Ecuaci onesDi f er enci al es Apl i cadas,Ci r cui t osEl éct r i cos MARZO 23, 2014 DE MANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL
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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: circuito eléctrico conectado conectado en serie del tipo LR En este artícu! a"ren#er a"ren#er$s $s a a"%car as ecuac%!nes #%&erenc%aes #%&erenc%aes a un c%rcu% c%rcu%t! t! e'ctr%c! c!necta#! en ser%e #e t%"! LR LR,, ( c!)"ren#er$s c!n "rec%s%*n c!)! rea%+ar e an$%s%s #e un c%rcu%t! e'ctr%c! #e 'ste t%"! ut%%+an#! una )et!#!!ía #e 3 "as!sUt%%+are)!s Ut%%+ar e)!s a s%u%ente Met!#!!ía-
•
M!#ea#! #e .%rcu%t! E'ctr%c! c!n Ecuac%!nes D%&erenc%aes
•
S!uc%*n #e a Ecuac%*n D%&erenc%a resutante
•
/racac%*n #e a c!rr%ente enc!ntra#a-
ara e M!#ea#! #e .%rcu%t! E'ctr%c!, re"asare)!s as e(es #e %rc! %stas en e artícu! Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferencia Diferenciales les s! s!! ! 6u 6ue e a a!r !ra a e c% c%rrcu cu%t %t! ! a estu#%ar es #e t%"! LR LR-ara a S!uc%*n #e a Ecuac%*n D%&erenc%a a"%care)!s la regla de los l os 4 pasos para la soluci sol ución ón de la las s ec ecuac uacion iones es dif difere erenci ncial ales es lin lineal eales es de 1er ord orden en 6u 6ue e a6 a6uí uí e e)! )!s s ut%%+a#!Ut%%+are)!s MA78EMA7I.A "ara a racac%*n #e resuta#!s9%na)ente, c!)"arare)!s !s )!#e!s resutantes "ara a s%)uac%*n #e c%rcu%t!s #e t%"!LR t%"! LR c!n c!n !s )!#e!s !:ten%#!s "ara !s c%rcu% c%rcu%t!s t!s #e t%"! RLC RLC "ara "ara "!#er enten#er su reac%* re ac%*n n c!);n c!);n,, (a 6ue "art "arten en #e )%s) )%s)! ! cr% cr%ter% ter%!!- Ver art artícu ícu!< !< Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferencia Diferenciales les-ara est! res!ere)!s un e=erc%c%!-
Ecuaciones Diferenciales Ejercicios resueltos< .a"%tu! 3-1 L%:r! Denn%s /- Z% E# >)a,?r!:e)a 2@ROBLEMA Se a"%ca una &uer+a eectr!)!tr%+ #e 30V a un c%rcu%t! en ser%e LR c!n 0-1 enr(s #e
t) 0) =0 %n#uctanc%a ( 50 !)s #e res%stenc%a- Deter)%ne a c!rr%ente %( , s% %( - Deter)%ne a
c!rr%ente
E c%rcu%t! esta #escr%t! en a Figura 1-
c!n&!r)e t→0 -
.%rcu%t! t%"! LR c!necta#! en ser%e
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales r%)era)ente !:tena)!s !s )!#e!s "ara e c%rcu%t! re"resenta#! en a Figura 1D%c! )!#e! )ate)$t%c! "r!%ene #e as e(es #e %rc!< 1-
La su)a #e as c!rr%entes ac%a ?! #es#e cua6u%er "unt! es cer!- LEC DE NODOS
2-
Are#e#!r #e cua6u%er tra(ect!r%a cerra#a a su)a #e as caí#as #e !ta=e %nstant$neas en una #%recc%*n es"ecíca, es cer!- LEC DE MALLAS
t) En este cas!, c!)! 6uere)!s enc!ntrar un a!r ?a c!rr%ente %( , en un circuito cerrado o malla ut%%+are)!s "ara )!#ear e c%rcu%t! a LEC DE MALLASara est! rec!r#a)!s c!)! re"resenta)!s )ate)$t%ca)ente, en c%rcu%t!s e'ctr%c!s, a !s In#uct!res ( as Res%stenc%as, así c!)! as #en%c%!nes #e caí#as #e !ta=e "ara ca#a ee)ent!<
Ee)ent!s #e .%rcu%t!
