introduccion a las ecuaciones diferencialesDescripción completa
Descripción: aplicacion de las ecuaciones diferenciales al modelamiento del vaciado, drenado de un tanque, recipiente.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Ejercicios de ecuaciones diferenciales resueltos
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
Sea
dy
+ p ( x) y′ = g ( x ) y n una ecuación diferencial de Bernoulli, donde n ≠ 0,1 Esto es una
dx
ecuación no diferencial Lineal, que se la convierte en lineal haciendo el siguiente cambio 1− n de variable: v = y donde
dv dx
=
dv dy dy dx
= (1 − n) y − n
dy dx
Se multiplicara el factor (1 − n) y − n
a ambos lados de la ecuación de Bernoulli (1 − n) y
−n
(1 − n) y
−n
dv dx
dy dx dy dx
+ (1 − n) y − n p ( x ) y = (1 − n ) y − n g (x ) y n Se obtiene lo siguiente: + (1 − n) p ( x ) y 1−n = (1 − n )g (x ); donde
dv dx
= (1 − n )y − n
dy dx
;v = y
1− n
+ (1 − n) p ( x )v = (1 − n ) g (x )
Esto es una ecuación diferencial lineal que se puede resolver por el método del factor integrante. EJERCICIOS RESUELTOS 1) xy′ − y = x y 3
4
Multiplicar la ecuación por el factor de Bernoulli; y′ − Multiplicar por y −4 y ′ −
1
x
1
x
1
y 4
1
x
para darle la estructura de la ecuación diferencial
y = x2 y4
para transformar la ecuación de Bernoulli en ecuación lineal
y −3 = x 2
Cambio de variable y −3 = w ⇒ −3 y −4 y ′ = w′ Multiplicar la ecuación por ‐3 y sustituir el cambio de variable
−3 y −4 y ′ +
3
x
y −3 = −3x 2 ⇒ w′ +
3
x
w = −3 x 2
Resolver la ecuación diferencial lineal, identificando P(x), Q(x) y calcular el factor 3
3
∫
∂ x
Resolver la integral y despejar la variable "w" wx = − 3
−3
Revertir el cambio de variable: y = 2) xy ′ + y = − xy
− x 3 2
+
3 x
6
6
+c ⇒ w = −
x
3
2
+
c x 3
c x 3
2
Multiplicar la ecuación por el factor
1
xy
2
⇒ y −2 y ′ +
1
x
y
−1
= −1
Hacer el cambio de variable: y −1 = w ⇒ − y −2 y ′ = w′ Multiplicar la ecuación por "‐1" y sustituir: − y −2 y ′ −
1
x
y −1 = 1 ⇒ w′ −
1
x
w =1
Resolver la ecuación diferencial lineal. Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante P( x ) = −
1
x
⇒ Q( x )
1
∂ x 1 = 1 ⇒ FI = e ∫ x = −
x
Aplicar la fórmula: we ∫
P( x ) ∂x
= ∫ e∫
P( x ) ∂x
Q( x ) dx + c ⇒ w
1
x
1
1
x
x
= ∫ dx + c ⇒ w
= ln x + c
Despejar w y revertir el cambio de variable: w = x ln x + cx ⇒ y −1 = x ln x + cx
3) y ′ +
2
x
y=
y3 x2
Dividir la ecuación entre y 3 : y −3 y ′ +
2
x
y
−2
=
1
x2
Realizar el cambio de variable: y −2 = w ⇒ −2 y −1 y ′ = w′ 4
2
x
x2
Multiplicar la ecuación por "‐2" y escribir la ecuación lineal: w′ − w = − ∂ x
