“RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES LINEALES APLICADA A VIGAS EN LA INGENIERÍA CON EL APOYO DE LOS SOFTWARES MATLAB MATLAB Y MA M ATHEMATICA” THEMATICA”
INTRODUCCIÓN En este trabajo se verifica cómo las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales pueden ser útiles en las soluciones de variados tipos de problemas de la situación del mundo real, en particular se muestra cómo al traducir problemas de un lenguaje de ecuaciones diferenciales ordinarias, esto es, establecer la formul formulació ación n matemá matemátic tica a de proble problemas mas y realiz realizaci ación ón del modelo modelo matemá matemátic tico. o. edian ediante te el anális análisis is atemático se resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias lineales sujeta a condiciones, as! mismo con el apoyo del soft"are antes descrito se acelera significativamente los cálculos. El presente trabajo está distribuido en cuatro cap!tulos, en los tres primeros cap!tulos se presenta el estudi estudio o de las vigas, vigas, las ecuaci ecuaciones ones difere diferenci nciale aless ordina ordinaria rias, s, la modelac modelación ión de las ecuaci ecuacione oness diferenciales y en el último cap!tulo se describe los soft"ares cient!ficos atlab y at#ematica.
1
CAPÍTULO I: ESTUDIO DE VIGAS $.$ DE%LE&'() DE%LE&'() DE *)+ '-+ $.$. $.$.$. $. '-+ '-+. . En ingenier!a y ingenier!a y ar/uitectura ar/uitectura se se denomina viga a un elemento constructivo lineal /ue trabaja principalmente a fle0ión. fle0ión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser #orizontal. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser #orizontal. El esfuerzo de fle0ión provoca tensiones de tracción y compresión, compresión, prod produc uci1 i1nd ndos ose e las las má0i má0ima mass en el cord cordón ón infe inferi rior or y en el cordó cordón n supe superi rior or respectivam respectivamente, ente, las cuales se calculan calculan relacionando relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. inercia . En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes. cortantes. 2ambi1n pueden producirse tensiones por torsión por torsión,, sobre todo en las vigas /ue forman el per!metro e0terior de un forjado. forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.
%igura 3$. $.4 E5E DE 6'E278+ 6'E278+ *n eje de simetr!a es una l!nea imaginaria /ue al dividir una forma forma cual/uiera, lo #ace #ace en dos dos part partes es cuyos cuyos puntos puntos opuestos son e/uidistantes entre s!, es decir, /uedan sim1tricos $.9 :*7+ :*7+ EL;62':+ EL;62':+ La curva elástica o elástica es la deformada por fle0ión del fle0ión del eje longitudinal de una viga recta recta,, la cual se debe debe a momentos, momentos, fuerzas y cargas distribuidas aplicadas sobre la viga. $.9.$. $.9.$. E:*+:'() DE L+ EL;62':+. EL;62':+. La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial /ue, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. :oncretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos /ue sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final.
2
d 2v ( x) dx
2
=
M z ( x)
...(1)
EI z
Donde
v( x )
x
> representa la flec#a, o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas. > la ordenada sobre la viga.
M z ( x) > el momento flector sobre la ordenada . I z
> el segundo el segundo momento de inercia de inercia de la sección transversal.
E
> el módulo el módulo de elasticidad del elasticidad del material.
La ecuación ?$@ constituye sólo una apro0imación, en la /ue se #a supuesto /ue las deformaciones son muy pe/ue=as con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se #a apro0imado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flec#a. 2
d v( x ) dx
2
=
M z ( x) EI z
1 +
3
dv( x ) 2 dx
...(1')
÷
La ecuación de la elástica ?$@ puede ser reescrita en función de la carga distribuida q? x x @ sobre la viga>
d 2 v( x ) = q( x) EI Z 2 2 ÷ dx dx d2
...( 2)
Esta Esta últi última ma ecua ecuaci ción ón es inte intere resa sant nte e por/ por/ue ue su gene genera raliliza zaci ción ón a elementos bidimensionales es bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas>
∂ 2 w( x, y) ∂ 2 w( x, y) ∂2 ∂2 + 2 EI pl + = q( x, y) ÷ 2 2 2 ∂ x ∂y ∂y ∂x Donde
D = EI pl > es la rigid! de una placa delgada en fle0ión.
