GEOMETRIA
SEGMENTOS
ANGULOS
SEGMENTO: Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. El segmento AB de la figura adjunta, se denota: AB o BA . Los puntos A y B son los extremos. A
α O
B
P
M
B
SEGMENTOS CONGRUENTES: Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Donde AB ≅ CD nos señala que AB y CD , son congruentes. La notación aquí mostrada indica que AB = CD. A
B
C
M
α α
Q
O
Medida: m∠ AOB = Bisectriz del ∠POQ OM
CLASIFICACIÓN: A.
A
Notación: ∠ AOB, AOB
B
Si la longitud o medida del segmento AB es 10 unidades, podemos escribir: AB = 10 ó m AB = 10. En este último caso, la “m” se lee medida. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Se llama así al punto que equidista de los extremos del segmento dado. Notación: “M” punto medio AB . AM = MB
Elementos: - Lados: OA , OB - Vértice: O
A
P O R S U ME ME D ID ID A: A: 1 . Án gu g u lo lo N u lo lo :
α = 0° 2.
Án gu g u lo lo s Co C o nv n v ex ex os o s : 0º <
α < 180º
Ángulo Agudo
D
0º < α <
OPERACIONES CON SEGMENTOS: Adición:
También: A Sustracción:
También:
Ángulo Recto
AB + BC + CD CD = AD AC + CD = AD AB + BD = AD B
C
α = 90º
D
α
AC – AB = BC AC – BC BC = AB
A
B
Ángulo Obtuso C
Corolario: Las operaciones con segmentos gozan de las mismas propiedades que las operaciones aritméticas.
3.
Án gu g u lo lo L la la n o: o:
α
Igualdad:
Dos segmentos son iguales si tienen la misma longitud. Si: MN = 9 u y AB = 9 u Luego: MN = AB
Relación Relación de segmento s:
Si se cumple que: AB = 2k AB 2 = ⇒ BC = 3k BC 3
y tú los pr im eros…!!! eros…!!!
90º < α <
α
α= 4.
Án gu g u lo lo Có C ó n ca c a v o: o:
180º < α < α
Pag. Pag. 80
GEOMETRIA 5.
α B.
α = φ ; β = δ ; γ = ε
Án gu g u lo lo d e u na n a vu v u el el t a :
α = 360º
Ángulos conjugados (suplementarios) (suplementarios)
θ = φ = 180° ; δ + ω = 180° α = γ = 180° ; β + ε = 180°
P OR OR SU SU PO P O SI SI C IÓ IÓN :
1. 2.
1.
PROPIEDADES PARTICULARES:
Á n g ul u l os o s C on o n se s e c ut u t iv iv o s: s:
1.
Internos: Externos:
Si: L1 // L 2
β α
L1
α
Se cumple: x = α + β
x 2.
Á n g u lo lo s O p u e s t o s p o r e l V é r t i c e: e:
β
β
α
3.
En general: ( L1 // L 2 )
α + β = 180º
C.
β
α + β + θ + δ = γ + φ + ω
Án g u lo lo s C om o m p le l e m en en t ar ar io io s : Dos ángulos son complementarios, si la suma de sus medidas es 90º. C 90º – = 90º
2.
Si: L1 // L 2 α
Án g u lo lo s S up u p le l e m en en t ar ar io io s : Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180º.
L1
Se cumple:
α + β + θ = 360°
β
Complemento de
3. 2.
L2
Se cumple:
P OR OR S U R EL EL A C IÓ IÓN : 1.
L1
α γ β φ θ ω δ
Á n g ul u l os o s A dy d y ac ac en en te tes :
α
L2
α = β
Si: L1 // L 2
θ
L2 L1
α β
S = 180 180ºº –
Suplemento de
θ x
γ L2
Se cumple: Si: L1 // L 2 es intersecada por la transversal L . α
β
θ
γ
L1
α + β + θ + γ + φ = 180° x = α + β + θ + γ
φ
ω δ ε Ángulos Alternos (iguales) L θ = ω ; γ = φ a) Internos: b) Externos: α = ε ; β = δ
L2
Ángulos correspondientes (iguales)
y tú los pr im eros…!!! eros…!!!
