Nociones de Probabilidad y Ejemplos

Capitulo 1 Probabilidad

ESTADÍSTICA SUPERIOR CARLOS A. ROJAS Y. INTRODUCCION

1

PROBABILIDAD

Si el único propósito del investigador es describir los resultados de una realidad, política, situación o experimento concreto de la totalidad de una pequeña porción (muestra) del todo, como por ejemplo: el rendimiento del grado de una escuela, el análisis socioeconómico de los habitantes de un edificio, las preferencias políticas de un comité de postulados, etc., los méto métodos dos de Estadísti Estadística ca Descriptiva Descriptiva, ante anteri rior orme ment nte e util utiliz izad ados os puede pueden n consi consider derar arse se suficientes. Sin embargo, si lo que se pretende es utilizar la información obtenida para extraer extraer conclus conclusione ioness general generales es sobre sobre todos todos aquello aquelloss objeto objetoss que confor conforman man un todo, todo, entonces los métodos descriptivos solo constituyen el principio del análisis, y se debe recurrir a métodos de inferencia estadística, donde se emplea la Teoría de la Probabilidad . La mayoría de los fenómenos del universo se pueden estudiar considerando una pequeña muestra de elementos de la población a que atañe el fenómeno, esto se logra seleccionando dicha muestra lo mas parecida posible a la población mediante un mecanismo al azar o aleatorio (objetivo) y es precisamente el cálculo de probabilidades la herramienta que nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios y que constituye la base estadísti stica ca induct inductiva iva o infere inferenci ncial al . Dich para para la estadí Dicha a esta estadí díst stic ica a es la enca encarg rgad ada a de

dete determ rmin inar ar los los tama tamaño ñoss de muest muestra ra acord acordes es con con los los riesg riesgos os de error error que estem estemos os dispuestos a aceptar y la medición de los errores totales que se comenten por efectos del mues muestr treo, eo, lo que que nos da la posibi posibililida dad d de dar esti estima maci cion ones es por por inte interva rvalos los sobr sobre e los los parámetros de la población estudiada. De alguna manera, el concepto de probabilidad se relaciona o nos recuerda las propiedades de la frecuencia relativa, ya vistas en la estadística descriptiva, y a partir de estas y junto con las definiciones de probabilidad condicional y de sucesos independientes se deducen los teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades.

EXPERIMENTO Y SUCESOS ALEATORIOS Es muy importante importante el aporte de la teoría de conjuntos conjuntos cuando se estudia estudia la probabilidad probabilidad de ocurrencia ocurrencia de algún resultado resultado de todos los posibles originado originado por un experimento. experimento. En este

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orden de ideas vamos a denotar por la letra griega ypsilón

2

ε , a un experimento de

cualquier naturaleza el cual puede ser determinístico, cuando repitiendo exactamente las mismas mismas condic condicion iones es de realiz realizaci ación ón del experim experiment ento o podemos podemos establ establecer ecer el result resultado ado esperado, esperado, como ejemplo tenemos que un objeto objeto de cualquier cualquier masa partiendo partiendo de un estado inicial en reposo, si se deja caer al vacío desde una torre, siempre llega al suelo con la misma velocidad:

v

2 gh

=

, siendo g la constante de gravedad y h la altura respectiva; en

general los experimentos físicos son de esta naturaleza. En cambio hay otros experimentos que aun manteniendo intactas la condiciones iniciales de su realización no podemos indicar el resultado esperado. Ejemplo: podemos lanzar un dado bien cargado o equilibrado de igual manera y en las mismas condiciones y aunque conocemos todos los resultados posibles no podríamos podríamos a priori establecer establecer el resultado resultado de su cara. A estos experiment experimentos os los vamos a llamar aleatorios, al azar o estocásticos, y serán en definitiva a los que les prestaremos nuestra atención. Este último ejemplo ejemplo nos permite definir definir el concepto de Espacio Muestral como el conjunto

E

de todos los resultados posibles

E = { 1,2,3,4,5,6 } ,

asociados a la

realización de un experimento aleatorio. Vamos a definir como Evento o Suceso a todo subconjunto del espacio muestral, a los eventos los vamos a simbolizar por letras mayúsculas A, B

A, B, C , D, F , G......