3
E"#$%& '(
Vig) d*&r#)d) $&r *%+i,%igura 34.
d 2v ( x) dx 2
=
M + M 2 − M 1 x 1 ÷ EI z L 1
v( L) − v(0) = δ 2 − δ1 = δ δ ′ ′ θ θ v ( L ) v (0) − = − = 2 1 L La solución anal!tica de ecuación anterior con cual/uiera de los dos posibles elecciones de contorno, se obtiene como>
3x3 5 x 2 x v( x) = L(θ 2 − θ1 ) − 3 + 2 − ÷ + Lθ 2 L L L
2x
3
L3
−
3x
2
L2
x +÷ L
v( x) se puede programar en el 6oft"are cient!fico atlab de la
siguiente manera >
4
Es decir>
V ( x),
∀x ∈ [ 0; L ] ,
se calcula con el siguiente programa> Esta codificación el 6oft"are se observa en su editor, como sigue>
:+L:*L+)DO v( x ) > 6i Si
L = 12; θ1
= 5; θ 2 = 8;
x = 6 , entonces se tiene>
5
GR.FICA DE v( x) E"#$%& '/
Si
L = 12; θ1
= 5; θ 2 = 8
En el editor se programa como sigue>
+#ora la gráfica>
6
%igura 39. 1.3.2. C ;L:*LO DE DE%O7+:'O)E6 E) '-+6
$.9.4. $. B2ODO DE ')2E-7+:'() Este m1todo consiste en la integración de la ecuación descrita en la sección anterior. Es necesario obtener primero la ley de variación del momento flector para la viga estudiada, tal como se #izo en el ejemplo anterior. *na vez conocida la ley de momentos flectores, se procede por integración directa. 6i se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplo x = a, el desplazamiento vertical y el ángulo girado por la curva elástica alrededor de ese punto respecto a la posición original el resultado de la deformación el resultado de la integración directa es simplemente>
7
:O) EL 6O%2C+7E :'E)2'%':O +2E+2':+> +#ora con el 6oft"are :ient!fico at#ematica se puede identificar la gráfica de la función a integrar a trav1s del siguiente comando> a@ 'ntegrate función, variableH 'ntegratef, 0H b@ 'ntegrate función, Fvariable, l!mite inferior, l!mite superiorGH Es decir> 'ntegratef, F0, xmin , xmax GH
$.9.4. 4. B2ODO DE 6*
8
$.K %LE&'() DE *)+ '-+ 6e usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anc#ura a y de espesor b. 6e fijará uno de sus e0tremos y se aplicará una fuerza en su e0tremo libre. ediremos el desplazamiento del e0tremo libre y ?L@ o flec#a en función de la fuerza aplicada F , comprobando su relación de proporcionalidad, mientras /ue la fle0ión de la barra sea pe/ue=a. + continuación, e0aminaremos la teor!a de la fle0ión de una viga en voladizo en detalle, calculando el desplazamiento de su e0tremo libre cuando se aplica una fuerza en dic#o e0tremo /ue produce una fle0ión considerable. Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos num1ricos aplicados al> • :álculo de la ra!z de una ecuación. • 'ntegral definida. *na viga o una barra delgada son sólidos #omog1neos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal.
%igura 3
:uando una viga fle0iona debido a las fuerzas e0teriores /ue se aplican, e0isten algunas partes de la viga /ue se acortan y #ay otras zonas /ue se alargan.
$.K.$.
%igura 3 9
6upondremos /ue • La barra tiene una longitud L muc#o mayor /ue las dimensiones de su sección trasversal, y /ue la deformación debida a su propio peso es despreciable. • Mue la sección de la barra no cambia cuando se dobla. :uando el espesor de la barra es pe/ue=o comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.
Mue en estas condiciones es aplicable la ecuación de EulerPernoulli /ue relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada M =
Y ×I
ρ
El radio de curvatura de una función y ( x ) es>
ρ =
ds d θ
dy 2 1 + ÷ ÷÷ dx =
3
2
d2y dx 2
ρ
=
(
dy dx
)
2
≈0
d2y dx 2
6i despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el e0tremo libre, respecto del punto < ? x, y @ es M F ( x f , x) F ( L, x) =
≈
Mue integramos dos veces con las siguientes condiciones iniciales> x = 0, y = 0,
dy dx
=0
2 x3 3FLx2 − Fx3 y = x − 3L÷ = 2YI 6YI FL
10
:on el 6oft"are at#ematica se obtiene por medio de>
Luego El desplazamiento y f del e0tremo libre x = L es proporcional a la fuerza F aplicada
Y es el módulo de Ioung del material. I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra
• •
neutra.