Pag. Pag. 81
GEOMETRIA 5.
α B.
α = φ ; β = δ ; γ = ε
Án gu g u lo lo d e u na n a vu v u el el t a :
α = 360º
Ángulos conjugados (suplementarios) (suplementarios)
θ = φ = 180° ; δ + ω = 180° α = γ = 180° ; β + ε = 180°
P OR OR SU SU PO P O SI SI C IÓ IÓN :
1. 2.
1.
PROPIEDADES PARTICULARES:
Á n g ul u l os o s C on o n se s e c ut u t iv iv o s: s:
1.
Internos: Externos:
Si: L1 // L 2
β α
L1
α
Se cumple: x = α + β
x 2.
Á n g u lo lo s O p u e s t o s p o r e l V é r t i c e: e:
β
β
α
3.
En general: ( L1 // L 2 )
α + β = 180º
C.
β
α + β + θ + δ = γ + φ + ω
Án g u lo lo s C om o m p le l e m en en t ar ar io io s : Dos ángulos son complementarios, si la suma de sus medidas es 90º. C 90º – = 90º
2.
Si: L1 // L 2 α
Án g u lo lo s S up u p le l e m en en t ar ar io io s : Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180º.
L1
Se cumple:
α + β + θ = 360°
β
Complemento de
3. 2.
L2
Se cumple:
P OR OR S U R EL EL A C IÓ IÓN : 1.
L1
α γ β φ θ ω δ
Á n g ul u l os o s A dy d y ac ac en en te tes :
α
L2
α = β
Si: L1 // L 2
θ
L2 L1
α β
S = 180 180ºº –
Suplemento de
θ x
γ L2
Se cumple: Si: L1 // L 2 es intersecada por la transversal L . α
β
θ
γ
L1
α + β + θ + γ + φ = 180° x = α + β + θ + γ
φ
ω δ ε Ángulos Alternos (iguales) L θ = ω ; γ = φ a) Internos: b) Externos: α = ε ; β = δ
L2
Ángulos correspondientes (iguales)
y tú los pr im eros…!!! eros…!!!
Pag. Pag. 81
GEOMETRIA 6.
En el gr grafic fico L1//L //L2. Calcular “x”. A) A) 34°
L1
x
B) 12° C) 60° 1.
Dadas Dadas dos rectas paralelas, paralelas, se toma toma en una de ell ellas as un un punto punto A y en la otra un punto B. se toma otro punto C en el segmento AB; se consideran en las paralelas a un mismo lado de AB, un segmento AD AD=AC y otro tro BE=BC. Siendo α el ángulo CAD, CAD, calcule el ángulo DCE. DCE. A) A)
B)
C)
2
3
2x 3x
D) 30° E) 58° L2 7.
Si el triángu triángulo lo DRO es es equiláter equilátero o y LA//D LA//DO. O. Hallar “x”. “x”.
R
4
A) A) 11° D)
E)
2
2.
B) 12°
3
C) 18°
En la figur figura a mo mostrad strada, a, hal hallar lar “x” “x” si si L1//L //L2.
3x
A) A) 10°
θ
B) 20°
α
D) 15°
E) 17°
8.
L2
x
D
En la figu figura adjun junta L1 // L2 // L3 y θ + ϕ = 230º. Calcular “x”.
L1
x
E) 30°
L2
D) 30°
m m
E) 36°
2x
L2
2x
10. 10. Segú Según n la figura figura.. Calc Calcula ularr α.
2x
α
3x A) A) 10°
b b
A) A) 30°
n n B) 45°
D) 18°
α
B) 16°
α
C) 25°
C) 36°
α
D) 20°
E) 15°
E) 24°
En la figur figura a mos mostra trada da a//b//c a//b//c.. Halla Hallarr θ
a
11. Hallar llar “x” “x” si L1//L //L2.
x 70
b
60°
α
β
30
3θ θ
L1
A) A) 34°
C) 38°
Si L1//L //L2; Hallar el valor de “x”.
