ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO GEOMETRÍA PLANA ING. VÍCTOR VÁSCONEZ NOMBRE: Vanessa Rosillo
CURSO: 1 “C”
FECHA: 2016-05-12
“HISTORIA Y LOS LOS PRINCIPALES PERSONAJES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA” HISTORIA Es importante, antes de emprender un estudio de la geometría Euclidiana, revisar algunos antecedentes ist!ricos "ue nos permita tener una visi!n general de su desarrollo desarrollo## $anto %roclos, como &erodoto, consignan en sus escritos "ue la geometría tuvo sus orígenes en Egipto con con la medici!n de 'rea 'reas, s, (a "ue "ue el río río )íl )ílo, al des* des*or orda dars rse, e, *o *orr rra* a*aa las se+ales se+ales "ue limita*an los terrenos de los agricultores# egn rese+a el istoriador &erodoto, en tiempos de Ramses .. /100 # C# la tierra del tierra del valle del )ilo se distri*uía en terrenos rectangulares iguales por los cuales se de*ía pagar un impuesto impuesto anual, anual, pero cuando el río invadía los terrenos, el agricultor tenía "ue avisar al re( lo sucedido, enviando 3ste a su ve4 a un supervisor "ue medía la parte en "ue se a*ía reducido el terreno para "ue pagara so*re lo "ue "ueda*a, en proporci!n a impuesto "ue se a*ía iado# %recisamente, la pala*ra 7eometría 7eometría signiica 8medici!n 8medici!n de tierra9# tierra9# irma irma &erodíto "ue a*i3ndose origi origina nado do la geo geome metr tría ía en Egip Egipto to,, país país despu despu3s 3s a 7recia 7recia## &a( evidencias evidencias ist!ricas, ist!ricas, tam*i3 tam*i3n, n, de aplica aplicacio ciones nes,, geom3tr geom3trica icas, s, algunos algunos miles miles de a+os antes antes de nue nuestra stra era en regiones tales como :esopotamia :esopotamia,, /comprendida entre los ríos $ígris ( Eurates ( algunas regiones del centro, sur ( este de sia sia,, en las cuales se desarrollaron grandes o*ras de ingeniería ingeniería en la construcci!n de ediicios ( sistemas de canali4aci!n ( drenae# ;os *a*ilonios /:esopotamia, a*ían desarrollado la aritm3tica a mu( *uen nivel, permiti3ndoles acer c'lculos astron!micos ( mercantiles# Conocían reglas /2000 /20 00 - 1600 # C# para calcular el 'rea de tri'ngulos tri'ngulos,, rect rect'n 'ngu gulo los, s, trap trape4 e4oi oide des, s, vo volu lume menn de paralelepípedos rectangulares, volumen de prisma recto, r ecto, volumen de cilindro circular recto, del 'rea del círculo /con apro
# &a( vestigios de "ue en esa 3poca era tam*i3n conocido el teorema de %it'goras# ;a geometría *a*il!nica ( egipcia, como podemos apreciar era eminentemente pr'ctica# e le utili4a*a para resolver una serie de pro*lemas de pro*lemas de la vid vida cotidia diana ( no como omo una disciplina especia especial, l, met!di met!dica# ca# ;a matem'tica matem'tica preel3nica preel3nica se, le veía como una colecci!n de reglas para acer c'lculos "ue les permití permitíaa o*tene o*tenerr resulta resultados dos satis satisact actori orios os para para las las necesi necesidade dadess de la 3poc 3poca# a# lcan4aron un gran desarrollo de, la a*ilidad operatoria, pero sin "ue se presentara un s!lo caso de ra4onamiento deductivo, como se present! posteriormente en la etapa griega# ;as relaciones matem'ticas de los *a* *a*ilo ilonio nioss ( egipci egipcios os ueron ueron esencia esencialme lmente nte ormula ormuladas, das, mediante el m3todo de e
Cual"uiera "ue sea la cone