6e considera /ue la apro0imación de pe/ue=as fle0iones> el desplazamiento y del e0tremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados aceptables #asta un cierto valor del parámetro adimensional α < 0.375 , ?v1ase al final del siguiente apartado@ o bien, #asta un valor má0imo de la fuerza aplicada
Fm
= 2Y − I − α / L2
$.K.4. E62*D'O DE L+ %LE&'() DE *)+ '-+ E) OL+D'QO :onsideremos una barra delgada de longitud L en posición #orizontal, empotrada por un e0tremo y sometida a una fuera vertical F en el e0tremo libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas ? x f, y f@ del e0tremo libre para grandes fle0iones de la barra.
%igura 3R 11
6upondremos /ue • La barra tiene una longitud L muc#o mayor /ue las dimensiones de su sección trasversal, y /ue la deformación debida a su propio peso es despreciable. • Mue la sección de la barra no cambia cuando se dobla. :uando el espesor de la barra es pe/ue=o comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco. Mue en estas condiciones es aplicable la ecuación de EulerPernoulli /ue relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
Donde Y es el módulo de Ioung del material e I es el momento de inercia de la sección trasversal respecto del eje neutro. El radio de curvatura ρ = dϕ ds
ds d ϕ
=
M Y ×I
%igura 3S El momento flector M de la fuerza F aplicada en el e0tremo libre de la barra respecto del punto < ? x, y @ es M = F ( x f − x )
12
Derivando con respecto a TsU, y teniendo en cuanta /ue> Cosϕ = d 2ϕ ds
2
dx ds
,
F
+
Cos ϕ = 0 Y ×I
2
+
F dϕ Y ×I ds
Cos ϕ = 0
1 dϕ 2 F Sen ϕ ÷ = 0 ÷ + ÷ ds 2 ds Y ×I d
1 dϕ
2
F
ϕ = k , ÷ + Y ×I Sen 2 ds
k es una constante
La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iniciales especificadas anteriormente 2
dϕ = 2 F Sen ϕ − Sen ϕ ) 0 ds÷ Y ×I ( Y ×I
ds =
2 F
d ϕ Sen ϕ0 − Sen ϕ
La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de la misma se obtienen por> L =
∫
ϕ0
0
ds
→
L=
Y ×I 2 F
ϕ 0
∫ 0
d ϕ Sen ϕ0
− Sen ϕ 13
dx = ds ×Cos ϕ
→
Y ×I
=
x
2 F
dy = ds ×Sen ϕ
L =
∫
ϕ0
0
→
→
ds
x=
0
F Y ×I
0
Y ×I
(
Sen ϕ0
− Sen ϕ
Sen ϕ 0
−
∫ 0
)
Sen ϕ0 − Sen ϕ d ϕ
ϕ 0
2 F
Sen ϕ0 − Sen ϕ
Senϕ dϕ
ϕ
2 F ∫
=
y
∫
2Y ×I
x =
Cosϕ dϕ
ϕ
Sen ϕ0 − Sen ϕ
Dada la fuerza F aplicada en el e0tremo libre de la barra y conocida la longitud L de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo ϕ 0 , /ue forma la recta tangente a la barra en su e0tremo libre con la parte negativa del eje #orizontal & *na vez /ue se conoce este ángulo ϕ 0 , se calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en el intervalo (0, ϕ 0 ) . El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya /ue para cada valor del ángulo ϕ #ay /ue #allar una integral definida en el intervalo (0, ϕ ) empleando procedimientos num1ricos.
(565/5(57 C.LCULO NUM8RICO Las ecuaciones anteriores las podemos e0presar 2 α
= ∫ 0
x
=
1
=
1
L y L
α
(
2 α
2
dϕ
ϕ 0
Sen ϕ0 − Sen ϕ Sen ϕ0
ϕ
∫ 0
−
α =
,
Sen ϕ 0 − Sen ϕ
FL
2Y ×I
)
Senϕ d ϕ Sen ϕ0 − Sen ϕ
Donde α es un parámetro adimensional /ue engloba las caracter!sticas geom1tricas de la barra, del material del /ue está #ec#a, y de la fuerza aplicada en su e0tremo libre 14
(565/5/57 C.LCULO DE ϕ 0 5 Empezamos con la primera ecuación /ue nos determina el ángulo ϕ 0 /ue forma la recta tangente a la barra en su e0tremo libre con la parte negativa del eje #orizontal &, tal como se ve en la figura>
%igura $3
7e/uiere dos pasos> $.
allar la integral d ϕ
ϕ 0
∫ 0
4.
