Problemas de Ecuaciones Diferenciales

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES

Problema 2 La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cualquier momento t . Su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población en 30 años? Planteamiento del Problema Con P  P(t ) la población en el tiempo t Con la ecuación diferencial

dP dt

 kt y P(0)  P 0  500

nosotros

obtenemos d

e kt P   0  e  kt P  c dt P  cekt  P  500e kt

Si consideramos la condición inicial tenemos lo siguiente 10))  57 575 5 P (10

 575  500e10 k  1.15  e

10 k

1 10

575 500

 e10k

 Ln(1.15)  Ln  e10k 

ln(1.15)  k  k  0.013976164

Por lo tanto calculamos la población que será en 30 años 30

P(30)  500

10

ln1.15

 760años

Problema 3 Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada, es decir, de carbón vegetal encontradas en el sitio, para fechar las pinturas prehistóricas y rupestres, en las paredes y los techos de una caverna P á g i n a 1 | 13

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.








en Lascaux, Francia. Determine la edad aproximada de un trozo de madera, si se encontró que había desaparecido el 85.5% del carbono 14.

Planteamiento del Problema dA dt

 kA,

Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial de primer orden: A(t )  A0ekt

Si se ha desintegrado 85.5%, queda 14.5% El punto de partida es, de nuevo A(t )  A0ekt . Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que A0 / 2  A(5600) 1, el cual es el periodo medio, valor que corresponde A0 / 2 . O sea A0 / 2  A0e5600 k .

1

Dotación de radiocarbono. Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que emplea el carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría de la datación (fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa en el isotopo carbono 14, se produce en l atmosfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-14 al carbono ordinario en la atmosfera parece ser constante y en consecuencia, la cantidad proporcional del isotopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmosfera. Cuando muere un organismo la absorción del C-14 sea por respiración o alimentación cesa. Así, si se compara la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo en un fósil, con la relación constante








Entonces, 5600k  ln

1 2

  ln 2 , de donde k  (ln 2) / 5600  0.00 .00012378

por consiguiente tendremos el siguiente planteamiento: Por lo tanto la constante de decaimiento k es: k  0.00012378 , Por lo tanto A(t )  0.145 Ao entonces: A(t )  0.145 A0  0.145 A0  A0e

 0.00012378t 

0.145  e0.00012378t

Ln(0.145)  Ln  e 0.00012378t  Ln  0.145 

  0.00012378 

 t  t  15,600años

Mezclas Al mezclar dos filtros a veces se originan ecuaciones diferenciales diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras, se supone que la razón con que cambia la cantidad de sal, A '(t ) , en el tanque de mezcla tiene una rapidez neta: dA dt

Rapidez con entra entra la sal  (Rapidez (Rapidez que sale sale la sal)  Ri  R0   Rapidez

Problema 4 Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30g de sal y le entran 4 L / min de solución con 1g de sal por litro, bien mezclado de el sale liquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t ) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t .








dA dt

  Rapidez Rapidez con entra la sal    Rapidez Rapidez con que sale la sal   Ri  R0

La concentración de la solución entrante era 4 L / min por consiguiente la entrada era: Ri  (4L / min) 1g / L   4 g / min

Mientras que salía con la rapidez

 A  A L/ g g / min  200  50

R0  (4 L / min) 

Para hallar A(t ) resolvemos el problema de valor inicial dA dt



4

A

50

, A(0)  30

d

 Aet /50   4et /50 dt

Ae

t / 50

A  A 

 200et /50  C

200et /50 e

t / 50



C e

t / 50

200  Ce  t /50

Si consideramos la condición inicial A(0)  30  30  200  Ce0/50 30  200  C

C  170

Por lo tanto cantidad A(t ) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t será:








Cuando un circuito en serie solo contiene un resistor y un inductor (circuito LR ), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje a través de inductor  L  di / dt   y del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado, ( E (t )) , al circuito.

Figura 1.

Circuito LR en serie

Con lo anterior se obtiene la ecuación diferencial diferencial lineal que describe la corriente i (t ) , L

di dt

 Ri  E (t )

La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia

(1)

C

es

q(t ) / C , donde q es la carga c arga del capacitor; por lo tanto, para el circuito

en serie de la figura 1 (circuito RC), la segunda ley de Kirchhoff establece Ri

1

E( )

(2)








Pero la corriente

i

y la carga q se relacionan mediante i  dq / dt d t , así

la ecuación (2) se transforma en la ecuación diferencial lineal R

dq dt



1

C

q  E (t )

(3)

Problema 5 Se aplica una fuerza electromotriz

120, 0  t  20 E (t )    0, t  20 A un circuito en serie serie LR , en que la inductancia es 20h y la resistencia es de 2 . Determine la corriente, i (0)  0 . Planteamiento del Problema La ecuación diferencial lineal que describe la corriente i (t ) , L

di dt

 Ri  E (t )

Tomando en cuenta que la inductancia es L  20h y la resistencia R  2 , la ecuación diferencial en el intervalo 0  t  20 es: 20

di dt

 2i  1 12 20

Por lo tanto el factor integrante de la siguiente ecuación diferencial es: d

et /10i   6et /10 dt

e

i  60  c1et /10 .

