Liceo Polivalente Arturo Arturo Alessandri Palma Palma Corporación de desarrollo social de Providencia Departamento de Matemática
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(#C"%$7 Módulo Matemática N&:#L &&&;cursos #<=
a Aravena Plao7 30 de Noviem,re UN&DAD "#M?"&CA7 #studio de Cónicas C%N"#N&D%7 #cuación principal principal general general una #lipse en el Plano Cartesiano Cartesiano AP$#ND&AB# #(P#$AD%7 $econocer $econocer en el estudio de la elipse a una de las las cónicas importantes en el desarrollo de la geometr2a anal2tica GUÍA N ! "#$C#$% M#D&% M'DUL% UN&DAD & (#GUND% (#M#("$# &N("$UCC&%N#( G#N#$AL#( 1) Esta guía es la continuación de la guía Nº 3 que que corresponde al estudio estudio analítico de una ELIPSE ELIPSE centrada en un sistema de coordenadas, para lo cual deberás recordar conceptos básicos de ella . por supuesto los demás contenidos incluidos en las guías N! " #
2) En esta guía encontrarás el desarrollo de cada uno de los contenidos $ob%eti&os' que se desean desean lograr con el estudio de la) #CUC&'N P$&NC&PAL * G#N#$AL D# UNA #L&P(# con su respecti&a e(plicación, e%ercitación " aplicación correspondiente. Ad+untando además algunos e+ercicios para tu tra,a+o personal 3' Luego "a resuelta la guía debes imprimirla " arc)i&arla en una carpeta, la que será solicitada al t*rmino de este proceso 4) +inalmente +inalmente lo más importante, importante, es que al inal de esta guía de traba%o, encontrarás encontrarás algunas algunas preguntas preguntas que debes responder responder,, como e&aluación e&aluación de los contenidos contenidos incluidos incluidos en la guía, respuestas respuestas que debes enviarme al
correo electrónico -ue se te comunicó) en un plao má/imo de 01 d2as) a partir del 34 de %ctu,re 5indicando -ue es módulo de matemática6
$#C%$D#M%( L%( #L#M#N"%( D# UNA #L&P(# #N #L PLAN% &N"$%DUCC&'N7 Nota: -na #L&P(# correspode a una de las cur&as denominada denominadass cónicas cónicas $ las otras son circunere circunerencia, ncia,parábo parábola, la, )ip*rbola', )ip*rbola',pues pues se obtienen obtienen al realiar realiar cortes cortes planos especiales especiales en un C%N% " los elementos básicos de una elipse en el plano que debes tener presnte son 7 &6 $epresentación gra8ica de una #lipse Centrada en el plano Cartesino * P ( x, y ) B1
C 1 b
A1
F 1
−c
"
O
(
a
F 2
A2
9
C 2
B2
&&6 "ener presente los elementos -ue son parte de una #lipse
1
i' F 1 ii'
∧ F 2
Puntos i%os dados llamados =%C%(
Punto medio del segmento F 1 F 2 / A1 A2 " B1 B2
O
2c
ii' F 1 F 2
0istancia +ocal " se designa por
i&' A1 A2
E%e ma"or de la elipse " se designa por
2a
&' B1 B2
E%e menor de la elipse " se designa por
2b
&i' C 1C 2
∴ F 1 F 2 =
2c
∴ A1 A2 = 2a ∴ B1 B2 = 2b
Lado recto $segmento perpendicular a los ocos'
∴C 1C 2 = LR =
2b
2
a
Nota. (e denominan vrtices de una elipse a los puntos e/tremos del e+e maor de sta III6
$elación Pitagórica entre las medidas A1O / F 1O " B1O
a2
b2
=
+
c2
&:6 #cuación de la elipse centrada en el origen del sistema de coordenada
