APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA
Introducción Cuando en economía se resuelven problemas con base en modelos algebraicos se están utilizando procedimientos de solución directa o comparada, de naturaleza estática. Esto se basa en que el álgebra es el ámbito matemático de generalización de la aritmética, pero de carácter estático. Con el cálculo, tanto diferencial como integral, introducimos introducim os métodos que imprimen un sentido dinámico a la solución de problemas. Al abordar problemas no lineales basados en modelos polinomios o bien trascendentales, estamos incorporando funciones cuyos valores pueden ser resueltos mediante ecuaciones diferenciales, además de los procesos de resolución basados en sistemas de cálculo general, diferencial o integral. En las ecuaciones diferenciales encontramos expresiones que contienen derivadas y por ello la connotación dinámica es una de sus características principales. princi pales. Además, debido a ese rasgo, las soluciones se dan en ámbitos que son secuenciales: generales, particulares, particular es, y singulares. Estos últimos nos proporcionan los datos directos de solución buscada.
Desarrollo MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTO: Se llama mercado de competencia perfecta, a aquel mercado, ideal, que regula su actividad, es decir la cantidad de bienes en el así como el precio de los mismos de una manera autónoma, las empresas que participan en este tipo de mercado tienen un poder nulo. Para que este mercado funcione deben existir numerosos ofertantes y demandantes, si hubiese una diferencia entre ambos grupos empezarían a influenciar en el mercado. Cuando existe un número grande de empresas que operan en el mercado y cuyo producto es homogéneo, la información es completa para todos los que operan en el mercado, tanto oferentes como demandantes, y tanto el precio p(t) como la cantidad está definida por la oferta S(t) y la demanda D(t) del mercado, la entada al mercado es libre y fácil. En este tipo de mercados existe el equilibrio es decir un punto en el cual la oferta y la demanda son iguales, por tanto las cantidades demandadas y ofertadas son iguales y el precio es también igual.
OFERTA Y DEMANDA La demanda es el número de unidades que desean adquirir los consumidores en un determinado tiempo t, y como sabemos que el precio de un producto varia con el tiempo se puede expresar el precio como p(t) pero la demanda no solo puede depender del precio en un instante de tiempo sino también de la dirección que creen los consumidores que tomara este precio es decir la tasa de cambio de este precio o también llamado la derivada de este p^' (t) , tomemos, en resumen la demanda D(t) puede escribirse como: D=f( p(t),p^' (t) ) Llamaremos a f la función demanda. en caso de la oferta pasa exactamente lo mismo es decir la demanda S(x) depende también de p(t) y puede depender también de p^' (t) ; y puede escribirse como: S=g( p(t),p^' (t) ) Llamaremos a g la función oferta. Pero hay una forma de poder relacionar las ecuaciones de la oferta y de la demanda, para eso se definirá el concepto de Principio económico de la oferta y demanda.
PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDA: Es precio de un bien en cualquier instante de tiempo t está determinado por la condición de que la oferta en un instante de tiempo t sea igual a la demanda, esto suponiendo que sea un mercado de competencia perfecta, usando lo anteriormente definido se tiene que: f( p(t),p^' (t) )= g( p(t),p^' (t) ) Esto se cumplirá única y exclusivamente si se especificase que es un mercado de competencia perfecta. La ecuación es una ecuación diferencial de primer orden, ahora corresponde ver la forma que deben tomar ambas funciones, para este caso tomaremos las más sencillas que son: f( p(t),p^' (t) )=a_1 p(t)+a_2 p^' (t)+a_3 g( p(t),p^' (t) )=b_1 p(t)+b_2 p^' (t)+b_3 Ahora conociendo ya las funciones f y g las reemplazamos y resolvemos la ecuación diferencial: a_1 p(t)+a_2 p^' (t)+a_3=b_1 p(t)+b_2 p^' (t)+b_3 (a_2-b_2 ) p^' (t)+(a_1-b_1 ) p(t)=(b_3-a_3)
Asumamos además que: a_1≠b_1, a_2≠b_2, a_3≠b_3 en ese caso se puede escribir la ecuación diferencial como:
p^' (t)+((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) p(t)=((b_3-a_3))/((a_2-b_2 ) ) Resolviendo: p(t)=e^(-∫((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) dt ) (∫e^(∫((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) dt) ((b_3-a_3 ))/((a_2-b_2 ) ) dt+c) p(t)=e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (∫e^(((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) ((b_3-a_3 ))/((a_2b_2 ) ) dt+c) p(t)=e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (e^(((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) ((b_3-a_3 ))/((a_1b_1 ) )+c) p(t)=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) c Cuando t=0, p(t)=p_0, aplicamos esa condición inicial en la ecuación diferencial: p_0=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+c p_0-(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))=c Ahora finalmente la ecuación diferencial queda de la forma: p(t)=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (p_0-(((b_3-a_3 ))/((a_1b_1 ) )) ) De esto se pueden sacar 3 posibles casos: Caso 1:
p_0=((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ) en este caso nos damos cuenta que al reemplazar en la ecuación diferencial nos da que p(t)=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) )) y por tanto p(t)=p_0 , esto se interpreta como que el precio es constante en cualquier instante de tiempo t. Caso 2:
((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 en ese caso vemos que si aplicamos un límite al precio p(t), con un t que crece, tiende a ((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ). En este caso hay una estabilidad de precios, y el límite ((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ) se denomina precio de equilibrio. Caso 3:
((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ) tenemos una inflación continuada o inestabilidad de el precio, que puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo que puede resultar en un cambio de (a_2-b_2 ) p^' (t)+(a_1-b_1 ) p(t)=(b_3-a_3).