Sen ϕ0 − Sen ϕ
:alcular la ra!z de la ecuación f ( ϕ 0 )
=0
La integral se puede e0presar en t1rminos de la suma de dos integrales el!pticas de primera especie, #aciendo cambios de variable. El primer cambio es π θ = ϕ + 2
2 ( E (k , π 2) − E ( k , φ0 ) )
=2
α , α
=
FL2
2YI
15
∫
dϕ
ϕ0
Sen ϕ 0 − Sen ϕ
0
d θ
ϕ0 +π 2
= ∫ π 2
1
=
Cos θ
− Cos ϕ 0 + π ÷ 2 d θ
ϕ0 +π 2
2
∫
ϕ 0 + π − Sen2 θ 2÷ ÷ 2 4
π 2
Sen 2
El segundo cambio de variable es Sen φ =
d θ =
Sen ( θ 2 ) k
,
k
ϕ π = Sen 0 + ÷ 2 4
2k Cos φ ×dφ 1 − k 2Sen2φ
Luego tenemos
∫
dϕ
ϕ0
0
=
Sen ϕ0 − Sen ϕ
π2 ∫0
2
=
dφ 1 − k 2 Sen 2φ
2
π 2
∫
φ 0
φ 0
− ∫ 0
d φ 1 − k Sen φ 2
2
÷ 2 2 ÷ 1 − k Sen φ d φ
, Senφ 0
=
Sen ( π 4 ) k
%inalmente, calculamos la ra!z de la ecuación 2 ( E ( k , π 2) − E ( k , φ0 ) )
=2
α , α
=
FL2
2Y ×I
16
(565/5957 C.LCULO DE LAS COORDENADAS X/L, Y/L; DE CADA PUNTO DE LA BARRA DEFORMADA El cálculo de x L no reviste dificultad alguna. :onocido ϕ 0 , se calcula x L para cada ángulo φ en el intervalo ( 0,ϕ 0 ) . La posición x f del e0tremo libre es> x f L
=
1
Senϕ 0
α
El cálculo de y L es más problemático. :onocido ϕ 0 , se determina la ordenada y L para cada ángulo φ en el intervalo ( 0,ϕ 0 ) calculando la integral definida, y L
=
1 2 α
ϕ
∫ 0
Sen ϕ dϕ Senϕ0 − Senϕ
por el procedimiento num1rico de 6impson :uando ϕ → ϕ 0 el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula correctamente la ordenada y f L del e0tremo libre de la barra cuando ϕ = ϕ 0 .
:alculamos las coordenadas ( x L, y L ) para el ángulo ϕ = ϕ 0 − ∆ϕ , siendo ∆ϕ un ángulo pe/ue=o. :alculamos la abscisa x f L para el ángulo ϕ 0 • •
La ordenada y f L se obtiene resolviendo el triángulo rectángulo de la figura
17
(565/5657 APROAS FLE
d ϕ
ϕ 0
∫
=2
α
El resultado es ϕ0
= α
ϕ0 − ϕ
0
Las coordenadas ( x, y ) de cada punto de la barra se apro0iman a
=
1 2 α
ϕ
∫ 0
ϕ d ϕ α − ϕ
'ntegrando por partes y despu1s de #acer algunas simplificaciones obtenemos la siguiente e0presión> 2 ϕ = α − + α ÷ L 3 2
y
1−
ϕ ÷ α ÷
Las coordenadas x e y , las #emos e0presado en
función del parámetro ϕ , eliminando el parámetro obtenemos la función y Vf ? x @ /ue describe la fle0ión de la barra cuando se aplica una fuerza F en su e0tremo libre.
x 2 1 x3 = α 2 − 3÷ L L 3 L y
2 x3 y = x − 3L3÷ 2Y ×I FL
=
2 3
α ,
y f =
1 L3 3 Y ×I
= ϕ0 = α ,
x= L,
F 18
(565/5?57 LÍMITE DE LA APROAS FLE
%igura $4
F m
=
2Y ×I × α m L2
19
CAPÍTULO II: MODELACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR /5( ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA @ DEFLE
D2i)4i,- d 3-) ig)57 uc#as estructuras se construyen a base de vigas /ue se desv!an o distorsionan por su propio peso o por la influencia de alguna fuerza e0terna. :onsideremos dic#a desviación por y ( x ) la misma /ue esta determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden. +sumiendo /ue una viga de longitud L es #omog1nea y tiene sección transversal uniforme en toda su longitud. :uando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva /ue une los centroides de sus secciones transversales es una recta /ue se llama " d 2i#1r) ?%ig. 3$@.
