I NSTI T UT 0
TECNOLOGICO
DE
TEPIC
Probabilidad y Estadistica
Jesus Olaz Olaz Erv1AIL:
[email protected]
Impreso en el Instituto Tecnol6gico de Tepic Agosto del 2000
INTRODUCCION
JesUs Diaz Diaz
v
Este manual introduce al lector a la probabilidad y estadistica de una manera informal mediante aplicaciones sencillas. Sacrifica el rigor matematico y utiliza tenninos comunes buscando la facilidad de comprensi6n de los conceptos y presenta ejemplos procurando siempre que estos sean problemas domesticos 0 de feicil comprensi6n.
Este manual pretende ser directo, claro y preciso, esta estructurado de manera tal, que cada tema inicia con su parte te6rica, enseguida. resalta las f6rmulas propias del tema, describe cada terrnino de las f6rmulas, y continua con la aplicaci6n de las mismas mediante la soluci6n de problemas explicando su soluci6n. Asi
tam~ien
cada vez que se considera
necesario, dentro de un rectangulo de lineas punteadas presenta Tip's que nos proporcionan ideas muy importantes, puntos medulares para el entendimiento cabal del tema.
EI manual tambien promueve el uso de la computadora. En el capitulo 1 presenta un software que titule "aprendamos a contar". Este Software es un tutorial muy interaetivo donde el alumno aprendera las diversas tecnic.as de contar a la vez que se divierte. Asi mismo en el capitulo 3 se presenta un ejercicio con su respectivo programa para calcular la media aritmetica, la varianza y la desviaci6n estandar mediante el uso del paquete excel.
Las matematicas que se utilizan son muy basicas por 10 que este texto tambien es muy accesible para estudiantes de preparatoria y de otras licenciaturas.
EI objetivo que persigue este trabajo, es pues, proporcionar una guia completa a los estudiantes del curso de ''Probabilidad'' que se imparte en los Institutos Tecnol6gicos y que sirva de texto de consulta a los alumnos de preparatoria y de otras licenciaturas buscando facilitarles el proceso de iniciarse en esta disciplina.
INTRODUCCION
JesUs Diaz Diaz
INDICE
PRESENTACION
Pagina iv
UNlOAD UNO . Tecnicas de conteo
Pagina 1
1.1 Introduccion
1.2 Principio fundamental de conteo
1.3 Diagramas de 3rbo1
1.40 Exponencial
1.5 Notaci6n Factorial
1.6 Permutaciones
1.6.1 De "n" objetos tornados todos a la vez
1.6.2 De "n" objetos tornados una parte "r" ala vez
1.6.3 Con repeticiOn
1.6.4 Circulares
1.7 Combinaciones
1.8 Particiones ordenadas
1.9 Software "Aprendamos a contar"
1.10 Recomendaciones didacticas y bibliognificas del capitulo
1.11 Resumen
UNIDAD DOS. Teoria de las probabilidades 2.1 Introduccion
2.2 Conjuntos
2.3 EI concepto clcisico de la probabilidad
2.4 La probabilidad interpretada a traves de la frecuencia relativa
2.5 EI concepto de probabilidad subjetiva
2.6 Espacios muestrales y eventos
2.7 Postulados de la probabilidad
2.8 Probabilidades y posibilidades
2.9 RegIa de la adici6n
2.10 Eventos independiente y dependientes
2.11 Probabilidad condicional e independencia
2.U RegIa de la multiplicaci6n 2.13 Teorerna de Bayes
2.14 Probabilidad utilizando Aruilisis combinatorio
2.15 Recomendaciones Didacticas y bibliognificas del
capitulo
2.16 Resumen
Pagina 35
INfRODUCCION
JesUs Diaz Diaz
UNIDAD TRES. Estadistica descriptiva
ii
Pagina 76
3. 1 Introducci6n 3.2 Manejo de datos
3.2.1 Distribuciones de frecuencia y terminologia
3.2.2 Gnificos de rama y hoja
3.2.3 Presentaciones gr3ficas
3.2.3.1 Histograma y poligono de frecuencias
3.2.3.2 Gnifico de barras
3.2.3.3 Gnifico circular 0 de pastel
3.2.3.4 Ojiva mayor y menor que
3.3 Medidas de tendencia central
3.3. 1 Notaci6n sumatoria
3.3.2 Media aritmetica
3.3.3 Mediana
3.3.4 Moda
3.3.5 Media geometrica
3.3.6 Media Ponderada
3.3.7 Cuartiles deci1es y percentiles
3.4 Medidas de dispersi6n
3.4.1 Desviaci6n media
3.4.2 Varianza
3.4.3 Desviaci6n eSUindar
3.5 Uso de la PC en la soluci6n de problemas de estadistica
descriptiva
3.6 Recomendaciones didacticas y bibliogr3ficas
3.7 reswnen
UNlOAD CUATRO.
Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discreta
4.1 4.2 4.3 4.4
4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4. 11 4.12 4.13
Introducci6n.
Distnbuciones de probabilidad
Valor esperado de variables aleatorias discretas.
Varianza y desviaci6n eSUindar de una distribuci6n de
probabilidad discreta.
EI proceso de Bernoulli
Distribuci6n Binomial.
Distribuci6n geometrica.
Distribuci6n hipergeometrica.
Distribuci6n Poisson
Aproximaci6n de Poisson a la binomial
Aplicaci6n de tablas para la soluci6n de distribuciones binomiales y de Poisson Recomendaciones didacticas y bibliognificas del capitulo.
Resumen.
Pagina 120
INTRODUCCION
JesUs Diaz Diaz
UNIDAD CINCO. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad continua.
iii
Pagina 153
5.1 5.2
Introduccion. Distribuciones de probabilidad continua y funcion de densidad. 5.3 Distribucion unifonne continua 5.4 Valor esperado y varianza para una distribucion uniforme continua 5.5 Distribucion normal 5.5. 1 Construcci6n de la curva normal estandar 5.5.2 C31culo de areas bajo la curva normal esuindar 5.6 Aproximacion de la normal a la binomial 5.7 Recomendaciones didacticas y bibliognificas del capitulo 5.8 Resumen
APENDICE
Pagina 180 Tabla L Distribuciones Binomiales Tabla 2. Distribucion Poisson Tabla 3. Distribucion normal est
BmLIOGRAFIA
Pagina 190
INTRODUCCION
JesUs Diaz Diaz
iv
PRESENTACION.
Nuestra vida es un continuo decidir en un clima de incertidumbre.
Continuamente lomamos decisiones, algunas de mayor y otras de menor importancia, pero por 10 general en elIas queda inmiscuida una cierta dosis de azar, por 10 que siempre existe el riesgo y la incertidumbre de no lomar la mejor decision.
El estudio de la probabilidad ciertamente no nos permite predecir el futuro con total certidumbre, pero si nos proporciona herramientas para analizar esta incertidumbre y con ello reducir en 10 posible errores de decision ante problemas complejos.
El crecimiento mundial de la poblacion y con ello de la industria, el comercio y de todas las actividades humanas, ha requerido cada vez mas de la investigacion y como consecuencia del desarrollo y la aplicacion creciente de la probabilidad y la estadistica, al grado tal, que en la actualidad la inmensa mayoria de las carreras profesionales la incluyen en su reticula.
El sistema Nacional de Institutos Tecnologicos del pais, no podia ser la excepcion. En lodas las carreras que ofrece incluye la probabilidad y la estadistica que se imparte en 1, 2, 3 0 4 semestres, seg(In la carrera de que se trate.
La probabilidad y la estadistica siendo una herramienta basica indispensable para los economistas ha tornado mi atenci6n, y al cabo de diez alios de experiencia docente impartiendo el curso de ''Probabilidad'' en el Instituto Tecnologico de Tepic, he observado en los alumnos de grupos propios y no propios, cierta dificultad para entender los conceptos y la aplicacion de la probabilidad. Este hecho me ha motivado, luego de consultar muy diversa bibliografia, a escribir este manual hecho 'justo" para dicho curso y que a su vez pueda ser un texto de consulta para los estudiantes de preparatoria y de otras licenciaturas.
UNIDADI Ti&:nicasdeconteo
JeWs Diaz Diaz
~
-i
""
.'" ~
UNIDAD UNO I~ -
s
1
TECNICAS DE CONTEO.
1. 1
Introducci6n
1.2
Principio fundamental del conteo.
1.3
Diagramas de arbol.
1.4
Exponencial.
1.5
Notaci6n Factorial.
1.6
Permutaciones: 1.6.1
De "n" objetos tornados todos a la vez.
1.6.2
De "n" objetos tornados solo una parte "r" ala vez.
1.6.3
Con repetici6n.
1.6.4
Circulares
1.7
Combinaciones.
1.8
Particiones ordenadas
1.9
Software "Aprendamos a eontar"
1.10 Recomendaciones didacticas y bibliografia del capitulo. 1.11 Resumen.
~
UNIDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
2
1.1 INTRODUCCION
En nuestra vida cotidiana continuamente tenemos que "contar". Frecuentemente son conteos simples como contar monedas, en el banco las personas de la fila que llegaron antes, el numero de aspirantes que solicitamos determinado empleo etc. Pero en muchas otras ocaciones seran conteos mas complejos que no podemos realizar directamente, y en estos casos necesitaremos utiJizar tecnicas especiales de conteo para obtener el resultado. Entonces, saber contar no solo significa saber enumerar los elementos de un conjunto y saber cuantos son estos. Saber contar significa saber calcular todos los posibles resultados que podemos obtener cuando un conjunto tamafio "n":
a. - Es tornado
0
reacomodado todo a la vez.
b.- Es tornado 0 reacomodado una parte a la vez. c.- Requiere que todos los subconjuntos resultantes guarden determinado orden. d. - Ha sido acomodado en posicion lineal 0 circular. e.- Presenta algunas otras particularidades.
···................••.......•...............................................•••.•........................ .
.
·: Para aprender a contar Fijate muy bien en los puntos clave teoricos para que . . : ·· .
.
: facilmente comprendas como formular las soluciones de los diversos problemas. Cada : ·· .
: tecnica tiene sus caracteristicas muy claras, que si las analizas bien, te llevan a entender .
: ·· .
.
: facilmente como plantear las soluciones a los diversos problemas de conteo. : .
···· .
.
.
·: Las matematicas que usaremos no representaran problema ya que son matemliticas .
: ··: basicas. .
.
: ··· .
.
.
.
··· .
. ....••.•..•.....................................•.•.............••••...•....••.....•...•.•...........•
UNIDAD I Ta:nicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
3
1.2 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO. Llamado tambien LLENADO DE CAJAS.
Se aplica cuando tenemos un experimento que puede resolverse de
"01"
formas, y
enseguida, un segundo experimento que puede resolverse de "n2" formas. Entonces el total de formas en que pueden resolverse ambos experimentos es:
-
Total de formas posibles. Esta regia puede enenderse para 3 0 mas experimentos. Y se usa cuando solo nos interesa calcular el numero total de posibles resultados. (no nos interesa enlistarlos).
..............••.................•...•......•................
EJEMPW 1.1.
Si entre dos compafieros propuestos, (Ivan y Alin), escogeremos al jefe de grupo, y entre
(Benjamin, Luis y Carlos) escogeremos un tesorero. i,De cuantas formas puede quedar
formada la pareja Gefe de grupo y tesorero)?
Deberemos decidir dos veces:
La primera para elegir jefe de
grupo y la segunda para elegir tesorero. Por tanto hacemos dos cajas y colocamos en elias el numero de opciones que tenemos para decidir.
Caja 1
caja2
D D X
Jefe de grupo
Opci6n No. 1.2.-
Tesorero
tesorero Benjamin Luis
4.-
Ivan y carlos Alin y Benjamin
5.6.-
Alin y AIin y
3.-
= 6opdones
Jefede grupo Ivan y Ivan y
Luis Carlos
UNIDAD I TaEcas de contro
JesUs Diaz Diaz
_............•.•.............•.•...................... ..............•................... · · ~
TIP
•
~
4
....•..•.•.•.
EL LLENADO DE CAJAS es muy eficiente cuando un problema nos impone restricciones que nos limitan el total de posibles arreglos
.
. .: ~
.•...•......•....••.•..........•.•.•..•.........••.•••••.........•...•••.......•.....••..•........•....
EJEMPLO 1.2. i,Cmintos niuneros de dos dfgitos puedo formar usando los numeros { 4, 5, 6, 7 Y 8 } si el primero NO puede ser [4 0 5 ]
si
a. -
puedo repetir los digitos?
b.- No puedo repetirlos
Solucion al inciso a:
* Es
un experimento donde tomaf(~ dos decisiones, una para seleccionar el primer digito y la otra decision para seleccionar el segundo digito. Por tanto hare dos cajas y en ellas anotare la cantidad de opciones que tengo.
-*
en la primera no puedo usar [4 ni 5 ] por 10 que solo puede estar alguno de los numeros [ 6, 7 u 8], (3 opciones ). Y en la segunda puede estar cualquiera de los numeros [ 4, 5, 6, 7 u 8], (5 opciones )
6 Y 4, 6 Y 5 6 Y 6 6 Y 7 6 Y 8
Primer
Segundo
digito
dhrito
3 opciones
x
5 opciones
~
7y4 7y5 7y6 7y7 7y8
15 Diferentes nUmerosu=>
8y4
8y5 8y6 8y7 8y8
Solucion al inciso b:
.*
Hacemos igual que en el inciso (a), excepto que al colocar el segundo digito no podemos repetir el primero por 10 que disponemos de (5 - 1) = 4 opciones
~ X ~ ~ 12 Diferentes nllrneros ~----"-
6 Y 4 6 Y 5 6~ 6 y 7 6 Y 8
N
7y8
8 Y4 8 Y 5 8 Y6 8 y 7
~8
7y4 7y5 7y6
UNIDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
5
EJEMPLO 1.3.- Queremos marcar todos los muebles y los equipos del Instituto
Tecnol6gico [TEC] para el control del activo fijo. Queremos hacerlo con calcomanias que tendn'm: primeramente dos de las 26 letras del alfabeto, y en seguida tres digitos. si las letras no deben repetirse en la misma calcomania y los digitos si pueden repetirse pero el primero no debe ser cero, l,CUilOtas calcomanias diferentes pueden hacerse?
*
Tengo que colocar dos letras y enseguida tres numeros, es decir, hare cinco cajas.
*
Para la primer letra (primer caja) dispongo de 26 opciones de colocar una letra
*
Para la segunda letra ( segunda caja) solo tengo 25 opciones ya que no debo repetir la que haya colocado en la primer caja.
*
En la 3er caja no puedo colocar el cero. Sera un nfunero del 0pclOnes
*
lal 9. Tengo 9
En las cajas 3 y 4 ya no hay restricciones. En cada una colocare un digito de entre el cero y el nueve ya que si pueden repetirse. Entonces en carla caja tengo 10 opClOnes.
r. Letra
ler. Letra
~
X
~
ler. Digito
X
~
2°. Digito
X
~
3er. Digito
X
~ ~ 585,000 etiQuetas
EJEMPLO 1.4 Una persona decide comprar un auto. de cuantas maneras puede escogerlo
si el distribuidor Ie ofrece:
a.- de dos 0 cuatro puertas,
b.- cinco diferentes
colores, C.- estilndar 0 automatico, d.- austero 0 de lujo.
*
Debera tomar cuatro decisiones por tanto haremos cuatro cajas.
* Caja 1.- dos opciones (2 64 puertas), opciones del sistema de transmisi6n opciones (austero 0 de lujo)
Caja 2.- 5 opciones de color, caja 3.- Dos (estindar 0 automatico). Caja 4, Dos
DxDxDxD ~
No. Puertas
Color
Transmision
Accesorios
4000';00..
UNlDAD I T&:nicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
6
1.3 DIAGRAMAS DE ARBOL.
Cuando no solo queremos calcular el total de posibles resultados de un experimento, sino
que deseamos obtener el Iistado de todos esos arreglos, el Diagrama de Arbol, es un
metodo que nos guia perfectamente para no duplicar ni omitir resultados.
EJEMPLO 1.5.
Chelo (C) y Jesus (1) jugaran tres partidas de ajedrez. Elabore UDa lista de cOmo pudiera
quedar el marcador final si no hay empates.
-*
ler. Juego. Puede ganarlo (C 6 J) , por tanto hacemos dos ramas partiendo de ''0''.
2°. Juego. Este juego, al igual que el anterior, puede ser ganado por "c 6 r. Entonces abriremos dos ramas "c 6 r despues de carla posible resultado deljuego 1 -* 3er. Juego 19ualmente puede ser ganado por "c 6 r, Abriremos dos ramas despues de cada posible resultado del juego 2. * Finalmente siguiendo las lineas desde "0" hasta cada final del juego 3 obtenemos cada posible resultado.
-*
I I
ler. Juego
1 1
I
I
I I
I
o
2°. Juego
3er. juego
1
I
:
:/C
1
C~J
c
1
I I
I I
I
I
I
1
J;
< I
11
I I
J C
~J
--------~
C-C-C
--------~
C-C-J
--------~
C - J- C
--------~
C- J -J
--------~
J-C-C
--------~
J-C-J
- - - - - - - -~
J- J -C
-------
J- J - J
I
~C 1 I
J
-~
8 POSffiLES RESULTADOS
UNIDAD I Ticnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
7
EJEMPLO 1.6.
Eduardo y Oscar son candidatos a presidente, Xavier y Susi son candidatos a secretario, y Sonia, Adriana y Tatiana son candidatos a tesorero. Elabore una lista de todos los
posibles resultados de los tres puestos.
-'" Presidente, puesto que pudiera ganar Eduardo u Oscar, partiendo de "0" abrimos dos ramas -* Secretario: Primero suponemos que gane Eduardo y entonces secretario pudiera ser Xavier 0 Sus~ por tanto abrimos dos ramas. Pero el que gano "presidente" pudo haber sido Oscar y entonces, de Oscar abrimos dos ramas para Xavier 0 Susi.
-*
Tesorero. Igualmente, despues de cada opci6n de ganador como secretario, abriremos tres ramas ( Sonia, Adriana y Tatiana) ya que cualquiera de las tres puede ganar como tesorera.
-*
Finalmente seguiremos cada camino desde "0" hasta el fin de cada rama y obtendremos todos los posibles resultados de la elecci6n (presidente, secretario y tesorero)
Todos los posibles resultados
_ _A~ _ PreSf"d Sno. . "Tesorero
~
PreSI"dente
1
Secretano "
Tesorero
/
:
D D D
1
1
1
1 (
- - - - - - - . Eduardo
'er~~:========::::
I
EdwKdo
Sonia
Xavier Sonia Xavier Adriana Xavier Tatiana
1
Sonia - - - - - - - . EdwKdo Susi : Susi ~ Adriana - - - - - - - . Eduardo Sosi ~Tatiana - - - - - - - . EdwKdo Susi 1
:
1
o
1
1
1
1
1
1
1
1
< 1
1
4 1
I I
I
1 1
Susi
Oscar Oscar Oscar
Xavier Sonia Xavier Adriana Xavier Tatiana
Oscar Oscar Oscar
Susi Susi Susi
1
Sonia - - - - - - - • Adriana • I Tatiana
I
Tatiana
•
Sonia
~ Xavier~~= =~~~:
Oscar
Sonia Adriana
I
-------.
Sonia Adriana Tatiana
UNIDAD I TOCnicas de contro
JesUs Diaz Diaz
8
EJEMPLO 1.7.
AI final del tomeo de fut-beis, se disputaran el primero y segundo lugar entre Sistemas e Informatica, y eI tercero y cuarto entre Arquitectura, Bioquimica y Electrica. Mediante un diagrama de ilrbol elabore la lista de todos los posibles resultados.
*.- Primer lugar.- Puede ganarlo Sistemas (S) 6 Informatica (I). Por tanto del punto "0" abrimos dos ramas que correspondenin a los dos posibles ganadores.
*.- Segundo lugar.- En seguida de cada posible primer lugar, colocaremos el segundo lugar. Si primero fuera Sistemas, Segundo sera Informatica y viceversa.
*.- Tercer lugar.- Puede obtenerlo ya sea Arquitectura (A), Bioquimica (B) 6 Electrica (E) Entonces partiendo de cada posible segundo lugar, abrimos tres ramas que seran los posibles tercer lugar.
*.- Cuarto lugar.- Partiendo de cada posible tercer lugar abrimos dos ramas que seran el posible cuarto lugar
*.-
Finalmente siguiendo desde "0" basta cada Ultima rama elaboramos la lista de resultados posibles.
ler. Lugar
r.Lugar
3er. Lugar 4°. Lugar I
I
A~B I I
E
I
S
I
B~A : E I
E~A 0
I
B
I
A~B :
E
I
I
S
B~A I I
E
E~A I I
B
Todos los posibles resultados
-------. -------.-. -------. -------. -------. - - - -
- - - -
-
- -
-.
-------. -------. -------. -------. -------.
S
I
A
B
S
I
A
E
S
I
B
A
S
I
B
E
S
I
E
A
S
I
E
B
I
S
A
B
I
S
A
E
I
S
B
A
I
S
B
E
I
S
E
A
I
S
E
B
UNIDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
9
1.4.- EXPONENCIAL.
Se usa cuando necesitamos tomar una "n" sene de decisiones en secuencia pero con la condicioo de que cada vez que vayamos a decidir tengamos exactamente el mismo Romero de opciones "m"
Se obtiene mediante
donde:
II
n
m
m=
Num. de opciones al decidir.
n=
Nfun.. de veces que debo decidir.
EJEMPLO 1.8.
i...
De cuantas formas puedo resolver un examen que consiste en cinco preguntas donde a
cada una debere contestar (verdadero 0 falso ) ?
*.- Es
un claro caso de solucion exponencial ya que debo tomar 5 decisiones en secuencia, una decision para cada pregunta. Y cada vez que decido tengo exactamente eI mismo numero de opciones de solucion (verdadero 0 falso), (2opciones).
= opciones en carla decision = n = NUm. de veces que decidire =
m
-entonces
2 5
mn = 25 = 32 diferentes soluciones aI examen.
*.- Puede ser tambien resuelto por llenado de cajas. Son cinco las veces que vamos a decidir, por tanto hacemos cinco cajas y en cada una de ellas anotamos 2, que son las opciones de soluci6n, (verdadero 0 falso)
~ X ~ X ~ X ~ X ~
- 32 diferentes soluciones.
UNlDAD I Ticnicas d.e conteo
JesUs Diaz Diaz
10
EJEMPLO 1.9.
" De cuantas diferentes formas puedo llenar una quiniela de pronosticos deportivos si anoto
para cada juego solamente en una de las casillas ( local, empate 0 visitante) ?
*
Semanalmente en el fut bol mexicano se llevan a cabo 14 juegos.
*
Estas quinielas consisten en atinar los resuhados de cada uno de los juegos, considerando para cada juego: que gane el equipo local, que haya empate 0 que gane el visitante.
*. - Entonces para cada juego hay tres opciones de decision. Y tendremos que
decidir 14 veces. *.- Es por tanto un caso de solucion exponencial.
m=3 n= 14-,
entonces:
n
m = 3
14
=
4'782,969 diferentes Quinielas.
*.- Para bacerlo por llenado
de cajas necesitamos 14 cajas, una por cada juego, y dentro de cada una colocamos un 3 que SOD las opciones de soluci6n, local, empati: 0 visitante.
1.5 NOTACION FACTORIAL. Es una operacion que mucho se utiliza en los c8lculos que se realizan en las operaciones de contoo. El factorial de un numero se denota por ( n! ) y se lee (n factorial) y es igual:
o! - n (0-1) (0-2) (0-3) .... (o-o)! Donde por definicion ( O! ) = 1
UNlDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
11
EJEMPLO 1.10.- Calcular el factorial de 5.
5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) (5-5)! = 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X O! =120
EJEMPLO 1.11.-
Calcular 61..
6! = 6 (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5) (6-6)! = 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X O! = 720
EJEMPLO 1.12.- Calcular el factorial de 8.
Simplemente: 8! = 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 40,320
EJEMPLO 1.13.- Calcular 65! /60!
65!
*
Dejamos fijo el numero menor, 60!, y desarrollamos el mayor hasta igualarlo. Entonces eliminamos.
65X64X63X62X6lX~ 991'186,560
60!
EJEMPLO 1.14. Calcular. 8! - 31.
(8X7X6X5X4X3X2Xl) - (3X2Xl) =
= (40,320) - ( 6 ) = 40,314
*-
Para solucionar (8!-3!) Primero desarrollamos los factoriales de 8! Y de 3!, despues efectuamos la resta.
*.- Si fuera ( 8 - 3 )!, primero restamos (8-3)! queda 5! = 120
UNIDAD 1 TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
12
1.6 PERMUTACIONES. Pennutar significa cambiar una cosa por otra,
0
tambien significa, "variar la disposici6n u
orden en que se encuentran dos 0 mas elementos, esto es intercambiando lugares"
Mediante las diversas tecnicas de
permutaciones calcularemos todos los posibles
resultados que se puedan obtener at seleccionar uno, varios e inclusive todos los elementos de un conjunto, seg(m interese.
··.. --------------- .••.•.•................•..••••.••••.•.........•••.•••••.••.........•.•.••.•....••...
· TIP
··· ·· · ··· ··· ·
Siempre que usemos pennutaciones, obtendremos resultados donde nos interesa el orden de los elementos en cada subconjunto resultante, y
solo obtendremos el numero total, .!!!! Ia Iista que pudieramos obtener con un diagrama de arbol.
1.6.1 PERMUTACIONES DE "0" OBJETOS, TOMADOS TODOS A LA VEZ. Se obtiene mediante
II
nPn - n!
Donde n = at nfunero de elementos que se desean permutar.
"
Se utiliza cuando tenemos un conjunto de "n" elementos y deseamos saber de cuantas formas pudieran ser reacomodados, si en cada arreglo siempre consideramos a todos los elementos. Por tanto, 10 que importa, es el orden en que aparezcan. (no es 10 mismo ser primero que segundo ni viceversa)
UNIDAD I Tocnicas de conteo
JesUs Dia.z Diaz
13
EJEMPLO 1.15.
En el concurso anual de ciencias basicas que organiza e1 Tec. de Tepic, quedan como finalistas los representantes de la Prepa 1, el colegio Colon, la Prepa 13 y Cetis 100. iDe cuantas diferentes formas pudieran quedar ocupados los cuatro lugares?
*
Puesto que se consideran cuatro lugares y son cuatro participantes, todos tendran un lugar. Entonces 10 que importa solamente es el orden en que queden al final.
Tenemos cuatro elementos considerados los cuatro a la vez por 10 tanto:
~4=
4!
( 4 x 3 x 2 xl) = 24 posibles resultados.
1°. Puede tambien resolverse por llenado de cajas.
Hacemos 4
cajas. La primera pueden ocoparla cualquiera de los cuatro.
La segunda cualquiera de los tres restantes, Ia tercera
cualquiera de los dos que quedan y la Ultima el que falt6.
ler. lugar
2° logar
3er lugae
2°.
3°.
PI C.C PI3 PI c.c C P13 PI C PI C C.C c.c PI P13
4°.
C
P13
c.c P13 C
Y asi basta obtener los 24 resultados posibles. La lista total ya sabemos como obtenerla mediante un diagrama
de arbol.
EJEMPLO 1.16.
iDe cmlntas maneras pudiera formarse la lista de los diez estudiantes que individualmente,
uno a uno, entren al examen oral de la unidad uno de probabilidad yestadistica?
*.- En cada lista que se pueda formar siempre nPn = n!
lOPIQ=
10! = 3'628,800
figuraran los diez alumnos, pOf tanto es una permutacion (nPn), diez tornados todos ala
* Tambien podemos solocionarpor cajas: Diez cajas. Anotamos l0X9X8X7X5X4X3X2XI= 3'628,800
UNIDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
14
EJEMPLO 1.17.
i,En cuantas formas puede un juez acomodar a seis corredores en la linea de salida?
nPn =
6P6
= 6!
* En cada posible arreglo debeni considerar a los seis corredores, 10 que variara sera el carril en que se encuentren. Es entonces nPn, 6P6
720
*.- POT llenado de cajas hacemos 6 cajas y anotamos 6X5X4X3X2Xl = 720
EJEMPLO 1.18.
EI director de la escuela ha citado para manana a las doce horas a diez catedraticos en la sala de juntas de la direcci6n. Si todos Uegaran a la cita en distinto momento, i,de cuantas formas pudiera ser el orden en que llegaran?
nPn
= IOPlO =
*
En cada posible arreglo seran considerados siempre los diez catedrciticos.
*.-
La que importa es el orden en que vayan llegando.
*.-
Por tanto es una nPn.
lO! -
3'628,800
POT
llenado de cajas, hacemos diez cajas y anotamos.
1OX9x8x7x6x5x4x3x2x1= 3 '628,800
JesUs Diaz Diaz
UNmAD I Tecmcas de conteo
15
EJEMPLO 1.19
Para el concierto del 20 Aniversario del grupo Nipeneucami, 6, profesores del Tee.
compran 6 localirlades numeradas, seguidas en la misma fila De cuiuttas formas pueden
acomodarse si:
a.- No existen condiciones; aSI que cada elemento puede tomar cualquier asiento.
b.- Entre ellos hay una pareja que desea sentarse junta.
c. - Son tres parejas y han de sentarse juntos cada pareja.
a.- Son seis elementos tornados tOOos a la vez. Entonces sera J>6 = 6!
=
720 formas
b.- Supuesto que la pareja debe ir junta, si cambiamos a uno, el otro no puede quedar
separado. Por tanto los podemos considerar a ambos como un solo elemento en relaci6n a los demas. Y entonces sera ~5 = 5! = 120. Pero tambien en cada arreglo si intercambiamos entre sl a la pareja, segwran estando juntos y no altera las condiciones del problema. Esto puede lograrse de zPz =2!=2 Entonces el total de arreglos sera: 5P5 zPz = (5!) (2!) = (120) (2) = 240 arreglos.
c.- Carla pareja debe estar junta, entonces carla pareja la consideramos como un solo elemento y as~ por parejas, podemos realizar 3P3 = 3! = 6 cambios. Pero tambien si intercambiamos los elementos de carla pareja entre st, 10 podemos hacer de zPz = 2!=2 arreglos por cada pareja. Entonces el total de arreglos que podemos lograr sera:
(JP3) (zpz) (zpz) (zpz) = 3! 2! 2! 2! = (6) (2) (2) (2) = 48 diferentes arreglos. Por parejas pareja pareja pareja 1 2 3
UNIDAD I Ticn.icas de centeo
JesUs Diu Diu
1.6.2
16
PERMUTACIONES DE "0" OBJETOS TOMADOS
UNA PARTE "r" A LA VEZ. Se utiliza cuando tenemos un conjunto de "n" elementos y queremos saber cuantos diferentes arreglos podemos formar si tomamos una parte "r" de dichos elementos. (Como en cualquier permutacion, el orden es importante)
II
Se obtienen mediante
n!
n = Numero de elementos del
nPr= (n - r)
,
conjunto. r= Cantidad de elementos que
•
esperamos en cada subconjunto
II EJEMPLO 1.20.
Si en el concurso nacional de ciencias basicas de los Tecnol6gicos, en su ultini'a etapa quedaran los representantes de los Tee's de Tepic, LeOn, Durango, Culiacan, Toluca, Apizaco y Morelia, {,oomo pudieran ser ocupados los tres primeros lugares ?
*.- Son (n=7)
participantes, de los cuaIes cualquier de elIos ocupara el ler. Lugar, otto el segundo y otro el tercero; es decir en carla posible arreglo solo figuraran (r=3) participantes, por tanto es un caso de nPr = 7P3
*.- El orden es importante ya que no es 10 mismo quedar en primero que en segundo 0 tercero. Por ejemplo, un posible resultado puede ser [T,L,D] otro arreglo puede ser [L,T,D], 0 cualquier diferente orden y/o equipos ganadores.
7!
*.- Puede ser resuelto tambien por Uenado de Cajas
7! 210
(7-3)!
4!
*.- Hacemos tres cajas y en cada una anotamos el mon. de opciones.
7
X
6
X 5
210
UNIDAD r TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
17
EJEMPLO 1.21.
Una compaitia en expansion solicita dos personas para trabajar en su departamento de ventas, uno como gerente y el otro como jefe de vendedores.
Si se presentan siete
aspirantes que reunen los requisitos para ocupar cualquiera de los dos puestos y entre ellos se hani la seleccion, "de cmintas formas pueden quedar ocupados los dos puestos?
*.- De "n=7 aspirantes",
"r = 2 serim contratados", uno para gerente y el otro como
jefe de vendedores.
*.-
Entre muchos posibles resultados, uno pudiera ser [gerente Paulina y jefe de vendedores Angel]. Pero tambien pudiera ser [gerente Angel y jefe de vendedores Paulina].
*.- Puesto que no
es igual ser gerente que jefe de vendedores, entonces, el orden en que se seleccionen es muy importante. Y por ende es una permutacion nP r , 7P2 .
7! 42 Posibles resultados (7-2)
*.- Pudieramos resolverlo por llenado de cajas:
Hacemos dos cajas. Una para seleccionar gerente la otra para seleccionar jefe de vendedores. Para la primera tenemos 7 opciones, para la segunda 7 menos UNO que sera el gerente, ~ r7l entonces tenemos 6 opciones.
LJx
~ = 420PCIONES
UNIDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
18
EJEMPLO 1.22.
El peri6dico ''£1 Financiero" en cada edici6n, publica la lista de las diez empresas que mas titulos accionarios negociaron en la Bolsa Mexicana de Valores. Si tienes dinero y deseas realizar tres importantes inversiones en tres de esas empresas, i,cuilntos posibles arreglos, al seleccionar las tres empresas que mas te interesen, puedes hacer para elegir tu inversi6n?
*.- Entre" n =
10 opciones" escogeremos "r = 3 empresas" en orden de importancia.
Por tanto, se trata de una permutaci6n nPr
=
lOP 3.
10! nPr
-
lOP3=
720 Opciones
(1O-3)!
*.- Tambien por cajas: *.- Hacemos tres Qijas, (para escoger el titulo 1, e12 y el 3) y anotamos en la primera, 10opciones, en la
segunda 10-1=9 opciones,
y en la tercera 9-1 =8 opciones.
= 720 Opciones
~x
EJEMPLO 1.23.
El director de la escuela de Economia recibe tres solicitudes para designaci6n de asesor de
tesis, de igual numero de tesistas. J)e cmintas maneras pudiera hacer la designaci6n, de no
mas de una tesis por catedratico, si hay seis catedrilticos disponibles?
*.- Seleccionara tres eatedraticos para que cada uno atienda a un tesista. *-
Es importante el orden en que realice la asignaci6n, ya que no es 10 mismo asesorar a un tesista que a otro, ni es 10 mismo ser asesorado por un catedrAtico que por otro. Entonces sera una permutacion nPr, &3
6!
= 120 formas (6 - 3)!
UNlDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
19
1.6.3 PERMUTACIONES CON REPETICION. Se utiliza cuando tenemos un conjunto de "n" elementos, el cuill contiene uno
0
mas
subconjuntos de elementos identicos entre si, y queremos calcular el total de posibles permutaciones que podemos hacer con sus elementos pero, "que cada cambio que hagamos, verdaderamente 10 percibao ouestros seotidos" Obtendremos el resultado mediante:
Se obtiene mediaote
II
doode: o = Total de elementos
O!
01, 02, 03, 0r=
(Ot!) (O2!) (03!)••••••(Or!)
Cada subconjunto de
elementos
identicos entre si.
II
EJEMPLO 1.24.
Rento un local comercial que en su exterior tiene un letrero de cuatro letras luminosas individuales que forman la palabra
[£]
~
[U
~ Como no deseo gastar
dinero en un nuevo anuncio, cambiare de orden las letras para obtener un nuevo nombre para el negocio. l,Cmintos diferentes nombres puedo obtener?
*
Si decido intercambiar la segunda letra con la cuarta, es decir la primer «A" por la segunda "A", obtendre exactamente la misma palabra "C AS A". Estos cambios no S1fVen.
*
Si cambio la primer letra por la segunda obtengo "ACSA". Ahora si percibo el cambio. Pero si en esta nueva palabra, "ACSA", cambio la primer "A" por la segunda "A" no 10 percibire, volvere a obtener "ACSA".
*
Si quiero obtener el total de cambios que verdaderamente perciba, 10 puedo calcular mediante una permutaci6n con repetici6n. que elimina justamente todas las repeticiones.
UNlDAD I Ticnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
0=
Nfun. de elem.
=
4
01=
Una vez
"c"
1
02=
Dos veces "A"
2
03
=
Una vez
"S"
=
20
1
4!
n!
=
12 posibles oombres difereotes.
( l! )( 2! ) (I! )
EJEMPLO 1.25. Un soldado desde una colina hace senales a la tropa que se encuentra en el valle, mediante [dos banderas rojas, dos azules y una verde colocadas en linea horizontal], l,cmintas diferentes senales puede enviar
*.- Un posible arreglo puede ser [~~A,A,V,], Si cambia la primer raja con la segunda roja, la tropa no percibira el cambio. E igualmente sucedera si intercambia entre si las azules.
*.-
si el soldado intercambia elementos iguales entre si, la tropa no 10 Pero si intercambiamos elementos diferentes, entonces si 10 notaran. Por ejemplo, si cambio el primer rojo con el primer azul obtengo [ A, R R A V].
Entonces, percibir~
*
De 10 anterior conc1uimos que 10 que vamos a calcular son todos aquellos intercambios entre elementos diferentes para obtener arreglos nQ repetidos, es decir, que sean cambios que puedan percibir ouestros sentidos. La logramos mediante una Permutacion con repeticion.
UNIDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
o! = Total de banderas
=5
5!
01 = Dos banderas rojas = 2 02 = Dos banderas azUles =
21
-
2
(nl!) (n 2) ( n3 )
30 senates
( 2!) (2!) ( I! )
03 = Una bandera verde = 1
EJEMPLO 1.26.
En una gran ferreteria de nueva creacion contratan 18 empleados para atender el mostrador. Todos ellos muestran aptitudes para el puesto. Se eligen 8 para atender el primer tumo, otros 8 atendenin el segundo turno y los 2 restantes senin relevos. "De cmintas formas pudiera el gerente asignar los horarios a los 16 fijos y a los 2 relevos?
*
Aqui 10 que importa es si el trabajador queda en el ler. turno, 2°. turno 0 relevo, ya que Ia actividad de los empleados en cada tumo es la misma. Por tanto el orden en que sea seleccionado dentro de cada grupo careee de importancia.
* - Entonces *-
de n = 18 trabajadores, tenemos tres grupos: n 1 = 8, n2 = 8 Y n3 = 2.
Uno de los arreglos pudiera ser que los trabajadores de relevo fueran Jorge y Anam, 0 ~ Esta repetici6n no tiene sentido ya que los dos harian 10 mismo. Y de igual forma sucede entre los empleados de 1°. y 2°. turno entre si. Por tanto aplicamos una permutaciOn con repeticion, para e1iminar todos los arreglos repetidos.
Total de empleados =
0= 18
Ernpleados 1er. tumo=
01=
8
Empleados 2°. tuno
02=
8
03=
2
=
Ernpleados de relevo=
n! nt! n2! n3! 18! =
= (8!) (8!) (2!)
1'969,110
UNlOAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
1.6.4
22
PERMUTACIONES CIRCULARES.
Se utiliza cuando los elementos estan acomodados en fonna circular y deseamos saber de cuantas formas pudieramos reacomodarlos.
II Se obtiene mediante
(n-l)!
EJEMPLO 1.27.
Tres personas juegan una partida de domino en tomo de una mesa redonda. l,De cuantas
fonnas diferentes pudieran acomodarse?
*.-
E1 problema indica claramente que estim en fonna circular. Por tanto aplicaremos (n-1)!.
Num. de elementos = 3. entonces: (n - 1)1 = (3 - I)! = 2! =2 formas
B
c A
l------lOpcion 1
*
En la opcion 1, a la izquierda del jugador "A" esta el jugador "B" y a la derecha esta "C".
*-
En la opcion 2, a la izquierda del jugador "A" esta el jugador "c" y a la derecha
*.- Cualquier otro arreglo que se pretenda tendra las caracteristicas de alguno de los anteriores.
*.-
Estos dos ejemplos muestran que aim cuando cambiamos de silla a los tres a la vez, mantienen las caracteristicas de las opciones 1 y 2.
derechaC
[-~:b,:,-.._!_~J
ci De A: izq~"C:ab-echa B
(repetici6n de la opci6n 2) (Repetici6n de la opcion 1)
UNIDAD I TtDlica8 d.e conteo
JesUs Diaz Diaz
23
..•••..•..•..•••.........••••••.......•••.......••••......•••••.......••••....•.•••••......••••...•..••
*.- Si las mismas tres personas del problema anterior estuvieran sentadas en linea, por
ejemplo, en tres asientos seguidos en un cine, entonces pudieran acomodarse de :
n! = 3! = 6 diferentes arreglos
[A,B,C,], [A,C,B],
[B,A,C,],
[B,C,A],
[C,A,B],
[C,B,A,]
=
6 formas
·
~ TIP. Cuando tenemos "n" elementos en forma lineal, tornados todos a la vez , · podemos reubicarlos de n! formas, por que existen en cada arreglo dos
··· ·: ·: ·
extremos que nos dan mas opciones de diferencia. Mientras que si estos mismos "n" elementos estim colocados en forma circular, no hay extremos, : solo habra un elemento como punto de referencia.
.:
Por tanto solo habra (n-1)! posibles arreglos.
.:
:
: .......•...•••..•.•.•..............................•• .............................................•• ~
EJEMPLO 1.28.
Cinco personas se sentaran en tomo a un mesa.
a.- i,De cuantas formas pueden acomodarse.
b.- i,De cuantas si dos de elias son pareja y desean sentarse juntos.
a.- Es soluci6n simple. Cinco en forma circular = (5-1 )! b.- En estos casos, si cambio de lugar a '1''', D, tendra que cambiarse a su lado. Y si cambio a "D", F se ira junto. Por tanto, a D y F debemos considerarlos como uno solo y asi tendremos solo cuatro ele mentos en forma circular que se pueden reacomodar de (o-l)! = (4-1)! = 6 formas. Pero ademas en cada arreglo, si cambiamos en tre si a F y D podemos hacerlo de 2! = 2 formas. Entonces la soluci6n sera: Cambio:
global
=
4! = 24 formas.
..... ..0···. ....
D
~
..•.
de F y D
( 4 - I)! (2)!
=
3! 2!
(6) (2) = 12 dif~rentes arreglos donde F y D, queden juntos.
UNlDAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
24
EJEMPLO 1.29.
En la feria de Tepic, se exhibiran alrededor de una plataforma redonda 26 autom6viles, todos diferentes. 4 de la VolksWagen, 6 de la For~ 5 de la Nissan, 6 de la Chrysler y 5 de la Chevrolet.
loDe CU{lOtas diferentes formas pudiera asignarseles lugares si se desean
juntos los de cada marca entre si?