Resolver la ecuación lineal: Calcular el factor integrante: FI = e ∫ x = x −4 P dx P dx ⎛ 2⎞ Aplicar en la fórmula: we ∫ ( ) = ∫ e ∫ ( ) Q( x ) dx + c ⇒ wx −4 = ∫ x −4 ⎜ − 2 ⎟ ∂x + c ⎝ x ⎠ Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable: −4
x
2 −2 x −1 w= + cx 4 ⇒ y −2 = + cx 4 −5 5 x 1
4) y′ +
2
x
y=
2 y 2 2
cos x
x
1
1
−
1
1
2 ⇒ y = w ⇒ y 2 y′ = w′ ⇒ w′ + w = sec sec x 2
2
x
1
P( ) ∂x P ∂x ∫ ∂ x 2 FI = e x = x ⇒ we∫ = ∫ e∫ ( ) Q( x) dx + c ⇒ wx = ∫ x sec sec xdx + c x
x
∫
wx = xtgx − tg tgxdx + c ⇒ w = tgx +
ln cos x + c
x
1
t gx + ⇒ y 2 = tg
ln cos x + c
x
5) y′ − ytgx = − y cos x 2
⇒ y−2 y′ − y−1tgx tgx = − cos x ⇒ y−1 = w ⇒ − y2 y′ = w ⇒ w′ + wtgx tgx = cos x FI = e∫
P dx P dx xdx + c = elnsec x = sec x ⇒ we∫ ( ) = ∫ e∫ ( ) Q( x) dx + c ⇒ wsec x = ∫ sec x cos xd
tgxdx
x
−1 w = sec sec x = x + c ⇒ y =
6) y ′ −
⇒ yy′ −
2
x
2
x 2
sec sec x
x +c
xy
1
x
∂
sec sec x
⇒y=
1
y=
y =
x + c
x
4
2
x
x
⇒ y 2 = w ⇒ 2 yy′ = w ⇒ w′ − w =
−4
− P dx P dx ln x x ∫ FI = e x = e = x −4 ⇒ we ∫ ( ) = ∫ e ∫ ( ) Q( x ) dx + c ⇒ wx −4 = 2 ∫ ∂x + c
−4
4
x
x
x
wx
−4
=
2 x
−4
−4
7) y ′ −
⇒ yy′ −
1
x
1
1
2
2
+ c ⇒ w = − + cx 4 ⇒ y 2 = − + cx4 y x
=
x y
2 2 y = x ⇒ y = w ⇒ 2 yy′ = w′ ⇒ w′ −
∂ x
2
x
w= 2x
P dx P dx ∫ 2 ln x e x = e− = x−2 ⇒ we∫ ( ) = ∫ e∫ ( ) Q( x ) dx + c ⇒ wx−2 = 2∫ x−2 xdx + c
−2
w= x
x
2
( ln x 2
2
x
+ c ) ⇒ y 2 = x2 ( ln x2 + c) 1
2
3
FI = e ∫
4 x − ∂x 3
=e
2
−
2
x
⇒ we∫
9) y′ + 3 xy = xy
P( x ) dx
= ∫ e∫
P( x ) dx
Q( x ) dx + c ⇒ we
−
2
x
2
= 8∫ e
2
−
x
2
2
1
x
∂x + c ⇒ y = 2 + ce x 3 4
2
2
⇒ y′y−2 + 3xy−1 = x ⇒ y−1 = w ⇒ − y−2 y′ = w′ ⇒ w′ − 3xw = −x FI = e∫
P( x) dx
−3 x2
we
=e ∫ 2
x2∂x
3
10) y′ +
⇒ y′y 2 +
=e
2
⇒ we∫
−3
1
= e
2
−3 x2
−3 xdx
x
x
3
1
−1
+ c ⇒ y = + ce
2
= ∫ e∫
−3x2
P( x) dx
Q( x) dx + c ⇒ we
2
= ∫e
−3 2
x2∂x
( −x ) ∂x + c
x2
3
1
1
P( x) dx
4
y = e y −2 x
4
3
x y = e ⇒ y = w ⇒ y = w ⇒ 3 y y ′ = w′ ⇒ w′ + w = 3e 3
x
4
3
2
4
x
∂ x
3 P( ) dx P dx P dx 3 3 x e∫ we = ∫ x e dx + c = e ∫ x = x 3 ⇒ we∫ ( ) = ∫ e∫ ( ) Q( x ) dx + c ⇒ we x
x
wx = 3
11)
3 4
x
4
e +c⇒ w= x
dy dx
v = y−2 ⇒
3e
4 x
4
3
4
x
+
c x
3
⇒y = 3
3e
x
4x
4
3
+
c x
3
− y = e 2 x y 3
dv dx
= −2 y−3
dy
⇒ y−3
dy
− y−2 = e2 x ⇒ −
1 dv
− v = e2 x ⇒
dv
+ 2v = −2e2 x ;
dx dx dx 2 dx ∫ 2dx = e2 x ⇒e2 x dv + 2e2 xv = −2e4 x ⇒ d ve2 x = −2e4 x ⇒ d ve2 x = −2e4 xdx μ = e dx dx
( )
∫ ( ) = −∫ 2e 2 x
4 x
d ve
12)
dy dx
−
y x
dx ⇒ ve = −
= x 2 y 2
2 x
e4 x 2
+ C . ⇒v = −
e4 x 2
( )
−2 x
−2
−2 x
+ Ce ⇒ y = Ce −
e4 x 2
⇒ y =
1
Ce−2 x −
4
e x 2
.
