {(a, 0) | a ∈ Q} è un sottocampo di (F ; +, ·) e (F ; +, ·) è un’estensione finita e semplice di (K; +, ·). II] Scelto α ∈ F tale che F sia l’estensione di K mediante α, si determini il polinomio minimo di α.

Proposizione 1.2.3. Siano K1 e K2 due campi e φ : K1 → K2 un isomorfismo; siano F1 e F2 estensioni rispettivamente di K1 e K2 . L’applicazione ψ : K1 [x] → K2 [x] definita ponendo ψ(kn xn + · · · + k1 x + k0 ) = φ(kn )xn + · · · + φ(k1 )x + φ(k0 ) è isomorfismo; se g1 (x) è un polinomio irriducibile di K1 [x], g2 (x) = ψ(g1 (x)) è un polinomio irriducibile di K2 [x]. Dette a1 una radice di g1 (x) in un’estensione F1 di K1 e a2 una radice di g2 (x) in un’estensione F2 di K2 , le estensioni K1 (a1 ) e K2 (a2 ) sono isomorfe. Detto π l’omomorfismo naturale di K2 [x] su K2 [x]/hg2 (x)i (cfr. VII, Proposizione 2.1.5), il prodotto ψπ è un omomorfismo suriettivo da K1 [x] a K2 [x]/hg2 (x)i e Ker (ψπ) = = hg1 (x)i. Ne segue K1 (a1 ) = K1 [a1 ] ' K1 [x]/hg1 (x)i ' K2 [x]/hg2 (x)i ' K2 [a2 ] = K2 (a2 ).

Sia K ⊆ F e siano a1 , . . . , ar ∈ F ; il minimo sottocampo di F , che contiene K e gli elementi a1 , . . . , ar viene detto “estensione di K mediante a1 , . . . , ar ” e viene indicato con K(a1 , . . . , ar ). Posto K0 = K, Ki = Ki−1 (ai ) per i = 1, . . . , r, è Kr = K(a1 , . . . , ar ); pertanto l’estensione K(a1 , . . . , ar ) pu` o essere ottenuta attraverso successive estensioni semplici. Dalle Proposizioni 1.1.2 e 1.2.1 si deduce che, se gli elementi a1 , . . . , ar sono algebrici su K , allora K(a1 , . . . , ar ) ` e un’estensione finita (e quindi algebrica) di K . Proposizione 1.2.4. Sia K un sottocampo di un campo F ; gli elementi di F , algebrici su K , costituiscono un sottocampo di F , che contiene K . Se a, b ∈ F sono algebrici su K, K(a, b) è un’estensione algebrica di K a cui appartengono a − b e ab; pertanto a − b e ab sono algebrici su K. Se a 6= 0 e kn an + kn−1 an−1 + · · · + k1 a + k0 = 0, allora kn + kn−1 a−1 + · · · + k1 (a−1 )n−1 + k0 (a−1 )n = 0 e a−1 è algebrico su K. √ √ √ √ Esercizio 1. Si√verifichi √ che coincidono le estensioni Q( 2, 3) e Q( 2 + 3); si determini il polinomio minimo di a = 2 + 3 sul campo Q.

130

2 2.1. Campo di spezzamento di un polinomio. Definizione. Sia K un campo e sia f (x) ∈ K[x]; si chiama campo di spezzamento o campo di scomposizione di f (x) rispetto a K un campo F tale che i) F sia un’estensione di K ; ii) f (x) si spezzi in F [x] in prodotto di fattori lineari; iii) F sia l’estensione di K in F mediante le radici in F di f (x). Un campo di spezzamento di f (x) rispetto a K è dunque minimale nella famiglia delle estensioni di K , in cui f (x) si spezza in prodotto di fattori lineari. Proposizione 2.1.1. Sia (K; +, ·) un campo. 1] Ogni polinomio g(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ K[x], irriducibile in K[x], ammette radici nel campo F = K[x]/hg(x)i. 2] Ogni polinomio f (x) ∈ K[x] (non nullo e avente grado maggiore di zero) ammette campo di spezzamento rispetto a K . 3] Il campo di spezzamento di f (x) rispetto a K è unico, a meno di isomorfismi. 1] Identificato F con il campo H = {k0 + k1 t + · · · + kn−1 tn−1 | ki ∈ K} introdotto in VI, 4.3 Osservazione 3, è K ⊆ H e quindi K[x] ⊆ H[x]; l’elemento t ∈ H è radice del polinomio g(x) ∈ H[x]. 2] Proviamo anzitutto, facendo induzione sul grado, che esiste un’estensione F ? di K tale che f (x) si spezza in prodotto di fattori lineari in F ? [x]. Sia g(x) un fattore irriducibile di f (x); f (x) ha una radice α ∈ F = K[x]/hg(x)i ( come detto sopra, α = hg(x)i + x). Pertanto si potrà scrivere f (x) = (x − α)f1 (x) con f1 (x) ∈ F [x] e deg f1 (x) 1; siano g(x) = ψ(g(x)) e f (x) = ψ(f (x)). Se a ∈ E è una radice di g(x) e a ∈ E è una radice di g(x), allora le estensioni K(a) e K(a) sono isomorfe per la Proposizione 1.2.3 e [K(a) : K] =deg g(x) > 1. Per la Proposizione 1.1.2 è [E : K(a)] < [E : K]; E ed E sono campi di spezzamento di f (x) rispetto a K(a) e per l’ipotesi di induzione sono pertanto isomorfi.

Esempio. Si consideri il polinomio f (x) = x2 + 1 ∈ K[x] (dove 1 indica l’unit` a di K ); sia E il campo di spezzamento di f (x) rispetto a K : per K =Z5 è E =Z5 , per K =Z3 è E = GF (32 ), per K =Q è E = {a + ib|a, b ∈ Q }, per K =R è E =C. Esercizio 1. Se f (x) ∈ R[x] è un polinomio irriducibile di grado 2, il campo di spezzamento di f (x) rispetto ad R è isomorfo al campo complesso C. Esercizio 2. Si considerino in K[x] i polinomi f (x) = x4 − 1, g(x) = x5 − 1, h(x) = x4 − x2 − 2. Nei casi K =Q, Z3 , Z5 si determini per ciascuno dei tre polinomi il campo di spezzamento F rispetto a K e si determini [F : K]. Si mostri che, se K 6= F , esiste a ∈ F tale che F è l’estensione semplice di K mediante l’elemento a; si determini il polinomio minimo di a rispetto a K.

131

2.2. Campi finiti. Abbiamo ricordato all’inizio di questo paragrafo che l’ordine di un campo finito K è potenza di un numero primo p (p =car K ); inoltre, se |K| = pn , K è campo di spezzamento n del polinomio xp − x ∈ K0 rispetto al sottocorpo minimo K0 di K . (cfr. VI, 2.2 Esercizio 7.) La Proposizione 2.1.1 permette di provare quanto segue. Proposizione 2.2.1. Per ogni primo p e per ogni intero positivo n esiste uno ed un solo (a meno di isomorfismi) campo di ordine pn . Proviamo l’esistenza di un campo di ordine pn . n Consideriamo f (x) = xp − x ∈ Zp [x]; siano E un campo di spezzamento di f (x) rispetto a Zp e R = {a ∈ E |f (a) = 0}. Tenendo presente la Proposizione 3.2.4 in VI si prova che R è un sottocampo di E; per il Teorema 5.5.12 in IV è |R| ≤ pn . Essendo f 0 (x) = −1, ogni radice di f (x) ha molteplicità 1 (cfr.IV, Proposizione 5.5.8) e quindi |R| = pn . n L’unicità segue dall’unicità del campo di spezzamento del polinomio f (x) = xp − x rispetto al campo Zp .

La Proposizione 2.2.1 giustifica il fatto che con il termine “campo di Galois di ordine pn ” si indichi un qualunque campo di ordine pn . Diamo ora alcune proprietà dei campi finiti. Anzitutto ricordiamo che se (K; +, ·) è un campo finito, il gruppo moltiplicativo (K\{0K }; ·) è ciclico (cfr. VI, 2.2 Esercizio 7). Proposizione 2.2.2. Sia (K; +, ·) un campo di ordine pn (p primo). 1) Se H è un sottocampo di K , allora |H| = pr , dove r è un divisore di n. 2) Per ogni divisore r di n, maggiore di 1, resiste in K uno ed un solo sottocampo H di ordine pr ; precisamente è H = {h ∈ K | hp = h }. 1) Il campo K è estensione finita di H e H è estensione finita del campo Zp ; essendo [K :Zp ] = n e [H :Zp ] = r, posto [K : H] = s, per la Proposizione 1.1.2 si ha n = rs. r 2) Posto H = {h ∈ K | hp = h}, si verifica che H è un sottocampo di K (ci si valga di r VI, Proposizione 3.2.4); poché ogni elemento di H è radice del polinomio xp − x ∈ K[x], è r |H| ≤ p . Posto n = rs, è pn − 1 = (pr − 1)(1 + pr + p2r + · · · + pr(s−1) ); allora nel gruppo (K\{0K }; ·) esiste un sottogruppo S di ordine pr −1 (cfr. VII, Proposizione r r 1.1.6). Per ogni s ∈ S sarà sp −1 = 1K e quindi sp = s; pertanto S ⊆ H e quindi |H| = pr . Se H è un sottocampo di K di ordine pr , per ogni h ∈ H è h

pr

= h e pertanto H = H.

? Esercizio 1. Si provi che se (K; +, ·) è un campo finito, per ogni intero positivo r esiste in K[x] un polinomio f (x) irriducibile di grado r.

In VI,3.2 Esercizio 4 abbiamo mostrato che un campo K di ordine pn possiede almeno n automorfismi distinti f1 , f2 , . . . fn = I , che costituiscono un gruppo ciclico di ordine n generato dall’automorfismo (detto di Frobenius) f1 definito da f1 (k) = kp per ogni k ∈ K . Possiamo ora provare che questi sono i soli automorfismi del campo K . Proposizione 2.2.3. Un campo (K; +, ·) di ordine pn (p primo) possiede esattamente n automorfismi. Osserviamo anzitutto che il campo (Zp ; +, ·) possiede solo l’automorfismo identico, Infatti se φ è un automorfismo di (Zp ; +, ·), è φ([1]p ) = [1]p poiché [1]p è l’unità del campo; ne segue φ([s]p ) = φ(s[1]p ) = sφ([1]p ) = [s]p per ogni s ∈ Z. Il sottocorpo minimo K0 di K è l’unico sottocorpo di K di ordine p; pertanto per ogni automorfismo φ di K sarà φ(K0 ) = K0 e quindi, per quanto detto sopra, φ(k) = k per ogni k ∈ K0 . Il gruppo (K\{0K }; ·) è ciclico; detto a un suo generatore, l’automorfismo φ è completamente determinato da φ(a). Il campo K è estensione finita (e quindi algebrica) di K0 mediante l’elemento a; poiché [K : K0 ] = n, l’elemento a sarà radice di un polinomio α(x) ∈ K0 [x] irriducibile, di grado n. 132

Se α(x) = kn xn + · · · + k1 x + k0 ∈ K0 [x], da 0K = kn an + · · · + k1 a + k0 segue 0K = φ(kn an + · + k1 x + k0 ) = kn φ(a)n + · + k1 φ(a) + k0 e pertanto φ(a) è radice di α(x). Poiché α(x) possiede al pi` u n radici distinte, il campo K possiede al pi` u n automorfismi. Segue la tesi.

TEMI IX. 1. Si consideri il polinomio f (x) = x3 + ax + 1 ∈ Z3 [x]. Per ogni a ∈ Z3 si determini l’ordine del campo di scomposizione di f (x) rispetto a Z3 . Sugg. f (x) = x3 − x + 1 è irriducibile in Z3 [x]. Sia H = {at2 + bt + c | a, b, c ∈ Z3 } come in VI, 4.3 Osservazione 3; f (x) = (x − t)(x − t − 1)(x − t + 1) ∈ H[x].

2. Si consideri il polinomio f (x) = x4 + x2 + a ∈ Z7 [x]. Si provi che I] per a 6= [3]7 , [6]7 il campo di scomposizione di f (x) rispetto a Z7 ha ordine ≤ 72 ; II] per a = [3]7 o per a = [6]7 il campo di scomposizione di f (x) rispetto a Z7 ha ordine 74 . (Pu` o essere utile osservare che il polinomio g(x) = x14 + x2 + 1 è divisibile per f (x).) Sugg. II] Per a=3, f (x) è irriducibile in Z7 [x]. Posto H = {at3 + bt2 + ct + d | a, b, c, d ∈ Z7 } (cfr. VI, 4.3 Osservazione 3) si ha f (x) = (x − t)(x + t)(x2 + t2 + 1) e x2 + t2 + 1 ∈ H[x] ammette come radice t7 = −2t3 + t ∈ H.

3. Si provi che un campo (K; +, ·) di ordine p4 (p primo) possiede uno ed un solo sottocampo H1 di

ordine p e uno ed un solo sottocampo H2 di ordine p2 , mentre non possiede alcun sottocampo di ordine p3 . Per p = 3 si scelga un campo (K; +, ·) e in esso si determinino gli elementi dei sottocampi H1 e H2 . √

4. Si consideri l’estensione Q( 3, i) del campo razionale Q nel campo complesso C e se ne determini il grado rispetto a √ Q. √ √ Si mostri che Q( 3, i) coincide con l’estensione √ √ semplice Q(1 + i + 3 + i 3) e si determini un polinomio irriducibile f (x) ∈ Q[x] di cui (1 + i + 3 + i 3) è radice.

5. Si consideri il campo (F ; +, ·), dove F = {(a, b) | a, b ∈ Q } e le operazioni di somma e prodotto sono definite come segue: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − 4bd, bc + ad + 2bd) I] Si verifichi che K = {(a0, 0) | a ∈ Q} è un sottocampo di (F ; +, ·) e (F ; +, ·) è un’estensione finita e semplice di (K; +, ·). II] Scelto α ∈ F tale che F sia l’estensione di K mediante α, si determini il polinomio minimo di α.

6. Sia K = {(a, b) | a, b ∈ Q}; si consideri il campo (K; +, ·) dove (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − 6b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 + 4b1 b2 ) I] Si determini il sottocorpo minimo K0 di (K; +, ·). II] Si mostri che il campo (K; +, ·) è un’estensione finita e semplice di (K0 ; +, ·). III] Scelto α ∈ K tale che sia K = K0 (α) (estensione di K0 mediante α), si determini il polinomio minimo di α rispetto a K0 .

133

INDICE ANALITICO

algebra 48, 54,55 . . . . . . con divisione 48 . . . . . . gruppo 49 . . . . . . , Teorema fondamentale dell’ 40 algebricamente chiuso, campo 129 algebrico, elemento 128 algoritmo euclideo 6, 37 ampliamento 128 anello 30 applicazione 16 . . . . . . biiettiva 16

cinese, teorema 10, 47 classi di resti 10, 34 complemento 53 completo, prodotto diretto 59 componente primaria 124 congruenza 71 . . . . . . mod n 10 controimmagine 16 coprimi 6, 37 corpo 31

...... ...... ...... ......

identica 16 iniettiva 16 inversa 17 suriettiva 16 associati, elementi 41 . . . . . . , polinomi 38 automorfismo 56

Dedekind, reticolo di 54 derivata 39 direttivo, coefficiente 35 discreto, prodotto diretto 59 divisioni successive, algoritmo delle 6, 37 divisore dello zero 32 dominio ad ideali principali 109 . . . . . . a fattorizzazione unica 42

Bézout, identit` a di 6 Boole, algebra di 54 . . . . . . , anello di 54

. . . . . . d’integrit` a 33 . . . . . . euclideo 110

. . . . . . , reticolo di 54

Eisenstein, criterio di 46 endomorfismo 83

campo 31 . . . . . . algebricamente chiuso 129 . . . . . . dei quozienti 72 . . . . . . di Galois 109 . . . . . . di scomposizione 131 . . . . . . di spezzamento 131 . . . . . . finito 34, 132 caratteristica di un elemento 101 . . . . . . di un anello 102 cancellazione, legge di 32 cartesiano, prodotto 59 catena 11

epimorfismo 83 equivalenza 9 estensione 128 . . . . . . algebrica 128 . . . . . . finita 128 . . . . . . semplice 129 trascendente 128 estremo inferiore 12 . . . . . . superiore 12 Eulero, funzione di 10 . . . . . . , teorema di 10

. . . . . . , condizione della 42

Fermat, teorema di 10 Frobenius, automorfismo di 132 funzione polinomiale 36

chiusura algebrica 129 ciclico, gruppo 96 . . . . . . , sottogruppo 95

Galois, campo di 109 Gauss, interi di 42 gaussiano, anello 42

Cayleyano 58 centralizzante 29 centro 29

134

generato, sottoanello 101 . . . . . . , sottocorpo 104 . . . . . . , sottogruppo 95 . . . . . . , sottomodulo 106 . . . . . ., sottosemigruppo 94 grado di un’estensione 128 . . . . . . di un polinomio 35 gruppo 26 . . . . . . abeliano 26 ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

alterno 28 dei quaternioni 76 di trasformazioni 29 generale lineare 31 proiettivo generale lineare 85 proiettivo speciale lineare 85 semplice 76 simmetrico 26 speciale lineare 84

maggiorante 11 massimale, elemento 11 massimale, ideale 87 massimo 11 . . . . . . comun divisore 6, 37, 41 . . . . . . minorante 12 matrice 31 minimale 11 minimo 11 . . . . . . maggiorante 12 modulare, reticolo 54 modulo 48 molteplicit` a 38, 40 monico, polinomio 38 monoide 24 monomorfismo 83 neutro, elemento 24

Hamilton, quaternioni di 32, 57

normale, sottogruppo 75 normalizzante 75

ideale 50 . . . . . . bilatero 50 . . . . . . massimale 87 . . . . . . primo 87 . . . . . . principale 107 identit` a di Bézout 6

nucleo 84, 86, 89 numeri interi 5, 71 . . . . . . naturali 5 . . . . . . primi 7 numeri razionali 72

