I.
La Distribución Binomial
La Distribución Binomial es una las distribuciones de probabilidad discretas más importantes, la cual tiene muchas aplicaciones en Ingeniería, Administración, etc. •
Esta distribución se origina en los Ensayos o Experimentos Bernoulli que consiste en realizar 1 experimentos que tiene dos resultados posibles, llamados “éxito” y “fracaso”. Ejemplos: 1. Lanzar una moneda 2. Rendir un examen para cubrir una vacante Ensayos de Bernoulli 3. Observar el sexo de un recién nacido. 4. Encender una maquina y verificar si funciona, etc. •
Experimento Binomial: Es aquel que consiste en realizar “n” veces ensayos de Bernoulli, en el cual se debe cumplir lo siguiente: Cada ensayo tienen solo dos resultados posibles. Los ensayos son independientes. La probabilidad de éxito “p” es constante en cada ensayo. •
•
1.
Esta distribución tienen las siguientes características: Su variable aleatoria esta definida como: X: Numero de éxitos en “n” ensayos.
2.
Su recorrido o rango es: Rx = {0,1,2,3,4,5, …, n}
3.
Su función de probabilidad esta dada por:
n x n− x xf )( = P(X = x) = qp ,x = 0,12, n. . . , x
4.
Sus parámetros son : n : Numero de veces que se repite el experimento o tamaño de muestra. p : Probabilidad de éxito en cada uno de los ensayos.
5.
Su notación es : X
6.
Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente
B ( n, p ) TABLAS TIPO I
A. B. C. D. E.
P P P P P
( ( ( ( (
X≤a X>a X≥a X=a a
) = Usar directamente la tabla )=1- P(X≤a) )=1- P(X≤a-1) )=P(X≤a)-P(X≤a-1)
TABLAS TIPO II CASO CASO CASO CASO CASO CASO
1. 2. 3. 4. 5. 6.
P P P P P p
(X=a)= (X≥a)= (X>a)= (X
Usar directamente la tabla INDIVIDUAL Directamente tabla acumulada p(x ≥ a+1) 1 - P(X≥a) 1 - P (X ≥ a+1 ) = P (X ≥ a ) - P (X ≥ b+1 )
ESTUDIO DE CASOS
CASO Nº 01: En el almacén de la empresa TEXACO, hay 12 artículos eléctricos de los cuales 3 de ellos son defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 5 a partir del grupo. Cual es la probabilidad de que: a. Exactamente 1 sea defectuoso.
b. Ninguno sea defectuoso.
c. Por lo menos 2 sean defectuosos.
CASO Nº 02: En un juego de apuestas entre los estudiantes de la UPN y el profesor de estadística, el estudiante arroja una moneda 10 veces. En este juego se tienen en cuenta las siguientes apuestas: a. Si obtiene 5 caras o más, el estudiante gana 2 puntos en su examen de medio ciclo. b. Si obtiene menos de 3 caras no gana ningún punto. c. Si obtiene más de 6 caras gana 3 puntos. d. Si obtiene 2 caras o menos se le quita 1 punto en el examen de medio ciclo. Cuales son las respectivas probabilidades en las diferentes apuestas:
P(X≥5)=
P(X<3)=
P(X>6)=
P(X≤2)=
CASO Nº 03: Una máquina produce cierto tipo de piezas, de las cuales un promedio de 5% son defectuosas. En una muestra aleatoria de cinco piezas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener: a) exactamente una pieza defectuosa?