*.- Primero
consideraremos cada grupo de autom6viles de cada marca como un solo elemento ya que deben quedar juntos y a donde se mueva uno debera moverse el grupo entero. Entonces tenemos 5 grupos en forma circular: (5 - 1 )! = 4! = 24 arreglos.
*.- Tambien debemos considerar que si
movemos autom6viles entre los de su mismo grupo, (Ford entre Ford, VW entre WV etc.) no se altera el problema. Por tanto tambien podemos mover: Los VW= 4!, los Ford =6!, los Nissan = 5!, los Chrysler = 6! Y los Chevrolet = 5!.
Entonces el total de arreglos que podemos obtener sera
(5 -I)! (4)! (6)! (5)! (6)1 (5)! = (24) (24) (720) (120) (720) (120) = Por mareas
VW
Fordo
Nissan Chrysler Chevrolet
=
4.29981696 X IOU
Diferentes arreJ!los
*-
Si el problema no hubiera sido planteado en fonna circular, si no que los autom6viles fueran a exhibirse en forma lineal, entonces la soluci6n seria:
(5 )! mal'Call
(4)! (6)! (5)! (6)! VW
Ford
( 5 )! = 2.14990848 X 1013 diferentes arreglos
Nissan Chrysler Chevrolet
UNIDAD I Ttrnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
25
1.7 COMBINACIONES. Se utilizan cuando tenemos un conjunto de "n" elementos y deseamos seleccionar todos los subconjuntos posibles tamafio "r" [ donde "r" es menor
0
igual que"n"], pero en esta
selecci6n, el orden en que aparezcan no importa.
II
Se obtiene
mediante
n= Num. de elementos del conjunto.
nl
r= Num.
nCr =
de elementos de cada
sobconjunto resultante
rl ( n r ) 1
........ ...•••.....•..•••
...•..............•••.........
..
TIP. En las PERMUTACIONES, dijimos que el orden en que aparecen los ~ · :
elementos en los resultados es muy secretario!! Jorge presidente, Paulina secretario].
importante, [Paulina presidente, Jorge : Es muy importante el orden, por que . importancia. es diferente. .
la actividad, ganancia 0 ··• .
·: Las COMBINACIONES, se aplican cuando el orden carece de importanci~ como seria .
: el seleccionar entre 10 personas a 2 para exponer la siguiente clase. Si fueran seleccionados [Gabi y Anahi 6 l\naW , 8at1t]" no tendria sentido la repetici6n del dato ya que son las mismas dos personas para realizar y/o ganar exactamente 10 mismo. Asi entonces En las COMBINACIONES eI orden en que aparecen los elementos en cada remltado carece de impomncia .
: : : : •
·:: .
·· .
··. .................................••••..............................................•••..................
.
EJEMPLO 1.30. Deseo pintar mi recamara y para ella necesito tres litros de pintura. Tengo 1 litro azUl, otro rojo y otro verde..,Pero quiero que todo quede del mismo color, asi que decido revolverlo. i,De cuantas fonnas puedo hacerlo? 3!
*.- No importa el orden en que revuelva cada color, [primero azul, luego rojo y luego
3!
verde !LPrimero verde, luego rojo y luego azul, =
3! (3-3 )!
3 r (0)'
1 forma
[O!
=
1]
finalmente obtendre el mismo resultado, un cafe muy obscuro. EI orden en que 10 baga no importa •
etc.]
UNIDAD I Ticnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
26
EJEMPLO 1.31. Llegan a la vez 16 alumnos al centro de computo a solicitar una PC para trabajar. En ese momento hay 6 disponibles en la sala "A" , otras 4 en la sala ''B'' y en la siguiente hora se desocupanin otras 6 para los restantes. l,De cuantas formas pudiera asignarse tumo a estos alumnos?
*.- Si observamos,
el orden en cada grupo que se forme carece de importancia, 10 que importa es en que grupo va a quedar carla alumno. Es decir si por ejemplo Jorge quedara en el grupo de la sala "A", nada importaria que fuera el [ 1°., 2°.~ ..... o 6°.] de la lista. Por 10 tanto 10 resolvemos por combinaciones.
*.- Nos
resultaran tres combinaciones. La primera 16C6 para calcular las fonnas de como seleccionar de los 16 a 6 para la sala "A". La segunda lOC4 , para calcular las formas de cOmo seleccionar de los 10 restantes, 4 para la sala ''B''. Y finalmente 6C6 = 1 formas de los que esperaran hasta la siguiente hora.
*.- Para que se complete el problema, deben ocurrir las tres cosas anteriores multiplicaremos los resultados parciales para obtener el resultado final.
16!
6! ( 16-6 )!
1O!
4! ( 1O-4)!
POf
tanto
4!
4! ( 4-4 )!
[ 8008] [210] [1]
=
1'681,680
formas
•••..•.•.................•.•.•.....................................................•...••.••...•••••..•.
· .
· .
· .
~ TIP. - En casos como el ejercicio anterior, que para completar un problema debe ~ · .
: suceder algo Y enseguida otra cosa Y luego otro resultado, esa 00 intermedia podemos : : interpretarla como indicaci6n de que hay que multiplicar los resultados oarciales. : · .
· .
· .
· : En
otros casos donde se presentan varios resultados posibles, puede suceder que el • problema quede resuelto si sucede el primer resultado (0) el segundo resultado (0) el tercer resultado. En esos casos esa (0) intermedia podemos interpretarla como una indicaci6n de que debemos s-umar los resultados parciales ya que son opciones de solucion y con cualquiera de ellosquedara resuelto el problema
.
: . . :
··· EI caso de la adicion de resultados se ilustra en el ejercicio siguiente. • ·• ..............................•..•.....•..............................................•....••.•.•..•.....
UNJDAD I TOCnicas de conteo
Jesus Diaz Diaz
27
EJEMPLO 1.32.
El rector de la Universidad piensa encargar un trabajo de investigaci6n a tres catedrirticos de la Universidad. Escogera entre 10 catedniticos de la escuela de Economia (, entre ocho catedraticos de las escuela de Comercio, pero no de ambas escuela "Cuantas opciones tiene para escoger?
*.-
Lo que importa en este problema es de que escuela son los escogidos y quienes seran, pero carece de importancia el orden en que sean seleccionados ya que la actividad y la responsabilidad sera igual. Si por ejemplo escoge a (A,ByC 6 a B,CyA6 a C,AyB etc.) es un mismo resultado puesto que son las mismas personas solo que en diferente orden.
*-
*.-
Entonces seran dos combinaciones. La primera lOC3, que senin las opciones en la escuela de Economia y, sC3 que seran las opciones en la escuela de Comercio. Finalmente como el problema se completa si escoge de la escuela de Economia
6
de Comercio, la 6 intermedia indica SUMAR los resultados parciales.
10!
-----3!(10-3)!
8! (120) + (56) = 176 formas
+ 3! ( 8-3 )!
EJEMPLO 1.33.
Un estudiante tiene que escoger y resolver 10 de 12 preguntas de un examen.
a. "cuantas opciones para escoger tiene? b.- "cuantas si la 1 Y 2 son obligatorias?
a.- Las que escoja, no importa en el orden que sea senin las mismas preguntas. Por tanto es una combinaci6n. 12C 10 = 66 opciones
b.- 1 Y2 obligatorias. Entonces solo tiene que escoger 8 de las 10 restantes. lOC S = 45 opciones
JesUs Diaz Diaz .
UNIDAD I TOCnicas de conteo
28
EJEMPLO 1.34.
Si de entre diez presidentes previamente seleccionados, Zedillo decide invitar a seis de ellos
para hablar de las relaciones comerciales de sus paises. l,De cuantas formas puede
seleccionarlos si?:
a.- Cualquiera puede ir.
b.- Entre los diez figuran Castro Ruz y Clinton y no debe invitar a ambos a la vez
C.-
De cuantas maneras si decide invitar a Clinton y al primer ministro de Canada.
a.- No importa el orden en la lista de invitados, por tanto es una combinaci6n. lOC6 =
210 diferentes grupos.
b.- Puesto que no puede invitar a la vez a Castro y a Clinton tiene 3 opciones. e. Invita a Castro y no invita a Clinton. Tendril que reservar lugar a Castro, y Ie quedanin solo cinco lugares. Ademas borrara a Clinton de la lista de invitados posibles por 10 que solo tiene para escoger entre 8. sCs = 56 2a • Invita a Clinton y no invita a Castro. Ahora reserva lugar a Clinton y elimina a Castro de la lista de invitados posibles. Asi puede escoger sCs = 56. 3a• No invita ni a Castro ni a Ointon. Ahora solo tiene 8 posibles invitados y Ie quedan los seis lugares. Ahora puede escoger sC, = 28 Como no puede suceder las tres opciones a la vez, es decir sucede la 18 . 6 la 28 • 38 . La 6 intermedia me indica que debo sumar los resultados parciales.
gC S + gC S + gC6 = 56 + 56 + 28 = 140 opciones.
6
la
c.- En este caso como decide invitar a Clinton y al primer ministro de Canada, les asignara su lugar, y solo Ie quedaran 4 lugares mas y 8 posibles invitados de donde seleccionara los cuatro restantes
sC4 = 70 opciones
UNlOAD I TOCnicas de conteo
JesUs Diaz Diaz
29
1.8 PARTICIONES ORDENADAS. Si tengo un conjunto de "n" elementos y 10 voy a repartir todo en "nl, n2, n3, ....nr
"
subconjuntos, (dentro de los cuales el orden de los elementos carece de importancia), puedo solucionarlo mediante varias combinaciones, pero mas facilmente mediante una partici6n ordenada.
Se obtieoe mediante
II
Doode:
O! Ot! °2! 03!.····Or!
oh
02,
II
EJEMPLO 1.35.
0).... 0
0 son cada subconjunto de elementos que se va a repartir
De un grupo de 10 alumnos seleccionare 3 para exponer el terna uno; 2 para el tema dos; 2 para el tema tres; y los 3 restantes expondnin el terna cuatro. (,Cuantos diferentes grupos puedo formar?
*.-
Tengo un conjunto "n = 10 alumnos". Y repartire trabajo a todos.
*-
Formare cuatro grupos. "nl = 3; n2
*
AI interior de cada subconjunto el orden carece de importancia Por ejemplo, si fueran seleccionadas para exponer el tema 3 [Angel y Gabi] 6 r
*-
Entonces puedo calcularlo mediante una partici6n ordenada.
n!
=
2;
ll] =
2; I4 = 3".
10!
3628800
3! 2! 2! 3!
144
25,200 grupos
Puede tambien ser por combinaciones:
*.- Selecciono 3 de los 10; Luego 2 de los 7 restantes; enseguida 2 de los 5 que quedan; y finalmente los
tresquerestan.
[ IO C3] [7C2] [sC 2] bC3] = 120 X 21 X 10 X 1 = 25,200 Gmpos
UNlDAD I TOCnicas de coateo
JesUs Diaz Diaz
30
EJEMPLO 1.36. Se inscribe en un torneo de fitt beis 12 equipos. uno de ellos es representante de esta aula. para una primera ronda, cada equipo jugani con los 11 equipos oponentes. de cuantas formas puede terminar esta ronda con 6 ganados, 3 empates y 2 perdidos? *. EI orden en que ganen 6, empaten 3 y pierdan 2, carece de importancia. (Si pierden los primeros dos 6 el 7 y 9 6 el 1 y 3 etc. para el resultado cuenta 2 empatados sin importar el orden en que haya sucedido. Yes 10 mismo en los perdidos y ganados).
*.- En cada posible arreglo contaremos todos los n = 11 juegos. Donde hay n1 = 6 ganados n2 = 3 ernpates, y n3 = 2 perdidos.
*.- Resolvemos entonces por Particiones ordenadas. 11 !
39'916,800
6! 3! 2!
8640
4620formas
Podemos resolver por combinaciones:
*.- Seleccionamos todas las formas en que pudieron ganar 6 de 11 juegos; luego todas las formas en que pudieron empatar 3 de 5 juegos restantes y finalmente los 2 perdidos. [114] [sC3 ] [Z~] = 46i X 10 X
1 = 4620 formas.
EJEMPLO 1.37. Ocho alumnos de informatica y ocho de sistemas Began al mismo tiempo al centro de c6mputo y pide cada uno una computadora, hay seis disponibles en ese momento, en la siguiente hora se desocuparan cinco y en el resto del dia no habra mas disponibles. Si 10 sortean, l,de CUl:intas formas pudieran quedar los grupos?
*
Los 16 alumnos formaran tres grupos donde ninguno sobra, y el orden dentro de los grupos carece de importancia. Por tanto puede resolverse por Particiones Ordenadas. Este problema es similar at resuelto por combinaciones en el punto 1.6
n = 16,
n1 = 6,
n2= 5,
n3= 5
16!
2'018,016 grupos 6! 5! 5!
UNlOAD J Tecnica.s de cmteo
31
1.9 SOFTWARE"APRENDAMOS A CONTAR"
REQUERIMIENTOS: • El programa requiere para su instalacion una PC ffiM 0 1000.10 compatible. • EI sistema operativo debe ser Windows 95
0
98.
• El monitor: 64~ X480 a 256 colores. 0 bien 800 X 600 a 256 colores • Los demas requerimientos son los propios del sistema operativo.
INSTALACI6N: En realidad no es necesario instalar el programa, ya que este puede ejecutarse desde el disquete que acompafta a este libro, pero si decides instalarlo en tu disco duro simplemente baz 10 siguiente: • Abre el explorador de Windows • Dirigete at menu archivo y selecciona nuevo • Haz clic 0 enter en la opcion carpeta
• Teelea un nombre para la carpeta: Probabilidad y presione enter • Ahora selecciona la unidad A .
• Arrastra el archivo: Probabilidad_l.exe desde la unidad "A" basta la carpeta que acabas de crear en la unidad "c"
Jesus Diaz Diaz
UNIDAD I Tecnicas de conleo
32
NAVEGACION: Durante el programa encontraras paginas casi en blanco y algUnos botones en elias, presionalos y averigiia que sucede, no te preocupes, explora y divien:ete mientras aprendes, algunos personajes te ayudaran durante el recorrido....
EJECUCION: • Ds doble die en el archivo Probabilidad_1.exe en la unidad "A",
0
si' copiaste el
programa en algun directorio de tu disco duro entoces:
*
Da doblt die en el archivo probabilidad _l.exe de la carpeta de tu disco duro.
Una vez hecho esto veras una pantalla como esta, que te ofi'ece tres opciones:
OPcrON INTRODUCCION: Bienvenido a;
Esta opcion es importante si quteres aprender las bases te6ricas
de
las
t&micas de contar ya que te muestra algunas definiciones y tips que te serim muy utiles y frecuentemente necesarios para poder comprender los temas propios de las tecnicas de contar.
OPOON
TE
Te
lleva
directamente al indice de ternas, donde podnls practicar las diversas tecnicas de
cornaro Una vez ahi, selecciona tu opcion y luego selecciona el boton de ver terns.
.-
UNIDAD I Ticn.icas de conteo
JesUs Diaz Diaz
33
OPCION SALIR: Cuando desees abandonar el programa simplemente selecciona Salir.
1. 10 RECOMENDACIONES DIDACTICAS Y BmLIOGRAFiA DEL CAPITULO.
Luego de haber analizado
esta
unidad, es recomendable resolver los
ejercicios propuestos en:
sa
edici6~
WALPOLE Myers "Prob. y Estadistica" Ed. Me Graw Hill 6a
edici6~
FREUND John E.
"Estadistica elemental" Ed. Pentice Hill,
Mexico 1994, p.p.99-103.
Mexico 1999, p.p. 2S-27 FREUND Williams Perles
"Estadistica para la Administraci6n. Con
enfoque moderno" Ed. Prentice Hall,
sa
edici6~
Mexico
1990, p.p. 102-IOS
BmLIOGRAFIA DEL CAPITULO. Ademas de los tres anteriores: WIMER Richad C. ''Estadistica'' Ed. Ceesa, 1a
ediei6~
Mexico 1996.
LIPSCHUTZ Seymour ''Probabilidad'' Ed. Me Graw Hill. LIPSCHUTZ Seymour ''Teoria de conjuntos y temas afines", Ed. Me Graw Hil
JesUs Diaz Diaz
1.11 RESUMEN.
Ante un problema de conteo pregimtate primero I, imports el orden en que aparecen los resultados? LtENADO DE CAJAS, Se titiliza principalmente euatido el problema nos impone restricciones Por ejemplo: i,Cuantos nUmeros de tres digitos puedo formar si debe aparecer el 7 en todos ellos? DIAGRAMA DE ARBOt. Se utiliza cuando se desea obtener la Usta de todos los posibles arreglos. Por ejemplo: Elabore la lista de todos los posibles resultados de un examen de 8 preguntas a las que debera contestar V 6 F. EXPONENCIAL,- Se utiliza cuando necesitamos tomar decisiones en secuencia y en todas tenemos igual numero de opciones. EJemplo: Calcule los posibles resultados de un examen de 8 preguntas a las que debera contestar V6 F.
SI.
Entonces sera
una Permutaci6n
;,Importa
PERMUTACIONES nPn.- Se utillza cuando queremos calcular el total de arreglos que resulta de intercambiar todos los elementos de un conjunto "n" considerando siempre todos a la vez. Por ejemplo: Calcule el total del orden en que diez alunmos pueden pasar a hacer examen oral. PERMUTACIONES nP,.;- Se utiliza cuando de un conjunto "n",queremos calcular el total de arreglos que resulta de seleccionar una parte "r" de Sus elementos a la vez. Por ejemplo: calcule el total de posibles listas en que de diez alwnnos de la clase, podemos escoger un presidente y un secretario. pERMUTACIONES CON REPETICION.- Se utiliza cuando tenemos un conjunto de "n" elementos donde hay subconjuotos identicos entre si, y quiero calcular el total de arreglos diferentes, que verdaderamente Diis sentidos persiban diferencia entre los difereotes atreglos. Por ejemplo: 8i cambio las letras de la palabra ORO cuantos verdaderos cambios puedo obtener? Cambiar una "0" por otra "0", no se notana, sma repetici6n.
Elorden?
PERMUTACIONES CIRCULARES. Se utiliza cuando los elementos estan acomodados en forma circular 0 fortttando una figura tal, que no existen extren10S como en la forma lineal. Por ejemplo. iJ)e cuantas diferentes formas pudieran tomar lugar 8 personas alrededor de una mesa?
NO.Entonces sera una combinaci6n
Jesus Diaz Diaz
COMBINACIONES.- Se utiliza cuando de un conjunto de "n" elementos, seleccionamos de el una parte "r". Los seleccionados obtendran 10 mismo, harao 10 mismo paganin 10 mismo, es decir el orden no in1portaPor ejemplo: La direcci6n de la escuela otorgara tres becas completaS en el Tee. de Monterrey a los tres prin1eros mas altos prontedios de los egresados de infornuitica este semestre. Da 10 mismo ser 10 , 20 6 30 , el premio es igual. PARTICIONES ORDENADAS,-Se utiliza cuando un conjunto de "n" elementos se va a repartir todo. Por ejemplo: De un grupo de 12 egresados de Ing. Quimica, 3 hanln sus practicas profesionales en una empresa local, 4 en una de Guadalajara y 5 en una empresa de Monterrey. i,De cuaotas formas pueden quedar conformados los grupos? Dnidad I T&:nicas de Conteo
34
UNIDAD II
JesUs Diaz Diu
Teoria de las probahilidades
UNIDAD DOS
2
TEORIA DE LAS PROBABILIDADES.
2.1
Introducci6n.
2.2
Conjuntos.
2.3
EI concepto chisico de probabilidad.
2.4
La probabilidad interpretada a traves de la frecuencia
relativa.
2.5
EI concepto de probabilidad subjetiva.
2.6
Espacios muestrales yeventos.
2.7
Postulados de la probabilidad.
2.8
Probabilidades y posibilidades.
2.9
Regia de la adici6n.
2. 10
Eventos independientes y dependientes.
2.11
Probabilidad condicional e independencia.
2.12
Regia de la multiplicaci6n.
2.13
Teorema de Bayes.
2.14
Probabilidad utilizando anaIisis combinatorio.
2.15
Recomendaciones didacticas y bibliografia del capitulo.
2.16
Resumen.
35
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las JX'obabilidades
36
2.1 INTRODUCCION.
Nuestra vida es un continuo incertidumbre.
decidir en
un
cHma
de
Continuamente tomamos decisiones, algunas de mayor y otras de menor importancia, pero por 10 general en ellas queda inmiscuida una cierta dosis de azar, por 10 que siempre existe el riesgo y la incertidumbre de no tomar la mejor decision.
Este riesgo que debemos correr cada vez que tomamos una decision se
incrementa
mientras menos conozcamos del problema y por el contrario, se reduce mientras mayor informacion tengamos de el 0 de la solucion de problemas similares.
El estudio de la probabilidad ciertamente no nos permite predecir el futuro con total certeza, pero si nos proporciona herramientas para analizar esta incertidumbre. El amilisis probabilistico utilizando la informacion conocida, busca facilitamos la toma de decisiones por diversos metodos aplicables ante diferentes situaciones, y con ella, reducir en 10 posible errores de decision ante problemas complejos.
El estudio de la probabilidad se inicia hacia el siglo XVI por la necesidad de los jugadores de los juegos de azar, de un metoda que les permitiera apostar con menor riesgo ante las diversas situaciones del juego. Y por ella recurren a los matematicos en
busca de
estrategias optimas. A Girolamo Cardano (1501-1576) Fisico, Astronomo y Matemcitico, se Ie atribuye la primera discusion sobre probabilidad en su "Manual para tirar los dados", pero un gran numero de matematicos como, Pascal Leibniz, Bernoulli y muchos mas, no menos importantes, han participado en el desarrollo de la probabilidad y la estadistica tanto descriptiva como inferencial. Y es basta este siglo donde estas toorias han tornado verdadera fuerza inmiscuyendose como herramienta indispensable de todas las ramas del saber; Politica, negocios, pronosticos, investigacion, etc.
UNlDAD II
JesUs Dlaz Dlaz
Teoriade las JX'Obabilidades
37
2.2 CONJUNTOS.
Revisaremos aqui algunos t6picos de la Teoria de Conjuntos por que este simbolismo y su nomenclatura nos permitini explicar y entender la Probabilidad en forma mas sencilla, mas precisa y menos propensa a ambigiiedades. Los temas que tocaremos, son los justamente necesarios para nuestro prop6sito.
CONJUNTO. Es una lista
0
colecci6n de objetos. A estos objetos se les llama
ELEMENTOS.
Los conjuntos se denotan mediante una letra mayliscula como A, B, N, R, W, Mientras que los Elementos se denotanin por letras minusculas como a, b, n, r,
W,
etc. etc.
Si deseamos definir, por ejemplo, el conjunto A con la enumeraci6n de sus elementos que fueran los numeros enteros que se encuentran entre
2 y 6, sera: A = { 2,3,4,5,6}. Los
elementos se escriben uno a uno entre llaves y separados con una coma. Esta notaci6n se llama Forma Tabular de un conjunto. Pero tambien podemos hacerlo mediante la definicion por comprensi6n
Hamada constructiva de un conjunto, que enuncia las
propiedades que tienen sus elementos. Asi el ejemplo anterior A = { x I 2 ~ x EZ} 10 leeremos, A es el conjunto de los numeros x tal
~6;
X
"I "que x es un numero mayor 0
igual a 2 y menor 0 igual a 6, y x pertenece "E" a los enteros "Z".
Si por ejemplo el elemento {c} es parte del conjunto B, podemos escribir c
E
B, [y se lee:
el elemento c pertenece al conjunto B]. Si c no pertenece a B, entonces escribimos cllB.
SUBCONJUNTO "c". Cada elemento,
0
cada grupo de elementos que puedan formarse
de un conjunto es un subconjunto "c" de dicho conjunto; Asi un conjunto puede tener uno o varios subconjuntos. Por ejemplo si A= {a,b,c,d,e}
Y si B={a,b,c}, C{a,c,e}, D{b,d}, E{a,b,c,d,e} entonces [B,C,D,E c AJ.
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Para analizar mas facilmente la relaci6n
en~re
Teona de las probabitdades
38
conjuntos frecuentemente recurrimos a los
DIAGRAMAS DE VENN-EULER, que consisten en un rectangulo que simboliza el universo y dentro del cuill, cada conjunto que se quiera analizar se representa mediante un circulo. Si hay mas de un conjunto, los circulos estanin separados si no tienen elementos en comun,
0
bien, pueden tener una parte de ellos encimados (intersectados), si tienen
elementos en comun.
A
Fig. 2.1.
No tienen elementos en com(m
Fig. 2.2
Si tienen elementos en comUn
En el estudio de la probabilidad frecuentemente recurrimos a algunas operaciones con conjuntos tales como Union ''u'', Interseccion "n" y Complemento" A
C ".
LA UNION" u ", Es el equivalente a la adici6n en aritmetica. La union de A con B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a (A 6 a B, 6 a ambos) y se denota por: (A u B).
EJEMPLO: Si A = ~ 1,2,3 ~ Y Sl B
=
~ 4,5 ~ entonces:
( A u B ) ~ 1,2,3,4,5 ~ es decir, la union contendra tanto los elementos de A Como
deB.
1,2,3
A
4,5
B
Fig 2.3. (A u B ) = ~ 1,2,3,4,5 ~
UNIDAD II
JesUs DI.az Diu
Teoria de las p-obahilidades
39
LA INTERSECCION, la conforman todos aquellos elementos que se encuentran tanto en A como enB.
EJEMPLO: Si A = ~ 1,2,3,4,5 ~
Y Sl B = ~ 3,4,5,6,7 ~ entonces:
( A n B ) = ~ 3,4,5 ~ por que 3,4 y 5 se encuentran tanto en A como en B.
Si en problemas como el presente, (Fig. 2.4) deseamos conocer la Union de A y B entonces:
6,7
B
Fig. 2.4.
(AuB) = ~ 1,2,3,4,5 ,6,7 ~
( An B ) = ~ 3,4,5 ~
COMPLEMENTO DE A,
(AJ
=
Lo forman todos aquellos elementos que !!.Q se
encuentran en el conjunto A. EJEMPLO: Si el universo 10 forman los numeros del ~ 1 aI 10 ~ Y Sl
A
=
~ 3,4,5 ~
entonces el complemento de A es:
(AJ
=~
1,2,6,7,8,9, 10 ~
~ 1,2,6,7,
8,9,10~
3,4,5
A
Fig.2.5.... A<= {I, 2, 6, 7, 8, 9, 10}
CONJUNTO UNIVERSO ( S). Contiene todos los posibles resultados de un evento; por
tanto:
(A)+(AJ=(S) = {1,2,3,4,5, 6,7,8,9, 1O}
comovemosenla Figwa2.5
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
2.3
Teona de las JI'Obabilidades
40
CONCEPTO CLASICO DE LA PROBABILIDAD
Este concepto surge del estudio de los juegos de azar y es aplicable en los casos en que el experimento puede tener solamente ciertos resultados bien definidos, donde "todos estos posibles resultados, son igualmente probables". Entonces la determinacion de la
probabilidad de un suceso estani definida par:
m
peA) ==
Donde:
-
m
n
.n
= Num. total de posibles resultados a favor. ==
Todos los posibles resultados (tanto de acierto como de no acierto).
...•.............•••...•......•••••........•••••.......•.•••.......•••••••.......•••••........••••.....
·
Observese que ests definicion tiene una restriccion muy importante Y8 que solo . puede emplearse cuando todas las probabilidades son igualmente probables y que :
· · •.............•............•.....................................................•...................···
exists un nomero fin ito de posibles resultados como sucede en los juegos de azar.
EJEMPLO 2.1.-
Si lanzo un dado perfectamente bien balanceado que probabilidad
tengo de que caiga en 3.
*.- Puesto que el dado tiene 6 caras, existen n = 6 posibles resultados.
*.- solo una de las caras tiene el nUmero 3 portanto solo hay
m=1 posible resultado de
acierto. *.- Cada lanzamiento que haga del dado, siempre existira la misma probabilidad para cada una de las caras, 1/ 6.
m
1
=--
P(3) = n
6
= 0.16667
UNJDAD II
JesUs Diu Diu
Teoria d.e las probabilid.ad.es
41
EJEMPLO 2.2.
Si en el aula de clases hay 32 alumnos, (18 hombres y 14 mujeres),
y selecciono
perfectamente al azar un alumno:
a.- l,que probabilidad tiene cada uno de ser seleccionado?
b.- l,que probabilidad existe de que resulte seleccionada una mujer?
a.-
*.- Hay 32 alumnos.
Entonces n posibles resultados.
=
32
*.- Las opciones de ser seleccionado cada uno senm.
m
~P(A)=-n
1
= - - =0.03125 32
m = 1 opciones. Entonces:
b.- *.- Siguen siendo n = 32 posibles resultados (todos tienen la misma probabilidad). *.- Ahora los resultados posibles a favor son cualquier mujer. Entonces m = 14 opciones
f--\ Y
m 14 P(M) = - = - - = 0.43750 n 32
EJEMPLO 2.3.
De una baraja de 52 cartas saco una al azar. l, que probabilidad existe que sea un rey?
*
Hay un resultado posible por cada carta Entonces n
*
= 52
posibles resultados.
La baraja tiene 4 reyes. Por tanto, seriul m = 4 posibles resultados de acierto.
~
m
4 P(K) = - = - = 0.07692 n 52
UNlOAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las p-obabilidades
42
EJEMPLO 2.4.
La maestra del curso de probabilidad han!. un examen oral a 32 alumnos. Pero el dia de hoy
solo alcanzara a examinar a 16 de ellos. Si 8 de los 32 alumnos no estudiaron, Y si realiza
una seleccion perfeetamente al azar, que probabilidad hay de que:
a.- " Solo a 2 de los 8 que no estudiaron les toque examen este dia?
b.- " Que de los que no estudiaron a ninguno les toque hoy?
3.-
*
Ya que la seleccion es aleatoria, cada resultado puede considerarse igualmente probable.
* El
total de formas en que la maestra puede seleccionar a los 16 de los 32 que examinara el dia de hoy es: nCr = 32C16 = 601 '080.,390 diferentes formas = n.
*
Los posibles resultados de acierto seran todos aquellos que se obtienen de seleccionar 2 de los 8 que no estudiaron [gC2], y 14 de los 24 que S1 estudiaron h4C14], para completar los 16 que examinara. Entonces, los resultados a favor seran:
*.- Puesto que deben ser seleccionados 2 de los 8 que no estudiaron Y
14 de los 24 que si estudiaron, entonces la Y intermedia indica que debemos multiplicar ambos resultados parciales para obtener todos los posibles resultados de acierto.
54'915,168
m
=
601 '080,390
n
b- *.- El total de posibles selecciones sigue siendo
32C16
= 601 '080,390 = n
*.-
Ahora los posibles resultados de acierto seran seleccionar [0 de 8] que no estudiaron [8Co] = 1 Y [16 de 24] que si estudiaron [24C 16 ] = 735.471.
*.-
19ual que el inciso (a), la Y indica multiplicacion, entonces:
[8CO] bC 16] = [1] [735,471] = 735,471 = m
m
735,471 =
n
0.09136
601 '080,390
0.00122
UNlDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las probabilidades
43
2.4 LA PROBABILIDAD INTERPRETADA A TRAVES DE LA FRECUENCIA RELATIVA. "Cuando un experimento se realiza un gran numero veces en condiciones similares, la probabilidad de acierto, estara dada por la relacion del total de resultados de acierto observados, dividido por el numero total de observaciones"
Niun de resultados observados a favor
P(A)= Ninn. total de observaciones realizadas.
.•.....................•.•...•.••••••.••..•.....................•••.•••••.•.................•.••••...
·: En la actualidad este concepto es el mas aceptado cuando bacemos investigaciOn. En infmidad de · casos las probabilidades no siempre son igualmente probables. Y en estos casos es cuando solo la observaci6n y el arullisis de pruebas repetidas nos permite calcular las probabilidades del evento.
.....•..•.................••••...........•................................................••.••...•...
Por ejemplo: Si cuidando todos los detalles necesarios, sembramos una semilla de naranja, podremos esperar solo dos resultados, que gennine 0 que no germine; Pero 10 anterior !!!! signifiea que la probabilidad de que germine sea 1 de 2 posibles resultados
=
1/2. Para
poder obtener la probabilidad de que germine cualquier semilla de naranja, necesitamos hacer muchas pruebas,. es decir, sembrar una gran cantidad de semilias, observar cuantas de elIas germinan, y luego realizar el cillculo mediante la formula anterior.
Num de semilIas germinadas en la prueba.
P (germine) = Nu.m. total de semilias sembradas para la prueba.
.......•••......................................................•.•.•..................................
: La LEY DE LOS GRANDES NUMEROS aJU'lIla que si un experimento se continua repitiendo sin :
aJterar sus condiciones, la proporcion de aciertos se acercani a la probabilidad del evento. ; ·~ ....•••...........................................•........••.••.......................•............ .
~
-
~
~--
----------
- -
-
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las IX"Obabilidades
44
EJEMPLO 2.5. Si un inspector de control de calidad en una empresa que produce tornilleria, observa que una determinada maquina que ha venido trabajando correctamente, y que seg6n las estadisticas, en los ultimos tres meses ha producido 326,000 unidades diarias, de las cuales en promedio, 765 han estado defectuosas
(10 que
se considera aceptable).
l,Con esta
informaci6n, que probabilidad de efectividad en el trabajo pudieramos establecer para dicha maquina?
*.- Por cada 326,000 unidades producidas arroja en
promedio 765 piezas defectuosas, 765 1 = 325,235 piezas
seg6n la realidad observada. Por tanto [326,000 buenas diarias.
*
Aqui la informaci6n surge de la observaci6n de pruebas repetidas. Entonces es un caso de probabilidad interpretada a traves de su frecuencia relativa.
Piezas buenas diarias
325,235
Producci6n diana
326,000
P ( piezas aceptables )
=
0.9976 de efectividad
EJEMPLO 2.6.
Un mayorista recibe en sus bodegas un cami6n que Ie surtira 8000 cajas de lapices, cada
una debe traer 50 lapices. El mayorista decide investigar si el contenido es el correcto y
para ello selecciona al azar 500 cajas de la carga, cuenta los lapices y resulta que 26 cajas
no tienen los 50 lapices. l,Que probabilidad hay que si toma cualquier otra caja del cami6n,
no tenga esta el contenido correcto?
*-
Es el caso de pruebas repetidas. Se realizan 500 pruebas y se obtienen resultados de acierto (Son aciertos poT que 10 que se buscaba era errores en el contenido).
26
26 resultados de acierto
P ( menor contenido )
=
500 pruebas sucesivas
0.052 en la muestra y para cualguier otra caia en el cami6n.
UNlOAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las probabilidades
........................................................................ _ .; *.- Lo anteri-or se llama muestrear. Y cuando la muestra es aleatoriamente bien
1
1 ~
seleccionada y en una proporci6n de elementos adecuada al total de la poblaci6n, todos los resultados del amilisis de la muestra podemos generalizarlos a todo el conjunto del emil fue tomada dicha muestra.
45
.
..
;.
j
1 ~
.....................................................................................................................................................................
2.5
EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD SUBJETIVA.
Es la estimacion personal de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Esta medici6n se basa en el poco
0
mucho conocimiento de las condiciones en que se desarrolla un
experimento, pero no es mas que una simple suposici6n de probabilidades basada en la intuici6n personal.
Por ejemplo si en un partido America Vs Chivas, preguntamos a los aficionados sobre la probabilidad de ganar que asignan a los equipos contendientes, pudieramos escuchar una gran cantidad de opiniones diferentes. Esto es por que las respuestas senin solo la intuici6n personal de cada aficionado.
2.6
ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS.
EI espacio muestral
(S) es el conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento. Por ejemplo si de 10 peliculas que deseo ver, rento solo una, mi espacio muestral sera igual al numero de peliculas {l,2,3,....,1O} =10 opciones. Pero si rento tres, ahora el tamafio de mi espacio muestral sera IOC]
=
120 opciones. Y si decido rentar 5
peliculas, ahora el espacio muestral constara lOC 5
=
252 opciones, y el espacio muestral
sena la lista de los 252 posibles resultados.
A cada posible resultado tambien se Ie llama punto muestral de tal manera que el primer ejemplo tiene 10 puntos muestrales (diez posibles resultados), el segundo tiene 120 puntos muestrales y el tercero tiene 252 puntos muestrales.
UNlDAD II
JesUs Diaz Diaz
Un
46
Trona de las (I"Obabilidades
EVENTO, en estadistiea, es cualquier subconjunto del espacio muestral. Este
subeonjunto puede incluir desde cero, una parte, muestral.
0
todos los elementos del espacio
Por ejemplo en el problema anterior, si en las 10 pelieulas esta incluida,
"Regreso al futuro ", si seleeeiono una pelicula al azar, "que probabilidad tengo, de que resulte seleccionada dieha einta?
EI evento, sera el punto muestral ["Regreso al futuro" ]. Por tanto la probabilidad de aeierto de este evento sera :
Suma de puntos muestrales de aeierto
1
=0.1
Probabilidad de "Regreso al futuro" =
Suma de puntos del espacio muestral
10
Otro evento seria, siguiendo el ejemplo anterior, el seleeeionar al azar de entre las 10, una pelieula. "Que probabilidad existe que la seleeeionada no sea "Regreso al futuro"?
Ahora el evento sera, todas aqueUos puntos muestrales que no son la pelieula "regreso al futuro" y la probabilidad de exito de no seleecionarla sera:
Probabilidad de coalqnier pelicuJa excepto "regreso al futuro"
Suma de puntos muestrales de acierto
=
Suma de puntos del espacio muestral
2.7
9
=
0.9
10
POSTULADOS DE LA PROBABILIDAD.
Volviendo al ejemplo anterior: De un conjunto de 10 pelieulas seleceionare al azar una de eUas "que probabilidad tengo de que la seleeeionada pertenezea al conjunto de las diez?
Por logiea debera pertenecer. EI evento sera eualquier punto muestral de las 10 eintas. Por tanto:
Probabilidad de seleccionar cualquiera de las 10 peliculas
47
TeOilade las p-obabilidades
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Suma de puntos muestrales de acierto
10
= ! Suma de puntos del espaeio muestral
10
•.........•..•.......•••.......•.•.......••••.......•• •......•.•..•.....•........••.....•..•••.....•• . ~
Entonces: Cuando un evento definitivamente es seguro que sueeda., por que no haya :
opci6n de 10 eontrario, su probabilidad sera igual a 1, 0 bien 100%.:.
Es decir, todo .
espacio muestral "S" tiene probabilidad
.~~. ~~~~.~.~:
··..1
r..CSJ;:.l..l
POSTULADO I
Por el eontrario, si la pregunta del problema anterior fuera: De entre un conjunto de 10 pelieulas seleeeionare al azar una de elias, mue probabilidad tengo de seleccionar una que
no pertenezea al grupo del eual fue extraido?
Por 16giea debera perteneeer al grupo del eual fue extraido. Y entonees:
Probabilidad de que no perteneua at gmpo donde foe extraido
Sumadepumosmuestralesdeacierto
o -=
Suma de pumos del espacio muestral
!!
10
·:_..............•......•••.••.•••..•..•...............•••••••...................••.•••.•............•••
.
Cuando un evento definitivamente no puede suceder, por que no haya opcion de 10 : ·· .
.
: contrario, su probabilidad sera i".al a cero. :
.......................................................••...................•.........................• La probabilidad de acierto de un evento se denota con una letra mayuscula:
P ( A ).
·:............••........•..........•.••.••••••..........•..........•••••••••••...................••.••••
.
La probabilidad de cualquier evento, jamas sera menor que cero y jamas sera : : mayor que uno.
.....................·l.!:::::===O=<=P=(=A=)<=1==::::::!J....
:
"II
POSTULADO 2
La "no" ocurrencia de ( A) sera el complemento de A (A') entonees:
II"
Teoriade las p-obabilidades
UNlOAD II
JesUs Diaz Diaz
Total de puntos muestrales de no acierto de A
P ( AC )
48
Complemento de A fo que es igua/
Total de puntos del espacio muestral
Total de puntos del espacio muestral
·:_......•..••.••••••••••.•.....................••••....•.................................•••••••....
. podemos concluir que: P (A) + P (A) = P (8). Y como P ( 8) = 1 entonces: . ~
·~ P(A
C
)=l-P(A)
y
.~
P(A)=l-P(A C ) .
........................•.........................•••.•.......•.•.••................................. _.......................................•..•.••.••••••••.....................................•.•.••
· La probabilidad de que suceda
(A 0 B), es decir que suceda uno de los dos
· eventos cuando estos son mutuamente excluyentes:
P (A U B) = P (A) + P(B)
Se anali.zari mas adelante en eI punto 2.9
~
:
11 ~
POSTULADO 3
~ ..
I'
2.8 PROBABILIDADES Y POSffiILIDADES. Las posibilidades no es sino otra forma de escribir las probabilidades. Como ya vimos, una probabilidad es:
Total de posibles resultados de acierto
Total de puntos muestrales a favor
P(A)= - - - - - - - Total de posibles resultados
puntos muestrales de acierto + puntos muestrales de no acierto
La posibilidad de ( A ) es solamente tomar el denominador de la ecuaci6n anterior y enfrentar [los resultados a favor
Vs
los resultados en contra] de tal manera que se
escribira: .,).. Se lee "es a": )
PosibiJidad (A) contra.
= total de puntos muestrales a
favor ¥"total de puntos muestrales en
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoriade las p-obabilidades
49
EJEMPLO 2.7.
Si estimamos en 52% la probabilidad de que la Prepa 1 gane primer lugar en la disciplina
de Quimica, en el proximo concurso de Ciencias Basicas que organiza anualmente el TEC.
i,cuaI seria la posibilidad de triunfo?
52
52
P (Prepa 1 )
; Separamos el denominador en resultados a favor y en contra = - 52 +48
( La cantiOOd a favor es igual aI numerador)
100
Entonees enfrentando los resultados a favor con los resultados en contra
Posibilidades. ( Prepa 1 ) = 52: 48
0
bien
[52 a 48 J
ohtenemos:
EJEMPL02.8 i, Cuilles son las posibilidades de aprobar cierto examen si las probabilidades estimadas son
.85? 85
85
100
85 + 15
P( A ) = 0.85
entonees
Posibilidad de (A) = [85: 1510 bien [85 a 15 J
EJEMPLO 2.9.
Si el problema anterior estuviera planteado at reves:
Cuales son las probabilidades de
aprobar cierto examen si las posibilidades estimadas son [85: 15 ]? Sabemos que el primer OOto [ 85 ] son las opciones a favor y que el [15] senin las opciones en contra y que 1a suma de ambos
deberan
ser todos los posibles resultados. Es decir, el denominador de la ecnaci6n de
probabiliOOd
Opciones a favor
P(A)=---- A favor + en contra
85
85 =0.85
85 + 15
100
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoriade las probabilidades
50
EJEMPLO 2.10. Si un analista financiero en una entrevista dijera que para el final del siguiente trimestre las posibilidades de que el dalar repunte contra el peso en mas de 50 centavos es [4: 2]. Que las posibilidades que cuando mucho repunte hasta 50 centavos es
[1: 8 ], que la
posibilidad de que se mantenga sin cambios es [ 1 : 10]. Y la posibilidad que repunte el peso es [ 1 : 23]
~Podemos confiar
en sus declaraciones?
