Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E L A L T I P L A N O
ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS M.Sc. Martín Condori Concha
[email protected]
2015
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
GUÍAS DIDÁCTICAS DE APRENDIZAJE DE ECUACIONES DIFERENCIALES
© Todos los derechos reservados conforme a Ley N o 13714.
LIC. MARTIN CONDORI CONCHA
Docente del Departamento Académico de Ciencias Físico Matemáticas Facultad de Facultad Ing. Civil y Arquitectura
UNA – PUNO
DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN Maritza Collanqui Jara PRIMERA EDICIÓN DICIEMBRE 2015 TIRAJE: 500 EJEMPLARES
© Tiraje: 500 ejemplares. Impreso en la Editorial imprenta Cadena de Sur. Ruc: 10424573057 Dirección Jr. Puno N° 152-B. Puno-Perú
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DEDICATORIA Dedico este modesto trabajo a.. Jesucristo, a mi Esposa Rosa y mis hijos: Misael, Abner y Yemny.
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PROLOGO El presente texto de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, esta orientada básicamente para los estudiantes de Ciencias, Ciencias, Ingenierías, y para toda persona interesada interesada en fomentar los conocimientos conocimientos matemáticos. Teniendo en cuenta que el estudio de las Ecuaciones Diferenciales es muy importante en la formación de los estudiantes de ciencias e ingeniería, debido a que con frecuencia aparecen en el estudio de los fenómenos naturales y modelos matemáticos, matemáticos, y además es el instrumento indispensable para la investigación de los distintos procesos de cambio que se presentan en el que hacer humano. Para la lectura del presente texto, texto, requiere de los conocimientos del cálculo Diferencial e integral. El contenido del presente texto texto empieza en su capitulo I con los conceptos Básicos de Ecuaciones diferenciales, en el Capitulo II se estudia las Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado dando métodos analíticos para su solución, ecuaciones diferenciales diferenciales lineales de primer primer orden y primer primer grado y las ecuaciones de Bernoulli, en el capitulo III, se presente algunas aplicaciones importantes importantes y en el capitulo capitulo IV, se presenta ecuaciones diferenciales de orden superior. Es necesario mencionar que cada capitulo tiene ejercicios desarrollados y propuestos. Esperando que este texto sea útil, para aquellos estudiantes para aquellos estudiantes que necesitan servirse de las Ecuaciones diferenciales Ordinarias. Como toda obra hecha por cualquier ser humano, ésta no puede estar exenta de errores, pues solamente tendemos a la perfección aunque no necesariamente llegamos a ésta. Mis agradecimientos a los estudiantes de Ingenierías de la Universidad Nacional Nacional del Altiplano por apoyarme en forma desinteresada para poder publicar este texto. Estaremos atentos a las sugerencias y criticas, con la finalidad de mejorar para futuras ediciones. El autor. Martín.
[email protected]
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas INDICE
Pág. Dedicatoria……………………………………………………………………………
II
Agradecimient Agradecimiento………………………………………………………………………
III
ndice…………………………………………………………………………………..
IV
Introducción………………………………………………………………………….
XII
CAPITULO I PROBLEMA DE INVESTIGACION
1.1
Planteamiento del problema………………………………………...
1
1.1.1.
Descripción del problema……………………………………………
1
1.1.2.
Enunciado del problema…………………………………………….
3
1.1.2.1
Problema general…………………………………………………….
3
1.1.2.2
Problema especifico…………………………………………………
3
1.1.3.
Justificacion de la investigación……………………………………
4
1.2
Objetivos de investigación…………………………………………
5
1.2.1
Objetivo general…………………………………………………….
5
1.2.2.
Objetivos especificos………………………………………………
5
1.3.
Hipótesis de investigación…………………………………………..
6
1.3.1.
Hipótesis General…………………………………………………….
6
1.3.2.
Hipotesis Especifica………………………………………………….
6
2.1.
Sistema de Variables………………………………………………...
7
2.1.1.
Variable independiente (X)
7
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Anexos Anexo 01 Anexo 02 Anexo 03 Anexo 04 Anexo 05 Anexo 06 Anexo 07 Anexo 08 Anexo 09
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas UNIDAD DIDÁCTICA: CONCEPTOS DIDÁCTICA: CONCEPTOS BASICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Objetivo: Objetivo: Aplicar método heurístico heurístico en los conceptos básicos de ecuaciones ecuaciones diferenciales. Contenidos: Ecuaciones diferenciales. Clasificación de ecuaciones diferenciales Soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. Problemas de valor inicial y valor de frontera Condiciones de existencia y unicidad Actividades Aprendizaje esperado: Comprende los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales diferenciales (CP) Planifica en forma adecuada para determinar el grado y orden de la ecuación diferenciales y solución de las mismas.(PP) Ejecuta la solución de las ecuaciones diferenciales aplicando los conceptos básicos de ecuaciones diferenciales.(EP) Analiza la solución de las ecuaciones diferenciales (V) Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos. 1.
Introducción
también una
función de
x
; que calcula mediante
enfrentamos en esta asignatura, no es, dado una función
df
f ' ( x) es dx alguna regla apropiada. El problema que
En los cursos Básicos el estudiante aprendió que, una función
y f ( x)
y f ( x)
su derivada
encontrar su derivada, más bien el
problema es, si se da una ecuación como, encontrar de alguna manera una función
y f ( x)
que
satisfaga a la ecuación, es decir se desea resolver las ecuaciones diferenciales 2.
ECUACIONES DIFERENCIALES Definición.- Una Ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos: dy
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 4) x
3.
2
2 2 2 2 2 y 2 z 2 0 , donde x 2 y z
f x, y, y
CLASIFICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican en tres: 3.1. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO: TIPO: Según el tipo las ecuaciones diferenciales son: ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA Definición.- Se llama ecuación diferencial ordinaria, si la función incógnita depende de una sola variable independiente, independiente, en la cual solo aparecen derivadas totales. Ejemplos:
1)
dy
ky
dx
d 2 y
ky ,(Ecuación diferencial del movimiento armónico armónico simple)
2)
m
3)
ydy x y dx
4)
L.
dt 2 d 2Q dt 2
R
dQ dt
0
Q C
0 (Ecuación diferencial de la corriente eléctrica.)
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Definición.- Se Definición.- Se llama ecuación ecuación diferencial parcial, si la función incógnita depende depende de varias variables independientes y las derivadas son derivadas parciales. Ejemplos:
1) 2) 3)
u u y x u u u x y 2 2 y 2 y a 2 t 2 x
(Ecuación diferencial de la onda unidimensional)
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Definición.- El orden de una ecuación diferencial, esta dado dado por la derivada de mayor orden en la ecuación. Ejemplo: Segundo orden
primer orden 3
dy 3 5 y 2e x 2 dx dx
d2y
GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. Definición.- El Definición.- El grado de una ecuación diferencial, esta dado por el exponente del mayor orden de su Derivada Ejemplo: Cuarto grado
Quinto Grado 4
5
d3 y d2 y 2 dx3 dx2 y x 3.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD O NO-LINEALIDAD ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Definición.-Una Definición.-Una ecuación ecuación diferencial lineal de orden orden
n
en la función desconocida y y la variable
independiente x , es de de forma: an x
dny dx
n
an x
d n 1 y dx
n 1
... a1 x
dy dx
a0 x y f x
Estas ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por las siguientes condiciones: La variable dependiente y y todas sus derivadas derivadas son de de primer grado.
Cada coeficiente sólo depende de x , que es la variable independiente
Ejemplos: Ejemplos: 1) xdy ydx 0 2)
x
3
d3y dx
3
dy dx
6 y ex
ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 2)
yy " y ' y 3 x 5
3.4. SOLUCIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA Definición.- Una solución para una ecuación diferencial en la variable desconocida y y la variable independiente x en el intervalo es una función y x que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x en el intervalo . SOLUCIONES GENERALES Definición.- Una solución general o primitiva de una ecuación diferencial, es el conjunto de todas las soluciones y es de la forma: f ( x, y, k ) 0 Nota: La interpretación geométrica de una solución general, general, representa una familia de curvas infinitas. SOLUCIONES PARTICULARES Definición.-Una Definición.-Una solución particular de una ecuación diferencial, es cuando l a constante k tiene un valor real. Nota: La interpretación geométrica de una solución particular, es una curva. Observaciones: 1. Una solución general, contiene a todas las soluciones particulares. 2. Si la solución general tienen varias constantes; para encontrar la solución particular, se debe encontrarse los valores de las constantes. Ejemplos En cada uno de los problemas, verifique por sustitución que cada función dada es una solución de la ecuación diferencial considerada: sen x sen x 1. , xy' y cos x y x SOLUCIÓN: y '
x
x cos x sen x x
2
x cos x sen x x 2
; y
sen x x
sen x sen x x
Sustituyendo: sen x sen x
cos x cos x
cos x cos x 2.
y e x
x
2
et dt ce x ; y ' y e x x
2
x
sen x
cos x
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas SOLUCIÓN: y ' e x
d dx
y' e x e x
2
x
0
2
et dt e x x
x
0
2
et dt ce x
e x 0 et dt ce x 2
Sustituyendo e x x
2
x
x
e x 0 et dt ce x e x 0 et dt ce x e x x 2
e x x
2
e x x
2
2
2
3.5. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y VALOR DE FRONTERA FRONTERA Al resolver una ecuación diferencial ordinaria encontramos la exist encia de la constante arbitraria, en estas circunstancias circunstancias nos preocupamos de ¿cómo ¿cómo se calculan estas constantes? constantes? Para contestar esta inquietud empleamos empleamos las condiciones a las que esta sujeta la ecuación diferencial en cuestión, estas condiciones son llamadas condiciones iniciales o condici ones de frontera. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Definición.- Es problema que determina la solución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones de la función desconocida y sus derivadas para un s olo valor de la variable varia ble independiente. Por ejemplo: ejemplo: Resolver la ecuación:
F x, y, y , y , y ,..., y n
0
Sujetas a las condiciones adicionales siguientes:
y b0 , y b1 , y b2 , .... , y n 1
bn1 , en x a
Es un problema de valor inicial, a la condición adicional se le conoce como condición inicial en inicial en el que, como vemos la variable v ariable independiente presenta un solo valor. PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA Definición.- Es un problema que determina la solución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones de la función desconocida y sus derivadas para dos o más valores de la variable independiente. El problema de resolver la ecuación diferencial de la forma:
F
n
0
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Es un problema de valor de frontera, frontera , a las condiciones adicionales se le conoce como condicionales de frontera, frontera , como vemos la variable independiente tiene mas de un valor. 3.6. CONDICIONES DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Al resolver una ecuación diferencial se presentan dos problemas referidos a la solución ¿En qué condiciones una ecuación diferencial con valor inicial tiene por lo menos una solución?. Estas inquietudes son resueltas con las condiciones de existencia y unicidad respectivamente. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Sea dada una ecuación diferencial y ' f x, y donde la función f x, y está definida en una región R del plano
2
R
que contiene el punto x0 , y0 . Si la función f x, y satisface las
condiciones: f x, y es una función continua de dos variables x e e y , en la región R.
a)
f , continua respecto a x e e y en en la región R. y Entonces, existe una y sólo una solución y f x de la ecuación dada que satisface la condición y x x y0 f x, y admite derivada parcial
b)
0
Observación a)
La condición y x x
0
y0 se llama condición inicial
b) El problema de la búsqueda búsqueda de la solución de la ecuación y ' f x, y que satisface a la condición inicial y x x
0
y0 lleva el nombre de Cauchy.
c) Geométricamente Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que pasa por el el punto dado M 0 x0 , y0 del plano x o y M 0
Ejemplos: 1.
Demuestre que x y e xy
1 xe dy 1 ye xy
dx
xy
0 es una solución implícita de la función diferencial di ferencial
0 SOLUCIÓN:
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas dy xy y x e 0 dx dx
1
dy
1
dy
dy dx
dx
ye xy xe xy
dy dx
0
(1 ye xy ) 1 xe xy
Sustituyendo en la ecuación diferencial tenemos:
(1 ye xy ) (1 xe ) 1 ye xy 0 xy 1 xe (1 ye xy ) 1 ye xy 0 xy
00 2.
