LISTA DE EJERCICIOS PARA ETS DE PROBABILIDAD (IE, ICA, e ISISA) PROBABILIDAD CONDICIONAL 1. Dados P (A) = 0.4, P (B | A) = 0.3 y P (B | A ) = 0.2, determine: determine: c
c
a ) P (A ). c
b ) P (B | A ). c
c ) P (B ). d ) P (A ∩ B ). e ) P (A | B ).
2. Se tiene una urna verde con 3 fichas negras y una roja y otra urna azul que contiene 2 fichas rojas y 2 negras. Se tira un dado con la condici´on de que si el n´umero umero resultante es divisible por tres se elige la urna verde y en cualquier otro caso se elige la urna azul. De la urna elegida se saca una ficha al azar. ficha es negra.¿Cu negra.¿Cu´´al al es la probabilid prob abilidad ad de que haya sido s ido extra ex tra´´ıda a ) Si la ficha de la urna verde?. al al es la probabilidad de que haya sido extra´ extra´ıda b ) Si la ficha es roja.¿Cu´ de la urna azul?. 3. En cierta cierta facult facultad ad el 4 % de los hombre hombress y el 1 % de las mujer mujeres es tienen tienen m´ as de 6 pies de altura, adem´as as as el 60 % de los estudian estudiantes tes son mujer mujeres. es. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es mas alto que 6 pies. al es la probabilidad de que el estudiante sea mujer?. al a ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el estudiante sea hombre?. al b ) ¿Cu´ 4. De los art´ art´ıculos producidos diariamente por cierta f´abrica, abrica, 70 % proviene proviene de la l a l´ınea ınea A y 30 % de la l´ınea ınea B. El porcenta je de d e defectuos de fectuosos os de d e la l´ınea A es de 5 %, mientras mientras que el porcentaje porcentaje de defectuosos defectuosos de la l´ınea ınea B es de 10 %. Se esco je un art´ art´ıculo al azar de la producci´ pro ducci´on on diaria, calcular: probabilidad de que sea defectuoso?. defectuoso?. a ) ¿La probabilidad art´ıculo es defectuoso, ¿Cu´al al es la probabilidad de que provenga b ) Si el art´ de la linea A?. 5. En una urna hay cinco fichas de color blanco y cuatro de color negro. Sacamos dos fichas, una a una, sin regresarlas. al es la probabilidad de que ambas fichas sean de color blanco?. al a ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que la primera sea de color negro y la al b ) ¿Cu´ segunda de color blanco?.
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6. ¿Un examen examen de opci´ opci´on on m´ ultiple esta compuesto de 10 preguntas, con cuaultiple tro respuestas posibles cada una, de las cuales solamente una es correcta. Sup´ongase ongase que uno de los estudiantes que realizan el examen contesta las preguntas al azar . al es la probabilidad de que conteste correctamente al menos ocho al a ) ¿Cu´ preguntas?. al es la probabilidad de que conteste correctamente exactamente al b ) ¿Cu´ seis?. 7. Suponer que se tienen tienen tres urnas de apariencia apariencia externa id´entica entica y que contienen fichas de colores. La urna A contiene una negra, dos rojas y tres verdes; la urna B contiene dos negras, una roja y una verde; la urna C contiene cuatro negras, cinco rojas y tres verdes. Las fichas se revuelven en las urnas y ´estas estas ultimas u ´ltima s se revuelven entre s´ı. Despu´es, es, se selecciona seleccion a una de las urnas al azar y se extraen dos fichas. Si se extrajer´on una negra y una verde. al es la probabilidad de que se hayan extraido de la urna B?. al a ) ¿Cu´ DISTRIBUCIONES DISCRETAS 1. Sup´ongase ongase que en una loter´ loter´ıa se venden 10 mil boleto b oletoss de un peso cada uno. El ganador recibir´a un premio cuyo valor es de 500 pesos. Si alguien compra boleto. al al es su Esperanza?. a ) ¿Cu´ 2. Un equipo equipo electr´ electr´onico onico contiene seis transistores, dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar se sacan del equipo y se inspeccionan. Sea X el n´ umero de transistores defectuosos observados , umero donde X = 0, 1, 2. al al es la distribuci´on on de probabilidad de X ?. ?. a ) ¿Cu´ 3. En una gran compa˜ compa˜ n´ıa, 20 % de los empleados son miembros de alg´un un club deportivo. En una muestra aleatoria de 30 empleados, al es la probabilidad de que tres, cuatro o cinco pertenezcan a un al a ) ¿Cu´ club de deportes?. 4. Sup´ ongase ongase que la probabilidad probab ilidad de d e que una part pa rt´´ıcula emitida emi tida por p or un materimat erial radiactivo penetre p enetre en cierto campo es de 0.01. Si se emiten 10 part´ part´ıculas, al es la probabilidad de que solo una de ellas penetre en el camal a ) ¿Cu´ po?. 5. Un informe reciente reciente declara que 70 % de los habitantes habitantes de cuba ha reducido bastante el uso de energ´ energ´ıa el´ ectrica ectrica para disfrutar de descuentos en las tarifas. Si se selecciona al azar cinco residentes de la Habana, encuentre la probabilidad de que:
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cinco califiquen califiquen para tarifas m´ as as favorables?. a ) ¿Los cinco cuatro califiquen para tarifas tarifas m´as as favorables?. b ) ¿Al menos cuatro 6. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento padecimiento g´astrico astrico es de 0.8. Suponga Sup onga que 20 personas p ersonas han contra´ contra´ıdo dicho padecimiento. al es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14?. al a ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10?. al b ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que sobreviva un m´aximo al aximo de 16?. c ) ¿Cu´ 7. Sup´ongase ongase que 0.005 % de la poblaci´ poblaci´ on on de un pa´ pa´ıs muere debido a cierto tipo de accidente cada a˜no no y que una compa˜n´ıa de seguros tiene entre sus clientes 10 mil que est´an an asegurados contra este tipo de accidente. al es la probabilidad de que la compa˜n´ıa deba pagar al paga r m´as as de tres a ) ¿Cu´ p´ olizas olizas en un a˜ no no dado?. 8. Si la probabilidad probabilidad de que una p ersona ersona sufra una reacci´ reacci´on on nociva debido a una inyecci´on on de cierto suero es de 0.001. al es la probabilidad de que entre mil personas, dos o m´as sufran al a ) ¿Cu´ esa reacci´on?. on?. 9. La probabilidad de que un rat´on on inoculado con un suero contraiga la enfermedad es de 0.2. Mediante el uso de una aproximaci´on por Poisson. al es la probabilidad de que un m´aximo al aximo de tres ratones entre 30 a ) ¿Cu´ contraigan la enfermedad?. 10. Si 2.5 % de los conducto conductores res de autom´ autom´oviles oviles que pasan por una caseta de cobro tienen el cambio exacto. al es la probabilidad de que una muestra tomada al azar de 250 al a ) ¿Cu´ automoviles que pasan por la caseta, cinco tengan el cambio exacto?. DISTRIBUCIONES CONTINUAS 1. ¿Qu´ e valor debe tener la constante k para que f (x) =
kx
si
0
0≤x≤2 de otra forma.