.aí#as #e V!ta=e
.aí#as #e !ta=e
t) en &unc%*n #e %(
t) en &unc%*n #e 6(
L#%#t
=L#2%#t2
Res%st!r
%R
=R#6#t
.a"ac%t!r
1 .6
In#uct!r
7a:a 1- .aí#as #e !ta=e "ara ca#a ee)ent! #e c%rcu%t! #escr%t! en a
Ee)ent!s #e .%rcu%t!
.aí#as #e V!ta=e
.aí#as #e !ta=e
t) en &unc%*n #e %(
t) en &unc%*n #e 6(
t)( en &unc%*n #e a 9%ura 1, e"resa#as en &unc%*n #e a c!rre%nte %( t) cara 6( Ent!nces, a"%can#! a e( #e )aas #e %rc! a c%rcu%t! #e a Figura 1, "ara as
t) caí#as #e !ta=e en &unc%*n #e a c!rr%ente %( , tene)!s< L#%#t+%R=E( t) ?1
D!n#e L, R s!n
c!nstantes
res%stenc%a, res"ect%a)ente-
c!n!c%#as La
c!)!
c!rr%ente %( t)se
a
%n#uctanc%a
a)a
ta):%'n
(
a
res"uesta
#e s%ste)aEn rea%#a# esta ecuac%*n ?1, n! es )$s 6ue a ecuac%*n ?2 #e artícu!< Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales s%n a caí#a #e !ta=e 6ue enera e ca"ac%t!rF #%ca ecuac%*n es<
L#%#t+R%+1 .6=E( t) ?2 Menc%!n! "!r6ue es %)"!rtante t!)ar en cuenta 6ue una e+ )!#ea#! un c%rcu%t! en ser%e #e t%"! RLC, as ers%!nes #e c%rcu%t!s en ser%e #e t%"! LR ( RC, s!n s%)"e)ente c!ntracc%!nes #e a ecuac%*n ?2Es
%)"!rtante
acer
n!tar
6ue
en
a
ecuac%*n
?2
a"arecen
2
ar%a:es #e"en#%entes % ( 6 "!r ! 6ue "ara "!#er res!era c!n !s )'t!#!s "ara ecuac%!nes %neaes ordinarias es necesar%! a#ecuara a a &!r)a #e una ecuac%*n #%&erenc%a %nea !r#%nar%a, a cua c!nt%ene una s!a ar%a:e #e"en#%ente, ! cua se ace e%#ente a er a ecuac%*n en su &!r)a est$n#ar<
a2( ) ) ) (=( ) #2(#2+a1( #(#+a0( La &!r)a est$n#ar anter%!r re"resenta una ecuac%*n #%&erenc%a #e 2G !r#en, #!n#e su ;n%ca ar%a:e #e"en#%ente es ( ( su ar%a:e %n#e"en#%ente es Ut%%+! a &!r)a est$n#ar #e una ecuac%*n #%&erenc%a %nea !r#%nar%a #e 2G !r#en "!r 6ue a a#ecuar a ecuac%*n ?1 a una ecuac%*n #%&erenc%a %nea !r#%nar%a #a c!)! resuta#! una ecuac%*n #e %nea !r#%nar%a #e 2G !r#en, (a 6ue a reac%*n 6ue se neces%ta "ara sust%tu%r una #e as ar%a:es %n#e"en#%entes eea e !r#en a ecuac%*n ?1, a ser una #%&erenc%a- Es #ec%r, a ecuac%*n 6ue reac%!na a as ar%a:es #e"en#%entes %( t)( 6( t)#e a ecuac%*n ?1, es una ecuac%*n #%&erenc%a-
t)( 6( t) D%ca ecuac%*n #%&erenc%a 6ue reac%!na a as ar%a:es #e"en#%entes %( , en su &!r)a #e #er%a#a es<
%=#6#t Solución de la Ecuación Diferencial resultante ara nuestr! cas! a ecuac%*n #%&erenc%a a res!er, se;n a ecuac%*n ?1 ( sust%tu(en#! !s a!res #e "r!:e)a "antea#!, es<
0. 1 #%#t+50 %=30 ?3 Res!%en#! a ecuac%*n ?3 "!r el método de los 4 pasos< I- 9!r)a est$n#ar<
#(#+( ) (=( ) H#%#t+500 %=300 II- 9act!r Interante<