Las cuatro opciones que presenta, son todas las que pueden suceder: [a) repunte el dalar mas de 50 centavos. b) repunte el dalar no mas de 50 centavos. c) se mantenga sin cambios. d) repunte el peso.] Por 10 anterior, la suma de las probabilidades debera ser igual a la probabilidad del espacio muestral, es decir igual a 1
a.- Repunte el d61ar mas de 50 centavo
4
POSffiILIDAD DE (A) = [4 : 2 ];
4
P(A) = 4
-- =
+ 2
0.66667
6
b.- Repunte el dolar no mas de 50 centavos.
1
POSffiILIDAD DE (B) =
[
1 : 8 ];
1
P(B) =
=
1+8
0.11110
9
c.- Que se mantenga sin cambios.
1
POSffiILIDAD DE (C) =
[
1 : 10];
P(C) = - 1+10
1 =
11
0.09090
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las ~abilidades
51
d.- Repunte el peso.
POSIBILIDAD DE (D) =
[
1
1
1 + 23
24
P(D) =
1 : 23 ],
=
0.04160
SUMA DE (a + b + c + d) = 0.91027:to P(S) 0 bien 0.91027 :to 1
La suma de las probabilidades de los incisos (a+b+c+d), supuesto que no hay mas opciones, deberia ser iguaI a la probabilidad del espacio muestraI P(S) =1, Yno 10 es.
Por tanto sus declaraciones no
SOD
cone:ruentes.
2.9 REGLA DE LA ADICION. La regia de la adici6n se utiliza cuando deseamos conocer la probabilidad de que ocurra
alguno de dos 0 mas eventos, U
0
bien varios a la vez, cuando se realiza un solo experimento
observaci6n. P (A 6 B 6 C 6 ....)
El calculo se realiza seglin sean los eventos. Estos pueden ser mutuamente excluyentes,
0
no mutuamente excluyentes.
Los eventos son MUTUAMENTE EXCLUYENTES si no tienen elementos en comun
0
si no pueden ocurrir a1 mismo tiempo.
En estos casos 1a probabilidad se calcula: Fig. 2.6. Mutuamente excluyentes Poede suceder A 0 pnede snuder B. pero no ambos &1& vez.
P(A 6 B) = P(A) + P(B).
6
10 que es 10 rnismo
P(A U B) = P(A) + P(B).
UNlDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teena de las pubabilidade:s
52
Cuando los eventos presentan elementos comunes entre si y pueden ocurrir al mlsmo tiempo se dice que son NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
.----------------,
Y en estos casos se calcula con: P(A 6 B) = P(A) + P(B) - P(AnB)
o bien:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AnB)
Fig. 2.7 (A 6
B, no se excluyen. Puede suceder A
opuede suceder B, pero tambien pueden suceder a la vez en A y B en AnB.)
...................................................... ...•.•.........................................
· . : • En el caso excluyentes consideramos la probabilidad de que suceda (A) 0 que : ~
:
suceda (B), estos se excluyen, puesto que no tienen elementos en comllO no pueden : suceder a la vez. ~
~
I ::e:e:::),D:u::::::S(B;i:::~:S::::::b:~;;; ::~::rm~~ I *
•
~ · :
resta una vez (AnB) para no duplicar el dato ya que al calcular (A), inc1uimos los . elementos de su intersecci6n con (B). Y al calcular (B) volvemos a incluir los ~ elementos de la intersecci6n :
.
: ...............•...............................................•••••.................................:
••.•.••.....................•.•..•......•.••.•.••....•••........••••••....•.••.........................
· · . ~ TIP. Podemos distinguir mcilmente que debemos aplicar la regla de la adici6n ~ · : cuando hagamos una sola observaci6n ensayo y tengamos varias opciones de acierto. .
: · .
: Ademas al plantear P (A 6 B), la (6) indica c1aramente (SUMAR); P(A) + P(B) : ·.....................................................................•••••............................ :.
0
EJEMPLO 2.11.
Si selecciono al azar, una carta de un mazo de 52 cartas "Que probabilidad tengo de haber
tornado un As (A) 6 un Rey (K).
• Es un solo ensayo ( solo una carta extraere), y gano con mas de un posible resuhado, (cualquier As 0 Rey). Lo anterior me indica que debo aplicar la regia de la adicion * Puesto que no pueden suceder a la vez un As y un Rey en una sola carta, es clara la indicaci6n que debera ser para eventos excluyentes
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
4
P(A6K) = P(A+P (K) = -
52
52
Simplemente la [ 6 ] intermedia en Tambien = P(A6K) me indica adici6Jt puede plantearse P (AuK) = P(A) + P(K)
13
Q., K. 10., J. , Q., K. 10... , J... , Q... , K...
3. , 4. , 5., 6. , 7. , 8., 9., 10. , J .,
A., 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9., A ..., 2... ,
53
2
=
+ 52
A., 2.,
8
4
Toona de las probabilidades
3 "', 4 ... , 5... , 6 ..., 7... , 8... , 9... ,
I
Q., K.
A., 2., 3., 4., 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , J. , TABLA 2.1
Espacio muestral de una baraja de 52 cartas. [son: 4 de cada nfunero; 13 de cada figura; J,Q,K son monos
EJEMPLO 2.12.
Si selecciono al azar una carta de un mazo de 52 cartas l.que probabilidad tengo de haber
tornado un As
0
un coraz6n rojo?
*
Es un solo ensayo ( solo una carta extraere), y gano con mas de un posible resultado, (cualquier As 0 .). Lo anterior me indica que debo aplicar la regia de la adicion
•
Puesto que sf pueden suceder a la vez un As y un • en una sola carta [Ia carta
A.] es clara la indicaci6n que debera ser para eveotos pueden suceder a la vez, no se excluyen.
(fig. 2.8),
4
P(Ao . ) =P(A)+P(.)-P(A.)=
II EI resultado 4/13 realmente debe interpretarse como: P(A,o.,6 ambos)
13
1
52
52
-- + 52
0.0
excluyeotes, ya que
16
4
52
13
=
Cuando contamos los Ases, contamos 4, inclusive el A., y enseguida al contar los. contamos 13, es decir, volvemos a contar el A.. Por tanto debernos restar una vez el A.. Esto sucede siempre que existe interseccion entre los eventos. Empleamos la formula para eveotos 00 excluyeot-es ya que no se excluyen, pueden suceder a la vez como en este caso que puede salir la carta A., donde se cumple que salga un As y a la vez, se cumple que tambien salga un •.
UNlDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teona de las II"Obahilidades
54
EJEMPLO 2.13.
Si selecciono al azar una carta de un mazo de 52 cartas que probabilidad tengo de haber
tornado un "" 6 un.?
* Es solo un ensayo (tomar una carta) y espero cualquiera de dos posibles eventos ["" 6 un .]. Lo anterior indica que debo aplicar la regia de la adicion.
* No puede suceder a la vez "" y.
Lo cwil implica para eventos excluyentes. 13
13
26
1
52
2
P("" 6 .) = P("" ) + P( • ) = - - + 52
52
Recordemos que simplemente la 0 intermedia, P("" 0.). nos indica que debemos sumar
EJEMPLO 2.14.
Selecciono al azar 125 alumnos a la entrada del Tee, encontrando que 53 de ellos lIevan Matematicas, 68 lIevan Programaci6n y ninguno de los entrevistados lIevan ambas materias. Si selecciono de entre esos 125 alumnos, uno
at azar, l.CuaI es la probabilidad
que lIeve: a) l.Matematicas?, b) l.Programaci6n?, c) l.Matematicas 6 Programaci6n? d) l.ninguna de elias? 53
Opciones a favor
---
a.- P(M)= Total de posibles resultados
0.424
125
53 Opciones a favor
Ni Mate. ni Pro!mIIIUICi6n.
figura 2.8
4
b.-
68
0.544
PcP) = Total de posibles resultados
125
UNIDAD 11
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las probabi.lid.ades
55
Para el inciso c, acierto si selecciono un alwnno que este cursando Matematicas 0 Programaci6n, (M 6 P). La ( 6 ) intermedia me indica que debo sumar P(M) + P(P) Y como ninguno de los 125 alumnos cursa a la vez matematicas y programaci6n, no existe intersecci6n por 10 que debo aplicar la regIa de la adici6n para eventos excluyentes
53
c. - P( M 6 P) = P(M) + P (P) =
68
+
-
121
---=0.968
125
125
125
Opciones a favor
4
Total de posibles resultados
125
d.- P (Ninguna de ellas) =
=
0.032
EJEMPLO 2.15
Seleccionamos al azar 100 alumnos a la entrada del Tec. y encontramos que 53 de ellos Bevan Matematicas , 68 lIevan Programaci6n y que 25 de los 100 lIevan ambas materias. Si de entre esos 100 alumnos seleccionamos uno al azar
~cual
es la probabilidad de que al
menos lIeve una de esas dos materias? Cuando se pide "al menos una de esas materias" implica que puede ser Matenuiticas 0 Programaci6n, pero pueden ser tambien ambas materias, es decir: P(solo matematicas)+P( solo Prog)+P(MatenProg) = 28
43
25
96
+-- +- Ni Mate. oi Programacioo.
4
100
100
100
100
Figura 2.9
Tambien puede resolverse mediante la regIa de la adici6n para eventos no excluyentes como sigue:
UNlOAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoriade las probabilidades
56
Solution mediante la regia de la adicion para eventos no exduyentes: P ( MoP) = P ( M ) + P ( P ) - P ( M n P ). Probabilidad de todos los que Bevan matematicas (mas) probabilidad de todos los que Bevan programaci6n (menos) la probabilidad de las que Bevan ambas materias puesto que este grupo fue contado dos veces, primero en P(M) y despues en P(P) 53
P( MoP) = P(M) + P(P) - P ( M n P) = - 100
68
25
96
100
100
= 0.96
-t
100
PROBLEMA 2.16
En la biblioteca central de la Universidad se encuentran 18 mujeres y 12 hombres estudiantes de Turismo, tambien estan 8 hombres y 6 mujeres estudiantes de Economia y 15 hombres y 23 mujeres estudiantes de Comercio. Si para una entrevista selecciono al azar un estudiante, i.Que probabilidad tengo de seleccionar un estudiante de Economia
0
de
Comercio?
8 Hombres 6 Mujeres
18 Mujeres y 12 Hombres =
= 30 estudiantes
de Turismo
14 Estudiantes de Economia
Puesto que no consideramos alumnos que a la vez sean de Economia y de Comercio, entonces no Hay intersecci6n, no puede suceder a la vez. Y sera regia de la adicion para eventos excluyentes.
P(E0q
=
P( E) + P(C) = 14
38
52
P(E6C)=- + ---82 Figura 2.10
82
82 =
0.6341
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las p-obabilidades
57
PROBLEMA 2.17
Si en el problema anterior la pregunta es:
l,Que probabilidad tengo de seleccionar un
alumno que sea mujer 0 estudiante de Turismo? Sigue siendo un solo experimento, "seleccionar un alumno", y varios posibles resultados. - Consideraremos como acierto a cualquier mujer 0 a cualquier estudiante de Turismo. Pero como hay mujeres que a la vez son estudiantes de Turismo, hay intersecci6n (puede suceder a la vez "mujer y estudiante de turismo"). Es una clara indicaci6n de que debemos aplicar la regia de la adicion para eventos no excluyentes. Y restamos una vez P(M n T) para no duplicar el dato ya que se incluv6 en P(M) v en peT).
P(M 0 T) = P(M)+P(T) - P{Mn T) =
47
30
18
59
P(MoT)= - + - - - = 82
82
82
82
P(MoT)=0.7195
PROBLEMA 2.18
Seg(ln una casa de bolsa, con base en sus experiencias pasadas, la probabilidad de que un cliente invierta en CETES es 0.4, de que invierta en acciones de Telefonos de Mexico es de 0.12 y la probabilidad de que invierta en ambos instrumentos es 0.05.
l,Cual es la
probabilidad e que este cliente invierta solamente en CETES 0 en acciones de TELMEX?
Usando el diagrama de YEN facilmente obtenemos el resultado. TELMEX == 0.07
P(C 6 T) = 0.35 + 0.07 = 0.42
Sin el diagrama de YEN tambien podemos obtener el resultado facilmente con la regia de la adicion para eventos Figura 2.ll
no excluyentes: P( CoT) = P(C) + P(T) - 2[ P( CnT)] = 0.4 + 0.12 - 2[ 0.05] = 0.42
Restamos dos
veces P( Cnl) que significa "ambos", por que este valor se incluyo tanto en P(C) como en P(l).
UNlDAD II
JesUs Diaz Diaz
58
Teoria de las probabilidades
PROBLEMA 2. 19
Si el ano pasado de 100 profesionistas que solicitaron ingresar en el area academica de la Universidad Aut6noma de Nayarit 80 tenian experiencia docente y 38 tenian un titulo de Ingeniero en Sistemas; pero 22 de esos 100 solicitantes tenian tanto experiencia docente como titulo de ingeniero en sistemas. l,Cuill es la probablidad de que un solicitante aleatoriamente escogido tenga experiencia 6 un titulo de Ingeniero en Sistemas 6 ambos?
La
soluci6n
con
ayuda
del
diagrama es sencilla: Experien cia doc.
Titulo de Ing. Sist
58
58
22
16
P(E6T)=-+-+ -
16
100
4 sin ex
periencia ni titulo
100
=
=
100
P(E 6 T) = 0.96
Figura 2.12
Pero sin el diagrama tambien podemos solucionarlo mediante la regia de la adicion para eventos no excluyentes. La 0 intermedia entre P(E 0 T) me indica que debo sumar. Y como puede suceder a la vez (E y tambien T), entonces hay intersecci6n, no se excluyen y restare una vez P( EnT), para no duplicar el dato.
P(EoT) = PeE) + peT) - PeEn T) = 80
38
22
P(EoT)= + - - - - = 100
100
100
96
100
2. 10 EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES Cuando ocurren en secuencia dos
0
mas eventos puede suceder:
a: Que la ocurrencia de cualquiera de ellos no afecte la ocurrencia del otro. En tal caso, se dice que ambos son eventos independieotes.
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las JI'ObabilidadtS
59
b: 0 bien que la ocurrencia de uno de ellos afecte la ocurrencia del otro. En tal caso, se
dice que ambos son eventos dependientes.
Si por ejemplo: Torno una carta de un paquete de 52 cartas, la regreso al paquete, revuelvo bien, y en seguida tomo una segunda carta del mismo paquete, i.Que probabilidad tengo de obtener un As (A)? a.- en la primera extracci6n. b.- en la segunda extracci6n Para la 18 . P(A) = 4/52 = 0.07692. Para la 28 . P(A) = 4/52 =0.07692. AI regresar la primer carta al paquete, dejamos intacto el Espacio Muestral y por tanto no modific6 las condiciones para la extracci6n de la segunda el haber sacado la primer carta. Es un ejemplo de eventos independientes. Siguiendo el ejemplo anterior, si ahora tomo la primer carta, la dejo sobre la mesa, y de las restantes del paquete tomo la segunda carta. Hago la misma pregunta, i.Que probabilidad tengo de que la segunda haya sido As (A). En estos casos, en principio, al sacar la primer carta modificamos el espacio muestral para la extracci6n de la segunda carta, ahora senm solo 51 eartas y ademas, la probabilidad que tiene la segunda carta depende de 10 que haya salido en la prirnera: a.- Si la 18 sali6 As, solo quedariln 3 Ases en 51 cartas. Y para la 28 sera P(A) = 3/51 = 0.0588 b.- Si la 18 . No sali6 As (A), para la segunda carta quedaran 4 opciones de acierto, los 4 Ases, y seran 51 cartas por 10 que para la 28 . Sera P(A) = 4/51 = 0.0784
*- Como puede sucede ( a 6 b), implica (adici6n). Asi P(A) = 0.0588 + 0.0784 = 0.137 Este es on ejemplo de eventos dependientes la ocurrencia de uno si afecta al otm.
2.11 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. La probabilidad condicional se presenta cuando deseamos calcular la probabilidad de que un evento ( B ) ocurra dado que un evento ( A ) haya sucedido.
Lo anterior 10 indicamos mediante: P(B
I A),
dado que sucede A). Siempre y cuando A >0.
(y se lee, probabilidad de que suceda B,
JesUs Diaz Diaz
UNlOAD II
Teoria de las probabiWes
60
Si tenemos a los eventos (A, B), dentro de
S
un espacio muestral S y queremos calcular
I
PCB A), tenemos que dar por ocurrido el evento A, y al hacer esto el espacio muestral
I
para la ocurrencia de (B A) se reduce Unicamente al area de A, y la forma en que puede ocurrir B, solo se encuentra en la Figura 2.13
P(B
interseccion de A y B. Por tanto:
P(Ay B)
P(AnB)
peA)
peA)
I A)=
I
P(B A) Se lee: La probabilidad de que suceda B dado que sucede A. Es notacion, no es un cociente.
.....•..............•............................................................•....................
~ En P(B I A), (B) es la condicionada y (A), es fa condicionante. ~
~
:
TIP
AI aplicar la fOrmula siempre va fa interseccion en el numerador y siempre ~ ira la condicionante en el denominador. :
: •AI suceder la condicionante afecta a la condicionada :
......•.•.............•..........•.•••...........•..•.....•......•..•••...........••............•..••. :
EJEMPLO 2.20 Supongamos que en un centro de c6mputo hay 35
lIP
Lanix
computadoras lIP, de las cuales 23 tienen instalado el paquete Excel. Tambien hay 25 computadoras Lanix, donde en 20 de ellas estli
Con Excel Sin Excel
instalado el paquete Excel.
23 12 35
Llega un alumno y al azar, Ie asignan una computadora.
20 5 25
43 17 60
Tabla 2.2
l.Culil sera la probabilidad que dicha maquina tenga instalado Excel dado que es una
maquina Lanix?
P( EnL) 20/60 P(EIL)=----=--= 0.8 P(L) 25/60
Damos por hecho que es Lanix y con ello las oportunidades de acierto de que tenga el Excel se limitan exclusivamente a 20 Llinix con Excel y e1 espacio muestal se reduce a solo 25 Lanix.
UNlOAD II
Jesu.s Diaz Diaz
Teona de las probabi~dades
61
Para checar si existe DEPENDENCIA 0 INDEPENDENCIA de (A a B) 0 de (B a A) : P(A) = P( A I B)
Si,
Si,
Quiere decir que el heeho de que haya oeumdo el evento ~ no modifie6 la ocurreneia del evento B. Por tanto: No hay dependencia
f--
P(A) :;t: P( A I B)
Quiere deeir que el heeho de que haya oeumdo el evento A, si modifie6 la oeurrencia del evento B. Por tanto: Si hay dependencia
EJEMPLO 2.21
Cheque si existe 0 no dependeneia entre los eventos (A y B) en e1 Ejereicio 2.20.
Sera: I.P(A) = P( A I B)? Sustituyendo: , - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
* peA) = Probabilidad de seleceionar
(43/60)
:;t:
una eon excel. Entonees P (A) = 43 /60. * P( A \ B) = 0.8 fue ealeulada en el ejereieio 2.20
0.8 Son diferentes. Entonees
quiere deeir que B si es dependiente de A
EJEMPLO 2.22 Un reporte del Departamento de Tnmsito del Estado aeerea de los aecidentes del pasado mes por causa de eonducei6n de vehieulos en estado de ebriedad se presenta en el siguiente euadro:
I~ H M
Aeeidente Null. 1°.
2°.6 mas
35
~
8
18 4
53 12
43
22
65
Caleule la probabilidad que si seleeciono al azar un expediente de estos accidentes, sea de alguien con un primer accidente dado que sea de una mujer.
Tabla 2.3
P(lernM) P( ler Accidente 1M)
8/65
=---
P(M)
=
12/65
0.66667
UNlOAD II
JesUs Diaz Diaz
Tecria de las p-obabilidades
62
EJEMPLO 2.23 La Secretaria de Comunicaciones y Transportes del Estado indica que en este periodo, la probabilidad de concluir satisfactoriamente el programa de rehabilitaci6n de carreteras es de 0.75, Yque la probabilidad de concluir el programa de construcci6n de carreteras nuevas es de 0.8, ademas indic6 que la probabilidad de concluir ambos programas es de 0.60.
a.- Calcule la probabilidad de que concluya satisfactoriamente el programa de rehabilitaci6n de carreteras (R), dado que si concluya adecuadamente el programa de construcci6n (C).
P(RnC) p(R1 C)=
0.60
=
P(C)
--- =
0.75
0.80
b.- Detennine Si hay dependencia 0 no PeR) = P( R IC); Sustituyendo: 0.75 = 0.75
Son iguales P(R) y P(R IC); Por 10 tanto No bay dependencia.
2.12 REGLA DE LA MULTIPLICACION.
La regia de la multiplicaci6n la usamos cuando queremos calcular la probabilidad de que sucedan dos eventos P(A y B) 6 10 que es 10 mismo, P(AnB). Esta regia afirma que la probabilidad de que ocurran dos eventos es igual al producto de la probabilidad de que ocurra uno de ellos multiplicada por la probabilidad de que ocurra el otro.
Su calculo se realiza segim sean los eventos independientes 6 dependientes.
UNlOAD II
JesUs Diaz Diaz
Troriade las prababilidades
63
·:.....•.•••......•.•••••.....••••••.......•••......•.•...••.••.•......•••..........•....................
.
PtA y B) = PtA) P(B) Cuando SOD eventos independientes : ·· .
.
: ·: Se .
~ apUea PtA y B) = PtA) P(B IA) Cuando son eventos dependjeotes ; · . : * P(B IA) se lee (probabilidad de ''B'' dado Que sucedi6 "A"). : ·. ..••........••.............•.............••.........•••......................•..•.................••. .
·:...•............•.••••••••..•....•...••••......•..••••••.....••••.........••••••.....•••••.......••.•..
.
Cuando se presenta P(AyB), la (y) podemos interpretarla como :
TIP
~
·:: ·
: :
indicaci6n de que debemos emplear la regia de la multiplicacion.
~
Si en PtA y B), la ocurrencia de (A) no modifica el espacio muestral para la ocurrencia de (B), serim eventos independientes. Si la ocurrencia de (A), si modifica el espacio muestrat para (B), serim eventos dependientes.
: .
: .
:
·. ........................••........................•...............•.................................•. : EJEMPLO 2.20 Si una gran encuesta concluyera que para la siguiente elecci6n de Presidencia de Mexico el 52 % de los votantes simpatiza con Vicente Fox y decidieramos if a la calle y at azar preguntar a algunos ciudadanos sobre sus preferencias electorates. Que probabilidad existe de que:
a.- Los primeros dos digan que votaran por Fox? P( Fy F) = P(F)P(F)=0.52XO.52
=
0.2704
La selecci6n es aI azar, no influye la respuesta que de uno a la que de el otro, por tanto hay independencia. Y del planteamiento P(Fox y Fox) , la (y) intermedia implica que debemos multiplicar. Aplieamos entonees, la regia de la multiplieacion para eventos independientes. b.- EI primero diga que por Fox (F) y el segundo que no votara por Fox (N).
P (F y N) = P(F) P(N) = (0.52) (0.48) = 0.2496 Sigue siendo la selecci6n al azar y por ello sigue habiendo independencia.
Para calcular la probabilidad de (No Fox) aplicamos P(Q) = 1 - PtA) = 1 - 0.52 =
0.48
La (y) intermedia indica multiplicacion. Entonees sera regia de la multiplieacion para eventos independientes
I
~.-
Teolia de las JX1lbabi Iidades
UNIDAD II
,JesUs Dfaz Dfaz
64
Que uno de los dos diga que votara por Fox (F) y el otro no (N).
P(F y N) + P( Ny F) = [[P(F) P(N)] + [P(N) P(F)]] = (0.52 )(0.48) + (0.48)(0.52) = 0.4992
Siguen siendo independientes y tambien aplicamos P(Q) = 1 - P(A). Pero en este inciso debemos hacer unaconsideracion; Hay dos opciones ( EI primero vota por Fox y el segundo no 0 el primero no vota por Fox y el segundo si). En cada una de las opciones apJjcamos la regia de la multiplicacion. Pero como solo una de esas opciones puede ocurrir a la vez aplicamos la regia de la adicion para eventos excluyentes.
d.- Que de cinco entrevistados, tres voten por Fox (F) y dos, no voten por Fox (N). P(F YF YF YNy N)
= (0.52) (0.52) (0.52) (0.48) (0.48) = 0.032396
P(F YF YNy F Y N) = (0.52) (0.52) (0.48) (0.52) (0.48) I
1
= 0.032396 P(F YF YN YN Y F) = (0.52) (0.52) (0.48) (0.48) (0.52) = 0.032396
P(F YN YF YF Y N) = (0.52) (0.48) (0.52) (0.52) (0.48)
= 0.032396
P(F YN YF YNy F) = (0.52) (0.48) (0.52) (0.48) (0.52) = 0.032396 P(F YN YNy F Y F) = (0.52) (0.48) (0.48) (0.52) (0.52) = 0.032396 P(N YF YF YF Y N) = (0.48) (0.52) (0.52) (0.52) (0.48) = 0.032396
= 0.032396 P(N YF YNy F Y F) = (0.48) (0.52) (0.48) (0.52) (0.52) = 0.032396 P(N YN YF YF Y F) = (0.48) (0.48) (0.52) (0.52) (0.52) = 0.032396 P(N YF YF YN YF) = (0.48) (0.52) (0.52) (0.48) (0.52)
• Podemos obtener Ia lista mediante un diagrama de arbol.
~ =
0.32396
Siguen siendo Independientes y en cada uno de los arreglos aplicamos la regia de la multiplicacion para eventos independientes. Pero aqui debemos calcular todas las formas en que pudiera ser que se cumpla que 3 voten por Fox y que 2 novoten por Fox. Cada uno de los 10 arreglos anteriores puede suceder, pero a la vez, solo uno de ellos, por tanto tambien aplicamos la regia de la adicion para eventos excluventes. Podemos solucionarlo tambien formando uno de los posibles arreglos, por ejemplo: P(F y F Y F y N y N ) = (0.52) (0.52) (0.52) (0.48) (0.48) = 0.032396, luego calcular: de cuantas maneras puede suceder que de 5 personas 3 opinen que si y 2 que no votan par Fox: sC] 2C 2 = (10) (1) = 10 formas. Cada una de estas 10 formas, tienen igual probabilidad que la anterior. Por tanto laprobabilidad del InCISO es: P( 3 POR FOX y 2 CONTRA FOX) = (0.032396) ( 10) = 0.32396
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
65
Teoria de las p"obabilidadcs
EJEMPLO 2.21
En un grupo de 40 alumnos hay 18 mujeres y 22 hombres. Si el profesor selecciona al azar dos alumnos para que expongan cada uno un terna diferente, (, que probabilidad e,oste de que seleccione: a).- Un hombre para el ler tema y una mujer para el segundo tema?
b).- Un hombre para
uno de los temas y una mujer para el otro? c).- Dos mujeres?
La ocurrencia de (H) reduce el espacio muestral para la ocurrencia de (M) Por a. - El orden de la ocurrencia esta bien definida tanto hay dependencia. Luego la (y) 1° hombre y 2° mujer por tanto: en P(HyM) indica multiplicar. 22 18 Aplicamos entonces la regia de la P(HyM) =P(H) P(M IH) = ----x = 0.2538 muitiplicaciOn para eventos dependientes. 40 39
,-------------------1
I
Puede ocurrir el primero 0 el segundo arreglo, solo uno de ellos. Sera entonces regia aditiva para eventos excluyentes. Pero al interior de cada evento la ocurrenCla del pnmero modifica el espacio muestral del b.- El orden de la ocurrencia no esta definido. segundo. Por tanto aplicaremos la regia Ya que puede ocurrir [(10 hombre y 2° mujer) multiplicativa para eventos 0(1° M y 2° H)] por tanto: deoendientes en cada uno. 18 22 22 18 P(HyM) 0 P(MyH) =-X-- + - X - = 0.2538 + 0.2538 = 0.50676 40 39 40 39
,--
-------j
c. - No requiere orden puesto que se desea obtener la P(MyM), no hay diferencia. .l1
-l&...
P(MyM) =
X
40
En los dos incisos anteriores fue necesario considerar el orden de aparici6n por que se trataba de elementos de I&,oto "diferentes" (H,M). En este inciso son elementos iguales de acierto (MyM) por 10 que el orden en que aparezca es igual.
=
39
0.19615
Sigue siendo regia multiplicativa para eventos dependientes I
Teoriade las probabiIKYl$
UNlDAD II
JesUs Diaz Diaz
66
PROBLEMA 2.22
lIP
Lanix
Total
20
43
Supongamos que en un centro de cOmputo hay 35 computadoras lIP, de las cuales 23 tienen instalado el paquete Excel. Tambien hay 25 computadoras Lanix, donde en 20 de
Con Excel
23
Sin Excel
12 35
elias esta instalado dicho paquete.
5 25
17 60
Tabla 2.4
Llegan 5 alumnos y en el 'Orden que van llegando seleccionan al azar una PC. i,Que probabilidad existe que a los primeros tres Ie toque una con Excel (E) y a los dos ultimos sin Excel (E ') ? La (y) nos indica multipLicar, y sera cinco veces que apliquemos la regia de la multiplicacion. Cada vez que un alumno escoge una PC, se reduce el espacio muestral, los que sigan serlin dependientes. Por 10 que Aplicaremos La regia multiplicativa para
eventos dependientes. 43 42 41 17 16 20,140,512 P(EyEyEyE'yE')=- X - X - X - X - = =0.0307 60 59 58 57 56 655,381,440
2.13 TEOREMA DE BAYES. El Teorema de Bayes es un importante metodo que nos permite analizar eventos secuenciales ''bacia atras". Es decir, su aplicaci6n nos permite calcular la probabilidad condicional de que haya ocurrido un evento en la primera posici6n
secuencia~
dado que se
ha observado un suceso particular en La segunda posici6n de la secuencia
P(Ai ) P(Bi
IAJ
p(AI B)= D
L P(Ai )
P(Bi IAi)
FORMULA DE BAYES. AI numerador corresponde toda la rama de acierto del ilrbol de probabilidad.
i=l
Y al denominador corresponde La suma de todas las ramas que tengan elementos simiLares al elemento conocido de exito.
UNIDAD 11
JesUs Diaz Diaz
67
Teena. de las p-obabilXlades
Lo anterior podemos interpretarlo mas facilmente con el siguiente ejemplo:
PROBLEMA 2.23 Un profesor que aplico un examen considera que en su grupo el 83% de sus a1umnos estudiaron adecuadamente. Pero tambien estima que en examenes similares reprueba el 4 % de los alumnos que si estudian bien, mientras que de los alumnos que no estudian bien reprueba el 92%. EI profesor revisa un examen y es de un alumno reprobado, l,Cual es la probabilidad de que ese alumno que reprobo
0.96
A
~ 0.08
A
~
= 0.796 Rama 1
= 0.033
Ramal
= 0.013
Rama 3
=
~
haya estudiado bien?
EI arbol de probabilidades indica claramente las probabilidades asociadas a cada evento. Tenemos cuatro ramas: (OEA, OER, ONA, ONR ). Cada rama representa dos eventos en secuencia y su probabilidad es su producto. E con N deben ser excluyentes (no pueden suceder ala vez), igualmente 10 son A con R .
0.156 Rama4
E = Estudia bien.
N = No estudia bien.
A= Aprueba
R = Reprueba.
l,La probabilidad de que ese alurnno que reprobo haya sido un alumno que si haya estudiado Ia plantearemos: Probabilidad condicional de que baya estudiado dado que reprobo PeE R). Y asi 10 que vamos a calcu1ar es la probabilidad "bacia atras". Calcularemos la probabilidad de la primera posicion secuencial de la rama 2 dado que conocemos la segunda posicion de su secuencia.
I
* Diagrama de 3rbol de probabilidades Figura 2.14
Aplicamos entonces el teorema de Bayes.
I
Opciones de acierto
P(E R) = Todos los posibles resultados
I
RamJl 2 PeE) P(R E) =---- =---------
rama 2 + rama 4
I
De a1umno reprobado
(0.83) (0.04)
0.0332 =
(0.83) (0.04) + (0.17) ( 0.92)
I
PeE) P(R E) + P (N) P(R N)
0.0332 + 0.1564
0.1751
UNlDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoriade las p-obahilidades
68
PROBLEMA 2.23 Con los datos del problema anterior, a)lque indice de reprobaci6n espera el profesor? b) Si su grupo es de 40 alumnos, segUn sus cillculos l Cmintos alumnos espera que van a reprobar?
a.- Espera que van a reprobar una parte de los que no estudiaron bien, la rama 4 del diagrama de arbol y tambien una parte de los que si estudiaron bien, rama 2. Entonces: P(reprobados) = (rama 2 + rama 4) = 0.0332 + 0.1564 = 0.1896
0
bien:
18.96 %
b.- Los reprobados senin eI18.96% de los 40 alumnos.
40 x .1896 = 7.584
8 aJumnos reprobados.
PROBLEMA 2.24 En la escuela de Economia en este momento se esta aplicando examen en tres aulas. En el aula "A" hay 18 mujeres y 20 hombres. En el aula 'cs" hay 12 mujeres y 14 hombres y en el aula
"e"
hay 9 mujeres y 15 hombres. Si al terminar una mujer comenta que hizo su
examen con facilidad lque probabilidad existe que 10 haya hecho en el grupo "A"?
l~8
1/3
o
A~OH
~ 2/26
1/1
M
R
14
= 0.1579 Rama 1 =0.1754 Rama2
2M
= 0.1538
RaIna 3
4H
= 0.1795
RaIna 4
= 6.1.250
Raffia 5
= 0.2083
Raffia 6
1/3
A=AulaA
B= AulaB C = Aula C
M= Mujer H= Hombre
Arhol de probabilidad
Figural.I5
En el arbol de probabilidad indicamos todas las probabilidades asociadas y la probabilidad por cada rama. Resulta igual seleccionar al azar cualquiera de las tres aulas. Por tanto La probabilidad a cada aula sera 1/3. Hay tres formas de que una mujer venga de esas aulas: (que venga de La A, B 6 C), Por tanto hay tres ramas donde hay mUjeres, Esas tres ramas seran el denominador. Deseamos conocer la probabilidad de que la alumna venga del aula "A", entonces la rama de exito sera la rama 1 y sera el numerador, es decir P(A) (M IA). Aplicamos entonces el teorema de Bayes.
69
Ramal
p(AI M)=
=
P(A) P(M I A) + P(B) P(M I B) + P(C) P(M I C)
Ranta 1 + Ranta 3 + Ranta 5
0.1579 = ----------
0.1579 + 0.1538 + 0.1250
0.1579 - - - = 0.3616 0.4367
2.14PROBABILIDAD USANDO ANALISIS COMBINATORIO EI uso de aruilisis combinatorio viene a facilitar en muchas ocasiones la solucion de problemas probabilisticos, especialmente aquellos donde se presenta muchas opciones de solucion. Con frecuencia, los elementos que confonnan un resultado de acierto, si se permutan entre ellos, forman largas listas de opciones de solucion y deben ser considerados todos y cada uno de ellos, como el ejemplo 2.20d.
EJEMPLO 2.25
En una reunion se encuentran 6 alumnos del Tee, 8 alumnos de Economia y 4 alumnos de Leyes. Deciden elegir al azar 3 de ellos para presentar una propuesta al gobernador. probabilidad hay de que: a) los tres seleccionados sean alumnos de Economia? b) sean de Economia y 1 del Tee. c)
~
~
~Que
Que 2
Que sean seleccionados Economia, Tee, Leyes. En ese
orden. d) ~Que sea uno de cada escuela?
8.-
Es simple pues los tres son similares.
P(E1Y 14 YE 3) = P(Ed P (Ezi Ed P (E31 E 1 Y 14) = = (8/18) (7/17) (6/16)=(336/4896)=0.0686 todas las formas de selecinar tres de 8 de economia gC 3
56 o bien: Mediante : P(E lyEz yE3 ) = - = - = 0,0686 Amilisis combinatorio Todos los posibles resultados 1gC3 816 De seleccionar 3 de todos
.
Jeai.s Diaz Diaz
70
b.- 2 de Economia y 1 del Tee. Si no empleo tecnicas de conteo necesito elaborar la lista de todos los posibles
(EET) = (8/18) (7/17) (6/16) = 336/4896 = OJ)686 (ElE) = (8/18) (6/17) (7/16) = 336/4896 = 0.0686 (fEE) = (6/18) (8117) (7/16) = 336/4896 = 0.0686
Este metodo mientras mas elementos tenga mas se dificultara
0.2058
o bien mediante analisis combinatorio: 168 P(2 de Economia y 1 del Tec.) =
---=
=
0.2058
816
c.- Economia, Tee, Leyes, en ese orden: P(EyTyL) = P(E) P(T IE) P(L IEyT) = = (8/18) (6/17) (4//16) = 0.039
d.,.. Uno de carla escuela:
gC l 6C l 4C l P(EyTyL) = - - - - - - - - - - = 0.059 ISC3
EJEMPLO 2.26 Un juego de Poker esta por iniciar. Deseo saber cucil es la probabilidad de que
at recibir mis
5 cartas: a) 3 sean reyes (K), y 2 sean ases (A). b) obtenga tercia de jotos (1) c) par de ases (A) y par de reyes (K).
Todos los incisos de este problema sercin demasiado largos hacerlos si no utilizamos ancilisis combinatorio, ya que tendriamos que obtener la Iista de todas la opciones como en el problema 2.25 b. pero en este ejercicio son demasiadas la opciones en cada inciso. Por tanto es mucho mas sencillo utilizar el ancilisis combinatorio como sigue:
:-
-.
:- •.....................•••...............•............ ..............
~ Siempre aplicaremos la formula f·········i~~~~~;,:~~·~·~i~~····: ~..........•..•.•• ~ general de probabilidades. ~ P(A) = ~ ~
TIP :
............................................. t
:
Total de posibles resultados (de acierto y de no acierto)
: :
......................................•• :
UNlDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoriade las p-obah~e$
71
I
a. 4C J
4C 2
P(3K y2A) =
(4) (6) 24 - - - = ---=9.2345X 10~ 2,598,960 2,598,960
4C J =Todas las fOTlllaS en
que puede obtener 3 de los 4 Reyes. 4C 2 = Todas las formas
en que puede obtener 2 de los 4 Ases.
las formas en que se pueden obtener 5 de las 52 cartas.
52C5 = Todas
4CJ =Todas las formas en
que puede obtener 3 de los 4 lotos.
las formas en que puede obtener 2 de las 49cartas que quedan luego de sacar losjotos.
b.
49C 2 = Todas
4CJ
4i~
P(3J y 2?) =
(4)(1176)
4,704
- 1.8100 2,598,960 2,598,960 -
52C5
X
10-3
las formas en que se pueden obtener 5 de las 52 cartas.
52C5 = Todas
-,
C,
4C2
4G
P(2Ay2K)= 52C5
1,728 ~I (6) (6) (44) = = - 6.6488X 104 2,598,960 2,598,960
Muy similar al anterior.
UNmAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoriade las p-obabilidades
72
2.15RECOMENDACIONES DmAcTICAS Y BIBLIOGRAFIA DEL CAPITULO. Luego de haber analizado esta unidad, es recomendable practicar resolviendo los problemas propuestos en:
FREUND John E. " Estadistica Elemental" Ed. Prentice Hall, 88 Edici6n, Mexico 1994, p.p. 108,109,119-121,128-130,134-136,143 146,150,151.
-
LIPSCHUTZ, Seymour. ''Probabilidad'' sene Schaums Ed. Mc. Graw Hill
- WALPOLE y Myers "Probabilidad y Estadistica para ingenieros" Ed. Prentice Hall, 68 edici6n, Mexico 1999, p.p. 17, 18,33,34,42,43,44, 49,50.
BIBLIOGRAFIA DEL CAPITULO. Ademas de los tres anteriores:
LEVIN, Richard I.
''Estadistica para administradores" Ed. Prentice Hall,
68 edici6n,
Mexico, 1996.
MONTGOMERY, Douglas C. ''Probabilidad y Estadistica aplicadas a la Ingenieria" Ed Mc. Graw Hill, 18 Edici6n 1996.
JesUs ow ow
UNIDAD II
Tcoria de las ~i1idad.cs
2.16 RESUMEN.
Continuamente tomamos decisiones en un clima de incertidumbre, siempre con el riesgo de no tomar la mejor decision .
La
probabilidad, es el estudio de eventos puramente
aleatorios, es decir, al azar. La probabilidad nos proporciona herramientas para analizar esta incertidumbre, y con ello nos proporciona una base para la toma de decisiones.
Existen varios conceptos de "Probabilidad", pero destacan: a.- Concepto clasico.- Surge de los juegos de azar pero tiene una restricci6n ya que solo es aplicable cuando en un experimento 'lodos los posibles resultados son igualmente probables, y que exista un numero finito de posibles resultados" como en los juegos de azar b.- De la frecuencia relativa. Resulta de la observaci6n de pruebas repetidas. La probabilidad del evento estara dada por el total de aciertosobservados dividido entre el total de observaciones c.-
Probabilidad subjetiva. Es la estimaci6n personal de un evento. Se basa en la intuicion.
t
Tenemos tres postulados de la probabilidad:
t
b), peS) = 1, «La probabilidad de que ocurra el espacio muestral siempre es seguro.
•
t
•
73
De los dos anteriores concJuimos que (PA")
= I-P(A) donde P(Q)=
Prob. de no
acierto. a), 0
~
peA)
~
1. La probabilidad jamas es menor que cero y jamb es mayor que uno.
Cuando un evento definitivamente no puede ocurrir, su probabilidad es cero. Y por el contrario, cuando su ocurrencia es completamente segura, su probabilidad sera igual a uno.
c), P(AuB) = peA) + PCB). La probabilidad de A uni6n B es igual a la adici6n de ambas probabilidades. Y de aqui surge la regia de la adici6n.
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoriade las probabilidades
74
Las posibilidades, no es mas que otra forma de escribir la probabilidades, solo que enfrentan: todos los resultados a favor: todos los resultados en contra
Dos eventos pueden ser excluyentes, si no tienen elementos en comun
si no pueden
0
ocunir al mismo tiempo. Y pueden ser no excluyentes cuando si pueden ocunir ala vez.
La regIa de Ia adicion, se usa cuando queremos conocer la probabilidad de que ocurran dos 0 mas eventos, y su aplicacion dependera de si son 0 no excluyentes.
P(A 0 B) = P(AuB) = P(A) + P(B) cuando son eventos excluyentes P(A 0 B) = P( A uB) = P(A) P(B ) - p(AnB) cuando los eventos son no excluyentes.
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Y son dependientes, cuando la ocurrencia de uno modifica el espacio muestral para la ocurrencia del otro.
La probabilidad condicional, se presenta cuando deseamos calcular la probabilidad de que un evento suceda, dado que otro determinado evento previamente haya sucedido.
P(B
P(AyB)
p(AnB)
P(A)
P(A)
I A)=
I
P(B A) Se lee: La probabilidad de que suceda B dado que sucedio A [Es notacion, no es un cociente].
La regIa de la multiplicacion la usamos cuando queremos calcular la probabilidad de que sucedan dos
0
mas eventos y se aplica seglin sean dependientes
0
independientes.
P(A y B) = P(A nB) = P(A) P(B)
Cuando los eventos son independientes
P(A y B) = P(A nB) = P(A) P(B IA)
Cuando los eventos son dependientes
UNIDAD II
JesUs Diaz Diaz
Teoria de las p-obabilidades
75
EI teorema de Bayes es un metodo que nos permite analizar probabilidades condicionales "hacia atnis " ya que si observamos un suceso particular en la segunda posicion de un evento secuencial, podremos calcular la probabilidad condicional de la ocurrencia de un evento en la parte inicial de la secuencia.
FORMULA DE BAYES.
I
P(Ai) P(Bi Ai) p(AI B)=
AI numerador corresponde toda la rama de acierto del arbol de probabilidad.
n
L P(Ai) P(Bi IAi) i=l
Y at denominador corresponde la suma de todas las ramas que tengan elementos similares al conocido de exito.
UNIDAD III Estadistica De&riptiva 76
JesUs Diaz Dia.z
~I
UNIDAD TRES -
;
--
,
;l
~
,
ESTADISTICA DESCRIPTIVA. 3.1
3
., IntroducclOn.
3.2 Manejo de datos.
3.2.1 Distribuciones de frecuencia y terminologia.
3.2.2 Gnifica de rama y hoja
3.2.3 Presentaciones grMicas
3.3
3.2.3.1
Histograma y poligono de frecuencia.
3.2.3.2
Gnifico de barras.
3.2.3.3
Gnifico circular 0 de pastel.
3.2.3.4
Ojivas mayor y menor que.
Medidas de tendencia central y otras medidas de posici6n.
3.3.1 Notaci6n sumatoria
3.3.2 Media aritmetica
3.3.3 Mediana
3.3.4 Moda
3.3.5 Media geometrica
3.3.6 Media ponderada
3.3.7 Cuartiles, DecHes y Percentiles.
3.4 Medidas de dispersi6n.
3.4.1. Desviaci6n media.
3.4.2. Varianza.
3.4.3. Desviaci6n estandar
3.5 Usa de la PC en la soluci6n de problemas de estadistica
descriptiva.
3.6 Recomendaciones didacticas y bibliografia del capitulo.
3.7 Resumen
UNIDAD ill
JesUs Diaz Diaz
3.1
Estadistica Descriptiva 77
INTRODUCCION
Desde la antigiiedad, los gobiernos han tenido necesidad de contar a las personas, sus propiedades, sus ejercitos, recursos militares y fiscales etc. Y desde entonces, para cuantificar todos estos recursos, fue necesario levantar censos y organizar todos los datos obtenidos de manera tal que facilitaran su analisis.
Los problemas que genero esta recoleccion, organizaci6n,
presentacion, anidisis e
interpretacion de dichos datos a dado lugar al desarrollo de metodos y tecnicas que han venido a conformar la estadistica descriptiva, y posteriormente con base en ella y en la probabilidad, surge la estadistica inferenciaL
La estadistica descriptiva, es pues, una sene de metodos y tecnicas que llamamos metodos estadisticos que ayudan a recopilar, organizar, presentar, analizar, e interpretar
eficientemente datos numericos, llamados datos estadisticos; para que en base a esos anillisis podamos observar el comportarniento historico de la poblacion a que esos datos se refieren y con ese soporte, deducir que pudiera suceder
0
que decisiones pueden ser
tomadas como consecuencia de los hechos anteriores; Las tecnicas que empleamos para ella pertenecen at campo de la estadistica inferencial.
El gran
desarrollo de la ciencia estadistica, en la actualidad, ha hecho de esta una
herramienta muy potente y cada vez mas indispensable en todas las ramas del saber para el control y para la toma de decisiones en las diferentes areas de trabajo.
UNIDAD III Estadistica De;eriptiva 78
JesUs Diaz Diaz
3.2
MANEJO DE DATOS.
EI manejo de datos tiene que ver con el metodo estadistico, que dividiremos en cinco pasos: a.- Recopilacion de datos. Es la busqueda y recoleccion de los datos estadisticos que
se requieran analizar. Puede hacerse seg(In sea necesario, mediante encuestas, entrevistas, observaciones directas, consulta en dependencias publicas privadas,
0
0
bien obteniendolos de archivos, periodicos revistas u otros medios.
La recopilacion se hani segiln sea necesario; puede ser todos los datos existentes (poblaci6n), 0 bien solo una parte de ella (muestra); la cantidad de los datos que se recopilaran dependeni de 10 extenso de la poblacion, del grado de confiabilidad necesaria en la investigacion y de los recursoS economicos y tecnicos de que se disponga.
b.- Organization de los datos recopilados. Una vez recopilada la informacion debe "corregirse" de omisiones, inconsistencias, respuestas irrelevantes y otros
errores que pudieran haber sucedido en la recopilacion. Luego estos datos deberan clasificarse, organizarse y ordenarse.
c.- Presentacion. Luego de ser ordenados, los datos deberfm presentarse en la forma
mas tacil de leer de tal manera que su comprensi6n sea 10 mas sencilla y clara posible. Puede presentarse mediante tablas 0 graticos estadisticos.
d.- Antlisis de los datos presentados. Aqui se procesani la informacion (como veremos
mas
adelante) realizando los cillculos necesarios
que arrojaran resultados y
mostraran los aspectos importantes de los datos.
e.- Interpretacion. Los resultados del anaIisis de los datos deberan ser rigurosamente
interpretados por que sus conclusiones seran las que ayuden a la toma de decisiones.
UNmAn III &tadistica Descriptiva 79
JesUs Diu Diu
3.2.1 DISTRIBUCIONES
DE
FRECUENCIAS
y
TERMINOLOGIA.
Una vez recopilados y corregidos los datos. hay que ordenarlos y clasificarlos para facilitar su a.ruilisis. Cuando es una gran cantidad de datos es muy complicado analizarlos si no se clasifican adecuadamente, y la mejor forma de hacerlo es mediante una distn'buci6n de frecuencia que consiste en agrupar dichos datos en varias clases, fonnando un cuad.ro estadistico, como el siguiente ejemplo que representa la poblaci6n estudiantil, por carrera, en el Instituto Tecnol6gico de Tepic para el cicIo Agosto Diciembre de 1999.
Especialidad
Num. de alumnos
(clase)
(frecuencia)
Se han agrupado los alumnos, en este casc,
LIC. EN INFORMATICA
461
por especialidad, es decir, en grupos de
LIC. EN ADMINISTRACI6N
623
datos similares llamados (categorias
ING. EN SISTEMAS COMPo
469
clases)
ING. ELECTRICA
178
ING. QUlMICA
72
ING. BIOQutMrCA
103
ING. CIVIL
375
cada clase y el resultado es colocado en la
ING. INDUSTRIAL
176
segunda columna que corresponde a la
ARQUITECTURA
508
(frecuencia). Y asi
2965
elementos contiene cada clase.
TOTAL
Tabla 3.1
0
Se efectu6 un conteo de los elementos de
esta
indica cuantos
FUENTE: Servicios escolares I.T.T
(l'abla eateg6rica) 6 (Distribuci6n de freeuencia
eateg6riea)
.................•.....................................•..................•....••......•.....•....•... ,Muy importante! Toda tabla
0
cuadro estadfstico para tener vaUdez, debe citar la fuente de donde
provienen los datos. ..••......•.•.•.•.•.••.•...••........••••.•••.•.•....•••••••...•••.•.••••••••.••.......••.••......••.•..•
JesUs Diaz: Diaz:
UNIDAD III Estadlstica Descriptiva 80
Existe 000 tip<> de Distribuciones de Frecuencia, las Uamadas
numericas
0
siguiente
distribuciones
cuantitativas;
ejemplo
que
Como el
muestra
las
calificaciones obtenidas por los alumnos del
grupo
"c"
Calificacion (Clase)
No de alumnos (FrecueDcia)
Menos de 70
6
70-74
4 5
75 -79 80-84
de
la
materia
probabilidad el semestre pasado.
de
85-89
6 6
90-94
5
95 - 100
6
Total
38
Tabla 3.2
FUENTE: Acta de calificaciones grupo
"c"
de probabilidad semestre 1 de 1999. I:T:T:
La estadfstica tiene su propia TERMINOLOGIA que es indispensable aprender muy bien antes de seguir adelante y para eUo nos apoyaremos en la Tabla 3.2.
CLASES. Si observamos en la tabla (Tabla 3.2) la primera columna estA formada por siete parejas de nfuneros, cada pareja sera una clase; A los nfuneros menores de cada clase se les llama limite inferior de clase (Li), mientras que a los nfuneros mayores de cada clase Ie l1amamos limite superior de clase (Ls).
FRECUENCIA (I). Como ya 10 vimos (Tabla 3.2), son los niuneros de la segunda columna de la tabla. Cada frecuencia indica el nUmero de elementos que existen en la clase que corresponde.
MARCA DE CLASE (X.). Llamado tambien punto medio, se localiza en el punto central de cada clase. Se obtiene sumando ellimite inferior con ellimite superior de la clase que se trate y dividiendo entre dose Por ejemplo: La marca de clase de la tercera clase sera: X3 = (75 + 79) I 2 = 77
UNlDAD III Estadistica Descriptiva 81
J~s Diaz Diaz
LIMITES REALES DE CLASE
(LRC).
Se localizan entre cada par de clases
sucesivas; y existen limite real inferior (LRI) y limite real superior (LRS) para cada clase.
LIMITE REAL INFERIOR (LRI). Se calcula sumando el limite de clase inferior de la clase que se trata, con el limite superior de la clase inmediata anterior y dividiendo entre dos. Por ejemplo ellimite real inferior de la clase tres sera:
LRh = (75 + 74) / 2 = 74.5 LIMITE REAL SUPERIOR (LRS). Se calcula sumando el limite de clase superior de la clase que se trata, con ellimite inferior de la clase siguiente y dividiendo entre dos. Por ejemplo ellimite real superior de la segunda clase sera: LRSz = (74 + 75) / 2 = 74.5
·:_Observese que el LRS de la clase dos, es el mismo punto que el LRI de la clase tres. Y .:. ·· .
.
: asi sera para cada par de clases sucesivas. : .
···· .
.
.
··· .
.
.
: ··: Para calcular el primer LRI, de la primer clase es necesario crear una clase anterior; y .
.
: ··: para calcular el ultimo LRS, de la ultima clase deberemos generar una clase posterior, .
.
: como se explicara en el ejercicio 1. : ··.............••.....•••••••••••.•.........•....••...•...•......•••••.••..........•••••............•••..
.
.
TAMANO DE CLASE 6 TAMANO DEL INTERVALO (C).
Se calcula restando el
LRI al LRS, de la c1ase que se trate. Por ejemplo, el Tamafto de clase de la distribuci6n (tabla 3.2.) sera: Verifiquemos por ejemplo en la clase 3; (C) =LRS3
-
LRI3 = 79.5 -74.5 =
~
RANGO. Comprende todo el espacio numerico que abarca la serie de datos recopilados;
Se obtiene restando el menor de los valores al valor mayor que contenga la serie de datos.
UNlOAD III Estadistica Descriptiva 82
JesUs Diaz Diaz
·•.............................•....................•....................•...............................
.
Una distribucion de frecuencias numerica consta, entonces, de dos columnas. En la : ·· .
.
• primera colocaremos las c1ases y en la segunda las frecuencias. : ···· · ZCOMO FORMULAR UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS? : ·· .
·.•
·: En toda distribucion de frecuencia el limite de c1ase inferior de la primer c1ase, debeni .
· .
·: ser menor 0 igual que el mas pequeno de los datos recopilados~ y el limite de c1ase : ·: superior de la Ultima c1ase debera ser mayor 0 igual que el mayor de dichos datos para : ·: que la distribucion de frecuencias pueda contener a todos esos datos recopilados. .
: · ·
···: No existeD regla-s d'ermitivas para la selecci6n del tamafio de clase de la distribucion, ..
.
: ·: : ni para definir cuantas c1ases se deben formular. Ambas selecciones pueden hacerse · ·: como mejor convenga para su analisis, seg(ln sea el tipo de datos recopilados, y para .
: : . ~ ello debemos emplear el sentido comun~ pero es muy conveniente: • ·: . : ··: a) .- AI meoos 4 y 00 mas de 15 clases. (Siempre que agrupamos datos, perdemos .
.
• informacion. pero 10 aceptamrn; para ganar facilidad de analisis) [por ejemplo en la : · Tabla 3.2 en la clase (70-74) hay 4 a1umnos~ ellos en realidad obtuvieron (71, 72., 72 Y 74 de : ·• calificaci6n); .
[al agruparlos solo sabemos que obtuvieron entre (70 y 74) Y as! eo cada clase, por 10 · : · que perdemos mucha informaci6n; pero el arullisis global se facilitara mucho mas que si : ·: analizaramos alumno por alumno]. Para definir el numero de c1ases es entonces · importante considerar un numero adecuado mediando la perdida de informacion ·· · con la ganancia de facilidad de anaIisis. · b) Cerciorarnos de que cada elemento quede solamente en una c1ase. Para asegurarnos de ello debemos poner atencion en el redondeo que se haga de los datos para que no pueda caer entre los limite de clase de dos c1ases sucesivas. [Por ejemplo: si un alumno perteneciera al gmpo que representa la Tabla 3.2, y hubiera obtenido
(74.5) de calificaci6n, at querer ubicarlo en dicha tabla observariamos que no puede pertenecer a la clase (70-74) ni a Ia siguiente (75-79), quedaria en medio de las dos entre. Entonces seria necesario redondear mas y las clases quedarian (70-74.5), (75-79.5), (80-84.5), etc.]
c) .- Si el analisis que hagamos
10
permite es conveniente hacer que todas las
c1ases tengan el mismo tamado de intervalo. : •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
r
••
•
•••• _ •••
•
• _ •••
·
·
·
·
·
·
·
·
·: ··•
••• :
UNlOAD III Estadistica Descriptiva 83
JesUs Olaz Olaz
EJEMPL03.1 Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas en el examen de admisi6n por 312 aspirantes a ingresar a una escuela preparatoria en el presente ano. Elabore una distribuci6n de frecuencia.
40 53 41 53 30 88 68 70 72 63 83 59 87
46 44 66 90 56 91 73 66 75 68 56 55 78
58 55 69 83 64 67 62 65 64
79 65 63 85
62 57 79 46 66 72 82 49 61 63 75 45 62
65 64 78 55 70 61 47 38 59 60 83 84 85
25 62 57 54 85 68 52 84 61 59 57 73 46
14 68 55 62 77 40 60 49 53 58 53 58 59
42 54 97 80 64 66 63 60 61 67 48 58 70 72 65 74 59 58 58 49 50 61 54 52 71 40
57 30 68 65 86 59 77 78 35 22 76 56 88
52 44 74 65 90 65 65 69 81 49 86 62 45
56 94 72 90 46 76 62 79 89 46 89 80 57
64 18 45 82 57 71 57 46 59 52 35 22 72
66 54 47 38 62 85 38 54 42 64 66 45 88
75 61 64 43 65 38 48 62 60 69 56 56 84
20 73 74 51 76 42 51 64 61 70 70 57 76
39 67 60 56 87 53 50 50 63 58 71 71 51
56 35 76 66 25 18 64 78 77 58 57 74 85
63 61 43 77 70 69 56 57 58 67 59 50 67 75 81 47 58 66 65 65 63 61 71 84 45 63 73 69 58 59 75 59 91 80 39 55 67 73 76 82 55 62 51 51 66 60 71 60 51 53 60 63 80 86 54 47 54 72 80 77 52 49 86 81 50 63 85 82 42 87 56 67 48 54 79 81 69 49
I Tabla 3.3
Para poder analizar todos estos datos haremos una distribucion de frecuencia; y para ello es necesario 10calizar el valor menor y el mayor; En la serie anterior seran (14 y 97), Ypor tanto, ellimite inferior de la primer crase debera ser 14 0 menor y, el limite superior de la ultima clase debera ser 97 0 mayor. Con estos datos obtenemos el rango 97 -14 = 83 Como vamos a analizar califi.caciones, el sentido cornUn nos indica que es muy conveniente formular las clases de 10 en 10, iniciando con un numero menor que 14 para 10 cua4 tambien el sentido comim nos indica iniciar la primer clase del numero 10 Yhasta el 19 [abarca 10 nfuneros, (10,11,12,13,14,15,16,17,18,19)], 1a segunda sera (20 a 29), la tercera (30 a 39) y asi sucesivamente hasta cubrir (97) que es el dato mayor y ocurrirs con la clase (90 a 99). El nUmero de clases sera el que resulte necesario. En este caso seran 9 clases. De esta manera el redondeo que se hace es suficiente para asegurar que todos los datos peqenezcan solo a una clase y que ninguno caiga entre dos clases sucesivas. Luego de formular las clases procedemos al conteo para determinar la cantidad de datos que pertenecen a cada clase y ello detenninara la frecuencia correspondiente a cada clase
JesUs Diaz Diaz
UNlOAD III Estadistica Descriptiva 84
CLASE
C
o
N
FREC.
TEO
10-19
ill
3
20-29
~ lmE I
5
30-39
11
40-49
~~~~~'mtI
36
50-59
~~ ~'H{I ~ ~BQ 1Ut~ ~ I'H(m{-.l];(rBIt~II
77
60-69
~tl;QlH(.'H{I~~lmtIQ.~~tRt1mtI;QlH(.H{I~IIII
84
70-79
DIl~~~~~~~~I
51
80-89
~~IlR~~~~II1
38
90-99
'Hll,.II
7 TOTAL
312
TABLAJ.4
3.2.2 GRAFICA DE RAMA Y HOJA. Como ya anteriormente mencionamos a1 elaborar una distribucion de frecuencia aceptamos perder informacion para ganar facilidad de ancilisis. Si deseamos agrupar los datos y no perder informacion, podemos recurrir al metodo "grafica de rama y boja" que mantiene los valores individuales integros. Asi la distribuciOn anterior bajo este metodo queda: A
Cada uno de estos valores es el segundo digito al juntarse con el primer digito correspondiente a su rengl6n de la columna "A". Asi los primeros son: 14, 18, 18. Los segundos: 25,20,25,22, 22. Etc.
1
4,8,8
2
5,0,5,2,2
J
9,0,5,8,0,8,9,8,8,5,5
4
0,6,2,3,4,4,1,5,7,7,6,3,6,5,0,8,2,7,8,9,9,6,2,9,9,6,7,9,5,5,2,6,0,5,8,9.
5
8,4,7,2,6,6,3,5,7,4,6,7,8,9,0,7, 5, 8,3,5,4,1,6,6,7,8,9,8,9,3,9,5,2,7,1,0,5,4,0,1,1,9,3,9,8,9, 1,3,9,8,8,4, 4,6,7,3,0,6,7,2,0,9,5,8,4,2,6,6,7,6,9,7,1,4,8,8,9.
6
2,5,4,6,3,1,9,4,2,8,1,7,7,6,9,4,6,8,4,0, 7, 6,2,3,0,5,5,6,5.,5,3,1,9,3,5,2,7,1,6,4,7,1,8, 5,2,7,4,2,5,0,2 ,8, 6,5,5,9,2,4,6,0,0,3,0,3,1,0,1,1,4,3,8,3,0,4,9,3,6,1,5,3,2,7,9,2
7
5,7,0,3,9,8,4,2, 4,6,5,1,3,6,7,0,2,6,1,5,6,3,7,2,0,3,0,4,8,9,8,1,7,5,2,9,0,2,7,1,0,6,5,3,1,4,9,6,1,21,8.
8
0,1,3,2,4,7,6,5,8,5,0,2,2,4.6,0,9, 1,0,1,6,9,6,3,3,4,0,5,2,7,1,5,4,8,8,5,5,7
9
7,4,0,0,0,1,1
TablaJ.5
UNlOAD ill Estadistica Descriptiva 85
JesUs Diaz Diaz
EJERCICIO 3.1 En base al ejemplo 1 practiquemos ahora los c8J.culos que aprendimos junto con la
terminologia, apliclindola a la distribuci6n de frecuencia anterior y formaremos la tabla
3.6 Formaremos las columnas 1,2 y 3, tomando los datos de la tabla 3.4; luego calcularemos las columnas 4, 5 Y6.
c
0 1
L 2
Clases Ls Li
10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80- 89
90 99 Total
M
U
3 Free f
3 5 11 36 77
84 51 38 7 312
N
A 4
N
U
5
M. 6
MdeC. Limites reales Xi LRS LRI
(10+19)12
=
14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
(10+9)/2 (10+20)/2
= 9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5
=19.5 29.5
39.5
49.5
59.5
69.5
79.5
89.5
99.5
Para calcular el primer Limite real inferiOT (LRI), debemos generar una elase anterior a la primera de igual tamado de intervalo: En esta distribuei6n el tamailo de intervalo es 10 y la primer elase (10-19) por 10 que generaremos una clase anterior de igual tamado de intervalo. Esta tendnl como limites (0-9). Ahora si podemos calcularel primer limite real inferior: LRI. = (9+10)/2=9.5 De igual manera Jm3 el ultimo limite real superior generaremos una elase posterior a la Ultima de igual tamailo de intervalo:
La ultima clase es (90-99) por 10 que la clase que generemos tendnl como limites de elase (100-109) y ahora ya podemos caleular el Ultimo limite real superior: LRS, = (99+100)12 = 99.5
Tabla 3.6
3.2.3 PRESENTACIONES GRAFICAS. Una gmfica consiste en un dibujo que representa todos los datos de la distribuci6n permitiendo filcilmente observar aquellos mas importantes y por tanto, hace mas flicil su comprensi6n. Son muy usadas cuando queremos presentar una distribuci6n de frecuencia en una forma mas clara y objetiva.
Presentaremos algunas de las graficas mas usuales otilizando los datos del ejemplo numero 3.1 cuyos datos se encuentran representados en la Tabla 3.4.
Jes6s Diaz DIu
UNIDAD III Estadlstica Descriptiva 86
3.2.3.1 mSTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIA Sobre un primer cuadrante; eo el eje "X", dibujaremos una escala con todos los limites reales de clase de la distribuci6n; y eo el eje "Y", una escala desde 0 basta el valor de la frecueocia maxima de clase de la distribuci6n.
Enseguida se procede a dibujar el Histograma propiamente dicho, que consiste en un rectangulo representativo de cada clase que contenga la distribuci6n. Cada rectangulo tendni su base en el eje "X" y cada uno iniciara en su limite real inferior terminando en su limite real superior, con una ahura igual a su frecuencia. (Podemos tomar los datos de la Tabla 3.6)
90 F
,.,......
80
.. " /.,
70
/
60 50
\'\
.I
e c
\
/
\ \\
\
Polfgono de frecuencia~ /
\ .........
\I
i
4
/
e
\'"
3 n
2
o
\
\
c
a.
\
~:........,,&..:......,~....:...-~....:...-~....:...-r\;-;,..:-::;::h:.....:....n:h:.....:....="".'....::.
L..--......oll::••.:;; •••.":;:--":....,,_ ..• ••.
9.5 4.5
"\. ......
39.5
14.5
49.5
44.5
1......;-;'"""":
59.5 69.5 7.5 89.5 99.5 Lfmites reales de c1ase 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5 .104.5 Marcasdeclase(X )
Gnifica 3.1
fQente euadro 3.4
Para dibujar el poligono de :frecuencia trasladamos las marcas de clase (Xi) a los techos de los rect8ngulos y luego las unimos con una linea punteada iniciando y terminando en el eje
''X''.
UNIDAD III Estadistica Des:riptiva 87
JesUs Diu Diu
3.2.3.2 GRAFICA DE BARRAS
Es muy similar al histograma. La Unica diferencia es que el ancho de los rect8.ngulos se
hara sobre los Iimites de elase, (no en los lfmites reales de clase como el histograma ) .
90
26.923%
F
80
24.679%
70 e
60 c
16.346%
50 u
40
11.538%
12.179%
e
30 D
20 c 1.602% 0.966%
o 8
2244%
3.526%
0 10
I
19 20
I 29 30
I
, , 39 40 49 50 59 60 60 70 Limites de clase superior e inferior
Gr8fica 3.2
7980
89 90
I 99
Fuente Tabla 3.4
Es muy comun colorear las barras y , ademas ftecuentemente se i anota en ellas el porcentaje que representa cada clase con respecto al total de datos. Las primeras columnas las tomamos de la Tabla 3.6 Clases
10-19 20-29 30-39 40-49
50-59 60-69 70-79 80-89 90-90
Free 3 5 11 36
n 84 51 38 7 312
Xi % porclase 14.5 0.966 24.5 1.602 34.5 3.526 44.5 11.538 54.5 24.679 64.5 26.923 74.5 16.346 84.5 12.179 94.5 2.244 100%
Tabla 3.7
El porcentaje por clase 10 calculamos tiicilmente mediante una regia de tres simple; el caIculo de la primer clase sera: [312 = 100%:: 3 = X]; ''Si 312 datos son el100010 del total, entonces i..3 datos de esta clase que porcentaje sera?" (100X3) / 312 = 0.966% El caIculo del porcentaje de la segunda clase sera:
[312 = 100% :: 5 = X] Y entonces X sera igual a 1.602 % Y as{ sucesivamente para carla clase sustituyendo el valor de la frecuencia.
JesUs DJaz DJaz
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 88
3.2.3.3 GRAFICA CIRCULAR 0 DE PASTEL. Es otra forma de representar una distribuci6n de ,---------------------, frecuencias; se forma
un
cfrculo y se dibujaran en
el a manera de rebanadas de
paste~
tantas como
clases tenga la distribuci6n; pero el ancho de cada rebanada debera ser proporcional al nUmero de elementos que representa con relaci6n al total de elementos de la distribuci6n Grades par Grades Clases Free Xi % porclase 10-19 3 14.5 0.966 20-29 1.602 5 24.5 11 34.5 30-39 3.526 40-49 36 44.5 11.538 77 54.5 50-59 24.679 60-69 84 64.5 26.923 70-79 51 74.5 16.346 84.5 12.179 80-89 38 90-90 7 94.5 2.244 312 100%
crase
acum.
3.4615385 5.7692308 12.692308 41.538462 88.846154 96.923077 58.846154 43.846154 8.0769231 360
3.461538 9.230769 21.92308 63.46154 152.3077 249.2308 308.0769 351.9231 360
Aprovechemos las primeras 4 columnas
que ya calculamos en la Tabla 3.7
Calculemos ahora la cantidad de grados
que corresponde a cada clase ( columna 5)
mediante tma regIa de tres simple. Para la
clase 1 sera:
312 = 360:: 3 =X, es decir, 312 (total de
elementos de la distribuci6n) equivale a
360 grados (total de grados del cfrculo)
entonces, 3 elementos de Ia clase 1,
l,cuantos grados serin?
X= [(360) (3)] / 312 = 3.461538 grados.
As! hacemos ~ las demas clases
sustituyendo en cada cillculo el valor de su
fi'ecuencia y obteniendo los grados de cada
clase.
La columna grados acumulados 1a
calculamos para facilitamos el proceso de
dibujar ya que nos da el dato de donde
termina cada clase siempre con respecto al
ptmto cero grados.
Tabla 3.8 (50-59) = 77 = 24.679%
(4Q.49) = 36 = 11.538%
(30-39) = 11 = 3.526% (20-29) = 5 = 1.602% (10-19) = 3 = 0.96% (90-99) = 7 = 2.244% (60-69) = 84 = =26.923 (80-89)=38= 12.179
(70-79)=51 = 16.346
Grafica 3.3
Fuente Tabla 3.4
UNlOAD III Estadlstica Descriptiva 89
Jes6s Diaz Diaz
3.2.3.4 OJIVA MENOR QUE Y MAYOR QUE. Estas dos graficas son de las llamadas de frecuencia acumulada. Primero bagamos la
ojiva menor que; pero para poder graficarla antes necesitamos realizar ciertos caIculos. De la Tabla 3.6, usaremos las columnas correspondientes a [freeuencia, limite real
inferior y limite real superior]. Enseguida acumularemos fa frecuencia de las clases fonnando Ia columna [frecuencia acumulada Menor que), en la Tabla 3.9.
CLA SES Free L1mites reales Free. Acumulada LRI LRS menor mayor U Ls f
10 20 30 40
19 29 39 49 59 50 60 69 70 79 80 89 90 99 TOT AL
3 5 11 36 77 84 51 38 7 312
9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5
19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5
312 309 304 293 257
3 8 19 55 132 216 267 305 312
Nos colocamos en el primer limite real superior (19.5) y nos preguntamos l.cu8ntOS datos meDores que 19.5 hay?; vemos eo fa freeueocia que son solo 3 que estm entre 10-19 y set,an menores que 19.5. Luego haremos la misma Operaci6n con el Ifmite real superior (29.5). Nos segundo preguntamos l.Cuantos dat
seTm
180 96 45 7
TABLA 3.9
F
R. E
C
350 3nl=
300
267~
U
E N
C I
A
250
150
C
U
100
M
U
L
A
D
A
21~/
200
A
./
/
'/
5/
50 0
312
3 19.5
8 29.5
~ 39.5
49.5
LIMITES
GRAFICA 3.4
!
REALES
59.5
69.5
S UPERIORES
OJIVA MENOR QUE
79.5
89.5
99.5
UNIDAD III Estadistica Dt3criptiva 90
JesUs Diaz Dlaz
Ahora para graficar la ojiva mayor
qu~,
necesitamos los datos de la columna frecoencia
acumulada mayor que, que para este prop6sito calculamos en Ia Tabla 3.9
Para calcular la colunma freeueneia acumulada mayor que, nos colocamos en el primer limite inferior de la distribuci6n (9.5) y nos preguntamos l,Cuantos datos mayores que bay? L6gicamente serin(312). Todos los datos serlin mayores, ya que los mas pequeiios de Ia distribuci6n estan basta Ia clase (10-19) Enseguida vamos a1 segundo limite real inferia (19.5) y DOS preguntamos l.cuantos datos son mayores que 19.5?, serin todos excepto los de la clase (10-19); serin 312-3=309. Luego vamos al tercer limite reat inferior (29.5) y nos preguntamos l,CtW1tos datos son mayores que 19.5?; Ser3n todos excepto los de las c1ases (10-19)y (20-29); 312-3-5= 304. As( seguimos basta el Ultimo limite real inferior, y con los datos resWtantes queda formada la columna frecueaeia aeumuJada mayor que y COD esos datm se graficara Ia ojm. mayor que.
F R E
C U E N C
1 A
A C U M U L A
D
350 312
30,9
304
'1n'2
300-F=====:::::F=----.::;::.:..=::::::::293------------- 250
-~57
I---+---+----+-~~..-------
200 ..L----t-----+-----+-----+----"~Cl"I'I"J'IUr--------- 150
..L----+-----+------+----+----f-~____'I<_-----
~96
100 50
~45
-+---+-------+-----+---+--~-+--_+_----""o".___~
A O-'------l------'------'-------L.-------L..-----L-..
9.5
19.5
39.5
29.5
I, I MIT E S
GRAFICAl.5
R F. A 1. F. S
49.5
59.5
J N F F. R lOR F. S
OJIVA MAYOR QUE
69.5
L - -_ _
79.5
89.5
UNlDAD JII &tadistica Descriptiva 91
JesUs Diaz Diaz
3.3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y OTRAS MEDIDAS DE POSICION Llamamos medidas de tendencia central a aquellos valores que calculamos de tal manera que un solo valor puedan ser representativo y descriptivo de la poblaci6n a que se refiera. A estos valores calculados tambien les ltamamos promedios y en este punto veremos: media, mediana, moda, media geometrica, media ponderada y otras medidas de posicion como son los cuartiles, deciles y percentiles.
Cada uno de los diferentes promedios (como veremos en cada subtema) se utiliza para datos con caracteristicas especificas. Calcular un promedio en datos no propios para ii, nos neva a resultados no muy precisos, erroneos y en ocasiones incluso il02iCOS.
3.3.1·NOTACION SUMATORIA (L). Antes de iniciar con las medidas de tendencia
ce~tral
recordemos algo de la notaci6n
sumatoria.
Este simbolo 0::) (sumatoria) indica adicion. Por ejemplo:
~i X
12 ~ X ~ 10; X
EZ
~ = (Sumar todos los nUmeros X, tal que X es mayor 0 igual a 10 y X pertenece a los enteros)
igual a 2 y menor 0
= (2+3+4+5+6+7+8+9+ 10) =
54 n
L
(Xi .YI)
=
( Sumar desde el primero basta el Ultimo todos los resnltados del producto de cada
;=\
ex. .V
ji)
donde i = ( 1,2,3 .... n)
= (Sumar desde el primero basta el Ultimo de los resultados de multiplicar ( f",XI ) n
donde i = (1,2,3 ... n); yel resuJ:tado de la sumatoria dividirlo entre n.
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 92
JesUs Diaz Dia.z
3.3.2 MEDIA ARITMETICA La media aritmetica de un grupo de datos ( X) es 10 que muy comunmente llamamos
promedio. Se obtiene seg(In sean los datos 00 agrupados 0 agrupados.
Media aritmetica para datos no agrupados. n
Se obtieoe mediante
N
LXI ;=) -
X=
-
0
U
La media aritmetica (x) para datos no agmpados es igual a la soma de valores desde el primero basta el Ultimo de los datos, dividida entre el niunero total de datos.
EJEMPL03.2 Cwil sera el promedio general (media aritmetica) de un alumno que el semestre pasado obtuvo sus calificaciones como sigue:
"F-------------------------..,
Matematicas 11 = 85 Fisica 1
X
87
=
Prob. Y Estad.
=
80
Metodologia
=
95
Quimica 1
=
76
85 + 87 + 80 + 95 + 76 =
423
_
5
=
84.6
5
• n = 5 datos (materias)
Media aritmetica para datos agrupados
Se obtieoe mediante
II
-
n
L -
fiXi
;=)
X=
n
La media aritmetica (X) para datos agmpados se obtiene multiplicando cada marca de clase (XI) de cada una de las clases por su respectiva frecuencia (fj); luego estos resultados semn sumados desde el primero basta el Ultimo y el resultado de la adici6n sera dividido entre el total de datos (n) = (suma de las frecuencias).
UNIDAD III Estadistica I:briptiva 93
JesUs Diaz Diaz
EJEMPL03.3
Utilizando los datos del problema 1 representados en la Tabla 3.4. calcule el promedio general obtenido por los 312 aspirantes a ingresar a la escuela preparatoria.
Las C I a se s Li Ls
10 20 30 40 50 60 70 80 90
19 29 39 49 59 69 79 89 99
Free Fi
Marca de cJase
3 5 11 36 77 84 51 38 7
fiXi
XI
14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
312
43.5 122.5 379.5 1602 4196.5 5418 3799.5 3211 661.5 19434
primeras euatro columnas podemos tomarlas de Ia Tabla 3.6 puesto que ya las habfamos calcuIado previamente. Si no las hubieramos calculado previamente seria necesario calcularlas para poder obtener (Xi fi) y poder sustituir en la rormula.
La f6rmula de la (X) nos indica multiplicar (Xi fi ), asi formamos la columna No.4. FinaJmente sumamos todos esos dividimos entre n= 312 datos.
datos
y
Total Tabla 3.10
19434 X
=-------- = 62.288 312
3.3.3. MEDIANA Es otra medida de tendencia central (promedio) que utilizamos en algunos casos cuando
en la serle de datos existen valores extremos extremadamente superiores
0
0
aberrantes, es decir valores que son
inferiores con relaci6n a la gran mayoria de los demas datos
y que si calcularamos el promedio mediante la media aritmetica nos mentiria, ya que estos valores extremos, jalaran el valor promedio fuera del valor 16gico de la mayoria de los datos.
JesUs Diaz Diaz
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 94
Mediana para datos no agrupados: Se obtiene mediante
a. - Ordenaremos todos los datos en fonna ascendente 0 descendente. I!:::::=====ll b.- seleccionamos el dato que se encuentre justamente a la mitad de la serie de datos y el valor que este tenga sera el valor de la mediana. Por ejemplo si son 25 datos, el dato numero 13, sera el dato central y el valor que este tenga sera el valor de la mediana. c. - En caso que el numero total de datos fuera par, por ejemplo 26 datos, seran los datos 13 y 14, los que ocupen el lugar central y en tal caso, se deberan suma los valores de ambos y dividir entre dos. Este resultado sera el valor de la mediana
EJEMPL03.4 Calcule el promedio de edad de las personas que viajan en un microbus escolar donde viajan un guia y 6 ninos cuyas edades son las que siguen:
Nino 1
6aiios
Nino 2
6 aiios
Nino 3
7 aiios
Tenemos siete datos, seis de ellos muy similares ya que experimentan un crecimiento paulatino y no severo. Pero tambien tenemos un dato extremadamente mayor. E1 promedio mediante Ia media arit:Jnetica sera: 45+6+6+7+7+8+10 89
Nino 4
7 anos
X=
Guia
45 aiios
Nm05
8 aiios
Nino 6
10 aiios
•
=__=12.71 7
7
Este promedio es ilOgico ya que es muy superior a Ia gran mayoria de los datos. Entonces cuando existen datos extremos 0 aberrantes la media aritmetica miente. Y el metodo adecuado sera Ia mediana
Para caJcular fa med.iana primero ordenamos los datos en forma ascendente 0 descendente como sigue: [ 45, 10, 8, L 7, 6, 6 ]. Luego tomamos el dato que ocupe el Ingar central de la sene. En este caso es el 4 0 dato cuyo valor es 7 y asi el promedio mediante la mediana sera
7. Este metodo en casos similares es mucho mas eficiente porque ignora los valores extremos 0 aberrantes y sitUa el valor promedio en el valor del dato central resultando mas confiable.
Si en el ejemplo anterior agregamos otro nino de 8 aiios, al ordenarlos tambien en forma descendente quedarian: [ 45, 10,8, 8, 7, 7, 6, 6 ], y ahora ellugar central de la serie 10 ocupan dos datos, un 8 y un 7. Entonces 10 que haremos sera sumarlos y dividir entre 2 obteniendo asi el valor de la mediana. [ 8 + 7 2
= 7.5
]
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 95
JesUs Diaz Diaz
Mediana para datos agrupados. II
Se obtiene mediante
Me
nl2 = Posicion del dato mediano
(n/2)-"Lf1
Me = Li + ------------------- (C)
fmed.
Mediana
Li
= Limite real inferior de la clase mediana.
n
= Niunero total de datos.
L f) = Su rna de todas las frecuencias acumuladas basta antes de la elase mediana. f moo = Frecuencia de la clase mediana.
(C)
= Tamafio del intervalo 6 anchura de la clase mediana
a.- Primero localizamos el "dato mediano" mediante ( nl2 ). Luego 10 buscamos en la frecuencia acumulada; para ello antes haremos una columna acumulando las frecuencias de clase. b.- Ala clase donde pertenezca el dato mediano Ie Ilamaremos clase mediana y de esa clase tomaremos todos los datos necesarios para sustituir en la formula.
EJEMPLO 3.5 Utilizando los datos del ejemplo 3.1 representados en la tabla 3.4. calcule la mediana de la distribucion de las calificaciones obtenidas por los 312 aspirantes a ingresar a la escuela preparatoria.
Aprovechando que ya previamente 10 calculamos, nos apoyamos en las columnas 1,2,3 y 6 de la tabla 3.9
Clases Free f Li Ls
Free Acum
10 20 30 40
3 8 19 55 132 216 267 305 312
50
60 70 80 90
19 29 39
49 59 69 79 89 99
3 5 11 36 77 84
51 38 7 Total 312
Tornado del cuadro 3.9
Con ( nl2 ) = (312 I 2) = 156 localizamos la posici6n del dato mediano, mismo que buscaremos en la frecuencia acumulada encontrando que basta la clase (50-59) los datos acumulados son 132 por tanto no cubre los 156 que es el dato mediano. Es basta la clase (60- 69) donde se encuentra el dato 156 ya que esta contiene desde el dato 133 basta el 216.. Entonces la clase (60-69) es la clase mediana y de ella se tomaran todos los datos para sustituir en 1a f6rmula y obtener el valor de la mediana.
Li
= Limite real inferior = [ ( Linf + Lsup. clase anterior) I 2 = = [ ( 59 + 60) / 2] = 59.5
C
= (LRS - LRI) = 69.5 - 59.5
=
10
UNlOAD III Estadistica Dew:iptiva 96
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( n / 2) - L f} Me = Li + --------------- (C) fmed.
=
( 312 / 2 ) - 132 (59.5) + ----------------- ( 10) = 62.3571 84
Asi el dato mediano es el dato numero 156 cuyo valor es de 62.3571 NOTA: Si el numero de datos bubiera sido impar, aI aplicar nl2 darla un numero fraccionario pero se procederia de igual forma.
3.3.4 MODA AI igual que en el vestir, en el calzar, en la musica y en muchas cosas mas, donde 10 que mas se repite se dice que esta de moda, tambien sucede en los datos. EI dato que mas se repite es el dato que esta de moda. Y en una serie de datos:
a.- Puede no haber moda. Esto sucede cuando ninguno de ellos se repite. b.- Puede ser que solo exista una moda. Sucede cuando la frecuencia de un dato es mayor que la frecuencia de los demas. c.- Puede ser que existan dos modas. Sucede cuando hay dos datos cuya frecuencia es igual entre ambos, y es mayor que la frecuencia de los demas datos. d.- Y asi puede haber tres 0 mas modas.
Moda para datos no agrupados. Localizamos la moda simplemente buscando el
0
los datos que mas se repiten
EJEMPL03.6
De los siguientes datos indique cual es la moda:
a.- (2,4,5,8, 12, 15) = Ninguno se repite, por tanto es amodal, no hay moda.
UNlDAD III Estadistica Descriptiva 97
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b.- (2, 2,4,4,4, 5, 8, 12, 15) = Es unimodal por hay solo un numero que se repite mas que los demas y es el 4 tres veces, mientras que el dos solo dos veces. c.- (2, 2, 2, 4, 4, 4, 12, 12,) = Es bimodal por que tanto el 2 como el 4 se repiten igual numero de veces, tres veces, mientras que el 12 solo dos veces.
Moda para datos agrupados ~ Se obtiene mediante
dl Mo=Li + -------- (C) d l +d2 d]
=
dz
=
(frn -f]) (frn-fz )
f rn = Frecuencia modal f] = Frecuencia de la clase inmediata anterior a la modal fz = Frecuencia de la clase inmediata posterior a la modal
L;
= Limite real inferior de la clase modal
C
= tamaito del intervalo modal
NOTA: La clase modal la localizamOli por que es Ia que mayor frecuencia tiene.
EJEMPLOJ.7
Utilizando los datos del ejemplo 1 representados en la Tabla 3.4. calcule la moda de la distribuci6n de las calificaciones obtenidas por los 312 aspirantes a ingresar a la escuela preparatoria. Clases Free f Li Ls
10 20 30 40 50 60
70 80 90
19 29 39 49 59 69 79 89 99
3 5 11 36
La clase que mayor frecuencia tiene es la ( 60-69) por tanto semla clase modal, y de ella obtendremos los datos para sustituir en la f6rmula. NOTA: en este ejercicio coincidieron en la clase (60-69) tanto la mediana como la moda, pero para otros ejemplo puede no coincidir asi. Li = Limite real inferior =[ ( Li + Ls. clase anterior) / 2 = [ ( 60 + 59) / 2] = 59.5 C = (LRS - LRl) = 69.5 - 59.5 = 10
77
84 51 38 7
Total 312 Tornado de la tabla 3.4
d1 = Urn-f]) = (84-77) = 7 dz = (frn- f2)= (84 -51)= 33
7 Mo = 59.5 +--------- ( 10) = 61.25 7 + 33
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UNlOAD III Estadistica Descriptiva 98
3.3.5 MEDIA GEOMETRICA
La media geometrica es el metodo mas eficiente cuando deseamos promediar razones, tasas de cambio, crecimientos poblacionales y demas datos que presenten crecimiento geometrico.
Se obtiene II mediante
~
G=
-
G
= Tasa promedio de crecimiento geometrico
n
= Niunero de periodos en que creci6
Cr = Cantidad at final del Ultimo periodo.
-(1)
C1
C1
= Cantidad con que inici6 el crecimiento
II
£1 crecimiento geometrico sucede cuando una cantidad genera otra cantidad extra cada
periodo de tal manera que el siguiente periodo, iniciara con una cantidad mayor que el primer periodo y asi sucesivamente, como sucede con las tasas de interes. Por ejemplo: Si prestamos $200.00 al 25% anual para cobrar el total en dos aiios. Al final del primer ano, ya nos deberan [$200 + 25% de interes = $ 250 ]; iniciamos el 2° aDo con los $250 y cobraremos al final del 2° ano [$250 + 25% = 312.5]. EI interes genero mas interes. Y asi sucede con el crecimiento poblacional y todos aquellos casos donde hay crecimiento geometrico.
EJEMPL03.8 ~
Que tasa de interes promedio anual nos pretenden cobrar si al prestarnos $10,000 el dia
de hoy, deberemos pagar $28,000 cuando se cumplan cuatro aDos? COMPROBACION /\ 4
G
D
Cr C.
=
{28:000'
V 10,000 ~:-~-: -1
=
=
0.293568 29.3568 % anoal
= 4 periodos de un afio c/u = Cantidad final = 28,000 = Cantidad inicia1 = 10.000
ADo Cant. inicial 1 2 3 4
Cant. fInal
10,000 10,000.00 + 29.3568 % 12935.68 12,935.68 + 29.3568 % 16,733.18 16,733.18 + 29.3568 % 21,645.50 21,645.50 + 29.3568 %
= 12,935.68 = 16,733.18 = 21,645.50
= 28,000.00
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 99
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EJEMPL03.9
Unos bi610gos sueltan 200 conejos en una isla para realizar algunos estudios. Un ano
despues realizan un conteo encontrando que la poblaci6n aument6 a
10,900 coneJos.
i,Cucil es la tasa promedio de crecimiento poblacional mensual?
COMPROBACION Cant. final
MES Cant. inicial
-1
= 0.395403 =
39.5403%
n = 4 periodos de un afio cIu
Cr
= Cantidad final = 28,000 C, = Cantidad inicial = 10,000
No son solo los 200 conejos iniciales quienes generaron los 10,900. Tambien coadyuvaron cada generaci6n que llegaba a la edad reproductiva. Por tanto se realiza un crecimiento geometrico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 U
200.00 279.08 389.42 543.41 758.27 1,058.10 1,476.48 2,060.28 2,874.92 4,01l.68 5,597.91 7,811.35
200.00 + 39.5403 % 279.08 + 39.5403 % 389.42 + 39.5403 % 543.41 + 39.5403 % 758.27 + 39.5403 % 1,058.10 + 39.5403 % 1,476.48 + 39.5403 % 2,060.28 + 39.5403 % 2,874.92 + 39.5403 % 4,01l.68 + 39.5403 % 5,597.91 + 39.5403 % 7,811.35 + 39.5403 %
279.08 389.42 543.41 758.27 1,058.10 1,476.48 = 2,060.28 = 2,874.92 = 4,011.68 = 5,597.91 = 7,811.35 =10,899.99 = = = = = =
3.3.6 MEDIA PONDERADA
Muchas veces necesitamos comparar cantidades que son diferentes, ya sea que algunas de elIas tengan diferente grado de dificultad, que sean mas importantes que otras 0 bien que tengan mas relevancia 0 peso que las demas; en estos casos la media ponderada nos permite hacerlo ya que es un promedio 'justo"
Si por ejemplo queremos saber quien es mejor vendedor, Juan que realiza dos ventas por mes, 0 Raul que realiza 16 ventas en el mismo periodo.
Sin mas informaci6n
asegurariamos que Raul es mejor. Pero si luego sabemos que Juan vende bienes raices y que RaUl vende articulos electrodomesticos , ahora ya no es facil decidir quien es mejor, necesitamos un factor que nos permite pesar la dificultad del trabajo de RaUl y el de Juan; a este factor Ie lIamamos ponderaci6n
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 100
JesUs Diaz Diaz
II
II
La media ponderada se obtiene
-
X
N
L(Xi Wi)
w
= Media ponderada
Xi = Cadadato
;=1
-
X
w = --------------
W=
N
La ponderaci6n, 0 bien el peso que se asigna a cada dato
L(Wi) ;=1
••••.•••••••........•..........•••••......••.....••••.•.........•••••••.........•.•••••..........•••..
~ La media ponderada nos permite comparar entre si, datos que presentan diferente ~ : grado de dificultad mediante sus promedios ponderados. Es un promedio "justo" .:
......................•........•...........••...........................................................•. EJEMPW3.10
Sabemos que hace afios, en los Tecnol6gicos se calificaba a los alumnos mediante promedio ponderado y que el departamento escolar tenia una ponderaci6n para cada materia, que representaba el grado de dificultad de la misma.
EI siguiente cuadro muestra las calificaciones obtenidas por dos alumnos. l.Cmil de los dos alumnos se esforzaria mas para haber Iogrado esas caJificaciones? CALIFICACION Alumno 1 Alumno 2
Ponderaci6n
Promedio ponderado Alumno 1 Alumno 2
MATERIA
X1
X2
W
X1W
X2W
Metodologia de la invest. Economia Infonnacion tecnologica
100 90 100 80 80 75 80 605
75 90 70 90 88 98 79 590
1 1.3 1 1.8 1.8 2 1.8
100 117 100 144 144 150 144
75 117 70 162 158.4 196 142.2
10.7
899
920.6
Matematicas '" Fisica II Mecanismos Probabilidad y Estad. TOTALES
Tabla 3.11
899 X
Wi = -------
10.7
920.6
= 84.018; X alumno I
WI
= ------
10.7
= 86.037 a1numo 2
A pesar de que el alumno (1) obtuvo 605 contra 590 de calificaci6n acumulada, se esfon6 mas el alumno (2) por que aprob6 mejor las materias dificiles y asi 10 refleja el promedio ponderado
UNIDAD III Estadistica Deseripriva 10 1
JesUs Diaz Diaz
EJEMPLO 3.11 EI siguiente cuadro muestra las maquinas que para el proceso de troquelado de cofres automotrices, tiene una ensambladora de autos. Ademas muestra la produetividad de dichas maquinas. Maquina tipo
Cantdemaq Productividad
W
(piezas /hora) = X
a
2
18
b
3
c d
2
22 25
4
30
i,CuaI sera la produetividad promedio de esas maquinas? [ W, serala cantidad de IDaquinas de cada tipo ya que dada su productividad afectan la prodncci6n total y con ello la productividad promedio.
Tabla 3.12
( 2 )( 18) + (3) ( 22) + (2) ( 25 ) + ( 4 ) ( 30 ) X w
=
=
24.72 piezas / bora
11
EJEMPLO 3.12
En una fabrica de zapatos el patron decide premiar con un bono en efectivo al mejor obrero de la semana. Puede distinguir facilmente al mejor en cada area de trabajo pues sera el que mas produccion bien hecha entregue, pero no es asi de facil entre obreros de distintas areas por que las actividades son diferentes y tambien diferente es la dificultad y el tiempo de trabajo requerido EI siguiente cuadro muestra las aetividades de la producci6n donde hubo obreros destacados, y presenta tambien los tiempos del promedio industrial para cada actividad. Ademas la produccion promedio diaria del mejor obrero de cada area. otorgarle el bono? Tiempopro Actlvldad medlo Ind. Cortar Piel
4min
promedlo dia rio del mejor
Grado de dlficultad
X
W
XW
138 pares
1
138
Promedio media ponde rada Xw
pespuntar
amin
66 pares
2
132
13216.5= 18.17
horma!
10min
56 pares
2.5
140
14G'6.5= 21.54
4 min
134 pares
1
134
13416.5= 20.61
ensuelar
Tabla 3.13
6.5
AI calcular el promedio ponderado medimos el grado de dificultad del trabajo y asi podemos hacer una comparaci6n "justa", numericamente.
13816.5= 21.23
Y rebajar
adomo
i,A quien debe
Por tanto debera darle el bono a quien horma y ensuela poe que realiz6 mas trabajo y 10 re:t1eja su promedio ponderado, es el mas
alto.
UNlDAD III Estadistica Descriptiva 102
JesUs Diaz Diaz
a.- Tenemos de informaci6n las tres primeras colmnnas.
b.- Para calcular la columna correspondieme a "grado de dificultad w" observamos en la columna 2 ewU es la actividad que menos tiempo requiere. sera ( cottar piel y rebajar con 4 minutos y tambi6I adomar con 4 minutos), entonces a esas dos actividades les asignamos la ponderaci6n de 1.
c. - Luego checamos las demas actividades calculando sus ponderaciones mediante una regia de 3 simple. Por ejemplo [4 min := 1 de ponderaci6n :: 8 min := X de ponderaci6n ] := [(1 X 8)/4] =
~
que
corresponde a la ponderaci6n de pespuntar. Luego igualmente para la ponderaci6n de "Montar en horma y pegar suela haremos la regia de tres. [ 4 =: I :: 10:= X] := [(1 X 10) /4] = 2.5
d. - Enseguida como indica la f6rmula multiplicamos cada X por su W correspondiente y formamos la columna 5.
e. Finalmente dividimos cada dato de la columna 5, cada XW, entre 6.5 que es la suma de las ponderaciones y obtenemos la columna 6 que son los promedios ponderados. Ahora si podemos comparar el trabajo individual desarrollado de igual a igual por su valor numerico y resulta muy objetivo.
3.3.7 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
Son tambien medidas de posici6n. Las empleamos cuando deseamos calcular el maximo valor que haya obtenido digamos el primer 10% de los datos,
0
bien del primer 25% de los
datos 0 pudiera ser del primer 34% de dichos datos. En general con iste metodo podemos
obtener el maximo valor alcanzado basta cualquier punto de los datos ya sean agrupados
0
no.
UNlOAD III Estadistica Dacriptiva 103
JesUs Diaz Diaz
Cuartiles ( Q). Se refiere a cuartas partes de la serle de datos, por 10 tanto cada serie de datos tendra cuatro Cuartiles . Con el QI obtenemos el valor maximo alcanzado por el primer 25% de los datos; con el Q2, 10 alcanzado hasta el 50% de dichos datos; con el QJ, basta el 75% y con el Q4, sent hasta el 1000,10
Deciles (D).
Senin decimas partes de Is: serie de datos y por tanto cada serie tendra 10 deciles. Con el D I podemos caJcular el valor maximo alcanzado por el primer 10% de los datos, con el D 2 hasta el maximo alcanzado por el 20% de los datos y asi sucesivamente hasta el 010 que sera el maximo ~
alcanzado por el 100% de los datos.
Percentiles ( P). Podemos calcular con ellos cada centesima parte de la serie de datos. Con el PI caJculamos el maximo valor alcanzado par el primer 1% de los datos; con el P2, sera del 2% y asi sucesivamente basta el P100 que sera del total de datos.
.......•.•............................................ •....•........•..••.•..•..•...•.••..•...•..•.•
~
.
Si el dato buscado ocupa un lugar que sea multiplo de 25 estaremos calculando un • cuartil, QI, Q2,
OJ 6
Q4.
calculando un. decil, D I, D 2
Si ocupara un lugar que sea multiplo de 10, estaremos .... 010;
Y si ocupara un lugar que sea multipJo de 1,
estaremos calculando un percentil PI, P2, PJ .... P lOo.
I
anterioTes aplica para valores = {X 0::;; X
S;
En todos los casos
100 }.
··· ···· .
·
................................................................•...........•..................•........•· ,
Cuando los datos no estan agrupados y deseamos obtener el valor maximo alcanzado por una parte de eUos podemos obtenerlo simplemente ordenando todos los datos en forma ascendente, en seguida calculamos su posicion mediante el porcentaje planteado y podemos obtener directamente de cil su valor.
,
I
UNIDAD III &tadistica Dcscriptiva 104
Cuartiles (Q), decfles (D) y percentiles (P), para datos agrupados.
Se obtiene mediante
r
(Q, D 6 P) = Lrt+ -
(C)
f(q.d 6 p)
r =Cantidad de datos que toman
de la c1ase en que ocurri6
f = Frecuencia de la c1ase en que
ocuni6
\'
4t = Limite real inferior de la
I
c1ase en aue ocurri6
I
I
j.
,
1
Es la misma f6rmuJa para calcular Q, D 0 P.
EI proceso es similar aJ del ci.lcuJo de la mediana. Por ejemplo si deseamos el primer cuartiI. primero localizamos la posici6n del dato mediante (l~ n ) es decir eJ 25% de los datos, luego bufcamos tste valor en una columna previamente becba de frecuencias. acumuJadas y en la c1ase que corresponda el dato aplicaremos la f6nnula para obtener su valor.
Si deseamos elsegundo cuartil. localizamos la posici6n del dato mediante [(214) n], es decir el 50% de
"n", buscamos en Ia frecuencia acumuJada y aplicamos la f6rmula EI tercer ~ sera COD [( JI.) D).
•
EI decil uno sera con [ (1/10) nJ es decir el 10% de los datos; igualmcnte se busea en Ia frecueDcia acumulada y se aplica la f6rmula. EI segundo dedI con [(2110) n]. EI tercer decil con [(3110)n) as( sucesivamente. Y de igual manera, la posici60 del primer perceDtillo Iocalizamos mediante 1(1/100)D] y su valor, 10 obteDemos al aplicar la f6rmula. El segundO percentil mediante [(21100) oj y si queramos saber el valor niaximo obtenido por el 95% de los datos calcuJaremos la posici6n del dato mediante P 9s = [(95/100) 0 ] , luego aplicaremos la f6rmuJa a Ia clase donde pertenezca y obtendremos el valor buscado.
EJEMPW3.13 Utilizando los datos del problema 1 representados en la tabla 3.3. y aprovechando Ia columna de frecuencia acumulada ya calculada en la tabla 3.8, calcule de los J 12 aspirantes i,cual fue la maxima caJificaci6n obtenida poe Clases
Li 8.-
el primer 25% del grupo?
b.- el primer 50% de ellos?
c.- el primer l00.lo? d.- e180% de los alumnos?
e.- el primer 15% f.- el 95% del total?
1.9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99
Total
Free f
3 5 11 36 77
84 51 38 7
Free
Q
D
P
01
P15
Acum 3
8 19 ·55 132 216 267 305 312
Q1
O2
312 Tabla 3.14
De P95
UNlOAD ID EatadUtica Desaiptiva , 105
8.-
Localizamos lao posici6n del dato correspondiente al 25 % respecto aI total ( 0 sea el primer cuartil), mediante [ (1/4) (312) ]
=
312/4 = 78, enseguida este valor 10
buscamos eli la columna de frecuencia acumulada encontnindolo hasta la c1ase (50-59) que contiene desde' el dato numero 56 hasta el 132. Luego apJicamos la f6rmula: r
23
r
Ql = Lri
+ ----- (C) = 49.5 + --------- ( 10) = 52.48 ~
77
= nlimero de
datos que toma de la clase en que cae. En este caso, cay6 en la clase (50-59) de donde torna 23 datos para quesumados a 55 datos acumulados en clases inferlores, completen los 78 requeridos. r
Entonces 78 aspirantes que corresponden aJ primer
=
(78-55) = 23
25% del total obtuvieron una calificaci6n maxima
hasta 52.48.
b.-
Localizarnos la posicion del dato donde se completa el primer 50% de los datos mediante [(1/2) 312]
=
156. Buscamos este valor en la frecuencia acumulada y 10
encontramos en la clase (60-69) que contiene desde el dato 133 hasta el 216. Luego aplicamos la formula: r
r
132 = 24
.I
24
Q2 = Lri + --- ( C) = 59.5 + ------- ( 10) = 62.35 ~
C.-
= 156 -
84
Entonces 156 aspirantes que son el primer 50% obtuvo una maxima calificacion de 62.35
10% equivale al primer dedI. Siguiendo el inismo metodo ahora calculamos [(1/10) 312] = 31.2. Lo 10caJizamos en la clase (40-49) de la que tomara (31.2 - 19) = 12.2
datos. Aplicamos la formula:
r
12.2
r
D. = L ri + - (e) = 39.5 + ----- ( 10) = 42.89 ~
36
=31.2 -
19 = 12.2
31.2 aspirantes que son el primer 10% de los 312 examinados y obtuvieron un maximo de 42.89 %
J ~$ Diaz Diaz
UNmAn III &taJutica Deseriptiva 106
d.- Ahara procedemos igual, 80% equivale aJ
deciL
encontramos en la c1ase (70-79) y aplicando I fOnnula.:
33.6
r
Ds = Lrt + ---- (C) = 69.5 + ------- ( 10) = 76.09 fd
51
[(8110) 312J
= 249.6 10
r = 249.6 - 216 = 33.6
249.6 alumnos que representan el 80 % en orden ascendente de los 312 alumnos, obtuvieron una maxima calificaci6n de 76.09
e.- EI 15% tendni que ser resuelto por percentiles y sera el percentillS por 10 tanto: [(151100) 312J
=
46.8, Y10 encontramos en la clase (40-49) y su valor sera: r=46.R-19= 27.8
27.8
r P15 =
Lrt + ---- (C) = 39.5 + ------ ( 10) = ~
47.~2
36
46.8 8spirantes son el is% de los 312 examinados. Y obtuvieron un maximo de 47.22 de calificacion
f.- El 95% tendra que ser calculado tambien mediante percentiles. Sera con el percenti) 95. Entonces .[(95/1 00) 312] = 296.4, valor que encontramos en la c1ase '(80-89)
Aplicando la formula tendremos: •
29.4
r
. P95
=
L ri + ----- (C) ~
I r = 296.4 - 267 = 29.4_ _-"
I
=
79.5 + ----- ( 10)0= 87.24 38
El 95% de los 312 aspirantes son 296.4 aJumnos, mismos que obtuvieron un maximo de calificacion de 87.24
,.
i
I
UNlOAD III Ertadistica De.criptiva 107
JesUs Diu Diu
3.4 MEDIDAS DE DISPERSION
La dispersion
0
desviaci6n de los datos es de mucha importancia para conocer mejor como
estos se encuentran distribuidos dentro de la poblacion a la que pertenecen. Esta dispersion
se refiere a "q\Je tanto se desvian (Xi - X)". con relaci6n de la linea de la media. Si por ejemplo, para realizar un trabajo importante una empresa recibe dos candidatos, y son dos alumnos que obtuvieron exa\;tamente el mismo promedio como muestra el cuadro siguiente: En este ejemplo observamos que el Calificaci6n Desviaci6n . Semestre Alumna 1 Alumna 2 Alumna 1 Alumna 2 3 100 75 ..f24.376 - 0.625 4 60 80 -15.625 +-4.375 5 60 75 -15.625 - 0.625 6 100 75 +24.375 - 0.625 7 70 75 ~ 5.625 - 0.626 8 70 75 . 5.625 - 0.625 9 75 75 - 0.625 -0.~5 10 70 75 .... 5.625 - 0.625 0 1;=605 1;=605 0
promedio no nos muestra diferencia entre los dos alumnos, tienen el nusDlO
promedio. las
analizamos
51
calificaciones
observamos que mientras el alumno 2 se mantiene con calificaciones de 75,
el
alumno
inconsistenfe
X =75.62 X =75.62
Pero
ya
1
es
que
muy algunos
semestres obtiene 60 y otros 100, se Tabla 3.15
Alta dispersi6n
c A
va a los extremos.
100
L
baja dispersi6n
F
A1UJDDO 2
80
r
c
X
A
C
A1ulDJlO 1
60
I 0
N
0
2
4
S E ME
6
S T R E
Gnifica 3.6
8
10
UNlOAD III ElllIdiatica Dtariptiva 108
Si calculamos las desviaciones individuales (XI - X) en ambos alumnos (columnas 4 y 5) observamos que, en ambos casos suman cero, y siempre sera asi, por que estamos restando contra la media aritmetica y Iii media aritmetica siempre si situara en el centro de los datos, de modo que al obtener las dispersiones la mitad quedan con valores negativos y la otra mitad quedarim con valores positivos.
Para poder medir numericamente y por tanto, mas eficientemente estas dispersiones· disponemos de varios metodos como son, la desviacion media, la varianza y la desviacion estandar. Todos estos metodos 10 que hacen es eliminar el problema de los signos al calcular las dispersiones y final mente obtener el promedio de dispersion de los datos.
../
.,,"',
;
3.4.1 DESVIACION MEDIA. Con ella calculamos el promedio de dispersion que sufi-en los datos con relaci6n a la linea media. Este metodo se utiliza para evitar que al calcular las desviaciones individuales, es decir al restar cada (XI - X), las cantidades negativas resultantes eliminen a las positivas. Este metodo simplemente aplica a todas estas desviaciones, [lvalor absoluto
I).
Enseguida se procede segim sean los datos agrupados 0 no agrupados aplicando la f6nnula.
Desviacion media pa·ra datos no agrupados.
Se obtiene mediante
/I
L
IXi-
XI
1:1
L"
I Xi - X 1= Sumar dcsde eI primero basta el ultimo
;=1
~d == -----------------
n
las desviaciones individuales en Ivalor absolutol. n = numcro de elementos
* Valor absoluto consiste solamente en elimiDar el signo ncgativo a las canCidades negativu para battrlu pOllitivu
UNlDAD III Estadistica Descriptiva 109
JesUs Diaz Diaz
EJEMPLO 3.14
Con los datos del problema 3.2, ealeule la desviaeion media.
Md =
[
(85 - 84.6) + (87 - 84.6) + ( 80 - 84.6 ) + ( 95 - 84.6 ) + ( 76 - 84.6 ) ] / 5 =
= [(OA) +(2.4) + (-4.6) + (lOA) + (-8.6)] /5 =
Seriaigualacel'O.Paraevitarestoaplicamosvalorabsoluto.
[(OA) + (2.4) + (4.6) + (lOA) + (8.6)] /5 = 26.4 /5 =5.28
Desviaci6n media para datos agrnpados.
Se obtiene mediante
II
n
L
-
[C( I Xi - XI ) ]
1=1
Md = -------------------------
n
-
L
[fi(IXJ-XI ) ] = sumar desde el
1=1
primero basta el Ultimo los resultados de restal a cada marca de clase, su media aritmetica y ese resu1tado multiplicarlo por su frecuencia de clase.
n
r
=
frecuencia de la clase.
n = Niunero de marcas de clase
EJEMPLO 3.15
Utilizando los datos del ejemplo 3.1 representado en la tabla 3.4 a cerea de las ealificaeiones de los 312 aspirantes a ingresar a una eseuela preparatoria, ealeule emil es el promedio de dispersion de los datos usando el metodo de la desviaei6n media.
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 110
JesUs Diaz Diaz
Li
~
Fi
Ls
19 10 20 29 30 39 49 40 59 50 69 60 79 70 89 80 90 99 Total
Podemos apoyamos en las
marcas desviaciones desviaciones individuales valor absoluto crase
Crases Free
3 5 11 36 77 84
51 38 7 312
(Xj
14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
-
Xl
I~- Xli
fj
r I~ - Xlil
47.79 37.79 27.79 17.79 7.79 2.21 12.21 22.21 32.21
-47.79 -37.79 -27.79 -17.79 -7.79 2.21 12.21 22.21 32.21
143.37 188.95 305.69 640.44 599.83 185.64 622.71 843.98 225.47 3756.08
Tabla 3.16
cuatro primeras columnas de la tabla 3.10. y asi ya solo
calcularemos
desviaciones
las
(Xi - X )
y el valor absoluto de esta misma. Ademas tambien sabemos que la media aritmetica vale 62.288 par que la calcuiamos en el ejemplo 3
n
L
[C( I Xi - X I )]
3756.08
J=1
Md =
--------------------------- = --------------
n
=
12.039
312
3.4.2 V ARlANZA (0'2)
Tambien calcula el promedio de dispersion que sufren los datos con relacion a la linea media, solo que el valor de este promedio 10 expresa al cuadrado.
El metodo de la varianza para evitar que al restar (Xt - X), las cantidades negativas eliminen a las positivas es elevar al cuadrado cada uno de los resultados de (Xi - X), asi todo signo, quedara positivo. Y en seguida se procede segUn sean los datos, agrupados no agrupados, aplicando la formula correspondiente.
0
UNIDAD ill Estadistica Deseriptiva 111
Je&is Diu Diaz
Varianza para datos no agrupados.
n
Se obtiene mediante
L
II
( Xi X i
= Obtener las desviaciones
;=1
individuales, elevar cada una de elias at cuadrado y sumarlas.
n
L
(Xt-Xi
;=1
a
2
--
------------------- n = numero de datos.
n
EJEMPLO 3.16
Con los datos del ejemplo 3.2 calcule la varianza de las calificaciones.
n
L
i
(Xt X
(O.4i + (2.4)2 + (-4.6)2 + (10.49)2 +(_8.6)2
211.08
1=1
cr
2
=----------------- =------------------------------------------------ =------- = 42.21 5
n
unidades cuadradas
5
Varianza para datos agrupados
Se obtiene mediante
II
Podemos n
observar
que
todas
las
il
formulas para datos no agrupados y
a 2 = ----------------------
agrupados son iguales, 10 Unico que
L
[fi(Xj- X
1=1
n
cambia, siempre, es que en las formulas de datos agrupados en el numerador encontraremos ( Ii ) .
UNlOAD III Estadistica Desaiptiva 112
EJEMPLO 3.17 Utilizando los datos del ejemplo 1 representado en la Tabla 3.4. calcule emil es el promedio de dispersion de las calificaciones de los 312 aspirantes, usando el metodo de la vananza. Clases Li
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ls
19 29 39 49 59 69 79 89 99 Total
Xi
14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
3 5
11 36 77 84 51 38 7 312
I( Xi -)0
(Xi -
-47.79 -37.79 -27.79 -17.79 -7.79 2.21 12.21 22.21 32.21
Ai
2283.88 1428.08 772.284 316.484 60.6841 4.8841 149.084 493.284 1037.48
t(X;- Ai 6851.65 7140.42 8495.13 11393.43 4672.68 410.26 7603.29 18744.79 7262.39 72574.04
ya
que
Aprovechamos
Desv.
Free fi
calculamos las pnmeras
CInCO
columnas de la tabla 3.16 solo haremos 10 que resta para poder sustituir en la formula.
Elevamos las desviaciones cuadrado
(~
-
- A)
2 I
al
luego las
multiplicamos por su frecuencia Cuadro 3.17
y final mente sumamos. 72,574.04
1=1
2
cr = ------------------------ = -------------- =
232.61 unidades al cuadrado
312
n
3.4.3 DESVIACION ESTANDAR Para datos agrupados y no agrupados Se obtiene mediante
La desviacion
II
estandar la obtenemos
simplemente de la raiz cuadrada de la
~
varianza, tanto para datos agrupados como en no agrupados.
UNIDAD III &tadistica De:;eriptiva 113
JesUs Diaz Diaz
EJEMPLO 3.18
Calcule la desviaci6n estimdard (0') para los datos del ejemplo 3.2 [Son datos no agropados]
Podemos apoyarnos en los datos
a=~
F=60497
obtenidos en el ejemplo 16 donde ya calculamos la varianza para estos mismos datos. Asi ya solo es necesario obtener la raiz.
EJEMPLO 3.19 Calcule la desviaci6n estimdar (0') de los datos del ejemplo 3.1 representados en la tabla 3.4 [son datos agrupados ]
Podernos apoyamos en los
232.61
15.25 datos obtenidos en el ejemplo 17 donde ya calculamos la vananza para estos mismos datos. Asi ya solo es necesario obtener la raiz.
desviaci6n estandar, en vez de N calcuJaremos con (n-l) por que el valor resultante representa WI estimador mejor de la poblacion de la que file extraida la muestra.
Tambien puede obtenerse WI buen estimador para muestras menores de 30 observaciones si utilizamos la primer definicion, es decir dividir entre N y el resultado mnltiplicarlos por acostumbre ntilizar siempre la formula primera cuyo denominador es N.
~ N-1 N
De aqui que se
UNlDAD III Estadistica Descriptiva 114
JesUs Diaz Diaz
3.5
usa
DE LA COMPUTADORA EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE ESTAD(STICA DESCRIPTIVA.
Existen en el mercado diversos programas profesionales de computo para la solucion de estos problemas, pero en ocasiones se dificulta obtenerlos. Por 10 anterior y considerando que la inmensa mayoria de las micro computadoras en la actualidad tienen instalado el ''Excel'', que es una hoja de calculo muy potente y que con poeas instrucciones nos ayuda a realizar los caIculos engorrosos de la estadistica estudiaremos aqui el procedimiento que debe seguirse para tal fin, y 10
descriptiva,
haremos a la vez que solucionamos el siguiente problema.
EJEMPLO 3.20 Utilizando el paquete Excel calcule la desviacion estandar y dibuje algunos graficos para los datos del problema numero 1 representado en
la Tabla 3.4 consistente en las
calificaciones de los 312 aspirantes a ingresar a una escuela preparatoria. Para calcular la desviacion estilndar aplicaremos su formula: Por que sabemos que la desviacion estilndar es igual a la raiz cuadrada de la varianza. Asi
n
L
[tj ( Xj
-
Xi]
j=\
primero calcularemos las ( Xi ), luego (fi Xi) para con ella calcular la (X ). Enseguida sera (
cr n
X Ji - X ), luego sera al cuadrado (Xi - Xi, 10
anterior 10 multiplicamos por su frecuencia, efectuaremos la suma de todo, dividimos entre (n) y extraemos raiz cuadrada.
Pasos para: 1.- Entrar al Excel ~ Presiona menu INICIO ~ Programas ~ Microsoft Excel
ijNIDAD III &tadlstica Desriptiva 115
JesUs Diaz Diaz
Pr:ocedimiento para utilizar excel en la solucian de problemas de estadistica eJescriptiva. C8Iculo mediante excel de la desviaci6n estandar para los datos del ejemplo 1 representado en 18 tabla 3.4 Acci6n PosiciOn I
Al
2 3 4 5
A2
B2 A3 A4
6
A4
7 8
B3 B4
9
B4
10 II 12 I3 14 15 16 17 18 19
C2 C3 CI2 D2
E2 E3 E3 E12
20 21 22 23 24
EI4 EI5 F2 F3 F3
25
G2 G3
D3 D3
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
H3 H3 H12 Gl4 H14 G16 Hl6
1
C3
2 3
G3 H2
ACTIVIDAD Seleccione las ceIdas Al Y BI y eon el ratOn seleccione e ieono (combinar centrar). Escriba "CLASES" ·EsCriba Ii Escriba Ls Escriba el primer limite inferior ( 10) En el ejemplo el tamaf10 de clase es 10. par tanto Lx", incrementara de 10 en 10. Escriba: = A3+IO enter Posicionado eon eI rat6n en eI 8ngulo inferior izquierdo de Ia ceIda "arrastre" basta All. A,parece~ los Li Escriba eI primer limite superior (19) Como el tamafl.o de clase es 10, este limite tambien incrementani de 10 en 10. Escriba: =B3+lC enter Posieionado con el ratbn en el8ngulo inferior izquierdo de Ia ceIda "1IJT8SIre" basta Bll. Aparecer8I: los Ls. Escriba fi A partir de ~ celda y bacia abajo, escribitlas frecuencias: 3,5,11,36; 84. 51, 38.7 Con el ratOn seleccione el leono sumatoria a:> enter. aparece la suma de frecuencias.
EscribaXi
Escriba: =(A3+B3)12 enter
Posieionado con el rat6n en el lIngulo inferior izquierdo de Ia ceIda "arrastre" basta Dll enter
Escriba: fiXj
EscnlJa: =C3*D3 enter
Posicionado con el rat6n en el Angulo inferior izquierdo de la celda "arrastre" basta Ell enter
Con el rat6n seleccione el icono sumatora eL) y baga clie, luego enter aparece Ia suma de IB
columna.
Escriba: Xmedia=
Escriba: =112/312 enter
Escriba: Xi-Xm entfr
Escriba: =DJ...62288 enter
Posieionado con el rat6n en el8ngulo inferior izquierdo de la ceIda "8IllIStre" basta Fll enter
Escriba: (X"t-Xmedi
Escriba: =F3*F3 enter
Posieionado eon eI ratOO en el 8ngulo inferior izquierdo de Ia ceIda "arrastre " basta GIl enter
Escribe: ft(Xi-Xmed)l
Escriba: CJ*G3 enter
Posicionado con el rat6n en el8ngulo inferior izquierdo de la ceIda "arrasIre .. basta HII
Seleccione el icono sumatoria eL) enter
Escriba: VarillllZa =
Escriba: =HUIJ12 enter.
Escribe desv. st. =:
Escriba: =raiz 014 enter Aparece eI valor de la desviaci6n est8ndar.
GRAFICOS
Marque eon el ratOn desde (3 basta ell y a Ia vez desde D3 HASTA DU.
n.
=
Con el ratOn se1eccione el leono de grSficos
En el monitor aparecenln todas las instrucciones necesarias para seleccionar y terminar los gnificos
deseados
Jesus Diaz Diaz ..
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 116
Monitor de una computadora fuego de baber efectuado los clIcuJos para la obtencion de la desviacion estlindar mediante el uso de "excel" con el procedimiento de Ia pligina anterior
..•...............•.•....................................................•.......•.......•............
··
: TIP ··
Cuando deseemos hacer una operacion matematica en excel, debemos
posicionamos en la celda en que queramos el resultado, luego eseribir el signo igual = y enseguida la operacion deseada, por ejemplo [ = 56/2 enter], 0 bien indicando las eoordenadas de las cantidades que se desean ealeular, por ejemplo [ =C3+D3 enter ]. Esta ultima forma de eseribir tiene una gran ventaja ya que si necesitaramos hacer la misma operacion para cada pareja de renglones de las mismas eolumnas, despues de obtener eI primer resultado regresamos a la misma eelda y tomando con el raton el cingulo inferior izquierdo, haciendo clie y sin soltar, "arrastramos" es decir, movemos el : raton hasta el ultimo renglon necesario y automaticamente se realizanin todos los : calculos. :
·· ·· ..
··· ·· Si deseamos sumar todos los datos de una columna, solo tenemos que marear con el · raton todos los datos y luego hacer die en el ieono:L. ··· .
· ". ". ".. " "." """"""""""" """ """""" "" """"""""."""""" .. """"""""""""""""""".""""" """ """"" "" w
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 117
JesUs Diaz Diaz
3.6
RECOMENDACIONES DIDACTICAS Y BmLIOGRAFIA DEL CAPITULO.
Luego de haber analizado esta unidad es recomendable practicar resolviendo diversos problemas.
Los datos para estos problemas pueden ser tomados de los censos, revista, peri6dicos
0
cualquier otra fuente bibliognifica
0
hemerognmca de que se
disponga.
Tambien es recomendable levantar una encuesta en un grupo social en cuanto a ingreso, estatura, escolaridad, etc. y con esos datos practicar todo el proceso estadistico y mejor aim si empleamos el paquete excel.
BmLIOGRAFIA DEL CAPITULO FREUND Williams Perles. "Estadistica para la administraci6n con enfoque modemo" Ed. Prentice Hall, 58 edici6n, Mexico 1990 SAID Infante Gil.
''Metodos estadisticos" Ed. Trillas, 28 edici6n,
Mexico 1994 WEIMER Richard C. "Estadistica" Ed. espafiol, Mexico 1996
CECS~
1a edici6n en
UNIDAD III Estadistica Descriptiva 118
JesUs Diaz Diaz
3.7
RESUMEN
La estadistica descriptiva es una serie de metodos y tecnicas cuya funcion es recopilar informacion, organizar los datos recopilados, presentar los mismos en una forma clara, realizar el amilisis de dichos datos e interpretar eficientemente la informacion.
Una vez que los datos hayan side recopilados, hay que organizarlos. Y una de las mejores formas es mediante una distribucion de frecuencia que consiste en agrupar los datos en varias c1ases de elementos con caracteristicas similares. Para haeer estas distribuciones de frecuencia no hay reglas, pero se recomienda: a) no menos de 4 ni mas de 15 clases. b) que cada elemento pueda caer solo en una clase. c) Si es posible hacer clases de igual tamafio.
Para presentar la informacion es recomendable recurrir a los "graficos" como son el Histograma y su poligono de frecuencia, el grafico de barra, el circular
0
bien a las ojivas
que son de frecuencia acumulada.
Los promedios son datos que la estadistica descriptiva puede proporcionarnos: La media aritmetica es el promedio que ofrece mejores caracteristicas matematicas, es el valor que
mejor representa a un gropo de datos, pero tiene un inconveniente que se desvia y miente cuando en los datos existen valores extremos
0
aberrantes, en esos casos es mas confiable
la mediana que se obtiene simplemente partiendo en dos la serie de datos, asi en numero que ocupe el lugar central, el valor que este tenga, sera el valor de la mediana. Existe tambien la moda que se usa para calcular cual es el valor que mas se repite en la serie de datos.
Tambien muy importante es la media geometrica que se usa para calcular promedios en datos que presentan un crecimiento geometrico como en tasas de interes, crecimientos poblacionales y muchos otros.
UNlDAD III Estadistica Descriptiva 119
JesUs Diaz Diaz
La media ponderada con frecuencia es usada ya que permite comparar datos aim cuando
sean diferentes, aim cuando algunos de ellos tengan mayor importancia, grado de dificultad o peso especifico, es un promedio "justo".
Y los cuartiles, deciles y percentiles, que son tambien medidas de posicion y nos penniten
saber el valor maximo alcanzado hasta cualquier punto de los datos. Se utilizan segUn se requiera, si son cuartas, decimas 0 centesimas partes de la serie de datos.
Los promedios nos proporcionan informacion importante de los datos, pero aunado a las medidas de dispersion , tenemos un mejor panorama de como estan distribuidos dichos datos. Las medidas de dispersion calculan el promedio de como se dispersa cada dato con relacion al promedio, es decir que tan lejos esUin, consistentes pueden ser,
0
10
que nos pennite ver que tan
en su defecto, que tanta diferencia existe entre elIos,
10
que para
toma de decisiones es elemental.
Las medidas de dispersion que aqui tratamos son la desviacion media, la varianza y la desviacion estandar.
UNIDAD IV
Variabks abtocias y Distribuciones de probabilidad discreta 120
-UNIDAD CUATRO
4
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA. 4. 1 Introducci6n. 4.2 Distribuciones de probabilidad.
4.3 Valor esperado de variables aleatorias discretas.
4.4 Varianza y desviaci6n estimdar de una distribuci6n de
probabilidad discreta.
4.5 EI proceso de Bernoulli
4.6 Distribuci6n Binomial.
4.7 Distribuci6n geometrica.
4.8 Distribuci6n hipergeometrica.
4.9 Distribuci6n Poisson
4.10 Aproximaci6n de Poisson a la binomial
4.11 Aplicaci6n de tablas para la soluci6n de distribuciones
binomiales y de Poisson
4.12 Recomendaciones didacticas y bibliognificas del capitulo.
4.13 Resumen.
UNlOAD IV
JesUs Diaz Diaz
Vm.Lb abtmas y Distribuciones d.e probabilid.ad. discreta 121
4.1 INTRODUCCION
AI realizar un experimento podemos obtener resultados cualitativos y cuantitativos. Estos resultados obtenidos siempre debenin someterse a un amUisis. El analisis estadistico nos exige saber relacionar los resultados de un experimento con numeros reales que son mas faciles de analizar. Y es el concepto de variable aleatoria 10 que nos permite pasar de los resultados experimentales a una funci6n numerica de los resultados. Lo analizaremos con el siguiente ejemplo:
EJENJPLO 4.1
Tenemos el caso de un ingeniero en control de calidad que sometera a pruebas de resistencia 4 zapatos que fueron tornados al azar de una linea de producci6n. Debera clasificarlos segiln las normas como aprobado (A) 0 rechazado (R), por 10 que los resultados que puede esperar son resultados cualitativos: AAAA RAAA ARAA AARA AAAR
Asi el espacio muestral siguiente constara de 16 posibles
RRAA RARA RAAR ARRA ARAR AARR
resultados que podemos obtener mediante un diagrama de
RRRA RRAR RARR ARRR
RRRR
arno1:
Para poder realizar un analisis estadistico eficiente, es necesano que estos datos cualitativos sean convertidos en valores numericos. Entonces 10 que deberemos hacer es asociar con el numero de zapatos rechazados, un unico numero real a cada resultado, que sera justamente el numero de zapatos que pudiera resultar rechazado al analizar la muestra de los cuatro, y por tanto hay cinco valores posibles que puede tomar esta variable aleatoria: X =
{
0, 1, 2, 3 Y4 }.
Entonces una variable aleatoria es una regIa 0 funci6n que asigna un unico numero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.
JeU Diaz Diaz
UNlOAD IV
Variables aleatorias y Distribuciones de prMiIidad.
Las variables aleatorias se denotan mediante una letra mayUscula, por ejemplo X, mientras que los valores que esta pueda tomar se escribinin con letras minusculas 0 numeros. Cuando los valores que puede tomar una variable aleatoria podemos enlistarlos uno a uno y, graficarlos punto por punto, decimos que es una variable aleatoria discreta. Y si no pueden ser enlistados todos, a la variable se Ie denomina variable aleatoria continua. EI hecho que no se puedan enlistar punto por punto, es por que este tipo de variables pueden tomar cualquier valor dentro de cualquier rango aUn por pequeno que este sea. EI numero de personas que asistinin a la final del futbol mexicano, el numero de l
0
pesos sera una variable continua. Por ejemplo si queremos enlistar punto a
punto los valores que puede tomar la variable aleatoria del peso entre 1 y 2 gramos, no podemos hacerlo porque puede tomar un infinito numero de valores, ( 1.1, 1.01, 1.001, 1.000000001,
,2 )
4.2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una distribuci6n de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que pudieran obtenerse cuando un experimento aleatorio se realiza. Este listado resulta de asociar a cada uno de los valores que puede tomar una variable aleatoria discreta su probabilidad de ocurrencia, generando una tabla de probabilidades que consta de dos columnas, la primera que representa los valores que puede tomar la variable aleatoria discreta y, la segunda contendni las probabilidades asociadas.
