1.- La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos s on aficionados a la lectura: ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas? B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
¿Y cómo máximo 2?
2.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuale s, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: Las cinco personas B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
Al A l m e n o s t r e s p e r s o n a s
Exactamente dos personas
3.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
4Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que , cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
5.- La probabilidad de que un hombre acierte en el blanc o es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
6.- En unas pruebas de alcoholemia se ha obser vado que el 5% de los conductores controlados dan pos itivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en c uenta que el número de conductores es suficientemente importante como para es timar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
Determine la probabilidad de que al menos uno de los condu ctores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
7.- La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almace nes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
8.- La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almace nes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
9.- n laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para co ntrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplic a la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? Ningún paciente tenga efectos secundarios. B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97
Al A l m e n o s d o s t e n g a n e f e c t o s s e c u n d a r i o s .
¿Cuál es el número medio de pacientes que espera labo ratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
10.- ¿Cuál e s la probabilidad de sacar 4 “águilas” en 6 volados? Para este problema n = 6, x = = 4 y p = 0.5 por lo que: (4) = P (4)
6! 4 4! ⋅ 2!(0.5)
(0.5)2 = 24720⋅2 0.015625 = 0.2343
11.- Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente potencial elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a 6 clientes potenciales, calcular la probabilidad de que:
a) Ninguno de los clientes haga una compra,
P(x=0), x = 0, n = 6, p = 0.2, q = 1 − p = 1 − 0.2 = 0.8
(0) = C 06 (0.2)0 (0.8)6 P (0)
(0) = P (0)
6! 0! ⋅ 6!
(0.8)6
(0) = (0.8)6 = 0.262144 P (0) 12.- Sabemos que el 90% de los estudiantes que toman un curso elemental de estadística aprueban ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 estudiantes en una clase de 15 no aprueben el curso? en este caso la probabilidad de reprobar es 0.10, P(x>2) X ≠0,1 Y 2
n= 15, p=0.10, q=1 – p=1-0.10_0.90
P ( x ) = 1
(0) − P (1) (1) − P (2) (2) − P (0)
P ( x x )
− C 15 (0.1) 0 (0.9) 15
=1
0 P ( x ) =
− C 15
1
(0.1)1 (0.9) 14
− C 15
2
(0.1)2
(0.9)13
13.- Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan 3 caras.
14.- Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan como máximo 2 caras.
15.- Se lanza un dado al aire 5 veces. Halla la probabilidad de: a) Obtener dos veces un 5. b) Obtener más de dos veces un 5.
16.- La última novela de cierto afamado autor ha tenido un importante importante éxito, hasta el punto de que el 80 % de los lectores ya la han leído. Un g rupo de cuatro amigos son aficionados a la lectura : a) Describir la variable que indica el número de individuos del grupo que han leído dicha novela. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo grupo hayan leído leído la obra dos personas? personas? ¿Y al menos dos?
17.- El 30 % de los tornillos tornillos de una gran partida son defectuosos. Si se cogen tres tornillos al azar, calcula : a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos. b) La probabilidad de que solamente dos sean defectuosos. defectuosos. c) La probabilidad de que ninguno de ellos ellos sea defectuoso.
Sea X la variable que representa el número de tornillos. Tenemos una distribución binomial, binomial, con n = 3 y p = 0,3 0,3 : B ( 3 ; 0,3 ).
18.- Un tratamiento contra el cáncer produce mejoría mejoría en el 80 % de los enfermos a los los que se le aplica. Se Se suministra a 5 enfermos. Se pide : a) Calcula la probabilidad de que los 5 pacientes mejoren. b) Calcula la probabilidad de que, al menos, tres no experimenten mejoría. c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren? Sean : X = "número de enfermos que experimentan experimentan mejoría" n = "número de pacientes pacientes a los que que se les suministra suministra el tratamiento" tratamiento" p = "probabilidad de mejoría" Si p = 0,8 ⇒ q = 1 - p = 1 - 0,8 0,8 = 0,2
19.- Se reparten unas invitaciones invitaciones sabiendo que el 40 % de los invitados asistirán al acto. Se seleccionan al azar 10 invitados. Calcula : a) La probabilidad de que solo tres acudan al acto. b) La probabilidad de que acudan más de tres. Sea X la variable que exprese el número de personas que asisten al acto. Se trata de una distribución binomial de parámetros parámetros n = 10 y p = 0,4 : B ( 10 ; 0,4 0,4 ).
20.- Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya : a) Como mucho tres niñas. b) Al menos una niña. c) Al menos ocho niños. d) Al menos una niña y un niño. Tenemos una distribución binomial en la que p = 1 = 0,5 puesto que la probabilidad de que haya una niña o un niño es igual. Lla variable X hará mención a las niñas y la variable Y a los niños.
