Problemario de Ecuaciones Diferenciales

PROBLEMARIO DE

16] Encuentre Encuentre los valores de

ECUACIONES DIFERENCIALES

sea una solución de cada una de las l as siguientes ecuaciones diferenciales.

tales que

5.0 Solución De Una Ecuación Diferencial

Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde c1 , c2 son constantes.

5.1

Ecuaciones Diferenciales Por 

Variables

Separables

Resuelva la ecuación diferencial dada, por el método de separación de variables.

14] Compruebe que es una familia uniparamétrica de soluciones

Determine un valor para k tal que

sea una

solución singular de la ecuación diferencial dada. 15] Encuentre los valores valores de m tales que Sea una solución de cada una de las Siguientes ecuaciones diferenciales.

5.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Resuelva la ecuación diferencial homogénea dada.

24]

Suponga que

es

una ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones

,

reduce la

ecuación a una de variables separables.

5.3

Ecuaciones Diferenciales

Reducibles A Homogéneas

5.4

Ecuaciones Diferenciales

Exactas Determine si la ecuación diferencial es exacta, si es exacta resuélvala.

19] Halle el valor de k de modo que las siguientes ecuaciones sean exactas.

20] Obtenga una función

que de modo

sea exacta la siguiente ecuación diferencial.

21] Obtenga una función

que de modo

sea exacta la siguiente ecuación diferencial.

5.5

Ecuaciones Diferenciales Con

Factor Integrante Encuentra un factor integrante para que la ecuación diferencial sea exacta y resuélvela.

5.6

Ecuaciones Diferenciales

Lineales Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal dada:

5.7 Ecuaciones Diferenciales De Bernoulli Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli dada.

5.8 Ecuaciones Diferenciales De Ricatti Resuelva las siguientes ecuaciones de Ricatti dada.

5.9 Método De Reducción De Orden Encuentra una segunda solución de la ecuación diferencial dada, utilizando el método de reducción de orden.

5.10

Ecuaciones Diferenciales

Homogéneas Con Coeficientes Constantes Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

5.11

Método De Coeficientes

Indeterminados Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales

5.12 Método De Variación De Encuentra una solución particular para las siguientes ecuaciones diferenciales.

Parámetros Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de variación de parámetros.

5.13

Ecuación Diferencial De

Cauchy - Euler  Resuelve las siguientes ecuaciones de Cauchy- Euler .

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante variación de parámetros.

5.14

Familias

De Trayectorias

Ortogonales Encuentra la familia de trayectorias ortogonales.

5.15

Problemas De Aplicación

1]. La población de un pueblo crece a una tasa  proporcional a la población presente en el tiempo t . La  población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. ¿Cuál será la población en 30 años? ¿ Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30?

2] La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al número de bacterias presentes en el tiempo t. Después de tres horas se observó que están  presentes 400 bacterias. Después de diez horas hay 2000 bacterias. ¿Cuál fue el número inicial de  bacterias? 3]. El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209. Decae a una rapidez proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3,3 horas. Si al inicio está presente un gramo de este isótopo, ¿cuánto tiempo tarda en decaer 90% del plomo? 4] Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es  proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de 24 horas.

5] Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 70°F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 10°F . después de medio minuto el termómetro marca 50°F ¿Cuál es la lectura del termómetro en minuto ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar  15°F.

6] Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5° F. Después de un minuto el termómetro marca 55° F y después de 5 minutos la lectura es de 30° F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?

7] Un termómetro que marca 70° se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante.

Por una ventana de vidrio en la puerta del un observador registra que después de minuto el termómetro marca 110°F y luego minuto la lectura es de 145° F ¿Cuál

horno, medio de un es la

de 1000 ohms y la capacitancia es de farad. Determine la carga

en el capacitor si

determine la carga y la corriente

temperatura del horno?

en t = 0.005 seg. Determine la carga cuando

8] Un depósito contiene 200 litros de liquido en el que se disuelven 30 gramos de sal. La salmuera que contiene un gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una rapidez de 4 L/minuto; la solución bien mezclada se bombea hacia afuera a la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo t.

9] Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones de liquido en el que se disuelven 10 libras de sal. Se bombea al depósito salmuera que contiene media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min . la solución bien mezclada se bombea con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos.

10] Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito RL en serie en el que la inductancia es de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms. Calcule la corriente

si

13] En cierta ciudad, la rapidez de crecimiento da la población aumenta proporcionalmente respecto al tamaño de la población. Si la población era de 100 000 habitantes en 1980 y de 150 000 en 1990, ¿Cuál es la población esperada en el año 2020 suponiendo que siga esta tendencia?

14] Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito simple en serie en donde la inductancia es de 0.5 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente, si la corriente inicial es cero. 15] Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20°C, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente;¿ Cuánto tarda la barra en alcanzar 90°C si se sabe que su temperatura aumenta 2° en un segundo ? ¿cuánto le toma a la  barra llegar a 98°C?

16] Determine la vida media del la sustancia radiactiva que se describe en el problema 4.

Determine la

corriente cuando 17] La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número de personas  presente en el tiempo t  . Si en cinco años se duplica una población inicial  P 0 ,¿cuánto tiempo tarda en triplicarse? ¿En cuadruplicarse?

11] Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 10-4 farad. Encuentre la carga

en el capacitor si

18]

Un

circuito

R-L

en

serie

tiene

una

una resistencia de 10 Ω , una inductancia de 2 hernrios y una corriente inicial de 5 Amperios . Hallar la corriente en el circuito cuando

12] Una fuerza electromotriz de 200 v se aplica a un circuito RC en serie en el que la resistencia es

19]

Un

circuito

RC

en

serie

tiene

una

, una resistencia de 200 Ω y una capacitancia de

. Inicialmente

no hay carga. Hallar la corriente en el circuito en

5.16 Transformadas De Laplace Utilice la definición de la transformada de Laplace  para encontrar .

20] Sabemos que un material que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material. Se observó que después de 3 hrs. Solamente el 80% de la masa  permanecía en ese momento: Hallar; a) La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t.  b)

¿Qué cantidad permanece cuando

c)

¿Para qué valor de t, la cantidad de material

es de

?

de la cantidad inicial ?

Utilice las tablas para encontrar 

Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

Encuentra Utilizando los teoremas de traslación.

Hallar la inversa de la transformada de Laplace:

Ejercicios: encuentra la transformada inversa de las siguientes funciones:

5.17 Ecuaciones Diferenciales Con Transformadas De Laplece Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace.

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace.