INTRODUCCIÓN Las distribuciones binomiales son las más útiles dentro de las distribuciones de probabilidad discretas. Dentro del campo de aplicación se encuentra inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación, etc. En las empresas se dan situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste puede ser de éxito o fracaso. Por ejemplo, en la producción de un artículo, éste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es un resultado de interés. Para situaciones como éstas se utiliza la distribución binomial. El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial. Según experimentos de Bernoulli la distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Por ejemplo: Al nacer un bebé puede ser varón o mujer. En el deporte un equipo puede ganar o perder. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas. También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones. Por ejemplo: Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo. La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta. La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo: Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso. - La obtención de ´éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones. - La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión. Veámoslo con un ejemplo Tiramos un dado 7 veces y contamos el número de cincos que obtenemos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cincos ?. Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es nuestro éxito?. Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos. El fracaso, por tanto,
será no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.
CAPITULO I: GENERALIDADES DATOS HISTORICOS: Daniel
Bernoulli (Groninga, 8
de
febrero de 1700 - Basilea, 17
de
marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés-suizo. Daniel
Bernoulli
era
hijo
del
matemático Johann
Bernoulli y
nació
en Groningen (Holanda), donde su padre era entonces profesor. En 1705, su padre obtiene una plaza en la Universidad de Basilea y la familia regresa a la ciudad suiza de donde era originaria. Por deseo de su padre realizó estudios de Medicina en la Universidad de Basilea, mientras que a la vez, en su casa, su hermano mayor Nikolaus y su padre ampliaban sus conocimientos matemáticos. Daniel finalizó los estudios de Medicina en 1721. En principio intenta entrar como profesor en la Universidad de Basilea, pero es rechazado. En 1723 gana la competición anual que patrocinaba la Academia de las Ciencias francesa y a su vez Christian Goldbach, matemático prusiano con el que mantenía correspondencia sobre las lecciones aprendidas con su padre, impresionado por el nivel de Bernoulli, decide publicar las cartas escritas por Daniel.
Daniel Bernoulli
En 1724, las cartas publicadas habían llegado a todo el mundo, y Catalina I de Rusia le envió una carta proponiéndole ser profesor en la recién fundada Academia de Ciencias de San Petersburgo. Por mediación de su padre, logró que se ampliara la oferta a los dos hermanos: Nicolás y Daniel. Su hermano murió en San Petersburgo en 1726 de tuberculosis. En la Academia Daniel trabajó en la cátedra de Física. Como anécdota decir que ese tiempo compartió piso con Euler, que había llegado a la Academia recomendado por el propio Daniel y al que ya conocía por ser un aventajado alumno de su padre en la Universidad de Basilea. Daniel estuvo ocho años en San Petersburgo y su labor fue muy reconocida. En el año 1732 vuelve a Basilea, donde había ganado el puesto de profesor en los departamentos de Botánica y Anatomía. En 1738 publicó su obra 'Hidrodinámica', en la que expone lo que más tarde sería conocido como el Principio de Bernoulli. Daniel también hizo importantes contribuciones a la teoría de probabilidades. Es notorio que mantuvo una mala relación con su padre a partir de 1734, año en el que ambos compartieron el premio anual de la Academia de Ciencias de París. Johann llegó a expulsarle de su casa y también publicó un libro Hydraulica en el que trató de atribuirse los descubrimientos de su hijo en esta materia. En 1750 la Universidad de Basilea le concedió, sin necesidad de concurso, la cátedra que había ocupado su padre. Publicó 86 trabajos y ganó 10 premios de la Academia de Ciencias de París, sólo superado por Euler que ganó 12. Daniel Bernoulli fue elegido miembro de la Royal Society el 3 de mayo de 1750. Al final de sus días ordenó construir una pensión para refugio de estudiantes sin recursos. Murió de un paro cardiorrespiratorio.
VARIABLES ALEATORIAS Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplos: -
nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)
-
nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora
- tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas: -
Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.
-
Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerándolas tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO Distribuciones discretas: Binomial La distribución binomial es parte de la distribución de Bernoulli.
La distribución de Bernoulli La distribución de Bernoulli se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso). En estadística,
la
distribución
binomial
es
una distribución
de
probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija: Probabilidad de éxito: P (E)= p Probabilidad de fracaso: P (F)= 1- P(E) = 1 – p, y se denota: q=1-p En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n= 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Luego, si el investigador realiza n ensayos de bernoulli bajo las mismas condiciones se dice que la variable aleatoria X que corresponde al número de éxitos sigue la DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de veces el experimento de Bernoulli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:
0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido éxitos
Ejemplo: se tira una moneda 10 veces: ¿cuántas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10 La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:
En el cual toma el nombre de FÓRMULA BINOMIAL
¿Alguien entiende esta fórmula? Vamos a tratar de explicarla con un ejemplo:
Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
"k " es el número de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)
"n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10 "p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5 La fórmula quedaría:
Luego,
P (x = 6) = 0,205 Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.