Determine C1 y C2 si se conoce que y ( x) C 1 e x
C 2 e 2 x 0 es una solución de la l a ecuación
diferencial: d 2 y dx
2
dy dx
2 y 0 e valor inicial: y(0) 2
y
dy(0)
SOLUCIÓN:
y C 1e x C 2e2 x dy 2 x x dx C 1e C 2e
y (0) 2 dy (0) dx
3
C 1e 0 C 2e 2( 0) 2 C 1e 0 2C 2 e 2(0 ) 3 C 1 C 2 2 C 1 2C 2 3 3C 2 1 1
C 2
C 1
2 C 2
2 Reemplazando el valor de la constante C 2 se tiene:
dx
3
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas I. Determinar el orden y grado de las siguientes siguientes ecuaciones diferenciales diferenciales ordinaria.
1)
dy
ky
dx
…………………………..…………………………………………..
3
2)
3)
4)
d 2 y dy 2 cos co s x senx dx dx L.
d 2Q 2
dt
d 2 y dx 2
R
dQ dt
Q C
dy 4 y dx
………………………..……………………………………………..
0 …………………….…….…………………………………………..
2
…………….………………..………………………………………
II. En cada uno de los problemas verifique por sustitución, que cada función dada es una solución de la ecuación diferencial considerada. 1.
y' 3 x ; y x
2.
y '2 y 0; y
3.
y ' '4 y
4.
y' ' 9 y; y1
2
0;
3
7.
3e 2 x .
y1
cos 2 x, y 2 sen 2 x.
e 3 x , y2 e 3 x ,
III. En cada uno de los problemas pruebe que y ( x) satisface la ecuación diferencial dada para todos los valores de las constantes A y B. Después, encuentre valores de A y B tales que y (0) 1 y y(0) 1 3 x
1.
y ' '3 y ' 0; y( x) A Be
2.
y ' '2 y ' y
0; y( x) Ae x Bxe x .
3.
y' '4 y'5 y
0; y( x) e 2 x ( A cos x Bsenx Bsenx).
.
Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGrawHill.1990. 2. Earl Y. Coddinton, Introducción Introducción a la Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Edit.McGraw-Hill.1987 3. G. Baranenkov- B. Demidovich., Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Edit. McGraw-
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Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado. Ecuaciones diferenciales de separación de variables vari ables Ecuaciones diferenciales homogéneas Problemas Actividades Aprendizaje esperado: Comprende las ecuaciones diferenciales de separación separación de variables variables y homogéneas (CP). Planifica en forma adecuada adecuada para determinar la solución de las diferenciales de separación de variables y homogéneas.(PP) Ejecuta la solución de las diferenciales de separación separación de variables variables y homogéneas, aplicando los conceptos básicos de ecuaciones diferenciales.(EP) Verifica y generaliza generaliza la solución de las diferenciales de separación separación de variables y homogéneas (V) Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A las ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado, es de la forma:
dy
) 0..............(1) dx la ecuación (1) nos indica la relación entre la variable independiente, la variable dependiente y , y su F ( x, y,
derivada
dy dx
De las ecuación diferencial, despejamos la derivada
dy dx
; es decir en la forma
siguiente: dy dx
g ( x, y )
2. ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE. SEPARABLE. Definición.- Una Definición.- Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado es de la forma: dy dx
for ma: g ( x, y ) , a esta ecuación podemos expresar de la forma:
N ( y )
dy dx
M ( x )...........................(2)
donde: M es una función que solo depende de x N es N es una función que solo depende de y A la ecuación (2) se llama “ecuación diferencial ordinaria de variable separable” 3. METODO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas N ( y)dy M ( x)dx Luego se integra ambos miembros.
N ( y)dy M ( x)dx C Donde: C es C es la constante de integración. n( y )
m( x) C
La última ecuación es la solución general de la ecuación diferencial de variable separable. EJEMPLO: Hallar la solución de las siguientes si guientes ecuaciones diferenciales: ( y 2 xy 2 )
dy dx
x 2 x 2 y 0 SOLUCIÓN:
y 2 ( x 1)dy x 2 (1 y)dx 0 , y
2
1 y
dy
x
2
1 2
y 2
separando variables de tiene:
dx
0,
integrando se tiene:
x 2
1 y dy 1 x dx C , ( x y ).( x y 2) 3 ln
integrando tenemos:
1 x 1 y
K
4. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS FUNCION HOMOGÉNEAS Definición.- Una función f ( x, y) es homogénea de k en x e y si, cumple con la condición siguiente:
f ( x, y) k f ( x; y) Ejemplo: Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas. x 1. f ( x, y) y 2tg ( ) , es homogénea de grado en x e y y 2.
f ( x , y )
1 x y
1
, es homogénea de grado . 2
Definición.- Una ecuación diferencial ordinaria de de primer orden y de primer grado grado de la forma: M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 5. SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA. Sea una ecuación diferencial diferencial homogénea de primer orden. orden. M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0...............................(1) Hagamos la sustitución v
y x
entonces y ux y diferenciando dy udx xdu , reemplazando en la
ecuación (1) se convierte en una ecuación diferencial de separación de v ariables. Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: ydx (2 xy x)dy 0
SOLUCIÓN: u
Sea:
y
……………………………….(1)
x y ux ………………………………(2)
dy
xdu udx ……..………………..(3)
Remplazando (1), (2) y (3) en la ecuación ecuación dada dada tenemos: tenemos: uxdx (2 x 2 u x)(udx xdu) 0 , multiplicando y factorizando
xudx 2 xu u dx xudx x 2 (2 u 2 xu u dx x 2 (2 u
2dx x
2 ln x 2
du k ,
u
u
du u
3
integrando
k
ln xu
operando
separando las variables
1
2 u
du
1)du 0 ,
1)du 0 ,
1 u
2 ln x 2 ln u
2 u
k
C
6. APLICACIONES Una sustancia química A se transforma en el producto B, la velocidad de transformación del producto B varia en forma directamente proporcional a la cantidad A en cada instante. Si inicialmente hay 10 kilogramos en kilogramos en A y en dos horas 5,1 kilogramos se kilogramos se han transformado en B. Halle la cantidad de B al cabo de una hora. SOLUCIÓN Paso 1: Comprendiendo el problema. Tenemos que hallar la cantidad de transformación transformación del producto B al cabo de una hora; hora;
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas La ecuación diferencial
dB(t ) dt
k A B modela la velocidad de transformación del producto B, se
puede resolver la solución de esta ecuación diferencial con separación de variables; donde k es la constante de proporcionalidad.
Como datos del problema tenemos: 0 Inicialmente la sustancia sustancia química A(t ) 10kg . Cuando el tiempo t Cuando ha transcurrido dos horas 5,1 kg se ha transformado en producto producto B. Nos pide la cantidad de producto transformado en B, cuando ha transcurrido una hora.
Paso 3: Ejecutando el plan. La ecuación diferencial es:
dB(t ) dt
k A(t ) B(t ) para la solución de esta ecuación
aplicaremos separación de variables. dB(t ) dt
k A(t ) B(t ) ……………………..( I )
0 se tiene: Remplazando A(t ) 10kg . en tiempo t dB(t )
k 10 B(t ) , separando las variables se tiene:
dt dB(t )
10 B(t )
dB (t )
kdt , aplicando integrales a ambos miembros tenemos:
kdt , integrando tenemos:
A B(t ) ln (10 B (t )) )) ln C kt , aplican propiedades de logaritmos se tiene: 10 B (t ) ln ( ) kt , levantando logaritmos tenemos: C
10 B (t )
kt
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas B(t ) 10 Ce kt , entonces se tiene:
0 10 Ce k (0 ) , luego el valor de C 10 Reemplazando el valor de c en ( II ) se tiene: B(t ) 10 10e kt ………………………………..( ………………………………..( III )
Reemplazan los datos del problema: t 2hrs y B (t ) 5,1 kg . en ecuación ( III ), se tiene: 5,1 10 10e2 k e2 k
2k ln(
4,9 10
4,9 10
, aplicando logaritmos a ambos miembros se tiene:
) entonces el valor es k
1 2
ln(
4, 9 10
) entonces k 0,357
Reemplazando el valor de k 0,357 en ecuación (III) se tiene: B(t ) 10 10e0,357t ……………….( IV )
Finalmente remplazando el valor t 1 hr . en la ecuación ( IV ) se tiene: B(1) 10 10e0,357(1) B(1) 3kg .
Paso 4. Hacer la verificación. Para resolver la solución de problemas mediante la ecuación de separación de variables, se puede generalizar generalizar la solución de la forma: B(t ) A Ce kt
donde la sustancia química A debe ser constante. En general la solución de problemas de ecuaciones diferenciales de separación de variables es: N (t ) Ce kt , con condiciones iniciales dados.
7. ACTIVIDADES I. Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de separación de variable. 2 x y
y 2 x
dx e
dy 0
1.
e
2.
3e tg ydx (1 e ) sec ydy 0
3.
(1 y )e y '
4.
x
Rpta . e
x
y
1 cos 2 x
y
2e 2 y C
Rpta. tg y C (1 e )
x 3
2
xLnx
2
4 x
0
' 0
( )
0
Rpta.
C
Rpta.
2
e
y
y
Ln x) Ln ( Lnx
0
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 1.
y y ( x cos ec( ) y )dx xdy 0 Rpta. ln kx cos( ) x x
2.
ydx x y
3.
xdy ydx x
4.
(6 x
2
dy
2
x 2 )dy 2
y 2 dx
14xydy 0 7 y 2 )dx
x ln( ky ) Rpta. arc sen( ) ln( y
Rpta. y x Rpta. 2 x
3
2
y 2 cx 2
7 xy 2 c
y Rpta. ln( ln( ) 1 cx dx x III. Resolver la solución de los siguientes sigui entes problemas utilizando el método heurístico 1. El azúcar se disuelve en el agua con una rapidez proporcional a la cantidad que queda sin diluir. Si 30 lbs. de azúcar se reduce a 10 lbs. en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se habrá diluido el 95% del azúcar?. Rpta: Rpta: t 0,187 Horas (ln y ln x) y (ln
5.
x
2.
Las bacterias en un cierto cultivo se incrementan a una tasa proporcional al número original se incrementa en un 50% ¿en cuánto tiempo se espera tener tres veces el numero original? Rpta: t = 1,35 horas
Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGrawHill.1990. 2. Earl Y. Coddinton, Introducción Introducción a la Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias, Edit.McGraw-Hill.1987 3. G. Baranenkov- B. Demidovich., Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Edit. McGrawHill.1985 4. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Séptima Edición Edit. THOMSON LEARNING. 2002. 5. William Trench, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera, Primera Edicion; Internacional THOMSON Editores. 2002
GUÍAS DIDÁCTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Actividades Aprendizaje esperado: Comprende y identifica las ecuaciones diferenciales exacta y factor de integración ( CP). Planifica en forma adecuada para para determinar la solución de las ecuaciones ecuaciones diferenciales exacta y factor de integración.(PP) Ejecuta la solución de las ecuaciones diferenciales exacta y factor de i ntegración. (EP) Verifica y generaliza la solución de las ecuaciones diferenciales exacta exacta y factor de integración. (V) Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos. minutos.
1.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS. DIFERENCIAL TOTAL. Definición.- Si f :
2
, es una función diferencial en ( x, y)
2
, entonces la ecuación diferencial
total de f es la función df , cuyo valor esta dado por: df x, y
f ( x, y) f ( x, y) dx dy dy x
DIFERENCIAL EXACTA Definición.-Una Definición.-Una expresión de la forma: M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 , se denomina exacta exacta si existe una función f : D
2
tal que:
df ( x, y ) M ( x, y )dx N ( x, y)dy
2.
ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIAS EXACTA DEFINICIÓN.- Consideremos la ecuación diferencial. M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 ...................(1) Si existe una función z f ( x, y) tal que:
f ( x, y ) M ( x, y ) x
f ( x, y) N ( x, y) y
diremos que la ecuación (1) es una ecuación diferencial exacta. TEOREMA: La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 ,
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 ..............................(1) Entonces existe una función f ( x, y) tal que:
f ( x, y ) M ( x, y ) x
f ( x, y) N ( x, y) ...........(2) y
Reemplazando (2) en la ecuación (1) se tiene:
f ( x, y) f ( x, y) dx dy 0 .......................(3) x dy por otra parte, si z f ( x, y) entonces su diferencial total es: dz
f ( x, y) f ( x, y) dx dy .....................(4) dy x
Luego al comparar comparar la ecuación (3) y (4) se tiene:
dz 0 , integrando tenemos z C , es decir f ( x, y ) C que es la solución de la ecuación diferencial.
f ( x, y ) M ( x, y ) integrando con respecto a x x
Como f ( x, y )
M ( x, y )dx g ( y ) ........................(*)
donde g ( y )
es la constante de integración.