OFERTA Y DEMANDA CON ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN: Como ya se había visto anteriormente, la oferta y la demanda pueden expresarse como una ecuación diferencial de primer orden se puede saber si va a ser creciente, pero además se puede incluir un término de la forma ∝(d^2 p)/(dt^2 ) donde ∝ es un número real cualquiera. para ver como este término afecta en la ecuación hay que hacer un símil, con lo aprendido de las derivadas, y es que la segunda derivada lo que me muestra es básicamente la concavidad de una función, y esta a su vez me muestra el grado de crecimiento de la función, esto llevado a el punto de vista de la economía, me mostrara la tasa de crecimiento de mercado. Del mismo modo que teniendo solo la derivada de primer orden del precio la presencia de estos términos (P^,,P^(,,)) determinan las tendencias del mercado. En este modelo las ecuaciones de oferta y demanda se expresan de la forma de la forma:
Q_D=α-βP+cP^,+dP^(,,) Q_S=-γ+δP+gP^,+hP^(,,) Donde:
α,β.γ.δ>0 , y los demás valore s no se encuentran restringidos para este tipo de problemas la solución es muy parecida a la de los de primer orden, se sigue el principio económico, en el que suponiendo un mercado perfecto se igualan: Q_D=Q_S y me da una ecuación de segundo grado que se puede resolver a modo de obtener un P(t) para cualquier
instante “t”. Ejemplo: La demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por D=-2 p(t)+3p^' (t)+48 y S= p(t)+4p^' (t)+30, respectivamente. Si en t=0 el precio del bien es de 10 unidades, encuentre: A.- el precio para cualquier tiempo t>0, sabiendo que es un mercado perfecto. B.- si hay estabilidad o inestabilidad de precio. Solución: PARTE A: Aplicando el principio económico de la oferta y demanda: 2 p(t)+3p^' (t)+48= p(t)+4p^' (t)+30 p^' (t)+3p(t)=18 Solucionando: p(t)=e^(-∫3 dt) (∫e^(∫3 dt) 18dt+c)
p(t)=e^(-3t) (〖6e〗^3t+c) Aplicando la condición inicial: p_0=10=(6+c) c=4 Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t: p(t)=6+4e^(-3t) PARTE B: Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 entonces había una estabilidad en los precios, y como ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=3
entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t→∞ ese es el precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 6.