Si

consideramos

la

/10 condición inicial tenemos, i(0)  0  c1  60 e i  60  60et /10

siguiente










20

es

di dt

integrante de la ecuación diferencial diferencial  2i  0 por lo tanto el factor integrante

d

/10 et /10i   0 e i  c2et /10 dt

Ahora con t  20 , nosotros tenemos 60  60et /10  cet /10  c2e2  60  60e2 por lo tanto c2  60  e2  1 . Por lo

tanto la corriente en i(0)  0 será: t /10  60  60e , 0  t  20; i (t )   2 /10 60  e  1 e t , t  20  

Ley de Newton Enfriamiento Se puede observar que la formulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden dT dt

 k T  T m 

En que k es una constante de proporcionalidad, T (r )

(4) es la








un observador registra que la temperatura es de 110°F después de

1 2

minuto y de 145°F después de 1 minuto. ¿A que temperatura esta el horno?

Solución Planteamiento del Problema Tenemos la ecuación lineal de primer orden dT dt

 k (T  T m )

Usando separación de variables para resolver la ecuación diferencial anterior tenemos que: dT T

 kdt 

 T m dT

 T  T

 k  dt 

m

ln T  Tm  kt  C1 e

ln T Tm

T

T

 ekt C  eln T T  ekt eC m

1

C

kt

T

C

1

kt

T








T (t )  C2e kt  Tm  T (t )   70  Tm  ekt  Tm

Usando las observaciones que fueron registradas acerca de las temperaturas tenemos

1 T    Tm   70  Tm  e k /2  110  2 T 1  Tm   70  Tm  e k  145

Por lo tanto

 e k /2  110  Tm  /  70  T m  2

ek   ek /2 



2

 110  Tm  145  T m    70  T m  70  Tm 

110  T m 

2

70  T m

 145  T m 

12100  220Tm  Tm2  10150  250Tm  Tm2 

T m  390

Problema 2 Un termómetro se lleva al interior de una habitación al exterior, donde








Asumimos que que dT dt

 k (T  5)

Por lo tanto, aplicando separación de variables a la ED anterior tenemos: dT

(T  5)

 kdt 

dT

 (T  5)   kdt  Ln T

 5  kt  C 1 

Ln T 5

e

T

 e kt C  1

 5  ekt eC

T (t )

1

 5  C2e kt

Utilizamos las condiciones iniciales del Problema T (1)  55 T (5)  30 T (t )  5  C2e T (1)  55

kt










Utilizamos la segunda condición para calcular C 2 T (t )  5  C2e kt  30  5  C2e

5k

 25  C2e 5k

1 5 0.1732 0.1732867 86795 95 con k   ln 2  25  C2e 4 25  C 2 (0.4 (0.42 20448207)

C 2  59.46035575

Por lo tanto en T (0) tenemos: T (t )  5  C2e kt 0.173286795) 5) T (0)  5   59.46035575 e(0)( 0.17328679

T (0) (0)  64 64.4 .461 611 1

Problema 3 Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70F y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10F . Después de 1 2

minuto el termómetro indica 50F . ¿Cuál es la lectura cuando

t  1min ? ¿Cuanto tiempo se necesita para que le termómetro llegue a 15F ?










Asumimos que que dT dt

 k (T  10)

Por lo tanto, aplicando separación de variables a la ED anterior tenemos: dT

(T  10)

 kdt 

dT

 (T  10)   kdt  Ln T

 10  kt  C 1 

Ln T 10

e

T

 ekt C  1

 10  ekt eC

T (t )

1

 10  C2e kt








T (t )  10  C2e kt  50  10  60e

 2 3

40 60

e

1/2 k

k 1/2 

 e(1/ 2) k  ln

k  2 ln

 40  60e(1/2) k

2 3

 ln e(1/ 2) k  ln

2 3

1

 k

2 3

Por lo tanto en T (1) tenemos: T (t )  10  C2e kt (1)( 0.81093021 0.810930216) 6)  36.66 T (1)  10   60  e(1)(

T (1)  36.66 36.66

Por lo tanto en T (t )  15 tenemos:

2

Problemas de Ecuaciones Diferenciales

Recommend Documents