. . . . . . , principio di 40

omomorfa, immagine 85, 87, 89 omomorfismo . . . . . . di anelli 86 . . . . . . di gruppi 83 . . . . . . di moduli 89 . . . . . . naturale 85, 87, 89 . . . . . . nullo 83, 86 opposto, elemento 36 ordinato, insieme 11 ordine di un elemento 95 . . . . . . di un gruppo 26

isomorfismo 56

partizione 9 periodo 95

Lagrange, polinomi interpolatori di 47 . . . . . . , teorema di 74 laterale 73 legge di cancellazione 32 . . . . . . di composizione 21 . . . . . . di semplificazione 28 libero, gruppo abeliano 59 . . . . . . , modulo 60

permutabili, sottogruppi 99 PID109 polinomio 35 . . . . . . interpolatore 47 . . . . . . irriducibile 38 . . . . . . minimo 129 . . . . . . primitivo 44 primo, elemento 41

immagine 16 . . . . . . omomorfa 85, 87, 89 immersione 72 indice di un sottogruppo 74 induzione, principio di 5 interi di Gauss 42 interpolazione di Lagrange 47 inverso, elemento 25 invertibile, elemento 31 irriducibile, elemento 41 . . . . . . , polinomio 38

135

primo, numero 7 principio del minimo 6 . . . . . . di identit` a dei polinomi 40 . . . . . . di induzione 5 prodotto cartesiano 59 . . . . . . di applicazioni 17 . . . . . . diretto di gruppi 59 . . . . . . diretto di sottogruppi 123 . . . . . . di sottogruppi 99 propriet` a antisimmetrica 8 . . . . . . associativa 22 . . . . . . commutativa 21 . . . . . . distributiva 30 . . . . . . riflessiva 8 . . . . . . simmetrica 8 . . . . . . transitiva 8

Ruffini, teorema di 39 semigruppo 22 semplice, estensione 129 . . . . . . , gruppo 76 semplificazione, legge di 28 somma diretta . . . . . . di anelli 60 . . . . . . di ideali 124 . . . . . . di moduli 60 . . . . . . di sottomoduli 125 sottoanello 33 . . . . . . fondamentale 101 sottocorpo 33 . . . . . . minimo 34 sottogruppo 28 . . . . . . ciclico 95 . . . . . . normale 75

quaternioni, corpo dei 32, 57 . . . . . . , gruppo dei 76 quoziente . . . . . . e resto 6 . . . . . . , anello 77 . . . . . . , gruppo 76 . . . . . . , modulo 79

sottomodulo 49 sottoreticolo 55 sottosemigruppo 23 spazio vettoriale 48 spezzamento, campo di 131 struttura algebrica 21

. . . . . . , insieme 9 . . . . . . , struttura 71

tavola di composizione 21 totale,ordinamento 11 trirettangolo, gruppo 98

radice di un polinomio 39 relazione 8 . . . . . . di equivalenza 9 . . . . . . di ordine 11 reticolo 12 . . . . . . di Boole 54

UFD 42 unione gruppale 98 unit` a 26, 31 unitario, elemento 31

. . . . . . distributivo 53 . . . . . . duale 53

Wedderburn, teorema di 32

. . . . . . modulare 54

zero-anello 33 Zorn, lemma di 11

retroimmagine 16

136

TEMI D’ESAME

137

138

gennaio 2003 ALGEBRA I 1. Sia k ∈ Z fisso. Nell’insieme S = { (a, b) | a, b ∈ Z} si consideri la relazione ∼ definita ponendo (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) se e solo se è b2 − b1 = k(a2 − a1 ) I] Si verifichi che ∼ è una relazione di equivalenza in S. Si rappresentino graficamente in un piano cartesiano le classi di equivalenza. Si mostri che ogni classe di equivalenza di ∼ è infinita e che l’insieme quoziente S/ ∼ è infinito. II] Si definisca in S una relazione σ ponendo (a1 , b1 ) σ (a2 , b2 ) se e solo se è soddisfatta una delle seguenti condizioni: i) (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) e a1 ≤ a2 , ii) (a1 , b1 ) 6∼ (a2 , b2 ) e b1 ≤ b2 , dove ≤ indica l’usuale ordinamento in Z. Si verifichi che la relazione σ è riflessiva per ogni valore del parametro k, antisimmetrica se e solo se è k = 0, transitiva se e solo se è k ≥ 0. 2. Sia

(µ A=

[a]n [0]n

[b]n [c]n

)

¶ : [a]n , [b]n , [c]n ∈ Zn

I] Si verifichi che A è un sottoanello non commutativo, dotato di unità, dell’anello (Mat2 (Zn ); +, ·). II] Detto V l’insieme degli elementi unitari dell’anello (A; +, ·), si provi che (V ; ·) è un gruppo abeliano se e solo se è n = 2. III] Si mostri che gli elementi non nulli e non unitari dell’anello (A; +, ·) sono divisori dello zero. 3. Si consideri il polinomio f (x) = x4 + 5 ∈ Zp [x] (p primo). Si determinino i valori di p per i quali f (x) è divisibile per x − 3 e quelli per i quali f (x) è divisibile per x2 − 3. Per tali valori di p si dia una decomposizione di f (x) in prodotto di polinomi irriducibili in Zp [x]. ALGEBRA II 1. Si consideri il gruppo (G; ·) dove G = { (a, b) | a, b ∈ R, a 6= 0} e (a, b) · (c, d) = (ac, ad + cb ) Sia N = { (1, b) | b ∈ R}. Si provi quanto segue. I] N è un sottogruppo normale di (G; ·) e il gruppo quoziente (G/N ; ·) è abeliano. II] Se H è un sottogruppo proprio di (G; ·), contenuto propriamente in N , H non è normale in (G; ·). III] Se K è un sottogruppo di (G; ·) che contiene N , K è normale in (G; ·). IV] Se S è un sottogruppo normale proprio di (G; ·) che non contiene N , allora è S ∩N = h1G i e sn = ns per ogni s ∈ S e per ogni n ∈ N . Se ne deduca S = h(−1, 0)i = Z(G). 2. Sia (A; +, ·) un anello di caratteristica n > 0. I] Si provi che, se n = rs con r > 1, s > 1 e M.C.D.(r, s) = 1, gli insiemi H = { h ∈ A | rh = 0A } e K = { k ∈ A | sk = 0A } sono ideali bilateri propri dell’anello (A; +, ·) tali che A = H ⊕ K. II] Si mostri con esempi che, se n = pm (p primo), l’anello (A; +, ·) può essere somma diretta di due suoi ideali bilateri propri, ma può anche non esserlo. 139

3. Sia (K; +, ·) un campo; sia f (x) ∈ K[x] con deg f (x) = 3; sia (F ; +, ·) il campo di spezzamento del polinomio f (x) rispetto al campo (K; +, ·). Si provi che [F : K] è un divisore di 6. Per (K; +, ·) = (Z3 ; +, ·) si scelga un polinomio irriducibile f (x) ∈ Z3 [x] con deg f (x) = 3 e si calcoli [F : Z3 ]. febbraio 2003 ALGEBRA I 1. Si considerino le applicazioni f, g : R → R definite da √ f (x) = x2 + 1 per ogni x ∈ R ½√ x2 − x, se x ≤ 0 o x ≥ 1; g(x) = log x, se 0 < x < 1. Si stabilisca se f, g sono iniettive e/o suriettive. Se ne deduca che le applicazioni prodotto f g e gf non sono né iniettive né suriettive. 2. Sia (K; +·) un campo. Sia G = { (a, b) | a, b ∈ K, a 6= 0K } I] Si verifichi che G è un gruppo rispetto al prodotto definito da (a, b) · (c, d) = (ac, ad + cb ) II] Si verifichi che gli insiemi A = { α = (a, 0K ) | a ∈ K, a 6= 0K } B = { β = (1K , b) | b ∈ K} sono sottogruppi abeliani di (G; ·), tali che ogni elemento di G può essere scritto come prodotto di un elemento di A per un elemento di B. III] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (G; ·) è abeliano; ii) per ogni α ∈ A e per ogni β ∈ B è α · β = β · α; iii) è |K| ≤ 3. 3. Sia p un numero primo. Fissato k ∈ Zp si consideri l’insieme (µ ) ¶ a b Ak = : a, b ∈ Zp kb a + b I] Si verifichi che Ak è un sottoanello commutativo dell’anello (Mat2 (Zp ); +, ·). II] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’anello (Ak ; +, ·) è un campo; ii) l’anello (Ak ; +, ·) è privo di divisori dello zero; iii) il polinomio f (x) = x2 + x − k ∈ Zp [x] è irriducibile. III] Si mostri che per ogni primo p esiste qualche valore di k ∈ Zp per il quale l’anello (Ak ; +, ·) è un campo. (Pu` o essere utile considerare l’applicazione φ : Zp → Zp definita ponendo φ(a) = a2 + a per ogni a ∈ Zp e osservare che non è iniettiva.) ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) un gruppo abeliano finito, non ridotto all’unità. Siano H = { h ∈ G : |h| = 2n per qualche n ≥ 0 (n dipendente da h) } K = { g 2 : g ∈ G} T = { t ∈ G : M.C.D.(|t|, 2) = 1} Si verifichi che H, K, T sono sottogruppi di (G; ·) con T ⊆ K. Si mostri che H = h1G i ⇐⇒ K = G ⇐⇒ T = G ⇐⇒ M.C.D.(|G|, 2) = 1 140

K = h1G i =⇒ H = G ⇐⇒ T = h1G i ⇐⇒ |G| = 2r con r ∈ N Si provi che I] è G = H × T ; II] è G = H × K se e solo se il gruppo (G; ·) non possiede elementi di periodo 4. 2. Sia (A; +, ·) un anello commutativo di caratteristica n > 0; sia r ∈ N un divisore proprio di n e sia I = {x ∈ A | rx = 0A } Si mostri che I] I è un ideale proprio di (A; +, ·); II] l’anello quoziente (A/I; +, ·) ha caratteristica n/r; III] se I è un ideale massimale di (A; +, ·), allora n/r è primo; IV] se n/r è primo, l’ideale I può non essere massimale. 3. Sia (K; +, ·) un campo; si consideri in Mat2 (K) il sottoanello ¶ o nµ a b : a, b ∈ K A= −b a − 2b Si provi che l’unica (a meno di isomorfismi) immagine omomorfa propria dell’anello (A; +, ·) è il campo (K; +, ·). aprile 2003 ALGEBRA I 1. Per a ∈ Z sia φ(a) ∈ {0, 1, 2, 3, 4} tale che a − φ(a) ≡ 0 (mod 5). Si definisca in Z una relazione ρ ponendo a ρ b se e solo se a = b oppure φ(a) < φ(b) dove < indica l’usuale ordinamento in Z. I] Si verifichi che ρ è una relazione d’ordine, non totale, in Z. II] Si mostri che (Z, ρ) possiede infiniti elementi massimali e infiniti elementi minimali, ma non possiede né massimo né minimo. III] Si provi che ogni sottoinsieme di Z, totalmente ordinato rispetto alla ρ, è finito e pertanto ammette massimo. IV] (Z, ρ) è un reticolo? 2. Sia (S; ·) un semigruppo in cui valgono le leggi di cancellazione. I] Si provi che, se S è finito, (S; ·) è un gruppo. II] Si mostri con qualche esempio che, se S non è finito, (S; ·) può non essere un gruppo. 3. Si consideri l’anello (A; +, ·) con A = { (a, b) | a, b ∈ Z } (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ad + bc, ac + bd) Si mostri che l’anello (A; +, ·) è commutativo e dotato di unità. Se ne determinino i divisori dello zero e gli elementi unitari. Si verifichi che gli elementi unitari di (A; +, ·) sono tutte e sole le radici in A del polinomio x2 − 1A ∈ A[x]. ALGEBRA II 1. Si consideri il gruppo additivo (Q; + ); sia H un suo sottogruppo proprio. Si provi quanto segue. I] H è infinito e H∩ Z 6= {0}. H può essere finitamente generato, ma anche non esserlo. II] Il gruppo quoziente (Q/H; +) è infinito, periodico (i.e. ogni suo elemento ha periodo finito), non finitamente generato. 2. Si consideri l’anello (A; +, ·) =(Z;+, ·)⊕(Z;+, ·) (somma diretta esterna di anelli). 141

I] Si mostri che ogni ideale I di (A; +, ·) è principale. II] Si provi che, se I = h(r, s)i, l’anello quoziente (A/I; +, ·) è isomorfo alla somma diretta esterna (Zr ; +, ·) ⊕ (Zs ; +, ·) purché si intenda Z0 =Z e Z1 = h0i. III] Si determinino gli ideali massimali dell’anello (A; +, ·). 3. Sia (K; +, ·) un campo tale che il gruppo moltiplicativo (K\{0}; ·) è ciclico. Si provi che I] è car K 6= 0; II] se è (K\{0}; ·) = hai, allora il campo K è estensione del sottocorpo minimo K0 di K mediante l’elemento a e a è algebrico su K0 ; di conseguenza K è finito. giugno 2003 ALGEBRA I 1. Nell’insieme N dei numeri naturali non nulli si definisca una relazione ≤ ponendo a ≤ b se e solo se esiste n ∈ N tale che b = an I] Si mostri che (N, ≤ ) è un insieme ordinato, non totalmente ordinato. II] Si mostri che (N, ≤ ) non possiede né minimo né massimo. III] Si mostri che i numeri primi sono elementi minimali in (N, ≤ ). Esistono elementi minimali del tipo m = pr11 · · · prl l con p1 , . . . , pl primi distinti e l ≥ 2? IV] (N, ≤ ) possiede 0elementi massimali? V] (N, ≤ ) è un reticolo? 2. Nell’anello (Zn ; +, ·) delle classi di resti mod n si consideri il sottoinsieme S = {[2t ]n | t ∈ N0 } I] Si verifichi che (S; ·) è un monoide. II] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (S; ·) è un gruppo; ii) n è dispari; iii) esiste qualche intero positivo r tale che 2r ≡ 1 (mod n) 3. Sia p un numero primo; sia g(x) ∈ Zp [x] irriducibile con deg g(x) < p. Si provi che I] è M.C.D.(g(x), g 0 (x)) = 1 ; II] se f (x) = g(x)r con r intero positivo minore di p, allora g(x)r−1 = M.C.D.(f (x), f 0 (x)). Si mostri che il polinomio f (x) = x6 − x5 + 2x3 − 2x − 1 ∈ Z7 [x] è potenza di un polinomio irriducibile di Z7 [x]. ALGEBRA II 1. Si considerino l’ideale I = hx3 +x2 i dell’anello (Z2 [x]; +, · ) e l’anello quoziente (A; +, ·) =(Z2 [x]/I; +, ·). I] Si mostri che l’ideale I non è massimale. Si determinino gli ideali di (Z2 [x]; +, ·) che contengono propriamente I. II] Si mostri che gli ideali dell’anello (A; +, ·) sono tutti principali, ma che (A; +, ·) non è un dominio ad ideali principali. III] Si determinino gli ideali dell’anello (A; +, ·). Esistono sottogruppi del gruppo additivo (A; +) che non sono ideali dell’anello (A; +, ·)? 2. Si consideri il gruppo (G; ·) con G = { (r, s) | r, s ∈ Z} (r, s) · (h, k) = (r + h, s + (−1)r k). Sia N = h(0, 2)i. Si provi che I] il sottogruppo N è normale in (G; ·) e il gruppo quoziente (G/N ; ·) è abeliano, ma non ciclico; 142

II] se T è un sottogruppo normale di (G; ·) con (G/T ; ·) abeliano, allora è N ⊆ T . 3. Si considerino il gruppo (G; ·) e il suo sottogruppo N presentati nell’Esercizio 2. Si mostri che il gruppo (G; ·) non ammette fattori diretti propri provando che, se G = A × B, allora I] il sottogruppo H = (N ∩ A) × (N ∩ B) è normale in (G; ·) con il gruppo quoziente (G/H; ·) abeliano e pertanto è N = H = (N ∩ A) × (N ∩ B); II] uno dei due sottogruppi N ∩ A o N ∩ B è ridotto all’unità (si noti che il gruppo N è ciclico infinito); supposto N ∩ A = h1G i (e di conseguenza N ⊆ B), il sottogruppo A è necessariamente abeliano e quindi A ⊆ Z(G) ⊂ h(1, 0)i; III] il sottogruppo A è fattore diretto del gruppo h(1, 0)i e di conseguenza è A = h1G i. luglio 2003 ALGEBRA I 1.I] Si consideri la relazione ∼ definita in N0 ponendo a ∼ b se e solo se è a = b oppure a e b sono entrambi pari e non nulli. Si verifichi che ∼ è una relazione di equivalenza. II] Si consideri l’applicazione σ : N0 → N0 definita ponendo σ(1) = 0 σ(2n + 1) = 2n − 1 per 1 ≤ n ∈ N0 σ(2n) = 2n + 2 per n ∈ N0 Si mostri che i) l’applicazione σ è biiettiva; ii) per ogni a, b ∈ N0 se è a ∼ b, allora è σ(a) ∼ σ(b); iii) esistono x, y ∈ N0 tali che è x ∼ y ma σ −1 (x) 6∼ σ −1 (y). 2. Sia X un insieme non vuoto; sia ∼ una relazione di equivalenza in X. Sia (SX ; ·) il gruppo costituito dalle applicazioni biiettive di X su se stesso rispetto al prodotto di applicazioni. Sia H = { σ ∈ SX | per ogni x1 , x2 ∈ X con x1 ∼ x2 è anche σ(x1 ) ∼ σ(x2 )} Si verifichi quanto segue. I] H è un monoide rispetto al prodotto di applicazioni. II] Se l’insieme X è finito, il monoide (H; ·) è un gruppo. III] Se l’insieme X non è finito, il monoide (H; ·) può non essere un gruppo. 3. Nell’anello di matrici (Mat3 (Q);+,·) si consideri il sottoinsieme  ) ( n 0 0 A =  x n 0  ; n ∈ Z, x, y ∈ Q y x n I] Si verifichi che A è un sottoanello dotato di unità dell’anello (Mat3 (Q);+,·). II] Si determinino gli elementi unitari e i divisori dello zero dell’anello (A; +, ·). III] Si verifichi che i divisori dello zero di (A; +, ·), insieme allo zero, costituiscono un sottoanello H dell’anello (A; +, ·). Si mostri che esiste in (A; +, ·) qualche sottoanello proprio che contiene propriamente l’insieme H. IV] Si mostri che l ’anello (A; +, ·) non possiede sottoanelli che siano sottocorpi. ALGEBRA II 1. Sia (X; ·) un gruppo non ridotto all’unità; si consideri il gruppo prodotto cartesiano (G; ·), ovvero G = X × X = {(x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ X} e il prodotto è definito componente per componente (x1 , x2 ) · (x01 , x02 ) = (x1 x01 , x2 x02 ) Siano φ un endomorfismo del gruppo (X; ·) e H = { (x, φ(x) | x ∈ X}. Si provi quanto segue. 143

I] H è un sottogruppo del gruppo (G; ·). II] Il gruppo (G; ·) è abeliano se e solo se H è abeliano. H può essere ciclico mentre il gruppo (G; ·) non è mai ciclico. III] Il sottogruppo H è normale in (G; ·) se e solo se φ(X) è contenuto nel centro del gruppo (X; ·). In tal caso i gruppi (H; ·) e (G/H; ·) sono isomorfi. 2. Sia k ∈ Q, k 6= 0. Si consideri l’anello commutativo (A; +, ·) con A = { (a, b) | a, b ∈ Q} (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ad + bc, bd + kac) Si scelga k in modo che l’anello (A; +, ·) non sia un campo e si provi quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) possiede due ideali propri I e J, entrambi isomorfi al campo razionale (Q; +, ·), tali che A = I ⊕ J (somma diretta di ideali); II] L’anello (A; +, ·) è isomorfo alla somma diretta di anelli (Q;+,·) ⊕ (Q;+,·). 3. Si consideri l’anello (A; +, ·) definito nell’esercizio 2. Si provi che se è un campo, esso è estensione semplice finita (e quindi algebrica) del campo razionale (Q;+,·). settembre 2003 ALGEBRA I 1. Siano S un insieme non vuoto e (M ; ·) il monoide costituito dalle applicazioni di S in se stesso rispetto al prodotto di applicazioni. Si considerino l’insieme delle parti P(S) e il monoide (T ; ·) costituito dalle applicazioni di P(S) in se stesso rispetto al prodotto di applicazioni. Si definisca un’applicazione ψ : M → T ponendo per ogni f ∈ M e per ogni X ∈ P(S). ψ(f ) : P(S) → P(S) ψ(f ) : X → f −1 (X) = {y ∈ S | f (y) ∈ X} Si mostri che I] l’applicazione ψ è iniettiva, ma non è suriettiva; II] per ogni f, g ∈ M è ψ(f g) = ψ(g)ψ(f ). Se ne deduca che per ogni f, g ∈ M è ψ(f g) = ψ(f )ψ(g) se e solo se è |S| = 1. 2. Sia n un intero positivo fissato. Si consideri l’anello (A; +, ·) con A = { (a, b) | a, b ∈ Zn } (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Si mostri che, se l’anello (A; +, ·) è un campo, allora n è un numero primo. Si provi che, se n è primo, (A; +, ·) è un campo se e solo se il polinomio x2 + 1 ∈ Zn [x] è irriducibile. Si indichi un valore di n per il quale (A; +, ·) è un campo e un valore primo di n per il quale (A; +, ·) non è un campo. 3. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità. Sia (R; +, ·) l’anello costituito dalle successioni (a0 , a1 , a2 , . . .) con ai ∈ A rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite come segue: (a0 , a1 , a2 , . . .) + (b0 , b1 , b2 , . . .) = (c0 , c1 , c2 , . . .) con ci = ai + bi per ogni i = 0, 1, 2, . . . (a0 , a1 , a2 , P . . .) · (b0 , b1 , b2 , . . .) = (d0 , d1 , d2 , . . .) con di = j+k=i aj bk per ogni i = 0, 1, 2, . . . Si mostri che I] l’anello di polinomi (A[x]; +, ·) è un sottoanello dell’anello (R; +, ·); 144

II] gli anelli (A[x]; +, ·) e (R; +, ·) hanno la stessa unità e quindi, se un polinomio di A[x] è unitario in (A[x]; +, ·), lo è anche in (R; +, ·); III] il polinomio 1 + x = (1, 1, 0, 0, . . .) ∈ A[x] è unitario nell’anello (R; +, ·) ma non è unitario nell’anello (A[x]; +, ·); IV] un polinomio f (x) ∈ A[x] è unitario nell’anello (R; +, ·) se e solo se f (0) ∈ A è unitario nell’anello (A; +, ·). ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) un gruppo ciclico di ordine n > 1; sia G = hai. Si provi che I] se H è un sottogruppo di (G; ·), esiste un divisore r di n tale che H = har i; II] H è un fattore diretto di (G; ·) se e solo se è M.C.D.(r, nr ) = 1. Se ne deduca che III] (G; ·) possiede qualche fattore diretto proprio se e solo se n non è potenza di un numero primo; IV] ogni sottogruppo di (G; ·) è suo fattore diretto se e solo se n è primo o prodotto di primi distinti. 2. Fissato un intero positivo n, si consideri nel campo complesso il sottoanello √ A = { a + ib n | a, b ∈ Z} √ Sia J = { a + ib n ∈ A | a ≡ b (mod (n + 1))}. Si provi che J è un ideale principale dell’anello (A; +, ·) e che l’anello quoziente (A/J; +, ·) è isomorfo all’anello di classi di resti (Zn+1 ; +, ·). 3. Nell’anello di polinomi (R[x]; +, ·) (dove (R; +, ·) indica il campo reale) si consideri l’ideale I[x] = = hx2 + 2i. Si provi che l’anello quoziente (R[x]/I[x]; +, · ) è un campo isomorfo al campo complesso; si indichi un isomorfismo fra (C; +, ·) e (R[x]/I[x]; +, ·). gennaio 2004 ALGEBRA I 1. Sia X un insieme non vuoto; sia X X l’insieme delle applicazioni da X a X. Posto S = { (α, r) | α ∈ X X , r ∈ N0 }, si definisca in S una legge di composizione ? ponendo (α, r) ? (β, s) = (αs β r , rs) s r dove α β è calcolato rispetto al prodotto di applicazioni e rs è calcolato rispetto all’ordinario prodotto in N0 . I] Si mostri che (S; ?) possiede elemento neutro. II] Si determinino gli elementi di (S; ?) che ammettono inverso destro, quelli che ammettono inverso sinistro e quelli che ammettono inverso bilatero. Si mostri che è possibile scegliere l’insieme X in modo che in (S; ?) esistano elementi che ammettono inverso destro ma non inverso sinistro ed elementi che ammettono inverso sinistro ma non inverso destro. III] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) la legge di composizione ? è associativa in S; ii) è |X| = 1; iii) la legge di composizione ? è commutativa in S. 2. Si consideri l’anello (A; +, ·) con A = { (a, b) | a, b ∈ Zp } con p primo (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ad + bc, ac + bd) Si osservi che l’anello (A; +, ·) è commutativo e dotato di unità. I] Si provi che per ogni primo p l’anello (A; +, ·) possiede divisori dello zero. Si determinino i divisori dello zero e gli elementi unitari di (A; +, ·). 145

II] Si provi che è p 6= 2 se e solo se ogni elemento di A o è divisore dello zero o è somma di due divisori dello zero. 3. Si considerino in Zp [x] (p primo) i polinomi a(x) = 3x3 − 2x2 − 3x + 3 b(x) = x4 − 2x3 + 3x2 + 3x + 2 I] Per p = 2, 3 si dia una decomposizione dei due polinomi in prodotto di polinomi irriducibili e si determini un loro massimo comun divisore in Zp [x]. II] Si provi che esiste qualche primo dispari per il quale i due polinomi a(x) e b(x) non sono coprimi. ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) un gruppo di ordine 35 in cui esiste un sottogruppo di ordine 7. Si provi quanto segue. a) Esiste un unico sottogruppo A di (G; ·) avente ordine 7. b) Esiste un omomorfismo suriettivo dal gruppo (G; ·) al gruppo (Z5 ; +). c) Esiste in (G; ·) un sottogruppo B di ordine 5. ` G = AB. d) E e) Il gruppo (G; ·) è abeliano. 5 5 (Sugg. Per ogni a ∈ A e ogni b ∈ B si ha b−1 ab = ak ⇒ b−5 ab5 = ak ⇒ a = ak ⇒ k ≡ 1 (mod 7) ⇒ b−1 ab = a) f) Il gruppo (G; ·) è ciclico. 2. Sia (R; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità, in cui per ogni elemento x ∈ R esiste un intero n > 1 tale che xn = x. Sia I un ideale di (R; +, ·), diverso da R e tale che, se ab ∈ I (con a, b ∈ R), allora a ∈ I o b ∈ I. Si provi che I] l’anello quoziente (R/I; +, ·) è privo di divisori dello zero; II] l’ideale I è massimale. 3. Si considerino gli anelli quoziente (A; +, ·) =Q[x]/hx2 − 2i , (C; +, ·) =Q[x]/hx2 − 3i e l’anello (B; +, ·) = {(a, b) | a, b ∈ Q} con la somma definita componente per componente e il prodotto cos`ı definito: (a, b) · (c, d) = (bc + ad, bd + 2ac) Si provi che a) (A; +, ·) è un campo; b) (B; +, ·) è un campo isomorfo a (A; +, ·); c) (C; +, ·) è un campo non isomorfo a (A; +, ·). febbraio 2004 ALGEBRA I 1. Sia S = QQ l’insieme delle applicazioni da Q a Q; si definisca in S una legge di composizione ? ponendo per f, g ∈ S e per x ∈ Q ½ f (x), se x ∈ Z ; (f ? g)(x) = g(x), se x ∈ Q \ Z. I] Si verifichi che (S; ?) è un semigruppo privo di elementi neutri a destra e privo di elementi neutri a sinistra. II] Si considerino le applicazioni biiettive f, g ∈ S definite da f (x) = x e g(x) = 2x + 1 per ogni x ∈ Q. Si mostri che f ? g è suriettiva, non iniettiva; g ? f è iniettiva, non suriettiva. 146

III] Scelti n ≥ 2 elementi distinti f1 , f2 , . . . , fn ∈ S, si considerino i seguenti sottoinsiemi di S: H = { hi = f1 ? fi | i ∈ {1, 2, . . . , n}} K = { ki,j = fi ? fj | i, j ∈ {1, 2, . . . , n}} Si verifichi che H e K sono sottosemigruppi di (S; ?). Si mostri che ogni elemento di H è neutro a sinistra in (H; ?). Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (K; ?) possiede qualche elemento neutro a destra; ii) è f1 (q) = f2 (q) = . . . = fn (q) per ogni q ∈ Q \ Z; iii) ogni elemento di K è neutro a destra in (K; ?); iv) è |H| = 1. Il semigruppo (K; ?) può avere qualche elemento neutro a sinistra? 2. Si consideri l’anello (Z24 ; +, ·) delle classi di resti mod 24. Per ogni intero r con 1 ≤ r ≤ 23 sia Hr = { [kr]24 | k ∈ Z }. Si provi quanto segue. I] Hr è un sottoanello dell’anello (Z24 ; +, ·). II] Hr coincide con Z24 se e solo se è M.C.D.(r, 24) = 1. III] Per ogni r, s si ha Hr = Hs se e solo se è M.C.D.(r, 24) = M.C.D.(s, 24). Si determinino i valori di r per i quali l’anello (Hr ; +, ·) possiede unità e quelli per i quali l’anello (Hr ; +, ·) è un campo. 3. Si consideri il polinomio f (x) = x4 − 2x3 − x2 + 4x + 1. Si dia una decomposizione di f (x) in prodotto di polinomi irriducibili in Zp [x] per p = 2, 3, 5. Se ne deduca che f (x) è irriducibile in Z[x]. ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) un gruppo finito. I] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’applicazione φ : G → G definita ponendo φ(g) = g 2 per ogni g ∈ G è suriettiva; ii) per ogni g ∈ G con g 6= 1G è g 6= g −1 ; iii) |G| è dispari (e quindi ogni elemento di G ha periodo dispari). Nel seguito sia |G| dispari. II] Si mostri che la relazione ρ da G × G a G definita ponendo per ogni a, b, c ∈ G (a, b) ρ c se e solo se è a2 b2 = c2 è una applicazione e, definita una legge di composizione ? in G ponendo a ? b = ρ((a, b)), (G; ?) è un gruppo isomorfo a (G; ·). III] Si osservi che, se il gruppo (G; ·) è abeliano, allora l’operazione ? coincide con il prodotto ·. Si mostri che esiste qualche gruppo (G; ·) per il quale l’operazione ? non coincide con il prodotto ·. 2. Sia n un intero maggiore di 1. Si mostri che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) n non è potenza di primo; ii) esiste r ∈ Z tale che r 6≡ 0, 1 (mod n) e r2 ≡ r (mod n). Si provi che, se sono soddisfatte tali condizioni, posto d =M.C.D.(r, n) > 0 e detto I = h[r]n i l’ideale principale dell’anello (Zn ; +, ·) generato da [r]n , I] è d 6= 1; II] l’anello (I; +, ·) è isomorfo all’anello di classi di resti (Z nd : +, ·); III] l’anello quoziente (Zn /I; +, ·) è isomorfo all’anello di classi di resti (Zd ; +, ·). 3. Si provi che, se il gruppo additivo (K; +) di un corpo (K; +, ·) è ciclico, allora I] è car K 6= 0; 147

II] il corpo è finito di ordine primo. aprile 2004 ALGEBRA I 1. Sia S un insieme non vuoto; sia (G; ·) un gruppo di trasformazioni (i.e. applicazioni biiettive) su S. Si definisca in S una relazione ρ ponendo per a, b ∈ S aρb se e solo se esiste γ ∈ G tale che γ(a) = b Si provi quanto segue. I] ρ è una relazione di equivalenza. II] Per ogni s ∈ S l’insieme Hs = { φ ∈ G | φ(s) = s} è un sottogruppo di (G; ·). III] Per s, t ∈ S tali che s ρ t, posto Ks,t = {ψ ∈ G | ψ(s) = t}, i) l’insieme Ks,t è un sottogruppo di (G; ·) se e solo se è s = t; ii) esiste un’applicazione biiettiva da Hs a Ks,t . IV] Se (G; ·) è un gruppo finito, per ogni s ∈ S la classe di equivalenza {s}ρ è finita e |G| = |Hs | · |{s}ρ | . 2. Sia (K; +, ·) un campo; siano x, y ∈ K fissati. Si ponga ¶ o nµ a b A= : a, b ∈ K bx a + by I] Si provi che A è un sottoanello di (Mat2 (K); +, ·), commutativo e dotato di unità. II] Si mostri che gli elementi unitari dell’anello (A; +, ·) sono tutti e soli gli elementi di A che sono unitari nell’anello (Mat2 (K); +, ·). III] Si mostri che nel caso particolare (K; +, ·) = (Zp ; +, ·) (con p primo) esistono x, y ∈ Zp tali che (A; +, ·) sia un campo. (Pu` o essere conveniente distinguere i casi p = 2 e p 6= 2). 3. Si considerino i polinomi a(x) = 5x2 + 3x − 2 b(x) = 10x3 + 51x2 − 52x + 12 I] Si provi che per ogni primo p i polinomi a(x) e b(x) non sono primi fra loro in Zp [x]. II] Si determini un M.C.D.(a(x), b(x)) in Z[x]. giugno 2004 ALGEBRA I 1. Sia (K; +, ·) un campo; sia a ∈ K\{0K } fissato. Nell’insieme G = { (n, k) | n ∈ Z, k ∈ K } si definisca un prodotto ponendo (n1 , k1 ) · (n2 , k2 ) = (n1 + n2 , an2 k1 + k2 ). I] Si verifichi che (G; ·) è un gruppo e che H = {(n, 0K ) | n ∈ Z} è un suo sottogruppo. II] Si provi che (G; ·) è abeliano se e solo se è a = 1K . III] Si provi che, se (G; ·) non è abeliano, il centro Z(G) del gruppo (G; ·) è contenuto propriamente in H. Si mostri con esempi che Z(G) può essere un sottogruppo proprio o anche il sottogruppo banale. 2. Sia s ∈ Q fissato. Sia (A; +, ·) l’anello commutativo costituito da A = { (a, b) | a.b ∈ Q} rispetto alle operazioni + e · definite come segue (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ad + bc, bd + sac). I] Si determinino i valori di s per i quali (A; +, ·) non è campo. 148

II] Si determinino gli elementi idempotenti di (A; +, ·) (i.e. x ∈ A tali che x2 = x) (Pu` o essere conveniente distinguere il caso in cui (A; +, ·) è un campo e quello in cui non lo è.) III] Se ne deduca che i) se (A; +, ·) è un campo o se s = 0, esiste in (A; +, ·) uno ed un solo sottocampo proprio F e lo si determini; ii) se (A; +, ·) non è campo e s 6= 0, oltre al sottocampo F determinato in i), esistono in (A; +, ·) due sottocampi propri e li si determinino. (Si ricordi che l’unit` a di un campo è un elemento idempotente.) 3. Sia X = { (a, b) | a, b ∈ N0 }; si definisca in X una relazione ρ ponendo (a, b) ρ (c, d) se e solo se è soddisfatta una delle due condizioni seguenti: i) a divide c e a 6= c; ii) a = c e b ≤ d, dove ≤ indica l’usuale ordinamento in N0 . I] Si verifichi che ρ è una relazione d’ordine in X. II] (X; ρ) è totalmente ordinato?, ammette minimo? ammette massimo? III] Una generica coppia di elementi di X ammette massimo minorante? ammette minimo maggiorante? ALGEBRA II √ √ 1. Nel campo complesso C si consideri il sottoanello Z[ −5] = { α = a + ib 5 ∈ C | a, b ∈ Z}; posto N (α) = a2 + 5b2 , si considerino i seguenti sottoinsiemi: √ A = {α ∈ Z[ −5] | N (α) ≡ 0 (mod 2)} √ B = {α ∈ Z[ −5] | N (α) ≡ 0 (mod 3)} √ C = {α ∈ Z[ −5] | N (α) ≡ 0 (mod 5)} √ Si stabilisca quali dei tre sottoinsiemi A, B, C sono ideali dell’anello (Z[ −5]; +, ·); per questi si mostri che sono finitamente generati, precisando se sono principali. 2. Sia (G; ·) un gruppo finito; sia |G| = pr m con p primo, r ∈ N e M.C.D.(p, m) = 1. Si supponga inoltre che per ogni a, b ∈ G sia (ab)p = ap bp . Si provi quanto segue. I] I sottoinsiemi di G r H = { x ∈ G | xp = 1G } r K = {g p | g ∈ G} sono sottogruppi normali di (G; ·). II] Ogni elemento g ∈ G si scrive in uno e un solo modo nella forma g = hk con h ∈ H e k ∈ K. III] Per ogni h ∈ H e per ogni k ∈ K si ha hk = kh. IV] Il gruppo quoziente (G/H; ·) è isomorfo al gruppo (K; ·) e il gruppo quoziente (G/K; ·) è isomorfo al gruppo (H; ·). 3. Nell’anello di polinomi (Zp [x]; +, ·) (con p primo) si considerino un polinomio g(x) = (x − α)2 (con α ∈ Zp ) e l’ideale principale I = h g(x) i. Sia (Aα ; +, ·) = (Zp [x]/I; +, ·). I] Si mostri che l’anello (Aα ; +, ·) non è un campo. Si determini l’ordine dell’anello (Aα ; +, ·). II] Detto (V ; ·) il gruppo moltiplicativo costituito dagli elementi unitari dell’anello (Aα ; +, ·), si provi che (V ; ·) è un gruppo ciclico di ordine p(p − 1). III] Posto (A0 ; +, ·) = (Zp [x]/h x2 i; +, ·), si mostri che l’anello (Aα ; +, ·) è isomorfo all’anello (A0 ; +, ·).

