PROGRAMA
EGRESADOS
Guía: Función de probabilidad y función de distribuci distribución ón
Ejercicios PSU 1.
2.
1 V 5 1 A 2 3 M E 2 4 0 G E C I U G
Un experimento consiste en extraer dos bolitas, una tras otra y sin reposición, de una caja que contiene una bolita blanca, una bolita negra y una bolita verde. Se dene la variable aleatoria como la cantidad de bolitas verdes obtenidas después de realizar el experimento. Si P es es la X como X = función de probabilidad del experimento, entonces P ( X = 1) es igual a A)
1 9
B)
1 6
C)
1 3
D)
4 9
E)
2 3
a c i t á m e t a M
Se lanzan dos dados y se dene la variable aleatoria X como como el promedio entre los resultados obtenidos. Si la función de probabilidad de X es es P , ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? verdadera(s)? I)
P ( X X > >
5) =
1 12
II)
P ( X X = =
2) =
P ( X X = =
III)
solo X solo
A) B) C) D) E)
Solo Sol o I Solo Sol o II Solo III Solo I y II Solo II y III
3)
puede tomar valores enteros.
Cpech 1
Matemática 3.
Un juego consiste en lanzar un dardo al tablero de la gura, el que tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de las casillas, y se le asigna a la variable aleatoria X el valor de la casilla donde cae el dardo. La función de probabilidad P ( X = a), para a en el conjunto {6, 8, 10, 12}, está representada por la expresión A)
a +
18 a
B) C) D) E)
4.
2
Cpech
2
9 a –
2 18
12 10
6
10 12
10
8
12
6
8
12 10 12
8
10 12 8
6
a
36 a
18
Para la variable aleatoria X se dene la función de probabilidad conjunto {1, 2, 3} y k un número real. El valor de k es A)
1 6
B)
1 3
C)
1 2
D)
6 11
E)
3 5
P ( X = m)
=
k m
, con
m en
el
Guía 5.
La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria X
1
2
3
4
5
P ( X = x )
0,15
0,2
0,35
n
0,15
X .
¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)?
6.
I) II) III)
El recorrido de X es {1, 2, 3, 4, 5}. El valor de n es 0,15. La probabilidad de x = 3 es 1 . 5
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III
Una urna contiene 10 bolitas de la misma forma y tamaño, enumeradas del 1 al 10. Si se extraen 5 bolitas al azar una tras otra, sin reposición, y la variable aleatoria X corresponde a la cantidad de bolitas que tienen un número par, ¿cuál es el recorrido de la variable aleatoria? A) B) C) D) E)
7.
{1, 2, 3, 4,5} {2, 4, 6, 8, 10} {0, 2, 4, 6, 8, 10} {0, 1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
La función de probabilidad de una variable aleatoria X = {3, 4, 5, 6} está dada por f ( x ) = k ( x – 2). ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I)
El valor de k es 10.
II)
La probabilidad de x = 6 es
III)
La probabilidad de que ocurra x = 2 no se puede determinar.
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
2 5
.
Cpech
3
Matemática 8.
Sea f ( x ) = P ( X = x ) la función de probabilidad de una variable aleatoria experimento. ¿Cuál de las siguientes armaciones es FALSA? A) B) C) D) E)
9.
4
Cpech
X en
un determinado
El recorrido de X es igual al dominio de f . El dominio de f se compone de números racionales. Los valores que pueden tomar las imágenes de f están en [0,1]. El dominio de X es igual al espacio muestral del experimento. El recorrido de X se compone de valores entre 0 y 1.
En una bolsa hay cinco chas numeradas del 6 al 10, de la misma forma y tamaño. Si se extraen dos chas, una tras otra y sin reposición, y se dene la variable aleatoria X como la suma de los números de las chas, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? 1
I)
La probabilidad que X sea 15 es
II)
El recorrido de X es {13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}.
III)
La probabilidad de obtener un número impar es 4 . 7
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III
4
.
Guía 10.
Sea X una variable aleatoria de función de probabilidad dene como
P y
función de distribución
F ,
la que se
2 , si x = 1 15
F ( x )
11.
=
8 , si x = 2 15 5 , 6
si x = 3
1,
si x = 4
para X en el conjunto {1, 2, 3, 4}. ¿Cuál es el valor de A)
1 6
B)
3 10
C)
7 15
D)
7 10
E)
41 30
P (2
Sea X una variable aleatoria de función de probabilidad 2
F ( X = a)
A)
1 25
B)
5 25
C)
7 25
D)
9 25
E)
16 25
=
a
25
≤ X ≤ 3)?
P y
función de distribución
, para X en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. El valor de
P ( X =
4) es
Cpech
5
Matemática 12.
El gráco de la gura muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria P ( X = x )
0,14
0,1
0,07 0,05 0,04
0
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)?
13.
I) II) III)
La probabilidad de x = 0 es igual a la probabilidad de x = 12. La probabilidad de obtener a lo más 4 es del 10%. La probabilidad de obtener a lo menos 10 es del 16%.
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III
La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria X
0
1
2
3
4
F ( x )
0,1
0,2
0,4
0,6
1
¿Cuál de las siguientes armaciones es FALSA? A) B) C) D) E)
6
Cpech
La probabilidad La probabilidad La probabilidad La probabilidad La probabilidad
de obtener de obtener de obtener de obtener de obtener
2 es del 40%. 0 es del 10%. 3 es del 20%. a lo más 1 es del 20%. a lo menos 3 es del 60%.