EJEMPL04.2 Con los datos del ejemplo 4.1 construya una tabla de probabilidades probabilidad.
0
distribuci6n de
Variables aleatorias y Distribuciones de probabiJidad discreta 123
UNIDAD IV
Jam Diaz Diaz
x
conteo
P(x)
0
1
1/16
1
1111
4/16
2
lllll 1
6/16
3
llll
4/16
4
1
1/16
Total
16
16/16
Tabla 4.1
·:......••••...............................................•....
. Notemos que existe una gran diferencia entre 10 : ·· .. : que es una distribuci6n de frecuencias (vista en la : ·· .. : unidad 3) y 10 que es una distribuci6n de : ·· ..: : probabilidad. ·· .. : La distribuci6n de frecuencias se genera de las : ··: frecuencias realmente observadas cuando se llev6 a ..: ··· ... : cabo un experimento, mientras que una distribuci6n : ·· .. : de probabilidad es un listado de las probabilidades : ··· .. : de todos los posibles resultados que pudieran :. ·· .. : obtenerse si el experimento se llevara a cabo. ··........... .. ...... . .. .. ..:
EJEMPL04.3 Una empresa de mudanzas durante un periodo de 41 dias laborables a llevado una estadistica de los servicios que Ie requirieron seg(m la distribuci6n de frecuencias siguiente:
Cantidad demandada
Dumero de dias
Esta compaiiia ha observado que el comportamiento
0 1 2 3 4
1 4 8 10 9 6 2 1 41
del mercado ha sido muy parecido en cada periodo de
5 6
7 TOTAL
Tabla 4.2
La probabilidad de (x) para cada valor que puede tomar la variable aleatoria estaci en funci6n de la proporci6n de dias de demanda en relaci6n al periodo analizado.
41 dias que se ha analizado.
Transforme los datos anteriores en una distribuci6n de probabilidad para los siguientes 41 dias. Demanda posible (x) 0 1 2 3 4
5 6
7 TOTAL
Numerode Probabilidad Probabilidad P(x) Ph) dias 1 4 8 10 9 6 2 1 41
1/41 4/41 8/41 10/41 9/41 6/41 2/41 1/41
Tabla 4.3
0.024 0.098 0.196 0.244 0.22 0.146 0.049 0.024 1.000
Jesm Diaz Dlaz
EJEMPLO 4.4 Represente 1a distribuci6n de probabilidad anterior mediante un histograma y mediante un gnifico de ptmto. p r 0.2
....--
"-'
P r
-
0
b
0
a 0.1
'!'
0.2
b
f--
b
I
a
.--
b
h
(x)
r-
1
0
2
3 4 5 6 Demanda posible
7
I
0.1
d
a
GrAfka 4.1
Ti p.
i I i
d
En un histograma representamos un
infinito n6m.ero de puntos por tanto no es eficiente para representar va10res discretos. Sabemos que los valores discretos son datos que podemos graficar punto por punto y por tanto 10 correcto es utilizar e1 diagrama de puntos (fig. 4.2) Yno e1 histograma (fig. 4.1).
(x)
•
•
I
I
0 1 2 3 4 5 6 Demanda posible
7
Grifica 4.2
EJEMPLO 4.5
Una fabrica de zapatos produce calzado para cab,allero, y 10 vende de mayoreo por lotes, (Cada tQte tiene 36 pares). SegUn sus normas de calidad carla 10te p1,lede llevar Q1l maximo de
5 defectos 1eves (no filcilmeote perceptibles), y seglin sus estadisticas en cada 100 10tes e1 nfunero de defectos por Iote se presenta en las dos primeras columnas del cuadro siguiente.
Posibles defectos DOr lote
0 1 2
3 4 5 Total
Probabilid.d P(x)
Probabitidad P(x)
1/100 4/100 12/100 20/100
.01 .04
.20
La probabilidad de (x) para cada valor que puede
281100 351100
.28
35
.35
tomar la variable aleatoria esta ~ :fimcioo de la
100
100/100
1
NDmero de Iotes
to 1 4
12 20 28
Tabla 4.4
Elabore una distribuci6n de probabilidad.
.12
cantidad de lotes con determinado oUmero de defectos en relaci6n a cada grupo de 100 lotes.
JesUs Diaz Diaz
EJEMPL04.6 En una ernpresa que vende agua purificada segiIn sus estadisticas el nurnero de carniones repartidores que llegan a surtirse por hora esUi representado en las dos prirneras columnas del siguiente cuadro :
Posibles camiones POr hora
Cantldad de hol'll8 en quesucede
Probabllidad p(x)
ProbabDidad p(x)
0 1 2 3 4 5 8
1 2 4 3 3 2 1 16 horns
1/16 2/16 4/16 3/16 3/16 2/16 1/16 16/16
0.063 0.125 0.250 0.187 0.187 0.125 0.063 1.000
Total
Elabore una distribuci6n de probabilidad
La probabilidad de (x) Jm3. cada valor que puede tomar la variable aleatoria esta en funcion del niunero de horns que sucede, en relaci6n al tiempo total de labores
Tabla 4.5
4.3
VALOR
ESPERADO
DE
UNA
VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA E(X) EL VALOR ESPERADO
Se obtiene r;:==!1I!:::::===========jJ mediante n 1!:::::=====I1 E(X) = LA][P(A])] J=\
E(X) = Valor esperado de X media de una variable aleatoria discreta ~=
0
Cada valor que puede tomar la variable aleatoria
P(XJ = La probabilidad de cada posible valor de la variable aleatoria XI
PRIMERO FORMAMOS LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES (Como ya aprendimos) es decir - Definimos que valores puede tomar la variable aleatoria (X) - Calculamos la probabilidad de ~xito [P(X)] para cada punto posible de la variable aleatoria Y
LUEGO CALCULAMOS ESPERADO:
EL
VALOR
- Y Jm3. ello mnltiplicamos cada poSIble valor de la variable aleatoria (X) por su probabilidad de ocurrencia P(X). Finalmente sumamos todos los [Xp(X)], y el resultado sera E(X)
UNIDAD IV
JesUs Diaz Diaz
variabies aieatorias y Distribuciones de probabilidad. discrela 126
EJEMPL04.7 En un gran hotel, segim sus estadisticas mensuales, el numero de servicios de alimentos a la habitaci6n que piden los clientes (cerrando a la decena mas cercana) estim representados en las primeras dos columnas del cuadro siguiente: Calcule el numero de servicios que Nmnerode servicios 00
P(X)
Niunero F de dias E.
10 20 30 40 50 Total
1 7 15 6 1 30
esperan sean solicitados en cualquier P(X)
XP(X)
dia seleccionado al azar.
1/30 7/30 = 15/30 6/30 1/30
-
0.033 0.233 0.500 0.200 0.033 1.000
.333 4.660 15.0000 8.000 1.650
Tabla 4.6
Esperaran en cualquier dia tomado aI azar 29.643
servicios
de
alimentos
a
la
Lo que se pide es cakular el valor esperado de 00. Para aplicar 50 f6rmula n
E(X)= 2: XiP(Xi),
antes
;=1
necesitamos obtener p(x) (E"'a cada valor de X es decir formar la distribucion de probabilidades, y para ella formamos la columna 3 (ya sea en decimales 0 en fracciones, columna 4). Luego formamos la columna 5 multiplicando cada XP(X) y la suma de estos sera eI valor esperado
habitacion.
Calcule que cantidad de servicios puede esperar en cualquier dia seleccionado al azar, la compania de mudanzas del ejemplo 4.3. En este problema 10 que se esta pidiendo calcular es el valor esperado de servicios. En el ejemplo 4.3 ya calculamos la distribuci6n de probabilidad y ahora nos apoyaremos en ella tomando de la tabla 4.31as columnas 1 y4 Enseguida calcu1aremos: n
E(X)
=
2:X1IP(Xi), y para ello formamos la ;=1
columna 3 multiplicando cada X por 50 P(X) Y finalmente sumamos los resultados, donde obtendremos E(X) = 3.294 .
Demanda Dosible (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 TafAL
Probabilidad Pix) 0.024 0.098 0.196 0.244 0.22 0.146 0.049 0.024 1.000
-
XPOO 0 0.098 0.392 0.732 0.880 0.730 0.294 0.168 EOO=3.294
Tabla 4.7
Cualguier dia esperara 3.294 servicios
/
JesUs Diaz Diaz
UNmAD IV
variables aleatorias y Distribuciones de prOOaWidad. discnta 127
EJEMPL04.9 Una empresa que cuenta con 2 Bobcat (trascabos para demoler y cargar escombro), los renta por dia con todo y operador. Sus costos diarios netos para cada Bobcat cuando no trabaja los estima en $420.00, mientras que sus utilidades netas cuando si trabaja son de $1,200.00 por dia. Segim sus estadisticas mensualmente (24 dias laborales) Ie solicitan equipos en renta como sigue: Este empresano esta considerando comprar Deman da(X) 0 1 2 3 4
No. de dias 1 3 7 7 6 24
P(X)
P(X)
1/24 3/24 7/24 7/24 6/24
0.0417 0.125 0.291 0.291 0.250
hasta 2 Bob cat mas. ; Le conviene comprar los eguipos? Y si es as., cuantos debera comprar? La columna 1 indica que la cantidad solicitada oscila entre 0 Y 4 equipos diarios. La columna 2, muestra el
ninnero de elias en que se repite la cantidad demandada
Tabla 4.8
en el periodo.
EI empresario puede tener dos tipos de perdidas. significara
Si
su
una
eqUlpo
no trabaja
perdida
diaria
de
$420.00, es una perdida por gastos fijos. EI otm tipo de perdida llamado perdida de oportunidad resulta de 10 que deja de ganar por no cubrir la demanda, en este caso, $1,200.00 diarios por cada Bobcat que no tenga cuando se Ie solicite.
En la Tabla 4.9 observamos.las perdidas -', que pueden resultar por tener 0,1,2,3 6 4 equipos disponibles. Por ejemplo si
Posibles solicitudes 0 1 2 3 4
TABLA DE PERDIDAS si tiene si tiene Si tiene 2 maQUinas 3 as 4 nuiQuinas 840 1260 1680 420 840 1260 0 420 840 1200 0 420 2400 1200 0 Tabla 4.9
Perdida esperada por teoer solo dos maouinas Valor Posibles Perdida por Probabilidad solicitudes gastos fijos de demanda esperado 0 P(X) perdida ode oportunidad esperada (X) XPOO 840 0.0417 35.028 0 1 420 0.125 52.50 2 0.291 0.00 0 1200 0.291 349.20 3 600.00 4 2400 0.25 Total = 10 1036.73 Tabla 4.10
UNIDAD IV
JesUs Diaz Diaz
tiene solo 2 y Ie demandan 2 sus perdidas senin $0.00, cOOre exactamente la demanda; pero si Ie demandan 3, entonces dejani de ganar $1,200 por tanto es una perdida; Si tiene 3 y Ie solicitan cero maquinas, sus perdidas senin de ($420.00 X 3)
=
$1,260.00 y
asi formamos la Tabla 4.9
Enseguida
calcularemos
el
valor
esperado 0 perdida esperada teniendo solo sus dos maquinas (Tabla 4.10). Luego haremos 10 mismo para cuando tenga 3 maquinas (Tabla 4.11) y finalmente
calcularemos igual para
cuando tenga 4 milquinas (tabla 4.12).
Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad discreta
128
Perdida esoerada por tener 3 ma JUinas Valor Posibles Perdida por ProbabiJidad solicitudes gastos fijos dedemanda esperado 0 P(X) perdida ode esperada oportunidad XP(X) (X) 1260 52.54 0 0.0417 105.00 1 840 0.125 122.22 420 2 0.291 0 0.291 0 3 4 1200 0.250 300 579.76 Total = 10 Tabla 4.11 Perdida esperada por tener 4 ma luinas Valor Posibles Perdiqaj10Y Probabilidad solicitudes gastosfijos de demanda esperado 0 P(X) perdida ode esperada oportunidad XP(X) (X) 70.06 0 1680 0.0417 1 1260 0.125 157.50 244.44 2 840 0.291 122.22 3 420 0.291 4 0.25 0 0 Total = 10 594.2.2 Tabla 4.12
Donde registre menor perdida, sera el nivel donde mejor Ie convenga estar pues es donde mayor utilidad espera tener.
EI cuadro donde refleja menor perdida es en el que tiene tres maquinas $579.76. Entonces solo debera comprar otra maguina vas. completar 3 Bobcats.
Recordemos que estamos considerando tambien como perdida 10 que deja de ganar cuando Ie piden mas de 10 que puede ofrecer, por tanto la perdida esperada que reflejan los cuadros al buscar el nivel de minimizar la perdida en realidad estan encontrando el nivel donde optimiza su ganancia
Este problema 10 resolvimos mediante el valor esperado minimizando la perdida pero igual de facil hubiera sido si maximizamos la ganancia que sabemos que es de $1,200.00
JesUs ow Diaz
UNIDAD IV
variables aleatorias y Distribuciones de probabJidad. discreta 129
diarios por equipo e igualmente hubieramos obtenido el resuitado que Ie conviene, tener 3 Bobcats.
./
4.4
/
VARIANZA Y DESVIACION ESTANnAR DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA
LA VARIANZA
Se obtiene mediante
II 0
2
(X)
= E(X2) -
[E(X)]2
Donde: E(X2)
= x2 P(X) Uamado cuadrado ponderado
(E(X)r= El resultado de calcular el valor esperado de X y elevarlo al cuadrado
- Primero formaremos la distribuci6n de probabilidades - Enseguida calculamos el valor esperado y el valor ponderado al cuadrado.
Finalmente calculamos la varianza aplicando la formula
LA DESVIACION
ESTANDAR
Se obtiene mediante
Solo necesitamos extraer raiz cuadrada a la varianza para obtener la desviaci6n estandar.
JesUs Diaz Diaz
UNmAD IV
Variables aleatorias y Distribnciones de probabiJidad discreta 130
EJEMPLO 4.10 Calcule la varianza y la desviaci6n esUindar para el numero de servicios de alimentos en la habitaci6n del ejemplo 4.7.
NUmerode senicios
P(X)
XP(X)
-
(X)
10 20 30 40 50 Total
(X)'"
X"'P(X)
En el ejemplo 4.7 ya calculamos el l
=
-
0.033 0.233 0.500 0.200 0.033 1.000
3.33 .333 100 4.660 400 93.20 450.00 15.0000 900 8.000 1600 320.00 1.650 82.50 = 2500 E(X)= 29.643 ~ E(Xi=949.03 Tabla 4.13
valor esperado Jm
por 10 que tomamos las colunmas 1,4 y5 de la Tabla 4.6 y solo calculamos
en la Tabla 4.13 10 que faIta.
La varianza sera: 0'2 (X) = E(X2) - [E(X)J2 sustituyendo valores 0'2 (X) = 949.03 - (29.643i = 70.322 Este resultado significa que en el hotel esperan
La desviacion estandar sera
en
promedio
29.643
solicitudes servicio de alimento a la habitacion con una variacion promedio de 0 2 = 70.322 servicios al cuadrado, 0 bien,
0
= 8.386 servicios.
EJEMPLO 4.11
Con base en los datos del Ejemplo 4.5 calcuJe su varianza y la desviaci6n estandar.
Posfbles defedos
Probabllidad P(x)
XP(X)
x2
x2p(X)
o.
0 1
0 0.04 0.48 1.80
4.48 8.75
porlote
0 I
2 3 4
5 Total
.01 .04 .12 .20 .28 .35 1
0.04 0.24 0.60 1.12 1.75 EOO=3.75
Tabla 4.14
4
9 16 25
Aprovecharemos la distribucion de probabilidad (tabla 4.4). que calculamos en el ejemplo 4.5 y en base a ello:
-
Primero necesitamos calcular el valor esperado con XP(X) resultando E(X) = 3.75
-
Enseguida calculamos el cuadrado ponderado con X2p(X) y sera E(X2) = 15.55
-
Finalmente aplicamos la f6rmula
E(X2}=1~55
JaW; Diaz Diaz
UNmAD IV
Variahles aleatorias y Distribuciones de probabi~dad discreta 131
La varianza sera: 0'2 (X) = E(X2) - [E(X»)2 sustituyendo valores 0'2 (X) = 15.55 - (3. 75i = 1.4875
La desviacion estandar sera:
Este resultado significa que Ia
empresa espera en promedio 3.294 solicitudes servicio de nmdanzas
con
Wl3
variaci6n promedio de
a 1=1.48 servicios
at cuadrado,
0
bien, a=1.219 servicios
4.5
EL PROCESO DE BERNOULLI
Para poder aplicar correctamente las distribuciones de probabilidad discreta que veremos mas adelante, nos ayuda mucho el conocer que es el proceso de Bernoulli.
Jakob Bernoulli encontr6 la conveniencia de un modele de probabilidad general donde engloba todos los experimentos en que se realizan pruebas repetidas y que contienen esencialmente tres caracteristicas:
1.- En cada prueba solo puede existir dos posibles resultados [por conveniencia les lIamamos (exito 0 fracaso»).
2.- Cada uno de los ensayos u observaciones que se lIeve a cabo deberan ser independientes entre si, es decir, no afectar la ocurrencia de los otros.
3.- La probabilidad de exito, que Uamamos (P) y por tanto Ia probabilidad de no exito
(PJ, permanecera constante en cada ensayo que se realice.
JesUs Diaz Diaz
UNlDAO rv
Variables aleatorias yDistribuciones de probabi~d.ad. dUicreta 132
Por ejemplo si quiero saber cuantas ilguilas puedo obtener al lanzar una moneda cinco veces. Podemos observar que sigue perfectamente el proceso Bernoulli por\ que solo existen dos posibles resultados (exito cuando resulta aguila,
0
fracaso si fuese
sel~o); Cada i
vez que lanzo la moneda puede caer en cualquiera de sus dos caras independientemente del resultado obtenido antes y por ello tambien, cada vez que se lance, su probabilidad de exito sera Yz.
Otro ejemplo puede ser el experimento que consiste en seleccionar al azar 100 de entre 10,000 personas que asisten a un concierto de rock y checar cuantas de ellas son fum adores si estudios previos demostraron que el 40% de las personas fuman.
Este es otto caso que sigue el proceso Bernoulli. De cada persona que se Ie pregunte obtendremos solo dos posibles resultados (si, sera exito,
DO,
sera fracaso); Lo que conteste
cada entrevistado no influenciara a los demas, por que son independientes, y a cada persona podemos asociarle una probabilidad de acierto de 4()oJO por los estudios previos, y se mantendra constante en todo aquel que se investigue.
Ahora bien: Si lanzo un dado 20 veces esperando obtener el numero 4, mi probabilidad de acierto cada vez que 10 lance sera 1/6 y no variara en ningiln lanzamiento; P y pC se mantendran constantes por que son independientes. Y cada vez que tire el dado solo puedo esperar dos posibles resultados, si cae en 4, sera un exito, cualquier otro numero,(1,2,3,5,6) sera un fracaso. Entonces sigue el proceso de Bernoulli.
Ahora si extraigo tres cartas sucesivas sin remplazo de una baraja de 52 cartas, esperando obtener tres ases, estamos ante un problema que no sigue el proceso Bernoulli. Cada vez que extraigo una carta obtengo un exito
0
un fracaso, pero tambien cada vez que extraigo
una carta modifico el espacio muestral y por tanto las condiciones para la ocurrencia de la siguiente, por 10 que seran eventos dependientes y P YpC no se mantendran constantes.
UNIDAD IV
4.6
Variables aleatorias y Distribuciones de probabiJidad discreta 133
DISTRIBUCION BINOMIAL
Es una distribuci6n de probabilidad discreta que puede aplicarse proceso de muestreo donde deseamos calcular la probabilidad
cad~
vez que se realice un
de'~btener un determinado
numero de exitos en un numero previamente determinado de ensayos en un experimento que sigue el proceso Bernoulli
II
Se obtiene mediante
r
LA DISTRIBUCION BINOMIAL
DONDE: P(X)
= ProbabiJidad de obtener un determinado niunero de exitos cuando realizamos un determinado niunero de ensayos
n= x=
Nu.mero de ensayos que se real.izar3n Niunero de exitos que se esperan
DC. =
Para obtener 1000s los posibles arreglos tamafto "x", cuando realizamos "n" experimentos.
P=
Probabilidad de exito en cada ensayo u observaci6n.
ONDICIONES PARA PODERSE APLICAR:
I.-La distribuci6n sigue un proceso de Bernoulli.
[Solo hay dos posibles resultados, brito 0 fracaso; P Y pC se mantienen constantes en cada ensayo; y debecln ser pruebas
independimtes.
2. -Se realizar3n una cantidad previamente determinada
de ensayos u observaciones. 3.-Deseamos calcular la probabilidad de obtener un determinado niunero de exitos en "n" ensayos.
II
(l-P) = pc = Probabilidad de no acierto
EJEMPLO 4.12
En una gran ciudad se estima que de cada 100 autos robados se recuperan 60. Estime la probabilidad que de 10 autos robados se recuperen exactamente 3. Es una binomial por que comple con todos los requisitos
= JOe3 (0.6i
(1_0.6)10-3
= 120 (0.216)(0.0016) =
=
0.042
=
1.- Sigue un proceso de Bernoulli: Solo existen dos posibles resultados en cada ensayo (exito si 10 encuentran y fracaso si no 10 encuentran). Para cada auto la probabilidad de recuperaci6n se mantiene constante P=60/100. Son pruebas independientes ya que cada roOO es independiente de los otros robos. 2.- Se realizar3n exactamente 10 ensayos 3.- Calcularemos la probabilidad de obtener exactamente 3 exitos
J(S' Diaz Diaz
UNIDAD IV
Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad disereta 134
EJEMPLO 4.13
Si un estudio realizado en el Tecnologico deterrninara que el 28% de los estudiantes por semana estudian 120 mas hora extra clase. l.qtre probabilidad existiria si seleccionamos al \
\
azar a 15 alumnos y 8 de ellos estudien 120 mas poras extra clase por semana?
Es una binomial por que comple con todos los requisitos
=15C 8
(0.28)8
1.- Sigue un proceso de Bernoulli: Solo existen dos posibles resultados en cada ensayo (exito si estudia mas de 12 horas extra clase y fracaso si no 10 hace). Para cada estudiante la probabilidad de que estudie 12 0 mas horas se estima en P=O.28, y se mantiene constante. Son pruel)3S independientes ya que cada estud.iante es independiente de los demas. 2.- Se real.i.zanin exactamente 15 ensayos 3.- Calcularemos la probabilidad de obtener exaetamente 8 exitos
(1
0.28i 5-8 =
=6435
(0.000038)
(0.100) =
EJEMPLO 4.14 En una sucursal de Bancomer se tiene estimado que el 69% de los clientes que recurren a los cajeros automciticos van a retirar dinero, el restante 31% hacen otras operaciones como depositos, consulta de saldos etc. ( para este ejercicio omitimos a aquellos que hagan mas de una operaci6n ala vez). siendo asi, l.que probabilidad existe de que de los siguientes 20 clientes de
esos cajeros 17 retiren dinero?
P(X)
=
= nex Px (l_p)n-x =
1140 (0.0018)(0.029) =
= 0.0618
Comple con todos los requisitos por tanto es una binomial por que:
1.- Sigue un proceso de Bernoulli: Solo existen dos posibles resultados en cada ensayo (exito si retira dinero y fracaso si no 10 hace). Para cada cliente la probabilidad de que retire dinero se estima en P=O.69 y se mantiene constante. Son pruebas independientes ya que cada cliente es independiente de los demas. 2.- Se real.i.zanin exactamente 20 ensayos 3. - Calcu1aremos la probabilidad de obtener exactamente 17 exitos
UNmAD TV
JesUs Diaz Diaz
Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad disenta 135
EJEMPLO 4.15 SegiIo sus estadisticas una empresa constructora estima que de cada diez concursos de obra eo que participa gana tres de ellos.
~Que
probabilidad tiene de ganar en cinco ocasiones de
los siguientes 8 concursos en que participe si las\condiciones se mantienen? \
P(X) = nCI Px (I-Pf-X =
=
gC 5 (0.3)5 (0.7)8-5
=
= 56 (0.0024)(0.343) = =
,
Cumple COD todos los'requisitos por tanto es una binomial por que:
1.- Sigue un proceso de Bernoulli: Solo existen dos posibles resultados en cada ensayo (exito si gana y fracaso si pierde). Para cada concurso la probabilidad de exito se estima en P= 3/10 = 0.3. Son pruebas independientes ya que cada concurso es independiente de los demas. 2.- Se reali.zar3n exactamente 8 ensayos 3. - Calcularemos Ia probabilidad de obtener exaetamente 5 exitos
0.046
4.7
DISTRIBUCION GEOMETRICA
La aplicamos cuando deseamos conocer la probabilidad de que el primer acierto ocurra en un determinado ensayo. Es decir, si deseamos obtener el primer exito en el "0" ensayo, previamente deben ocurrir (n-l) fracasos. Esta distribuci6n puede ser aplicada solamente en casos con caraeteristicas iguales a las que requiere la aplicaci6n de la binomial
Se obtiene mediante
P(X) = (P) (l_p)X-l
I CONDICIONES PARA PODERSE APLICAR: I. -La distnbuci6n sigue un proceso de Bernoulli. [Solo hay dos posibles resuhados, exito 0 fracaso; P Y pC se mantienen constantes en cada ensayo; son pruebas independientes.
2.- Deseamos calcuIar Ia probabilidad de obtener el primer exito en un determinado nfunero de ensayo.
DONDE: P= I
x
Probabilidad de exito
= Nfunero de ensayo donde queremos calcolar Ia
probabilidad de que suceda el primer exito.
X-I = Nfunero de fracasos que deben suceder antes de obtener el primer exito.
UNlOAD IV
Je:.--us Diaz Diaz
Variables aleatorlas y Distribuciones de probabilidad discreta 136
EJEMPLO 4.16
Con los datos del ejemplo 4.12, calcule la probabilidad de que el primer auto recuperado sea el tercero robado.
P(X) = (P) (l_p)X-l = = (60/100) ( 1 - 60/100)3-1=
= 0.096
Ya vimos, en el ejemplo 4.12 que si sigue el proceso Bernoulli : Aqui 10 que deseamos es calcular la probabilidad de obtener el primer exito en el x=3er ensayo. Entonces aplicaremos la distribuci6n geometrica.
EJEMPLO 4.17
Con los datos del ejemplo 4.13 calcule la probabilidad que sea hasta el decimo estudiante entrevistado, el primero que si estudie 12 0 mas horas extra clase por semana.
Ya vimos en el ejemplo 4.13 que sigue el proceso Bernoulli .
P(X)
=
(P) (l_p)X-l
=
Aqui 10 que deseamos es calcular la probablidad de obtener el primer exito en el x= 10° ensayo. Entonces aplicaremos la distribuci6n geometrica.
- 0.28 (0.72)10-1 = 0.0146
EJEMPLO 4.18
Con los datos del ejemplo 14, calcule la probabilidad de que sea hasta el 5° cliente el primero en retirar dinero de los cajeros automaticos.
P(X) = (P) (l_p)X-l
=
= 0.69 (0.31 i-I = 0.0064
Ya vimos en el ejemplo 4.14 que sigue el proceso Bernoulli . Aquf 10 que deseamos es calcular la probablidad de obtener el primer exito en el x=5° ensayo. Entonces aplicaremos la distribuci6n geometrica.
UNIDAD IV
JesUs Diaz Diaz
Variables aleatorias y Distribuclones de probabilidaJ discreta 137
EJEMPLO 4.19 Con los datos del Ejemplo 4.15, calcule la probabilidad que sea hasta el 3er concurso el primero que pierda la constructora.
P(X) = (P) (1-pl-1 = =
0.7 ( 1_0.7)3-1
=
0.063
Ya vimos en el ejempl04.15 que sigue el proceso Bernoulli . Aqui 10 que deseamos es calcular la probabilidad de obtener el primer exito en el n=3 ensayo. Entonces aplicaremos Ia distribuci6n geometrica. Vimos en el problema 15 que P= 3/10 = 0.3. Pero en este ejemplo,
la probabiJidad de exito sera la probabilidad de que pierda, por que queremos calcular Ia probabilidad de que sea basta el 3er concurso el primero que pierda, entonces: P = (1 - 0.3) =.7
4.8
LA DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.
Se utiliza cuando queremos calcular la probabilidad de obtener determinado numero de elementos de exito en una muestra que extraeremos de una poblaci6n finita formada por elementos tanto de exito como de no exito.
Llamamos "elementos de exito" a aquellos que tiene algunas caracteristicas que nos interesan, mientras que los de "no exito" no las tienen.
Una caracteristica importante para poder aplicar esta distribuci6n es que el muestreo se realiza sin remplazo, por tanto cada elemento que se extrae, modifica las probabilidades para la siguiente extracci6n, ''P'' no se mantiene constante en cada ensayo y los eventos serlin dependientes. Por tanto, no sigue el proceso de Bernoulli, y para estos casos la distribuci6n Hipergeom&rica es la apropiada..
UNIDAD IV
JesUs Diaz Diaz
Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad dmcta 138
LA DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Se obtiene
mediante
II
[(N-X1)C
(n-x)]
[xTCx]
I
P(X N,XT,n) = ---------------------- NCu
CONDICIONES PARA PODERSE APLICAR 1-
2-
No sigue el proceso de Bernoulli por qu~ realiza un muestreo sin remplazo y las probabilidades van variaiiaoen cada extracci6n siendo entonces eventos dependientes.
N n
= Tamaiio de la poblaci6n =
Tamafio de la muestra
XT
= Cantidad de elementos que tienen caracteristicas de exitos dentro de los elementos de la poblaci6n.
x
= Ninnero de elementos de exito que deseamos dentro de la muestra.
[(N-X1)C (u-X)]
Hay una poblaei6n formada por elementos de exito y otros de no
=
Una combinaci6n de (N menos X T) en (n menos x).
exito. 3- Extraeremos una muestra de dieha poblaci6n. 4-
Caleularemos la probabilidad de que la muestra extraida contenga un detenninado niunero de elementos de exito y por tanto, a la vez. detenninado niunero de no exitos.
EJEMPLO 4.20
La flotilla de camiones repartidores de Coca Cola consta de cincuenta camiones en cierta ciudad, de los cuales el 40% [ 20 camiones] emanan excesiva cantidad de gases toxicos. Si un inspector selecciona al azar diez camiones para un chequeo l,que probabilidad hay de que cinco de ellos emanen cantidades excesivas de gases toxicos?
[(N-XT»C (o-X)] [xTCx]
I
P(X N,xT,n) = ------------------- = NCn
[(50-20) C (10-5») [ 20C S)
50ClO
Tenemos una poblaci6n N= 50 camiones de los cuales Xr= 20 emiten cantidades excesivas de hurno. Tomaremos una muestra n= 10 y calcu1aremos la probabilidad de que en dieha muestra resulten X = 5 elementos de exito (camiones que emiten mueho burno). Es un muestreo sin remplazo. No sigue el proceso Bernoulli. Tiene todas las caraeteristicas para ser solucionado mediante una distribuci6n hipergeometrica
UNIDAD rv
J estis Diaz Diaz
Variables aleatorias yDistribuciones de probabilidad d.iscreta 139
boCs) (20C S) (142,506) (15,504) = ---------------------------- = ------------------------------ = 0.215 soC 10 1.027227817 X 1010 -
EJEMPLO 4.21 Un fabricante de Malasia contrata con un cliente en Mexico la venta de 100 monitores de un mismo modelo. Por sus estadisticas el fabricante sabe que el 4 % de sus productos presentan'm fallas, y el cliente exige no mas del 2% de articulos con falla. Si el vendedor se arriesga con estas condiciones y al "I1egar .--el pedido el comprador decide revisar una muestra seleccionada al azar de 50 monitores,
~Que
probabilidad existe de que la venta se
realice? Si
I
fabricante
estima
en
4%
Ia
proporci6n defectuosa de su producto
PARAX=O
P(X N,xT,n)
el
[(N-XT))C
(n-x)]
entonces consideramos que de N=100
[XT CX]
=--------------------=
monitores,
NCo
Xr= 4 vendcin defectuosos
(4%). EI cornprador rnuestreara n=50
monitores y solo aceptani el pedido si aparece no mas del 2% de defectuosos, es decir, aceptara el pedido solo si en la
- ------------------------ =
muestra resulta X= (0) 0 X= ( 1).
Tenemos entonces un problema cuya 27
[5.925514769 X 10 ][1] = ------------------------------- =
soluci6n debeni realizarse mediante la distribuci6n hipergeometrica calculando la
0.059
probabilidad de:
1.008913445 X 1029
[(X=O) + (X=l)] PARAX=I
--------------- -- -------------------
-- 0.250
1.008913445 X 29
PARA X = (0 Ii I)
(0
0
P(O 6 1)
= 0.059 + 0.250 = 0.309 Es la probabiJidad de que solo salgan
1) monitores defectuosos y la veDta se realice
UNIDAD IV
Jesill; Diaz Diaz
Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidacl discreta 140
EJEMPLO 4.22
En una empresa 18 de las 26 secretarias saben usar el "Excel". Si selecciono al azar 8 de ellas que probabilidad tengo de que exactamente 3 de las seleccionadas sepan usar el "Excel"
Este es tambien un caso donde la soluci6n se obtiene
mediante
hipergeometrica porque
distnbuci6n
Ia
Ia
deseamos
probabilidad de obtener X = 3 exitos en una muestra n= 8 que extraeremos de
(56) (816) = ------------------------ = ----------- = 0.029
una
poblaci6n N=26, que esti formada por Xr=18 elementos de exito y 8 de no exito.
1'562,275
4.9
DISTRIBUCION POISSON
Esta distribuci6n sirve como modele para experimentos donde no se reatiza un numero predetenninado de experimentos u observaciones, sino donde los eventos estfm ocurriendo en un espeetro continuo del tiempo y espacio. Mediante esta distribuci6n podemos calcular la probabilidad de la ocurrencia de un numero designado de exitos en un determinado tiempo y espacio.
EI proceso Poisson es semejante at proceso Bernoulli [solo considera dos poslbles resultado (exito 0 fracaso), Py
pC
se mantienen constantes, cada evento es independiente de los demas)
>
solo difiere
en que no realizamos un numero de ensayos y observaciones fijas sino que es un proceso continuo.
Variables aleatorias y Distribuciones de probabiJidad discreta 141
UNIDAD IV
JesUs Diaz Diaz
Se obtiene mediante
LA DISTRIBUCION POISSON '1
x
r.. •
e-I..
P(x) = ------- x!
}., = Promedio de bdlos
para la dimension especifica del tiempo y espacio de interes.
CONDICIONES PARA PODERSE APUCAR 1.- Que sigaun proceso Poiss~. 2.- Con
especifica del tiempo y espacio 1. 3.- Deseamos conocer la probabilidad de que ocurran "x
exitos" en un determinado tiempo y espacio.
4.- La cantidad de unidades que se desee obtener en x deben corresponder a cualquier determinado tiempo y espacio que se emplee pero siempre y cuando el tiempo y espacio en que se presente }., sea el mismo ,y si no, hay que igualarlas.
e = 2.7183 = Base de los logaritmos Neperianos 0 Naturales.
x
=
Niunero designado de exitos
EJEMPLO 4.23
Una casa de cambio recibe en promedio 4 billetes falsos cada mes. l.Que probabilidad existe de que un mes cualquiera reciba 8 billetes falsos?
Tenemos como dato solamente el promedio A. = 4 para un periodo de un mes en un proceso continuo.
AX.
e-I..
(4)8 (2.7183)-4
P(8) = -------- = ------------------- = x! 8!
= 0.0298
Cada evento es independiente entre sl.
Deseamos calcular la probabilidad de que reciba x 8 (exitos = billetes falsos) en un periroo de un meso
=
Supuesto que cumple con el proceso Poisson aplicaremos esa distribucion.
JesUs Diaz Diaz
UNIDAD IV
Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad disereta 142
EJEMPLO 4.24
EI numero detectado y consignado de vehiculos que transportan droga en un reten movible entre Guadalajara y Tijuana promedia 6 cada meso "Que probabilidad existe de que en un mes seleccionado al azar detecten y consignen solo 2 vehiculos con droga en dicho reten?
'AX. e-'J..
(6i
(2~-6
P(2) =------- =----------------- = x! 2! =
0.0446
Tenemos como dato solamente el promedio A = 6 para un periodo de un mes en un proceso continuo. Cada evento es independiente entre si. Deseamos calcular la probabilidad de que detecten x=2 (exitos = vehiculos con droga) en un periodo de unmes. Supuesto que cumple con el proceso Poisson aplicaremos esa distnbucion.
Tip
Cuando se presentan easos en que el promedio (I..) de que disponemos
esta ealeulado para una unidad de tiempo y espacio determinada, y deseamos ealeular Ia probabilidad de obtener (x) exitos en otra diferente unidad de tiempo y espacio, sera necesario ealcular el (I..) eorrespondiente al tiempo y espaeio en que se eneuentre (x). Generalmente una regia de tres simple es sufieiente.
EJEMPLO 4.25
Un sitio de radio taxis recibe en promedio 8 llamadas por hora solicitando servicio para ir fuera de la ciudad. Calcule la probabilidad de que en dos horas solo una vez se solicite el servlclo.
UNmAD IV
JesUs Diaz Diaz
Variabb aleatorias y Distribuciones de probabili.dad. d.iscreta 143
[(16)]1 [2.7183r I6
Tenemos de datos solo un promedio en
P(x) = ------------ = --------:------------
1.800 XI0-6 el tiempo 1. = 8 por hora. Y pide la
(Ay (erA.
x!
probabilidad de x=1 servicio en dos
1!
horns por tanto 1.
=
8
habra que
calcularal para periodos de 2 horas 8:1::X:2
= [(8)(2)]/1 = 16. Entoces 1.=16
para periodos de 2 horns. Ahora si
aplicamos la fOrmula
EJEMPLO 4.26
En una eiudad estiman que 12 es el promedio de naeimientos por hora que ahi sueeden. i,Cual sera la probabilidad de que en un periodo de diez minutos seleccionados al azar se registren tres nacimientos? Tenemos un promedio 1.=12 por hora deseamos calcular la probabilidad de que en 10 minotos sucedan x=3 nacimientos.
(J.y (erA. P(X) --
Tiene las caracteristicas para ser una distribuci6n Poisson.
(2)3 (2.7183)"2
---------- -- ---------------- -
x!
3! =
1. = 12 por hora deberemos adecuarla a periodos de 10 minutos mediante una regia de tres: 12:60::X:I0 = (12X1O)/60 =2; ahora 1. = 2 para periodos de 10 minutos
0.1804
EJEMPLO 4.27
Una empresa productora de vidrio para ventanas estima que la ealidad de su vidrio esta
garantizada a un defeeto por eada 100m2 fabrieados. Si un cliente pide 20 m2 de vidrio,
eual es la probabilidad que Ie surtan eero defeetos?
,------------------------,
Tenemos un promedio 1.=1 por cada 100 m2 y deseamos calcular la probabilidad de que en 20 m 2 sucedan x=O defectos.
(At (erA. P(X)
(0.2)° (2.7183)-0·2
= --------- = ------------- = x!
Tiene las caracteristicas distribuci6n Poisson.
para
ser
una
O! =
0.8187
1.=1 por cada 100 m2. Deberemos calcu1ar 1. para cada 20 m2 mediante una regia de tres: 100: l::20:X = (lX20)/100 = 0.2, ahora 1. = 0.2 para espacios de 20m 2•
UNIDAD IV
Variables aleatorias y Distribuciones de pr
EJEMPLO 4.28
Obras publicas del estado acondicion6 un carril especial para que los vemculos que van a entrar al tecnol6gico esperen hasta que el semiUoro 10 indique. Dicho carril tiene capacidad para cuatro vehiculos y un estudio estadistico encontr6 que en las horas pico en promedio se juntan 7 vehiculos esperando la vuelta. l,Cucil sera la probabilidad de que en una hora pico seleccionada al azar se congestione el trMico por excederse la capacidad del carril?
Q..Y (e)-'P(O)=
=
'f (2.7183r 7
= 0.00091
O!
xl
T (2.7183r7 P(I)=------------ = 0.00638; l! para
igualmente para
P(2) =0.022
P(3) = 0.052 y para P(4)= 0.091
enton£es:
P(O,I,2~ 0
4)
0.00091+ 0.00638
0.052+0.091 =
+ 0.022 +
0.1723
P(AC ) = I-P(A); P(Ac ) = 1-0.1723 = 0.8277 es la
probabilidad de que en una hora pico se junten mas
Es una distribuci6n Poisson, tenemos un promedio de "),=7 vehiculos en un cicIo de luces del semMoro y deseamos obtener la probabilidad de x = 5,6,7,8...... vehiculos en un cicIo de luces. Cualquier cantidad mayor a 4 vehiculos no cabra en el carril y congestionara el tnifico. Deberiamos calcular la probabilidad que se junten 5,6,7,8,9..... vehiculos, pero es mas sencillo calcular P(A)=[P(0)+P(I)+p(2)+p(3)+P(4)] vehiculos, que si caben en el carril y luego empleando P(Ac)=l-P(A) obtendremos la probabilidad de todas las cantidades de autos superior a 4 vehiculos en un cicIo de 1uees del semMoro. x y"). estan considerando el mismo espacio en el tiempo, por 10 que no es necesario modificar nada
de 4 vehiculos en un cicIo de luces del semMoro.
4.10
APROXIMACION DE POISSON A LA BINOMIAL.
Cuando tenemos un problema que se resuelve mediante la distribuci6n binomial, donde el numero de ensayos es muy grande, los calculos se hacen bastante tediosos y mas aun si la probabilidad de acierto es muy pequeiia.
En este tipo de problemas si (n
~
20) Y (P S 0.05) podremos resolverlo mas mcilmente
mediante la distribuci6n Poisson y obtendremos una buena aproximaci6n a los resultados que obtendriamos con la de la distribuci6n binomial Los resultados por ambos metodos son muy similares.
JesUs Diaz Diaz
Se obtiene mediante
illHDAD IV
Variables aleatorias y Distribuciones de pnkbilidad diacrd:a 145
rrll!::============n
(opt enp P(X) = ---------------
X!
n
=
p
= Probabilidad de exito
Nfunero de aeiertos esperado. en cada
ensayo. (np) = E(X) = A. =Numero de aeiertos. 0 bien el promedio.
CONDICIONES PARA PODERSE APLICAR
1. Solo en casos en que puede resolverse mediante ]a binomial. Es decir queremos obtener detenninado niunero de exi.tos en un nfunero determinado de ensayos dentro de lID proceso Bernoulli.
e = 2.7183 = base de los logaritmos Neperianos 0 naturales.