149

luglio 2004 ALGEBRA I 1. In Mat2 (Zp ) (p primo) si consideri il sottoinsieme ( ) µ ¶ a [0]p C= γ= : a, b ∈ Zp , a 6= [0]p b a e si verifichi che C è un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne. I] Si determinino in C gli elementi dei sottoinsiemi D = { δ ∈ C | δ p = I2 } E = { ² ∈ C | ²p−1 = I2 } dove I2 indica la matrice unità di ordine 2. II] Si mostri che D ed E sono sottogruppi del gruppo (C; ·) rispettivamente isomorfi ai gruppi (Zp ; +) e (Zp \{[0]p }; ·). III] Si mostri che per ogni γ ∈ C esistono e sono univocamente determinati δ ∈ D ed ² ∈ E tali che γ = δ · ² e se ne deduca che il gruppo (C; ·) è isomorfo al prodotto cartesiano (G; ·)=(Zp ; +) × (Zp \{[0]p }; ·), dove

( G=

³

)

´ [x]p , [y]p

: [x]p , [y]p ∈ Zp , [y]p 6= [0]p

e il prodotto in G è definito da ³ ´ ³ ´ ³ ´ [x]p , [y]p · [z]p , [t]p = [x + z]p , [yt]p 2. Fissati n, k ∈ N, in Zn si definisca una legge di composizione ? ponendo per ogni [a]n , [b]n ∈ Zn [a]n ? [b]n = [kab]n . Si verifichi che (Zn ; +, ?) è un anello commutativo. Si provi quindi quanto segue. I] L’anello (Zn ; +, ?) è dotato di unità se e solo se è M.C.D.(k, n) = 1; in tal caso i) i divisori dello zero nell’anello (Zn ; +, ?) sono tutti e soli i divisori dello zero nell’anello (Zn ; +, ·); ii) gli elementi unitari dell’anello (Zn ; +, ?) sono tutti e soli gli elementi unitari dell’anello (Zn ; +, ·). II] Se M.C.D.(k, n) 6= 1, ogni elemento di Zn è divisore dello zero nell’anello (Zn ; +, ?). 3. Nel campo complesso C si consideri il sottoanello √ A = { a + ib 5 ∈ C | a, b ∈ Z}. Si provi che

√ I] gli elementi 3 e 2 + i 5 sono irriducibili in (A; +, ·); √ II] in (A; +, ·) esiste M.C.D.(3, 2 + i 5); √ III] in (A; +, ·) non esiste M.C.D.(9, 6 + 3i 5). √ Esiste M.C.D.(6, 4 + 2i 5) in (A; +, ·)? ALGEBRA II 1. Nel gruppo (G; ·) = (GL(2,Zp ); ·) (p primo) si considerino l’elemento µ ¶ 1 0 α= 1 1 e il sottogruppo ciclico A = hαi. I] Si verifichi che il sottogruppo A non è normale in (G; ·). II] Si determinino i sottoinsiemi B = { β ∈ G | β −1 Aβ = A} C = { γ ∈ G | γα = αγ}. 150

Si mostri che B e C sono sottogruppi di (G; ·) con A ≤ C ≤ B e con A e C normali in (B; ·). II] Si mostri che il gruppo quoziente (B/C; ·) è ciclico di ordine p − 1 mentre per p 6= 2 il gruppo quoziente (B/A; ·) non è ciclico 2. Sia p un numero primo. Sia f (x) ∈ Zp [x] un polinomio monico con deg f (x) > 0; sia I = hf (x)i l’ideale dell’anello di polinomi (Zp [x]; +, ·) generato da f (x). Si consideri l’anello quoziente (A; +, ·)=(Zp [x]/I; +, ·) e l’applicazione φ : A → A definita ponendo φ(α) = αp per ogni α ∈ A. Si provi quanto segue. I] φ è un endomorfismo dell’anello (A; +, ·). II] φ è un automorfismo dell’anello (A; +, ·) se e solo se il polinomio f (x) è irriducibile o è prodotto di polinomi monici irriducibili distinti. 3. I] Si provi che ogni ideale proprio e ogni anello quoziente proprio dell’anello (Zn ; +, ·) hanno caratteristica strettamente minore della caratteristica dell’anello (Zn ; +, ·). II] Si consideri l’anello (A; +, ·) =(Zn ; +, ·) ⊕ (Zn ; +, ·) (somma diretta esterna di anelli) e si mostri che esso possiede qualche ideale proprio I tale che gli anelli (I; +, ·) e (A/I; +, ·) hanno la stessa caratteristica di (A; +, ·). settembre 2004 ALGEBRA I 1. Siano r ed s due interi maggiori di 1. I] Si consideri la relazione ρ da Zr a Zs definita ponendo [n]r ρ [n]s per ogni n ∈ Z. Si mostri che ρ è una applicazione da Zr a Zs se e solo se s divide r. In tal caso ρ è suriettiva? è iniettiva? II] Fissato k ∈ Z, si consideri la relazione φk da Zr a Zs definita ponendo [n]r φk [kn]s per ogni n ∈ Z. Si mostri che φk è una applicazione da Zr a Zs se e solo se s divide kr e che in tal caso φk è suriettiva se e solo se è M.C.D.(k, s) = 1. Se l’applicazione φk è iniettiva, allora r divide s; vale il viceversa?

2. Sia n un intero maggiore di 1. Nell’anello ( di matrici Mat2 (Zn ) si)consideri il sottoinsieme µ

H=

[2r]n [0]n

[4r]n [0]n

¶

: r ∈Z

I] Si verifichi che H è un sottoanello dell’anello Mat2 (Zn ) e se ne determini l’ordine (distinguendo i casi ”n dispari” e ”n pari”). II] Si provi che l’anello (H; +, ·) possiede unità se e solo se è n = 2s d con d intero positivo dispari e s = 0 o s = 1. III] Si mostri che, se l’anello (H; +, ·) possiede unità, esso è isomorfo ad un anello di classi di resti. 3. Sia p un numero primo. Per ogni a, b ∈ Zp si consideri il polinomio fa,b (x) = x2 + ax + b ∈ Zp [x] . I] Si provi che, se è p 6= 2, per ogni a ∈ Zp esiste uno ed un solo b ∈ Zp tale che fa,b (x) abbia una radice doppia in Zp . II] Si mostri che per p = 2 non vale l’asserto provato in I] nel caso p 6= 2 ALGEBRA II

1. Nell’anello Mat2 (Z8 ) (costituito dalle matrici di ordine 2 ad elementi nell’anello (Z8 ; +, ·) rispetto alla somma elemento per elemento e alµprodotto siµconsiderino ¶ righeµper colonne) ¶ ¶ gli elementi 1 1 3 0 −1 0 α= ,β= ,γ= 0 1 0 1 0 1 Si verifichi che α, β, γ sono elementi unitari. 151

Nel gruppo moltiplicativo (V ; ·), costituito dagli elementi unitari dell’anello Mat2 (Z8 ), si considerino i sottogruppi G = h α, β, γ i, A = h α i, H = h β, γ i. Si mostri che per ogni r ∈ Z è β −1 αr β ∈ A e γ −1 αr γ ∈ A e se ne deduca che A è normale in (G; ·). Si mostri che è G = AH e si determinino gli ordini di A, H, G. 2 2. Sia p un numero primo. Si consideri l’anello di polinomi (Zp [x]; ³ +, · ) e il suo ideale principale I = hx i.

Si determinino l’ordine e la caratteristica dell’anello quoziente Zp [x]/I; +, ·); si mostri inoltre che tale anello possiede uno ed un solo ideale proprio. 3. Sia (A; +, ·) un anello commutativo di ordine p2 (con p primo) e di caratteristica p, dotato di unità 1A ; si supponga che in (A; +, ·) esista uno ed un solo ideale proprio I. I] Si provi che gli elementi unitari dell’anello (A; +, ·) sono tutti e soli gli elementi di A − I = {x ∈ A | x 6∈ I} e costituiscono (rispetto al prodotto definito in (A; +, ·)) un gruppo ciclico di ordine p2 − p = p(p − 1). II] Posto X = {x ∈ A | xi = 0 per ogni i ∈ I}, si verifichi che X è un ideale proprio dell’anello (A; +, ·); se ne deduca I = X e quindi che (I; +, ·) è uno zero-anello. III] Fissato comunque un elemento y ∈ I\{0}, ³ è A = { r1A +´ sy | r, s ∈ Z }. Se ne deduca che l’anello (A; +, ·) è isomorfo all’anello quoziente Z]p [x]/hx2 i; +, · . novembre 2004 ALGEBRA II 1. Nell’anello di polinomi (Z5 [x]; +, ·) si considerino f (x) = x2 + 1 e l’ideale principale I = hf (x)i; si consideri quindi l’anello quoziente (Z5 [x]/I : +, ·). I] Si determinino gli elementi unitari dell’anello (Z5 [x]/I : +, ·) e si verifichi che essi costituiscono rispetto al prodotto un gruppo abeliano (V ; ·) di ordine 24 . II] Posto B = { β ∈ V | β 2 = 1} e C = { α2 | α ∈ V }, si provi che B e C sono sottogruppi di (V ; ·) tali che il gruppo quoziente (V /B; ·) è isomorfo al gruppo (C; ·). Se ne deduca B = C e si indichino gli elementi distinti di B. III] Si determini il massimo dei periodi degli elementi di (V ; ·). Si mostri che nel gruppo (V ; ·) esistono due sottogruppi propri H e K tali che V = HK e h1i = H∩K. 2. Sia (A; +, ·) un anello. Si provi quanto segue. I] L’insieme degli elementi di (A; +, ·), che hanno caratteristica diversa da zero, è un ideale bilatero di (A; +, ·). Se l’insieme costituito dallo zero e dagli (eventuali) elementi di caratteristica zero di (A; +, ·) è un ideale di (A; +, ·), esso è improprio. II] Se l’anello (A; +, ·) è privo di ideali bilateri propri, tutti gli elementi non nulli di A hanno la stessa caratteristica e questa è zero o un numero primo. 3. Si considerino un campo (K; +, ·), l’anello di polinomi (K[x]; +, ·) e in esso un ideale I = hf (x)i generato da un polinomio f (x) ∈ K[x]. I] Si provi che, se un anello (A; +, ·) è un’immagine omomorfa dell’anello quoziente (K[x]/I; +, ·), esiste un ideale J di (K[x]; +, ·) che contiene I e tale che l’anello (A; +, ·) è isomorfo all’anello quoziente (K[x]/J; +, ·). II] Nell’anello di polinomi Z5 [x]; +, ·) si considerino f (x) = x2 + 1 e l’ideale principale I = hf (x)i. Si provi che l’anello quoziente (Z5 [x]/I : +, ·) possiede una ed una sola (a meno di isomorfismi) immagine omomorfa propria.

152

gennaio 2005 ALGEBRA I 1. Sia k ∈ R fisso. Nell’anello (Mat2 (R);(+, ·) si considerino i sottoinsiemi ) µ ¶ x −3y A= : x, y ∈ R y x + ky (µ ) ¶ a −3b B= : a, b ∈ Q b a + kb I] Si verifichi che A è un sottoanello di (Mat2 (R); +, ·). II] Si determinino i valori di k per i quali l’anello (A; +, ·) è privo di divisori dello zero e si provi che essi sono tutti e soli quelli per i quali l’anello (A; +, ·) è un campo. III] Si determinino i valori di k per i quali B è sottoanello dell’anello (A; +, ·). IV] Sia B un sottoanello di (A; +, ·). Si mostri che, se (A; +, ·) è un campo, allora anche (B; +, ·) è un campo, mentre se (A; +, ·) non è un campo, l’anello (B; +, ·) può essere un campo, ma può anche non esserlo. 2. Sia G = { (a, ²) | a ∈ Z6 , ² ∈ {+1, −1} }; si definisca in G una legge di composizione ”prodotto” ponendo (a1 , ²1 ) · (a2 , ²2 ) = (a1 + ²1 a2 , ²1 ²2 ). Si provi quanto segue. I] (G; ·) è un gruppo non abeliano. II] Gli insiemi A = { (a, +1) | a ∈ Z6 } e B = {([0]6 , +1), ([0]6 , −1)} sono sottogruppi propri del gruppo (G; ·). III] Detto (X; ≤) l’insieme dei sottogruppi propri di (G; ·), ordinato rispetto all’inclusione insiemistica, i) A è elemento massimale, ma non massimo, di (X; ≤); A non è né elemento minimale né minimo di (X; ≤); ii) B è elemento minimale, ma non minimo, di (X; ≤); B non è né elemento massimale né massimo di (X; ≤). 3. Sia p un numero primo. Nell’anello di polinomi (Zp [x]; +, ·) si considerino a(x) = x4 + x3 + 5x + 8 , b(x) = x2 − 1 Al variare di p si determinino un M.C.D.((a(x), b(x)) e due polinomi f (x), g(x) ∈ Zp [x] tali che sia M.C.D.(a(x), b(x))=f (x)a(x) + g(x)b(x). ALGEBRA II 1. Nel gruppo simmetrico S5 si consideri il sottogruppo H = h (1, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 3)(4, 5) i. Si mostri che H possiede elementi di periodo 2,3,4,5,6 e se ne deduca che H coincide con il gruppo S5 . 2. Sia p un numero primo e sia f (x) ∈ Zp [x] con deg f (x) = 2; si consideri l’anello quoziente (A; +, ·) = =Zp [x]/hf (x)i. Si determini l’ordine di A e si provi quindi quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) possiede un sottoanello proprio che è sottocampo. II] Se l’anello (A; +, ·) è un campo, allora esso possiede un solo sottoanello proprio. III] Se l’anello (A; +, ·) non è un campo, allora esistono a(x), b(x) ∈ Zp [x] tali che deg a(x) =deg b(x) = 1 e f (x) = a(x)b(x). In tal caso l’anello (A; +, ·) possiede qualche sottoanello proprio che non è sottocampo, se e solo se i polinomi a(x) e b(x) sono associati. 3. Sia (K; +, ·) un campo. Nel gruppo GL(3, il sottogruppo  K) si consideri  n 1 a b o G =  0 1 c  : a, b, c ∈ K . 0 0 1 Si determini il centro Z(G) di (G; ·) e si verifichi quanto segue. 153