X .
X .
Guía 14.
15.
Un experimento consiste en sacar dos tarjetas de una urna, una tras otra y sin reposición, donde siete son de color verde y 13 de color azul. Se dene la variable aleatoria X como el número de tarjetas azules que se extraen y F como la función de distribución asociada a X . ¿Cuál es el valor de F (2)? A)
0
B)
39 95
C)
91 190
D)
56 95
E)
1
Sea F una función de distribución y
P una
función de probabilidad asociado a
F ,
tal que
2 , para x = 1 15 1 , para x = 2 3 F ( x )
=
2 , 3
para x = 3
14 , 15
para x = 4
1,
para x = 5
Si la variable aleatoria de la función es discreta, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)?
I) II) III)
El recorrido de la variable aleatoria es {1, 2, 3, 4, 5}. P ( X = 1) = P ( X = 4) P ( X = 3) = F (2)
A) B) C) D) E)
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
Cpech
7
Matemática 16.
Para cierto experimento se define una variable aleatoria
X con
3 x + 2 , cuyo dominio es el conjunto {0, 1, 2, 3}. Si 26 asociada a P , entonces F (1) + F (2) es igual a P ( X = x )
17.
A)
5 13
B)
17 26
C)
9 13
D)
11 13
E)
25 26
=
F es
función de probabilidad la función de distribución
Sea X una variable aleatoria, con recorrido {1, 2, 3, 4}, tal que su función de probabilidad es 2 11
P ( X = n)
=
, para n = 1
3k , para n = 2 22 k
11
, para n = 3
3 , para n = 4 22 Si F es la función de distribución asociada a
8
Cpech
A)
19 22
B)
13 22
C)
9 11
D)
9 22
E)
3 11
P ,
entonces F (2) es igual a
Guía 18.
19.
20.
Con respecto a la función de probabilidad binomial, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
Es utilizada para experimentos dicotómicos. Se emplea en experimentos de extracción, sin reposición. Sirve para calcular probabilidades de variables aleatorias discretas.
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo III Solo I y III I, II y III
Si se lanza una moneda 10 veces, ¿cuál es la probabilidad que salgan a lo más 2 caras? A)
1 1.024
B)
3 1.024
C)
45 1.024
D)
55 1.024
E)
56 1.024
Rodrigo, para aprobar una asignatura, necesita obtener como mínimo doce respuestas correctas en una prueba de Verdadero y Falso. Si la prueba tiene 15 preguntas y las res ponde todas al azar, la probabilidad de obtener dicho puntaje es A)
455 215
B)
2.730 215
C)
455 212
D)
2.730 212
E)
1.592 212
Cpech
9
Matemática 21.
Una prueba tiene 20 preguntas con 5 alternativas cada una, de las cuales solo una es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga el puntaje máximo, si contesta toda la prueba al azar? A)
( ) 4 (5)
20
1 5
20
B) C)
( 15 ) 1 20 • ( ) 5 4 20 • ( ) 5 20 •
20
D)
20
E)
22.
Lorena participa en una competencia que consta de 25 pruebas, en la que compite junto a otros cinco participantes. Si todos tienen igual probabilidad de ganar cada una de las pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que Lorena pierda en 18 de estas? A)
() 5 (6) ( 2518 ) 25 ( 18 ) ( 2518 ) 5 6
18
18
B) C) D) E)
23.
() ( 56 ) 5 1 (6) (6) ( 16 ) ( 56 ) 1 6
7
18
•
18
•
7
•
18
•
7
•
La probabilidad de que un estudiante cualquiera de un preuniversitario quede en la universidad es de un 88%. Si se escoge al azar un grupo de 8 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad que solo dos de ellos entren a la universidad? A) B) C) D) E)
10 Cpech
•
14 28 28 56 56
(0,88)2 (0,88)2 (0,88)6 (0,88)2 (0,88)6
(0,12)2 (0,12)6 (0,12)2 (0,12)6 (0,12)2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Guía 24.
Se lanza una moneda n veces y se dene la variable aleatoria X como el número de veces que se obtiene cara en el total de lanzamientos. Si P es la función de probabilidad asociada a X , es posible determinar el valor de P ( X = 4) si:
(1) (2)
6 Los valores que puede tomar X son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
n =
25.
Se tiene una variable aleatoria X en el conjunto {1, 2, 3, 4}, de función de probabilidad de distribución F . Es posible determinar el valor numérico de F ( X = 3) si:
(1)
P ( X =
2) =
1 7
(2)
P ( X =
3) =
3 7
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
P y
función
Cpech 11
Matemática
Tabla de corrección
Ítem
12 Cpech
Alternativa
Habilidad
1
Aplicación
2
ASE
3
Comprensión
4
ASE
5
ASE
6
Aplicación
7
ASE
8
Comprensión
9
ASE
10
Aplicación
11
Aplicación
12
ASE
13
Aplicación
14
Comprensión
15
ASE
16
Aplicación
17
ASE
18
ASE
19
Aplicación
20
Aplicación
21
Aplicación
22
Aplicación
23
Aplicación
24
ASE
25
ASE