E

⊂

Debemos distinguir entre sucesos simples o elementales y sucesos compuestos, estos últimos están compuestos por dos o mas sucesos simples, en el caso del lanzamiento de un dado todos los valores de cada una de las caras constituyen los sucesos elementales: {1} , {2} , {3} , {4}, {5}

y

{6 } ; pero por ejemplo podemos considerar el suceso compuesto B:














3

tener no uno solo, sino una infinidad de sucesos elementales; y también no contener ninguno como veremos en la siguiente definición: Suceso Imposible: es aquel que nunca se verifica o se da como resultado del experimento

aleatorio. Como debe ser un subconjunto del espacio muestral

E ,

la única posibilidad es

que el suceso imposible sea el conjunto vació: φ ⊂ E

⇒ φ es

suceso

imposible

Suceso Seguro: es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio, es

decir, el mismo

E . E ⊂ E ⇒ E es suceso

seguro

Suceso contrario: también se llama complementario de A y es el suceso que se verifica ve rifica si,

como resultado del experimento aleatorio no se verifica A. Se acostumbra a denotarlo como A

: A ⊂ E ⇒ A

= { x ∈ E ∧ x ∉ A}

NOCIÓN DE PROBABILIDAD El concepto de probabilidad ha evolucionado a lo largo del tiempo, y ha pasado por diversas formas de presentación. La noción actual de probabilidad es el resultado de una evolución histórica en la que el sentido del término se ha ido delimitando y enriqueciendo con distintas aportaciones. 1. Probab Probabili ilidad dad de Laplac Laplace e o Clásic Clásica a

Si un experimento cualquiera puede dar un número finito de resultados posibles, y no existe ninguna razón que de privilegio a unos resultados en contra de otros –tiene la














4

la regla de Laplace 1 como el cociente entre el número de casos favorables a A, y el de todos los posibles resultados del experimento: P[ A ]

= número

de casos favorables

número

a A

de casos posibles

Ejemplo Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número impar.

Solución: El experimento aleatorio es

ε : Lanzar un dado,

el espacio muestral es

E = {1,2,3,4,5,6} . Vamos a llamar al suceso A: el resultado sea impar. Por tanto A= {1,3,5} .

Como no suponemos que ninguna de las caras ofrece una probabilidad de ocurrencia diferente a las demás (el dado no está trucado), podemos aplicar la regla de Laplace para obtener: P[ A ]

= número

de casos favorables

= número

de elementos

en A

de elementos

en E

número

número

=

a A

de casos posibles

número de elementos en {1,3,5} número de elementos en {1,2,3,4,5,6}

=

3 6

=

1 2

2. Probabilidad Frecuencial o Empirica

En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso

A , en n ensayos

denotémoslas por f n ( A) f n ( A)

= número de ocurrencia s de A = n

ni n

Tiende a converger hacia cierta cantidad que denominaremos probabilidad de A: rob[ A] P rob

= nlim f ( A) = lim n →∞ →∞ n

ni n

Esta es la noción intuitiva o frecuencial de probabilidad. probabilidad. Fue establecida establecida por autores














5

Kerrich, Kerrich, en su obra An experimental introduction to the theory of probability explica explica como lo verificó experimentalmente siendo prisionero durante la segunda guerra mundial. Realizó un experimento consistente en arrojar una moneda en diez conjuntos de mil tiradas cada uno, y tras contabilizar el número de caras, obtuvo un valor próximo a la frecuencia esperada: ½. En nuestro caso y para seguir con el ejemplo del lanzamiento de un dado vamos a simular mediante el programa EXCEL, a través su función aleatoria (=ALEATORIO.ENTRE(1;6)), el lanzamiento de un dado 500 veces y vamos a ver las veces que aparece el valor seis (6), es decir en cada oportunidad vamos a calcular el valor respectivo de la probabilidad de obtener un seis. En la figura siguiente siguiente se presenta presenta la evolución evolución de la frecuencia relativa relativa del número de seis obtenido en el lanzamiento de una moneda en 500 ocasiones. En principio la evolución de las frecuencias relativas es errática, pero a medida que el número de tiradas aumenta, tiende a acercarse al valor esperado.














