Universidad Politécnica Salesiana
Integrantes: Paul Stalin Aguaiza Julio Cesar Jaramillo Christopher Adrián Samaniego Guzmán
Materia: Probabilidad y Estadística
Docente: Ing. Eduardo Pinos
Ciclo: 3
Automatización Carrera: Electrónica y Automatización
Índice Introducción .................................................................................................................................. 2 Objetivo General .......................................................................................................................... 2 Objetivo especifico ....................................................................................................................... 2 Marco Teórico ............................................................................................................................... 3
¿Qué es una distribución Binomial? .......................................................................................... 3 ¿Qué es una distribución Multinomial? .................................................................................... 5 Conclusiones ................................................................................................................................. 7 Bibliografía .................................................................................................................................... 7
Una distribución de probabilidad indica toda la cantidad de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar a la distribución de frecuencias relativas. Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.
Identificar los conceptos de función de probabilidad y función de densidad para variables aleatorias discretas y continuas, respectivamente.
Reconocer la distribución binomial y el contexto de su aplicación.123
Reconocer la distribución normal y el contexto de su aplicación.
Calcular probabilidades para variables aleatorias binomiales.
Identificar cuándo es aceptable aproximar una distribución binomial por una normal y cómo hacerlo
Calcular probabilidades para variables aleatorias normales el uso de tablas.
¿Qué es una distribución Binomial? En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que indica el número de éxitos al realizar una secuencia de n ensayos independientes entre sí, con una probabilidad fija (p) de ocurrencia del éxito e ntre esos ensayos. Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica. La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, se expresa con la fórmula:
Donde: La distribución binomial se expresa por B(n, p) n es el número de pruebas o ensayos. x es el número esperado de éxitos. p es la probabilidad porcentual de éxito. q es la probabilidad porcentual de fracaso, que se obtiene siempre haciendo 1 – p.
APLICACION Utilice la distribución binomial para describir un proceso donde los resultados se pueden etiquetar como un evento o un no evento y cuando esté interesado en la ocurrenci a de un evento y no en su magnitud. Por ejemplo, un elemento pasa o no pasa una inspección o un partido político gana o pierde. La distribución binomial se usa frecuentemente en control de calidad, sondeos de opinión pública, investigaciones médicas y seguros.
CARACTERISTICAS Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario (fracas o).
̅
2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3. La probabilidad de fracaso también es constante, Se r epresenta por q, q = 1 – p 3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. 5. La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n. Nota: Hay que observar que las probabilidades de éxito y fracaso son complementarias ; es decir, q = 1 – p y p = 1 – q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra. El coeficiente binomial
, también llamado número combinatorio, se puede expresar como nCx. El cálculo del coeficiente binomial se obtiene con la fórmula
Al incluir n! incorporamos el concepto de función factorial, el que se puede ver en Factorial o Función factorial. Ahora, veamos algunos ejemplos o ejercicios que nos permitirán entender mejor esta operatoria matemática llamada distribución binomial.
EJEMPLO 1: Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas. Se trata de una distribución de probabilidad binomial, B(n, p), con n = 6, p = P(acie rto) = 0,25 y q = P(fallo) = 0,75. Como se sabe, para la B(n, p), la probabilidad de r aciertos en n intentos es:
PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Media
Varianza
Desviación típica
¿Qué es una distribución Multinomial? La distribución Multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensa yo, puede haber múltiples resultados. La distribución Multinomial sigue el siguiente modelo:
( = , = , = … ) = ! ∗ ! ∗ ∗ … ∗ ∗ ∗ …
Donde:
X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas)
n: indica el número de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5 veces)
n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1) p1: es la probabilidad del suceso X1 (en el ejemplo, el 40%) CARACTERISTICAS a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes. c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes. d) El número de repeticiones del experimento, n es constante.
APLICACIÓN La distribución Multinomial al ser una distribución discreta, se puede aplicar en cualquier caso de distribución binomial y con la posibilidad de que pueda tener más de dos posibles resultados, sino, múltiples resultados.
PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
La esperanza matemática del suceso i observado en n pruebas es:
La varianza es:
EJEMPLO 2:
Supóngase que el 23 % de las personas que asisten a cierto partido de “baseball” viven a menos de 10 millas del estadio, el 59 % de ellas viven a entre 10 y 50 millas del estadio, y el 18 % vive a más de 50 millas. Se seleccionan al azar 20 personas entre los asistentes al partido (que son miles). Calcular la probabilidad de que siete de los seleccionados vivan a menos de 10 millas, ocho vivan entre 10 y 50 millas, y cinco vivan a más de 50 millas del estadio.
Solución
n = 20 (número de personas seleccionadas), k = 3 (cantidad de grupos de clasificación de las personas); y1 = {Personas que viven a menos de 10 millas del estadio}, y2 = {Personas que viven a entre 10 y 50 millas del estadio}, y3 = {Personas que viven a más de 50 millas del estadio}; p1 = 0,23, p2 = 0,59, p3 = 0,18
P (N1 = 7, N2 = 8, N3 = 5) =
∗ 0,59 ∗ 0,1 8 720 0,23 85
! !!! 0,23 ∗ 0,59 ∗ 0,1 8
=
=0,0094
Probabilidad y Estadistica para Ingenieria, William W, Douglas C, David M, CECSA, 1. Mexico 2005 Estadística aplicada, Lothar Sachs, Editorial Labor,s.a. Barcelona 1978
[1] https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributionsand-random-data/supporting-topics/distributions/binomial-distribution/ [2]http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Distribucion_binomial.html [3]https://www.ditutor.com/distribucion_binomial/distribucion_binomial.html [4]https://www.vitutor.com/pro/3/b_1.html [5]http://www.vadenumeros.es/sociales/distribucion-binomial-parametros.htm [6]http://www.aulafacil.com/cursos/l11243/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribucionesdiscretas-multinomial [7]http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo3/B0C3m1t7.ht m [8]https://prezi.com/8qsmh1o3unat/la-distribucion-multinomial/ [9]https://prezi.com/zx_j_czcd3pj/distribucion-multinomial/
[10]http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/02Distr%20M ultinomial.htm