L1
°
En el gr grafic fico L1//L //L2. Calcular “x”.
B) 45°
θ
a a
x° °
x
θ
L2
°
D) 75°
9.
D) 45°
D) 30°
°
E) 70°
x/2
C) 60°
A) A) 25°
°
°
C) 65°
B) 40°
c
O
A) A) 55°
A) A) 35°
5.
A
B) 60°
Si L1//L //L2 , Hallar “x”.
4.
x
L
α
4x
E) 16°
3.
θ
x
C) 19°
D) 16°
L1
20
B) 29°
C) 35°
x
L1
A) A) 55° B) 40°
θ
θ
x
C) 60°
L2
D) 20°
β
θ
E) 30°
θ
E) 20°
y tú los pr im eros…!!! eros…!!!
Pag. Pag. 82
GEOMETRIA 3. 12. Si L1//L2 , Hallar “x”.
L2
En el gráfico L1 // L 2 // L 3 y ω + γ = 240°, calcule x.
32 α α
γ
2θ
L1
β
X
L1
θ θ
A) 25°
B) 29°
x 2β
C) 35°
D) 22°30´
L2
ω
E) 21°
4.
θ
L3
Hallar: A+ B+ C+ D+ E+ F
13. En la figura hallar “x”.
B
x
|A) 130° B) 160°
A
C) 100° D) 120°
6θ
14. Hallar “x” si L1//L2//L3//L4.
α
60°
D
40°
E F
5.
A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC = 12 cm, BD = 17 cm y AD = 21 cm, calcular BC. A) 7 cm C) 9 cm E) 11 cm B) 8 cm D) 10 cm
6.
P, Q y R son puntos consecutivos de una recta, tales que PQ = RQ + 22. Si M es punto medio de PR , calcular MQ. A) 22 B) 11 C) 33 D) 5,5 E) 2,75
7.
P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta; PR + QS = 27 y PS = 20. Calcular QR. A) 3 B) 7 C) 5 D) 9 E) 4
8.
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; si: 3(CD) = 2(AD) y BD – 2(AB) = 18, calcular BC. A) 3 B) 6 C) 12 D) 18 E) N.A.
9.
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AC – BD = BC. Si AB = 4, calcular AD: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
L1
3x
A) 36°
L2
B) 40°
α x
C) 60°
L3
β
D) 20° E) 30°
L4 β
Según el gráfico, calcular x. Si L1 // L 2
2α
θ
L1
10. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que AB = BC; DE = 3(CD) y AE = 40. Calcular BM, si M es punto medio de CE . A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) N.A.
x
α
2.
80°
3θ
E) 130°
1.
C
11. Se tiene el segmento PQ, en el cual se ubican los
L2
2θ
puntos A y B (A ∈ PB ), si 2(PA) = 3(AB) = (BQ) y BQ – PA = 9 m. Calcular PQ. A) 17 B) 21 C) 33 D) 41 E) N.A.
En la figura, α - β = 10° y L1 // L 2 // L 3 ; calcular x. α
L1
α β x
L2
L3
y tú los pr im eros…!!!
12. En una recta se ubican los puntos A, B, C y D. De modo que: 5(AD) – BC – 2(AC) = 5(BD) y BC = 4. Calcule AB: A) 6 B) 4 C) 8 D) 10 E) 5 13. Pedro, Pablo y Dino están en línea recta, (Dino entre Pedro y Pablo). Entre Pedro y Pablo hay 12 m de separación. Si Dino avanzara 2 m hacia pedro, estaría a igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Dino de Pablo? Pag. 83
GEOMETRIA A) 5 m
B) 4 m
C) 4,5 m
D) 3,6 m E) 3 m
B) C) D) E)
14. Se tienen tres puntos consecutivos A, B y C medidos en un sistema tal que 1 pre = 4 cato. Si AB = 8 cato y BC = 5 pre, hallar MN, donde M y N son los puntos medios de AB y BC, respectivamente. A) 7 cato B) 14 pre