Bn di'metro *iseca un círculo#
•
;os 'ngulos a la *ase de un tri'ngulo is!sceles son iguales#
•
;os 'ngulos opuestos ormados por dos rectas "ue se intersecan son iguales#
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?os tri'ngulos son congruentes si tienen un lado ( dos 'ngulos iguales#
•
El 'ngulo inscrito en un semicírculo es 'ngulo recto /los *a*ilonios conocían esto 100 a los antes# El siguiente matem'tico griego amoso en el sumario de Eudemo es %it'goras, nacido apro
las paralelasD propiedad de las iguras semeantes, así como una serie de estudios so*re 'reas ( volmenes# ;os pitag!ricos proporcionaron a la geometría, so*re todo, un gran avance en el aspecto del desarrollo deductivo de la matem'tica# :ucos de los conocimientos geom3tricos los plantearon como una cadena de proposiciones sucesivas *asadas en unas cuantas suposiciones iniciales ( unos cuantos a
tres o*ras so*re geometría planaA 8:edidas de una circunerencia9, 8Cuadratura de la par'*ola9 ( 8o*re espirales9, "ue son eemplos de rigor en las demostraciones# $am*i3n de! escritos so*re la esera, el cilindro, conos, así como estudios so*re mec'nica ( aritm3tica# El tercer matem'tico de la antig@edad ue polonio, "ui3n naci! en el a+o 262 a# c#, en %erga, al sur de sia :enorD 25 m's oven "ue r"uímedes, estudi! en leandría, donde muri! alrededor del a+o 200 a# c#, polonio ad"uiri! reputaci!n entre sus contempor'neos como 8el m's grande ge!metra9 de*ido a su magníica o*ra 8ecciones c!nicas9, el ltimo de los tra*aos de la matem'tica griega considerada como una o*ra maestra# Escrita en oco li*ros, contiene el estudio m's aca*ado so*re el tema# ;a 3poca de oro de la matem'tica griega llega a su in con la muerte de polonio# %ocas contri*uciones geom3tricas se icieron despu3s de estos grandes matem'ticos# &er'n /125 d# c# calcul! el 'rea del tri'ngulo en unci!n de sus lados# :enelao /IH d# c# ( Claudio %tolomeo /16H d# c# pusieron las *ases de la trigonometría# %tolomeo aplic! la trigonometría a la astronomía, su o*ra m'
PRINCIPALES PERSONAJES QUE CONOCIMIENTOS A LA GEOMETRÍA ARISTARCO DE SAMOS
APORTARON
IMPORTANTES
/amos, actual 7recia, 10 a#C# M leandría, actual Egipto, 20 a#C# str!nomo griego# %as! la ma(or parte de su vida en leandría# ?e la o*ra cientíica de ristarco de amos s!lo se a conservado “ De la magnitud y la distancia del Sol y de la Luna”# Calcul! "ue la $ierra se encuentra unas 1H veces m's distante del ol "ue de la ;una, ( "ue el ol era unas 00 veces ma(or "ue la $ierra# El m3todo usado por ristarco era correcto, no así las mediciones "ue esta*leci!, pues el ol se encuentra unas 00 veces m's leos# Bn c'lculo *astante preciso ue reali4ado algunos decenios m's tarde por Erat!stenes# ristarco de amos ormul!, tam*i3n por primera ve4, una teoría elioc3ntrica completaA mientras el ol ( las dem's estrellas permanecen ias en el espacio, la $ierra ( los restantes planetas giran en !r*itas circulares alrededor del ol# u modelo elioc3ntrico /"ue no tuvo seguidores en su 3poca, dominada por la concepci!n geoc3ntrica encontr! ma(or precisi!n ( detalle en el sistema de Cop3rnico, (a en el a+o 1500# ristarco pereccion! adem's la teoría de la rotaci!n de la $ierra so*re su propio ee, e