xv = −
x
4
−1
+ C 1 . ⇒ xy = −
4
dy
13)
=
2 y
dv
= − y −2
dy
= x2 ⇒ x2
dv
dx
−1 v = y ⇒ 2
μ = e
∫ x dx
4
C 2
+
4
. ⇒ y
4
dx dx
⇒ y −2
dy
4
dx
+ 2 xv = x 4 ⇐
d
14)
dx
x5
2
dx
1
v = y ⇒ 2
dv dx
+
( x − 2)
dv dx
v 2 ( x − 2)
x − 2
dv dx
(
+
)
y
=
2
2
−1
=
−
1 2
dy
2
⇒ y
5 ( x − 2) 2
−
1 2
dy dx
dv
dx
x
dx
5
⇒ y =
5 x
15)
dx
v = y
−2
y 2
+
( x − 2)
⇒ μ ( x) = e 3
∫ 2 ( x−2 )
= ( x − 2) 2 ⇒ 2
3
( x − 2 ) 2 dx ⇒ ∫ d (v
dv
2v
+ y 3 x +
⇒
dv dx
x
2
x5 + C 2
.
= 5( x − 2) ⇒ 2
d dx
(v
=e
ln x −2
)
+
dx
v
( x − 2)
= 5( x − 2)
= x − 2
x − 2 =
5 2
3
( x − 2) 2
) ∫ 52 ( x − 2)
x − 2 =
dv
3 2
dx
⎛ ( x − 2)52 + C ⎞ 5 ⎜ ⎟ 1 1 5 ( x − 2 ) 2 + C ⎝ ⎠ 2 ⇒ y = v( x − 2 ) 2 = ( x − 2 ) 2 + C ; ⇒ v = y = 1 x − 2 ( x − 2) 2 dy
v
+ 2 = x 2
⇒ d ( x2v) = x4dx
x5 + C 2
dx
5
2 x − 2 5
v
= 2 − x2 ⇒
1
v
d v x − 2 =
4
dv
= 5( x − 2 ) y 2
2 dx
=
4
1
y
+
C 2 − x
( x v) = x
1
dy
4 x
= 2 x−1 y −1 − x 2 ⇒ −
∫ d ( x v) = ∫ x dx ⇒ x v = 5 + C ⇒ x y 2
=
− x 2 y 2
x
dx
x
y x
= −2 y
2
=0 −3
( )
dy dx −
⇐ y ∫
2 dx
−3
dy
+ x +
dx ln
1 2
1
y −2 x
=0⇒−
1 dv
1 dv
2v
2 dx
v
+ x + = 0 x
d ⎛ v ⎞
v ⎛ v ⎞ ⎛ v ⎞ −1 −1 −1 ⎜ 2 ⎟ = 2 x ⇐ d ⎜ 2 ⎟ = 2 x dx ⇒ ∫ d ⎜ 2 ⎟ = ∫ 2 x dx ⇒ 2 = 2 ln x + C ; dx ⎝ x ⎠ x ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 1 2
x y
2
dy
16)
dx
v = y ⇒ 3
e
dv
3 x
1
= 2 ln x + C ⇒ x 2 y 2 =
3
2 ln x + C
x 2 ln x + C
+ y = e x y −2
dv dx
dy
= 3 y 2
⇒ y 2
dx
+ 3e3 xv = 3e4 x ⇒
dx
1
⇒ y =
d
dy
+ y 3 = e x ⇒
dx
(ve ) = 3e 3 x
dx
3
1 dv 3 dx
+ v = e x ⇒
dy
17)
v = y y
−2
x 2
dx
−1
dy
dx dv dx
4 x
⇒
3 3 x
dx
+ 3v = 3e x ⇒ μ ( x) = e ∫ = e3 x 3 dx
⇒ d (ve3 x ) = 3e4 x dx ⇒ ∫ d (ve3 x ) = ∫ 3e4 x dx