6

3. Prob Probab abil ilid idad ad Subj Subjet etiv iva a

Cuando se estudian fenómenos aleatorios en los que no hay posibilidad de repetición o experimentación, la probabilidad subjetiva es la cuantificación (subjetiva, por supuesto) que una persona (o un grupo) hace de un evento, utilizando la información que posee. Esta conceptualización de la probabilidad es muy aplicada en la empresa, y es utilizada por la estadística bayesiana, la teoría de la decisión y la teoría de los juegos. Ha sido tratada por autores como Keynes (1921), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Koopman (1940) y Savage (1954). Barbancho en Estadística Elemental moderna expone la siguiente visión sobre la probabilidad subjetiva: … los estadísticos, en fechas más recientes [... ] han acudido al concepto de la denominada probabilidad subjetiva, mediante la cual cada persona, o grupo de personas, asigna a un evento un número que está en función de la verosimilitud percibida o sentida sobre dicho evento, o que expresa el “grado de creencia” racional depositada en él. Este número puede ajustarse a cualquier suerte de propiedades; lo más lógico, y es lo que sucede, es que estas propiedades de la probabilidad subjetiva sean las tres que se cumplen para la probabilidad clásica y la probabilidad frecuencial , a saber, la no negatividad, la certeza y la aditividad.

Probabilidad axiomática o de Kolmogorov

4.

El concepto axiomático axiomático de probabilidad fue formulado por Kolmogorov Kolmogorov en 19332. Para ello precisó ciertas leyes o axiomas que debe cumplir una función de probabilidad. Los axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cues tiones: 1.

La pro probabilidad sol solo pue puede tom tomar val valores com comprendidos ent entre 0 y 1 (es (es no

negativa). P : E →[0,1] ∴ ∀ A ⊂ E ⇒ P ( A) ≥ 0

2.

La probabilidad del suceso seguro es 1. P ( E ) = 1
















3.

7

La pro probabilidad de dos dos o mas suc sucesos inc incompatibles (un (unión num numerable de

suce suceso soss disj disju untos ntos), ), es deci decirr de inter nterse secc cciión vací vacía, a, debe debe ser ser la sum suma de sus sus probabilidades respectivas.

∞

A1 , A2 ,......, An An ,..... ∈ E ⇒ P 



∞



i =1

Ai  = P [ A1 ] + P [ A2 ] + .......... .... P [ An An ] + ...... = ∑ P [ Ai ]

i =1

Curiosamente, con solo estas tres leyes tenemos suficiente para obtener todas las reglas que se esperan de una función de probabilidad:

A

A2

A1

A4

A3

A5













Capitulo 1 Probabilidad A ∩ B

=0 ⇒

P [ A ∪ B ]

6. La probabilidad del suceso contrario a A, es

= P [ A] + P [ B]

[ ]

P A

1

=

las tres primeras propiedades P [ E ] = 1 = P [ A ∪ A ] = P [ A] + P [ A ] ⇒ 7.

8

[ ]. ,

P A

−

lo cual se deduce de

P [ A ] = 1 − P [ A]

La probabilidad del conjunto vacío es cero, ya que: P [φ ] = 1 − P [φ ] =1 − P [ E ] = 1 −1 = 0 Lo esbozado en los puntos anteriores indica ciertas propiedades que debe cumplir

una Función de Probabilidad , que de manera verbal podemos resumir como: la función de probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E ; no es estrictamente necesario que sean todos, pero sí es necesario que si se puede calcular sobre un conjunto, se pueda hacer también sobre su complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y B, también se puede calcular sobre su unión y su intersección. Cabe señalar, como lo

destaca la definición axiomática de la probabilidad de Kolgomorov , que bastan solo las tres primeras propiedades para obtener las restantes como una simple consecuencia, tal como se dedujeron algunas de las últimas propiedades anteriores. El grafico que se presenta a continuación resume los tipos de probabilidad esbozados y su estrategia para abordar su cálculo.














9

PROBABILIDAD CONDICIONADA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS Sea B ⊂ E un suceso aleatorio de probabilidad no nula, P [ B ] > 0 . Para cualquier otro suceso A ⊂ E , llamamos probabilidad condicionada de A por B , a la cantidad que representamos mediante P [ A / B] y que se calcula como: A ⊂ E

⇒ P [ A / B] =

P [ A ∩ B] P [ B]

Ejemplo Se lanza un dado al aire: a)

¿cuál es es la la probabilidad de de qu que sa salga el número 4? 4?

b)

Si sabe sabemo moss que que el resu result lta ado ha sido sido un núme número ro par, par, y no disp dispon onem emos os de más

información ¿se ha modificado esta probabilidad?