I] L’insieme

 ( ) 1 x 0   X= 0 1 y | x, y ∈ K 0 0 1 è un sistema di rappresentanti per i laterali di Z(G) in G; II] Il gruppo quoziente (G/Z(G); ·) è abeliano, ma non ciclico. febbraio 2005 ALGEBRA I 1. Sia G = R\{0}. I] Si provi che G è un gruppo , non abeliano, rispetto alla legge di composizione ? definita ponendo a a ? b = a · b |a| per ogni a, b ∈ G (dove il prodotto al secondo membro indica l’ordinario prodotto in R). II] Si definisca in G una relazione ∼ ponendo per x, y ∈ G x ∼ y se e solo se esiste g ∈ G tale che g −1 ? x ? g = y. Si verifichi che ∼ è una relazione di equivalenza in G e se ne determinino le classi di equivalenza distinte. 2. Si provi che esiste k ∈ Z tale che sia k 2 ≡ k (mod 15), k 6≡ 0, 1 (mod 15). In relazione a una tale scelta di k I] si consideri l’anello (A; +, ·) cos´ı definito A = { (a, b) | a, b ∈ Z15 } (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 , a1 b2 + ka2 b1 ) (dove a1 +a2 e a1 a2 sono calcolati in (Z15 : +, · ) e si mostri che l’anello (A; +, ·) non è commutativo, è privo di unità, ma possiede unità a sinistra; II] posto H = { (a, b) ∈ A | k(a, b) = (a, b) }, si verifichi che H è un sottoanello dell’anello (A; +, ·), commutativo e dotato di unità; III] si determinino i divisori dello zero nell’anello (A; +, ·) e si mostri che ogni elemento non nullo di H è divisore dello zero in (A; +, ·), ma può non essere divisore dello zero nell’anello (H; +, ·). 3. Sia p un numero primo; si consideri il polinomio f (x) = x3 − 1 ∈ Zp [x]. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) è p = 3; ii) f (x) possiede in Zp una radice che ha molteplicità ≥ 2; iii) f (x) possiede in Zp una radice che ha molteplicità 3. ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) il gruppo costituito da G = { (n, d) | n ∈ Z, d ∈ {+1, −1} } rispetto al prodotto definito da (n1 , d1 ) · (n2 .d2 ) = (n1 + d1 n2 , d1 d2 ). Si consideri il sottogruppo ciclico T = h (1, −1) i e si verifichi quanto segue. I] Il sottogruppo T non è normale in (G; ·). II] L’insieme S = { (n, (−1)n ) | n ∈ Z } è il minimo (rispetto all’inclusione insiemistica) sottogruppo normale di (G; ·) che contiene T . III] Il sottogruppo S non è ciclico, ma è finitamente generato. 2. Si consideri l’anello (A; +, ·) = (Q; +.·) ⊕ (Z; +, ·) (somma diretta esterna di anelli). 154

Si provi quanto segue. I] Ogni sottoanello non banale dell’anello (A; +, ·) ha caratteristica zero. II] Per ogni intero positivo n esiste nell’anello (A; +, ·) uno ed un solo ideale In tale che l’anello quoziente (A/In ; +, ·) ha caratteristica n. III] Esiste in (A; +, ·) qualche ideale proprioJ tale che l’anello quoziente (A/J; +, ·) ha caratteristica zero. 3. Sia (V ; +) uno spazio vettoriale sinistro su un corpo K. Sia n un intero prefissato e sia f : V → V l’applicazione definita da f (v) = nv per ogni v ∈ V . Si provi che f è un K-endomorfismo dello spazio vettoriale V ; inoltre, se f non è l’endomorfismo nullo di V , f è un automorfismo di V . aprile 2005 ALGEBRA I 1. Siano f : X −→ Y , g : Y −→ T , h : T −→ V tre applicazioni. Si provi che, se le applicazioni f g e gh sono biiettive, allora anche le tre applicazioni f, g.h sono biiettive. Se le applicazioni f g e gh sono suriettive, lo sono anche le tre applicazioni f, g, h? 2. Si consideri l’anello (A; +, ·) dove A = { (a, b) | a, b ∈ C} (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac, ad + bc) dove c indica il complesso coniugato dell’elemento c ∈ C. I] Si determinino i divisori dello zero in (A; +, ·). II] Si mostri che (A; +, ·) possiede dei sottocampi propri e che l’insieme dei sottocampi propri di (A; +, ·) ammette minimo (rispetto all’inclusione insiemistica). 3. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità; sia D l’insieme costituito dallo zero e dai divisori dello zero di (A; +, ·). I] Si consideri un polinomio ax + b ∈ A[x]. Si mostri che, se ax + b è un divisore dello zero nell’anello (A[x]; +, ·), allora a, b ∈ D. Si provi che, se per ogni a, b ∈ D con a 6= 0 il polinomio ax + b è divisore dello zero in (A[x], +, ·), allora D è un sottoanello dell’anello (A; +, ·). II] Nel caso particolare (A : +, ·)=(Zn ; +, ·) si provi che, se D è sottoanello proprio di (Zn ; +, ·), allora i) è n = pr con p primo e r ≥ 2; ii) ogni polinomio ax + b con a, b ∈ D, a 6= 0 è divisore dello zero in (Zn [x]; +, ·). giugno 2005 ALGEBRA I 1. Sia (S; ≤) un insieme ordinato. Per s1 , s2 ∈ S si scriva s1 < s2 per indicare che s1 ≤ s2 con s1 6= s2 . Sia T = S × S = {(a, b) | a, b ∈ S}; si definisca in T una relazione ρ ponendo per (a, b), (c, d) ∈ T (a, b) ρ (c, d) se e solo se è a < c oppure a = c e b ≤ d. Si verifichi quanto segue. I] ρ è una relazione d’ordine in T . II] (T ; ρ) è totalmente ordinato se e solo se (S; ≤) è totalmente ordinato. III] Sia (S; ≤) non totalmente ordinato; (T ; ρ) è reticolo se e solo se (S; ≤) è reticolo dotato di massimo e di minimo. In tal caso (T ; ρ) ha minimo? ha massimo? 2. Sia k ∈ Q\{0} fissato. Sia A = {(a, b) | a, b ∈ Q}; A è un anello ripetto alla somma e al prodotto definiti come segue: 155

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ad + bc, bd + kac) Si mostri quanto segue. I] Esistono valori di k per i quali l’anello (A; +, ·) è un campo ed altri per i quali non lo è. II] Sia k tale che l’anello (A; +, ·) non è campo. Allora i) per ogni r ∈ Q l’insieme Hr = {(a, ra) | a ∈ Q} è un sottogruppo del gruppo additivo (A; +) ed esiste qualche r ∈ Q per il quale Hr non è sottoanello dell’anello (A; +, ·); ii) nell’anello (A; +, ·) esiste qualche sottoanello privo di unità; iii) nell’anello (A; +, ·) esiste qualche sottoanello proprio che contiene l’unità di (A; +, ·); iv) nell’anello (A; +, ·) esiste qualche sottoanello proprio che possiede una unità diversa dall’unità di (A; +, ·). 3. Sia (D; +, ·) un dominio a fattorizzazione unica; siano a, b1 , b2 , . . . , bn elementi non nulli di D. Si provi che a è primo con l’elemento c = b1 b2 · · · bn se e solo se a è primo con bi per ogni i = 1, 2, . . . , n. ALGEBRA II 1. Sia (K; +, ·) un campo. Si provi che, se car K = 0, (K; +, ·) possiede un sottocampo isomorfo al campo razionale (Q;+, ·). Se ne deduca che, se il gruppo additivo (K; +) è ciclico, allora il campo (K; +, ·) è isomorfo al campo (Zp ; +, ·). 2. Nel gruppo GL(2,Zp ) si considerino l’elemento µ ¶ 1 0 α= 1 1 e il sottogruppo ciclico A = h α i. I] Si verifichi che il sottogruppo A non è normale nel gruppo GL(2,Zp ). II] Si mostri che i sottoinsiemi B = { β ∈ GL(2,Zp ) | β −1 Aβ = A } C = { γ ∈ GL(2,Zp ) | γα = αγ } sono sottogruppi di GL(2,Zp ) con A ≤ C ≤ B, A / B, C / B. III] Si provi che il gruppo quoziente (B/C; ·) è ciclico e che il gruppo quoziente (B/A; ·) è abeliano. Il gruppo quoziente (B/A; ·) può essere ciclico?. 3. Sia (A; +, ·) un anello; sia k un intero fisso, maggiore di 1. Si provi quanto segue. I] I sottoinsiemi di A I = { x ∈ A | car x divide k } e J = { y ∈ A | ky = y } sono ideali bilateri dell’anello (A; +, ·) tali che I ∩ J = h0A i. ` h I, J i = A se e solo se è car A = n > 0 e k 2 ≡ k (mod n). II] E luglio 2005 ALGEBRA I 1. Sia f : X −→ Y una applicazione da un insieme X ad un insieme Y . Si provi che f è suriettiva se e solo se per ogni insieme Z e per ogni coppia di applicazioni g, h : Y −→ Z tali che sia f g = f h si ha g = h. 2. Nel gruppo GL(2,Zp ) (p primo) si consideri il ¶ sottoinsieme nµ o a 0 G= | a, b ∈ Zp , a 6= 0 b a e si mostri che esso è un sottogruppo di GL(2,Zp ). Si considerino quindi in G i sottoinsiemi 156

A = { α ∈ G | αp = I} B = {β ∈ G | β p−1 = I} Si mostri che I] A e B sono sottogruppi del gruppo (G; ·) tali che A ∩ B = {I}; II] per ogni γ ∈ G esistono e sono univocamente determinati α ∈ A e β ∈ B tali che γ = αβ e se ne deduca che è γ p(p−1) = I 3. Sia (A; +, ·) un anello e sia Z(A) = { c ∈ A | ca = ac per ogni a ∈ A} Si provi quanto segue. I] Z(A) è un sottoanello di (A; +, ·). II] Se per ogni x ∈ A è x2 − x ∈ Z(A), allora i) per ogni x, y ∈ A è xy + yx ∈ Z(A); ii) per ogni x ∈ A è x2 ∈ Z(A); iii) l’anello A è commutativo. ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) un gruppo finito di ordine n = rs con M.C.D.(r, s) = 1; sia H un sottogruppo di (G; ·) di ordine r. Si provi che il sottogruppo H è normale in (G; ·) se e solo se è H = { x ∈ G | xr = 1G }. 2. Sia (K; +, ·) un campo. Si consideri l’anello di polinomi (K[x]; +, ·). I] Si provi che ogni ideale proprio I dell’anello (K[x]; +, ·) è contenuto in un numero finito di ideali massimali J1 , . . . , Jr di (K[x]; +, ·). II] Si mostri con esempi che può essere I = J1 ∩ · · · ∩ Jr ma anche I 6= J1 ∩ · · · ∩ Jr . III] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’ideale I è intersezione degli ideali massimali che lo contengono; ii) posto I = h f (x) i, f (x) è irriducibile o prodotto di polinomi irriducibili a due a due non associati. 3. Sia (V ; +) uno spazio vettoriale sinistro su un campo (K; +, ·). Si provi quanto segue. I] Per due qualsiansi vettori v1 , v2 ∈ V \{0V } si ha h v1 iK = h v2 iK oppure h v1 iK ∩ h v2 iK = {0V }. II] Se f è un K-endomorfismo dello spazio vettoriale (V ; +), sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) è f (W ) ⊆ W per ogni K-sottospazio W dello spazio vettoriale (V ; +); ii) è f (v) ∈ h v iK per ogni v ∈ V ; iii) esiste k ∈ K tale che per ogni v ∈ V è f (v) = kv. settembre 2005 ALGEBRA I 1. Si consideri l’insieme P(Z) delle parti dell’insieme Z degli interi relativi. Si definisca in P(Z) una relazione ρ ponendo per A, B ∈ P(Z) A ρ B se e solo se è A ⊆ B e B\A è finito. I] Si verifichi che ρ è una relazione d’ordine in P(Z). (P(Z), ρ) è un insieme totalmente ordinato? Ammette minimo? ammette massimo? II] Si provi che per X, Y ∈ P(Z) l’insieme {X, Y } ammette minoranti in (P(Z), ρ) se e solo se ammette maggioranti. (P(Z), ρ) è un reticolo? 2. Sia (K; +, ·) un campo; sia G = { (x, y) | x, y ∈ K, y 6= 0K }. I] Si verifichi che (G; ·) è un gruppo dove il prodotto · è definito da 157

(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 + y1 x2 , y1 y2 ) II] Si mostri che il gruppo (G; ·) è abeliano se e solo se è |K| = 2. III] Fissato a ∈ K, si consideri l’insieme S = { (x, x − a) | x ∈ K, x 6= a } e si provi che S è un sottogruppo di (G; ·) se e solo se è a = −1K . 3. Nel campo complesso C si consideri il sottoanello √ A = { a + ib 7 | a, b ∈ Z }. Si provi che √ I] esiste M.C.D.(3 + i 7, 4); √ II] non esiste M.C.D.(12 + 4i 7, 16); √ III] esiste M.C.D.(9 + 3i 7, 12). ALGEBRA II 1. Nel gruppo additivo (Q; +) si consideri il sottogruppo Z. Si provi quanto segue. I] L’indice [Q : Z] è infinito. II] Per ogni intero positivo n esiste in (Q; +) un sottogruppo T che contiene Z e tale che [T : Z] = n. III] Ogni sottogruppo proprio di (Q; +) è infinito e ha indice infinito in (Q; +). 2. Sia X un insieme non vuoto; si consideri l’anello di Boole (P(X); +, ·) associato al reticolo di Boole (P(X); ∩, ∪). Sia T = { Y ∈P(X) | |Y | è pari } (l’insieme vuoto appartiene a T ) Si mostri che I] T è sottoanello dell’anello (P(X); +, ·) se e solo se è |X| ≤ 2; II] se X possiede almeno tre elementi distinti, il sottoanello di (P(X); +, ·) generato da T è costituito da tutti e soli i sottoinsiemi finiti di X. 3. Siano (G; ·) e (G0 ; ·) due gruppi finiti. Si provi che se M.C.D.(|G|, |G0 |) = 1, allora l’unico omomorfismo φ : G −→ G0 è l’omomorfismo banale (i.e. φ(g) = 1G0 per ogni g ∈ G). Vale il viceversa? novembre 2005 ALGEBRA II 1. Sia p un numero primo; sia f (x) = x2 − x + 1 ∈ Zp [x]. Si consideri l’ideale I = h f (x) i dell’anello di polinomi (Zp [x]; +, ·) e il relativo anello quoziente (A; +, ·) = (Zp [x]/I; +, ·). I] Si provi che l’anello (A; +, ·) possiede divisori dello zero se e solo se è p = 3 oppure p ≡ 1 (mod 6). II] Si determinino i valori di p per i quali l’anello (A; +, ·) possiede elementi nilpotenti non nulli. 2. Sia (K; +, ·) un campo. Nel gruppoµGL(2, K) ¶ si considerino µ gli elementi ¶ 1 0 1 0 α= e β= 1 −1 2 −1 dove 1 = 1K e 2 = 2 · 1K . Siano A = h α i, B = h β i e H = h A, B i. Si provi che I] è H = AB se e solo se è car K = 2; II] H è finito se e solo se è car K = p (p primo). Si determini in tal caso l’ordine di H. 3. Si consideri in (Mat2 (Z7 ); +, ·) il sottoanello A definito ¶ da nµ o x −y A= : x, y ∈ Z7 . y x−y Si verifichi quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) possiede esattamente due ideali propri I e J; si ha I∩J = {0A } e A = hI, J i = I+J. II] Gli anelli (I; +, ·) e (J; +, ·) sono entrambi isomorfi all’anello (Z7 ; +, ·). 158

III] L’anello (A; +, ·) è isomorfo alla somma diretta esterna (Z7 ; +, ·) ⊕ (Z7 ; +, ·). gennaio 2006 ALGEBRA I 1. Sia (K; +, ·) un campo; sia G = { (k, n) | k ∈ K, n ∈ Z } Fissato a ∈ K\{0K }, si definisca in G un prodotto ponendo (k1 , n1 )(k2 , n2 ) = (k1 + an1 k2 , n1 + n2 ). Si provi quanto segue. I] (G; ·) è un gruppo. II] L’insieme S = { (k, 0) | k ∈ K} è un sottogruppo del gruppo (G; ·) che contiene ogni sottogruppo finito di (G; ·). III] Il gruppo (G; ·) possiede sottogruppi propri infiniti. Nel caso particolare (K; +, ·) =(Q;+, ·) ogni sottogruppo proprio di (G; ·) è infinito. 2. Fissato k ∈ Z12 , nell’anello di matrici (Mat ) il sottoinsieme ( µ 2 (Z12 );¶+, ·) si consideri a b Ak = : a, b ∈ Z12 . 0 ka I] Si determinino i valori di k ∈ Z12 per i quali Ak è sottoanello di (Mat2 (bZ12 ); +, ·). II] Si provi che (Ak ; +, ·) è un anello commutativo se e solo se è k = [1]12 . III] Si mostri che, se (Ak ; +, ·) è un anello non commutativo, allora i) (Ak : +, ·) possiede pi` u unità a sinistra, ma non possiede unità; ii) ogni elemento non nullo di (Ak ; +, ·) è divisore dello zero. 3. Si consideri il polinomio f (x) = x3 + ax + 1 ∈ Z11 [x]; si determinino i valori di a ∈ Z11 per i quali f (x) ammette una radice con molteplicità ≥ 2. Esistono valori di a ∈ Z11 per i quali f (x) non ammette radici? Esistono valori di a ∈ Z11 per i quali f (x) è irriducibile in Z11 [x]? ALGEBRA II 1. Sia (A; +, ·) un anello. I] Sia H un sottoanello proprio di (A; +, ·). i) Si provi che, se car A = n > 0, allora è car H = m, dove m è un divisore di n. ii) Si mostri con esempi che, se car A = 0, può essere car H = 0 o car H = m > 0. II] i) Si provi che condizione necessaria affinché (A; +, ·) sia privo di divisori dello zero è che per ogni suo sottoanello proprio H si abbia car H =car A. ii) Si mostri con esempi che la condizione non è sufficiente né se car A = 0 né se car A = n > 0. 2. Sia p numero primo; nel gruppo GL(3,Zp ) si consideri  il sottogruppo ( ) 1 0 0   G= a 1 0 | a, b, c ∈ Zp b c 1 I] Si determini il centro Z(G) del gruppo (G; ·). II] Si provi che un sottogruppo non banale H di (G; ·) è normale in (G; ·) se e solo se esso contiene Z(G). III] Si mostri che il gruppo (G; ·) possiede qualche sottogruppo non normale. 3. Sia (K; +, ·) un campo; sia f (X) un polinomio di K[x] di grado 2 che ammette in K due radici distinte. Detto I = h f (x) i l’ideale di (K[x]; +, ·) generato da f (x), si provi che l’anello quoziente (K[x]/I; +, ·) è isomorfo alla somma diretta esterna (K ⊕ K; +, ·).