PITÁGORAS e dice "ue es el primer matem'tico puro ( tam*i3n uno de los primeros astr!nomos de "uien se tiene inormaci!n# Vivi! entre los a+os 56I a =5 a#C#, en amos, ( dedic! su vida al estudio de la ciencia, ilosoía, matem'ticas ( msica# u sistema de educaci!n se *asa*a en la gimnasia, las matem'ticas ( la msica# ;os pitag!ricos creían "ue el mundo conocido podía ser e
A!"#$%&'(
ctualmente se recuerda muco a por su $eoremaA “%ara un tri'ngulo rect'ngulo el cuadrado de la ipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”# En astronomía planteo tres %aradigmasA 1#- ;os planetas, el ol, la luna ( las estrellas se mueven en !r*itas circulares perectas# 2#- ;a velocidad de los astros es perectamente uniorme# #- ;a $ierra se encuentra en el centro e
TALES DE MILETO /62 #C# M 5H #C#
/:ileto, actual $ur"uía, 62 a#C#-5H a#C# il!soo ( matem'tico griego# En su uventud via! a Egipto, donde aprendi! geometría de los sacerdotes de :enis, ( astronomía, "ue posteriormente ense+aría con el nom*re de astrosoía# ?irigi! en :ileto una escuela de n'utica, constru(! un canal para desviar las aguas del &alis ( dio acertados conseos políticos# ue maestro de %it'goras ( na<ímedes, ( contempor'neo de na
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ue el primer il!soo griego "ue intent! dar una e
A T$)*+ +* )* $%"*,&#$( )!+ +&-&*(#*+ "*+)#$,!+/ -*!01#"&%!+:
Bn di'metro *iseca un círculo#
;os 'ngulos a la *ase de un tri'ngulo is!sceles son iguales#
;os 'ngulos opuestos ormados por dos rectas "ue se intersecan son iguales#
?os tri'ngulos son congruentes si tienen un lado ( dos 'ngulos iguales#
El 'ngulo inscrito en un semicírculo es 'ngulo recto /los *a*ilonios conocían esto 100 a los antes#
$ales se plante! la siguiente cuesti!nA si una sustancia puede transormarse en otra, como un tro4o de mineral a4ulado lo ace en co*re roo, Ocu'l es la naturale4a de la sustancia, piedra, co*re, am*asP OCual"uier sustancia puede transormarse en otra de orma "ue inalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materiaP $ales considera*a "ue esta ltima cuesti!n sería airmativa, puesto "ue de ser así podría introducirse en el Bniverso un orden *'sicoD "ueda*a determinar cu'l era entonces esa materia o elemento *'sico# inalmente pens! "ue era el agua, pues es la "ue se encuentra en ma(or cantidad, rodea la $ierra, impregna la atm!sera en orma de vapor, corre a trav3s de los continentes ( la vida no es posi*le sin ella# ;a $ierra, para 3l, era un disco plano cu*ierto por la semiesera celeste lotando en un oc3ano ininito# Esta tesis so*re la e
EUCLIDES
:atem'tico griego /25-265 a#c, undador de la escuela de leandría# us principios an servido de *ase a la geometría durante dos mil a+os# Es autor de los trece li*ros de los Elementos, tratado de geometría elemental en el "ue se esta*lecen los a
A)-!"�! ,* E%)&,*+ :3todo para allar el m'
PITÁGORAS %it'goras /c# 5H2-c# 500 a#C#, Vivi! inmediatamente despu3s de $ales# und! la escuela pitag!rica /ur de .talia, organi4aci!n "ue se guia*a por el amor a la sa*iduría ( en especial a las :atem'ticas ( a la :sica# ?espu3s el pue*lo se re*el! contra ellos ( "uem! su sede# lgunos dicen "ue el propio %it'goras muri! en el incendio# Ltros, "ue u(! (, desencantado, se de! morir de am*re# dem's de ormular el teorema "ue lleva su nom*re, invent! una ta*la de multiplicar ( estudi! la relaci!n entre la msica ( las matem'ticas# partir de la Edad :edia, el teorema de %it'goras ue considerado como el Fpons asinorumF, el puente de los asnos, es decir, el conocimiento "ue separa*a a las personas cultas de las incultas#
