ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS CONTABILIDAD
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES GUIA DE PRÁCTICAS Nº 8 DISTRIBUCION BINOMIAL Profesor: Edwin Chaiña Cahui
La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad que está relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento binomial. Un experimento binomial tiene las cuatro propiedades siguientes. 1. El experimento consiste en una serie de n ensayos idénticos. 2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le llama éxito y al otro se le llama fracaso. 3. La probabilidad de éxito, que se denota p, no cambia de un ensayo a otro. Del mismo modo, la probabilidad de fracaso, que se denota 1 – p, tampoco cambia de un ensayo a otro. 4. Los ensayos son independientes. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL n x p 1 p n x x
B( n, p) : f ( x) P X x f ( x) P X x
función de probabilidad de x éxitos en n ensayos n: número de ensayos x: número de éxitos p: probabilidad de un éxito en cualquiera de los ensayos 1 – p: probabilidad de un fracaso en cualquiera de los ensayos VALOR ESPERADO Y VARIANZA EN LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL E x n p Var 2 n p 1 p
PROBLEMAS 1. Considere un experimento binomial con dos ensayos y p = 0.4. a. Calcule la probabilidad de un éxito, f(1). b. Calcule f(0). c. Calcule f(2). d. Calcule la probabilidad de por lo menos un éxito. e. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar. 2. Considere un experimento binomial con n = 10 y p = 0.10. a. Calcule f(0). b. Calcule f(2). c. Calcule P (x = 2). d. Calcule P (x = 1). e. Calcule E(x). f. Calcule Var(x) y σ. 3. Considere un experimento binomial con n = 20 y p = 0.70. a. Calcule f(12). b. Calcule f(16). c. Calcule P (x = 16). d. Calcule P (x = 15). e. Calcule E(x). f. Calcule Var(x) y σ
4. Calcular la probabilidad de que en siete lanzamientos de una moneda aparezcan. a. exactamente cuatro caras b. por lo menos cinco caras c. ninguna cara d. a lo más dos caras 5. En una población grande, el 16% de sus miembros son zurdos. Si se toma una muestra aleatoria de seis individuos. ¿Cuál es la probabilidad que sean zurdos: a. Todos b. a lo más dos c. tres o cuatro d. por lo menos cuatro e. la mayoría 6. Un vendedor de pólizas de seguros vende a 5 personas, todas de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que una persona de esta edad viva 30 años más, es 2/3. Hallar la probabilidad de que a los 30 años vivan: a. las cinco personas b. al menos tres c. solamente dos d. al menos una 7. En una encuesta se habló con miles de estudiantes de edades de 16 a 22 años acerca de finanzas personales. En la encuesta se encontró que 33% de los estudiantes tienen su propia tarjeta de crédito. a. En una muestra de 6 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de crédito? b. En una muestra de 10 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga su propia tarjeta de crédito? 8. El 5% de los camioneros en Estados Unidos son mujeres. Suponga que se seleccionan al azar 10 camioneros para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo. a. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camioneros sean mujeres? b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea mujer? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea mujer? 9. Se afirma que el 95% del correo de primera clase dentro de la misma ciudad se entrega en un lapso de dos días a partir del momento del envío. Se envían seis cartas a distintos lugares. a. ¿Cuál es la probabilidad de que las seis lleguen antes de dos días? b. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco lleguen antes de dos días? c. Encuentre el número medio de cartas que llegarán antes de dos días 10. La probabilidad de nacimientos de niños varones es de 51.7%. Halle la probabilidad de que una familia de 5 hijos tenga por lo menos una niña. 11. Una máquina que fabrica piezas para automóviles produce una pieza de cada 100 defectuosa. Si cogemos 10 piezas fabricadas por esa máquina. a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una defectuosa? b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos defectuosas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean correctas? 12. Un examen tipo test tiene 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, siendo sólo una de ellas correcta. Un alumno decide contestar aleatoriamente. Si para aprobar el examen hay que acertar 5 o más 13. preguntas, hallar: a. La probabilidad de aprobar el examen b. La probabilidad de acertarlas todas 14. Un examen de opción múltiple está compuesto de 12 preguntas con cinco respuestas posibles cada una, de las cuales solamente una es la correcta. Suponga que uno de los estudiantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10 preguntas?