e∫()#==e∫500#te500t III- 9!r)a #e a s!uc%*n<
(=(c+("H%( t) =%tr( t) +%"s( t)
(c=.e∫()#HH%tr( t) =.e−∫500#t%tr( t) =.e−500t
∫
∫
("=1e∫()# e∫()#& ( t) #HHHHH%"s( t) =1 e500t e500t300 #t%"s( t) =30
∫
∫
0e500t e500t#t%"s( t) =3005 00 e500t e500t500 #t%"s( t) =35 e−500t[ e500t] %" s( t) =35 !r tant! a c!rr%ente ?t!ta en e c%rcu%t!, :usca#a es<
%( t) t) t) .e−500t+35 ==%tr( +%"s( ?4
0) =0 ara enc!ntrar e a!r #e . ut%%+a)!s !s a!res %n%c%aes %( , es #ec%r cuan#! e t%e)"! t es 0a c!rr%ente % en e c%rcu%t! es 0ta):%'n!r tant!, sust%tu(en#! est!s a!res en a ecuac%*n "ara a c!rr%ente resutante #e c%rcu%t! ?4, tene)!s<
%( t) 000====.e−500t+35 .e−500( 0) +35 .( 1) +35 .+35 Est! %)"%ca 6ue<
.=–35 De #!n#e a .!rr%ente Busca#a es<
%( t) =–3 5 e−500t+35 ?5
t) =35, este resuta#! se Es e%#ente, !:seran#! a ecuac%*n ?5, 6ue cuan#! t→∞, %( t) ace )$s e%#ente cuan#! raca)!s a c!rr%ente %( , resutante c!)! en a Figura 2- De a6uí 6ue se e a)e trans%t!r%! a t'r)%n!< – 35 e−500t
Gracación de la corriente encontrada
9%ura 2- c%rcu%t! #e t%"! LR c!necta#! en ser%e E c*#%! en MA78EMA7I.A "ara racar a c!rr%ente resutante es<
Clear!"Glo#al$%"& ip!t'&()*+%E-p!).. t&/*+0 lot!ip!t&,t,).,i+2..3,lot4ange )5).67,.673&
E c*#%! #e MA78EMA7I.A "ara s%)uar ( res!er e )!#e! )ate)$t%c! #e a ecuac%*n ?1, lo puedes ver aquí (da clic aquí! 7e %n%t! a 6ue "ract%6ues a s!uc%*n #e "r!:e)as 6ue %ncu(an c%rcu%t!s e'ctr%c!s t%"!LR" c!)! e a6uí #escr%t!, ut%%+an#! a )%s)a secuenc%a #e "as!s 6ue te )!str', es! ar$ 6ue )enta)ente sea )$s &$c% rec!r#ar c!)! res!er un "r!:e)a #e c%rcu%t!s e'ctr%c!s c!necta#!s en ser%e #e t%"! LR" e %ncus%e )e=!r a;n, "!#r$s rec!r#ar c!)! res!er un "r!:e)a #e ecuac%!nes #%&erenc%aes %neaes !r#%nar%as #e "r%)er !r#en ?#!n#e a &unc%*n #e entra#a es #ec%r, a &unc%*n en e seun#! )%e):r! #e a ecuac%*n, en este cas! E( , n! sea ar%a:e, c!n ! 6ue "!#r$s entrare a t) res!er !tr!s e=erc%c%!s #e a"%cac%*n- F La a"%cac%*n !r#ena#a #e c!n!c%)%ent! a#6u%r%#! "er)%te 6ue #esarr!es tu %ntu%c%*n a tener una estructura )enta #!n#e se "ue#a #e"!s%tar nue! c!n!c%)%ent!La %ntu%c%*n, es una "arte #e a %nte%enc%a 6ue t!)a e c!n!c%)%ent! #e "artes #e cere:r! 6ue n! s!n acces%:es "ara e c!nsc%ente, en esta "arte se encuentra t!#a tu sa:%#uría, tu /en%! Intern!ara sa:er )$s s!:re c!)! #esarr!ar tu %ntu%c%*n ( a"ren#er Ecuac%!nes D%&erenc%aes, te %n%t! a eer e artícu!< La #écnica $erfecta para %prender Ecuaciones Diferenciales(da clic aquí!&
