1 ÍNDICE 2 OBJETIVOS 2 INTRODUCCIÓN 2 o Ecuación Diferencial 3 o Historia 4 o Tipos 5 EPIDEMIOLOGÍA 7 o La Epidemiología y las Ecuaciones Diferenciales 8 o Formulación Matemática 10 o Gráfica 10 o Interpretación 11 CONCLUSIONES 12 BLIOGRAFÍA
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o o o
Investigar una aplicación de las Ecuaciones Diferenciales. Determinar la ecuación que define el desarrollo de una epidemia. Analizar la gráfica que se obtiene de dicha ecuación.
Las matemáticas describen de manera abstracta todo el mundo que nos rodea, y ya que este se encuentra en constante cambio, las ecuaciones diferenciales nos ayudan a comprender y analizar cada aspecto (fenómenos, procesos y hasta comportamientos). Sin embargo, antes de empezar a desarrollar este trabajo debemos tener claros algunas definiciones.
Antes que nada, una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la economía, y la biología. 2
Las ecuaciones diferenciales aparecieron por primera vez en los trabajos de cálculo de Newton y Leibniz. En 1671, el Capítulo 2 de su trabajo Método de las fluxiones y series infinitas, Isaac Newton hizo una lista de tres clases de ecuaciones diferenciales. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante tal como la de un instrumento musical, fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, y Joseph-Louis Lagrange. En 1746, d’Alembert descubrió la ecuación de onda unidimensional, y en diez siguientes Euler descubrió la ecuación de onda tridimensional. Las ecuaciones de EulerLagrange fueron desarrolladas en la década de 1750 por Euler y Lagrange en relación con sus estudios del problema de la tautócrona. Este es el problema de determinar una curva en la cual una partícula con peso caerá en un punto fijo en cierta cantidad fija de tiempo, independiente del punto de partida. Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la
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solución a Euler. Ambos desarrollaron el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica, lo que los condujo a la mecánica Lagrangiana. En 1822 Fourier publicó su trabajo de transferencia de calor en Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor), en la que basó su razonamiento en la ley del enfriamiento de Newton, esto es, que la transferencia de calor entre dos moléculas adyacentes es proporcional a diferencias extremadamente pequeñas de sus temperaturas. En este libro Fourier expone la ecuación del calor para la difusión conductiva del calor. Esta ecuación en derivadas parciales es actualmente objeto de estudio en la física matemática. Las ecuaciones diferenciales estocásticas, que amplían tanto la teoría de las ecuaciones diferenciales como la teoría de la probabilidad, fueron introducidas con un tratamiento riguroso por Kiyoshi Itō y Ruslan Stratonovich durante los años 1940 y 1950.
Las ecuaciones diferenciales pueden dividirse en varios tipos. Aparte de describir las propiedades de la ecuación en sí, las clases de las ecuaciones diferenciales pueden ayudar a buscar la elección de la aproximación a una solución. Es muy común que estas distinciones incluyan si la ecuación es: Ordinaria o Parcial, Lineal o No lineal, y Homogénea o No homogénea. Esta lista es demasiado grande; hay muchas otras propiedades y subclases de
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ecuaciones diferenciales las cuales pueden ser muy útiles en contextos específicos.
Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
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La epidemiología, palabra derivada del griego epi (sobre) demos (pueblo) y logos (ciencia), es una disciplina científica en el área de la biología y medicina que estudia la distribución, frecuencia, factores determinantes, predicciones y control de los factores relacionados con la salud y las enfermedades existentes en poblaciones humanas definidas. Más sencillamente Rich la describió acertadamente en 1979 como la ciencia que estudia la dinámica de salud en las poblaciones. Para causar una enfermedad un patógeno debe crecer y reproducirse en el hospedador. Por esta razón los epidemiólogos siguen la historia natural de los patógenos. En muchos casos, un patógeno individual no puede crecer fuera del hospedador; si el hospedador muere, el patógeno muere también. Los patógenos que matan al hospedador antes de trasmitirse a otro hospedador terminarán por extinguirse. Por lo tanto, la mayoría de los patógenos dependientes del hospedador deben adaptarse a coexistir con el hospedador. Un patógeno bien adaptado vive en equilibrio con el hospedador, tomando lo que necesita para su existencia y causando sólo un mínimo de daño. Estos patógenos pueden causar infecciones crónicas (infecciones de larga duración) en el hospedador. Cuando existe equilibrio entre el hospedador y el patógeno, 6
ambos sobreviven. Por otra parte, el hospedador puede resultar dañado cuando su resistencia es baja, por factores como una dieta insuficiente, edad avanzada y otros agentes estresantes. Además, algunas veces emergen nuevos patógenos naturales para los cuales el hospedador individual, y algunas veces la especie entera, no ha desarrollado resistencia. Estos patógenos emergentes a menudo causan infecciones agudas, caracterizadas por un comienzo rápido y llamativo. En estos casos los patógenos pueden actuar como fuerzas selectivas en la evolución del hospedador, igual que el hospedador, al desarrollar resistencia, puede ser una fuerza selectiva en la evolución de los patógenos. En los casos en los que el patógeno no depende del hospedador para sobrevivir, el patógeno puede causar una enfermedad aguda devastadora.
Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia. L os problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes 7
permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una fórmula para el número de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un número especificado de estudiantes infectados.
Supónganse que en cualquier tiempo t hay estudiantes infectados y estudiantes no infectados. Entonces si es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos :
= − La tasa de cambio en él número de estudiantes infectados está dada entonces por la derivada / . Esta derivada debería depender de alguna manera de y así de en virtud de la formula = − . Asumiendo que / , como una aproximación, es una función cuadrática de , tenemos entonces 2:
/ =
2 + + 2
Donde , , 2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de , esto es, / sea cero donde = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde = , esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la última formulación hecha tenemos que: = 0 y + 2 ² = 0 ó 2 = − / Así que 2 se convierte en 3: 8
/ = 0 + − 2 / / = ( 1 − /) / = /( − )
/ = ( − ) Donde = / es una constante. Si suponemos que, inicialmente, = 0, hay estudiantes infectados, entonces, obtenemos 4 :
= en = 0 Así nuestra formulación matemática corresponde a un problema de valor inicial dado por 3 y 4 . Tenemos: / = ( − )
La ecuación diferencial es separable de fácil solución / ( − ) = / + / ( − ) = 1/( / + / ( − ))
Integrando y resolviendo la ecuación se tiene por lo tanto:
/( −
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)=
P
El grafico indica la curva logística (racional), esto es, la curva en forma de . Esto significa que inicialmente hay un incremento gradual en el número de estudiantes infectados, seguido de un incremento más o menos pronunciado en el número cerca al punto de inflexión, y finalmente una disminución gradual. El caso limite ocurre cuando todos los estudiantes llegan a estar infectados, como se ve al notar de que tiende a a medida que tiende a ∞. La curva tiene una pendiente creciente de = 0 a un tiempo correspondiente al punto , y de ahí en adelante tiene pendiente decreciente. Asi es un punto de inflexión y se obtiene de acuerdo al método usual del cálculo al hacer la segunda derivada. 10
Las matemáticas y su subdivisión Ecuaciones Diferenciales se encuentran en cualquier aspecto que deseemos analizar de la naturaleza. En el ámbito de la biología es de suma importancia, ya sea para analizar la forma en la que crece un cultivo de bacterias, como se comporta una determinada sociedad animal o en nuestro caso en la Epidemiología. En este trabajo logramos determinar la ecuación que obedece el desarrollo de una epidemia idealizada y aunque en este caso lo hicimos con el menor número de variables posibles y sin considerar todos los parámetros necesarios en un evento real, esto nos deja una idea de cómo analizar, abordar y que procedimientos podemos seguir en un caso más complejo. Además del modelo matemático pudimos observar la gráfica, que, como ya se mencionó, tiene forma de S, la cual con frecuencia se le da el nombre de curva logística, que significa racional y es ampliamente usada en las ciencias de la vida. La gráfoca fue interpretada y se llegó a la conclusión de que a medida que t crece el número de infectados se aproxima más y más a la asíntota denotada como k. Esto lo observamos en el pasado con la peste negra, la influenza H1-N1 o más recientemente con el Ébola. Este proyecto además de ampliarnos la visión de la aplicación que se le puede dar a Ecuaciones Diferenciales nos ayuda a desarrollar las habilidades necesarias para el planteamiento y la solución de las posibles ecuaciones que podamos encontrar en un futuro.
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