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febbraio 2006 ALGEBRA I 1. Sia (G; ·) un gruppo; si consideri l’insieme T = { τ = (g, n) | g ∈ G, n ∈ Z } e si definisca in T una legge di composizione ? ponendo (−1)n1

(g1 , n1 ) ? (g2 , n2 ) = (g1 g2 , n1 + n2 ). I] Posto S = { σ = (g, 0) | g ∈ G}, si mostri che (S; ?) è un gruppo. II] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) il gruppo (G; ·) è abeliano; ii) la legge di composizione ? è associativa in T ; iii) (T ; ?) è un gruppo. III] Si definisca nell’insieme T una relazione ρ ponendo per τ1 , τ2 ∈ T τ1 ρ τ2 se e solo se esiste σ ∈ S tale che σ ? τ1 = τ2 ? σ e si mostri che ρ è riflessiva e simmetrica. Si provi poi che ρ è transitiva se e solo se per ogni a, b, c ∈ G esiste x ∈ G tale che abcba = xcx. Si mostri che ρ è una relazione di equivalenza in T se il gruppo (G; ·) è abeliano. 2. Sia (A; +, ·) un anello. Per ogni k ∈ A\{0A } si consideri l’applicazione φk : A −→ A definita ponendo φk (a) = ka per ogni a ∈ A. Si provi quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) è privo di divisori dello zero se e solo se per ogni k ∈ A\{0A } l’applicazione φk : A −→ A è iniettiva. II] L’anello (A; +, ·) è un corpo se e solo se per ogni k ∈ A\{0A } l’applicazione φk : A −→ A è biiettiva. 3. Sia p un numero primo. In Zp [x] si considerino i polinomi a(x) = x3 − 2x2 + x + 10 b(x) = x3 + x c(x) = x2 − 5 I] Si determinino i valori di p per i quali M.C.D.(a(x), b(x)) e M.C.D.(c(x), b(x)) sono associati. II] Si determinino i valori di p per i quali i polinomi (a(x) e b(x) sono coprimi. ALGEBRA II 1. Sia p un numero primo. Si consideri il gruppo abeliano (G; +) = (Z; +) ⊕ (Zp ; +) dove G = { (n, a) | n ∈ Z, a ∈ Zp } (n1 , a1 ) + (n2 , a2 ) = (n1 + n2 , a1 + a2 ) Si provi quanto segue. I] L’insieme S = { (0, a) | a ∈ Zp } è l’unico sottogruppo proprio finito del gruppo (G; +). Il sottogruppo S è ciclico e il gruppo quoziente (G/S; +) è ciclico infinito. II] Se H è un sottogruppo del gruppo (G; +) che contiene propriamente S, il gruppo quoziente (G/H; +) è ciclico finito. 2. Nell’anello di matrici (Mat2 (Z13 ; +, ·) si µ consideri¶il sottoanello n o a −b A= : a, b ∈ Z13 . b a Si mostri che l’anello (A; +, ·) non è un campo e che l’unica (a meno di isomorfismi) sua immagine omomorfa propria è il campo (Z13 ; +, ·). 3. Sia (A; +, ·) un dominio ad ideali principali; sia I = h a i un ideale proprio di (A; +, ·). Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’elemento a ∈ A è irriducibile; ii) l’anello quoziente (A/I; +, ·) è un campo; iii) l’anello quoziente (A/I; +, ·) è privo di divisori dello zero.

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aprile 2006 ALGEBRA I 1. Sia (S; ·) un semigruppo in cui si ha sts = t per ogni s, t ∈ S. Si provi che I] è s2 = t2 per ogni s, t ∈ S; II] (S; ·) è un gruppo abeliano tale che s2 = 1S per ogni s ∈ S. 2. Si consideri l’anello A = { (q1 , q2 ) | q1 , q2 ∈ Q} in cui la somma e il prodotto sono definiti componente per componente. Si determinino gli elementi idempotenti e quindi i sottocorpi di (A; +, ·). 3. Sia (D; +, ·) un dominio d’integrità dotato di unità; siano a, b ∈ D elementi tali che M.C.D.(a, b) = 1. I] Si provi che se p ∈ D è un elemento primo, allora p è M.C.D.(pa, pb). II] Si mostri che, se p ∈ D è un elemento irriducibile, non primo, p può non essere M.C.D.(pa, pb). giugno 2006 ALGEBRA I 1. Sia (G; ·) un gruppo. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (G; ·) è abeliano; ii) per ogni a, b ∈ G è (ab)2 = a2 b2 ; iii) esistono tre interi consecutivi r, r +1, r +2 tali che per ogni a, b ∈ G e per ogni i ∈ {r, r +1, r +2} si ha (ab)i = ai bi . 2. Si consideri l’anello (Zn ; +, ·) delle classi di resti mod n: si provi quanto segue. I] Sia H un sottoanello dell’anello (Zn ; +, ·): se esiste [r]n ∈ H con M.C.D.(r, n) = 1, allora H =Zn . II] L’anello (Zn ; +, ·) possiede qualche sottoanello proprio dotato di unità se e solo se n non è potenza di un numero primo. 3. Si considerino in R[x] i polinomi α(x) = x4 + x3 + x2 + 3x − 6

e

β(x) = x2 + k

Si stabilisca per quali valori di k ∈ R I] β(x) divide α(x); II] α(x) e β(x) sono coprimi. Per i restanti valori di k ∈ R si determinino il polinomio monico d(x) =M.C.D.(α(x), β(x)) e i polinomi f (x), g(x) ∈ R[x] tali che d(x) = α(x)f (x) + β(x)g(x). ALGEBRA II 1. Si considerino il gruppo additivo (Q; +), il suo sottogruppo normale Z e il gruppo quoziente (G; +)=(Q/Z; +). Si provi quanto segue. I] Il gruppo (G; +) è infinito, ma ogni suo elemento ha periodo finito. II] Per ogni intero positivo n esiste in (G; +) qualche elemento di periodo n. III] Per ogni intero positivo n esiste in (G; +) uno ed un solo sottogruppo Hn di ordine n; il sottogruppo Hn è ciclico. IV] (G; +) non è ciclico e possiede sottogruppi propri non ciclici. 2. Sia n ∈ N\{1}. Si provi che l’anello di classi di resti (Zn ; +, ·) possiede qualche sottocampo se e solo se è n = ps con p primo e M.C.D.(p, s) = 1. 3. Nell’anello di polinomi (Z2 [x]; +, ·) si consideri l’ideale I = hf (x)i generato dal polinomio f (x) = x4 + x2 + 1. Si mostri che I] l’anello quoziente (Z2 [x]/I; +, ·) non è un campo; 161

II] l’anello quoziente (Z2 [x]/I; +, ·) possiede una ed una sola (a meno di isomorfismi) immagine omomorfa propria. luglio 2006 ALGEBRA I + 1. Sia Q+ l’insieme dei numeri razionali positivi; per rs , m n ∈ Q con r, s, m, n ∈ N, sn 6= 0 e M.C.D.(r, s) =M.C.D.(m, n) = 1 si ponga r m se e solo se è r < m oppure r = m e s divide n s ρ n

(dove < indica l’ordinamento naturale in N). Si verifichi che ρ è relazione d’ordine in Q+ e che (Q+ ; ρ) è un reticolo, non catena. N è sottoreticolo del reticolo (Q+ ; ρ)? 2. Sia (Sn ; ·) il gruppo simmetrico su n lettere; sia A = {1, 2, . . . , r} con r ≤ n. Siano H = { σ ∈ Sn | σ(A) = A } C = { γ ∈ Sn | γ(a) = a per ogni a ∈ A } I] Si provi che H e C sono sottogruppi del gruppo (Sn ; ·) e che per ogni σ ∈ H e per ogni γ ∈ C si ha σ −1 γσ ∈ C. II] La relazione ∼ definita in C ponendo per γ1 , γ2 ∈ C γ1 ∼ γ2 se e solo se esiste σ ∈ H tale che γ2 = σ −1 γ1 σ è una relazione di equivalenza. III] Per r = 3 si calcoli l’ordine dei sottogruppi H e C. Si determinino le classi distinte di equivalenza della relazione ∼ nei casi n = 4, n = 5, n = 6 (sempre per r = 3). 3. Sia (A; +, ·) l’anello definito da A = { (a, b) | a, b ∈ Z } in cui le operazioni + e · sono definite componente per componente. Si provi quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) possiede unità e divisori dello zero. II] Esistono in (A; +, ·) i) sottoanelli non banali, dotati di unità e privi di divisori dello zero; ii) sottoanelli privi di unità e privi di divisori dello zero; iii) sottoanelli privi di unità e dotati di divisori dello zero. III] Se H è un sottoanello di (A; +, ·) dotato di unità e di divisori dello zero, allora i) è 1H = (1, 1) e quindi (n, n) ∈ H per ogni n ∈ N; ii) esiste qualche r ∈ N tale che (r, 0) ∈ H e detto quindi m il minimo intero positivo tale che (m, 0) ∈ H, è H = { (h, k) ∈ A | h ≡ k (mod m)} ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) il gruppo definito da G = { (n, [r]2 ) | n, r ∈ Z} rispetto al prodotto (n, [r]2 )(m, [s]2 ) = (n + (−1)r m, [r + s]2 ) Si consideri il sottogruppo N = h (2, [0]2 ) i. Si mostri che I] N è normale in (G; ·); II] il gruppo quoziente (G/N ; ·) è un gruppo trirettangolo; III] se K è un sottogruppo di (G; ·), sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) K contiene N ; ii) K è normale in (G; ·) e il gruppo quoziente (G/K; ·) è abeliano. 162

2. Sia p un numero primo; si consideri l’anello di classi di resti (Zpr ; +, ·) con r ∈ N. Si provi che I] ogni omomorfismo f : Z−→ Zpr dall’anello (Z;+, ·) all’anello (Zpr ; +, ·), diverso dall’omomorfismo nullo, è suriettivo; II] esiste uno ed un solo omomorfismo non nullo dall’anello (Z;+, ·) all’anello (Zpr ; +, ·). 3. Si consideri il polinomio f (x) = x2 + 2x + 2 ∈ Z[x]. I] Detto I l’ideale di Q[x] generato da f (x), si mostri che l’anello quoziente (Q[x]/I; +, ·) è un campo. II] Detto J l’ideale principale di Z[x] generato da f (x), si provi che l’anello quoziente (Z[x]/J; +, ·) è privo di divisori dello zero, ma non è un campo. Si mostri che esiste in (Z[x]; +, ·) qualche ideale proprio che contiene propriamente J; si indichi un ideale cosiffatto. settembre 2006 ALGEBRA I 1. Sia (S; ·) un monoide e sia s ∈ S. Si provi che l’elemento s è invertibile se e solo se esistono x, y ∈ S tali che gli elementi xsy e ysx sono invertibili. 2. Sia k ∈ Z fisso. Nell’insieme Zn delle classi di resti mod n si definisca una legge di composizione ? ponendo [a]n ? [b]n = [a + kb]n I] Si osservi che (Zn ; ?) è un semigruppo se [k]n = [0]n ed è un gruppo se [k]n = [1]n . II] Si mostri che, se è n > 2, esiste k ∈ Z tale che (Zn ; ?) non è semigruppo. III] Si provi che, se è n = rs con 1 < r < n e M.C.D.(r, s) = 1, esiste [k]n 6∈ {[0]n , [1]n } tale che (Zn ; ?) è semigruppo. Per qualcuno di tali valori (Zn ; ?) può essere gruppo? 3. Nel campo complesso si consideri il √ sottoanello √ Z[ −3] = {a + ib 3 | a, b ∈ Z } Sia p un numero naturale primo. I] Si provi che condizione necessaria e sufficiente √ affinché il polinomio x2 + 3 ∈ Zp [x] sia irriducibile in Zp [x] è che p sia elemento primo dell’anello Z[ −3]. √ II] La condizione che p sia elemento irriducibile dell’anello Z[ −3] è necessaria e/o sufficiente affinché il polinomio x2 + 3 sia irriducibile in Zp [x]? ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) un gruppo non banale; si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) ogni sottogruppo non banale di (G; ·) è isomorfo al gruppo (G; ·); ii) il gruppo (G; ·) è ciclico e l’ordine di G è infinito o un numero primo. 2. Si consideri l’anello (A; +, ·) =(Q;+, ·)⊕(Z; +, ·) (somma diretta esterna). Si provi che I] ogni sottoanello non banale di (A; +, ·) ha caratteristica zero; II] l’anello (A; +, ·) possiede immagini omomorfe proprie di caratteristica zero e immagini omomorfe proprie di caratteristica n per ogni intero n ≥ 2. 3. Sia (K; +, ·) un campo; nell’anello di matrici il sottoanello  (Mat3 (K);  +, ·) si consideri ( ) 0 0 0 A = α =  a 0 0  | a, b, c ∈ K b c 0 I] Per α ∈ A, α 6= 0 si determinino gli elementi dell’ i) ideale destro hαid di (A; +, ·) generato da α; i) ideale sinistro hαis di (A; +, ·) generato da α; iii) ideale bilatero Iα di (A; +, ·) generato da α. II] Si verifichi che i tre ideali hαid , hαis , Iα sono propri. 163

III] Si provi che i) se hαid = hαis allora Iα = hαid ; ii) può essere Iα = hαid con hαid 6= hαis . novembre 2006 ALGEBRA II 1. Si considerino il gruppo (Z;+) e il suo sottosemigruppo (N;+). Si verifichi quanto segue. I] Se H è un sottogruppo non banale di (Z;+), H∩ N è un sottosemigruppo di (N; +). II] Per ogni a ∈ N, detto h a iN il sottosemigruppo di (N:+) generato da a, esiste un sottogruppo H del gruppo (Z;+) tale che h a iN = H∩ N III] Per a, b ∈ N, detto h a, b iN il sottosemigruppo di (N; +) generato da {a, b}, esiste un sottogruppo H di (Z;+) tale che h a, b iN = H∩ N se e solo se a divide b o b divide a. IV] Si determinino gli elementi del sottosemigruppo h 3, 5 iN . ³ ´ ³ ´ Q[x] 2. Si provi che gli anelli quoziente hxQ[x] e hx2 +6x+1i ; +, · sono isomorfi, determinando un loro 2 −2i ; +, · isomorfismo. 3. Nel campo complesso si consideri il sottoanello √ A = { a + ib 3 | a, b ∈ Z}

√ Fissato r ∈ N, si consideri nell’anello (A; +, ·) l’ideale I = h r, 1 + i 3 i. I] Si provi che I è ideale proprio di (A; +, ·) se e solo se r è pari. II] Si mostri che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) I è ideale massimale di (A; +, ·); √ ii) è I = h 2, 1 + i 3 i; √ iii) è I = { x + iy 3 | x ≡ y (mod 2)}; iv) è r = 2t con t ∈ N dispari. gennaio 2007 ALGEBRA I 1. Sia S l’insieme delle successioni α = (a1 , a2 , . . .) di numeri reali positivi; si considerino in S le relazioni ρ1 , ρ2 , ρ3 definite ponendo per α = (a1 , a2 , . . .) e β = (b1 , b2 , . . .) α ρ1 β se e solo se esiste n ∈ N tale che ak = bk per ogni k ≥ n; α ρ2 β se e solo se esiste n ∈ N tale che ak ≤ bk per ogni k ≥ n; α ρ3 β se e solo se α = β oppure esiste n ∈ N tale che an < bn e ak ≤ bk per ogni k > n. I] Per ognuna delle tre relazioni si stabilisca se è relazione di equivalenza o relazione d’ordine in S. II] Se ρi è di equivalenza, si stabilisca se l’insieme quoziente

S ρi

è finito o infinito.

III] Se ρi è relazione d’ordine, si stabilisca se (S; ρi ) è totalmente ordinato, se ha minimo o massimo. 2. Sia (A, +, ·) un anello dotato di unità; sia VA l’insieme degli elementi unitari di (A; +, ·). Si consideri l’insieme G = { (a, v) | a ∈ A, v ∈ VA } e si definisca in G una legge di composizione ”prodotto” ponendo (a1 , v1 ) · (a2 , v2 ) = (a1 v2 + a2 , v1 v2 ) I] Si provi che (G; ·) è un gruppo. II] Si mostri che il gruppo (G; ·) è abeliano se e solo se l’unità 1A è l’unico elemento unitario dell’anello (A; +, ·). III] Si diano esempi in cui i) (G; ·) è abeliano finito; 164

ii) (G; ·) è abeliano infinito; iii) (G; ·) non è abeliano. 3. Sia p un numero primo; si consideri il polinomio fa (x) = x3 + ax + 1 ∈ Zp [x]. Si provi che esiste a ∈ Zp tale che fa [x] abbia una radice almeno doppia in Zp se e solo se è p 6= 2 e il polinomio g(x) = x3 − 2 ∈ Zp [x] è riducibile in Zp [x]. Si indichi un valore di p per cui g(x) è riducibile in Zp [x] e un valore di p per cui g(x) è irriducibile in Zp [x]. ALGEBRA II 1. Sia (A, +, ·) un anello dotato di unità; sia VA l’insieme degli elementi unitari di (A; +, ·). Si consideri il gruppo (G; ·) con G = { (a, v) | a ∈ A, v ∈ VA } (a1 , v1 ) · (a2 , v2 ) = (a1 v2 + a2 , v1 v2 ) I] Si mostri che condizione necessaria affinché il gruppo (G; ·) sia abeliano è che l’anello (A; +, ·) abbia caratteristica 2. II] Si mostri che la condizione non è sufficienteÃconsiderando il!caso (A; +, ·) =

Z2 [x] hx2 +x+1i ; +, ·

.