Derivando la ecuación (*) con respecto a y se tiene:
f ( x, y) M ( x, y)dx g [ ( y) y dy Como
f ( x, y) N ( x, y) entonces se tiene: y
N ( x, y )
M ( x, y )dx g ( y ) , de donde dy
g { ( y) N ( x, y)
g ( y )
[
dy
M ( x, y)dx , integrando con respecto a y
[ N ( x, y )
dy
M ( x, y)dx ] dy K .................(**)
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas ( y y cos xy) dx ( x x cos xy) dy 0 M
N
Sean: M x, y y y cos xy N x , y
x x cos xy
derivando parcialmente con respecto a x e y tenemos:
M ( x, y ) 1 cos xy xysenxy y N ( x, y) 1 cos xy xysenxy x Se observa que:
M ( x, y) N ( x, y ) y x
como son iguales la ecuación diferencial es exacta:
z f ( x, y ) f ( x x, y ) M ( x, y ) , f ( x y, y ) N ( x, y ) De donde:
f ( x, y ) M ( x, y ) y y cos xy (1) x
Integrando (1) con respecto a “x” se tiene:
df ( x, y) ( y y cos xy)dx f ( x, y ) xy senxy senx y g ( y ) (2)
Derivando (2) con respecto a “y”:
f ( x, y) x x cos xy g `( y) f ( x y, y) N ( x, y ) , De donde se tiene: y x x cos xy g `( y ) x x cos xy , Eliminando términos iguales se obtiene:
g `( y ) 0 (3) , Integrando (3) con respecto a “y” se tiene: g ( y ) C (4) , Reemplazando (4) en (2):
f ( x, y ) xy senxy C f ( x, y ) z K , Entonces se tiene:
4.
xy senxy C
ECUACIONES DIFERENCIALES POR FACTOR DE INTEGRACION Consideremos una ecuación de de la forma:
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Como la ecuación (2) es exacta entonces debe cumplir el teorema fundamental.
u( x, y ) M ( x, y ) u ( x, y) N ( x, y) y x
u( x, y) M ( x, y) u( x, y) N ( x, y) M ( x, y ) u ( x, y ) N ( x, y ) u ( x, y ) y y x x
…………..(3)
Para determinar factor de integración se considera los si guientes casos:
CASO I.I.- Si u ( x, y ) es una función que depende solo de la variable x , entonces:
u ( x, y) 0 . Luego la ecuación ( 3 ) resulta: y
u( x, y )
M ( x, y) u ( x, y) N ( x, y ) N ( x, y ) u ( x, y) y x x
N ( x, y )
u ( x, y) M ( x, y ) N ( x, y) ( x y x
du( x) dx
1 N ( x, y)
du( x)
u( x)
sea : f ( x)
1 N ( x, y)
du( x)
u ( x)
(
(
M ( x, y) N ( x, y ) y x 1
N ( x, y )
(
) u ( x)
) u( x) ,integrando
M ( x, y ) N ( x, y ) y x
M ( x, y ) N ( x, y) y x
) dx
) entonces:
f ( x)dx , integrando se tiene:
ln u( x) f ( x)dx ; Levantando logaritmos se tiene: u ( x) e
f ( x )dx
, es el factor de integración con respecto a x
CASO II.- Si II.- Si u ( x, y ) es una función que depende solo de la variable y , entonces:
u ( x, y) 0 . Luego reemplazando reemplazando en la ecuación ( 3 ) resulta: x
u ( x, y) M ( x, y ) N ( x, y) M ( x, y ) u ( x, y ) u( x, y) , agrupando y despejando: y y x u( y)
1
M ( x, y) N ( x, y )
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas g ( y)
sea :
1
(
M ( x, y )
du( x)
u ( x)
N ( x, y ) M ( x, y ) x y
) entonces:
g ( y)dy , integrando se tiene:
ln u( y) g ( y )dy ; Levantando logaritmos se tiene:
u( y ) e
g ( y )dy
, es el factor de integración con respecto a y
EJEMPLO: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
x
2
y dx xdy 0 SOLUCIÓN:
M x 2
Sea:
y
N x
M 1 y
N 1 x
Como las derivadas parciales son diferentes, entonces necesitamos factor de integración: f x
u x
1
x 1 x 2
1 (1)
2 x
u x
e
f x dx
, es el factor de integración, multiplicando a la ecuación dada, se tiene:
1 y dx 1 dy 0 x x 2 Sea:
M 1 N
1 x
y x 2
M 1 y x 2
N 1 x x 2
Como las derivadas derivadas parciales son iguales, entonces es una ecuación ecuación Diferencial Exacta. Como es exacta z f x, y /
f f N x , y M x, y y x
y f M x, y 1 2 x x
, Integrando c/r a “x”, se tiene:
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas g ' y 0 , Integrando c/r a “y”, se tiene:
C 1 , reemplazando se tiene:
g y
f x , y
y
x C 1 / f x, y C x
xK x 2 y 5.
ACTIVIDADES
I.
Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales Exactas. 1.
y ( x
2.
senxy c ( y y cos xy)dx ( x x cos xy) dy 0 Rpta. xy senxy
3. 4.
Rpta. y ln x 3x2 2 y k
6 x)dx (ln x 2)dy 0
2 x
1 dy (2 ln 5 y )dx 0 y x
Rpta. ln x 2 x ln y k
2
e x (dy 2 xydx) 3 x2 dx x
x
Rpta. ye x
x
5.
( x e ) dx e (1 ) dy 0, y
6.
(2 xy 3)dx ( x2 4 y) dy 0, y(1) 2
y
y
y(0) 2
2
x3 k
Rpta
x 2 2
x
ye y 2
Rpta x 2 y 3 x 2 y 2
7
II. Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de factor de integración.
3 x 1
1.
2 y dx 3 x dy
2.
y 4 xy 3 dx x 3 xy 2 dy
3.
4 xdy 3 ydx
4.
ydx 2 xdy x 3 ydx
5.
ydx 2 x 2 y 3 x dy ,
6.
dy dx
x
e
2y
0
y 3 xdx
e x y
dy
Rpta. y 3 x 2
1 c
Rpta. x 4 y 3
x 3 y 2 C
Rpta. 2 y 4 x c x 3 Rpta. 31n xy 2
y 1 1
, y 0 1
x 3 c
Rpta. xy 3 2 xy 1 0 Rpta. e x y 1 21ny
Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGraw-
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 4. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Séptima Edición Edit. THOMSON LEARNING. 2002.
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
GUÍAS DIDÁCTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
GUÍA: 04 Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer Orden
Lic. Martín Condori Concha
[email protected]
2010
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas UNIDAD DIDÁCTICA: ECUACIONES DIDÁCTICA: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Objetivo: Objetivo: Aplicar el método heurístico en las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Contenidos: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Clasificaciones de las ecuaciones diferenciales lineales. Aplicaciones Actividades Aprendizaje esperado: Comprende y identifica las las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. (CP). Planifica en forma adecuada para determinar la solución de las ecuaciones diferenciales diferenciales lineales de primer orden.(PP) Ejecuta la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (EP) Verifica y generaliza la solución de las ecuaciones ecuaciones diferenciales lineales lineales de primer orden. (V) Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos. 1.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Definición.- Una Definición.- Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma: dy dx
p( x) y h( x) .........................(1)
donde: p( x) y h ( x ) son funciones funciones que depende depende de x .
2.
CLASIFICACION DE LAS ECAUCACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se clasifican en:
2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS. HOMOGÉNEAS . Definición.-Una Definición.-Una ecuación diferencial diferencial lineal homogéneas es de primer orden es de la forma: dy dx
p( x) y 0
Cuya solución es: dy p( x) ydx 0
dy y dy
p( x)dx , integrando se tiene:
y p( x)dx
ln y
p ( x)dx ln C
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas p ( x ) dx ke , Es la solución de la ecuación diferencial lineal
y
homogénea.
2.2. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGENEA. Definición.-Una Definición.-Una ecuación diferencial diferencial lineal no homogénea es de la forma: dy
p( x) y R ( x)
dx
Para resolver la solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea, se multiplica pro factor de integración u( x) e
p ( x ) dx
e
Es decir: e
p ( x ) dx
a la ecuación dada:
p ( x ) dx
[ dy p( x) ydx R( x)dx ]
dy e
p( x) ydx e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
R( x)dx ,
utilizando diferenciales d ( ye
p ( x ) dx
ye
y
) e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
R( x)dx , Integrando
p ( x ) dx R ( x ) dx + k e
p ( x ) dx p ( x ) dx e [e R( x)dx k ] , Es la solución de la ecuación
diferencial lineal no homogénea EJEMPLO: Resolver la solución de ecuación diferencial lineal. 2 y( y 2 x)dy dx
SOLUCIÓN: dx dy dx dy
2 xy 2 y 3 , es una ecuación diferencial lineal porque porq ue tiene la forma:
P ( y) x R( y) , cuya solución es: x e
P ( y )dy
Reemplazando se tiene la solución:
e
R( y)dy C
P ( y ) dy
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas x e y
x y 2
3.
1 C e y
2
e y 2 ( y 2 1) C
2
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Las aplicación a ecuaciones diferenciales lineales son varias, nosotros desarrollaremos los sig uientes aplicaciones.
3.1. APLICACIONES A CIRCUITOS ELECTRICOS En electricidad se cuenta con las leyes de Kirchhoff que describen el comportamiento de los circuitos eléctricos. En particular aplicaremos la segunda Ley de Kirchhoff, que enunciaremos más adelante. Para el estudio de los circuitos eléctricos usaremos las siguientes símbolos y unidades de medida, tal como se observa las siguientes cuadros. Cuadro 01 Cantidad
Símbolo
Unidad
Voltaje, f.e.m. o potencial
E
Voltio (V )
Resistencia
R
Ohm (Ω)
Inductancia
L
Henry (H)
Capacitancia
C
Farad (F )
Corriente
I
Amper (A)
Carga eléctrica
q
Coulomb (C)
Cuadro 02 Elemento Resistencia
Caída de Potencial E RI E L
dI
Inductor E
Condensador
dt
1 C
q
Usaremos los diferentes elementos elementos de un circuito como se ilustra _
+
ó
Generador o batería
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas “La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es c ero”
Consideremos que la corriente fluye del lado positivo (+) de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo ( –)
3.2.1. CIRCUIT0
LR EN
SERIE
Consideremos el circuito eléctrico RL
tal como se muestra en la figura.
La ecuación básica que rige la cantidad de corriente I que esta dado en amperios, en el circuito de la figura, que consiste en una resistencia R dados en Ohmios, Ohmios, una inductancia L , dado en henrios y una fuerza electromotriz E , cuya ecuación diferencial es: L
dI (t ) dt
R I (t ) E (t )
Cuya solución es: R t
I (t ) e
L
RLt e E (t )dt C
Ejemplo: A un circuito LR en serie, se aplica aplica una fuerza electromotriz electromotriz de 30 voltios, 50 ohmios de resistencia, 0.1 Henrios de inductancia y ninguna corriente inicial. Determinar la corriente en cualquier tiempo t . SOLUCIÓN: Paso 1: Comprendiendo el problema. Debemos determinar la cantidad cantidad de corriente en en cualquier cualquier tiempo tiempo t en circuito RL; sabiendo que inicialmente inicialmente no hay ninguna corriente en el circuito. circuito.
Paso 2: Elaborando un plan. Sea: I (t ) la cantidad de corriente en el circuito eléctrico RL en un tiempo tiempo t. La ecuación diferencial L
dI (t ) dt
R I (t ) E (t ) que rige cantidad de corriente corriente en en el circuito
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
Como datos del problema tenemos:
0 Al inicio no hay corriente en el circuito RL, Cuando el tiempo t
fem 30voltios , R 30 , L o.1 henrio
Nos pide la cantidad corriente I (t ) en en cualquier tiempo t en el circuito RL.
Paso 3: Ejecutando el plan. La ecuación diferencial es: L
dI (t ) dt
R I (t ) E (t ) para la solución de esta ecuación
aplicaremos ecuación diferencial lineal. Sabemos que la solución de ecuación diferencial lineal de circuito eléctrico es: Rt L
I =e
Rt L e Edt Ed t C
Reemplazando los datos del circuito eléctrico se tiene : 50 t 50t
I =e
0.1
50 t 50t
I =e
0.1
500.1t e 30dt C
0.1 050.1t 30 e C 50
Integrando y aplicando las condiciones iniciales I(0) = 0 , se tiene: 50
O=e 50
luego tenemos:
I =e
0 .1
0.1
t
(o )
0.3 050.1 ( o ) C e 5
50 t 0 06e 0 1 ( 0 06)
C = - 0.06
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas E
I (t )
3.2.2. CIRCUIT0
EN RC EN
R
R
Ke
L
t
SERIE
Consideremos el circuito eléctrico RC tal como se muestra en la figura.