INVENTARIOS El anterior análisis sirve cuando ya te dan ofertas y demandas iguales, pero que pasa si la oferta no es igual a la demanda, sino que una es mayor a la otra, y la oferta cambia para satisfacer a la demanda o viceversa, tomemos como ejemplo que la oferta es mayor que la demanda, entonces los productores tienen una cierta cantidad de bien en su posesión la cual se denomina el inventario del bien, pero si la demanda es mayor que la oferta entonces se dice que los productores deben adquirir inventario. Matemáticamente
esto se puede expresar como un q(t+Δt)=q(t)+Δq , y la cantidad acumulada en el intervalo de tiempo entre t y t+Δt es Δq y esto es igual a q(t+Δt) -q(t). Entonces sumando esto más mis conceptos de demanda y oferta anteriormente explicados, se puede deducir que la cantidad acumulada en un intervalo de tiempo entre t
y t+Δt esta dado por: Δq=SΔt-DΔt+terminos con 〖(Δt)〗^2 o mayores De donde:
Δq/Δt=S-D+terminos con 〖(Δt)〗^2 o mayores Tomando que el límite cuando Δt→0 se tiene: dq/dt=S-D Supongamos ahora que el productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. el inventario, en este caso:
dp/dt=- α dq/dt
Donde α es la constante de proporcionalidad, y uniendo esto con la ecuación anterior se obtiene: dp/dt=- α(S-D) Y como S y D pueden expresarse en términos de p, la anterior ecuación se convierte en una ecuación diferencial, en el siguiente ejemplo se aplica este punto. Ejemplo: Suponga que la oferta y la demanda están en dadas en términos de precios p, por: S=60+2p y D=120- 3p , la constante de proporcionalidad es α=4, determine el precio en cualquier instante de tiempo t>0 si cuando t=0, p=8. Solución: la ecuación diferencial se expresara de la forma: dp/dt=-4(60+2p-120+3p) dp/dt+20p=240 Solucionando: p(t)=e^(-∫20 dt) (∫e^(∫20 dt) 240dt+c) p(t)=e^(-20t) (〖12e〗^20t+c) Aplicando la condición inicial: p_0=8=(12+c) c=-4 Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma que es el precio en cualquier tiempo t: p(t)=12-4e^(-20t)
EJERCICIOS 1.- La oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente, por S= p(t)-5p^' (t)+120 y D= -2p(t)-3p^' (t)+60 en t=0 el precio del bien es 5 unidades. Encuentre: A.- encontrar el precio en cualquier tiempo superior, sabiendo que es un mercado perfecto. B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si
existiese.
Solución: PARTE A: Aplicando el principio económico de la oferta y demanda: p(t)-5p^' (t)+120= -2p(t)-3p^' (t)+60 〖2p〗^' (t)-3p(t)=60
p^' (t)-3/2 p(t)=30 Solucionando: p(t)=e^(-∫3/2 dt) (∫e^(∫3/2 dt) 30dt+c) p(t)=e^(-3/2 t) ( 〖20e〗^(3/2 t)+c) Aplicando la condición inicial: p_0=5=(20+c) c=-15 Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma que es el precio en cualquier tiempo t: p(t)=20-15e^(-3/2 t) PARTE B: Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 entonces había una estabilidad en los precios, y como ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=3/2
entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t→∞ ese es el precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 20. 2.- La oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente por S=3 p(t)+p^' (t)+40 y D= -5p(t)-3p^' (t)+160 , en t=0 el precio del bien es de 20 unidades, encuentre: A.- encontrar el precio en cualquier tiempo superior, sabiendo que es un mercado perfecto. B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si Solución: PARTE A: Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:
existiese.
3.- p(t)+p^' (t)+40=-5p(t)-3p^' (t)+160 〖4p〗^' (t)+8 p(t)=120
p^' (t)+2 p(t)=30 Solucionando: p(t)=e^(-∫2 dt) (∫e^(∫2 dt) 30dt+c) p(t)=e^(-2t) (∫e^2t 30dt+c) p(t)=e^(-2t) (〖15e〗^2t+c) Aplicando la condición inicial: p_0=20=(15+c) c=5 Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t: p(t)=15+5e^(-2t) PARTE B: Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 entonces había una estabilidad en los precios, y como ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=2
entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t→∞ ese es el precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 15. 3.- La oferta y la demanda, de un cierto producto están dadas en miles de unidades por S=16 p(t)+10p^' (t)+24(2-e^(-2t) ) y D= -8p(t)-2p^' (t)+240 , respectivamente. En t=0 el precio del bien es 12 unidades, encuentre: A.- el precio en cualquier tiempo posterior, sabiendo que es un mercado perfecto. B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si Solución: PARTE A: Aplicando el principio económico de la oferta y demanda: 16 p(t)+10p^' (t)+24(2-e^(-2t) ) = -8p(t)-2p^' (t)+240 12p^' (t)+24p(t)= 24(e^(-2t)-8) p^' (t)+2p(t)= 2(e^(-2t)-8)
existiese.