Solución El espacio muestral que corresponde a este experimento es: E = { 1,2,3,4,5,6 } a)

Hemos de calcular la probabilidad del suceso

A

= { 4} . Si el dado no está

trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de probabilidad de Laplace, P [ 4] = P [ A] =

casos favorables casos posibles

=

número de elementos en { 4 } número de elementos en { 1,2,3,4,5,6 }

=1

6

Obsérvese que para calcular la probabilidad de A según la definición de Laplace, hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral













Capitulo 1 Probabilidad A = { 4 }

P [ A] =

⇒

B = { 2,4,6

} ⇒

A ∩ B = { 4 }

⇒

10

1 6

1

P [ B] =

6

1

1

3

1

6

6

6

2

+ + = =

P [ A ∩ B] =

1

[

1

6

Entonces:

[

P A ∩ B

]

P A / B =

[ ]

]

2 1 = 6= = , 1

P B

2

6 3

que por supuesto coincide con el mismo valor que calculamos usando la definición de probabilidad de Laplace. Tambien podríamos considerar la probabilidad inversa de ocurrencia de los eventos anteriores:

[

]

P B / A =

[

]

P B ∩ A

[ ]

P A

=

[

P A ∩ B

[ ]

P A

]

1 =

1

6 =1 6

Lo cual nos indica que obtener un número par al lanzar un dado, dado que salio un cuatro es un suceso seguro, que denotaremos por:

P ( S ) = P ( E ) = 1

Obsérvese que según la definición de probabilidad condicionada, la probabilidad de la intersección de dos sucesos de probabilidad no nula se puede escribir como:

 P A[ ] P B[ / A]














11

Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión “sabiendo que” que” no apor aporte te ning ningun una a info inform rmac ació ión. n. De este este modo modo intr introd oduc ucim imos os el conc concep epto to de independencia de dos sucesos A y B como:

A es independie nte de B

⇔ P [ A ∩ B] = P [ A] . P [ B]

Esta relación puede ser escrita de modo equivalente cuando dos sucesos son de probabilidad no nula como:

 P A[ ] = P A[ ] P B[ A/ ]  A e i sn d en pdt Bee Pn A[ ] d≠ 0 i≠ Pe B[ ] ⇔  o e q u e i vm a  P B[ ] = P A[ ] P A[ B/ ]  OPERACIONES CON PROBABILIDAD (reglas elementales del cálculo de probabilidades) 1.) REGLA DEL SUCESO CONTRARIO:

[ ]
















Si los sucesos A y B , son disjuntos es decir

A ∩ B

12

= φ , se dice que los eventos son

mutuamente excluyentes siendo en consecuencia la probabilidad suma: P [ A ∪ B ] = P [ A ∨ B ] = P [ A + B ] = P [ A] + P [ B ] = P [ A]

La forma de leer esta notación es: P [ A ∪ B ] probabilidad de la unión de los eventos

A

ó B

P [ A ∨ B]

probabilidad de que ocurran los eventos

A

ó B

P [ A + B ]

probabilidad de que ocurran los eventos

A

ó B

+ P [ B ]

, o probabilidad de la

suma de eventos. De ahora en adelante será esta última notación la que utilizaremos de aquí en adelante. 4.) PROBABILIDAD DEL EVENTO PRODUCTO Sean dos eventos o sucesos

A , B

E,

⊂

no necesariamente disjuntos, entonces la

probabilidad de su intersección es:

 P [ A] P B[ / A]  P [ A ∩ B] =   P [ B] P [ A / B ] 













Capitulo 1 Probabilidad P [ A + B]

b.)