2. - SoIamente si el nUmero de observaciones 0 ensayos es muy grande y la probabilidad de exito 0 la de no exito son muy pequetlas ademas que al multiplicar (npq) resulte mayor que uno. Entonces se puede aplicar si y solo si (n ~ 20), (P ~ 0.5) Yque npq > 1.
EJEMPLO 4.29 Si la probabilidad de que falle un determinado componente e1ectr6nieo at apliearle el voltaje nominal es de 0.001, "emil es la probabilidad de que de un lote de 2000 de diehDs eomponentes fallen tres?
Si resolvemos mediante fa distribucion binomial sera: P(3) = (2000C3) (0.001)3 (1 - 0.001)2000-3 =1331334000) ( 1 X 1O-~ (0.1356) = 0.1805
Si no disponemos de una calculadora grande, resulta muy complicado el cMculo
UNmAD IV
Variahles aleatorias y Distrihuciones d.e prohabiJid.ad dmta 146
Resolviendo mediante la aproximacion de Poisson sera: )
~ Primero checamos si puede aplicarse: n si es grande, es mayor que 20; p si es muy
pequeno, es Menor que 0.05; npq = (2000)
Primero calculamos J.. = E(X) = np= =
(2000) (.001) = luego aplicamos la formula.
(0.001) (0.999) = 1998 por tanto si es mayor que
uno.
Concluimos que si puede aplicarse la
aproximaci6n Poisson por que si comp1e todos
/..,3
P(3) =
e-'A
(23 )(2.7183y2
---------- = ----------------- =
x!
los requisitos
3! P(3) = 0.1804
EJEMPLO 4.30
El aeropuerto de una gran ciudad asegura que todo avion para poder salir de alli, es checado perfectamente para constatar que haya cumplido su programa de mantenimiento y que los pilotos se encuentren en perfectas condiciones fisicas y mentales. En base a ello estiman que la probabilidad de que un avion sufra un accidente grave es de 0.004% . Si de ese aeropuerto anualmente salen 40,000 vuelos y las estimaciones son correctas, i,Ctuil es la probabilidad de en un ano dos aviones sufran un accidente grave?
Si reso1vemos mediante Ia distribuci6n binomial sera: P(3)
=
(40000~) (o.o0004i (1- 0.(0004)40,000-2 = (799980000)(1.6 X10-'1 (0.2019) =
=0.2584 Si no disponemos de una calculadora grande resulta muy complicado e1 cAlculo
UNmAD IV
JesUs Diaz Diaz
Variables aleatorias y Distribuciones de prdJahilidad. discreta 147
Resolviendo mediante la aproximacion Poisson sera: Primero calculamos A. = E(X) = np =
Primero checamos si puede a,brse:
= (0.00004)(40000) = 1.6; luego
n si es grande, es mayor que 20; p si es muy
aplicamos la formula.
pequefio, es Menor que 0.05; npq = (40,000)
(0.00004) (0.99996) = 1.599 poT tanto si es mayor
que uno. Concluimos que si puede aplicarse la
AX e-"A (1.6 )2 (2.7183)"1.6 P(2) = ---------- = ------------ =
aproximaci6n Poisson poT que si cumple todos
21
x!
P(3) = 0.2584
EJEMPLO 4.31 Una empresa que fabrica diskettes asegura que de las plezas que salen al mercado solamente el 0.02% pudieran presentar alguna falla.
Si su estimacion es correcta y un
mayorista compra 50,000 piezas, i,que probabilidad tiene de que Ie salgan 20 diskettes con falla? Si resolvemos mediante Ia distribucion binomial sera: P(20) = (50.000~O> (0.0002)20 (1-0.0002)50,000-20 = (3.905035049 X 1075 ) (1.048 X 10'74) (4.554 X 10'5) = = 0.00186 Si no disponemos de una calculadora grande resulta muy complicado el cilculo
Primero checamos aplicarse:
si
puede
Resolviendo mediante la aproximacion Poisson sera:
n si es grande, es mayor que
Primero calculamos A. = E(X) = np =
20; p si es muy pequeno, es
menor que 0.05;
npq
=
(50,000) (0.0002) (0.9998) =
= (0.0002)(50,000) = 10; luego aplicamos la formula.
9.998 por tanto si es mayor
que uno. Concluimos que si
puede
aplicarse
aproximaci6n Poisson por
que
si
requisitos
AX e-"A
la
cumple todos los
P(2) =
(10)2°(2.7183)"10
--------- = -------------- =
x!
20!
P(3) = 0.00186
UNIDAD IV
JesUs Diaz Diaz
Variables aleatorias y Distribuciones de probabiJick.d clilicrm. 148
4.11 APLICACION DE TABLAS PARA LA SOLUCION DE DISTRIBUdIONES BINOMIALES Y DE POISSON
J
El uso de tablas facilita la soluci6n de estos problemas ya que nos evita hacer engorrosos calcuJos matematicos principalmente cuando se desea deterrninar la probabilidad de que el resultado ocurra dentro de un rango de valores.
Soluci6n mediante tablas binomiales La tabla de probabilidades binomiales es la Tabla 1 que se encuentran en el apendice de este manual. Para aplicarlas solo necesitamos conocer (0, r, columna 1 el valor de
0,
pl.
Buscamos en la
luego en la columna 2 su respectivo valor de r, luego en el
reng16n de encabezados el valor de p. Finalmente en el cruce de la columna donde estuvo P. con el rengl6n donde estuvo o,r encontraremos la p(x)
EJEMPLO 4.32
Mediante el uso de las tablas calcule la soluci6n al problema 4.15
Cooocemos:
0=8, X= 5, p=O.3
Buscamos en la tabla binomiales del apendice; en la columna 1 el valor de 0=8. Enseguida en la columna 2 encontraremos el valor de (x=5 cuaodo 0=8). Luego buscaremos en el primer rengl6n el valor cuando p= 0.3. Finalmente, en el cruce de (o,x) con p, tendremos el valor de P(X),
que es 0.0467
UNIDAD IV
Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad dmda 149
Soluci6n mediante tablas de Poisson
La tabla de Poisson corresponde a la tabla 2 que se encuentran en el apendice de este
manual. Para usarla solo necesitamos conocer A y x Buscamos el bloque de numeros cuyo
primer rengl6n abarque el valor de A. Luego en ese mismo bloque buscamos en la primer
comuna el valor respectivo de x y en el cruce de ambos encontraremos el valor de P(X)
EJEMPLO 4.33
Calcule P(X) mediante el uso de tablas de Poisson el problema 4.23.
Conocemos A= 4, x= 8. Buscamos en la tabla de probabilidades de Poisson del apendice el bloque que alcance a cubrir el valor de A= 4; Encontramos que es el cuarto bloque ya que cubre los valores de lambda desde 3.1 hasta 4. Enseguida buscamos en ese bloque, en la primer columna el valor de x=8. En el cruce del rengl6n y columna encontraremos el valor de P(X)
que es 0.0298
EJEMPLO 4.34
Calcule P(X) mediante el uso de tablas de Poisson el problema 4.24
Conocemos A= 6, x= 2. Buscamos en la tabla de probabilidades de Poisson del apendice el bloque que alcance a cubrir el valor de A= 6; Encontramos que es el sexto bloque el necesario ya que cubre los valores de lambda desde 5.1 hasta 6. Enseguida buscamos en ese bloque, en la primer columna el valor de x = 2. En el cruce del rengl6n y columna encontraremos el valor de P(X) que es 0.0446
mHDAD IV
JesUs Diaz Diaz
4.12
Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad discreta 150
RECOMENDACIONES
DIDACTICAS
Y
BmLIOGRAFICAS DEL CAPITULO.
Luego de haber analizado
esta
unidad, es recomendable practicar resolviendo los
problemas propuestos en:
FREUND - SIMON ''Estadistica elemental" Ed. Prentice Hall, Octava edici6n, Mexico 1994, pp. 182-185, 188,189
-
KAZMIER Leonard 1. ''Estadistica aplicada a la administraci6n y a la economia" Serie Schaums, Ed. Mc Graw Hill 1a Edici6n, Mexico 1978. pp 105.
LEVIN & RUBJN ''Estadistica para administradores" Ed. prentice Hall 68 edici6n, Mexico 1996. pp. 246, 255, 263.
BmLIOGRAFiA DEL CAPITULO.
Ademas de los anteriores.
DEVORE Jay L. ''Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias" Ed. Thomson editores 1a edici6n , Mexico 1998.
WIMER Richard C. ''Estadistica'' Ed. CECSA, 1a Edici6n, Mexico 1996.
.ksUs Diaz Diaz
UNIDAD IV
varia.11es aleatorias y Distribuciones de probabilidad discreta 151
4.13 RESUMEN El concepto de variable\Ieatoria es 10 que nos permite pasar de resultados experimentales a una fimcid numerica de los resultados. Una variable aleatoria es una regia
0
funcion que asigna un Unico numero real a cada resultado (cualitativo
0
cuantitativo) del espacio muestral de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias pueden ser discretas si podemos enlistar y graficar punta a punta todos los elementos de su espacio muestral; y la variable sera continua si en cada intervalo de su espacio muestral aun por pequeno que este sea, existe una cantidad infinita de posibles resultados Una distribuci6n de probabilidad es un listado de todos los posibles resultados que pudieran obtenerse cuando un experimento aleatorio se realiza. Este listado resulta de asociar a cada uno de los valores que pueda tomar la variable aleatoria discreta su probabilidad de ocurrencia generando una tabla de probabilidades. EI valor esperado de una variable aleatoria 0 la media de probabilidades, es el valor
que mayor oportunidad tiene de ocurrir. Resulta de LXP(X). Mientras que la desviaci6n estandar sera el promedio de dispersion con relacion al valor esperado.
Para poder aplicar correctamente las distribuciones de probabilidad que aqui vemos, nos ayuda mucho conocer el proceso de Bernoulli, que es un modelo que permite englobar todos los experimentos que se realizan mediante pruebas repetidas y que contiene esencialmente tres caracteristicas: a) En cada prueba solo pueden existir dos posibles resultados (por conveniencia les Hamamos, exito 0 fracaso). b) Todos de los ensayos u observaciones que se Heven a cabo deberan ser independientes entre si, es decir, no afectar la ocurrencia de otros. c) La probabilidad de exito que Hamamos (P) y la de no exito (pc), permanecenin constantes en cada ensayo que se realice.
El proceso Poisson es semejante al proceso Bernoulli, solo difiere en que no ocurre en ensayos, sino que, es un proceso continuo en el tiempo y espacio.
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA.
lSIGUE EL DISTRIBUCION
lcuANDO SE USA?
PROCESO
FORMULA
BERNOULLI? BINOMIAL
GEOMETRICA
HIPERGEOMETRICA
POISSON
Jesus Diaz Dlaz
Cada vez que se realice un proceso de muestreo donde deseamos calcular Ia probabilidad de obtener un determinado Dl.lmero de exitos cuando realizamos un Si completamente nUmero previamente determinado de ensayos
P(X)= nCx (PY ~t-X donde:
Cuando deseamos conocer la probabilidad de que el primer acierto ocurra en un Si completamente determinado nUmero de ensayo
P(X)
Cuando realizamos un muestreo sin remplazo y queremos calcular Ia probabilidad de obtener determinado nUmero de elementos de exito en una muestra que extraeremos de una poblaci6n finita formada por elementos tanto de exito como de no exito.
Cuando queremos Ia probabilidad de obtener un determinado nUmero de exitos en un proceso donde no se realizan ensayos u observaciones.
P = probabilidad de exito p C= Probabilidad de no exito n "" N6mero de ensayos r = NUmero de exitos esperadOs: -- /'
= (P) (PjX-l P = Probabilidad de exito pc = Probabilidad de no exito
x = NUmero de ensayo en el que se espera el primer exito. No 10 sigue. Para poderla [(N-XT))C (n-x)] [XTCx ] aplicar es necesario P(X IN,Xr,n) = ---------------------- realizar muestreo sin NCo remplazo por 10 que (P) y P = Probabilidad de exito (pc) modificanin su valor x = nUmero de elementos de exito que esperamos cada vez que se extraiga en la muestra. un nuevo elemento de Ia N = Tamado de la poblaci6n poblaci6n, siendo Xr = Cantidad de elementos que tienen entonces eventos caracterlsticas para poder ser exito que dependientes. contiene la poblaci6n n = Tamafio de la muestra ~ x -AEs similar. El proceso li. . e Poisson no realiza P(x) = ------- ensayos sino que es un xl proceso continuo en el ').. = Promedio de exitos en un determinado tiempo tiempo y espacio yespacio. e = 2.7183 = Base de los logaritmos Naturales. x = N6mero designado de exitos. Unid.d IV Vari~hl...htoriu y Diatrihucioo... d. pruh~hi6dad
dila
152
{JNmAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probabiJidad continua
Jesis Diaz Diu
153
\
UNlOAD CINCO
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRmUCIONES
DE PROBABILIDAD CONTINUA.
5. 1 Introducci6n. 5.2 Distribuciones de probabilidad continua y funci6n de densidad.
5.3 Distribuci6n uniforme continua
5.4 Valor esperado y varianza para una distribuci6n unifonne
continua
5.5 Distribuci6n normal
5.5. 1
Construcci6n de la curva normal estcindar
5.5.2
Calculo de areas bajo la curva normal estandar
5.6 Aproximaci6n de la normal a la binomial
5.7 Recomendaciones didacticas y bibliogrMicas del capitulo
5.8 Resumen
UNIDAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probahiJidaJ contimIa
JesUs Diaz Diaz
5.1
l~
INTRODUCCION
~
Ya en la secci6n 4.1 estabiecimos 10 que es una variable aleatoria continua. Se coment6 que una variable aleatoria continua se presenta en situaciones donde la variable aleatoria puede tomar valores que resulta imposible enlistar
0
graficar punto por punto, por que en cualquier
intervalo, aun por pequeno que este sea puede existir un numero infinito de posibles resultados.
En esta secci6n, analizaremos mas a detalle como los valores continuos, que si bien no se pueden tabular, si generan funciones de probabilidad continua llamadas funciones de densidad y su representaci6n grafica que son las curvas de densidad. Veremos tambien como estas curvas de densidad forman un area entre ellas y el eje x, que representa el total de las probabilidades de ocurrencia de un intervalo de valores.
Luego analizaremos la curva normal, que es quiza, la mas importante de todas las distribuciones de probabilidad.
5.2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA Y FUNCION DE DENSIDAD Si consideramos el diametro de un barreno hecho sobre una placa de acero podemos pensar que al medirlo obtendremos resultados exactos igual a las medidas en que se fabrican las brocas, por ejemplo 12 nun. Pero si requirieramos absoluta precisi6n, encontraremos variaciones importantes que resultan de muy diversos factores como el desgaste que va teniendo la broca, la deformaci6n que sufre el metal con la temperatura, ademas del
UNIDAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad cmtinna
JesUs Diaz Diaz
155
diametro preciso que haya tenido la broca al fabricarse, entre otros. Quiza el barreno mida 12.0001, 12.00000001, 12.00000000001, 12 u 11.9999mm, etc. Entonces l,cUllntos valores pudiera tomar la variable aleatoria entre 12.0001 y 11.9999? Aun por pequeno que es el intervaJo, la variable puede tomar una cantidad infinita de valores.
Ante 10 anterior, 16gico es pensar que si deseamos calcular la probabilidad de la ocurrencia de un punto determinado, por ejemplo 12.16 mm, su probabilidad sera igual a cero: P(12.16)=1I00= 0; por tanto conc1uimos que no podemos calcular la probabilidad de la ocurrencia de un punta
cuando los valores que puede tomar la variable aleatoria son
continuos. En estos casos 10 que podemos hacer es calcular la probabilidad de un intervalo de valores. Analicemos 10 aqui dicho:
Imaginemos que el barreno de 12 mill, no puede tener variaci6n mas alia de ± 2 decimas de milimetro y medimos aproximando las lecturas a la decima de milimetro mas cercana. Ahora ya podemos considerar la variable aleatoria como "discreta" puesto que, al redondear, los valores que puede tomar, ahora seran puntuales, los puedo enJistar y graficar, seran: [ 11.8,11.9,
12, 12.1 Y 12.2], podemos formar un histograma (Gnifica 5.1) mismo que
contiene todos los posibles valores, y que por tanto su probabilidad de ocurrencia sera igual a1.
Ahora consideremos que redondeamos a la centesima de milimetro mas cercano; cada barra del histograma (Gnifica 5. 1) se transformara en 10 barras, el histograma tendria 50 barras. Si redondeamos a la milesima mas cercana, el ancho de cada barra del histograma tendriamos que dividirla en 100 partes. Y asi, cada aproximaci6n mas precisa reducira cada vez mas cada intervalo y generara una cantidad de barras cada vez mucho mayor que tendera a infinito y por tanto imposible de graficar salvo como una curva de densidad (Grafica 5.2), donde la probabilidad de cualquier punta sera: P(x)=lI00=O; y como anteriormente dijimos, en estos casos solo podemos calcular la probabilidad de un intervalo de valores.
UNIDAD V Variables almtorias y Distribueiones de probabilidad coalinna
JesUs Diaz Diaz
11.8
11.9
12
12.1
156
12.2
Gratica 5.1
Histograma de p-robabiJidad
Grlifica 5.2
Curva de densidad
Las curvas de densidad pueden tomar diversas fonnas, ella dependera de la funci6n de la que provengan, pero siempre el area que forma con el eje x representara el 100% de la probabilidades y sabiendo que las probabilidades siempre seran valores numericos positivos, la curva de densidad siempre estara completamente por encima del eje x.
5.3 DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA Es la mas simple de las distribuciones de probabilidad continua. Se representa en un primer cuadrante mediante un segmento de recta paralelo al ej e x. De cada uno de sus extremos se traza una perpendicular hasta el eje x fonnando un rectangulo cuya altura (en el eje Y), la determinara la funci6n de densidad de probabilidad uniforme. Y el ancho del rectangulo (en el eje x) seran los puntos maximo (b) y minimo (a) que puede tomar la variable aleatoria continua. El area del rectangulo representa todos los valores que la variable aleatoria continua puede tomar, por tanto su probabilidad de ocurrencia sera igual a 1.
Dentro del rectangulo, sobre la escala del eje x, colocaremos los limites intervalo del
que deseamos conocer su probabilidad de ocurrencia.
[Xl
Y
X2]
del
Trazaremos
perpendiculares desde cada uno de estos puntos hacia la curva de densidad fonnando otro rectlingulo, y el area de este representara la probabilidad de ocurrencia del intervalo en cuesti6n.
UNIDAD V Variables a1ealorias y Distribuciones de probabiJidad
JesUs Dial Di.u
FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABJLD>AD VNIFORME 0 bien (ALTURA
IS7
n PROBABnJDAD DEL INTERVALO,
pIxl y X2]
DE LA CURVA DE DENSlDAD)
Se obtiene mediante
P (Xl ~X ~ Xl) = AREA - (LoNGITOD)(ALTIJRA)
1
f(x)
=----- b-a
para:
(~:C;
DONDE: LONGITUD =: [Xl· Xl)
b)
() cero en tulquier otro taSO
1 ALTIJRA
:II:
f{x)"
b-a
. EJEMPLO 5.1
Consideremos que al perforar una pieza meUilica con una broca cuyo diAmetro se estima en 12 mm, el control de calidad aceptarA la pieza solo que dicho diametro no sea menor que 11.8 mm, ni mayor que 12.2 mm. Cualquier medida entre esos dos valores puede ocurrir, es decir, puede ocurrir un numero infinito de valores. i.Que probabilidad existe de que una pieza aceptada seleccionada al azar tenga un barreno que mida entre 12.1 y 12.15 mm? Primero calcularemos Ia altura de fa curva de densidad
2.5
,
uniforme mediante ttx) y localizamos eJ punlo en eje (y).
II
Enseguida dibujamos una recta paralela at eje So a ta altura
I
I
I
I
I
anteriormeote caJcuIada cuya longitud Ie marcariln en el eje (x) los valores minimo (a) y maximo (b) del diAmetro que
I
puode tener el barreno, es decir, la variable aleatoria
I
I
I
continua;
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
,, I I
II
.....
o 11.8
a
12.1 12.15
GrAfi~V't.
formaremos el primer rectAngulo lrazando
perpwdicuJares de los extremos de la tecta bacia ole eje x. Luego' fijaremos los pwttos
Xl
Y
X2.
Y dibujaremos el
seg\Uldo rect8ngulo de anOOUfa 12.10 a
12.15•. que
representar8 la probabilidad del intenaJo buscado, y para ello catculamos dicha
area. (largo por 811000)
I I
I I
12.2
b
1
J
b-a
12.2-11.8
f(x) =••.••.•. = --_..•-.-.. = l.S ;:; alhr.
4==.
UNmAn V VarUhles ahtoria;s y Dittribucioou de probahilidad continua
158
L8 probabiUdad del ....tenalo baseado) =( (aDcbo)
(lito) ] Ancbo"(l2.lS-12.1)-o.os
= (O.05){2.S) = 0.125
P(12.1SX$I2.15)
es la
probabilidad de que el barreno tenga un dlAmetro entre 12.10y 12.15 mID.
EJEMPLO 5.2 Suponiendoque en la ciudad de Mexico en los dias en que no hay lluvia
]a
visibilidad al
amanecer es una variable aleatoria que se distribuye normalmente de 1 a 25 Kms. Si seleccionamos a a.zar un dfa , lque probabilidad existe de que en ese amanecer la visibilidad sea de entre lOy 12 Kms.?
Calculamos la altura f{x),
dibujamos la curva de
densidad con llmites en [a,b], colocamos en el eje 1 los valores de
XI
y
X2.
fonnamos es red&1gul9 y
finalmente aplicamos la fOrmula para caJcular la probabilidad de [10-12]. c>~t
~!
I
I I
II
1
. f(x) = ------ = - - - - ::z: 0.042
b -8
I
II
25-1
I
25 b
a GrAf!Q 5.4
P( 10 a 11 Km)::a a.clIo por alto p(
1O~
X ~12 ) = (12 - 10)(0.042) = !!:!y
es la probabilldad de que haya visibilidad de entre
JOy 12 Km.
159
UNmAn V Variablea abtoriaa y Distribuciooes de prohahilid.l.
EJEMPL05.3 En una zona de Ia chJdad el SlAPA raciona el agua potable a 2 horas diarias de servicio. En ese tiempo
]a
cantidad de agua que un aljibe puede recibir se distribuye normalmente entre
600 y 3000 litros, dependiendo de Ia presiOn que haya en las tuberfas carla dfa. En un dia seleccionado al azar que probabilidad existe de que se alcance a juntar entre 1800 Y2000 litros 1
f(x) =-~--- = ~.--_.-- = 0.0004 b-a
3000-600
P(1800 ~ 2000) = aacho por alto 0.0004 I
~~--'l_-'b-+"",+-_ _3->,:OOO-:-~--::t'!_
5.4
VALOR ESPERADO
Y
P(l800 $XS 1000) = (2000 - 1800) (0.0004)
VARIANZA
PARA
UNA
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Se obtiene mediante
I U
YALOR ESPEllAJ)O QESVIACION tsTANPAB
(a+b) J11 = E (X) =- -... 2
]
b_a)2
O"~-
.
12 a - ~lor miDlmo que paede tomar Ia variable a"tori. b - valor _DIDO qlle puede toInar Ia variable alealGria
=
UNlOAD V Variables altalorias y Distribucionel de pro6bilidad coorinu~
160
EJEl\'lPLO 5.4
Calcule el valor esperado y la varianza de los datos expuestos en el ejemplo 5.1.
- - - - - - - _.. ----_._ .. _------ ..
r V~riarv.~--·-··----·----··
Valor cspcrndo:
( a + b) Jlx = E (X)
11.8 + 12.2
(b-
=--------- = 12
=2
0
2
al
(12.2 - 11.8i
/
=
2
x =---- =
0.0133
12
12
EJEMPLO 5.5. i
Calcule el valor esperado y la varianza para los datos expuestos en el ejemplo 5.2
I
I
1
\
! i
-----'-- - - -
--V~rl~~-a·-··----·--·---··--
Valor esperado
1 + 25 ~LI = E (X) =- - - =---
'.' - - -'---'1
\ I
! I
(a+ b)
2
.-- -
(b_a)2 =13
(25_1)2
1
cr x2 -- --------- -- ---------- -- .48
2
]2
--'-_._---
I
12 _...
I
\
I
_._--_. __ ._.-.- ----------
l
r
EJElVlPLO 5.6
Calcule el valor esperado y la varianza para los datos expuestos en el ejemplo 5.3
-----------
- V·_----.-----------------·-·· - _·_·-----------1 ananza I
VaJor esper-ado
( a + b) 3000 + 600 ~x
= E (X) = ----- =------- = 1,8-00 2
2
- - - - -----_.-.- -- - ... --
.
__ . __ .. -
cr 2x
l . _.
~ ~-~-~~~ =~~~~-~~~~!~ 12
.
12
.
480 ,'000
.
!I
_J
UNIDAD V Variables alratorias y Distribuciones de probahilid.ad COIltinna
161
5.5 DISTRIBUCION NORMAL Esta distribuci6n fue descubierta por Abraham Levoire hacia 1733 al tratar de resolver problemas de los apostadores. Posteriormente, hacia inicios del siguiente siglo, Karl Gauss observ6 que los errores en medidas repetidas de las mismas cantidades fisicas como peso, altura, estudios meteorol6gicos, etc., presentan comunmente una gran regularidad en la distribuci6n de sus frecuencias que genera una grafica acampanada, y en base a ello estudi6 las propiedades
de las distribuciones norrnales. Asi en su honor tambien se Ie llama
distribuci6n Gaussiana y a la grafica resultante, campana de Gauss. En la actualidad, la curva normal, es una herramienta esencial para analisis estadisticos y toma de decisiones en todas las ramas de la industria, comercio e investigaci6n de todas las ClenCIas. AI graficar una distribuci6n normal obtenemos siempre una figura en forma de campana por que 1a gran mayoria de los datos observados
0
bien las mayores probabilidades, 16gicamente
se concentraran en tomo a la media (Jl), yam por tanto, las frecuencias (eje y) alcanzaran los niveles mas altos, e iran bajando, seran menos, mientras mas se retiren hacia la izquierda
0
hacia la derecha de la media.
La ecuaci6n de una curva con forma de campana
Y
=(
esta
1 )~~2Jr(J
dada
(x-~? 12,,2)
pOf: ~
de tal manera
que la altura y la posicion de la grilfica la determinaran los valores de !l y de cr que generen los datos. A mayor dispersi6n (cr) del conjunto de observaciones, mas baja y ancha sera la grmca y viceversa. Grlifica 5.6 Ambas curvas tienen igual!J. pero la curva (a) tiene
menor dispersion (cr),
(menor anchura) que 1a curva (b).
JesUs Diaz Diaz
UNIDAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad. continua
162
Para dibujar la curva, en el eje x se anotani una escala de valores desde el minimo hasta el maximo que se estime pueda tomar la variable aleatoria, y utilizando el par de valores (Il y cr) podemos calcular las ordenadas (y) para varios valores de x y asi dibujar la curva. Cada poblaci6n tiene su propia curva, por que cada par de valores (Il Y cr) generaran una diferente curva especificando completamente su posici6n en cuanto a 10 ancho y alto, conservando la forma de campana simetrica, cuya area siempre sera igual a 1 y representara el 100% de las probabilidades. Las colas de esta gnifica siempre se extienden hacia (-00) y hacia (+00) acercandose cada vez mas al eje x sin llegar a tocarlo. Tendra solamente una parte mas alta, siempre en el centro, y es justamente en ese punto donde se localiza el valor de la media Il y donde ademas coincidiran la mediana y la moda. Como ya dijimos el area de la curva sera igual aI, y representa el 100% de la probabilidad de ocurrencia por 10 que ahora podemos calcular el area bajo la curva para cualquier intervalo de valores mediante la utilizaci6n del calculo integral. La utilizaci6n de estos metodos matematicos representa un proceso fiUy complejo dada la dificultad de la utilizaci6n del caIculo para cada curva resultante y para cada area deseada. Y seria una tarea sin fin intentar tabular todos los posibles valores, que puede tomar cada
par de (Il y cr) que pudieran surgir. Por fortuna la utilizaci6n de dichos metodos resulta innecesario por que al trabajar con curvas normales 10 que nos interesa son sus areas, que sabemos, siempre seran igual a 1. Asi, con esta idea podemos simplificar el proceso si elaboramos una sola tabla (Tabla 3 del apendice) de pequefias porciones de areas bajo la curva normal estandar con Il = 0 Y cr=1
cuya area siempre sera igual a 1, y que por tanto puede aplicarse a cualquier curva normal con cualquier par de panimetros (Il Y cr) si tipificamos sus valores transformandolos a unidades z (unidades estandar) mediante la ecuaci6n:
Z
=x-
u
p. . Ahora la nueva escala estara
en funci6n de la cantidad de desviaciones estandar que el dato x se desvia con respecto a su promedio J.l.
UNIDAD V Variables aleatoms y Distribuciones de probabilidad. continua
5.5.1
CONSTRUCCION
DE
LA
CURVA
163
NORMAL
ESTANDAR. 1.- En el eJe x de un pnmer cuadrante
localizaremos
y
7
puntos a igual distancia entre puntos. El punto central 10 marcaremos J.l. El siguiente a la derecha sera cr, el que sigue
-40
subdividiendo cr/2, cr/4, crIlO).
-20
-<:J
~
+cr
+20
+30
+40
Gnifica 5.7
es 2cr, luego 3cr y 4cr.
Hacia la izquierda de J.l sera
-30
-0',
-20", -3cr Y -4cr. (Grafica 5.7). (Puede precisarse mas
[utilizamos este rango por que en toda distribuci6n
normalmente distribuida las probabilidades de encontrar valores por debajo de -4cr 0 por encima de +4cr son mucho muy pequeiias, por tanto son despreciables].
2.- Sustituiremos los valores en el eje x por los valores reales de las observaciones realizadas en el problema en cuesti6n iniciando con el valor ca1culado de J.l, luego hacia la derecha 10 que resulte de (J.l +cr), luego (J.l +20") Y asi hasta (J.l +4cr). Luego hacia la izquierda sera (J.l-O') y hasta (J.l-4o'),
3.- Enseguida dibujamos la curva en forma de campana simetrica cuidando que el punto mas alto quede en la linea de J.l.y que sus colas se extiendan de -4cr a 4cr acercandose sin tocar el ej e x
EJEMPL05.7
Luego de tomar una gran cantidad de mediciones del diametro de un barreno en igual numero de piezas un inspector observa que los valores obtenidos se distribuyen
UNIDAD V Variables aleatorias y Distnbuciones de probabihdad continna
164
normalmente con una media II = 12.05 mm y un desviaci6n esUindar a = 0 .11 mm. Con dichos datos construya una curva normal estimdar. 1.- Localizamos 7 puntos en el eje x.
AI punto central 10 marcamos con 11, al siguiente a la derecha con a, el que sigue con 2a, luego 30,
y 4a. Hacia la izquierda de 11
colocaremos
-0",
luego -2a, -3a y
-4cr
-3cr
-2cr
11.61
11.72
11.83
-a
I-l
+a
+2a
11.94 12.05 12.16 12.27
+3cr
+4cr
12.38
12.49
-4a.
GrMica 5.8 • si se cree necesario puede dividirse a a/2 0
menor.
2.- Sustituimos los valores reales en el eje x iniciando por el valor de 11 = 12.05, hacia la derecha sera (l1+a) = 12.16. El siguiente a la derecha (11+2a) = 12.27. El siguiente (11+3a) = 12.38. Luego (ll+4a) = 12.49. Hacemos 10 mismo hacia la izquierda (l1-a) =
11.94; para (11-2a) = 11.83; para (11-3a) = 11.72 Yfinalmente para (ll-4a) = 11.61.
3.- Finalmente dibujamos la curva (Figura 5.8) en forma de campana simetrica cuidando que el punta mas alto quede en la linea de 11 y que las colas se extiendan de -4a a +4a.
5.5.2 CALCULO DE AREAS BAJO LA CURVA NORMAL ESTANDAR. La utilizaci6n de la curva normal estandar para obtener las probabilidades representadas en cualquier area bajo la curva normal, facilita en forma extraordinaria el proceso del calculo puesto que como anteriormente se dijo no necesitaremos una tabla para cada par de valores 11 y a sino que siempre consideraremos solo una curva con 1.1 = 0 Y a = 1 y con estos dos
parametros se ha preparado la Tabla 3 del apendice donde se muestran las areas previamente calculadas.
J~Diaz
Diaz
UNIDAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad. continua
Asi, para cualquier conjunto de valores
X,
165
normalmente distribuidos solo tendremos que
transformar sus valores en unidades z mediante la f6rmula
Z
=x-
, con 10 que
Jl
CJ'
cambiamos sus valores reales a terminos de desviaci6n estandar. Estos valores obtenidos podemos consultarlos en la Tabla 3 del apendice, para determinar el area
la probabilidad
0
de encontrar la variable aleatoria normalmente distribuida dentro de ciertas distancias a partir de la media Il.
La Tabla 3 solo contempla valores para calcular areas que se encuentren
dentro del
intervalo de la linea de Il y hasta el punto (1l+40-) es decir, ellado derecho de la curva; pero aprovechando la simetria de la curva podemos tambien calcular ellado Izquierdo.
AI calcular areas bajo la curva normal pueden presentarse 7 diferentes casos:
CASO 1. - Calcular el area de todos los valores mayores que Il.
CASO 2.- Calcular el area de todos los valores menores que 1.1.
CASO 3.- Calcular el area entre la linea de 1.1 y un punto en x a su derecha.
CASO 4.- Calcular el area entre la linea de 1.1 y un punto en x hacia su izquierda.
CASO 5.- Calcular el area entre dos puntos en x que se encuentran a la derecha de 1.1.
CASO 6.- Calcular el area entre dos puntos en x que se encuentran a la izquierda de Il.
CASO 7. - Calcular el area entre un punto en x a la izquierda de Il y otro a su derecha.
EJEMPL05.8 Seg{In un anaIisis estadistico la cantidad de agua que recibe diariamente un aJjibe es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una media
J.l. = 1800
litros y con una
desviaci6n estandar (J = 692.82 Its. [Este enunciado se aplicara a cada uno de los siguientes siete casos]
UNTDAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad cmtinua
JesUs Diaz Diaz
166
CASO 1. Calcular el area de todos los valores mayores que Jl. EJEMPLO 5.8.a.- . l,Cwil es la probabilidad que en un dia elegido al azar, reciba mas de 1800 litros?
Senin entonces todos aquellos valores que se encuentren a la derecha de !J.. Por tanto, sabiendo que el area de la curva siempre vale 1, entonces el area de media curva seni A(z) = 0.50 bien 50%. !J.
1800
Lo obtenemos por razonamiento directo. Grafica 5.9
CASO 2. Calcular el area de todos los valores menores que Jl. EJEMPLO 5.8.b.- l,Cwil es la probabilidad de que en un dia elegido al azar reciba menos de 1800 litros?
Ahora deberemos considerar todos los valores que se encuentren antes de la linea de !J., es decir, el lado izquierdo de la curva normal. En este caso seni tambien la mitad de la curva, es decir: A(z) = 0.5 0 bien 50%.
Igualmente directo.
10
obtenemos
por
razonarniento Grmca5.10
UNIDAD V variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad continua
167
CASO 3. Calcular el area entre J.l y un punto a su derecha.
EJEMPLO 5.8.c.-
"emil es la probabilidad de que en un dia seleccionado al azar reciba entre 1800 y 3000 litros de agua?
Recordemos que todas las areas que podemos obtener de la Tabla 3 del apendice, siempre se refieren al
area
que forma la linea de 1.1., el
segmento del eje x desde 1.1. basta el punto en cuesti6n (Xl), su perpendicular basta la curva normal y el segmento de curva. Por tanto solo transfonnamos el valor buscado (Xl unidades z mediante z
=X
= 3000 )
en
- J.l, buscamos el
a
valor obtenido en la Tabla 3 del apendice, y esa Grafica 5.11
sera el area buscada.
z
=X-
J.l = 3000 -1800 = 1.73
a
Ahora buscamos en la Tabla 3 del apendice el valor
692.82
calculado como sigue: Localizaremos en la primera columna el valor de z= 1.7 y en el renglen de encabezados el valor de z=.03, asi con ambos valores formamos 1.73, y en el cruce de renglen y columna encontraremos su respectiva area y probabilidad que es 0.45818 o bien 45.818%.
A(z) = .4518 () bien 45.818% representa la probabilidad de que en un dia seleccionado al
azar el aljibe reciba entre 1800 y 3000 litros de agua.
UNmAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad continua
168
CASO 4. Calcular el area entre la linea de Jl y un punto a su izquierda.
EJEMPLO 5.8.d.- i,Cmll es la probabilidad de que en un dia seleccionado al azar reciba entre 1000 y1800 litros de agua?
La Gnifica 5.12 representa el area que deseamos,-
-,
calcular y para eHo procederemos como sigue:
Primero convertiremos el valor 1000 a unidades , . estandar mediante z
X - f.l
1000 - 1800 692.82
= ---- = - - - - = -1.15 (J
-3
J.l -m:\\
_20'//1-
Como la Tabla 3 del apendice no contempla valores negativos,
calcularemos su
simetrico,
+20' +3
1.15 a
-1.150'
1000
es decirl----------------' Grlifica 5.12
buscaremos el area de J.l hasta 1.15.
Buscaremos en la Tabla 3 del apendice el area corresponruente: En la primer columna localizaremos el valor z=1.1 y en el reng16n de encabezados el valor z= .05, con ambos formamos el valor 1.15
y en el cruce de columna y reng16n encontraremos su respectiva
area y probabilidad que es 0.374930 bien 37.493%.
Aunque en realidad calculamos el area desde J.l hasta el punta 1.15 unidades estandar, el area buscada de J.l a -1.15 unidades estandar, es simetrica, por tanto identica y por tanto vale 10 mlsmo.
A(z) = -1.15
= .037493;
Este valor indica que existe una probabilidad igual a 0.37493 0
bien 37.493% de que ese dia reciba entre 1000 y 1800 litros de agua.
UNIDAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad cmtinna
Jt:Slis Diaz Diaz
169
CASO 5. Calcular el area de dos puntos que se encuentran a la derecha J.1. EJEMPLO 5.8.e.- l,Cmil es la probabilidad de que en un dia seleccionado al azar reciba
entre 2700 y 3186 litros de agua?.---
---.
No podernos hacerlo directamente. Deberemos calcuJar individualmente cada area, primero de Il a
XI,
y luego de Il
3 X2.
Enseguida restaremos el
area mayor al area menor y obtendremos el area entre los dos puntos. [Area de (Il de (Il a XI)]
3 X2)] menos[ Area
19ual a area de (XI 3 X2).
Gnifica 5.13
Calculemos el area 1, de Il a J:'.' Ia z lormu
X -Jl. = =(J
Xl.
Para ello debemos estandarizar el valor de
XI
mediante la
2700 -1800 = 1.30 ahora consu Itamos en Ia Tabl a 3 de I apen 'doIce. 692.82
Buscaremos en la primera columna el valor z=1.3 y en el renglon de encabezados el valor z= .00 con ambos formamos el valor 1.30 y en el cruce de columna y fila encontraremos su
respectiva area siendo
31
= .40320.
Ahora de igual manera calcularemos para el area 2, de Il a X2. Primero estandarizamos: formula z
=X (J
Jl. = 3186 -1800 = 2.00.
Buscamos en la Tabla 3 del apendice
692.82
encontrando que cuando z=2 su area vale 0.47725
Finalmente restamos el area menor a la mayor y asi por diferencia obtenemos el area buscada: 32 - 31
=0.47725 - 0.40320 = 0.074050 bien 7.405%, que es la probabilidad de que en
un dia seleccionado al azar el aljibe reciba entre 2700 y 3186 litros de agua.
UNIDAD v V. . . . aIcatcrias y Distribuciones de probabiJidad continua
JesUs Diaz Diaz
170
CASO 6 . Calcular el area de dos puntos que se encuentran a la izquierda de J.1 ' EJEMPLO 5.8.f.- l.Cuill es la probabilidad de que en un dia seleccionado al azar reciba entre 414 y 900 litros de agua? Al igual que el caso 4 usaremos la simetria de la
curva. Primero transformamos los dos valores X2
a unidades
z~
Xl
Y
Luego trasladamos los puntos a
sus simetncos hacia la derecha de J1, enseguida procedemos como en el caso 5 a calcular
-20' -0' 414 900
individualmente cada punto respecto a J1 Y finalmente mediante una resta de sus areas obtener el area deseada.
GrMica 5.14
Transformemos los valores X a unidades z. Para el punto Xl: Z
=X
Para el punto X2:
- f.J = 414 -1800 =-2 (j 692.82
Z
= X - J.l = (j
900 - 1800 692.82
=
-1.3
Ambos valores se encuentran a la izquierda de J1 por 10 que buscaremos en la Tabla 3 del apendice el A(z) para sus simetricos :
Para el punto
Xl
donde (z = -2) su simetrico es (z = 2) Ysu area sera A(z) = 0.47725
Para el punto X2 donde (z=-1.3) su simetrico es (z=1.3) Ysu area sera A(z) = 0.40324
Restaremos el area menor a la mayor: 0.47725 - 0.40324 = 0.07401
= 7.401 %
EI valor encontrado indica la probabilidad de que en un dia tornado al azar el aljibe recibe 414 Y900 litros de agua.
UNIDAD V
vIriahlt.s altatorias yDistribuciones de probabilidad. continua
171
CASO 7. Calcular el area entre dos puntos que se encuentran uno a la izquierda y el otro a la derecha de J.l.
EJEMPLO 5.8.g.- l,CUlil es la probabilidad de que en un dia seleccionado al azar reciba entre 500 y 2700 litros de agua?
Calcularernos las areas del punta punta
Xl
Xt
a J.l, y del
a J.l. Puesto que las areas estan en
diferente lado de la curva, deberemos sumar arnbas
areas para obtener el area total entre los dos
puntos en cuesti6n.
Primero convertiremos
Xt
Y
Xl
XI
....:12
500
1800 2700
a unidades z Y
mediante la Tabla 3.1 del apendice calculemos sus
Gdfica5.15
areas con respecto a J.l.
Para Xt
x-P z = - a
= 500 -
1800
692.82
= -1.88
. , Calculamos A(zt) aprovechando la slmettia: Para
1.88: A(Zl) = 0.46995
Para Xl
z
=X a
p = 2700 -1800 = 1.3 692.82
por 10 que A(z) = 0.40320
Ambas areas se sumaran para obtener el area total y con la probabilidad buscada.
Area total
=
A(zt) + A(Zl)
=
0.46995+0.40320
=
0.87315
0
bien 87.315% es la
probabilidad de que en un dia seleccionado al azar el aljibe reciba entre 500 y 2700 litros de agua.