x 2
9
i' Ecuación de la Elipse con E%e ma"or en E%e
a2
x 2
E%e ma"or en el E%e *
ii' Ecuación de la Elipse
b2
+
+
y 2 b2
y 2
=1
=1
a2
#B#$C&C&% D# APL&CAC&'N &&6 0ada la ecuación 4 x 2
+ 3 y 2 = 60 0eterminar1
i6 0istancia ocal ii6 coordenadas de los ocos iii6 2edida lado recto (%LUC&'N7 06 La ecuación debe e(presar racionalmente 4 x 2 + 3 y 2 = 60
4 x 2 60
+
3y 2 60
=1
⇒
x 2 15
+
y2 20
=1
iii6 LR
=
2b 2 a
⇒ LR
=
30 2 5
ii6 F 1
•
5 5
= (0,
= 30
10
5
" F 2
5)
=3
se obtiene
Por lo tanto el E%e 2a"or se encuentra en el E%e *
36 En la ecuación a 2 = 20 ⇒ a = 2 5 " b 2 6 Sabemos que a 2 = b 2 + c 2 ⇒ 20 − 15 = c 2 $#(PU#("A(7 i6 2c = 2 5
/ ÷ 60
= 15 ⇒ b = ⇒
= (0,−
c
2
15
=5
⇒
c
=
5
5)
5
#CUAC&'N D# UNA #L&P(# N% C#N"$ADA #N #L %$&G#N D#L PLAN% CA$"#(&ANE &ntroducción. En el graico siguiente puedes obser&ar que la elipse se encuentra desplaada de los e%es reales , donde del plano " se ubica en el Primer cuadrante de el, por tanto esta centrada respecto a los e%es X 1 " Y 1 su centro tiene coordenadas ( h, k ) .demás el ma"or de la elipse es paralelo al E%e de las bscisas $ 9'
Y M
Y 1
B1
P ( x, y )
C 1 b
y1 2
H
A1
F 1
−c
a
( h, k ) x1
A2
F 2
X 1
C 2
B2
k O
N
R
x
h
X
#CUAC&'N P$&NC&PAL D# UNA #L&P(# #N #L PLAN% 4bser&ación1 5al como lo indicamos en la graica la Elipse se encuentra centra con respecto a los e%es X 1 " Y 1 ,
" además su e%e ma"or es paralelo al e%e 9) por tal raón la ecuación asociada que le corresponde es1 2
x1
a2
2
+
Sin embargo la ecuación que se requiere debe estar en unción de los E%es reales del sistema, es decir
y1
=1 b2 X e Y
∧ y1 a' En la igura ON = OR + RN ⇒ x = h + x1 ⇒ x1 = x − h ⇒ y1 = y − k b' En la igura OM = OH + HM ⇒ y = k + y1 ,por lo tanto para tal eecto debemos determinar x1
( x − h) 2
6emplaando en la ecuación anterior se tiene
a2
+
( y − k ) 2
b2
=1
N%"A06 Esta Ecuación se denomina Ecuación Principal de una Elipse en el Plano 5e%e ma"or paralelo al e%e 76
( x − h) 2
N%"A 36 En cambio si e%e ma"or es paralelo al E%e la Ecuación es
b2
+
( y − k ) 2 a2
=
1
#B#$C&C&%( D# APL&CAC&'N 06 Si el centro de una elipse tiene coordenadas ( −3,2)
" uno de sus &*rtices ( 2,2) " uno de sus ocos
( −6,2) 0eterminar la ecuación de la Elipse.
(%LUC&'N. 8omo cada uno de los puntos dados tiene la misma ordenada, signiica que el e%e ma"or de la Elipse es paralelo al E9E 0E LS :S8ISS $9' i' La distancia entre ( −3,2) " ( 2,2) determina el &alor de a ⇒a=5 ( −6,2) determina el &alor de c ii' La distancia entre ( −3,2) ⇒c=3 iii' plicando la relación
a2
b2
c 2 se tiene 25 = b 2
16
36 Si las coordenadas de los ocos de una elipse son (3,−3)
"
Por tanto la ecuación pedida es
+
( x + 3) 2 25
+
( y − 2) 2 16
+
9⇒b
2
=
=
=1 (3,5) " la medida de su e%e ma"or es
!# unidades 0eterminar la ecuación correspondiente
(%LUC&'N7 8omo las coordenadas de los ocos tienen la misma abscisa ,se deduce que su e%e ma"or es paralelo al E9E 0E LS 460EN0S $ * ' i' El punto medio entre las coordenadas (3, − 3) " (3,5) determina las componentes del punto centro , por lo tanto es 1 (3,1) " es ob&io que el &alor de c = 4 $semi;e%e ocal' ii' demás se sabe que la medida del e%e ma"or es !# ∴ a = 6 $semi;e%e ma"or' III' plicando la relación