Pi` u precisamente si verifichi che in questo caso i) nel gruppo (G; ·) esistono due sottogruppi H e K rispettivamente isomorfi al gruppo trirettangolo e al gruppo ciclico di ordine 3 tali che G = HK; ii) il gruppo (G; ·) è isomorfo al gruppo alterno su quattro lettere A4 . 2. Sia (K; +, ·) un campo di ordine p3 (p primo); sia K0 il suo sottocorpo minimo. I] Si mostri che K0 = { x ∈ K | xp = x }. II] Sia φ : K −→ K l’applicazione definita ponendo 2 φ(k) = k p + k p + k per ogni k ∈ K: si mostri che φ è un endomorfismo del gruppo additivo (K; +) tale che φ(K) = K0 . III] Si provi che, se p 6= 3, per ogni k ∈ K esistono e sono univocamente determinati x ∈ K0 e y ∈ Ker φ tali che k = x + y. Si mostri che ciò non vale per p = 3. 3. Siano (A; +, ·) e (B; +, ·) due anelli commutativi, non ridotti al solo zero; sia (R; +, ·) = (A; +, ·) ⊕ (B; +, ·) la loro somma diretta esterna. I] Si mostri che i) l’anello (R; +, ·) è dotato di unità se e solo se gli anelli (A; +, ·) e (B; +, ·) sono dotati di unità; ii) (R; +, ·) è uno zero anello se e solo se (A; +, ·) e (B; +, ·) sono zero-anelli. II] Si considerino le condizioni seguenti: (?) gli ideali di (R; +, ·) sono tutti principali (??) gli ideali di (A; +, ·) e quelli di (B; +, ·) sono tutti principali Si mostri che i) la condizione (?) implica la condizione (??); ii) se (R; +, ·) possiede unità, la condizione (??) implica la condizione (?); iii) se (R; +, ·) è uno zero-anello, può valere la (??) senza che valga la (?). febbraio 2007 ALGEBRA I 1. Sia S un insieme che possiede almeno due elementi distinti; siano T1 , T2 ∈ P(S) tali che T1 ∩ T2 = ∅ e T1 ∪ T2 = S. I] Si definisca nell’insieme P(S) delle parti di S un’applicazione φ ponendo per A ∈ P(S) φ(A) = (A ∩ T1 ) ∪ ((S\A) ∩ T2 ). L’applicazione φ : P(S) −→ P(S) è iniettiva? è suriettiva? 165

II] Si definisca in P(S) una relazione ρ ponendo per A, B ∈ P(S) A ρ B se e solo se è φ(A) ⊆ φ(B) dove ⊆ indica l’inclusione insiemistica. Si provi che i) ρ è relazione d’ordine in P(S); ii) (P(S), ρ) ammette minimo e massimo; iii) (P(S); ρ) non è totalmente ordinato. 2. Si provi quanto segue. I] (Q\{0} ; ·) è un gruppo (dove · indica l’ordinario prodotto in Q). II] Q+ = {r ∈ Q | r > 0} è un sottogruppo di (Q\{0} ; ·), mentre non sono sottogruppi di (Q\{0} ; ·) gli insiemi A = { p1 | p ∈ N, p primo } e B = {r ∈ Q\{0} | − 1 ≤ r ≤ 1}. III] L’unico sottogruppo proprio di (Q\{0} ; ·) che contiene propriamente A è Q+ mentre non esiste alcun sottogruppo proprio di (Q\{0} ; ·) che contiene propriamente B. 3. Sia k ∈ Z fisso; si consideri l’anello (A; +, ·) con A = {(a, b) | a, b ∈ Zn } (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 b2 + a2 b1 , b1 b2 + ka1 a2 ) I] Si verifichi che l’anello (A; +, ·) è commutativo e dotato di unità. II] Si provi che condizione necessaria affinché (A; +, ·) sia un campo è che n sia un numero primo che non divide k. III] Si mostri con esempi che la condizione non è sufficiente. ALGEBRA II 1. Si consideri il gruppo (G; ·) dove n o G = (k1 , k2 , ²) | k1 , k2 ∈ Z, ² ∈ {+1, −1} e il prodotto è definito da (k1 , k2 , 1) · (h1 , h2 , ²) = (k1 + h1 , k2 + h2 , ²) (k1 , k2 , −1) · (h1 , h2 , ²) = (k1 + h2 , k2 + h1 , −²) Siano A = h(1, 0, 1)i e B = h(1, 0, 1), (0, 1, 1)i. Si mostri che I] il sottogruppo A è normale in (B; ·) ma non è normale in (G; ·); II] il sottogruppo B è normale in (G; ·); G III] i gruppi quoziente ( B A ; ·) e ( B ; ·) sono entrambi ciclici. Sono tra loro isomorfi? IV] Nessun sottogruppo proprio di A è normale in (G; ·). Esistono sottogruppi propri di B che sono normali in (G; ·). 2. Sia (K; +, ·) un campo di ordine p2 (p primo); sia K0 il suo sottocorpo minimo. Sia H = = {y ∈ K | y p + y = 0K }. Si provi che I] H è un sottogruppo proprio del gruppo additivo (K; +); II] se p 6= 2, per ogni k ∈ K esistono e sono univocamente determinati y ∈ H e x ∈ K0 tali che k = x + y. III] se p = 2, allora H = K0 . 3. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità. I] Si provi che, se (A; +, ·) possiede al pi` u un ideale proprio, allora l’insieme dei suoi elementi non unitari è un ideale. II] Si consideri (A; +, ·) = (Zn ; +, ·) e si provi che l’insieme degli elementi non unitari è un ideale se e solo se n è potenza di primo. Per quali valori di n questo anello possiede al pi` u un ideale proprio?

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aprile 2007 ALGEBRA I 1.Sia (G; ·) un gruppo. Fissato k ∈ G, si definisca in G una legge di composizione ? ponendo per a, b ∈ G a ? b = abk I] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (G; ?) è un semigruppo; ii) (G; ?) ha elemento neutro; iii) (G; ?) è un gruppo. II] Se (G; ·) è il gruppo simmetrico su 3 lettere, esiste qualche k ∈ G, diverso dalla sostituzione identica, tale che (G; ?) sia un gruppo ? 2. Sia (K; +, ·) un campo; siano x, y, z ∈ K µnon tutti nulli. ¶ Sia o n a b : a, b ∈ K A= α= bx ay + bz Si provi che A è un sottoanello dell’anello (Mat2 (K); +, ·) se e solo se è y = 1K . In tal caso si mostri che I] l’anello (A; +, ·) possiede unità; II] α ∈ A è unitario nell’anello (A; +, ·) se e solo se è unitario in (Mat2 (K); +, ·); III] per K = C l’anello (A; +, ·) non è campo, mentre per K = R esistono x, z ∈ R per i quali l’anello (A; +, ·) è un campo. 3. Sia (D; +, ·) un dominio d‘integrità dotato di unità (non campo). Si consideri in D la relazione di equivalenza ∼ definita ponendo per a, b ∈ D a ∼ b se e solo se a|b e b|a Detto X = D l’insieme quoziente di D rispetto alla relazione ∼, si definisca in X una relazione ≤ ponendo ∼ per {r}∼ , {s}∼ ∈ X {r}∼ ≤ {s}∼ se e solo se esiste n ∈ N tale che rn ∼ s Si provi quanto segue. I] (X; ≤) è un insieme ordinato, non totalmente ordinato. II] (X; ≤) non ha né massimo né minimo. III] {0D }∼ e {1D }∼ sono contemporaneamente elementi massimali e minimali in (X; ≤). IV] (X; ≤) non possiede elementi massimali diversi da {0D }∼ e {1D }∼ . V] Se nel dominio (D; +, ·) vale il principio della catena, allora (X; ≤) possiede elementi minimali diversi da {0D }∼ e {1D }∼ . giugno 2007 ALGEBRA I 1. Si consideri il gruppo (Z; +) (dove + indica l’ordinaria somma). I] Si mostri che (Z;+) possiede sottosemigruppi che non sono sottogruppi. II] Si provi che, se un sottosemigruppo di (Z;+) contiene qualche intero positivo e qualche intero negativo, esso è un sottogruppo di (Z:+). 2. Sia (K; +, ·) un campo. Nell’anello di matrici (Mat 3 (K); +, ·) si consideri il sottoinsieme   ( ) r1K a b AK = α =  0K r1K a  : r ∈ Z, a, b ∈ K 0K 0K r1K I] II] III] IV]

Si verifichi che AK è sottoanello dotato di unità di (Mat3 (K); +, ·). Si mostri che α ∈ AK è unitario in (AK ; +, ·) se e solo se esiste s ∈ Z tale che (rs)1K = 1K . Si determinino i divisori dello zero in (AK ; +, ·). Si diano un esempio (scegliendo opportunamente il campo (K; +, ·)) in cui i divisori dello zero di (AK ; +, ·) sono tutti e soli gli elementi non nulli e non unitari e un esempio in cui esistono in (AK ; +, ·) elementi non nulli che non sono né unitari né divisori dello zero. √ 3. Nel campo complesso (C;+, ·) si consideri il sottoanello A = { a + ib 7 | a, b ∈ Z} Sia p ∈ N primo. 167

I] Si provi che p è elemento primo dell’anello (A; +, ·) se e solo se il polinomio x2 + 7 ∈ Zp [x] è irriducibile. II] Si mostri che p può essere irriducibile senza essere primo. III] Si mostri che p può essere riducibile. ALGEBRA II 1. Sia p un numero primo. Si consideri la somma diretta esterna (G; +) = (Z; +) ⊕ (Zp ; +). Sia S l’insieme degli elementi di (G; +) che hanno periodo finito. Si provi quanto segue. I] S è l’unico sottogruppo proprio finito del gruppo (G; +). Il sottogruppo S è ciclico e il gruppo quoziente (G/S; +) è ciclico infinito. II] Se H è un sottogruppo di (G; +) diverso da S, sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) H è ciclico; ii) S non è contenuto in H; iii) è H ∩ S = h0G i. 2. Siano (A; +, ·) un dominio d’integrità dotato di unità e I un suo ideale. I] Per a ∈ A sia Xa = { x ∈ A | ax ∈ I }; si verifichi che Xa è un ideale di (A; +, ·) che contiene I. Si provi che i) a ∈ I se e solo se è Xa = A; ii) se a 6∈ I, il laterale a + I è un divisore dello zero nell’anello quoziente ( A e I ; +, ·) se e solo se ` Xa 6= I. II] Per a ∈ A il laterale a + I ∈ A e unitario in ( A e A = h a i + I (dove h a i indica I ` I ; +, ·) se e solo se ` l’ideale di (A; +, ·) generato da a). o essere III] Si mostri con esempi che l’anello quoziente ( A I ; +, ·) pu` i) campo, ii) dominio d’integrità, non campo, iii) dotato di divisori dello zero. IV] Si provi che, se ( A e dominio d’integrità e (A; +, ·) ∈ P ID, allora ( A I ; +, ·) ` I ; +, ·) ∈ P ID. ; +, ·) ∈ P ID con (A; +, ·) 6∈ U F D. Si mostri che non vale il viceversa; di pi´ u, può essere ( A I 3. Sia a ∈ Z7 ; sia I l’ideale di (Z7 [x]; +, ·) generato dal polinomio f (x) = x2 − x + a. Si determinino i valori di a ∈ Z7 per i quali l’anello quoziente (Z7 [x]/I; +, ·) è un campo; per uno di tali valori si determini un generatore del gruppo moltiplicativo costituito dagli elementi non nulli del campo (Z7 [x]/I; +, ·). luglio 2007 ALGEBRA I 1. Sia S =R[x]\{0} l’insieme dei polinomi a coefficienti in R diversi dal polinomio zero; si definisca in S una relazione ρ ponendo per α(x), β(x) ∈ S α(x) ρ β(x) se e solo se Tα(x),β(x) = {k ∈ R | α(k)β(k) ≤ 0 } è un insieme vuoto o finito I] Si verifichi che ρ è una relazione di equivalenza in S. II] Si stabilisca quante e quali fra le classi {1}ρ , {2}ρ ,{−3}ρ ,{x}ρ ,{x2 }ρ ,{x3 }ρ ,{x − 1}ρ ,{x − 2}ρ sono distinte. III] Si mostri che l’insieme quoziente Sρ è infinito. 2. Si consideri il gruppo (G; ·) dove © ª G = (q, ²) | q ∈ Q\{0}, ² ∈ {1, −1} (q1 , ²1 ) · (q2 , ²2 ) = (q1 q2²1 , ²1 ²2 ). Siano H = { (q, 1) | q ∈ Q\{0} } K = { (q, ²) ∈ G | q² > 0 } L = { (q, ²) ∈ G | q > 0, ² ∈ {+1, −1} } Si verifichi che H, K, L sono sottogruppi propri di (G; ·) e che G è la loro unione insiemistica. Esistono in (G; ·) due sottogruppi propri S e T tali che G sia la loro unione insiemistica? (Giustificare la risposta) 168

3. Siano p ∈ N primo e k ∈ Zp fisso. Si consideri l’anello (A; +, ·) dove A = { (a, b) | a, b ∈ Zp } (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 b2 + a2 b1 , b1 b2 + ka1 a2 ) Si provi quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) possiede divisori dello zero se e solo se il polinomio x2 − k ∈ Zp [x] è riducibile. II] Detto D l’insieme costituito dallo zero e dai divisori dello zero di (A; +, ·) e supposto D 6= {0A }, sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) p = 2 oppure p 6= 2 e k = [0]p ; ii) D è sottoanello di (A; +, ·); iii) gli elementi nilpotenti e non nulli di (A; +, ·) sono tutti e soli i divisori dello zero. ALGEBRA II 1. Siano (G; ·) un gruppo e N suo sottogruppo normale. Siano A e B due sottogruppi di (G; ·) tali che hA, N i = hB, N i e A ∩ N = B ∩ N . I] Si verifichi che, se (G; ·) è ciclico, allora è A = B. ( Pu` o essere utile considerare separatamente i casi ”G infinito” e ”G finito”) II] Si provi che, se è A ≤ B, allora è A = B. III] Si mostri con un esempio che può essere A 6= B. √ 2. Nel campo complesso C si consideri il sottoanello A = { a + ib 5 | a, b ∈ Z }. Sia p ∈ N un numero primo e sia J = h p i l’ideale principale dell’anello (A; +, ·) generato da p. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’anello quoziente ( A e un campo; J ; +, ·) ` A ii) l’anello quoziente ( J ; +, ·) è privo di divisori dello zero; iii) p è elemento primo di (A; +, ·); iv) il polinomio x2 + 5 ∈ Zp [x] è irriducibile. Se p è elemento irriducibile dell’anello (A; +, ·), l’anello quoziente ( A o non essere campo? J ; +, ·) pu` 3. Sia (A; +, ·) un anello; per x, y ∈ A si considerino i sottoanelli X = h x i+,· e Y = h y i+,· generati rispettivamente da x e da y. I] Si provi che, se è X = Y , allora è car x =car y. Si mostri con esempi che può non valere il viceversa sia per A finito che per A infinito. II] Si provi che, se (A; +, ·) è finito e dotato di unità, sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) per ogni x, y ∈ A tali che car x =car y si ha X = h x i+,· = Y = h y i+,· ; ii) il gruppo additivo (A; +) è ciclico. settembre 2007 ALGEBRA I 1. Sia (A; +, ·) un anello commutativo, dotato di unità; sia (V ; ·) il gruppo moltiplicativo costituito dagli elementi unitari di (A; +, ·). Si provi quanto segue. I] L’insieme G = { α ∈ Mat2 (A) | det α ∈ V } è un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne. II] Se W è un sottogruppo del gruppo (V ; ·), l’insieme { α ∈ G | det α ∈ W } è un sottogruppo del gruppo (G; ·). III] Se H è un sottogruppo del gruppo (G; ·), l’insieme { det α | α ∈ H } è un sottogruppo del gruppo (V ; ·). IV] L’applicazione φ dall’insieme L(G) dei sottogruppi di (G; ·) all’insieme L(V ) dei sottogruppi di (V ; ·) definita ponendo per ogni H ∈ L(G) φ(H) = { det α | α ∈ H } è suriettiva, ma può non essere iniettiva. 2. Siano p un numero primo e n ∈ N, n ≥ 2. Si consideri l’anello delle classi di resti (Zpn ; +, ·) e si provi quanto segue. I] I divisori dello zero di (Zpn ; +, ·), insieme allo zero, costituiscono un sottoanello D, privo di unità, di ordine pn−1 . 169