21.- Una encuesta revela que el 20 % de de la población es favorable a un determinado determinado político. Elegidas seis personas al azar, se desea saber : a) Probabilidad de que que las seis personas personas sean favorableas al político. político. b) Probabilidad de que las las seis personas le le sean desfavorables. desfavorables. c) Probabilidad de que menos de tres personas le sean favorables. favorables.
Tenemos de nuevo una distribución binomial, donde p = 0,2 y q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8 : B ( 6 ; 0,2 ).
22.- Una prueba de inteligencia está compuesta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, siendo solo una de ellas correcta. Un alumno tiene prisa por acabar la prueba y dec ide contestar de forma aleatoria. Se pide : a) Probabilidad de no acertar ninguna pregunta. b) Probabilidad de acertar exactamente cuatro preguntas. c) Probabilidad de acertar todas las preguntas. d) Probabilidad de acertar al menos siete preguntas. e) Probabilidad de acertar menos de cuatro preguntas. Sea X la variable dscreta que expresa expresa el número de preguntas acertadas acertadas en el test de inteligencia. inteligencia. Tenemos una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,25. Es decir, B ( 10 ; 0,25 ).
23.- Se va a construir una planta nuclear en cierta comunidad. Se sabe que el 80 % de la población se opone a la constucción de dicha planta planta y el 20 % restante está a favor. a) Si se elige al azar una muestra de cinco cinco personas, ¿cuál es la probabilidad de que tres o más estén a favor de la construcción? b) Si se elige al azar una muestra de 20 personas, ¿cuál es es la probabilidad de que todas todas estén en contra contra de la construcción?
Sea X la variable aleatoria que expresa el número de personas que están a favor d e la construcción de la planta nuclear.
a) En este caso tenemos una distribución binomial de parámetros n = 5 y p = 0,2.
b) Ahora volvemos a tener una una distribución binomial, pero cuyos parámetros son n = 20 y p = 0,2.
24.- Si el 20 % de las tartas elaboradas en una fábrica fábrica tienen trazas de nueces, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que, entre cuatro tartas elegidas al azar, a lo sumo dos contengan trazas de nueces?
X = número de tartas con trazas de nueces p = probabilidad de tarta con trazas de nueces = 0,2 n = número de tartas seleccionadas = 4 Tenemos por tanto una distribución distribución binomial binomial B ( 4 ; 0,2 ).
25.- Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho macho es de 0,55 : a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras. hembras.
26.- Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho macho es de 0,55 : a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras. hembras.
27.- Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho macho es de 0,55 : a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras. hembras.
28.- Se lanza al aire una moneda diez veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”? Determine la media del número de caras obtenidas. Determine la varianza del número d e caras obtenidas. Determine la desviación estándar del número d e caras obtenida Repuesta
P (X=3) = 0.1172 0 µx=5 0 σ2x =np (1-p)= 5(1-0.5)= 2.5 0 ( Ẑ Ẑ -xi) -xi) fi =1.58 29.- E N UN CARGAMENTO GRANDE DE LLANTAS DE AUTOMÓVILES, 5% TIENE CIERTA IMPERFECCIÓN. ALEA TOR IAME NTE CUA TRO LLAN TAS PAR A I NST ALA RLA S E N E L A UTO MÓV IL.
SE ELIGEN
¿C UÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NINGUNA DE LAS LLANTAS TENGA IMPERFECCIÓN? ¿C UÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SOLO UNA DE LAS LLANTAS TENGA IMPERFECCIÓN? ¿C UÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA O MAS DE LAS LLANTAS TENGA IMPERFECCIÓN? REPUESTA 0 P (X=0) = 0.0625 0 P (X=1) = 0.75 0 P (X=2) = 0.25 30.- UNAS FIGURILLAS DE PORCELANA SE VENDEN A 10 DÓLARES SI NO TIENEN IMPERFECCIONES Y A 3 DÓLARES SI LA PRESENTAN. E NTRE LAS FIGURILLAS DE CIERTA COMPAÑÍA, 90% NO TIENE IMPERFECCIONES Y 10% SI LO TIENEN. EN UNA MUESTRA DE 100 FIGURILLAS YA VENDIDAS, SEA Y EL INGRESO POR SU VENTA Y X EL NÚMERO DE ÉSTAS QUE NO PRESENTAN IMPERFECCIONES. REPUESTA EXPRESE Y COMO UNA FUNCIÓN DE X 0 Y =7 X + 300 0 DETERMINE µY. Y = 900+30 = 930 0 DETERMINE Σ 2Y 0 21