a2
=
b2
Por tanto la ecuación pedida es
c 2 se tiene 36 = b ( x − 3) 2 ( y − 1) 2
2
+
20
+
36
+
16 ⇒ b
2
=
20
=1 3
#CUAC&'N G#N#$AL D# UNA #L&P(# #N #L PLAN% ( x − h) 2 ( y − k ) 2 Introducción. Si se tiene la ecuación principal de una elipse + = 1 , para obtener la ecuación a2 b2 general es suiciente e(presar dic)a ecuación en orma lineal $realiando algunos reemplaos' 0esarrollo ⇒
2
b x
⇒ b x 2
( x − h) 2 a
+
2
( y − k ) 2 b
x + b h
2
=
2 2 1 • (a b )
b 2 ( x 2
⇒
− 2 xh + h 2 ) + a 2 ( y 2 − 2 yk + k 2 ) = a 2b 2
2
− 2hb
2
− 2hb2 x + a 2 y 2 − 2ka 2 y+ = a 2 b 2 − b 2 h 2 − a 2 k 2
2
2
2
+ a 2 y 2 − 2 ka 2 y + a 2 k 2 = a 2 b 2
N45. 8onsideremos las siguientes igualdades. i' A = b 2 ii' B a 2 iii' C = −2hb 2
=
∴ Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + F = 0
i&' D
= −2ka 2
&' F =
2
b h
2
+
2
2
a k
−
2
a b
2
#cuación General de una #lipse $E%e ma"or paralelo al E%e 96
#B#$C&C&%( D# APL&CAC&'N 06 0ada la ecuación Principal de una Elipse
( x − 2)
2
+
9
⇒ 16 x
( y + 3) 16
2
= 1 • 144
⇒
( x − 2) 2
( y + 3) 2
+
9
16
= 1 E(presarla en orma
− 4 x + 4) + 9( y 2 + 6 y + 9) = 144
16 ( x 2
− 64 x + 64 + 9 y 2 + 54 y + 81 = 144 ⇒ 16 x 2 + 9 y 2 − 64 x + 54 y + 64 + 81 − 144 = 0 ∴16 x 2 + 9 y 2 − 64 x − 54 y + 1 = 0 Ecuación pedida
2
36 0ada la ecuación
+ 4 y 2 + 2 x − 12 y + 6 = 0
i' 0eterminar las coordenadas del centro ii' 0eterminar las coordenadas de los &*rtices $E%e ma"or' iii' 0istancia ocal i&' 2edida lado recto Nota. Para resol&er este problema, se debe e(presar la Ecuación en orma Principal, para lo cual completaremos los CUAD$AD%( D# F&N%M&%( correspondientes $Este es el m*todo más adecuado'
( x 2
(olución7 4rdenado la ecuación
− 3 y = 2 yQ ⇒ Q = − 3
⇒
2
⇒
( x + 1) 2
$espuestas
+ 4( y − 3 ) 2 = 4 2
+ 2 x + P 2 ) + 4( y 2 − 3 y + Q 2 ) = −6 Pero1 2 x = 2 xP ⇒ P = 1 "
( x 2
+ 2 x + 1) + 4( y 2 − 3 y + 9 ) = −6 + 1 + 9 4
÷4
( x + 1) 2
⇒
4
3 i6 8oordenadas del centro − 1, 2
ii6 Su e%e ma"or es paralelo al E%e 7 " a
2
3 + y − = 1 2
iv6 Sabemos que LR
=
Ecuación Principal
2b 2
⇒
a
2 •1 2
∴ LR = 1
= 2 Entonces las coordenadas de los &*rtices son − 3, " 3
2
1, 3 2 iii6 La distancia +ocal es igual a 2c pero a 2
=
b
2
+
c
2
⇒
2 4 = 1+ c ⇒ c = 3
∴
2c
=
2 3
#B#$C&C&%( PA$A "U "$AFAB% P#$(%NAL 06 0ada la ecuación de la elipse
( x − 4) 2 20
i' 2edida del e%e ma"or " menor
+
( y + 3)
2
4
= 1 0eterminar
ii' 8oordenadas de los ocos iii' 2edida lado recto
36 Si las coordenadas de los ocos de una elipse son ( − 4, −2) " ( − 4,−6) " su lado recto mide = unidades 0eterminar la Ecuación Principal de la elipse
6 Si las coordenadas del centro de una Elipse ( 2,−3) " las de uno de sus &*rtices (6,−3) ,además la distancia entre sus ocos es =. Encontrar la ecuación general correspondiente !6 0ada la ecuación 9 x 2 + 25 y 2 + 72 x − 50 y + T = 0 8alcular el &alor de una elipse.