=

P [ A * B ]

P [ A] + P [ B] =

1

−

[

P A

−

+

P [ A* B]

B

]

=

1

−

=

0,5

0,65

+

=

0,2

0,05

−

13 =

0,65

0,35

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Un accionis accionista ta compra compra en la bolsa tres tres acciones acciones diferent diferentes. es. La probabili probabilidad dad de que la primera aumente su valor es de 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente de 1/10. Determine la probabilidad de que: a) Todas Todas aum aument enten en de valor valor b) Ning Ningun una a aument aumente e de valo valor r c) Una Una aum aument ente e su su val valor or d) Dos aument aumenten en su su valo valor r e) Por lo lo menos menos dos dos aument aumenten en su valor valor














14

1   3   9  27 = P( A) P( B) P( C ) =  = 0,225       = 120  3   4   10  120  1   1   1  1 = 0,008 P( A B C ) = P( A) P( B ) P( C ) =       = 120  3   4   10  120 d)  2   3   1  6 = 0,05 P( A BC ) = P( A ) P( B ) P( C ) =       = 120  3   4   10  120 P( ABC )

Pr [ Una aumente su valor ]

=

27 120 120

+

1 120 120

+

6 120 120

=

34 120 120

= 0,283 = 0,225 + 0,008 + 0,05

Pr [ Por lo menos 2 aumenten su valor ] = Pr [2 aumenten su valor ] + Pr [3 aumenten su valor

e)

=

34 120

+

3 120

=

37 120

= 0,308

Pr [ Por lo menos 1 aumente su valor ] = 1 − Pr [ Ninguna aumente su valor ] = 1 −

f) =

102 120

]

18 120

= 0,85 = 1 - 0,15

2) Diez unidades unidades de producción producción se selecciona seleccionan n de una línea de de producción. producción. Tres de estas estas 10 son defectuosas. Si se deben sacar 5 de las 10, ¿Cuál es la probabilidad de que 2














15

3) El presidente presidente debe seleccio seleccionar nar 5 miembros miembros de una lista lista de doce diputados, diputados, de los cuales cuales 7 lo apoyan y 5 le hacen oposición. Si el selecciona selecciona al azar, ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que la mayoría del comité apoye al presidente?. Hay tres formas de plantear el problema: La primera manera es buscando todas las formas posibles en que el presidente tenga mayoría, que es cuando tiene en el comité tres, cuatro o cinco (todos) que lo apoyan. En este caso buscamos todas las posibilidades en que se pueden combinar los 12 miembros tomados de 5 en 5, C 512 = 792 . Luego Luego buscamos buscamos todas todas las posibil posibilidad idades es en que tiene mayoría: 7 5 C 3 C 2 = ( 35 ) (10 ) = 350 Con tres a favor casos 175 Con cuatro a favor C 47 C 15 = ( 35) ( 5) = 175 casos Con todos a favor C 57 C 05 = ( 21) (1) = 21 casos. En total = 546 casos a favor, luego la probabilidad buscada 546 546 =0,6894 (68,94%) es: P [ Mayoría apoye al presidente ] = 792 792

Segunda forma: Es muy semejante a la primera solo que se calculan las probabilidades individuales para cada caso en mayoría y estas se suman: P [ Mayoría

apoye al presidente

] =[

3 a favor ] + [ 4 a favor ] + [ 5 a favor ]

350

175

21

546














16

Y por último el caso en que todos están con el presidente: FFFFF , un solo caso en cuyo caso Pr [ Los 5 apoyen al presidente ] = (1) ( 0,0265 ) = 0,0265 Y sumando las tres probabilidades tenemos: P [ Mayoría

apoye al presidente

] = 0,4419 + 0,2210 + 0,0265 = 0,6894

(68,94%)

TABLAS DE CONTINGENCIA Y PROBABILIDAD Una tabla de contingencia permite identificar las frecuencias asociadas con cada una de las categorías de una variable (variable fila X ), ), con cada una de las categorías de una segunda variable variable (variable (variable columna columna Y ). ). Cada intersección de fila con columna nos da el número de individuos que poseen simultáneame simultáneamente nte el valor del atributo x en la variable fila X , y el valor del atributo y en la columna Y .

EJEMPLOS: 1.) La siguiente tabla de contingencia, de los 500 empleados de una empresa, según clasificación de los empleados por sexo:















Capitulo 1 Probabilidad Genero (H)ombres

(A)dministrativo 0,24

(O)perativo 0,30

(S)ervicios 0,06

17

0,60

(M)ujeres

0,10

0,28

0,02

0,40

TOTAL

0,34

0,58

0,08

1,00

Los valores a los márgenes de la tabla se denominan probabilidades marginales. Cada celda del cuerpo de la tabla representa la probabilidad de intersección de los dos eventos o categorías asignadas a cada una de las variables, por ejemplo la probabilidad de selecc seleccio iona narr al azar un miemb miembro ro del perso persona nall P [ H . A]