b) por lo menos una pieza defectuosa? CASO Nº 04: El 60% de los estadounidenses leen su contrato de trabajo, incluyendo las letras pequeñas (“Snapshots”, usatoday.com, 20 de enero, 2004). Suponga que el número de empleados que leen cada una de las palabras de su contrato se puede modelar utilizando la distribución binomial. Considerando un grupo de cinco empleados, encuentre cuál es la probabilidad de que: a) Los cinco lean cada una de las palabras de su contrato. b) Al menos tres lean cada una de las palabras de su contrato. c) Menos de dos lean cada una de las palabras de su contrato.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DISTRIBUCION BINOMIAL
1. Usted y dos amigos decidieron ir al Sanguchón, donde durante el mes pasado sirvieron el 90% de los pedidos con exactitud. ¿Cuál es la probabilidad de que a) Los tres pedidos se sirvan con exactitud? b) Ninguno de los tres pedidos se sirvan con exactitud? c) Al menos dos de los tres pedidos se sirva con exactitud? d) ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de pedidos servidos con exactitud? 2. Cuando un cliente hace un pedido a la Papelería en Línea de Rudy, un sistema contable computarizado (AIS, por sus siglas en inglés) verifica automáticamente si el cliente ha excedido o no su límite de crédito. Los registros señalan que la probabilidad que los clientes exceden su límite de crédito es de 0.05. Suponga que durante un día determinado, 20 clientes hicieron un pedido. Suponga también que el número de clientes que según el sistema AIS excedieron su límite de crédito está distribuído como variable aleatoria binomial. a) ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de clientes que excedieron su límite de crédito? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente exceda su límite de crédito? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo un cliente exceda su límite de crédito? d) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más clientes excedan su límite de crédito? 3. Se sabe que en el distrito “X”, el 75% de los establecimientos comerciales no entregaba factura al momento de efectuar una transacción económica. ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de 16 empresas: a) Ninguna entregue factura? b) A lo más la mitad entreguen factura? 4. Cada otoño las televisoras presentan nuevos programas. Con la idea de atraer el interés de los espectadores, durante el verano se transmiten anuncios como parte de una campaña publicitaria previa a su aparición en otoño. Después, las televisoras realizan encuestas para ver qué porcentaje de los espectadores está al corriente de los estrenos. De acuerdo con datos procedentes de las televisoras, durante el otoño de 2001, el 68% de los espectadores de entre 18 y 49 años supieron de la nueva serie Criminal Intent, mientras que sólo el 24% de ellos
escucharon de Inside Schwartz (Joe Flint, “Viewers Awareness of New Shows Rises”, The Wall Street Journal, 20 de agosto, 2001) a) La cifras del 68% y del 24% citadas por las televisoras. ¿quedarían como
probabilidades clásicas a priori, probabilidades clásicas empíricas o probabilidades subjetivas? Suponga que selecciona una muestra de 20 espectadores con edades de 18 a 49 años.¿ cuál es la probabilidad de que: b) Menos de cinco espectadores vean Criminal Intent? c) 10 o más espectadores vean Criminal Intent? d) Los 20 vean Criminal Intent? 5. Un ingeniero en seguridad automotriz afirma que 1 de 10 accidentes
automovilísticos son causados por fatiga del conductor. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 de 5 accidentes automovilísticos sean causados por fatiga del conductor? 6. Se sabe que el 30% de pobladores adultos de cierto distrito apoyan la actual gestión de su alcalde. Si se seleccionan al azar a 10 de ellos, ¿Cuál es la probabilidad de que : a. Por lo menos 5 apoyen su gestión? b. Como máximo sean tres personas las que muestren dicha simpatía 7. Un científico social afirma que sólo 50% de los estudiantes de último año de
colegio capaces de desarrollar trabajo universitario van realmente a la universidad. Suponiendo que esta información es cierta, encuentre la probabilidad de que entre 18 estudiantes del último año de colegios capaces de hacer investigación universitaria: a) Exactamente 10 irán a la universidad. b) Al menos 10 Irán a la universidad. c) Cuando mucho 8 Irán a la universidad. 8. Air América tiene la política de registra a 15 personas en un avión donde sólo
caben 14. (Estudios anteriores revelaron que sólo el 85% de los pasajeros que se registran usan el vuelo). Calcule la probabilidad de que, si Air América registra a 15 personas, no haya suficientes asientos disponibles. ¿Será la probabilidad lo suficientemente baja, de modo que la sobreventa no sea un problema real para los pasajeros?