Para un circuito RC , que consiste consiste en una resistencia resistencia R dados en Ohmios, Ohmios, una capacitancia capacitancia C y una fuerza electromotriz E y ninguna inductancia tal como se ve en la figura, la ecuación que rige la cantidad de carga eléctrica q , ( en Culombios ) sobre el condensador condensador es: dq dt
1 RC
q
E (t ) ……………………………….(1) R
Pero la corriente I y la carga q están relacionadas por: I
dq dt
Por tanto la ecuación (1) se transforma en una ecuación diferencial lineal R
dq dt
1 C
q
E(t)
Ejemplo: Se aplica una fuerza electromotriz electromotriz de 200 voltios a un circuito RC en serie, una resistencia es 1000 ohmios y la capacitancia es 5x10-6 faradios. Determinar la carga q (t ) del capacitar si I (0) 0.4 amperios. Encuentre la carga q (t ) y la intensidad de corriente I en t = 0.005 segundos. SOLUCIÓN: Paso 1: Comprendiendo el problema. Debemos determinar la cargo eléctrica y intensidad intensidad de corriente en el el tiempo tiempo t = 0.005 seg. En el circuito RC; sabiendo que inicialmente inicialmente no hay hay ninguna corriente en en el el circuito.
Paso 2: Elaborando un plan.
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas La ecuación diferencial diferencial que rige cantidad de carga eléctrica en en el circuito eléctrico eléctrico RC es: dq dt
1 RC
q
E (t ) R
, esta se puede resolver mediante la ecuación diferencial lineal y
cuya solución es de la forma:
q
e
1dt
RC
[
e
dt
RC E dt K R
Además debemos encontrar la intensidad de corriente I , el cual hallaremos derivando la carga con respecto al tiempo y como datos temeos: E
voltio s , 200voltios
R =1000 ohmios C =5x 10-6 faradios
Paso 3: Ejecutando el plan. Aplicando la ecuación diferencial de la carga eléctrica es: dq
q
E
dt RC R
cuya solución es:
q
e
1dt
RC
[
e
dt
RC E dt K ]…..……..( 1 ) R
Remplazando lo datos en la ecuacion (1) se tiene: tiene: q(t ) e
dt 10005106
q(t ) e
1000 dt 5
1000d5t10 200 e d t k 1000 6
1000 dt 200 5 e d t k
1000
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Reemplazando los datos: I (t ) 0.4 cuando t 0.005 seg en (3)
0.4 200ke 200(0.005) 0.4 200 ke 1 k
1.087 200
Reemplazando el valor de en (3) sabemos que la intensidad de corriente esta dado por: I (t ) 200(
1.087 200
)e 200t
I (t ) 1.087e 200 t carga es: para t 0.005 seg la
q (0.005)
1 1000
1.087 200
e 200(0.005)
q (0.005) 1x103 Culombios
Paso 4. Hacer la verificación. Para resolver la solución de problemas mediante la ecuación diferencial lineal, para circuitos eléctricos RC, se puede generalizar: generalizar : q (t ) EC Ke
4.
1 RC
t
ACTIVIDADES: I.
Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales. dy
3
Rpta. y x y
y 2 x 4
4
1.
3
2.
x 1dx ( x sen y 1)dy
3. 4.
dx
dy dx
x
3x 2 3
3
1 x
ce y
3
x2 c
1 2
(sen y cos y)
Rpta. y c x
y 1
Rpta.
3
dy ydx 2xy 2e xdx
1 x
Rpta. 1 ye (c x ) x
2
II. Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. 1.
dy dx
2 x
y
cos x x
,
y ( ) 0, 0, y 0
Rpta. y
senx x 2
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas dy
4.
dx
ytgx
1 cos x
,
y (0) 0
Rpta. y
x cos x
III. Resolver la solución de los siguientes si guientes problemas utilizando el método heurístico 1.
Un circuito RL tiene una fuerza electromotriz electromotriz de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios y una inductancia de 1henrio y ninguna corriente inicial. Encuentre : a)
La corriente en el circuito en cualquier tiempo t .
b)
y su componente en estado transitorio Rpta: a) I
2.
1 10
1 10
e 50 t
b) I s
1 10
Un circuito RC tiene una fuerza electromotriz electromotriz de 10 sent sent voltios, una resistencia de 100 ohmios y una capacitancia de inductancia de de 0.005 faradios y ninguna ninguna carga carga inicial. Encuentre : a)
La carga sobre el capacitor en cualquier tiempo tiempo t .
b)
La corriente de estado estacionario. Rpta: a) q
1 50
(2 sent cos t e2t )
b) I s
1 50
(2 cos t sent )
3.
En un depósito hay 190 litros de disolución acuosa que contiene 10 Kg de sal. Se vierte agua en el depósito con una velocidad de 3 litros por minuto y la mezcla se expulsa con velocidad de 2 litros por minuto. La disolución se mantiene homogénea removiendo el contenido del tanque constantemente. constantemente. Calcular la cantidad de sal que habrá en en el tanque después de transcurrida una hora. Rpta: 3:9 Kg de sal.
4.
Una salmuera que contiene inicialmente 2 kg de sal por litro, fluye hacia el interior de un tanque inicialmente lleno con 500 litros de agua que contienen 50 kg de sal. La salmuera entra en el tanque a una velocidad de 6 l/min. La mezcla, que se mantiene uniforme por medio de agitación, está saliendo del tanque a razón de 5 l/min. tanque al cabo de 10 minutos. a) Calcula la concentración de sal en el tanque b) Transcurridos 10 minutos, se presenta una fuga en el tanque que ocasiona que salga de
´el un litro adicional por minuto. ¿Cuál será la concentración de sal contenida en el tanque al cabo de 20 minutos? Rpta: (a) 0 ,3128 kg/l. (b) 0 ,5001 kg/l
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 6.
Justo antes del medio día el cuerpo de una víctima, aparentemente de homicidio, se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante a 69 ,8 °F. Al medio día la temperatura del cuerpo es 79 ,8 °F y a la 1 pm es de 74 ,8 °F. Si se supone que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era de 98 ,6 °F y que se ha enfriado de acuerdo con la ley de Newton. ¿Cuál es la hora del crimen? Rpta: 10 horas, 28 min.
Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGrawHill.1990. 2. Earl Y. Coddinton, Introducción Introducción a la Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Edit.McGraw-Hill.1987 3. G. Baranenkov- B. Demidovich., Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Edit. McGrawHill.1985 4. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Séptima Edición Edit. THOMSON LEARNING. 2002. 5. William Trench, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera, Primera Edicion; Internacional THOMSON Editores. 2002
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Aplicaciones. Actividades Aprendizaje esperado: Comprende y identifica las las ecuaciones diferenciales de Bernuolli y Riccati (CP). Planifica en forma adecuada para determinar la solución de las ecuaciones diferenciales de Bernuolli y Riccati.(PP) Ejecuta la solución de las ecuaciones diferenciales de Bernuolli y Riccati.(EP) Verifica y generaliza la solución de las ecuaciones ecuaciones diferenciales de Bernuolli y Riccati. (V) Metodología: Aplicación del método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos.
1.
ECUACIONES DIRFERENCIALES DE BERNOULLI Definición.- Se llama ecuación diferencial de Bernoulli a una ecuación de primer orden que se puede expresar de la forma: dy p( x) y R( x) y n ; n1....................(1) dx La ecuación (1) no es una ecuación diferencial lineal, pero se puede transformar transformar a una ecuación diferencial lineal.
2.
SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI Consideremos una ecuación de Bernoulli. dy dx
p ( x) y h( x) y n ; n1 ...........................(1) n
Multiplica por y a la ecuación (1) se tiene: tiene: n
y [ y
dy dx
n
dy
n
dx dy
p( x) y h( x) y n ] n
+ y p( x) y
n
y R( x) y n
n
h( x) ................(2) dx Multiplicando por (1 –n ) a la ecuación (2). n dy 1 n + (1 n) p( x) y (1 n) h( x ) .........(3) (1 n) y dx y
Sea:
1 + p( x) y
z y1 n dz dx
(1 n) y n
dy dx
…….. .........................(4)
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
EJEMPLO: EJEMPLO: Resolver la solución de la ecuación diferencial de Bernoulli. ( x 2
1)
dy dx
xy x 2 y 2 SOLUCIÓN:
( x 2
1)
dy dx
xy x 2 y 2 , llevando a la forma de la ecuación diferencial de Bernoulli: dy dx
dy dx
x
( x
2
1)
x 2
y
( x
2
1)
forma: y 2 , se observa que tiene la forma:
p( x) y h( x) y n , donde: x2
x
p( x) 2 , h( x ) 2 , yn x 1 x 1 Multiplicando por y n es decir por y 2 dy y 2 dx
x x 2
x 2 1 y
1
y 2
Sea: z y 1
dz dx
y 2
dy dx
dy dx
x 2
1
x x2
1
y2 n 2
, multiplicando por (1 n) , es decir por (1) y 1
x2 x 2 1
............................. (1) (1)
(2)
Reemplazando (2) en (1): dz dx
z
x
2
1
x 2 x
2
1
, se observa que tiene la forma de una ecuación diferencial diferencial lineal, por lo
tanto la solución será:
xdx 2 1 e x 2 1 x dx C z 2 x 1
xdx
z e x
2
2 x 1 1
x 2 x 2
1
dx x 2 1dx 2 2 x 1 x 1 1 1 1 x 2 z x 1 Ln x x 2 1 Ln x x 2 1 C y 2 x 2 1 2 z
1
Por lo tanto:
dx
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Definición.- Una ecuación diferencial de Riccati es de la forma: dy p( x) y R( x) y 2 h( x) ...................(1) dx Donde p(x), R(x) y h(x) son funciones que dependen de x . La ecuación diferencial de Riccati no se puede resolver por métodos hasta hasta este momentos estudiados, pero conociendo la solución particular ( x) ,si se puede resolver la solución de de la ecuación diferencial de Riccati. 4.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI Dada la ecuación diferencial diferencial de Riccati es de la forma: dy p( x) y R( x) y 2 h( x) ...................(1) dx Donde p(x), R(x) y h(x) son funciones que dependen de x . Y Consideremos una una solución de la ecuación de Riccati Riccati de la forma: y ( x) z ..........................(2) donde : z es una función incógnita que depende de la variable x derivando la ecuación (2) con respecto a la l a variable x se tiene: dy
dx
d dx
( x)
dz dx
………………….(3) ,
reemplazando en la ecuación (1) y (2 ) se tiene: d dx
( x)
dz dx
p( x)( ( x) z ) R( x)( ( x) z )2 h( x)
desarrollando y agrupando tenemos:
d ( x) ( p( x) 2 R( x) ( x)) z R( x) z 2 p( x) ( x) R( x) 2 ( x) h( x) 0 dx dx dz
como: y ( x) es una solución de la ecuación diferencial de RICCATI , entonces:
d ( x) 2 p ( x ) ( x ) R ( x ) ( x ) h ( x ) dx 0 , entonces se tiene: dz dx
dz dx
( p( x) 2 R( x) ( x)) z R( x) z 2 0 ( p( x) 2 R( x) ( x)) z R( x) z 2 ……………….(4)
Luego la ecuación (4) es una ecuación diferencial de Bernoulli Bernoulli y la solución de esta ecuación es conocida.
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Sea: y ( x) z ( x) x y x z , derivando cada miembro c/r a “x” dy dx
1
dz dx
, reemplazando en la ecuación original se tiene: x( x 1)(1
despejando
dz dx
dz ) (2 x 1)( x z ) ( x z ) 2 dx
2x 0 ,
se tiene: dz dx
1
( x
2
x)
z 2
z ( x
2
x)
se observa que tiene la forma de una ecuación diferencial de bernoulli, entonces multiplicando por z 2 a ambos miembros: dz 1 1 z 2 2 z 1 dx ( x x) ( x 2 x)
Multiplicando por (-1) a ambos miembros:
z 2 Sea:
du
u z 1
dx
dz dx
1
(
z 2
x 2
x
1
) z 1
( x 2
x)
(1)
dz dx
(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene: du dx
1
( x
2
x
1
)u ( x
2
x)
,
se observa que es una ecuación diferencial lineal, cuya soluci ón es:
dx x e x 2 x dx C x 2 x
dx
u e x
2
f ( x)dx
f ( x)dx
(1)
, integrando
dx
x2 x
dx
( x 1 )2 ( 1 )2 2
Ln
x 1
2
x
reemplazando en la ecuación (1): u
1 dx x C (c ) x 1 x 2 x x 1 x
y
x 2
1C
x
1 C
, sea
u
1
1
z y x
1C K
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 1
1.
dy ydx 3 x y dx x
2.
dy ydx 2 xy 2 e x dx
3.