Solucionando: p(t)=e^(-∫2 dt) (∫e^(∫2 dt) 2(e^( -2t)-8)dt+c) p(t)=e^(-2t) (2∫〖e^2t (e^(-2t)-8)dt〗+c) p(t)=e^(-2t) (2∫〖(〖1-8e〗^2t)dt 〗+c) p(t)=e^(-2t) (2(〖t-4e〗^2t)+c) Aplicando la condición inicial: p_0=12=(-8+c) c=20 Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma que es el precio en cualquier tiempo t: p(t)=2te^(-2t)+16 PARTE B: Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 entonces había una estabilidad en los precios, y como ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=2
entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t→∞ ese es el precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 16. 4.- La demanda y la oferta de un bien están determinadas en miles de unidades respectivamente por D=-4 p(t)sen4t+5p^' (t)cos4t+80 y S= 8p(t)sen4t+4p^' (t)cos4t+120 en t=0, el precio del bien es de 25 unidades. A.- Encuentre el precio en cualquier tiempo, sabiendo que es un mercado perfecto. B.- Discuta las implicaciones económicas. Solución: PARTE A: Aplicando el principio económico de la oferta y demanda: -4 p(t)sen4t+5p^' (t)cos4t+80= 8p(t)sen4t+4p^' (t)cos4t+120 p^' (t)cos4t-12p(t)sen4t=40 p^' (t)-12p(t)tg4t=40sec4t Solucionando: p(t)=e^(-∫12tg4t dt) (∫e^(∫12tg4t dt) (40sec4t)dt+c)
p(t)=e^3ln (cos4t) (∫e^(-3ln (cos4t)) (40sec4t)dt+c)
p(t)=cos^3 (4t)(∫〖cos^(-3) (4t)〗(40sec4t)dt+c) p(t)=cos^3 (4t)(∫〖(40〖sec〗^4 4t)〗 dt+c) p(t)=cos^3 (4t)(∫〖(40〖(sec〗^4 4t)(1+〖tg〗^2 4t)〗)dt+c)
p(t)=cos^3 (4t)(∫(40〖(sec〗^2 4t) dt+∫〖(40〖(sec〗^2 4t)(〖tg〗^2 4t)〗)dt+c) p(t)=cos^3 (4t)(10tg4t+10/3 〖tg〗^3 4t+c) Aplicando la condición inicial: p_0=25=(c) c=25 Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma que es el precio en cualquier tiempo t: p(t)=cos^2 (4t)(10sen4t)+(10/3 〖sen〗^3 4t)+〖25cos〗^3 (4t) PARTE B: Para poder hacer un análisis económico, deberemos primero ver si los precios son estables para eso necesitamos saber si es que ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 o no, sabemos que ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=tg4t y que este valor puede ser positivo o negativo, según el tiempo que se tome, lo que nos dice que según algunos intervalos de tiempo, el precio será estable, pero en algunos otros intervalos será un precio inestable. 5.-Para proteger sus ganancias, un productor decide que la taza a la cual incrementan sus precios, debe ser numéricamente igual a tres veces la taza a la cual decrece su inventario. Asumiendo que la oferta y La demanda están dadas, en función del precio, por S=80+3p(t) , D= 150-2p(t) y que p=20 cuando el tiempo es t=0, encuentre el precio en cualquier tiempo t. Solución: Por lo visto, cuando se desarrolló la teoría de los inventarios: dp/dt=- α dq/dt dp/dt=- α(S-D)
Donde α es igual a 3: dp/dt=-3(80+3p(t)-150+2p(t) ) dp/dt=-3(-70+5p(t) )
dp/dt+15p(t)=210 Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial: p(t)=e^(-∫15 dt) (∫e^(∫15 dt) (210)dt+c) p(t)=e^(-15t) (∫e^15t (210)dt+c) p(t)=e^(-15t) (e^15t 14+c) Aplicando la condición inicial: 20=e^(-15(0) ) (e^15(0) 14+c) 6=c El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma: p(t)=14+e^(-15t) 6 6.- Suponga que un productor para proteger sus utilidades, decide que la taza a la cual aumentan sus precios debe ser numéricamente igual a un cuarto de la taza a la cual su inventario decrece además se sabe que la oferta y la demanda, están determinadas en función del precio por: S=16 p(t)+10p^' (t)+24(2-e^(-2t) ) y D= -8p(t)-2p^' (t)+240 , determine el precio en cualquier instante, si cuando el tiempo es 0 el precio es 12 unidades. Solución: Por lo visto, cuando se desarrolló la teoría de los inventarios: dp/dt=- α dq/dt dp/dt=- α(S-D)