TALES DE MILETO 7e!metra griego ( uno de los siete sa*ios de 7recia# ue el primer matem'tico griego "ue inici! el desarrollo racional de la geometría#
$uvo "ue soportar durante a+os las *urlas de "uienes pensa*an "ue sus mucas oras de tra*ao e investigaci!n eran intiles# us o*servaciones meteorol!gicas, le sirvieron para sa*er antes "ue nadie "ue la siguiente coseca de aceitunas sería magníica# Compr! todas las prensas de aceitunas "ue a*ía en :ileto# ;a coseca ue, eectivamente, *uenísima, ( todos los dem's agricultores tuvieron "ue pagarle, por usar las prensas# &acia el a+o 600 antes de Cristo, cuando las pir'mides a*ían cumplido (a su segundo milenio, el sa*io griego $ales de :ileto visit! Egipto El ara!n, "ue conocía la ama de $ales, le pidi! "ue resolviera un vieo pro*lemaA conocer la altura e
ARQUÍMEDES r"uímedes /2H=-212 a#C#, e le considera padre de la ciencia mec'nica ( el cientíico ( matem'tico m's importante de la edad antigua# $uvieron "ue pasar casi dos mil a+os para "ue apareciese un cientíico compara*le con 3lA .saac )eQton# En el campo de las :atem'ticas puras su o*ra m's importante ue el descu*rimiento de la relaci!n entre la supericie ( el volumen de una esera ( el cilindro "ue la circunscri*eD por esta ra4!n mand! r"uímedes "ue so*re su tum*a igurase una esera inscrita en un cilindro# 3l le de*emos inventos como la rueda dentada ( la polea para su*ir pesos sin esuer4o# $am*i3n a 3l se le ocurri! usar grandes espeos para incendiar a distancia los *arcos enemigos# Eso es lo "ue dicen "ue grit! un día el sa*io r"uímedes mientras da*a saltos desnudos en la *a+era# )o era para menos# (udaría /a 3l ( a todos nosotros despu3s a medir el volumen de los cuerpos por irregulares "ue ueran sus ormas#
ERAT2STENES Erat!stenes /c# 2H-c# 1I2 a#C#, matem'tico, astr!nomo, ge!grao, il!soo ( poeta griego# ue el primero "ue midi! con *uena e
?espu3s se dio cuenta "ue el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el ol alum*ra*a el ondo de un po4o mu( proundo en la ciudad de iene ( "ue a esa misma ora el sol pro(ecta*a una som*ra en leandría# raí4 de esta circunstancia determin!, calculando el radio de la $ierra, "ue la longitud del meridiano de*ía ser 50 veces ma(or "ue la distancia entre las ciudades# El resultado "ue o*tuvo Erast!tenes para el meridiano, en medidas modernas, viene a ser 6#250 Nm#, cira "ue e
LEONARDO FIBONACCI i*onacci, ;eonardo /c# 11=0-c# 120, tam*i3n llamado ;eonardo %isano, matem'tico italiano "ue recopil! ( divulg! el conocimiento matem'tico de cl'sicos grecorromanos, 'ra*es e indios ( reali4! aportaciones en los campos matem'ticos del 'lge*ra ( la teoría de nmeros# i*onacci naci! en %isa, una ciudad comercial donde aprendi! las *ases del c'lculo de los negocios mercantiles# Cuando i*onacci tenía unos 20 a+os, se ue a rgelia, donde empe4! a aprender m3todos de c'lculo 'ra*es, conocimientos "ue increment! durante viaes m's largos# i*onacci utili4! esta e Nn-1 T Nn-2, por eemplo, 1, 2, , 5, H, 1U# cada t3rmino de esta serie se le denomina nmero de i*onacci /la suma de los dos nmeros "ue le preceden en la serie# $am*i3n resolvi! el pro*lema del c'lculo del valor para cual"uiera de los nmeros de la serie# ;e ue concedido un salario anual por la ciudad de %isa en 120 como reconocimiento de la importancia de su tra*ao ( como agradecimiento por el servicio p*lico prestado a la administraci!n de la ciudad#