3
dy dx
2
3 x
y
2
3x 2 1 Rpta, xy c 2 Rpta I . ye x c x 2 Rpta. x 3 y 3 x 2
2 x 4 y 4
c
II. Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de Riccati. dy (2 x 1) y y 2 2 x 0 , una solución es ( x) x 1. x( x 1) dx Rpta: y 2.
y ,
sen2 x.y 2
1 sen x cos x
x 2 c x c
y cos 2 x 0 , una solución es ( x)
Rpta: y
cos x sen x
sen x cos x
Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGrawHill.1990. 2. Earl Y. Coddinton, Introducción Introducción a la Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias, Edit.McGraw-Hill.1987 3. G. Baranenkov- B. Demidovich., Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Edit. McGrawHill.1985 4. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Séptima Edición Edit. THOMSON LEARNING. 2002. 5. William Trench, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera, Primera Edicion; Internacional THOMSON Editores. 2002
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Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Problemas de valor inicial y valor de frontera Condiciones de existencia y unicidad Actividades Aprendizaje esperado: Comprende y identifica las ecuaciones diferenciales de orden superior. (CP). Planifica en forma adecuada para determinar la solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior.(PP) Ejecuta la solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior (EP) Verifica y generaliza la solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. (V) Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos.
1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Las ecuaciones diferenciales de orden superior se consideran de dos casos: CASO I : I : Las ecuaciones diferenciales de la forma: n d y f ( x) ………..(1) dx n donde f ( x) es una función que depende solo de la variable x . La solución de la ecuación (1) se obtiene por integración integración sucesiva. Es decir: d n y d n1 y f ( x) n1 f ( x)dx c1 n dx dx d n 2 y f ( x)dx c1 dx c2 dx n 2 . . . y ... f ( x )dx c1 ..... dx c n
CASO II: Las ecuaciones diferenciales de la forma: d 2 y g ( y ) ……….(2) 2 dx donde g es una función que depende de la variable y . Para obtener la solución de la ecuación (2) se procede de la siguiente manera: d 2 y dx 2
dy , dx
Sabemos que:
dy , dy dy dx
d 2 y dx
2
y ,
dy , dy
g ( y ) entonces y y , 2
, dy
dy
,
g ( y ) y ,dy g ( y)dy ,
integrando se tiene:
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Ejemplo: Hallar la solución de las siguientes ecuaciones: 1. y’’ = 2 sen x cos 2x - sen 3x SOLUCION: y’’ = 2 sen x (1-sen2x ) - sen 3x y’’ = 2 sen x - 3sen 3x
integrando una vez
cos 3x + c1 y’ = -2 cos x+ ¾ cos x - 1/12 cos integrando otra vez para obtener el resultado y = -2 sen x + ¾ sin x – 1/36 sin3x + c1x + c2 y = sen 3x/ 3 + c1x + c2
2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n es de la forma siguiente: sigui ente: a n ( x)
d n y dx n
a n 1 ( x)
d n 1 y dx n 1
... a1 ( x)
dy dx
ao ( x) y Q( x)
Donde a o , a1 ,…., a n y Q son funciones que dependen solo de la variable x ó
……..(1)
son constantes.
3. CLASES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se clasifican en: 3.1. Ecuaciones diferenciales diferenciales lineales Homogéneas de orden orden superior, es de la forma: forma: an ( x)
d n y dx n
an 1 ( x)
d n 1 y dx n 1
... a1 ( x )
dy dx
ao ( x) y 0
Donde a o , a1 ,…., a n y son funciones que dependen dependen solo de la variable x ó constantes. 3.2. Ecuaciones diferenciales diferenciales lineales no Homogéneas de orden superior, es de la forma:
son
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas DIFERENCIALES HOMOGENEAS Sean y1 , y2 , y3 , . . . , yn , n soluciones de la ecuación diferencial Homogénea de orden n , en un intervalo I . Entonces la combinación lineal y 1 y1 ( x) 2 y2 ( x) . . .
k yk ( x) 0 , en donde las
i
, i 1, 2, 3, ..., k son
constantes arbitrarios, también es una soluciones de la ecuación diferencial Homogénea d e orden n , en un intervalo I .
5. INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS FUNCIONES Definición.- Un Definición.- Un conjunto de funciones, f 1 ( x) , f 2 ( x) ,…., f n ( x) es linealmente li nealmente independiente independiente en un intervalo I si existen escalares, 1 f 1 ( x) 2 f 2 ( x) . . . 1 =
2
=
3
= ….=
2
,
3,
….,
n
tal que:
n f n ( x) 0 , entonces:
Nota: Si alguno de los l os escalares,
1,
n
= 0
1,
2
,
3,
….,
n
, es diferente de cero, se dice que el
conjunto de funciones, f 1 ( x) , f 2 ( x) ,…., f n ( x) es linealmente dependientes en un intervalo I . 6. EL WRONSKIANO Definición.- El conjunto de funciones, f 1 ( x) , f 2 ( x) ,…., f n ( x) , si cada uno posee al menos n 1 derivadas. El determinante
W ( f 1, f 2 ,..., f n )
f 1
f 2
f 3
.
.
.
f n
f 1,
f 2,
f 3,
.
.
.
f n,
f 1, ,
f 2,,
f 3,,
.
.
.
f n,,
.
.
.
. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
f nn
1
f nn
1
f 3n
1
.
.
.
f nn
1
en donde las primas representan las derivadas, se llama Wronskiano de Wronskiano de las funciones f 1 ( x) , f 2 ( x) ,…., f n ( x) . EJEMPLO: Encontrar el Wronskiano Wronskiano de conjunto de funciones: funciones: x
x
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
W
e x senx
e x cos x
e x cos x e x senx
e x cos x e x senx
Hallando la determinante y queda W = -e2x
7. CRITERIO PARA SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Sean y1 , y2 , y3 , . . . , yn , n soluciones de la ecuación ecuación diferencial lineal homogéneo de orden n , en un intervalo I . Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente li nealmente independiente independiente en I , si y sólo si W ( f 1, f 2 ,..., f n ) 0 para todo x en el intervalo I . NOTA: Si el W ( f 1, f 2 ,..., f n ) 0 , si dice que es linealmente li nealmente Dependiente. Dependiente. 8. ACTIVIDADES I. Resolver el Wronskiano de los siguientes conjunto de funciones. funciones . 1. x, sen2 x, cos 2 x 2.
2
,x ,x
x
3
3.
1, senx senx, cos x
4.
e x , e 2 x , e x
5.
x, x 2 , x3
II. Determinar la independencia independencia lineal de los siguientes siguientes conjuntos de funciones.. 1. x, sen3x, cos 3x 2.
2, senx, cos x
3.
e x , e x , e x
4.
x, xe x , e x
5.
x, 2 x, x 2
Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGrawHill.1990. 2. Earl Y. Coddinton, Introducción Introducción a la Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias, Edit.McGraw-Hill.1987 3. G. Baranenkov- B. Demidovich., Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Matemático. Edit. McGraw-Hill.1985 4. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Séptima Edición
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GUÍAS DIDÁCTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
99999 UNIDAD DIDÁCTICA: ECUACIONES DIDÁCTICA: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR Objetivo: Objetivo: Aplicar el método heurístico a las l as ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Actividades Aprendizaje esperado: Comprende y identifica las ecuaciones diferenciales di ferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de coeficientes constantes (CP). Planifica en forma adecuada para determinar determinar la solución de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de coeficientes constantes .(PP) Ejecuta la solución de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de coeficientes constantes (EP) Verifica y generaliza la solución de las ecuaciones ecuaciones diferenciales lineales homogéneas homogéneas y no homogéneas de coeficientes constantes. constantes. (V)
Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos. 1.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES. CONSTANTES. Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes de orden n es de la forma: an
d n y dx n
an 1
d n 1 y dx n 1
... a1
dy
ao y 0
dx
……………..(1)
Donde a o , a1 ,…., a n son constantes reales. Para resolver las ecuaciones diferenciales lineales lineales homogéneas de coeficientes constantes, se transforma la ecuación (1) a una ecuación del polinomio característico característico de orden n de la forma:
an n an 1
n 1
. . . a1 a0 Como el polinomio característico P ( ) 0 es de orden n , entonces se obtiene n raíces 1 ,
P ( )
2 , 3 , 4 . . . , n ; los cuales pueden pueden ser, reales distintos, reales repetidos repetidos y números
complejos. Finalmente para dar la solución de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas homogéneas de coeficientes constantes, se presentan los siguientes casos: CASO I: Cuando las raíces del polinomio característico P ( ) 0 , son reales y distintos: 1
2
sistema fundamental de soluciones de la 3 4 . . . n , entonces el sistema x
x
ecuación (1) es de la forma: e 1 , e 2 , . . . , e Luego la solución general de la ecuación (1) es: y g C 1 e
1 x
+ C 2 e
2 x
+ . . . + C n e
n x
;
n x
CASO II: Cuando las raíces del polinomio característico P ( ) 0 , son reales y repetidos: 1 = 2 = = =. . . = = , entonces el sistema sistema fundamental de soluciones de la ecuación ecuación (1) es
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas CASO III: Cuando las raíces del polinomio característico P ( ) 0 , son números complejos: 1 = 1 i 1 ;
2 = 1 i 1 ;
3 = 2
i 2 ;
4 = 2
i 2 ;
entonces el sistema fundamental de soluciones de la ecuación (1) es de de la forma:
e
1 x
cos 1 , e
1 x
sen 1 , e
2 x
cos 2 , e
2 x
sen 2 ;
Luego la solución general de la ecuación (1) es: y g C 1 e
1 x
cos 1 + C 2 e
1 x
sen 1 + C 3 e
2 x
cos 2 + C 4 e
2 x
sen 2
EJEMPLOS: Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1.
y iv
4 y´´´6 y´´4 y´ y 0
SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: El polinomio característico de la ecuación es: p( ) 4
4 3 6 2 4 1 0
Las raíces del polinomio característico 1 1 , 2 1 , 3 1 ,
4
1
Entonces la solución general es:
2.
y iv
Y g C 1e x
C 2 xe x C 3 x2e x C 4 x3e x
2 y y 0
SOLUCION: El polinomio característico característico de la ecuación ecuación diferencial es p 4
2 3 2 0
Las raíces del polinomio característico es : 1 0, 2 1 , ambos de multiplicidad 2. Entonces la solución general es: y g
2.
C 1 C 2 x C 3e x C 4 xe x
ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES. Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden n es de la forma :
an
d n y dx
n
a n1
d n 1 y dx
n 1
... a1
donde a o , a1 ,…., a n son constantes constantes reales. reales.
dy dx
a o y Q( x)
………..(1)
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas y p .Finalmente la solución de la ecuación (1) es la suma de solución general mas mas la solución particular:
y = y g + y p Para resolver la solución general y g , de la ecuación ecuación (1) se procede a utilizar los diferentes casos de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Para resolver la solución particular de la ecuación (1), se debe tener en cuenta que el segundo miembro de la ecuación ecuación diferencial diferencial lineal no homogénea homogénea de coeficientes constantes Q ( x ) es de la forma:
Q( x) e x P n (x) (x) cos ( x) H m (x)sen( x) donde P n ( x) y H m ( x ) son polinomios de grado n y m respectivamente, entonces la solución particular y p de la ecuación (1) es:
y p Donde:
~ ~ x t e x P ( x ) cos( x ) H k k ( x ) sen( x )
k max n, m
i
=
y
t es el orden de multiplicidad de la raíz
~ ~ , P son polinomios en x de grado k , para k ( x) y H k ( x)
determinar la solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes se presenta los siguientes casos: CASO I: Cuando el segundo miembro de la ecuación ecuación (1) es de la forma: forma: Q( x) P n ( x) , entonces: 1)
Si 0 , no es raíz de la ecuación e cuación característica P ( ) 0 , entonces, la solución particular ~ de la ecuación diferencial es: y p P n ( x)
2)
Si 0 , es raíz de la ecuación característica car acterística P ( ) 0 , entonces la solución particular de la ecuación diferencial es: y p
~
x t P n ( x) donde t es la multiplicidad de
0 .