%igura $9
6i a la viga se le aplica una carga en un plano vertical /ue contenga /ue contenga al eje de simetr!a, sufre una distorsión y la curva /ue une los centroides de las secciones transversales se llama 43r) d d2i)4i,- 43r) %21i4) o simplemente %21i4)5 La elástica apro0ima la forma de la viga. 6upongamos /ue el eje x coincide con el eje de simetr!a y /ue %) d2i)4i,- ?o *%4)@ y ( x) , medida desde el eje, es positiva si es #acia abajo. En teor!a de la elasticidad se demuestra /ue el momento fle0ionante M ( x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w( x) mediante la siguiente ecuación>
d 2 M dx
2
= w( x)
(γ 1 )
20
+demás el momento fle0ionante M ( x ) es proporcional a la curva, elástica>
κ
, de la
M ( x ) = EI κ Donde E e I son constantes, E es el módulo de Ioung de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de 1sta ?respecto de un eje llamado eje neutro@. El producto EZ se denomina rigid! ) %) *%+i,- de la viga. De acuerdo al cálculo diferencial, la curvatura es> y '' κ = 3 (γ 2 ) 1 + ( y ')2 2 :uando la desviación y ( x) es pe/ue=a es pe/ue=a, la pendiente y ' ≈ 0 , de modo /ue>
1 + ( y ') 2
3
2
≈1
6i κ = y '' , entonces el momento fle0ionante se transforma en M = EIy '' . La segunda derivada de esta ecuación es>
d 2M dx
2
= EI
d2 dx
2
y '' = EI
d4 y dx
4
(γ 3 )
7emplazando resultado de (γ 1 ) en (γ 3 ) y vemos /ue la desviación y ( x ) satisface la siguiente ecuación diferencial>
EI
d4y dx
4
= w( x)
(γ 4 )
Las condiciones en la frontera asociados a esta ecuación dependen de la forma en /ue están sostenidos los e0tremos de la viga. *na viga en voladizo ?en cantiliver@ está #$&1r)d) en un e0tremo y libre en el otro. El ala de un avión, un brazo e0tendido, las astas de banderas, los rascacielos son ejemplos comunes de vigas en voladizo y los momentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya /ue están empotrados en su base y sufren la fuerza del viento, /ue los tiende a fle0ionar. a@ y (0) = 0 , por/ue no #ay desviación en ese lugar, y b@ y '(0) = 0 , por/ue la curva de desviación es tangente al eje x ?es decir, la pendiente de la curva de desviación es cero en ese punto@. :uando x = L las condiciones del e0tremo libre son> a@ y ''( L) = 0 , por/ue el momento fle0ionante es cero b@ y '''( L) = 0 , por/ue la fuerza cortante es cero.