RENÉ DESCARTES En 165 el matem'tico ( il!soo ranc3s Ren3 ?escartes pu*lic! un li*ro so*re la teoría de ecuaciones, inclu(endo su regla de los signos para sa*er el nmero de raíces positivas (
negativas de una ecuaci!n# Bnas cuantas d3cadas m's tarde, el ísico ( matem'tico ingl3s .saac )eQton descu*ri! un m3todo iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones# &o( se denomina m3todo )eQton-Rapson, ( el m3todo iterativo de &er!n mencionado m's arri*a es un caso particular de 3ste# $uvo la inspiraci!n para sus estudios de :atem'ticas en tres sue+os en la noce del 10 de )oviem*re de 161I# Cre! una nueva rama de las :atem'ticas, la geometría analítica# .ntroduo el sistema de reerencia "ue actualmente conocemos como coordenadas cartesianas# Este nom*re deriva de la orma latina de su apellidoA Cartesius# ue el pensador m's capa4 de su 3poca, pero en el ondo no era realmente un matem'tico#
ISAAC NE3TON )aci! el día de la )avidad de 162, a+o en "ue moría 7alileo# ?e mucaco da*a la impresi!n de ser Ftran"uilo, silencioso ( rele
GALILEO 7alileo naci! %isa en 156, io de un msico# un"ue a*ía ido a la universidad para estudiar medicina, decidi! inclinarse acia las matem'ticas# sus veinticinco a+os ue nom*rado proesor de matem'ticas en la universidad de %isa, donde comen4! a investigar so*re mec'nica ( so*re el movimiento de los cuerpos# us descu*rimientos astron!micos ueron importantes, siendo 3l el primero en acer del telescopio, reci3n inventado, un instrumento til para la o*servaci!n astron!mica# %ero su contri*uci!n m's interesante ue la de esta*lecer el la4o a partir de entonces, nunca roto, entre ísica, en particular la mec'nica, ( las matem'ticas, "ue asta entonces se a*ían considerado como ciencias separadas# us descu*rimientos astron!micos ueron
importantes, siendo 3l el primero en acer del telescopio, reci3n inventado, un instrumento til para la o*servaci!n astron!mica#
PASCAL %ascal, laise /162-1662, il!soo, matem'tico ( ísico ranc3s, considerado una de las mentes privilegiadas de la istoria intelectual de Lccidente# )aci! en Clermont-errand el 1I de unio de 162, ( su amilia se esta*leci! en %arís en 162I# ao la tutela de su padre, %ascal pronto se maniest! como un prodigio en matem'ticas, a la edad de 16 a+os ormul! uno de los teoremas *'sicos de la geometría pro(ectiva, conocido como el #*!"*0$ ,* P$+%$) ( descrito en su Ensa( %ascal ormul! la #*!"4$ 0$#*05#&%$ ,* )$ "!6$6&)&,$,, "ue a llegado a ser de gran importancia en estadísticas actuariales, matem'ticas ( sociales, así como un elemento undamental en los c'lculos de la ísica te!rica moderna o so*re las c!nicas /16I# En 162 invent! la primera m'"uina de calcular mec'nica#