Señalaremos además que: En una distribución binomial denotada por B (n, p), donde n es el número de repeticiones del experimento y p la probabilidad de que se produzca un cierto suceso (éxito), la esperanza matemática de la variable aleatoria X viene dada por la expresión siguiente: El valor esperado (media) de la distribución binomial es:
E(X)=u=np Análogamente, la varianza de la variable aleatoria X, al ser ésta de tipo discreto, se calcula como:
V(X)= =npq Siendo q la probabilidad de no éxito (fracaso). La desviación estándar es, como de costumbre, la raíz cuadrada de la varianza:
Y la función de distribución de la distribución binomial es:
Características de la Distribución Binomial La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli, en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características: a)
Sólo hay 2 posibles resultados.
b)
Las pruebas son independientes
c)
El ensayo consta de n ensayos idénticos.
d)
El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan x éxitos.
e)
La probabilidad de un éxito es p; la probabilidad de un fracaso es q=1-p
USO DE TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL En la práctica para resolver problemas del tipo de los ejemplos 3 y 4 se utiliza tablas de distribución binomial, en la cual están calculados los valores correspondientes a la formula
∑
…………………………(2)
La que en el segundo miembro expresa las probabilidades calculadas por la formula binomial, para los valores enteros que van de cero hasta x. Como ya se vio en la sección de probabilidades los correspondientes sucesos complementarios suman “I”, esto lo podemos expresar formalmente com o
sigue.
Con la consideración de que en general “X” toma valores enteros que van de cero “0” a ”n”, entonces por tablas también se puede calcular l a probabilidad.
Pero como: Entonces: ………………….(3) Considérese,
Todo los cálculos que se realizan utilizando la formula binomial, se resumen a la búsqueda de un valor en la tabla de la distribución binomial, para lo cual basta conocer “n” “p” y “x”.
Así por ejemplo si queremos calcular la siguiente probabilidad para n = 6, p = 0.50,
El procedimiento para ingresar a la tabla es la siguiente n
x
p 01 50
. . . 6
0 1 2 3 4 5
0.8906
6 . . .
Así, en la tabla de la distribución binomial, podemos calcular la probabilidad de que un estudiante apruebe como sigue con: N=10 P=0,25 X=5 P(X≥6) = 1-P(X≤5) P(X≥6) = 1-0,9803 P(X≥6) = 0,0197
Que es lo mismo que ya determinamos con la formula binomial.
Ejemplo: Un estudiante de primer año de secundaria tiene la seguridad de aprobar una asignatura cualquiera con probabilidad de 0,5. Si lleva 6 asignaturas, hallar la probabilidad de que apruebe: a) A lo más 4 asignaturas b) Por lo menos 4 asignaturas Solución: Sea la variable: X = Número de asignaturas que aprueba el estudiante p= 0,5 (probabilidad de aprobar una asignatura cualquiera) q = 0,5 (probabilidad de desaprobar una asignatura cualquiera) n= 6 (número de asignatura que lleva) a) La probabilidad de aprobar como máximo 4 asignaturas es: P(X≤4) = 0,8906(por tablas)
b) La probabilidad de aprobar como máximo 4 asignaturas es: P(X≥4) = 1 – (P≤3)………por formula (3)
= 1 – 0,6562…….por tablas = 0,3438
MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La media y desviación estándar de una distribución binomial, denotadas respectivamente por “μ” y “σ” se calcula por las fórmulas respectivas: μ = np σ=
Ejemplo 1:
√
……… (4)
Un dado se lanza 180 veces. Determinar la media y desviación estándar de la obtención del número “UNO” en ese experimento.
Solución: Dada la información:
p = (probabilidad de obtener “UNO” en un lanzamiento)
q = (probabilidad de no obtener “UNO” en un lanzamiento) n = 180 (número de lanzamientos) Por la fórmula de media y desviación estándar, tenemos que: μ = np = 18
σ=
() = 30
√ = ()() = 5
Ejemplo 2: Si la probabilidad de que un remache sea defectuoso es 0,01. Hallar la media y la desviación estándar de número de remaches defectuosos en un avión que tiene 10,000 remaches. Solución: Dada la información: p = 0,01 (probabilidad de que un remache sea defectuoso) q=
(probabilidad de que un remache no sea defectuoso))
n = 10,000 (número total de remaches) Por la fórmula de media y desviación estándar, tenemos que: μ = np = 10,000(0,01) = 100 σ=
√ = √ = 9,25