CASO II: Cuando el segundo miembro de la ecuación ecuación (1) es de la forma: forma:
Q( x) e x P n ( x) , entonces: 1)
Si
e cuación característica P ( ) 0 , entonces, la solución particular 0 , no es raíz de la ecuación
de la ecuación diferencial es: y p
~
e x P n ( x)
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas CASO III: Cuando el segundo miembro de la ecuación ecuación (1) es de la forma: forma: y p e
x
P n ( x) cos( x) H m ( x) sen( x)
donde P n ( x) y H m ( x) son polinomios de grado n y m , respectivamente, entonces: 1)
si
i
, no es raíz de la ecuación característica P ( ) 0 , entonces, la solución
~ ~ particular de la ecuación diferencial es: y p e x P k ( x) cos( x) H k ( x) sen( x ) ~ ~ donde: k max n, m y P son polinomios en x de grado k k ( x) y H k ( x)
2)
Si
i
, es raíz de la ecuación característica carac terística P ( ) 0 , entonces la solución
~
~
particular de la ecuación diferencial es: y p x t e x P k ( x) cos( x) H k ( x) sen( x) ~ ~ donde: k max n, m y P son polinomios en x de grado t k ( x ) y H k ( x)
es la multiplicidad de
i
.
EJEMPLOS: Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
1.
d 2 y dx
2
2
dy dx
15 y (15 x 2 4 x 13) SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
El polinomio característico es: p( ) 2 2 15 0
las raíces del polinomio característico son: 1
3
y
2
5
entonces la solución general es:
y g C1e3 x
C2e5 x
Luego la solución particular es: y P Ax2
Bx C ...............(1) y p 2 Ax B.................(2) y P
A...............(3)
Reemplazando (1), (2), (3) en la ecuación dada se tiene: 2 A 4 Ax 2 B 15 Ax2
15 Bx 15C (15 x 2 4 x 13)
Formando y resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:
15 A 15
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
2.
y' '4 y '3 y
20 cos x
SOLUCIÓN: El polinomio característico es: 2 4 3 0 las raíces del polinomio característico son:
1
1,
2
3
Entonces la solución general es: y g C1 e x
C2e 3 x
Luego la solución particular es: y P A cos x Bsenx...............(1)
y p
cos x...... ......... ...... ...... ...(2) (2) Asenx B cos
y P
A cos x Bsenx.............(3)
Reemplazando (1), (2), (3) en la ecuación dada se tiene: 2A - 4B = 20 4A +2B = 0
de donde: A = 2, B = -4 y P 2 cos 2 x 4senx Luego:
y C1 e x C2 e3x 2 cos 2 x 4 senx 3.
APLICACIONES Un circuito eléctrico contiene en serie una resistencia de R= 10 Ohmios, una inductancia L = 2 Henrios y una fuente de voltaje E(t) = 4Cos(t). Determine la carga y la corriente que circula si en el instante inicial la carga y la corriente son nulas. SOLUCIÓN Paso 1: Comprendiendo el problema. Debemos determinar la carga eléctrica y la cantidad de corriente corriente en cualquier cualquier tiempo tiempo t en circuito RL; sabiendo que inicialmente no hay ninguna corriente en el circuito.
Paso 2: Elaborando un plan. Sean: q (t ) la cantidad de carga en un instante de tiempo t y I (t ) la cantidad de corriente en el circuito eléctrico RL en un tiempo t. La ecuación diferencial de la carga es L
d 2 q(t ) dt
2
R
dq (t ) dt
V (t ) en un circuito eléctrico RL, la
ecuación diferencial es de orden superior entonces resolveremos la solución con ecuación
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas R 100 ,
L 2 henrio
Nos pide: q (t ) y I (t ) en cualquier tiempo t . Paso 3: Ejecutando el plan. La ecuación diferencial es: L 10
d 2 q(t )
dq(t ) dt
dt 2
2
d 2 q (t )
R
dq(t ) dt
d 2 q (t ) dt 2
5
V (t ) , reemplazando los datos se tiene:
4 cos(t )
dq(t )
……………………………………(1 ) 2 cos(t ) ……………………………………(1 dt 2 dt La ecuación (1) es una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes contantes,
entonces la solución es de la forma: q(t ) q g (t ) q p (t ) Primero encontraremos la solución general q g (t ) , El polinomio característico es:
2 5 0
Las raíces del polinomio característico son: 1 0,
2
5
Solución de la ecuación homogénea. q g (t ) c1 c2 e
5t
.
Segundo hallaremos la solución particular q p (t ) Como el segundo miembro d la ecuación es la forma: h(t) 2 cos t Asumiendo una solución particular para la ecuación ec uación no homogénea:
q p (t ) A cos t B sen t , derivando c/r a t se tiene: q p (t ) Asen t B cos t , la segunda derivada es q p (t ) Asen t B cos t Reemplazando los valores de y p y y p en la ecuación (1) se tiene: Bsent 5( Asent Asent B cos t) 2 cos t A cos t Bsent Los coeficientes A y B se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones: 5 B A 0 B 5 A 0
la solución del sistema de ecuaciones es A luego la solución particular es: q p (t )
1
1 13
y B
cos t
5
5 13
sen t 13 13 finalmente la solución de la ecuación diferencial lineal es:
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas c1 c2
1 13
0
5c2
5 13
0
c2
1
y c1
13
2 13
finalmente la solución es: q(t )
2 13
1 13 13
e5t
1 13
cos(t )
5 13
sen( t)
Paso 4. Hacer la verificación. Para resolver la solución de problemas problemas mediante mediante la ecuación diferencial diferencial
lineal
homogénea y no homogénea homogénea del circuito eléctrico RL, se puede resolver por diferentes diferentes métodos. 4.
ACTIVIDADES I. Hallar la solución de las siguientes sigui entes ecuaciones diferenciales diferenciales 1.
y' ' ' y' ' y' y 0
2.
y' ' ' y' ' y' y 0
3.
y' '4 y'2 y 0
4.
y' '9 y 9 0
c3e x Rpta: y A cos x Bsenx Bsenx ce x 2 x 2 2 x c2 cos x Rpta: y e 3 c1 sen 3 3 Rpta: y c1 sen3 x c2 cos 3x 1
Rpta: y (c1 c2 x)e x
II. Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales. 1.
d 3 y dx 3
dy dx
x 1
Rpta: y
c1 c2 e c3e c1e 4 x c2 e x 5e x
2.
y"3 y'4 y 30e x
Rpta: y
3.
y"3 y '10 y 6e
Rpta: y c1e
2, y(0) y' (0) 2 5. y' ' ' y' 3(2 x), y(0) y' (0) y' ' (0) 1 4.
y ' ' y x 2
4 x
x
x
2 x
c2 e
5 x
x 2 2
x
e 4 x 3
Rpta: y x 2
2 senx Rpta: y e x x 3
III. Resolver la solución de los siguientes problemas utilizando el método heurístico 1. Un circuito RLC en serie tiene una fem dada por E sen(100 t ) voltios, un resistor de 0.02 ohmios, un inductor de 0.001 henrios y un capacitor de 2 faradios. Si la corriente inicial y la carga inicial son ceros, determinar la corriente del circuito para t > 0. 9 105 95 20 10t ( cos(20t ) sen(20 t)) cos(100 t) sen(100 t) Rpta: i (t ) e 9 43 18 85 9 43 9 43
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGrawHill.1990. 2. Earl Y. Coddinton, Introducción Introducción a la Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias, Edit.McGraw-Hill.1987 3. G. Baranenkov- B. Demidovich., Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Edit. McGrawHill.1985 4. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Séptima Edición Edit. THOMSON LEARNING. 2002. 5. William Trench, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera, Primera Edicion; Internacional THOMSON Editores. 2002
GUÍAS DIDÁCTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
UNIDAD DIDÁCTICA: ECUACIONES DIDÁCTICA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIACION DE PARAMETRO. Objetivo: Objetivo: Aplicar el método heurístico heurístico a las ecuaciones ecuaciones de variación de parámetro. parámetro. Contenidos: Ecuaciones diferenciales diferenciales de variación de parámetro. parámetro. Ecuaciones diferenciales de factor de integración. Aplicaciones Actividades
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
Ejecuta la solución de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de coeficientes constantes (EP) Verifica y generaliza la solución de las ecuaciones ecuaciones diferenciales lineales homogéneas homogéneas y no homogéneas de coeficientes constantes. constantes. (V)
Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos.
1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIACIÓN DE PARÁMETRO DEFINICION.- El método de variación de parámetro sirve para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes de tercer orden. Consideremos una ecuación diferencial lineal no homogénea de constantes de tercer orden. orden. d 3 y dx
donde
3
a1
d 2 y dx
2
a2
dy dx
a3 y f ( x ) ……………….(1)
a1 , a2 , a3 son constantes reales y f ( x) es una función que depende de la variable x o
constante. Consideremos que la solución general de la ecuación homogénea es: y g
c1 y1
c2 y2
c3 y3
Luego la solución particular de la ecuación (1) es de la forma: y p
u1 y1 u2 y2 u3 y3
donde u1 , u2 , u3 son funciones incógnitas que satisfacen a las condiciones sigui entes:
u1' y1 u2' y2 u3' y3 0 ' ' ' ' ' ' u1 y1 u21 y2 u3 y3 0 ……………….(2) u ' y" u ' y" u ' y" f ( x) 11 2 2 3 3 La ecuación (2) es un sistema de ecuaciones en u1' , u2' , u3' . Para resolver la solución de la ecuación diferencial por método método de Variación de parámetro el método consiste en: 1. Escribir la ecuación general de la ecuación homogénea. y g c1 y1 c2 y2 c3 y3 2.
Reemplazar las constantes a1 , a2 , a3 por las funciones incógnitas u1 , u2 , u3 , obteniendo la solución particular de la ecuación (1). y p
3.
u1 y1 u2 y2 u3 y3
Formar el sistema de ecuaciones bajo las condiciones de la ecuación (2)
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 6.
Sustituya u1 , u2 y u3 en en la solución particular. particular.
7.
Finalmente la solución es: y y g yP
Nota : Para resolver u1' , u 2' , u3' , de la ecuación (3) , utilizaremos la regla de Cramer: Cramer:
u1
W 1
W Donde: Donde:
u2
,
y1
y2
y3
W y1
y2
y3 ,
y1
y2
y3
y1
0
y3
W2 y1
0
y3 ,
y1
f ( x)
W 2 W
u3
W 3
0
y2
y3
0
y2
y3 ,
f ( x)
y2
y3
,
W1
W
y1
y2
0
W3 y1
y2
0
y1
y2
f ( x)
y3
EJEMPLOS: Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1 2 y 4 x senh 2 x 1. y '' 8 y ' 12
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas SOLUCIÓN: El polinomio característico característico de ecuación diferencial es: P ( ) 2 8 12 0
las raices del polinomio característico son: 1 6 ,
2 2
y
luego la solución general de la ecuación diferencial es:
y g c1e6 x
c2e 2 x
y la solución particular seria:
y p
u1e6 x u2 e2 x ………………………….(1)
Formando el sistema de ecuaciones bajo las condiciones de la ecuación (1)
u1e6 x 6u1e6 x
u2 e2 x 0
2u2 e2 x 4 x senh2 x
Para resolver el sistema, utizamos regla de Cramer:
u1
W 1
u2
,
W 2
u3
,
W W Primero se calcula el Wronskiano. W
W1
W2
e6 x 6e
6 x
e2 x 2e
2x
4 x senh2 x
2e
4 x senh2 x e 2 x
2 x
e6 x 6e
W
2e6 x e2 x 6e6 x e2 x 4e8 x e2 x
6 x
W 3
4 x senh2 x
4 x senh2 x e6 x
Reemplazando en la regla de Cramer tenemos: u1
xsenh2 x e
6 x
,
u2
xsenh xsenh 2 x e2 x
Integrando tenemos: u1
1 x 1 x e 4 x e 8 x 32 8 128 16 1 1 x u 2 x 2 e 4 x 4 32 8
la solución particular de la ecuación diferencial será:
4 x
y P e
1 x e8 x 1 x e6 x 1 x2 e4 x 1 x e2 x 32 8 128 16 4 32 8 1
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: El polinomio característico característico de ecuación diferencial es: 3 las raíces del polinomio característico son: 1
1,
2
1,
3
3 2
0
2
la solución general de la ecuación diferencial es: y g C1e x C2 xe x C3e2 x
y la solución particular seria: y P u1e x
u2 xe x u3e 2 x ……..………………….(1)
Formando el sistema de ecuaciones bajo las condiciones de la ecuación (1)
u '2 xe x u '3 e 2 x 0 u '1 e x u '2 e x (1 x) u '3 2e 2 x 0 u '1 e x u '2 e x ( x 2) 2) u '3 4e 2 x 9e x
u '1 e
x
Para resolver el sistema, utizamos regla de Cramer:
u1
W 1
u2
,
W 2
u3
,
W W Primero se calcula el Wronskiano. e x W
e x e
W1
x
e2 x
(1 x )e x
2e 2 x
x
2x
( x 2) e xe x
e2 x
0
(1 x) e x
2e 2 x
9e x
( x 2) 2)e x
4e 2 x
e x e
x
0
e2 x
0
2e 2 x
9e
e x W3
4e
0
e x W2
xe x
e x e x
x
4e
W 3 W
6 x 6 x 1 1
27 x 9
27
2x
xe x
0
(1 x)e x
0
( x 2)e x
9e x
9e3 x
Reemplazando en la regla de Cramer tenemos: u1
27 x 9 1
27 x 9 ,
u2
27 1
9e 27 , u3
Integrando tenemos: u1
27 x 2 2
9x ,
u2
27 x ,
u3
27e3 x
3 x
1
9e3 x
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas finalmente la solución es: y y g yP y C1e
8.
x
x
C2 xe
C3e
2x
(
27 x 2
2
9 x 27)e x
ACTIVIDADES I. Resolver la solución de las siguientes sigui entes ecuaciones diferenciales. diferenciales. 1.
y
2.
y
3.