Donde α es igual a 3: dp/dt=-1/4(16 p(t)+10p^' (t)+24(2-e^(-2t) )+8p(t)+2p^' (t)-240) dp/dt=-1/4(24 p(t)+12p^' (t)+24(-8-e^(-2t) )) dp/dt=-6 p(t)-3p^' (t)+6(8+e^(-2t) )) 4 dp/dt+6 p(t)=6(8+e^(-2t) )) dp/dt+6/4 p(t)=6/4 (8+e^(-2t) )) Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial: p(t)=e^(-∫6/4 dt) (∫e^(∫6/4 dt) (12+6/4 e^(-2t))dt+c) p(t)=e^(-6/4 t) (∫e^(6/4 t) (12+6/4 e^( -2t))dt+c)
p(t)=e^(-6/4 t) (∫e^(6/4 t) 12dt+∫e^(6/4 t) 6/4 e^( -2t) dt+c) p(t)=e^(-6/4 t) (e^(6/4 t) 8+∫e^(( -2)/4 t) 6/4 dt+c) p(t)=e^(-6/4 t) (e^(6/4 t) 8-e^(-2/4 t) 3+c) Aplicando la condición inicial: 12=e^(-6/4(0)) (e^(6/4(0)) 8-e^(-2/4(0)) 3+c) 12=8-3+c 7=c El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma: p(t)=e^(-6/4 t) (e^(6/4 t) 8-e^(-2/4 t) 3+7) 7.- Sea la demanda y la oferta: Q_D=t^2-2P+2tP^,+ 〖(t〗^2+1)P^(,,) Q_S=-1+1P-tP^,+P^(,,)
Y sabiendo que P(1)=17/15 y P’(1)=3/5, hallar: A.- la trayectoria del precio suponiendo que el mercado es perfecto en cualquier instante t. Solución: PARTE A: Debido a que me está diciendo el problema que es mercado es perfecto es posible hacer Q_D=Q_S para este caso: t^2-2P+2tP^,+ 〖(t〗^2+1)P^(,,)=-1+1P-tP^,+P^(,,) t^2+1=〖-t〗^2 y^''-3ty^'+3y Esta ecuación es una ecuación de cauchy euler cuya solución también es la suma de la solución general y de la solución particular, pero en este caso hay que hacer un cambio de variable que es de la siguiente forma: y=t^m Primero hallamos p_c: -t^2 (t^m )^''-3t(t^m )^'+3(t^m )=0 -t^2 (m)(m-1)t^(m-2)-3tmt^(m-1)+3t^m=0
t^m (-m^2+m-3m+3)=0 t^m (-m^2-2m+3)=0 -m^2-2m+3=0 (-m+1)(m+3)=0 Por lo tanto p_c es igual a: p_c=c_1 t+c_2 t^(-3) ahora hallaremos p_p de una forma similar a la de las otras ecuaciones diferenciales: p_p=at^2+bt+c t^2+1=〖-t〗^2 y^''-3ty^'+3y t^2+1=〖-t〗^2 (2a)-3t(2at+b)+3(at^2+bt+c) t^2+1=〖-t〗^2 (5a)+3c a=-1/5
∧
b=1/3
p_p=-1/5 t^2+1/3 Finalmente P(t) es igual a: P(t)=c_1 t+c_2 t^(-3)-1/5 t^2+1/3 Aplicando las condiciones iniciales: P(1)=17/15 P(t)=c_1 (1)+c_2 〖(1)〗^(-3)-1/5 〖(1)〗^2+1/3 17/15=c_1+c_2-1/5+1/3 17/15-2/15-c_1=c_2 1-c_1=c_2 P'(1)=3/5 P'(t)=c_1-3c_2 t^(-4)-2/5 t 3/5=c_1-3c_2 (1)^(-4)-2/5(1) 1=c_1-3c_2 1=c_1-3(1-c_1)
1=c_1 0=c_2 por lo que P(t) es igual a: P(t)=t-1/5 t^2+1/3
Conclusiones Podemos decir que las ecuaciones diferenciales representan un modelo que nos permite comprender de una manera más exacta y eficiente diferentes cuestiones que pueden tender a cambios muy rápidos, así como comportamientos que desconocemos y deseamos saber cómo funcionan. Si bien no tenemos una total comprensión de algunos conceptos de la economía, el expresar algunos problemas presentes en la economía con ecuaciones diferenciales podemos darnos una idea de que se trata.
Bibliografía - R. SPIEGEL MURRAY. ECUACION ES DIFERENCIALES, APLICADAS. ED. PRENTICE HALL