15. Diez por ciento de los automóviles nuevos requerirán un servicio de garantía dentro del primer año. Honda vende doce automóviles en abril a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos autos requiera servicio de garantía? b. Determine la probabilidad de que por lo menos dos autos requieran servicio de garantía c. Calcule la media y la desviación estándar de esta distribución de probabilidad 16. Un estudio reciente de Patrulleros de carretera reveló que el 60 por ciento de los conductores en carretera utiliza el cinturón de seguridad. Se eligió una muestra de 10 conductores en un peaje. a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 7 de ellos estén usando el cinturón de seguridad? b. ¿Cuál es la probabilidad de que 7 o menos de los conductores usen el cinturón de seguridad? 17. La Agencia Central de Inteligencia (CIA) tiene especialistas que analizan la frecuencia de letras del alfabeto, en un intento por descifrar mensajes interceptados. En un texto estándar en inglés, la letra r se utiliza en una proporción del 7.7%. a. Calcule la media y la desviación estándar del número de veces que la letra r aparecerá en una página común de 2600 caracteres. b. En un mensaje interceptado que iba hacia Irak, se encontró que en una página con 2600 caracteres la letra r aparecía 175 veces. ¿Es esto infrecuente? 18. Mario’s Pizza Parlor acaba de inaugurarse, debido a la falta de entrenamiento de los empleados, existe sólo un 0.8 de probabilidad de que una pizza sea comestible. Se acaban de ordenar cinco pizzas. ¿Cuál es el número mínimo de pizzas que deben prepararse para estar al menos 99% seguros de que habrá cinco comestibles? 19. La probabilidad de que cada vehículo se demore más de 5 minutos en pasar la garita de peaje es constate igual a p. Si X es el número de vehículos que se demoran más de 5 minutos en pasar la garita de peaje de n que pasan por la garita. a) ¿Cuál es el modelo de probabilidad adecuado de X? b) ¿Qué probabilidad hay de que al menos 3 vehículos se demoren más de 5 minutos para pasar la garita si E(X) = 3 y Var(X)=2.4? 20. Se seleccionan al azar 3 artículos uno por uno con reposición de una producción que contiene el 10% de defectuosos. Sea X=Número de artículos defectuosos en la selección a. Describa el modelo de probabilidad del X. ¿Cuántas unidades defectuosas es más probable que contenga la selección? b. Grafique la distribución de X y describa su forma. Luego, calcule su media y su varianza. c. Grafique la función de distribución acumulada de X. 21. En una producción de cierto tipo de objeto, la probabilidad de que un objeto sea defectuoso es 0.2. Si en una muestra de n de tales objetos escogidos al azar uno por uno sin reposición, se espera que haya un defectuoso, a. ¿Qué probabilidad hay de que ocurra efectivamente un objeto defectuoso? b.
¿Cuántos objetos defectuosos es más probable que ocurra?
22. El 75% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 80% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. El 60% del total de la mercadería lo adquiere de A y el resto de B. Si se seleccionan al azar 4 unidades de la mercadería, ¿qué probabilidad hay de que se encuentren 2 unidades que sean de calidad excepcional? 23. En una empresa donde los empleados son 80% hombres y 20% mujeres, están realmente aptos para jubilarse el 10% de las mujeres y el 10% de los hombres. De cinco solicitudes presentadas para jubilarse, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos estén realmente aptos para jubilarse?
24. En una corporación el 25% del total de sus empleados conocen de gestión administrativa. Si se seleccionan 12 empleados al azar de esa corporación, a. Determine la distribución de probabilidades del número de empleados de la selección, que tengan conocimientos de gestión administrativa. Calcule su media y su varianza. b. Si cada empleado de la corporación tiene un sueldo fijo de 1200 soles y un adicional de 500 soles si conoce de gestión administrativa y de sólo 150 en caso contrario, ¿cuánto es el sueldo promedio de los 12 empleados seleccionados? c. Describa el modelo de probabilidad adecuado si la corporación tiene 20 empleados en total, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los empleados seleccionados tenga conocimientos de gestión administrativa? 25. Un vendedor a domicilio compra diariamente 10 unidades de un producto a $2 cada una. Por cada producto gana $13 si lo vende o pierde 1$ además del costo si no lo vende en el día. Si la probabilidad de venta de cada unidad es 0.2 y. si las ventas son independientes. a.
Obtenga la distribución de probabilidad del número de unidades vendidas.
b.
Calcule la utilidad esperada del vendedor.
26. El servidor de un sistema bancario asigna cada transacción al azar y con igual probabilidad, a una de cinco posiciones de memoria: 1, 2, 3, 4, 5. Si al terminar el periodo nocturno de un día se han registrado 15 transacciones, ¿cuál es la probabilidad de que el número de transacciones efectuadas a las posiciones de memoria par sea mayor que 3? 27. La secretaria de la compañía P&C deberla llegar a la oficina a las 8 de la mañana, pero, se retrasa 15 minutos en el 20% de las veces. El gerente de la compañía que no llega si no hasta las 10 de la mañana llama ocasionalmente a la oficina entre las 8 y 8.15 de la mañana. Calcule la probabilidad de que por lo menos en una de 5 mañanas que llama el gerente no encuentre a la secretaria. 28. La empresa “Cerámicas” tiene tres líneas de producción operativas A1, A2, A3, las que a su vez tienen respectivamente una probabilidad igual a 0.1, 0.15, 0.05 de producir una unidad defectuosa. La mitad de la producción es realizada por la línea A1, mientras que el 60% de la producción restante lo realiza la máquina A2, pero todas las unidades producidas llegan a un ambiente para el control y empaque. a.
¿Qué porcentaje de unidades defectuosas tiene la producción?
b. Si se selecciona una muestra de 20 unidades de la producción, ¿qué probabilidad hay de se encuentre una unidad defectuosa, si todos las unidades de la muestra provienen de una misma línea de producción? 29. Una prueba de aptitud consta de 12 preguntas con 4 alternativas cada una, de las cuales sólo una es la correcta. Si usted contesta al azar y en forma independiente todas las preguntas. a. Obtenga el modelo de probabilidad del número de respuestas correctas. Calcule su media y su varianza. b. Suponga que cada pregunta correctamente contestada vale 5 puntos y que por cada pregunta mal contestada se descuenta K puntos. Defina la nota del alumno y calcule el valor de K si se sabe que la media o esperado de la nota es 12. c. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno, obtenga la máxima nota 60?. Use el valor de K calculado en b)
