GUIA 42 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 42.1) Durante los últimos años, se ha logrado establecer que el 30% de los alumnos que ingresan por primera vez a cierta Universidad, reprueban todas las asignaturas de primer semestre. Si, en el segundo semestre, se elige al azar a 15 alumnos que ingresaron el semestre anterior a la Universidad. a) ¿Cuál es la probabilidad que sólo 5 de ellos hayan reprobado todas las asignaturas de primer semestre? b) ¿Cuál es la probabilidad que a lo más 13 hayan reprobado todas las asignaturas de primer semestre? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 8 o más hayan reprobado todas las asignaturas? 42.2) 73.08. a) b)
En una variable aleatoria X con distribución binomial, E(X) = 8.4
E(X2) =
Encuentre los parámetros n y p de la distribución binomial. Calcule la probabilidad de que X sea mayor que 5.
42.3) Un sociólogo piensa que sólo la mitad de los egresados de la enseñanza media, con buenas aptitudes académicas, realmente ingresan a una Universidad. Asuma que lo que piensa el sociólogo es correcto, y asuma independencia entre los eventos. De un grupo de 17 alumnos de 4o medio, con buenas aptitudes académicas, encuentre la probabilidad de que 10 o más ingresen a una Universidad. De este grupo,¿ cuál es el número esperado de los que ingresan a una Universidad? 42.4) Sólo el 30% de la población de una gran ciudad, piensa que el sistema de transporte masivo es adecuado. a) Si 20 personas son seleccionadas aleatoriamente de dicha población, encuentre la probabilidad de que 5 o menos, piensen que el sistema es adecuado. b) Encuentre la probabilidad de que exactamente 6 piensen que el sistema es adecuado 42.5) A partir de los registros históricos de una empresa, se ha estimado que la probabilidad de que se vendan en un día más de diez de sus artículos, es 0.2. Indique la probabilidad de que tal venta ocurra al menos una vez en los próximos cinco días. ¿Qué condición debe cumplirse? 42.6) En los problemas que a continuación se describen (a, y b).
i) ii) iii)
Defina la variable aleatoria X apropiada, y encuentre su recorrido. Describa el modelo probabilístico (función de probabilidad). Calcule la esperanza y desviación estándar de X.
a) A partir de datos históricos de una empresa de servicio de mantención de computadores, se ha establecido que alrededor de 1/8 de los computadores que se reciben no tienen arreglo. Se elige diez computadores, al azar, de los archivos con que cuenta la empresa. Se desea contar la cantidad de computadores que no pudieron ser reparados. b) Se ha notado en general, que la probabilidad de que un alumno cualquiera, llegue atrasado a una clase específica es 0.6. Suponiendo independencia (¿qué significa "suponer independencia" aquí?). Considere la cantidad de alumnos que llega atrasado a la clase en cuestión, en un curso de 23 alumnos. Mencione al menos, una situación real, donde el supuesto de independencia no se cumple. 42.7) Muestreo de inspección. Se contrata una compañía farmacéutica, para proveer lotes de vacunas para ganado. Ocasionalmente, algunas de ellas resultan estériles. Probar cada frasco individual no es práctico, pues inutiliza la vacuna. Para monitorear su calidad, el distribuidor utiliza el siguiente proceso de muestreo: se escogen aleatoriamente 10 frascos de cada lote, registrándose la cantidad de frascos estériles, X. Sí X = 0, se acepta el lote. Si X ≥ 1 es rechazado. Este proceso recibe el nombre de plan de muestreo simple, con tamaño muestral n=10 y número de aceptación C=0. Asuma que el lote es suficientemente grande, de manera que la distribución de X sea aproximadamente binomial, con n=10 y p (fracción de frascos estériles por lote), desconocida. (¿Por qué se precisa asumir que el tamaño del lote es grande?). a) Si p=0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea aceptado, con el plan de inspección del distribuidor? b) Calcule las probabilidades de aceptar un lote, P(A), para p=0.05; 0.1; 0.2; 0.3 y 0.4. Grafique P(A) versus p; una luego los puntos con una curva. (Esta recibe el nombre de curva característica operativa del plan de muestreo). c) Para un plan alternativo, con n= 15 y C= 1, calcule P(A) para distintos valores de p, y dibuje la curva característica operativa correspondiente. d) ¿Con cuál plan hay un riesgo menor de aceptar un lote que contenga un 20% de frascos estériles? 42.8) X e Y, denotan dos variables aleatorias, cada una con distribución binomial, con los parámetros que se indican: X ∼ B(2, p)
e
Si se sabe que P(X
Y ∼ B(4, p)
≥ 1) = 5 , encuentre P(Y ≥ 2). 9
42.9) En una fábrica, un jefe registra si el turno de noche tiene mayor índice de producción que el de día, en cada uno de los cinco días laborales de una semana. Suponga que el hecho que el turno de noche tiene mayor índice de producción que el de día es independiente entre los distintos días. a) b)
Describa un espacio muestral apropiado para el registro hecho por el jefe. Suponga que la probabilidad de que el turno de noche tenga mayor índice de
producción es 0,46. Construya una tabla de probabilidades de X
Respuestas 42.1) 42.2) 42.3) 42.4) 42.5) 42.6) a)
a) 0.2061 b) 1.0000 c) 0.05 a) n=12; p=0.7 b) 0.9614 0.3145; E(X)=8.5 egresados. a) 0.4164 b) 0.1916 0.6723; debe haber independencia entre las ventas diarias. i) Número de computadores que no tienen arreglo. x
ii)
b)
f ( x) =
10! ⎛1⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x!(10 − x)! ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠
10 − x
iii)
1.25 computadores;
i)
Número de alumnos que llega atrasado a la clase.
ii)
f ( x) =
1.0458 computadores
23! (0.6)x (0.4)23− x x!(23 − x)!
iii) 13.8 alumnos; 2.35 alumnos 42.7) a) 0.1074 b) y c) n=10; C=0 Fracción de frascos té il 0.01
d) 42.8)
si x = 0,1,...,10
Probabilidad de t ll t 0.9044
si x = 0,1,..., 23
n=15; C=1 Probabilidad de t ll t 0.9904
0.05
0.5987
0.8290
0.1
0.3487
0.5490
0.2
0.1074
0.1671
0.3
0.0287
0.0353
0.4
0.0060
0.0052
n=10, C=0
P(Y ≥ 2) = 0.4074
42.9) x
f(x) = Prob(X=x)
0
0.0459
1
0.1956
2
0.3332
3
0.2838
4
0.1209
5
0.0206