JesUs Dlaz Dlaz
UNlDAD V
Variabtes aleatorias y Distribuciones de probabilidad continua
172
5.6 APROXIMACION NORMAL PARA LA DISTRIBUCION BINOMIAL.
Como vimos en el punta 6 del capitulo 4, muchas veces cuando realizamos experimentos
con.. datos discretos debemos recurrir a la distribuci6n binomial para calcular sus
probabilidades. Pero muchas otras veces, dado algunos experimentos, la gran cantidad de
ca-lculos que debieramos hacer mediante la aplicaci6n de la binomial resulta demasiado
complicado. EflfflUChos de estos Gasos Ja apJwaciQJt de Ja d.istr.iblJ~IDJ} Derma} DOS PernJ.i-te
obtener mas facilmente e] resultado con una aproximaci6n muy aceptable a Ja que
obtendriamos con la binomial.
Si por ejemplo consideramos cierta ciudad donde se estima que en los cajeros automaticos
de una sucursal de Bancomer, el 69% de las operaciones que realizan los clientes son para
retirar dinero; y si queremos conocer la probabilidad de que de 500 c1ientes seleccionados
al azar al menos 401 de ellos retiren dinero.
Pudieramos resolverlo mediante la distribuci6n binomial calculando para: X= 401 + X=
402 + X
=
403 +......+ X
=
500, cien veces aplicariamos la formula de la distribuci6n
binomial y final mente sumariamos los 100 resultados
para obtener el resultado final
deseado. Y ademas nos enfTentariamos a operaciones como la siguiente:
P(400) = 500C 4OO .69400- (l_.69i5OO-400) = (necesitariamos una computadora para estos
caIculos).
En casos como el anterior, la aplicaci6n de la normal para aproximar la binomial es un metodo excelente que logra una aproximaci6n del resultado muy aceptable.
UNJDAD V V..·IIII*SQidllr1·1IS1 Dislribocimmde p-obabilWlad mntimm
J esU.~ Div. Diaz
]TJ
Para. que. nnadistribnci6R binomial
pueda
ser
aproximada
mediante la normal debe cumplir con las caracteristicas
r;=====:!b===============:::::n a. - EI numero de observaciones debe ser relativamente
siguientes:
grande, ( n ~ 30 observaciones). b.- [(n)(p)]
Si cumpli610 anterior, se obtiene mediante los siguientes pasos
~
5, Y [(n)(1-p)]
~
5
"
a.- Calcule el valor esperado, (E =11) para 1a distribuci6n binomial mediante Il=(np). b.- Calcule la desviacion estandar (cr) para la distribucion binomial mediante O=~IqJ(l- p) C.-
Construya una curva normal estandar.
d.- Calcule el area deseada mediante z
=x -
f.l , (antes de
CT
aplicar ''X" en la formula debe ser eorregido su valor romo enseguida se indica).
EI valor de "X" antes de aplicarse en z
=X -
f.l , debera ser corregido de la siguiente
CT
manera:
.l~
I- f--
Suponga que se desea calcular un intervalo de 343 a 348. Como se observa en 1a figura 5. 16 el valor inicial real debera ser 342.5 y el fInal sera 348.5 por 10 que el valor real del
.. ~
343 344 345 346 347 348 341.5 343.5 344.5 345.5 346.5 347.5 348.5
intervalo debeni ser 342.5 a 348.5. GrMica 5.16
De esa manera corregimos los valores de X con los que calcularemos el area bajo 1a curva normal estandar de acuerdo a los pasos anteriormente visto en el punto 5.5.
UNlDAD V
Variables al.ea.torias y Distribuciones de p:obabi1ida.d continua
174
EJEMPL05.9 Se estima que en los cajeros autonuiticos de una sucursal de Bancomer el 69% de las operaciones que realizan sus clientes son para retirar dinero. "Cmil sera la probabilidad si seleccionamos al azar 500 clientes, que al menos 370 de enos vayan a retirar dinero?
Puede solucionarse mediante Ia distribuci6n binomial caJculando individualmente [(X=370) + (X = 371) + (X = 372) + ....+ ( X
para
= 500)], 10 que resulta por demas complicado.
Por tanto mejor optamos pol aproximar el resultado mediante la distribuci6n normal. Analicemos si cumple los requisitos para aproximar mediante la normal
a.- Checamos que si son mas de 30 observaciones.
b.- Checamos que:
[(n)(p)~]:.
(500)(.69) = 345 (cumple); y que:
[(n)(l-p)] ~5 :. (500)(.31) = 155 (cumple). Entonces si podemos aproximar la solucion mediante la normal
a.- Va antes calculamos el valor esperado: A{z) = .4911
E(X) = J1 = (up) = (500)(.69)= 345 A(z) =.0089
=.89%
b.- CalcuJemos la desviacion estandar: 11 = 345
(J(X)=~np(1-p)
369.5
Gnifica 5.17
=
= ~(500)(.69)(l- .69) = .)106.95 = 10.34
c.- Calcularemos el area de (z) desde 370 a
500~
pero antes corregiremos el valor de
X=370 ya que inicia realmente desde 369.5; por tanto el area a calcular sera de [369.5 a 500].
UNIDAD V Variables aleatorias y Distribuciones de pubabiJidad mntinoa
175
A(z) = X - f.l- = 369.5 - 345 = 2.37 checamos en la Tabla 3 del apendice y corresponde a (J 10.34 0.4911 por 10 que el area y probabilidad del intervalo [369.5 a 500J = 0.5 - 0.4911=0.0089 =
P(blnomJal)
(X ~370 1n=500, p=O.69) ==
P(nonnal)
0.89%
(X ~ 369.5 111=345,0=10.34)=0.6089= 0.89%
EJEMPLO 5.10
Seg(m sus estadlsticas una empresa constructora estima que de cada 10 concursos de obra en que participa gana en tres de ellos. Este ano espera participar en 40 concursos. Si acierta en sus pron6sticos "Que probabilidad existe de que gane al menos en 18 de ellos?
Puede solucionarse mediante ]a distribuci6n binomial caIculando individualmente para [(X=18) + (X=19) + (X=20) + ..... + (X=40), (es decir calcular 23 veces la binomial). Entonees resulta mas flicil aproximar mediante ]a normal. Analicemos si cumpJe los requisitos para aproximar mediante la normal:
I If- - - - - - - - - '
a.- Checamos que si son mas de 30 observaciones.
b.- Checamos que [(n)(p) 2 5] :. (40) (0.3)
=
12 ( si cumple); y que:
[(n)(I-p) 2 5] :. (40){1-Q.3) = 28 (si cumple) Entonces si podemos aproximar la soloci6n mediante la normal.
8.-
Ya antes caleulamos el valor esperado: E(X) =
~
I
A(z) = 0.47728
=47.728% A(z) = QOZZ7=
= (np) = (40) (.3 ) = 12
2.27"10
b.- Calculemos fa desviaci6n estandar: O(X) = ~np(1- p) = ~(40)(.3Xl-.3) = =
2.898
c.- Calculamos el area de (z) de 18 a 40
J.l=12
Gratica 5.18
17-5
UNlDAD V Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad antinua
176
pero antes corregiremos el valor X = 18 ya que realmente inicia en 17.5 . Por tanto el area a calcular sera de [17.5
A(z) de Il-a 17.5
X-p. = -~
40]
8
=
17.5-12 2.898
=
0.190 :.A(z) entabras= .47128 entonces: A(z) 17.5ymas
P(binomlal)
(X ~181 n=40, p=O.3) ==
P(normal)
=
0.5 - ..47128 = 0.02872
(X ~ 17.5 11.1. = 12, cr
=
2.87%
= 2.898) = 0.02272 = 2.27%
Sera la probabilidad de que aI menos. gane 18 de los. concursos. que es.pera.
EJEMPLO 5.11 En una gran ciudad para el presente afio estiman las autoridades que 1520 autos seran robados, y segtin las estadisticas solo recuperaran el 60% de ellos. 8i la estimaci6n resulta correcta i,que probabilidad existe que sean recuperados al menos de 950 de esos autos?
Resolver mediante la binomial es una empresa muy complicada. Resulta mas facil aproximar mediante la nonna!.
Analicemos si cumple los requisitos para aproximar mediante la normal: a.- Checamos que si son mas de 30 observaciones. b.- checamos que [(n)(p) ~ 5] ; (1520)(.6) = 912 (si cumple); y que: [(n)(l-p) ~ 5 ] ; (1520)(.4) = 608 (si cumple)
Entonces si podemos aproximar la solucion mediante la normal
A(z) = .47500
=9. 5%
50%
8.-
A(z) = .025 =2.5%
Ya antes calculamos el valor esperado: E(X) = J1 = (np) = (1520)(.6)
=
912
b.- Calculemos la desviacion estsndar: 11 = 912
l[l
= 949.5
= ~(1520)(.6)(l- .6) = 19.1
Grifica 5.19
Jems Diaz Diaz
UNlDAD V Variables aJeatorias y Distribuciones de probabilidad COlltinua
177
c.- La Gnlfica 5.19 muestra el area que nos interesa conocer (949.5 hasta +(0). Sabemos
que media curva representa el 50% del area total por tanto calcularemos el area desde ~
hasta 950 y por diferencia obtendremos el area buscada.
Calculemos el area de (z) de ~ a 950. Pero primero corrijamos el valore de x:
Xl = 950, realmente debera terminar en 949.5 .
A(z)
dllUl 949.5
_ X - J.l (Y
=
9495-912
=
19.1
1.96:. A(z)
en Tabla 3 del apemtke
= 0.47500=
47.5%
y por 10 tanto la probabilidad de recuperar mas de 950 sera:
0.50000 - 0.47500 = 0.025 0 bien 2.5%
P(binomiaI)
(X ~650 10=1520, p=O.6) ==
P(nonual)
(X ~ 949.51 J.L=912,cr = 19.01 = 0.025 = 2.5%
UNIDAD V Variahles alea.torias y Distribucionesde probabi1ida.d. continua
178
5.7 RECOMENDACIONES DmAcTICAS Y BmLIOGRAFiA DEL CAPITITLO. LUEGO
DE
BABER
ANALIZADO
ESTA
UNIDAD
ES
RECOMENDABLE RESOLVER LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN:
FREUND Thon E.
''Estadistica elemental" Ed. Prentice Hall, 88
edici6n, Mexico 1994. pp 223-226, 235-237.
KAZMIER Leonard
''Estadistica aplicada a la administraci6n y la
economia" serie Schaums. Ed. Mc. Graw Hill. 13 edici6n, Mexico 1987. pp 122-124.
WEIMER Richard
''Estadistica'' Ed. CECSA 13 edici6n, Mexico
1996. p297,31O, 311,320,321,328,
BIBLIOGRAFIA DEL CAPITULO. Ademas de los anteriores:
INFANTE Gil Said "Metodos estadisticos" Ed. Trillas, 28 reimpresi6n, Mexico 1994
STEPHEN S. Willoughb "Probabilidad y estadistica" Ed. Publicaciones cultural S.A. 143 reimpresi6n, Mexico 1986.
WALPOLE myers
"Probabilidad y estadistica" Ed. Mc Graw Hill,
68 edici6n, Mexico, 1999
UNIDAD V Variablcs &leatocias y Distribuciones d.e ~iliJaJ continna
179
5.8 RESUMEN. En esta seccion analizamos como los datos continuos generan funciones de probabilidad continua llamadas mnciones de densidad y sus representaciones grafica que son las curvas de densidad . Estas curvas forman entre ellas y el eje x, un
area que representa el 100% de
las probabilidades de ocurrencia del intervalo total por 10 que tambien la probabilidad de su area seni P(X) = 1. La distribuci6n uniforme continua es la mas simple de las distribuciones continuas. Se representa en un primer cuadrante mediante un segmento de recta en cuyos extremos se traza sus perpendiculares hasta el eje x, formando un rectangulo que representara el 100% de las probabilidades y dentro de et podremos calcular probabilidades de cualquier intervalo en x; ademas calculamos el valor esperado (11) y la desviaci6n estilDdar (cr) para estas distribuciones. La distribucion normal es una herramienta escencial para el anaHsis estadistico y toma de decisiones. Esta distribuci6n genera una grMlca en forma de campana Ilamada tambien "Campana de Gauss". Cada par de valores (11 Ycr) generan una gratlca diferente pero en todas ellas siempre el area bajo la curva representara el 100% de las probabilidades de ocurrencia por 10 que P(A) = 1. En estas curvas podemos catcular la probabilidad de cualquier intervalo mediante la utilizacion del calculo integral pero en vez de usar este procedimiento podemos recurrir a estandarizar cualquier curva mediante la f6rmula z=
x - Ii con 10 que transformamos los valores necesarios a unidades estilndar en una (f
uruca curva normal estandarrzada con 11=0 y cr=l; asi podemos construir la curva normal estandar que es una curva simetrica en forma de campana sobre un eje x. El area de esta curva tambien representara el 100% de la probabilidad y dentro de ella podremos calcular la probabilidad de ocurrencia de cualquier intervalo. La curva nonnal estlmdar, entre muchas otras aplicaciones, nos sirve para soIucionar casos donde la apHcaci6n de la distribucion binomial seria una larga tarea. En esos casos la aplicacion de la distribuci6n normal es un metodo excelente que logra una aproximaci6n dei resultado muy aceptable.
180
APENDlCE
APENDICE
-
TABLA 1.- Distribuciones Binomiales
TABLA 2.
Distribuci6n Poisson
TABLA 3.
Distribuci6n normal Estandar (Areas bajo la curva)
Jem Diaz Diaz TABLA 1
APENDlCE
181
DISTRIBUCIONES BINOMIALES .95 .99 .5 .6 .7 .8 .9 .4 .600 .500 .400 .300 .200 .100 .050 .010 .400 .500 .600 .700 .800 .900 .950 .990
x
0 1
.01 .05 .1 .2 .3 .999 .950 .900 .800 .700 .010 .050 .100 .500 .600
2
0 1 2
.098 .903 .810 .640 .490 .360 .250 .160 .090 .040 .010 .003 .000 .020 .095 .180 .320 .420 .480 .500 .480 .420 .320 .180 .095 .020 .000 .003 .010 .040 .090 .160 .250 .360 .490 .640 .810 .903 .980
0 1 2
3
0 1 2 3
.970 .029 .000 .000
.857 .135 .007 .000
.729 .243 .027 .001
.512 .384 .096 .008
.343 .441 .189 .027
.216 .432 .288 .064
.125 .064 .027 .008 .001 .375 .288 .189 .096 .027 .375 .432 .441 .384 .243 .125 .216 .343 .512 .729
.000 .007 .135 .857
.000 .000 .029 .970
0 1 2 3
4
0 1 2 3 4
.961 .039 .00 1 .000 .000
.815 .171 .014 ..000 .000
.656 .292 .049 .004 .000
.410 .410 .154 .026 .002
.240 .412 .265 .076 .008
.130 .346 .346 .154 .026
.063 .250 .375 .250 .063
.026 .154 .346 .346 .130
.008 .076 .264 .412 .240
.002 .026 .154 0410 .410
.000 .004 .049 .292 .656
.000 .000 .014 .171 .815
.000 .000 .001 .039 .961
0 1 2 3 4
5
0 1 2 3 4 5
.951 .048 .001 .000 .000 .000
.774 .204 .021 .001 .000 .000
.590 .328 .073 .008 .000 .000
.328 .410 .205 .051 .006 .000
.168 .360 .309 .132 .028 .002
.078 .259 .346 .230 .077 .010
.031 .156 .313 .313 .156 .031
.010 .077 .230 .346 .259 .078
.002 .028 .132 .309 .360 .168
.000 .006 .051 .205 .410 .328
.000 .000 .008 .073 .328 .590
.000 .000 .00 1 .021 .204 .774
.000 .000 .000 .001 .048 .951
0 1 2 3 4 5
6
0 1 2 3 4 5 6
.941 .057 .001 .000 .000 .000 .000
.735 .232 .031 .002 .000 .000 .000
.531 .354 .098 .015 .001 .000 .000
.262 .393 .246 .082 .015 .002 .000
.118 .303 .324 .185 .060 .010 .001
.047 .187 .311 .276 .138 .037 .004
.016 .094 .234 .313 .234 .094 .016
.004 .037 .138 .276 .311 .187 .047
.001 .010 .060 .185 .324 .303 .118
.000 .002 .015 .082 .246 .393 .262
.000 .000 .001 .015 .098 .354 .531
.000 .000 .000 .002 .031 .232 .735
.000 .000 .000 .000 .001 .057 .941
0 1 2 3 4 5 6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
.932 .066 .002 .000 .000 .000 .000 .000
.698 .257 .041 .004 .000 .000 .000 .000
.478 .372 .124 .023 .003 .000 .000 .000
.210 .367 .275 .115 .029 .004 .000 .000
.082 .247 .318 .227 .097 .025 .004 .000
.028 .131 .261 .290 .194 .077 .017 .002
.008 .055 .164 .273 .273 .164 .055 .008
.002 .017 .077 .194 .290 .261 .131 .028
.000 .004 .025 .097 .227 .318 .247 .082
.000 .000 .004 .029 .115 .275 .367 .210
.000 .000 .000 .003 .023 .124 .372 .478
.000 .000 .000 ;000 .004 .041 .257 .698
.000 .000 .000 .000 .000 .002 .066 .932
a
a 1 2 3 4 5 6 7 8
.923 .075 .003 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.663 .279 .051 .005 .000 .000 .000 .000 .000
.430 ..383 .149 .033 .005 .000 .000 .000 .000
.168 .336 .294 .147 .046 .009 .001 .000 .000
.058 .198 .296 254 .136 .047 .010 .001 .000
.017 .090 .209 .279 .232 .124 .041 .008 .001
.004 .031 .109 .219 .273 .219 .109 .031 .004
.001 .008 .041 .124 .232 .279 .209 .090 .017
.000 .001 .010 .047 .136 .254 .296 .198 .058
.000 .000 .001 .009 .046 .147 .294 .336 .168
.000 .000 .000 .000 .005 .033 .149 .383 .430
.000 .000 .000 .000 .000 .005 .051 .279 .663
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .003 .075 .923
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3
.914 .083 .003 .000
.630 .387 .134 .299 .387 .302 .063 .172 .302 .OOB .045 .176
.040 .010 .002 .000 .156 .060 .018 .004 .267 .161 .070 .021 .267 .251 .164 .074
.000 .000 .004 .021
.000 .000 .000 .003
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
0 1 2 3
n 1
8
9
JC
a 1
1 2 3 4 5 6 7
a
Jcs6s Diaz Diaz
APENDICE
182
4 5 6 7 8 9
.000 .000 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000 .000
.007 .001 .000 .000 .000 .000
.066 .017 .003 .000 .000 .000
.172 .074 .021 .004 .000 .000
.251 .167 .074 .021 .004 .000
.246 .246 .164 .070 .018 .002
.167 .251 .251 .161 .060 .010
.074 .172 .267 .267 .156 .040
.017 .066 .176 .302 .302 .134
.001 .000 .007 .001 .045 .008 .172 .063 .387 .299 .387 .630
.000 .000 .000 .003 .083 .914
4 5 6 7 8 9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lD
.904 .091 .004 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.599 .315 .075 .010 .001 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.349 .387 .194 .057 .011 .001 .000 .000 .000 .000 .000
.107 .268 .302 .201 .088 .026 .006 .00 1 .000 .000 .000
.028 .121 .233 .267 .200 .103 .037 .009 .001 .000 .000
.006 .040 .121 .215 .251 .201 .111 .042 .011 .002 .000
.001 .000 .010 .002 .044 .011 .117 .042 .205 .111 .246 .201 .205 .251 .117 .215 .044 .121 .0lD .040 .001 .006
.000 .000 .001 .009 .037 .103 .200 .267 .233 .121 .028
.000 .000 .000 .001 .DOt" .026 .088 .201 .302 .268 .107
.000 .000 .000 .000 .000 .001 .011 .057 .194 .387 .349
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .010 .075 .315 .599
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .004 .091 .904
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
0 1 2 3 ·4 -5 6 7 8 9 lD 11
.895 .099 .005 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
..569 .329 .087 .014 .001 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.314 .384 .213 .071 .016 .002 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.086 .236 .295 .221 .111 .039 .0lD .002 .000 .000 .000 .000
.020 .004 .000 .093 .027 .005 .200 .089 .027 .257 .177 .081 .220 .236 .161 .132 .221 .226 .057 .147 .226 .017 .070 .161 .004 .023 .081 .001 .005 .027 .000 .001 .005 .000 .000 .000
.000 .001 .005 .023 .070 .147 .221 .236 .177 .089 .027 .004
.000 .000 .001 .004 .017 .057 .132 .220 .257 .200 .093 .020
.000 .000 .000 .000 .002 .0lD .039 .115 .221 .295 .236 .086
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .016 .074 .213 .384 .314
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .014 .087 .329 .569
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .005 .099 .895
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lD 11
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lD 11 12
.886 .107 .006 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.540 .341 .099 .017 .002 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.282 .377 .230 .085 .021 .004 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.069 .206 .283 .236 .133 .053 .016 .003 .00 1 .000 .000 .000 .000
.014 .071 .168 .240 .231 .158 .079 .029 .008 .001 .000 .000 .000
.002 .000 .017 .003 .064 .016 .142 .054 .213 .121 .227 .193 .177 .226 .101 .193 .042 .121 .012 .054 .002 .016 .000 .003 .000 .000
.000 .000 .002 .012 .042 .101 .177 .227 .213 .142 .064 .017 .002
.000 .000 .000 .001 .008 .029 .079 .158 .231 .240 .168 .071 .014
.000 .000 .000 .000 .001 .003 .016 .053 .133 .236 .286 ..206 .069
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .004 .021 .085 .230 .377 .282
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .017 .099 .341 .540
.000 0 .000 1 .000 2 .000 3 .000 4 .000 5 .000 6 .000 7 .000 8 .000 9 .006 10 .107 11 .886 12
13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
.878 .115 .007 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.513 .351 .111 .021 .003 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.254 .367 .245 .100 .028 .006 .001 .000 .000 .000 .000 .000
.055 .179 .268 .246 .154 .069 .023 .006 .001 .000 .000 .000
.0lD .054 .139 .218 .234 .180 .103 .044 .014 .003 .001 .000
.001 .011 .045 .111 .184 .221 .197 .131 .066 .024 .006 .001
.000 .000 .001 .006 .024 .066 .131 .197 .221 .184 .111 .045
.000 .000 .000 .001 .003 .014 .044 .103 .180 .234 .218 .139
.000 .000 .000 .000 .000 .001 .006 .023 .069 .154 .246 .268
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .006 .028 ;100 .245
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .003 .021 .111
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .007
.000 .002 .010 .035 .087 .157 .209 .209 .157 .087 .035 .0lD
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lD 11
APENDICE
14
12 13
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .Oll .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001
a
.869 .123 .008 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
20
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
.054 .179-.367 .351 -.llS .010 .055 .254 .513 .878
12 13
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
a
.488 .359 .123 .026 ..004 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .boo .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.229 .356 .257 .ll .035 .008 .001 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.044 .154 .250 .250 .172 .086 .032 .009 .002. .000 .000 .000 .000 .000 .000
.007 .041 .1l3 .194 .229 .196 .126 .062 .023 .007 .001 .000 .000 .000 .000
.001 .007 .032 .085 .155 .207 .207 .157 .092 .041 .014 .003 .001 .000 .000
.000 .001 .006 .022 .061 .122 .183 .209 .183 .122 .061 .022 .006 .001 .000
.000 .000 .001 .003 .014 .041 .092 .157 .207 .207 .155 .085 .032 .007 .001
.000 .000 .000 .000 .001 .007 .023 .062 .126 .196 .229 .194 .1l3 .041 .007
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .009 .032 .086 .1TZ .250 .250 .154 .044
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .008 .035 .114 .257 .356 .229
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .004 .026 .123
.860 .130 .009 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.463 .366 .135 .031 .005 .001 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.203 .343 .267 .129 .043 .010 .002 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.035 .132 .231 .250 .188 .103 .043 .014 .003 .001 .000 .000 .000 .000 .000 .000
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.000 .000 .003 .014 .042 .092 .153 .196 .196 .153 .092 .042 .014 .003 .000 .000
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.·000 .000 .000 .000 .001 .003 .012 .035 .081 .147 .206 .219 .170 .092 .031 .005
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .003 .014 .043 .103 .188 .250 .231 .132 .035
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.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .005 .031 .135 .366 .463
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.000 .000 .000 .000 .000 .001 .005 .015 .035 .071 .117 .160 .180 .166 .124 .075 .035 .012 .003 .000 .000
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.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .013 .060 .189 .377 .358
.obo .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
183
.OOB
.35~
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a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
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APENDICE
25
a
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.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .004 .012 .029 .062 .111 .163 .196 .187 .136 .071 .024 .004
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .007 .024 .065 .138 .226 .266 .199 .072
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .006 .027 .093 .231 .365 .277
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .024 .196 .778
184
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Fuente: Tablwl tornadllll de .. Estadistlca" Weimer Rkluud C.
APENDlCE
JeD DIaz Diaz
TABLA 2
185
DISTRIBUCION POISSON A
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
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X 0 1 2 3 4
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1.3
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1.9
2.0
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APENDICE
JesUs Diaz DIaz
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0.0000
0.0000
0.0000
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0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
X 0 1 2 3 4
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X 0 1 2 3 4
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A.
APENDICE
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187
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7.1
APENDlCE
JeWs Diaz Diaz
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0.0001 0.0010 0.0046 0.0140 0.0319
0.0001 0.0009 0.0043 0.0131 0.0302
0.0001 0.0009 0.0040 0.0123 0.0285
0.0001 0.0008 0.0037 0.0115 0.0269
0.0001 0.0007 0.0034 0.0107 0.0254
0.0001 0.0007 0.0031 0.0100 0.0240
0.0001 0.0006 0.0029 0.0093 0.0226
5 6 7 8 9
0.0581 0.0881 0.1145 0.1302 0.1317
0.0555 0.0851 0.1118 0.1286 0.1315
0.0530 0.0822 0.1091 0.1269 0.1311
0.0506 0.0793 0.1064 0.1251 0.1306
0.0483 0.0764 0.1037 0.1232 0.1300
0.0460 0.0736 0.1010 0.1212 0.1293
0.0439 0.0709 0.0982 0.1191 0.1284
10 11 12 13 14
0.1198 0.0991 0.0752 0.0526 0.0342
0.1210 0.1012 0.0776 0.0549 0.0361
0.1219 0.1031 0.0779 0.0572 0.0380
0.1228 0.1049 0.0822 0.0594 0.0399
0.1235 0.1067 0.0844 0.0617 0.0419
0.1241 0.1083 0.0866 0.0640 0.0439
15 16 17 18 19
0.0208 0.0118 0.0063 0.0032 0.0015
0.0221 0.0127 0.0069 0.0035 0.0017
0.0235 0.0137 0.0075 0.0039 0.0019
0.0250 0.0147 0.0081 0.0042 0.0021
0.0265 0.0157 0.0088 0.0046 0.0023
20 21 21 23 24
0.0007 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000
0.0008 0.0003 0.0001 0.0001 0.0000
0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000
0.0010 0.0004 0.0002 0.0001 0.000
0.0011 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000
Fuente:
0.0015 0.0007 0.0003 0.0001 0.0000
188
0.0024 0.0011 0.0005 0.0002 0.0001
Tablas tomadas de "Estadistica para la administraci6n y la economla" KASMIER Leonard 1.
APENDICE
JesUs DIaz DIaz
TABLA 3 z
189
AREAS BAJO LA CURVA NORMAL ESTANDAR 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0
O.CXXXXl
0.1 0.2 0.3 0.4
0.03983 0.07926 0.11791 0.15542
0.00399 0.04380 0.08317 0.12172 0.15910
0.00700 0.04776 0.08706 0.12552 0.16276
0.01197 0.05172 O.ooog;
0.1664)
0.01595 0.05567 0.09483 0.1:ffJ7 0.17003
0.01994 0.05962 0.06871 0.13683 0.17364
0.02392 0.06356 0.10257 0.14058 0.17724
0.02700 0.06749 0.10642 0.14431 0.18082
0.03188 0.07142 0.11026 0.14803 0.18439
0.03586 0.07535 0.11400 0.15173 0.18793
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.19146 0.22575 0.25804 0.28814 0.31594
0.19497 0.22907 0.26115 0.29103 0.31859
0.10047 0.23237 0.26424 0.29389 0.32121
0.20194 0.23565 0.26730 0.29673 0.32381
0.2CE40 0.23891 0.27035 0.20055 0.32639
0.20884 0.24215 0.27337 0.30234 0.32894
0.21226 0.24537 0.27637 0.3CE11 0.33147
0.21566 0.24857 0.27935 0.30785 0.33396
0.21904 0.25175 0.28230 0.31057 0.33646
0.22240
1
0.34375 0.36650 0.38686 0.40400 0.42073
0.34614 0.36864 0.38877 0.40658 0.42220
0.34850 0.37076 0.30065 0.40024 0.42364
0.30083 0.37286 0.39251 0.40088 0.42507
0.35314 0.37493 0.39435 0.41149 0.42647
0.35543 0.37696 0.39617 0.41300 0.42786
0.357~
1.1 1.2 1.3 1.4
0.34134 0.36433 0.38493 0.40320 0.41924
0.37900 0.39796 0.41466 0.42922
0.35993 0.38100 0.30073 0.41621 0.43056
0.36214 0.38200 0.40147 0.41774 0.43189
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.43319 0.44520 0.45543 0.46407 0.47128
0.43448 0.44630 0.45637 0.46485 0.47193
0.43574 0.44738 0.45728 0.46562 0.47257
0.43699 0.44845 0.45818 0.46638 0.47320
0.43822 0.44950 0.45907 0.46712 0.47381
0.43943 0.45CS3 0.45994 0.46784 0.47441
0.44062 0.45154 0.4&8) 0.46856 0.47500
0.44179 0.45254 0.46164 0.46926 0.47558
0.44296 0.45352 0.46246 0.46995 0.47615
0.44408 0.45449 0.46327 0.47062 0.47670
2 2.1 2.2 2.3 2.4
0.47725 0.48214 0.48610 0.48928 0.49180
0.47778 0.48257 0.48645 0.48956 0.49202
0.47831 0.48300 0.48679 0.48983 0.49224
0.47882 0.48341 0.48713 0.40010 0.49245
0.47932 0.48382 0.48745 0.40036 0.49266
0.47982 0.48422 0.48778 0.40061 0.49286
0.48031 0.48461 0.488m 0.40086 0.493a5
0.48077 0.48500 0.48840 0.49111 0.49324
0.48124 0.48537 0.48870 0.49134 0.49343
0.48574 O.4889d 0.49158 0.49361
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
0.49379 0.4S534 0.49653 0.49744 0.49613
0.49396 0.4S547 0.49664 0.49752 0.49619
0.49413 0.49500 0.49674 0.49700 0.49625
0.49430 0.4S573 0.49683 0.49767 0.49631
0.49446 0.4g:j85 0.49693 0.49774 0.49386
0.49461 0.49702 0.49781 0.49641
0.49477 0.49600 0.49711 0.49788 0.49646
0.49492 0.49621 0.49720 0.49795 0.49851
0.49506 0.49632 0.49728 0.49601 0.40056
0.4S52O 0.49643 0.49736 0.49607 0.49661
3 3.1 3.2 3.3 3.4
0.49665 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966
0.496~
0.49906 0.49934 0.49953 0.49968
0.49674 0.49910 0.49936 0.49955 O.~
0.49678 0.49913 0.49938 0.45957 0.49970
0.49682 0.49916 0.49940 0.49958 0.49971
0.49686 0.49918 0.49942 0.49900 0.49972
0.49689 0.49321 0.49944 0.49961 0.40063
0.49693 0.49324 0.49946 0.49962 0.49974
0.49697 0.49925 0.49948 0.49964 0.49975
0.49900 0.49929 0.49950 0.49965 0.49976
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
0.49977 0.49984 0.49980 0.49993 0.40095 0.49997
0.49978 0.49985 0.49900 0.49993 0.49996
0.49979 0.49986 0.49900 0.49994 0.49996
0.49980 0.49986 0.49991 0.49994 0.49996
0.49981 0.49987 0.49991 0.49994 0.49996
0.49981 0.49987 0.49992 0.49994 0.49996
0.49982 0.49988 0.49992 0.40095 0.49996
0.49983 0.49988 0.49992 0.40095 0.49997
0.49983 0.49989 0.49992 0.40095 0.49997
4
0.49978 0.49985 0.49900 0.49993 0.49995
0.1~
o.~
..
0.25400 0.28524 0.31327 0.33891
0.481~
Fumt.e: Tablas tomadas de "EstadlsllCll para 1a administracl6n y 1a ecmomia" SHAO Estqlhen
APENDICE
190
BffiLIOGRAFIA
FREUND, John E. "Estadistica elemental" Ed. Prentice hill, 88 edici6n, Mexico 1994. FREUND, Williams Pedes "Estadistica para la administraci6n. Con enfoque modeino" Ed. Prentice Hall, 58 edici6n, Mexico 1990 LEVIN, Richard I. ''Estadistica para administradores" Ed. Prentice Hall, 68 edici6n, Mexico 1996 LIPSCHlITZ,Seymor "Teoria de conjuntos y temas afines",
E~
Mc Graw Hill
LIPSCHlITZ, Seymor. "Probabilidad" Ed. Me Graw Hill
MONTGOMERY, Douglas C. Probabilidad y estadistica aplicadas a la ingenieria" Ed Mc Graw Hill, 18 edici6n, Mexico 1996 SAID, Infante Gil "Metodos estadisticos" Ed Trillas, 28 edici6n Mexico 1994 KASMlER, Leonard 1. ''Estadistica aplicada a la administraci6n y la economia" Serie Schaums, Ed. Mc Graw Hill, 18 edici6n, Mexico 1978 LEVIN, & Rubin ''Estadistica para administradores" Ed Prentice Hall 68 edici6n, Mexico 1996. DEVORE, Jay L ''Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias" Ed Thomson editores 18 edici6n, Mexico 1998 STEPHEN, S. Willoughb ''Probabilidad y estadistica" Ed Publicaciones Cultura S.A. 148 reimpresi6n, Mexico 1986 SHAO, Stephen ''Estadistica para la administraci6n y la economia" WALPOLE, Myers ''Probabilidad y estadistica" Ed. Mc Graw Hill 68 edici6n, Mexico 1999. WEIMER, Richard C. ''Estadistica'' Ed. Ceccsa, l a edici6n, Mexico 1996 PARRA, Mayorquin Luis A. Notas de clase DIAZ, Diaz Jesus. Notas de clase
Pagina 1 de 4 DATOS DE LA ASIGNATURA
Nombre de la asignatura Probabilidad y estadistica:
Carrera: Ingenieria enSislemas Computacionales
Clave de la asignatura: sec - 0424 Horas teoria-horas practica-CrE3ditos: 4-2-10
OBJETIVOtS) GENERAL(ES) DEL CURSO EI estudiante seleccionara modelos probabilisticos, aplicara calculos de inferencia ,estadistica sobre datos y desarrollara modelos para la toma de decisiones en sistemas con componentes aleatorios. TEMARIO Unidad
1
.
'
Temas Es.tadfstica descriptiva
,
.
Subtemas 1.1 Conceptos basicos de estadistica. 1.1.1 Definici6n de estadistica. 1.1.2 Inferencia estadistica. 1.1.3 Teoria de decisi6n. 1.1.4 Poblaci6n. 1.1.5 Muestra aleatoria. 1.1.6 P~nametros aleatorios. 1.1.7 Enfoque c1.asico. 1.1.8 Enfoque Bayesiano. 1.2 Descripci6n de datos. 1.2.1 Datos agrupados y no agrupados. 1.2.2 Frecuencia de c1ase. 1.2.3 Frecuencia relativa. 1.2.4 Punto medio. 1.2.5 Umites. 1.2.6 Histograma. 1.2.7 Histograma de frecuencia relativa. 1.3 Medidas de tendencia central. 1.3.1 Media aritmetica, geometrica y ponderada. 1.3.2 Mediana. 1.3.3 Moda. 1.4 Medidas de dispersi6n. 1.4.1 Varianza. 1.4.2 Desviaci6n estandar. 1.4.3 Desviaci6n media. 1.4.4 Desviaci6n mediana. 1.4.5 Rango. 1.5 Parametros para datos agrupados. 1.5.1 La media. 1.5.2 La desviaci6n tipica. 1.6 Distribuci6n de frecuencias . 1.6.1 Distribuciones numericas. 1.6.2 Distribuciones categ6ricas. 1.6.3 Distribuciones acumuladas. 1.6.4 Distribuciones porcentuales. 1.6.5 Distribuciones porcentuales acumuladas.
Instituto Tecno16gicode Tepic Departamento de Ciencias Basicas
'.
Pcigina 2 de 4
~-
2
Probabilidad.
:
- -.
.
1.7 Tecnicas de agrupaci6n de datos. 1.7.1 Lirilites de c1ase. 1.7.2 Rango de c1ase. 1.7.3 Fronteras de c1ase. 1.7.4 Marca de c1ase. 1.7.5 Intervalo de c1ase. 1.7.6 Diagrama de tallos y hojas. 1.7.7 Diagrama de Pareto. 1.7.8 Diagrama de puntos. 1.8 Histograma. 1.8.1 Diagrama de barras. 1.8.2 Poligono de frecuencias. 1.8.3 Ojivas. 1.8.4 Graficas circulares. 1.9 Distribuciones muestrales. 2.1 Teoria elemental de probabilidad. 2.1.1 Concepto clasico y como frecuencia relativa-. 2.1.2 Interpretacion subjetiva de la probabilidad. 2.2 Probabilidad de eventos. 2.2.1 Definicion de espacio muestral. 2.2.2 Discreto y continuo. 2.2.3 Definici6n de evento. 2.2.4 Simbologia, uniones e intersecciones. 2.2.5 Diagramas de Venn. 2.3 Tecnicas de conteo. 2.3.1 Diagrama de arbol. 2.3.2 Notaci6n factorial. 2.3.3 Permutacion. 2.3.4 Combinaciones. 2.3.5 Teorema del Binomio. 2.4 Probabilidad con tecnicas de conteo. 2.4.1 Aplicacion del concepto c1asico de probabilidad. 2.4.2 Ejercicios de permutaci6n. 2.4.3 Ejercicios de combinaciones. 2.4.4 Axiomas. 2.4.5 Teoremas. 2.5 Probabilidad condicional. 2.5.1 Dependiente. 2.5.2Independiente. 2.6 Ley multiplicativa. 2.6.1 Calculo de probabilidad de eventos. 2.6.2 Conjuntos. 2..6.3 Problemas de eventos independientes. 2.6.4 Eventos dependientes. 2.6.5 Diagramas de arbol. 2.7 Eventos Independientes. 2.7.1 Aolicacion de teoremas.
Instituto TecnoJ6gico de Tepic Departamento de Ciencias Basicas
,
-
Pagina 3 de 4
3
Funciones y distribuciones muestrales.
4
Estadfstica aplicada.
; "
. !.".\
1-. o.
2.7.2 Regia de Bayes. 2.7.3 Conocer teoremas y realizar ejercicios. 2.7.4 Resolver problemas que apliquen el teorema. 3.1 Funcion de probabilidad. 3.1.1 Variables aleatorias discretas. 3.1.2 Variables aleatorias continuas. 3.2 Distribuc,i6n binomial. 3.2.1 Conceptos de ensayos repetidos. 3.2.2 Conceptos de ensayos de Bernoulli. 3.2.3 Simbolos de representaci6n 3.3 Distribuci6n hipergeometrica. 3.3.1 Muestra con reemplazo. 3.3.2 Muestra sin reemplazo. 3.4 Distribuci6n de Poisson. 3.5 Esperanza matematica. 3.5.1 Medida de una variable aleatoria. 3.5.2 Valor esperado. 3.6 Propiedades de la curva Binomial. 3.6.1 Propiedades geometricas. 3.6.2 Parametros. 3.7 Distribuci6n normal. 3.7.1 Distribuci6n de la probabiHdad continua. 3.7.2.Ecuaci6n de la normal. 3.7.3 Graficas. 3.7.4 Tablas. 3.7.5 Aplicaciones 3.8 Aproximaci6n de la binomial a la normal. 3.9 Otras distribuciones muestrales. 3.9.1 Distribuci6n T-student. 3.9.2 Distribuci6n X cuadrada. 3.9.3 Distribuci6n F. 3.9.4 CPU .. 4.1 Inferencia estadfstica. 4.1.1 Concepto. 4.1.2 Estimaci6n. 4.1.3 Prueba de hip6tesis. 4.1.4 Metodo clasico de estimad6n (puntual). 4.1.5 Estimador Insesgado. 4.1.6 Varianza de un estimador puntual. 4.2 Intervalos de confianza. 4.2.1 Estimaci6n por intervalo. 4.2.2 Limites de confianza. 4.2.3 Intervalo de confianza para medida con varianza conocida. 4.2.4 Intervalo de confianza para medida con varianza desconocida. 4.2.5 Intervalo de confianza para proporciones. 4.3 Pruebas de hip6tesis.
Instituto Tecnol6gico de Tepic Departamento de Ciencias Basicas
Pagina 4 de 4
Regresion y correlacion.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5 5.6
5.7
4.3.1 Prueba de hipotesis para la media poblacional. 4.3.2 Prueba de hipotesis para diferencias de medias. 4.3.3 Prueba de hipotesis para proporciones. Introduccion. 5.1.1 Graficas de los datos. 5.1.2 Variables de regresion independientes. 5.1.3 Regresion lineal simple. 5.1.4 Coeficientes de regresion. 5.1.5 Uneas de regresion ajustada. Diagrama de dispersion. 5.2.1 Tabla de datos. 5.2.2 Construccion de diagramas. Estimacion mediante la linea de regresion. 5.3.1 Ecuacion de la recta como ajuste de datos. 5.3.2 Modelos. lVIetodos de minimos cuadrados. 5.4.1 Ecuaciones normales. 5.4.2 Estimacion de los coeficientes de regresion. Error estandar de estimacion. Coeficientes de determinacion y correlacion. 5.6.1 Coeficiente de determinacion de la muestra. 5.6.2 Coeficiente de correlacion de la muestra. 5.6.3 Error estandar deLcQeficiente-~de regresi6n. Problemas practicos de ajuste de curvas.
FUENTES DE INFORMACION
3. Richard I. Levin, David s. Rubin. Estadistica para Administradores. Ed. Prentice Hall.
1. R. E. Walpole, R.H. Myers. Probabilidad y EstadIstica para Ingenieros. Ed. Interamericana.
2. Irwin R. Miller, John E. Freud, Richard Jhonston. Probabilidad y Estadistica para Ingenieros. Ed. Prentice Hall.
4. Murria Spiegel, John Schiller, R. Alu Srinivasan. Probabilidad y Estadistica. Ed. Me. Graw - Hill.
5. Paul l. Meyer. Probabilidad y Aplicaciones Estad isticas. Ed. Fondo Educativo Interamericana.
Instituto Tecnol6gico de Tepic Departamento de Ciencias Basicas
I