II] Ogni sottoanello proprio di (Zpn ; +, ·) è contenuto in D. III] L’anello (Zpn ; +, ·) possiede almeno n − 1 sottoanelli propri distinti fra loro. IV] Nessun sottoanello proprio di (Zpn ; +, ·) è un corpo, mentre esiste qualche sottoanello proprio di (Zpn ; +, ·) che è uno zero-anello. 3. Nell’anello di polinomi Z5 [x] si considerino f (x) = x4 + x3 + 3x2 − 2x

e

g(x) = x2 + k

Si determinino i valori di k ∈ Z5 per i quali i polinomi f (x) e g(x) sono coprimi. ALGEBRA II 1. Nel gruppo simmetrico S5 di grado 5 si considerino i sottogruppi A = h (1, 2, 3), (4, 5) i, B = h (2, 1, 3, 4) i e H = h A, B i. Si determinino gli ordini di A e di B e si deduca anzitutto che è |H| ≥ 24 con |H| 6= 30 e |H| 6= 40. Si provi quindi che è H = S5 . 2. Sia (K; +, ·) un campo che possiede un sottocorpo proprio isomorfo al campo (Zp ; +, ·). I] Si provi che il gruppo additivo (K; +) non è ciclico. II] Si mostri che il gruppo moltiplicativo (K\{0K }; ·) può essere ciclico ma può anche non esserlo. 3. Sia (K; +, ·) un campo finito. Nell’anello di matrici (Mat ¶ 2 (K); +,o·) si consideri il sottoanello nµ x y : x, y ∈ K A= −y x − y I] Si provi che l’anello (A; +, ·) possiede ideali propri se e solo se esso possiede divisori dello zero. II] Si mostri che, se (A; +, ·) possiede ideali propri, l’unica (a meno di isomorfismi) sua immagine omomorfa propria è il campo (K; +, ·). novembre 2007 ALGEBRA II 1. Si consideri il gruppo (G; +) = (Z; +) ⊕ (Z; +) (somma diretta esterna). Per ogni n ∈ N0 si ponga Hn = { (a, b) ∈ G | a ≡n b }. Si verifichi quanto segue. I] Hn è un sottogruppo finitamente generato del gruppo (G; +). Hn è ciclico se e solo se è n = 0. II] Per ogni n ∈ N0 il gruppo quoziente ( HGn ; +) è ciclico; esso è finito se e solo se è n 6= 0. III] I sottogruppi Hn , ottenuti al variare di n in N0 , sono tutti e soli i sottogruppi di (G; +) che contengono H0 . 2. Si determini un campo (K; +, ·) di ordine 49 e si provi che esso possiede uno ed un solo automorfismo φ diverso dall’automorfismo identico. Si mostri che i gruppi (K; +) e (K\{0}; ·) possiedono qualche automorfismo diverso da φ e diverso dall’automorfismo identico. 3. Sia (D; +, ·) un dominio a fattorizzazione unica. Si provi che (D; +, ·) è un dominio ad ideali principali se e solo se per ogni a, b ∈ D è M.C.D.(a, b) ∈ h a, b i. gennaio 2008 ALGEBRA I 1. Sia k ∈ N fissato. Si consideri l’insieme Q+ dei numeri razionali positivi. + Per rs , m n ∈ Q con r, s, m, n ∈ N, M.C.D.(r, s) =M.C.D.(m, n) = 1 si ponga r m se e solo se r − m = k(n − s). s ∼ n Si mostri che I] ∼ è una relazione di equivalenza; II] per ogni rs ∈ Q+ (con r, s ∈ N e M.C.D.(r, s) = 1) esiste uno ed un solo h ∈ N tale che { rs }∼ = {h}∼ ; III] ogni classe di equivalenza è finita. 170

2. Sia p ∈ N primo. Si consideri il gruppo (G; ·) con G = { (a, b) | a, b ∈ Zp , a 6= [0]p } (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 , a1 b2 + b1 a−1 2 )) I] Si provi che (G; ·) è abeliano se e solo se è p = 2 o p = 3. II] Per p ≥ 5 si determini il centro di (G; ·) e si provi che esso è l’unico sottogruppo di (G; ·) di ordine 2. III] Si verifichi che gli elementi (x, y) ∈ G tali che (x, y)p = 1G costituiscono un sottogruppo di (G; ·) di ordine p. 3. Sia (A; +, ·) un anello dotato di unità. Sia H un sottoinsieme finito di A, diverso da {0A }, chiuso rispetto al prodotto definito nell’anello (A; +, ·). Si considerino le tre condizioni seguenti: (α) (H\{0A }; ·) è un gruppo; (β ) ogni elemento non nullo di H è unitario in (A; +, ·); (γ ) nessun elemento di H è divisore dello zero in (A; +, ·). Si provi quanto segue. I] La condizione (β) implica la (γ) e la (γ) implica la (α). II] Se 1A ∈ H, le condizioni (α)), (β), (γ) sono tra loro equivalenti. III] Se 1A 6∈ H non valgono né (β) né (γ)), mentre può valere (α). ALGEBRA II 1. Si consideri il gruppo additivo (G; +) = (Z; +) ⊕ (Zp ; +) (somma diretta esterna) con p primo. I] Si considerino i sottogruppi A = { (n, [0]p ) | n ∈ Z } e B = { (0, [r]p | r ∈ Z }. Si provi che, se H è un sottogruppo proprio di (G; +), G i) se H ∩ A 6= h(0, [0]p )i, allora il gruppo quoziente ( H ; +) è finito; ii) se H ∩ B = h(0, [0]p )i, allora H ∩ A 6= h(0, [0]p )i. II] Se ne deduca che l’unica (a meno di isomorfismi) immagine omomorfa propria infinita di (G; +) è il gruppo ciclico (Z;+ ) mentre (G; +) possiede immagini omomorfe proprie finite cicliche e non cicliche. 2. Sia (K; +, ·) un campo di ordine pn con p primo dispari. Si provi che il polinomio x2 + 1 ∈ K[x] è riducibile in K[x] se e solo se è p ≡ 1 (mod 4) oppure n è pari e p ≡ 3 (mod 4). Che cosa si può dire sulla riducibilità di x2 + 1 per p = 2? 3. Nell’anello di polinomi (Z[x]; +, ·) si consideri l’ideale I = hx − 1, x + 1i. Si mostri che I] l’ideale I non è principale; II] l’ideale I è massimale; III] l’anello quoziente ( Z[x]/I; +, ·) è isomorfo a (Z2 ; +, ·). febbraio 2008 ALGEBRA I 1. Siano r, n ∈ N fissati con 1 < r < n. In Zn si definisca una relazione ρ ponendo per [a]n , [b]n ∈ Zn [a]n ρ [b]n se e solo se esiste k ∈ Z tale che [b − a]n = [kr]n Si provi quanto segue. I] ρ è una relazione di equivalenza in Zn ; II] ρ è la relazione totale se e solo se è M.C.D.(r, n) = 1; III] posto d =M.C.D.(r, n) > 0, le classi di equivalenza distinte di ρ sono esattamente {[0]n }ρ , {[1]n }ρ , . . ., {[d − 1]n }ρ ; IV] una ed una sola classe di equivalenza di ρ è sottoanello dell’anello (Zn ; +, ·). 2. Sia (G; ·) un gruppo. I] Si verifichi che l’insieme C = { c ∈ G | cg = gc per ogni g ∈ G } è un sottogruppo di (G; ·). II] Fissato k ∈ G, si definisca in G una legge di composizione ? ponendo per a, b ∈ G a ? b = abk Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) k ∈ C; 171

ii) (G; ?) è un semigruppo; iii) (G; ?) ha elemento neutro; iv) (G; ?) è un gruppo. 3. Sia p un numero primo; si consideri il polinomio f (x) = x2 + 2kx + 1 ∈ Zp [x]. I] Si osservi che condizione necessaria affinché f (x) sia irriducibile in Zp [x] è che sia k 6∈ {[1]p , [−1]p }. II] Si provi che la condizione è sufficiente se e solo se è p = 3. ALGEBRA II 1. Sia p ∈ N un primo dispari. Si consideri il gruppo (G; ·) con G = { (a, b) | a, b ∈ Zp , a 6= [0]p } (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 , a1 b2 + b1 a−1 2 )) I] Si mostri che l’insieme degli elementi di G il cui periodo divide p è un sottogruppo normale di (G; ·) di ordine p. II] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) l’insieme degli elementi di G il cui periodo divide p − 1 è un sottogruppo di (G; ·); ii) è p = 3; iii) il gruppo (G; ·) è ciclico. 2. Sia (A; +, ·) un anello finito di ordine n. Si provi che l’anello (A; +, ·) è isomorfo all’anello (Zn ; +, ·) se e solo se esiste a ∈ A tale che car a = n e a2 = ra con r ∈ N e M.C.D.(r, n) = 1. 3. Si consideri l’anello di polinomi (Z[x]; +, ·). Si provi quanto segue. I] L’ideale principale h 2 i di (Z[x]; +, ·) è il nucleo di un omomorfismo suriettivo φ da (Z[x]; +, ·) a (Z2 [x]; +, ·). II] Se I è un ideale di (Z[x]; +, ·) tale che l’anello quoziente (Z[x]/I; +, ·) ha ordine 2, allora h 2 i ⊆ I e φ(I) è un ideale di (Z2 [x]; +, ·) tale che l’anello quoziente (Z2 [x]/φ(I); +, ·) ha ordine 2. III] In (Z[x]; +, ·) esistono esattamente due ideali che danno un anello quoziente di ordine 2. aprile 2008 ALGEBRA I 1. Sia (G; ·) un gruppo; si definisca in G una nuova legge di composizione ? ponendo per a, b ∈ G a ? b = a−1 · b dove a−1 indica l’inverso dell’elemento a nel gruppo (G; ·). Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (G; ?) è un semigruppo; ii) nel gruppo (G; ·) ogni elemento coincide con il proprio inverso; iii) (G; ?) possiede elemento neutro; iv) (G; ?) è un gruppo. 2. Sia n = r · s ∈ N con r, s ∈ N, 1 < r < n e M.C.D.(r, s) = 1. Sia A = { [ks]n ∈ Zn | k ∈ Z }. Si verifichi che A è un sottoanello dell’anello (Zn ; +, ·), dotato di unità. Si provi che (A; +, ·) è un campo se e solo se r è un numero primo. 3. Nell’anello di polinomi (Z[x]; +, ·) si considerino i sottoinsiemi A = { f (x) ∈ Z[x] | f (0) ≡ 0 (mod 3) } B = { g(x) ∈ Z[x] | g(−1) ≡ 0 (mod 2) } Si provi che è A ∩ B = { h(x) ∈ Z[x] | h(−3) ≡ 0 (mod 6) }

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giugno 2008 ALGEBRA I 1. Si consideri in N0 la relazione d’ordine ρ definita ponendo per a, b ∈ N0 a ρ b se e solo se a divide b Si provi quanto segue. I] L’insieme ordinato (N0 ; ρ) ammette minimo e massimo. II] Se T è un sottoinsieme non vuoto di N0 , allora i) T ammette elementi minimali, ma può non avere minimo; ii) T può non avere elementi massimali; iii) T ammette massimo minorante e minimo maggiorante. ` sup T 6= 0 se e solo se T è finito e 0 6∈ T . E 2. Sia (K; +, ·) un campo; si consideri il gruppo (G; ·) con G = { (a, b) | a, b ∈ K, b 6= 0K } (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 b2 + a2 b−1 1 , b1 b2 ) Si provi quanto segue, I] Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) (G; ·) è abeliano; ii) per ogni k ∈ K\{0K } è k = k −1 ; iii) è |K| ≤ 3. II] Se (G; ·) non è abeliano, il centro Z(G) è non banale se e solo se è 1K 6= −1K . In tal caso Z(G) è l’unico sottogruppo di (G; ·) avente ordine 2. 3. Sia (D; +, ·) un dominio d’integrità dotato di unità in cui vale il principio della catena. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni : i) (D; +, ·) è un dominio a fattorizzazione unica; ii) per ogni a, b ∈ D tali che M.C.D.(a, b) = 1D , se a e b dividono un elemento c ∈ D allora l’elemento ab divide c. ALGEBRA II 1. Sia (R; ∩, ∪) un reticolo di Boole; si provi che per ogni a, b ∈ R è (a ∩ b0 ) ∪ (a0 ∩ b) = 0 se e solo se è a = b ( dove a0 indica il complemento di a). 2. Siano (G; ·) e (G; ·) due gruppi e f : G → G un omomorfismo suriettivo. Sia N un sottogruppo normale del gruppo (G; ·). G I] Si provi che condizione necessaria affinché N contenga il nucleo Ker f è che i gruppi quoziente ( N ; ·) G e ( f (N ) ; ·) siano isomorfi.

II] Si mostri che la condizione è anche sufficiente nel caso particolare (G; ·) = (Z; +), (G; ·) = (Zn ; +) e f : r → [r]n per ogni r ∈ Z. 3. Sia (K; +, ·) un campo. Si consideri l’anello commutativo (A; +, ·) con A = {(x, y) | x, y ∈ K} (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 + y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) I] Si determinino gli ideali propri dell’anello (A; +, ·) e si mostri che ciascuno di essi è principale e massimale. II] Si mostri che è car K 6= 2 se e solo se per ogni ideale proprio I di (A; +, ·) gli anelli (I; +, ·) e ( A I ; +, ·) sono isomorfi. luglio 2008 ALGEBRA I 1. Sia (X; ≤) un insieme totalmente ordinato che possiede almeno due elementi distinti. In S = X × X = {(x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ X } si definisca una relazione ρ ponendo per (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ S (a1 , a2 )ρ(b1 , b2 ) se e solo se è (a1 , a2 ) = (b1 , b2 ) oppure a1 ≤ b1 e a2 < b2 173

(dove a2 < b2 significa a2 ≤ b2 con a2 6= b2 ) I] Si verifichi che ρ è una relazione d’ordine non totale in S e l’insieme ordinato (S; ρ) non possiede né minimo né massimo. II] Si mostri che (S; ρ) non è un reticolo provando che per a, b ∈ X con a < b, i) se l’elemento a è minimo in (X; ≤), non esiste inf { (a, a), (b, a) }, ii) se a è non è minimo in(X; ≤), non esiste inf { (a, b), (b, b) }. 2.Si consideri il gruppo additivo (Q; + ). I] Fissato un insieme π di numeri primi e posto Hπ = { rs ∈ Q | M.C.D.(r, s) = 1 = M.C.D.(s.p) per ogni p ∈ π }, si provi che Hπ è un sottogruppo di (Q;+) che contiene Z. II] Sia S un sottogruppo di (Q;+ ) che contiene Z. 1 1 Si provi che, se m n ∈ S (con m, n ∈ Z e M.C.D.(m, n) = 1), allora n ∈ S e quindi p ∈ S per ogni primo p che divide n. Se ne deduca che esiste un insieme π di numeri naturali primi tali che S ⊆ Hπ . Può essere S 6= Hπ ? 3. Sia (R; +, ·) un anello commutativo non ridotto al solo zero. Si consideri l’anello (A; +, ·) con A = {(x, y) | x, y ∈ R } (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 + y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) Si provi quanto segue. I] L’anello (A; +, ·) possiede unità se e solo se l’anello (R; +, ·) possiede unità. II] L’anello (A; +, ·) possiede divisori dello zero. III] L’insieme H = { (x, x) | x ∈ R } è un sottoanello di (A; +, ·). Se (R; +, ·) è un campo, l’anello (H; +, ·) possiede unità se e solo se è 1R 6= −1R . In tal caso (H; +, ·) è un campo. ALGEBRA II 1. Sia H un sottogruppo di un gruppo (G; ·); sia a ∈ G\H tale che aH = Ha. I] Si provi che i) per ogni r ∈ Z è ar H = Har ; ii) posto A = h a i e K = hA, Hi, il sottogruppo H è normale nel gruppo (K; ·). II] Si mostri con un esempio che H può non essere normale in (G; ·). √ 2. Fissato un intero n > 1, nell’anello degli interi di Gauss Z[ −1] = {a + ib ∈ C | a, b ∈ Z } si consideri il sottoinsieme H = {a + ib | a ≡ 3b (mod n)}. √ I] Si determinino i valori di n per i quali H è ideale di Z[ −1]. II] Per ognuno di tali valori si mostri che H è principale determinandone un generatore. √ III] Si mostri che in ogni caso l’anello quoziente (Z[ −1]/H; +, ·) è isomorfo all’anello di classi di resti (Zn ; +, ·). 3. Si provi che in un campo (K; +, ·) di ordine 24 I] esiste uno ed un solo sottocampo di ordine 2; II] esiste uno ed un solo sottocampo di ordine 22 ; III] non esiste alcun sottocampo di ordine 23 . settembre 2008 ALGEBRA I 1. Sia k ∈ Z; si consideri l’applicazione φ : ½ Z−→ Z definita ponendo per ogni x ∈ Z kx, se x è pari; φk (x) = (k − 1)x, se x è dispari. Si provi che I] φ è iniettiva se e solo se k è pari e non nullo; II] φ non è suriettiva per alcun valore di k. 2. Sia (K; +, ·) un campo. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: 174

i) il polinomio x3 + 1 ∈ K[x] si decompone in K[x] in prodotto di polinomi di I grado; ii) il polinomio x3 − 1 ∈ K[x] si decompone in K[x] in prodotto di polinomi di I grado; iii) il polinomio x6 − 1 ∈ K[x] si decompone in K[x] in prodotto di polinomi di I grado. 3. Sia n ∈ N con n > 2. Si consideri l’anello (Zn ; +, · ) delle classi di resti mod n e si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) n non è potenza di primo; ii) esiste [k]n 6∈ {[0]n , [1]n } tale che [k 2 ]n = [k]n ; iii) l’anello (Zn ; +, · ) possiede qualche sottoaanello proprio dotato di unità. ALGEBRA II 1. Sia (G; ·) un gruppo abeliano finito; siano H = { h ∈ G | |h| è potenza di 2 } K = { g2 | g ∈ G } Si provi quanto segue. I] H e K sono sottogruppi di (G; ·). II] Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: i) H = h1G i, ii) K = G, iii) M.C.D.(|G|, 2) = 1 III] Nel reticolo dei sottogruppi di (G; ·) (rispetto all’inclusione insiemistica) H ammette uno ed un solo complemento, mentre K può non avere complemento. √ √ 2. Sia (Z[ −1]; +, ·) l’anello√degli interi di Gauss; sia α = r + is ∈ Z[ −1] con α 6= 0. Sia H l’ideale dell’anello (Z[ −1]; +, ·) generato da α; sia I l’ideale dell’anello (H; +, ·) generato da α. Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni: √ i) I è ideale dell’anello(Z[ −1]; +, ·); ii) è H = I; √ iii) esistono β ∈ (Z[ −1] e m ∈ Z tali che i = αβ + m; iv) è M.C.D.(r, s) = 1. 3. Sia (K; +, ·) un campo di ordine p2 (p primo). Si consideri l’applicazione φ : K → K definita ponendo φ(k) = k p + k per ogni k ∈ K. Si provi quanto segue. I] φ è un endomorfismo del gruppo additivo (K; +). II] φ non è l’endomorfismo nullo e non è iniettivo. III] |φ(K)| = p. IV] φ(K) coincide con il sottocorpo minimo di (K; +, ·).

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algebraIeII-0809

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