EULER Euler, ;eonard /1=0=-1=H, matem'tico sui4o, cu(os tra*aos m's importantes se centraron en el campo de las matem'ticas puras, campo de estudio "ue a(ud! a undar# Euler naci! en asilea ( estudi! en la Bniversidad de asilea con el matem'tico sui4o Woann ernoulli, licenci'ndose a los 16 a+os# ue nom*rado catedr'tico de ísica en 1=0 ( de matem'ticas en 1=# En 1=1 ue proesor de matem'ticas en la cademia de Ciencias de erlín a petici!n del re( de %rusia, ederico el 7rande# Euler regres! a an %eters*urgo en 1=66, donde permaneci! asta su muerte# un"ue o*staculi4ado por una p3rdida parcial de visi!n antes de cumplir 0 a+os ( por una ceguera casi total al inal de su vida, Euler produo numerosas o*ras matem'ticas importantes, así como rese+as matem'ticas ( cientíicas# Euler reali4! el primer tratamiento analítico completo del 'lge*ra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría ( la geometría analítica# ;eonard euler ue, pro*a*lemente uno de los investigadores m's ecundos de las matem'ticas, asta "ue el punto de "ue el siglo GV... se conoce como la 3poca de Euler# Euler era una persona de e
RUFFINI :atem'tico ( m3dico italiano# ?edic! mucos a+os de su vida al estudio del pro*lema, "ue a*ía mantenido ocupados a generaciones de matem'ticos, de mostrar la imposi*ilidad de encontrar una e
GAUSS
)i+o prodigio de clase o*rera "ue lleg! a ser el meor matem'tico de su tiempo# $odavía o(, dos siglos despu3s de su nacimiento, sus ideas ( sus innovadores m3todos siguen siendo actuales# u personalidad era contradictoria, era un om*re río ( concentrado en su tra*ao, un pereccionista "ue no admitía "ue sus tra*aos uesen pu*licados antes de "ue estuviesen totalmente pulidos ( revisados# o*re la inancia de 7auss se cuentan innumera*les an3cdotas so*re su temprana genialidad /3l mismo solía decir "ue a*ía aprendido a contar antes "ue a*lar# Bna de las istorias m's amosas es "ue cuando tenía die4 a+os, estando en clase de aritm3tica, su proesor propuso el pro*lema de sumar los cien primeros nmeros naturales 1T2TUU# T100# :ientras "ue todos los alumnos se devana*an los sesos con la intermina*le suma, 7auss /"ue descu*ri! el camino r'pido escri*i! un s!lo nmero en su pi4arra ante la perpleidad del proesor# Como pod3is suponer 7auss ue el nico "ue dio la respuesta correcta# %or lo "ue el proesor le regal! un li*ro de aritm3tica "ue 7auss le(! /( corrigi! r'pidamente# lo largo de la istoria a a*ido varios ni+os prodigio en matem'ticas pero la ma(oría se limita*an a una gran capacidad de c'lculo, sin em*argo, 7auss i*a m's all', alcan4ando elevadas cotas de ra4onamiento, invenci!n e innovaci!n# 7auss estudi! :atem'ticas ( lleg! a ser catedr'tico de :atem'ticas de Xa4'n, catedr'tico de stronomía de 7otinga# e interes! e i4o descu*rimientos en casi todas las ramas de las :atem'ticas#
EINSTEIN u madre o*serv! alarmada a su io, su ca*e4a era tan grande ( angulosa "ue cre(! "ue era deorme# :'s tarde, la lentitud con "ue a"uel cico callado ( gordo aprendi! a a*lar le i4o pensar "ue era retrasado mental# l crecer tam*i3n creci! el orgullo "ue su madre sentía por 3l ( la am*ici!n por su uturo# El dormitorio de Einstein parecía la celda de un mone# )o a*ía en 3l cuadros ni alom*rasU
STEPHEN HA37ING Yui4' sea una de esas e
En el tercer a+o, tepen era considerado por sus maestros como un *uen estudiante, pero s!lo un poco por encima de la media en la clase superior de este a+o# tepen Z# &aQNing ocupa actualmente la c'tedra ;ucasian matem'ticas de la Bniversidad de Cam*ridge, desempe+ada en otro tiempo por )eQton# Considerado el ma(or genio del siglo GG despu3s de Einstein, es (a una le(enda por su corae rente a su enermedad terri*le "ue desde ace 25 a+os a ido destru(endo ine
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