=

0,24

sea sea Hombre Hombre

y Admin Adminis istr trat ativ ivo o es

. Una Una prob probab abililid idad ad marg margin inal al puede puede hall hallars arse e como como la suma suma de las las

probabilidades conjuntas correspondientes, por ejemplo:













Capitulo 1 Probabilidad TOTAL

60

40

100

TOTAL

60

40

100

TOTAL

60

40

18

100

TOTAL

60

40

100

Vamos a suponer que escogemos al azar una persona de la Zona A, y descubrimos descubrimos que es joven. ¿Cuál es la probabilidad de que se decida por el Sí? Esto puede escribirse en términos de probabilidades como:

P [ S / J ]

probabi probabilida lidad d condici condicional onal obtendr obtendríam íamos: os:

=

40 70

4

= . Tambié También n si usamo usamoss la formu formula la de 7

P [ S / J ]

=

P [ S * J ] P [ J ]

=

40 100 100 70 100 100

4

= , el mismo 7

resultado. Consideremos ahora la tabla correspondiente a la Zona B , aquí todos los que está están n de acue acuerd rdo o con con la opci opción ón Sí, Sí, son son jóve jóvene nes, s, Así Así hay hay una una rela relaci ción ón obvi obvia a (no (no














19

combinaciones combinaciones lineales lineales de las otras filas (columnas), es decir si se pueden obtener las filas (columnas) mediante la multiplicación de algún factor fijo por otra fila (columnas). En este caso si multiplicamos cada elemento de la fila fila 2 por el factor 7

3

, obtenemos el elemento

correspondiente de la fila 1, de manera semejante si multiplicamos la columna 2 por el factor 3 2

obtenemos la primera columna.

En la mayor parte de las aplicaciones y/o ejercicios supondremos la independencia de los sucesos A y B , y luego usarem usaremos os esta hipót hipótesis esis para para calcula calcular r P ( A) . P ( B ) .

P [ A * B] ,

mediante

Gene Genera ralm lmen ente te,, las las cond condic icio ione ness físi física cass bajo bajo las las cual cuales es se real realiz iza a el

expe experi rime ment nto o hará harán n posi posibl ble e dete determ rmin inar ar,, si tal tal supo suposi sici ción ón es just justifific icad ada a o al meno menoss aproximadamente justificada.













Capitulo 1 Probabilidad NIVEL

20

POBRE

EDUCATIVO (E)XTREMO (P)OBRE (N)O POBRE TOTAL (B)ASICA 10 20 40 (S)ECUNDARIA 20 (U)NIVERSITARIA 10 20 TOTAL 20 60

Se pide: a) P ( B )

b) P ( E * S )

c) P ( N * U )

Solución: a) 0,332

b) 0,083

d)

P ( B * P )

c) 0,083

d) 0,167














21

Teorema de la probabilidad total o de la partición Sea A1 , A2 ,...... An ⊂ E , un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces

∀ B ⊂ E ⇒

P [ B] =

n

∑= P [ A ] . P [ B / A ] i

i

i 1

Demostración: n n   n   n    P [ B ] = P [ B ∩ E] = P  B ∩  Ai   = P  ( B ∩ Ai )  = = ∑ P [ B ∩ Ai ] = ∑ P [ Ai ] . P [ B / Ai ] i =1 i =1  i=1   i =1   

Ejemplo:
















P [ A / S 1 ] = 2 / 5

P [ S 1 * A] = P [ S 1 ] P [ A / S 1 ] =

4 2 6 5

=

8 30

22

= 0,27














Si

A1 , A2 ,..., An

23

⊂ E es un sistema sistema exhaustivo y excluyente de sucesos (partición de

E) y B ⊂ E un suceso del que conocemos todas las cantidades las que denominamos verosimilitudes, entonces se verifica:

P [ B / Ai ],

i =1,..., n,

a














24

Hemos de calcular P [ A2 / D] (probabilidad a posteriori de que la pieza suministrarse el segundo proveedor, sabiendo que es defectuosa). Para ello usamos el Teorema de Bayes:














[ ]

[

]

25














26

Solución: 5 9 2)

Supóngase que

A

y

B son dos sucesos independientes asociados con un

experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurra es igual a 0.6 , mientras que la



















































Nociones de Probabilidad y Ejemplos

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