T para que sea la ecuación de
4
16 0ada la ecuación 4 x 2
+ 81 y 2 − 40 x + 162 y − 143 = 0 0eterminar1
i' Las coordenadas del centro
ii' 8oordenadas de los ocos iii' 8oordenadas de los &*rtices i&' Lado recto
46 Dada la ecuación principal de una elipse la elipse cuando la abscisa es
( x − 2) 2 25
+
( y − 2)
2
4
= 1 0eterminar las ordenadas del punto de
3
$#(PU#("A(7 2b = 4 2edida e%e menor
06 i' 2a = 4 5 2edida e%e 2a"or ii' ( 2,−3)
36
( x + 4) 2 12
6 7 x 2
iii' LR
∧ (6. − 3) 8oordenadas de los ocos
+
( y + 4) 16
=4
5 5
2
=1
+ 16 y 2 − 28 x + 96 y + 70 = 0
!6 T = −56 16 i' (5,− 1) 8oordenadas del centro iii' (14, −1)
∧
ii' (5 +
77 ,−1) ∧ (5 −
( −4,−1) 8oordenadas de los &*rtices i&' LR =
46 Las ordenadas para x = 3 son y1
77 ,−1) 8oordenadas de los ocos
8 9
= 3,95 ∧ y 2 = 0,04 #:ALUAC&'N
Nota 0ebes responder los siguientes ítems, que corresponden a los ob%eti&os básicos considerados en la guía que )as traba%ado, %ustiicando adecuadamente cada una de tus respuestas/ las cuales debes en&iar &ía correo electrónico indicado el curso " que es matemática 2ódulo, Nombre>>>>>>>>>.
8urso>>>>>
+ec)a>>>>>>
06 Si se sabe que las coordenadas de los &*rtices de una elipse son ( −4,2) ∧ (8,2) " la de uno de sus ocos ( −2,2) 0eterminar la ecuación principal de la elipse 36 0ada la ecuación de la elipse 9 x 2
+ 8 y 2 + 18 x − 64 y + 65 = 0 0eterminar1
i' 8oordenadas del centro ii' 8oordenadas de los ocos III' 2edida del E%e menor
i&' 2edida lado recto
6 Si se conoce que las coordenadas de los ocos de una elipse son (3,1) ∧ (3,7) , además LR
= 32 5
Encontrar la ecuación general correspondiente
$UF$&CA D# LA #:ALUAC&'N 5Con estos criterios punta+es -ue se indican en el cuadro serán evaluadas tus respuestas ' Ca tegor2as
0eterminar la Ecuación de una elipse conocidos algunos elementos de ella
Desempe>o %ptimo
Fueno
$egular
&nsu8iciente
5 puntos6
53 puntos6
50 punto6
5E punto6
6ealia los procedimientos algebraicos adecuados con los &alores conocidos, dando respuesta correcta de la ecuación pedida.
6ealia procedimientos matemáticos con los elementos dados ,pero la ecuación obtenida , no es la correcta
0esarrolla algunas operaciones algebraicas, con los elementos dados ,sin embargo no da respuesta a lo
No responde la pregunta
5
solicitado
0eterminar algunos elementos de la elipse conocida su ecuación general
Encontrar la Ecuación
-tiliando adecuadamente procedimiento algebraico " demostrando que conoce la relación conceptual que e(iste entre la ecuación de una Elipse " sus elementos, obtiene las respuestas correctas del problema planteado.
-tiliando adecuadamente procedimiento algebraico " demostrando que conoce la relación conceptual que e(iste entre la ecuación de una Elipse " sus elementos, obtiene sólo dos respuestas correctas del problema planteado.
Interpreta No responde erróneamente la pregunta inormación, por tanto su algebraico no le permite obtener respuestas correctas
8on la inormación dada deduce correctamente los procedimiento algebraicos que debe realiar ,para obtener la ecuación pedida
-tilia los datos dados correctamente ,pero comete errores en el desarrollo en uno de los procedimientos algebraicos realiados, por lo tanto su respuesta no corresponde a la ecuación pedida
6econoce la inormación dada ,pero los procedimientos algebraicos utiliados no son correctos e incluso incompletos, por cuanto su respuesta carece de undamneto
No responde la pregunta
6