9. En una encuesta de Enero del 2007, se habló con miles de estudiantes de edades de 18 a 22 años acerca de finanzas personales. En la encuesta se encontró que 30% de los estudiantes tienen su propia tarjeta de crédito. a. En una muestra de seis estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de crédito? b. En una muestra de seis estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos tengan su propia tarjeta de crédito? c. En una muestra de 10 estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga su propia tarjeta de crédito? 10. Suponga que la probabilidad de que un automóvil robado en cierta ciudad del
oeste se recupere es 0.63. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 8 de 10 carros robados en esta ciudad se recuperarán? 11.Un estudiante se presenta a un examen de selección múltiple que contiene ocho preguntas cada una, con tres respuestas opcionales. Si el estudiante está adivinando al responder cada pregunta y, además se sabe que para aprobar el examen debe responder correctamente seis o más preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen? 12. Un sistema de satélite consta de 4 elementos y puede funcionar adecuadamente sólo si por lo menos 2 de los 4 componentes está en condiciones de funcionar. Si cada componente está, independientemente, en condiciones de funcionar con probabilidad 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione adecuadamente? 13.¿Puede señalar la diferencia entre Coca Cola y Pepsi en una prueba de degustación a ciegas?. La mayoría afirma que puede hacerlo y se inclina por una u otra marca. Sin embargo, las investigaciones sugieren que la gente identifica correctamente una muestra de uno de estos productos sólo 60% de las veces. Suponga que decide investigar esta cuestión y selecciona una muestra de 15 estudiantes universitarios. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 10 de los estudiantes que participaron en la encuesta identifiquen correctamente la Coca Cola o Pepsi? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 13 estudiantes identifiquen correctamente la Coca Cola o la Pepsi?
14. Cuarenta por ciento de las personas que viajan por negocios levan un teléfono celular o una computadora portátil (USA Today, 12 de septiembre de 2007). En una muestra de 15 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan un teléfono celular o computadora portátil? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 12 de los viajeros no tengan ni teléfono celular ni una computadora portátil? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres tengan un teléfono celular o una computadora portátil? 15. Un estudio reciente hecho por la Asociación de Vigilantes de Carreteras de Perú reveló que sólo 40% de los conductores de automóviles se coloca el cinturón de seguridad al manejar. Se seleccionó una muestra de 10 automovilistas en una carretera de Cajamarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 se hayan colocado el cinturón? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 7 de los conductores lleven puesto el cinturón de seguridad? 16. La probabilidad de que un estudiante obtenga el titulo de Ingeniero de Sistemas es 0.30. Hallar la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso, finalice la carrera: a) Ninguno de los siete finalice la carrera b) Finalicen todos c) Al menos dos finalicen la carrera. Un distribuidor de software desea obtener retroalimentación de los clientes acerca de su reciente paquete. Han adquirido el producto 3000 clientes. Suponga que 600 de ellos están insatisfechos con el producto. Se realiza un muestreo aleatorio e interrogatorio de 20 clientes acerca del paquete. a) Determine la probabilidad de que como máximo 3 clientes estén insatisfechos.
17.
II. La Distribución de Poisson. • La Distribución de Poisson es otra de las distribuciones de probabilidad discretas más importantes por que se aplica en muchos problemas reales. • Esta distribución se origina en problemas que consisten en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo (unidad de medida). • Ejemplos: 2. Numero de manchas en un metro cuadrado de un esmaltado de un refrigerador. 3. Numero de vehículos que llegan a una estación de servicios durante una hora. 4. Numero de llamadas telefónicas en un día. 5. Numero de clientes que llegan3a un banco durante las 10 y 12 p.m. 6. Numero de bacterias en un cm de agua. • Esta distribución tienen las siguientes características: 1. Su variable aleatoria esta definida como: X: Número de ocurrencias en t unidades de medida (volumen, espacio, tiempo, longitud, etc.) 2.
Su recorrido o rango es: Rx = {0,1,2,3,4,5, ….}
3.
Su función de probabilidad esta dada por: f ( x) = P( X = x) =
e −λ ( λ ) x , x!
x = 0,1,2,...
4.
Su parámetro es λ que es la tasa de ocurrencia promedio en t unidades de medida.
5.
Su notación es : X
6.
Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente CASO 1. CASO 2. CASO 3. CASO 4. CASO 5. CASO 6.
P(λ)
P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla P ( X < a ) = P ( X ≤ a - 1) P(X>a)=1- P(X≤a) P ( X ≥ a ) = 1 – P ( X ≤ a - 1) P ( X = a) = P ( X ≤ a ) - P ( X ≤ a - 1 ) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a -1)
ESTUDIO DE CASOS CASO Nº 01: Las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un Banco en promedio a una razón de 14 por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 personas durante 1 hora?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 5 personas durante 30 minutos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 5 personas en 30 minutos?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen un máximo de 15 personas en 30 minutos?.
e. ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora el número de personas que lleguen esté entre 2 y 6 inclusive? (Incluyendo estos dos números)
CASO Nº 02: La secretaria de la UPN – Cajamarca indica que recibe un promedio de 2 llamadas cada 3 minutos por motivos académicos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba más de 3 llamadas en 3 minutos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba menos de 2 llamadas en tres minutos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba exactamente 2 llamadas en tres minutos?
d. ¿Cuál es la probabilidad de reciba 5 llamadas en 6 minutos?