,,
y
4.
y
5.
y
6.
,,
,,
y
y sec
,,
,,
Rpta: y y sin . lnsec x tan x
y tan 2 x 2
g
x. csc x
,
2 y y e
2 cos x
1
Rpta: y y sin x. lncsc 2 x cot 2 x
x
sin 2 x
g
ln (x)
y x cos x
Rpta:
Rpta: y y
1
c1 c2 xe x x 2e x 12 lnx 34
sin x 4
c x
2
c
2
x
4
cos x
x 2x , c sin e x e 3 y 2 y sin e x Rpta: y c e
,,
,
2 y y e
x
ln (x)
1
Rpta: y
2
c1 c2 x e x x 2e x 12 lnx 34
Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGrawHill.1990. 2. Earl Y. Coddinton, Introducción Introducción a la Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias, Edit.McGraw-Hill.1987 3. G. Baranenkov- B. Demidovich., Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Edit. McGrawHill.1985 4. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Séptima Edición Edit. THOMSON LEARNING. 2002. 5. William Trench, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera, Primera Edicion; Internacional THOMSON Editores. 2002
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Contenidos: Ecuaciones Ecuacione s diferenciales de Cauchy-Euler. Cauchy-Eul er. Ecuaciones diferenciales homogéneas de Cauchy-Euler. Ecuaciones diferenciales no homogéneas de Cauchy-Euler. Aplicaciones Actividades Aprendizaje esperado:
Comprende y identifica las ecuaciones diferenciales di ferenciales homogéneas y no homogéneas de Cauchy -Euler (CP). Planifica en forma adecuada para determinar la solución de las ecuaciones diferenciales diferenciales homogéneas y no homogéneas de Cauchy -Euler .(PP) Ejecuta la solución de las ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de Cauchy -Euler (EP) Verifica y generaliza la solución de las ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de Cauchy -Euler. (V)
Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE CAUCHY-EULER DEFINICION.- Una DEFINICION.- Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma: an x
n
d n y dx
n
an 1 x
n 1
Donde a o , a1 ,…., a n
d n 1 y dx n 1
... a1 x
dy dx
ao y g ( x)
……..(1)
son constantes reales y g es una función que que depende de la variable x o
constante y además g ( x) x P m (ln (ln x) , se llama ecuación diferencial de Cauchy-Euler o ecuación diferencial de Euler.
Las ecuaciones diferenciales de Cauchy- Euler, se clasifican en: 1.- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Cauchy-Euler. 2.-Ecuaciones diferenciales no homogéneas de Cauchy-Euler
2. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE CAUCHY-EULER Las ecuaciones diferenciales homogéneas de Cauchy -Euler son de dos formas. I. Ecuaciones diferenciales de Cauchy -Euler de la forma:
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas x et
dx
t ln x , además
dt
et
sabemos que: dy dy
dx
dt dx
dy
et
dt et
dy
dy
dt
dx
et
dy dt
dt
para la segunda derivada se tiene: dy d 2 y dx
2
,
d dy dy' dt ( ) dx dx dx dx dt
2
d y dx 2
e
2
2t d y
(
dt 2
e
dy dt
t dy
,
dt
e
t d t dy
t
t dy
2
t d y
e 2 ) (e ) e (e dt dt dt dt
)
para la segunda derivada se tiene: 3
d y dx
3
e
3
3 t d y
(
3
dt
2
3
d y 2
dt
2
dy
)
dt
En forma similar para se hace los cálculos si las ecuaciones ecuaciones son de orden 4, 5,etc.
II. Ecuaciones diferenciales de Cauchy -Euler de la forma: an (ax b)
Donde a o , a1 ,…., a n Para resolver resolver
n
d y
n
n
dx
an1(ax
n 1 n 1 d y b) n 1
dx
... a1(ax b)
dy dx
ao y 0
son constantes reales.
la solución de la ecuación diferencial diferencial de Cauchy –Euler, se forma similar se
transforma a una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes, mediante la sustitución siguiente: t
ax b e
t ln( ax b) , además
dx dt
et a
sabemos que: dy
dy
dy
dt
dt
t dy
dy
t dy
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas ,
dy 2
d dy dy' dt ( ) 2 dx dx dx dx dx dt
d y
,
ae
d 2 y dx 2
t dy
dt
ae
2
a e
t d
t dy
2
t
t dy
2
t d y
(a e ) a e (e e 2 ) dt dt dt dt 2
2t d y
(
dt 2
dy dt
)
para la tercera derivada se tiene: 3
d y dx
3
3
a e
3
3 t d y
(
3
dt
3
2
d y 2
dt
2
dy dt
)
En forma similar para se hace los cálculos si las ecuaciones ecuaciones son de orden 4, 5,etc.
EJEMPLOS: Resolver la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.
x
2
d 2 y dx
2
x
dy
y0
dx
SOLUCIÓN: Sea x e t t ln x, además dy dx
e
t
dy d 2 y ; dt dx 2
e
2t
d 2 y dy 2 dt dt
Reemplazando en la ecuación diferencial dada tenemos:
d 2 y dy t t dy e .e y 0 , e .e 2 dt dt dt 2t
2t
Simplificando se tiene: d 2 y dt 2
y 0 ,…………………………(1)
Luego el polinomio característico de la ecuación (1) es: p( ) 2 1 0 , y las raíces del polinomio son: 1 = 1 , 2 = -1.
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas SOLUCION:
Multiplicando por x 3 a la ecuación diferencial dada se tiene: x y 3x y y x y 0 3
2
Sea: x et
dy
t ln x , sabemos que: d 2 y dx
2
d 3 y dx
3
2
e
2t d y
e
3 t d y
(
2
dt
3
(
3
dt
dx
dy
dt
3
et
dy dt
)
d 2 y 2
dt
2
dy dt
)
reemplazando en la ecuación dada tenemos: 2 d 3 y d 2 y dy dy t t dy 2 t 2 t d y y 0 e e 3 3 2 2 3e e 2 e e d t dt d t d t d t d t d t 3t
d3y dt 3
3t
y 0 ………………………….(1)
Luego el polinomio característico de la ecuación (1) es: p( ) 3 1 0 ,
1,
2 t
c2e 2 cos
3
las raíces son: t
y g c1e
t
2
1 3i 2
t c3e 2 cos
3 2
t
y g c1 x c2 x cos
3
,
/ 3 2
1 3i 2
t ln ln x
ln x c3 x cos
3 2
ln x
3. ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS DE CAUCHY-EULER Las ecuaciones diferenciales no homogéneos de Cauchy – Euler es de la forma: an x
n
d n y dx
n
an 1 x
n 1
Donde a o , a1 ,…., a n
d n 1 y dx n 1
... a1 x
dy dx
(ln x ) ao y x P m (ln
…..(1)
son constantes reales y m es el grado de P m (ln (ln x)
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas SOLUCIÓN Sea: x e t t ln( x n( x) Sabemos que:
dy dx
et
dy
;
dt
d 2 y dy e 2 2 dx dt dt 2
d y
2t
Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
d 2 y dy t t dy e .e y e t (6 t ), e .e 2 dt dt dt 2 t
2 t
d 2 y
simplificando se tiene:
2
dt
y 6 t e t , ………………….(*)
Luego el polinomio característico de la ecuación (*) es: p( ) 2 1 0 las raíces del polinomio característico son:
i,
i
y g c1 cos t c2 sent
Luego la solución general es: Y la solución particular es:
y P ( At B)et .........................(1)
y p
Aet ( At B)et .......................(2)
y p 2 Aet
( At B)et .......................(3)
Reemplazando la ecuación (1) y (3) en (*) se tiene : d 2 y 2
dt 2 Ae t
y (6 t )e t
( At B )e t ( At B )e t (6 (6 t )e t 2 A 2 At 2 B (6 t )
formando sistema de ecuaciones se tiene: 2 A 2 B 6 2 At t
Luego:
1
A ,
1 y P tet 2
2
7
et 2
B
7 2
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
5.
y c1 cos(ln x) c2 sen(ln x )
1
x(ln x)
2
7 2
x
ACTIVIDADES I. Resolver la solución de las siguientes sigui entes ecuaciones diferenciales. diferenciales. dy
x
dy
y 0 Rpta: y c1 x
1.
x 2
2.
x 2 y"2 xy'2 y
3.
x 2 y"6 y 0
4.
x 2 y"
5.
x 3 y' "3 x 2 y"6 xy'6 y 0
dx
2
y 4
dx
0
0
c2 x 2
Rpta: y c1 x c2 x 2 Rpta: y c1 x 3
c2 x 2
Rpta: y (c1 c 2 Ln( x)) x Rpta: y
c1 x c2 x 2 c3 x 3
Bibliografía: 1. Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Edit. McGraw-Hill.1990. 2. Earl Y. Coddinton, Coddinton, Introducción a la Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias, Edit.McGrawEdit.McGrawHill.1987 3. G. Baranenkov- B. Demidovich., Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Edit. McGraw-Hill.1985 4. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales Diferenciales con aplicaciones de modelado, Séptima Edición Edit. THOMSON LEARNING. 2002. 5. William Trench, Ecuaciones Diferenciales Diferenciales con problemas de valores de frontera, Primera Edición; Internacional THOMSON Editores. 2002
GUÍAS DIDÁCTICAS DE
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Contenidos: Contenidos: Sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones de sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Aplicaciones Actividades Aprendizaje esperado: Comprende y identifica Sistema de ecuaciones diferenciales lineales. (CP). Planifica en forma adecuada para determinar la solución de Sistema de ecuaciones diferenciales lineales .(PP) Ejecuta la solución de Sistema de ecuaciones diferenciales di ferenciales lineales.(EP) Verifica y generaliza la solución de Sistema Sistema de ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales lineales. (V) Metodología: Aplicación Metodología: Aplicación de método heurístico Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos. minutos. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. LINEALES . Definición 1.- un 1.- un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es un sistema de la siguiente forma:
dx1 dt dx2 dt
dx3 dt
a11 x1 a12 x2 a13 x3
a1 n xn
a21 x1 a22 x2 a23 x3
a2 n xn
a31 x1 a32 x2 a33 x3
a3 n xn f3 (t )
f1 (t ) f2 (t )
dxn
an1 x1 an2 x2 an3 x3 ann xn fn (t ) dt El sistema se puede escribir de manera matricial de la siguiente sigui ente forma: X AX F OBSERVACIONES:
Si las funciones fi (t ) 0 ,
i 1, 2,
, n del sistema anterior, entonces el sistema se llama
i 1, 2,
, n del sistema anterior, entonces el sistema se llama
homogénea. homogénea.
Si las funciones fi (t ) 0 ,
no homogénea. homogénea.