sea una funci´on on de densidad?. 2. Sea X variable aleatoria con funci´on on de densidad f (x) =
k (x − 1)
0
a ) Hallar el valor de k.
grafica de f (x). b ) Trazar la grafica 3
si
1 ≤ x ≤ 2, de otra forma.
Determinar el valor valor esperado de la variable variable aleatoria X , y localicelo c ) Determinar b en la grafica del enciso . d ) Calcule P (X ≥ 1).
3. Suponiendo que X es normal con media µ = 0.8 y variancia σ 2 = 4, determine las siguientes probabilidades: a ) P (X ≤ 2.44). b ) P (X ≤ -1.66). c ) P (X ≤ 1.923). d ) P (X ≥ 1). e ) P (X ≥ -2.9). f ) P (2 ≤ X ≤ 10).
4. Suponga que la temperatura ( C) esta distribuida normalmente con esperanza 50( C) y variancia σ2 = 4, ◦
◦
al es la probabilidad de que la temperatura T este entre 48( C) al a ) ¿Cu´ ◦
y 53( C)?. ◦
5. Si la longitud de roscado de un perno tiene una distribuci´ distribuci´ on on normal con media µ = 0.6 pgl. y desviaci´on on estandar σ = 0.1 pgl. Si se selecciona un perno al azar. al es la probabilidad de que la longitud de roscado sea por lo al a ) ¿Cu´ menos de 0.59 pgl?. al es la probabilidad de que la longitud de roscado este dentro de al b ) ¿Cu´ una desviaci´on on est´andar?. andar?. c ) Si P (X ≥ c) = 0.9726 ¿Encuentre el valor de c, y defina a la v.a X?.
6. Suponga que el tiempo de respuesta X en cierta terminal terminal de computadora computadora tiene una distribuci´on on exponencial con tiempo de respuesta esperado igual a 7 segundos. al es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea a lo sumo al a ) ¿Cu´ 10 segundos?. al es la probabilidad de que el tiempo de respuesta este entre 5 al b ) ¿Cu´ y 10 segundos?. 7. El tiempo entre la entrada de correos electr´onicos en una computadora tiene una distribuci´on on exponencial con una media de dos horas. al es la probabilidad de que no se reciba un correo electr´onico al a ) ¿Cu´ durante un periodo de dos horas?. 8. El tiempo entre las llamadas telef´onicas onicas a una ferreter´ ferreter´ıa tiene una distribuci´ on exponencial con un tiempo promedio entre las llamadas de 15 on minutos.
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al es la probabilidad de que no haya llamadas en un intervalo de al a ) ¿Cu´ 30 minutos?. DISTRIBUCIONES CONJUNTAS 1. Suponga que que la funci´ funci´ on de densidad conjunta para dos variables aleatorias on continuas x y y , esta dada por: f (x, y ) =
cx
si
0
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; de otra forma.
¿Calcule el valor de la constante constante c? a ) ¿Calcule ¿Hallar la funci´ funci´ on de densidad marginal para la variable aleatoria X ? on b ) ¿Hallar ¿Hallar el valor valor esperado de la variabl variablee aleatoria X ? c ) ¿Hallar 2. Una gasoliner gasoliner´´ıa cuenta cuenta tanto tanto con islas de autoservici autoservicioo como de servicio servicio completo. En cada isla, hay una sola bomba de gasolina sin plomo regular con dos mangueras. Sea X el n´ umero de mangueras utilizadas en la isla de umero autoservicio y en un tiempo particular y sea Y el n´ umero umero de mangueras en uso en la isla de servicio completo en ese tiempo. La funci´on de probabilidad conjunta de X y Y aparece en la tabla adjunta: y p(x, y) x
0 0.10 0.08 0.06
0 1 2
1 0.04 0.20 0.14
2 0.02 0.06 0.30
a ) ¿Calcule P (X ≤ 1 y Y ≤ 1)?
0 y Y = 0).¿Calcule su probabilidad?. b ) Describa el evento ( X = on de probabilidad marginal de X y Y ?. Utilizando c ) ¿Calcule la funci´on p (x). ¿Cu´ al al es P (X ≤ 1)? x
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