21
La función>
F ( x) =
dM dx
= EI
d3 y dx
3
(γ 5 )
6e llama fuerza cortante. 6i un e0tremo de una viga está 2i#$%#-1 )$&)d&? a esto tambi1n se le llama embisagrado, articulado o empernado@, se debe cumplir /ue y (0) = 0 y y ''(0) = 0 en ese e0tremo. + continuación se muestra una tabla de las condiciones en la frontera asociadas con la ecuación (γ 4 ) >
E+1r#&2 d L) ig)
C&-di4i&-2 L) *r&-1r)
Empotrado
y (0) = 0 , y '(0) = 0
Libre
y ''(0) = 0 , y '''(0) = 0
6implemente apoyado
y (0) = 0 , y ''(0) = 0
EEMPLO7 VIGA EMPOTRADA5 *na viga de longitud L está empotrada en ambos e0tremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante, w0 , uniformemente distribuida en su longitudX esto es w( x) = w0 , 0 < x < L . S&%34i,6egún lo /ue acabamos de plantearX la desviación y ( x ) satisface a
EI
d4y dx
4
= w0
(γ 6 )
Dado /ue la viga está empotrada en su e0tremo iz/uierdo ? x = 0 @ y en su e0tremo derec#o ( x = L ) , no #ay desviación vertical y la elástica es #orizontal e esos puntos. De esta manera las condiciones en la frontera son> y (0) = 0,
y '(0) = 0,
y (L ) = 0,
y '(L ) = 0
d 4 y w0 (γ 7 ) = 4 dx EI 22
6e obtiene como solución general>
y ( x) = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3 +
w0 24 EI
x4
(γ 8 )
*sando el soft"are at#ematica se obtendrá a trav1s del siguiente formato>
:on las condiciones y (0) = 0, y '(0) = 0 se obtiene c1 = 0
y
c2
= 0,
Es decir /ue>
6in embargo las otras condiciones restantes y ( L ) = 0, y '(L ) = 0 aplicados a la ecuación> w0 4 (γ 9 ) y ( x) = c3 x2 + c4 x3 + x 24 EI Dan origen a> w0 4 c3 L2 + c4 L3 + L =0 24 EI (γ 10 ) w 2c3 L + 3c4 L2 + 0 L3 = 0 6 EI 7esolviendo el sistema (γ 10 ) se obtiene>
c3
=
w0 L2 24 EI
y
c4
=
−w0 L 12 EI
(γ 11 )
23
Y
En consecuencia la desviación es>
y ( x) =
6i w0
w0 L2 24 EI
x2 −
w0 L 12 EI
x3 +
w0 24 EI
x4
=
w0 24 EI
x2 ( x − L )
2
(γ 12 )
= 24 EI ∧ L = 1 , se obtiene la gráfica de la curva elástica de la figura $K
%igura $K
95(
VALORES PROPIOS Y FUNCIONES PROPIAS EIGENVALORES Y EIGENFUNCIONES; En las aplicaciones e0isten muc#os problemas, /ue son problemas de valor en la frontera en dos puntos, donde interviene una ecuación diferencial /ue contiene un parámetro λ . 6e trata de #allar los valores de λ para los cuales el problema de valor en la frontera tenga soluciones no triviales. E"#$%&: D S&%34i&-2 N& Trii)%2 D U- Pr&%#) D V)%&r E- L) Fr&-1r)5 7esolver el problema de valor en la frontera y ''+ λ y
= 0,
y (0) = 0,
y (L ) = cl
S&%34i,-5 :onsideremos tres casos> λ = 0, λ < 0 y λ > 0 CASO I5 6i λ = 0 , la solución de y '' = 0 es>
y = c1 x + c2 Las condiciones y (0) = 0, y (L ) = 0 implican c2 = 0 y c1 = 0 , por tanto cuando λ = 0 , la única solución al problema de valor en la frontera es la trivial y = 0 .
CASO II5 6i λ < 0 , y = c1Cosh
−λ x + c2 Senh −λ x , 24
= c2Senh −λ x .
De y (0) = 0 se obtiene c1 = 0 y as! y
La segunda condición, y ( L ) = 0 obliga a /ue c2 Senh se debe cumplir c2
CASO
III5
−λ x = 0 . Dado /ue
,
= 0 X por consiguiente, y = 0 . λ > 0 ,
:uando
solución
general
de
y ''+ λ y = 0
es>
y = c1Cos λ x + c 2Sen λ x . como
y (0) = 0,
se
obtiene
c1
= 0,
pero
y ( L ) = 0, implica
/ue>
c2 Senh λ x = 0 . 6i c2 = 0 , se obtiene y = 0 X empero si c2 ≠ 0 , entonces Sen λ x = 0 . 6in embargo la última condición indica /ue el argumento de la función seno #a de ser un múltiplo entero de π >
λ L = nπ es decir λ =
2
2
n π L2
n = 1, 2, 3,...
,
nπ x ÷ L
es una
solución del problema para cada n . Dado /ue la ecuación diferencial, es #omog1nea, no necesitamos escribir c2 si as! lo deseamosX es decir, para un número dado de la sucesión
π 2 4π 2 9π 2 L2
,
L2
,
L2
,...
La función correspondiente en la sucesión
Sen
π L
x, Sen
2π
L
x, Sen
3π
L
x ,...