4 x
x
3e
−3 x
ve = e + C ⇒ y e = e + C ⇒ y = + Ce 4 4 4 3 x
dv
4 x
3
x
3e
⇒ y = 3
4
+ Ce−3 x
y + 2 xy 2
=
x 2
dv dx −1
= − y
−2
1
− 2 x y =
⇒
dy
⇒−
dv
dx
−1
x 2 d
+ 2 xv = −1 ⇒ 2
−1
=
dx dx
y
2
x 2
+2
y x
v
1
x
x 2
−2 =
→
;
dv dx
v
1
x
x 2
+2 =−
⇒ μ ( x ) =
∫ e
2 dx
x
2
= e ln x = x 2
( x v ) = −1 ⇒ d ( x v ) = −dx ⇒ ∫ d ( x v ) = − ∫ dx 2
dx
x v = − x + C ⇒ x y 2
dy
2
2
x 2
= − x + C ⇒ y =
C − x
.
Nota: también puede ser resuelta por homogénea
v=
y x
v + x
⇒ y = vx ⇒
dv
dy dx
= v 2 + 2v ⇒ x
= v + x dv
dv dx
⇒ v + x
= v2 + v ⇒
dv
dx dv
=
x dx
2
⇒∫
=
y 2 2
x dv
+
2 xy
x
∫
dv
∫
dv
∫
dx
dv
∫
dx
2
v
⎛ v ⎞ ⎜ ⎟
2
=∫
+ v) x (v 2 + v) A B Av + A + Bv ( A + B )v + A 1 = + = = ⇒ A = 1; B = −1 v2 + v v v +1 v2 + v v2 + v dx
(v
=
y 2 + 2 xy
= v 2 + 2v
dx x
⎛ y ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ y ⎞ x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
y = Kyx + Kx ⇒ y − Kyx = Kx ⇒ y (1 − Kx ) = Kx ⇒ y = 2
dy
18)
dx d dx
Kx
2
2
1 − Kx
⇒ y =
x
2
K − x
+ y 3 x + y = 0
dx
dv
−2 v = y ⇒
dv
2
dy
= −2 y −3
dx
⇒ y −3
dx
dy dx
+ x + y −2 = 0 ⇐ −
1 dv 2 dx
+ x + v = 0
− 2 dx dv − 2v = 2 x ⇒ μ ( x ) = e ∫ = e −2 x ⇒ e −2 x − 2e −2 x v = 2 xe −2 x
dx
(ve− ) = 2 xe − 2 x
∫ (
d ve
∫ 2 xe
− 2 x
− 2 x
− 2 − 2 x
y e
) = ∫ 2 xe
dx = − xe
= − xe
⇒ d (ve −2 x ) = 2 xe −2 x dx
2 x
− 2 x
− 2 x
− 2 x
−
2e
dx ⇒
+ ∫e
e
− 2 x
−2 x
dx = dz ⇒ −e
−2 x
= z;
x = u ⇒ dx = du;
− 2 x
dx = − xe
− 2 x
−
e − 2 x 2
+ C ⇒ ve
− 2 x
1) 2
dx
2) y ′ = 3)tx
=
2
Ce 2 x − x − 12
y
2
con y (1) = 1
y
3
x + y + 1
+ x 3 = t cos t res. x 3t 3 = 3 ( 3 ( t 2 − 2 ) cos t + t (t 2 − 6 ) sent ) + C x