TEOREMA 1: 1: Sean X
x 11 x
X
x 12 x
X
x 1n x
soluciones de un sistema de
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
W
Definición 2.- Sean X 1 , X 2 ,
x11
x12
x1n
x21
x22
x2 n
xn1
x2 n
xnn
0.
, X n un conjunto de linealmente independiente de soluciones (llamado
también conjunto fundamental de soluciones). Entonces la solución general del sistema es:
X g c1 X1 c2 X 2 Donde
c
1
, c2 , c3 ,
cn X n
, c son constantes arbitrarias. n
2. SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES HOMOGENEOS TEOREMA 2: 2: Sean 1 , 2 , sean k1 , k2 ,
, n valores propios reales y distintos distintos de la matriz A, y
, k n los vectores propios correspondientes. Entonces la solución general del sistema
lineal homogéneo X AX en Donde
c
1
, c2 , c3 ,
,
X g c1 k1e
es:
1t
c2k 2e t 2
cnk ne t n
, c son constantes arbitrarias. n
3. SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS TEOREMA 3: 3: Sea X p una solución dada del sistema X AX
I , y sea X g c1 k1e
1t
c2k 2e t 2
es:
en un intervalo
c nk ne t la solución general, en el mismo intervalo del n
sistema X AX
,
F no homogénea
F .entonces la solución del del sistema X X g X p
no homogéneo en el intervalo
EJEMPLO: Resolver el sistema:
dx 5 x 3 y 5t dt dy x 3 y 10t 5 dt SOLUCIÓN Forma matricial del sistema de ecuaciones lineal es: X AX
5 1
X
F (t ) , en nuestro caso es:
3 x
5 0 t 5 3 y 10
La solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas es:
X
X g X p
Primero hallaremos la solución general X
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 5
3
1
3
0
(5 )(3 ) - (1)(3) 0
2 8 12 0
( 2) 0 2
( 6)( 2) 0
( 6) 0
6
Los valores propios son: 2 y 6 Luego calculando los vectores propios para 6 obtenemos el vector propio K 1
5 1
3
1 1
k 1 0 3 k 2 0
1 6 0 3
0 k 1
0 1 k 2 0
3
Formando sistema sistema de ecuaciones de tiene:
De la ecuación (1)
k1 3k 2 0... 0..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ...( .(1 1) k1 3k 2 0.............. ...............(2 .(2) se tiene: k1 3k 2 ,cuando k 2 1 , el vector propio K 1
1 1
2 obtenemos el vector propio K 2 para
5 1
3 1
3
1 2 0 3
0 k 1
0 1 k 2 0
k 1 0 1 k 2 0 3
Formando sistema sistema de ecuaciones de tiene:
K 1 es:
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas luego la solución general del sistema es:
1 6t 1 2t e c 2 e 3 1
X g c1
5 0 t 5 debemos encontrar una solución particular del sistema de 10 a a 2 t 1 . En la forma matricial dicha solución debe satisfacer al b2 b1
Dado que F (t ) la forma: X p sistema.
5 3 x 5 0 1 3 y 10 t 5 , Entonces a2 5 3 a2 a1 5 0 b 1 3 b t b 10 t 5 2 1 2 5 3 a2t a1 5t 0 0 1 3 b t b 10t 10 0 1 0 2 1 5a2t 3b2 5t 5a1 3b1t a2 0 a t 3b t 10t a 3b 5 b 0 2 1 1 2 2 X p
Formado sistema de ecuaciones se tiene:
5a2t 3b2t 5t 0.................................(1) 5a1 3b1 a2
0.................................(2) a2t 3b2t 10t 0.................................(3) a1 3b1 5 b2 0.................................(4) Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: 5 5 15 15 a1 , a2 , b1 y b1 2 4 4 4 Luego la solución particular es: X p
54 52 t 15 4 1 5 4
Finalmente la solución del sistema es:
X
1 1 54 52 X g X p c1 e 6t c2 e 2t t 15 4 3 1 1 5 4
4. APLICACIONES Los tanques A y B contienen inicialmente 200 litros de agua pura cada uno de ellos. Posteriormente se alimenta salmuera al tanque A a razón de 2 lts / min. . Y con una concentración de 3000 g de
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Paso 1: Comprendiendo el problema. Debemos determinar la cantidad de sal en cada tanque en un tiempo t , en el problema; sabiendo que inicialmente no hay sal en los tanques. Paso 2: Elaborando un plan. Sea: x (t ) la cantidad de sal en el en tanque A un tiempo t . y y (t ) la cantidad de sal en el tanque B en un tiempo t
Como consta de dos tanques, tal como se observa en el gráfico:
Entonces utilizaremos sistema de ecuaciones lineales no homogéneas para encontrar la cantidad de sal en cada tanque; el planteamiento matemático del problema en tanque A y el tanque B es: Para el tanque A
rapide dezz con con que que la rapi dt la sus tan cia entra
dx
rapide dezz con con que que la rapi la sus tan cia sale
Para el tanque B
rapide dezz con con que que la rapi dt la sus tan cia entra
dy
rapide dezz con con que que la rapi la sus tan cia sale
Para resolver la solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales, emplearemos el método de sustitución para encontrar el valor de x (t ) . Paso 3: Ejecutando el plan. El sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas es:
rapide dezz con con que que la rapi dt la sus tan cia entra rapide dezz con con que que dy la rapi i dt l dx
rapide dezz con con que que la rapi la sus tan cia sale rapide dezz con con que que la rapi l i l
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas Realizando las operaciones adecuadas se tiene:
dx
2x
y
600 ............................(1) 100 100 2x y ........................................(2) dt 100 100 Para hallar la solución del sistema ecuaciones diferenciales aplicaremos el método de determinante ` 1 2 ( D )y x 0 ...........................................(1) 100 100 1 2 x) 600 ........................................(2) y ( D 100 100 La solución de los determinantes es: dt dy
D a11
a12 x D a22
a21 D a11
a12 D a22
f1 (t ) f2 (t )
D a11 a12 y D a22 a21
a21
f1 (t ) f2 (t )
Resolviendo para la variable y
D
1
100 1
2 100 y 2
D
100
100
2
0
600
D
100 2 100
1 2 2 1 2 D D 100 10 100 600 1 0 0 1 0 0 1 0 0 D 2 3 D 2 1 2 1 y 12 100 100 100 100 100 D 2 3 D y 12 100 Hallaremos la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogénea. 3 3 D 2 y Dy 12 0 2 100 100
(
3 100
)0
3
100
0
0
Luego la solución general del sistema es:
(
3
)0 100
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas
y p (t ) A y p (t ) 0 Reemplazando en la ecuación homogénea se tiene:
0
3 100
A 12
A=400
La solución particular es:
y p (t) 400 t Finalmente la solución del sistema sistema del tanque B es:
y (t ) y g (t ) y p (t ) c1 c2e
3 100
t
400 t
Hallaremos la solución de x(t ) , utilizando del método de sustitución. De la ecuación (2) se tiene:
x 50
dy dt
y
2
............................(3)
Derivando la solución del sistema: y (t ) c1 c2e
dy
3
dt 100 Reemplazando en la ecuación (3) tenemos:
x(t ) 50( 3
3 100
c2e
3 100
t
3 100
c2 e
t
400 t
3 100
t
400)
3 100
400
c1 c2e
3 100
t
x(t )
c1 2
c2e
3
c2e
t
200 t 20000
3
100
y (t ) c1 c2e
c1
t
100
t
2
t
c 400 t x(t ) 1 x(t ) c2e 100 20000 + 2 100 2 2 2 luego la solución del sistema de ecuación lineal no homogénea es:
150
400 t
c2e
3 100
t
200 t 20000
400 t
Aplicando las condiciones iniciales x(0) 0 g de sal y y(0) 0 g de sal a la solución del sistema de ecuaciones lineales tenemos:
0
c1 2
c2 20000
0c
c
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas x(t ) y (t )
40000 3
e
40000 3
3 100
t
e
3 100
t
200 t
400 t
40000 3
40000 3
Paso 4. Hacer la verificación. Para resolver la solución de problemas problemas aplicaciones a mezclas mezclas de soluciones de dos dos tanques o más y circuitos eléctricas de dos o más mallas, se resuelven resuelven mediante sistemas de ecuación es diferenciales lineales lineales homogénea y ni homogéneas homogéneas además, se puede utilizar utilizar diferentes diferentes métodos tales como: coeficientes constantes, matriz fundamental, fundamental, sustitución y determinantes. 5. ACTIVIDADES I. Resolver la solución de los siguientes sistemas ecuaciones diferenciales. 1.
dx dt dy dt
2.
dx dt dy dt
3.
dx dt dy
x 2 y 4 x 3 y x 3 y 2t 2
Rpta.
x (t ) c1e +c2e 5t
y(t ) 2c1e5t c2e t Rpta.
3 x y t 5
x 8 y 12t
x y 12t
t
x (t ) c1e2t +c2e 4t y(t ) c1e
Rpta.
2 t
x (t ) 4c1e
3t
y (t ) c1e3t
1
t 2
2 3
c2e 4t
4
2
t
2c2e 3t 12t
c2e 3t
4 3
4
dt 3 II. Resolver la solución de los siguientes si guientes problemas utilizando el método heurístico
1.
Los tanques A contienen 200 litros de agua en los cuales se disuelven 10 kg de sal. Un segundo tanque B , contiene contiene 200 litros de pura. Se bombea liquido hacia los tanques. tanques. Posteriormente se alimenta salmuera al tanque A a razón de 12 lts / min. La salmuera del tanque A fluye al tanque B a razón de 16 lts / min. . En el tanque, el agua se evapora a razón de 12 lts / min. Y un parte de la salmuera se bombea de regreso al tanque A a razón de 4 lts /min. Tal como se muestra el siguiente gráfico.
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 235 t
x (t ) c1 e
Rpta.
235 t
y (t ) 2c1 e
2.
+c2e
215 t
+2c2e
215 t
Utilice la información proporcionada en la siguiente figura, para construir un modelo matemático, para resolverlas ecuaciones diferenciales para x (t ) y y (t ) que proporcionen las libras de sal que existen en un instante cualesquiera cu alesquiera en los tanques A y B. agua 3 lts /min.
salmu era
Mezcla
3 lts /min.
4 lts / min. min.
Tanque B 400 lts
Tanque A 400 lts Mezcla 8 lts / min. min.
3.
Determinar el sistema de ecuaciones ecuaciones que modela el circuito circuito de la figura. Si Si una fuerza electromotriz E es de 30 voltios, la resistencia R1 es de10 ohmios la resistencia R2 es de 20 ohmios, la inductancia L1 es de 0.02 henrios, la inductancia L2 es de0.04 henrios e inicialmente las corriente son ceros. Calcular además, las corrientes en cada instante t A A
R 1 10
R 2 20
B B i3
i1 E
C C
i2
50 v
E
L
i1
N N
i2
1
L
0.02 H
2
0.04 H
i3
K K
M M
Rpta.
i1 (t ) e 1000t
2e250 t 3 i2 (t ) e1000t e250 t
Bibliografía: Willian R. Dereica-Stanley y Grossman, Ecuaciones Diferenciales con Apli caciones, Edit. McGraw-
Guías Didácticas de Aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aplicadas 5. BIBLIOGRAFIA. 6. ACADEMIA DE CIENCIA Y FILOSOFÍA DE LA HABANA. (1989) Metodología del
conocimiento conocimiento científico. Habana. DEVANY, R; R; MAY, MAY, G. (1999) (1999) ecuaciones ecuaciones diferenciales. 7. BLANCHARD, P; DEVANY,
México.
Thomson. 8. BOYER, C. (1969) historia de la matemática. Madrid. 9. BRAUN, M. (1990) ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Madrid.
Iberoamérica. 10. CAPELLA, JORGE Y SÁNCHEZ M. GUILLERMO. aprendizaje y constructivismo.
Perú. Lima. 11. CHÁVEZ ZAMORA, José M. (2007) Guía para el desarrollo de los procesos
cognitivos. cognitivos. Perú. Lima. 12. DÍAZ, FRIDA Y HERNÁNDEZ, GERARDO (1999) estrategias docentes para un
aprendizaje significativo. México. Hispanoamericana. 13. GUZMÁN, M. (1985) enfoque heurístico de la enseñanza de la matemática.
Zaragoza. 14. HERNÁNDEZ, R; FERNÁNDEZ, C; LUCIO, P. (2003) metodología de la
investigación. México. Trillas
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