Es una solución no trivial del problema original. 2
2
n π
Los números λ n
=
simplemente yn
nπ x = Sen ÷ se llaman funciones caracter!sticas, funciones L
2
,
n = 1, 2, 3,... para los /ue el problema de valor en
L la frontera del "#$%& )-1ri&r tiene soluciones no triviales se llaman )%&r2 4)r)41r21i4&2 & )%&r2 $r&$i&25 nπ x o Las soluciones con respecto a esos valores de λ n como yn = c2 Sen ÷ L
propias.
25
95/
CURVATURA DE UNA COLUMNA VERTICAL ESBELTA5 En el siglo XVIII Leon#ard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema de valores propios al analizar cómo se curva una columna elástica esbelta sometida a una fuerza a0ial de compresión. E0aminando una columna vertical larga y esbelta de sección transversal uniforme y longitud L . 6ea y ( x) la curvatura de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión, o carga, , en su e0tremo superior ver %igura $Z. +l comparar los momentos fle0ionantes en cual/uier punto de la columna se obtiene>
EI
d2y dx
2
= − y
es decir EI
d2y dx 2
+ y = 0
Donde E es el módulo de elasticidad de Ioung e I es el momento de inercia de una sección transversal con respecto a una recta vertical por el centroide.
%igura $Z
E"#$%&: D Pr&%#) R%)4i&-)d& C&- V)%&r2 Pr&$i&25 26
Determinar la desviación de una columna #omog1nea, delgada y vertical de altura L , sometida a una carga a0ial constante. La columna se encuentra articulada en sus dos e0tremos.
S&%34i,-5 El problema de valor en la frontera /ue se debe resolver es>
EI
d2y dx 2
+ y = 0,
y(0) = 0,
y( L) = 0
y = 0 es una solución valida para este problema, lo /ue indica /ue si la carga no es suficientemente grande, entonces no #ay defle0ión. Luego [para /u1 valores de se curva la columna\. En t1rmino matemáticos> [para /u1 valores de el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales\ aciendo la sustitución λ = se obtiene> EI y ''+ λ y = 0, y (0) = 0, y ( L ) = 0 Es id1ntica al problema de soluciones no triviales de un problema de valor en la frontera, en el caso ''' de este problema se observa /ue las curvas de desviación son> nπ x , /ue corresponden a los valores propios yn ( x ) = c2Sen ÷ L
λ n
=
n EI
=
2
2
n π 2
L
,
n = 1, 2, 3,...
Esto /uiere decir f!sicamente, /ue la columna se desv!a sólo cuando la fuerza de 2 2 n π EI compresión tiene uno de los valores n = , n = 1, 2, 3,... 2 L Estas fuerzas se llaman 4)rg)2 4r1i4)2. La curva de defle0ión /ue corresponde π 2 EI a la m!nima carga cr!tica, 1 = se denomina 4)rg) d E3%r y es L2 π x y1 ( x ) = c2Sen ÷ X esta función se conoce como $ri#r #&d& d L d2i)4i,-.
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En la siguiente figura vemos las curvas de desviación del presente ejemplo, /ue corresponden para n = 1, n = 2 y n = 3 . 6i la columna original tiene algún tipo de restricción f!sica o gu!a en x =
L 2
2
, la carga cr!tica m!nima será 2
=
4π EI 2
,y
L la curva de defle0ión será la de la figura @. 6i ponen gu!as a las columnas en x =
L 3
y en x =
2 L 3
, la columna no se desviará sino #asta aplicarle la carga
2
cr!tica 3 =
9π EI 2
y la curva de desviación será la /ue se ilustra en la figura
L 4; . [Dónde se deber!an poner gu!as en la columna para /ue la carga de Euler sea 4 \
%igura $
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CONCLUSIONES $. Debido al avance de la tecnolog!a es posible #acer uso de #erramientas /ue nos permite acelerar los procesos y /ue nos ayuda a visualizar geom1tricamente nuestros resultados a trav1s del uso de los 6oft"are cient!ficos tales como el atlab y el at#ematica. 4. Dentro del mundo real, tales como en la ingenier!a e0isten problemas de vigas cuya solución se aborda con la resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales, as! mismo se aceleran los cálculos con el soft"are antes descritos. 9. El uso de los soft"are es como una #erramienta /ue permite resolver el problema, bajo ningún punto de vista se pierde el rigor matemático del problema o modelo planteado. K. Es posible construir programas dentro de los soft"are como parte de ayuda de los procesos.
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