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DISTRIBUCION POISSON
1. La computadora marca Veloz se descompone a razón de 0.05 veces por hora de operación, siendo necesario darle servicio especializado de reparación. ¿Cuál es la probabilidad que no ocurran descomposturas en un periodo de trabajo de 8 horas?, ¿Cuál es la probabilidad que ocurran por lo menos dos descomposturas en 40 horas? 2. Un estudio interno llevado a cabo por el departamento de Servicios tecnológicos de Lahey Electronics reveló que los empleados de la compañía reciben un promedio de dos correos electrónicos por hora. a) Cual es la probabilidad de que Linda Lahey, presidenta de la compañía, haya recibido exactamente 1 correo entre las 4 y 5 de la tarde del día de ayer. b) Cual es la probabilidad de que no haya recibido correos en ese horario. 3. La Financiera de Crédito “Financorp” recibe en promedio 2.2 solicitudes de préstamos para mejoramiento de vivienda por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba 2 solicitudes esta semana? 4. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50 000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100000 km, se pide: a. Probabilidad de que no haya tenido pinchazos. b. Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos 5. Hasta el momento, han llegado camiones a un muelle de carga y descarga en forma aleatoria a una tasa de uno por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen 2 camiones en la próxima hora?
6. Una planta nucleoeléctrica específica libera cantidades detectables de gases radiactivos dos veces por mes, en promedio. a. Calcule la probabilidad de que ocurran a lo sumo cuatro de esas emisiones en un mes. b. Calcule la probabilidad de que se detecten 12 o más emisiones durante un período trimestral. 7. En la empresa de textiles “Paracas” se producen ciertos tejidos de lana, con un promedio de un defecto cada 100 m2 ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de 50 por 10 metros tenga un defecto? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de 100 m2 presente un defecto como máximo? a.
8. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener: a) La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3 b) La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos 9. En cierta región desértica el número de personas que se enferman gravemente cada año por comer cierta planta venenosa es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con una tasa promedio de 5.2 enfermos por año. Encontrar las probabilidades de: a) Tres enfermedades como ésa en un año dado. b) Al menos 10 enfermedades como ésa en un año dado. c) Cualquier número entre cuatro y seis enfermedades como ésa (inclusive) en
un año dado. 10. El número de sanciones de tránsito en la ciudad de Cajamarca es aproximadamente de 20 autos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Haya 20 autos fraccionados en una hora. b) Haya menos de 12 autos fraccionados en 30 minutos. 11. Suelen requerirse estructuras de apoyo de peso en las minas subterráneas para soportar cargas adicionales durante las operaciones de extracción. A medida que las estructuras se ajustan al nuevo peso, ocurren desplazamientos de pequeña escala que llevan a la liberación de energía sísmica y acústica, el llamado ruido de roca. Esa energía es detectable con equipo geofísico especial. Suponga que en una mina específica el número promedio de ruidos de roca que se registra durante la actividad normal es tres por hora. ¿Consideraría inusual que se detectaran más de 10 en un periodo de dos horas? .Explique su respuesta a partir de la probabilidad correspondiente. 12. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson de parámetro λ = 0.4 . Calcular las probabilidades: a) de que en un determinado día se produzcan tres; a lo sumo uno; por lo menos dos accidentes. b) de que hayan 4 accidentes en una semana 13. Suponga que 1.5% e las antenas de los nuevos teléfonos celulares Nokia está defectuoso. En una muestra aleatoria de 200 antenas, calcule la probabilidad de que: a) Ninguna de las antenas se encuentre defectuosa b) Tres o más antenas se encuentre defectuosas 14. A partir de tablas de actuaría, Washington Insurance Comapny determinó que la probabilidad de que un hombre de 25 años de edad muera en el transcurso del próximo año es de 0.0004. Si Washington Insurance vende 5000 pólizas a hombres de 25 años durante este año, ¿Cuál es la probabilidad de que éstos paguen exactamente dos pólizas? 15. Se calcula que 0.5% de quienes se comunican al departamento de servicio al cliente de Dell, Inc., escuchará un tono de línea ocupada. ¿Cuál es la probabilidad de que de las 1200 personas que se comunicaron hoy, por lo menos 5 hayan escuchado un tono de línea ocupada?