C) 7 pre D) 14 cato
E) 12 cato
26. En la figura: L1 // L 2 . Calcular el valor de x.
15. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que BC es menor que CD. Halla BC, si AB = 4, CD = 18 y MN = 16, siendo M y N puntos medios de AB y BD , respectivamente. A) 5 B) 15 C) 10 D) 20 E) 25 16. El ∠ FOA y el ∠ AOG son consecutivos y OM bisectriz del ∠FOG. Si m∠MOA = 24° y m∠FOG = 90°, calcular m∠ AOG. (Si m∠FOA > m∠ AOG). A) 20° B) 23° C) 22° D) 21° E) 24°
48° x
2α+5°
L1
L2
150°–α
L1
α 32° α
L2
A) B) C) D) E)
102° 104° 107° 106° 108°
A) B) C) D) E)
90° 60° 45° 30° N.A.
28. Si: 4y – x = 30°; L1 // L 2 . Calcular “x” 4y
L1
x
complementarios siendo OX bisectriz del ángulo BOC. Entonces el ∠ AOX mide: A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) N.A.
L2
y
29. En la figura, L1 // L 2 ; calcular x.
21. El suplemento del complemento de un ángulo es igual al quíntuplo del complemento del mismo ángulo. Calcular el suplemento del ángulo que tiene por medida a la mitad de la medida del primer ángulo. A) 100° B) 120° C) 150° D) 160° E) 172°
θ
θ L1
A) 55° B) 67°
110°
22. Las medidas de dos ángulos suplementarios son proporcionales a 1 y 5. Calcular el suplemento del complemento del complemento del menor de los ángulos mencionados. A) 30° B) 50° C) 110° D) 140° E) 150° 23. Si al suplemento de un ángulo se le aumenta el complemento del complemento del ángulo, resulta el cuádruple del complemento del mismo. Hallar la medida del ángulo. A) 10º B) 30º C) 60º D) 70º E) 45° 24. Si al suplemento de un ángulo se le disminuye el séxtuplo de su complemento. Resulta la mitad del valor del ángulo. Hallar el suplemento del complemento del ángulo A) 100º B) 170º C) 110º D) 140º E) N.A.
37° 48° 52° 77° N.A.
x
19. Sabiendo que los ángulos AOB y AOC son
20. α y θ son medidas de ángulos adyacentes y: 2α + θ = 200°. Calcular el valor de θ. A) 20° B) 40° C) 100° D) 140° E) 160°
A) B) C) D) E)
27. Calcular el valor de x, si L1 // L 2 .
17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: m∠ AOD = 6m∠BOC y m∠ AOB + m∠COD = 75°. Calcular la m∠BOC. A) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25° 18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC; se traza OD : bisectriz del ∠ AOB. Hallar la m∠COD si: m∠ AOC + m∠BOC = 160°. A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) N.A.
112° 102° 108° 128°
α
x L2
C) 85° D) 97° E) N.A.
α
30. Hallar “θ” si: L1 // L 2 . m°
L1 n°
3θ
4θ n°
m°
A) B) C) D) E)
22,5° 30° 45° 60° 18°
L2
25. En la figura, L1 // L 2 . Calcular el valor de x.
α x
L1
α
A) 118°
56°
y βtú los pr im eros…!!! β
L2
Pag. 84
GEOMETRIA
TRIANGULO DEFINICIÓN Es aquella figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
Propiedad 2. Cálculo de la medida de un ángulo exterior. Se cumple: β z = α + β z α Propiedad 3. Suma de medidas de ángulos exteriores considerando uno por cada vértice.
OBSERVACIÓN Con fines didácticos en adelante denominaremos al triángulo rectilíneo simplemente triángulo.
y
B
Regi n Interior
AB
Elementos: Vértices : Lados : Notación: ∆ ABC :
Propiedad 4. De correspondencia.
BC
Región exterior relativa a AC
A
z
Región exterior relativa a
Región exterior relativa a
Se cumple: x + y + z = 360°
x
α
c
C
β
θ a
Propiedad 5. Relación de existencia del triángulo.
A, B, C AB, BC, AC triángulo de vértices A, B y C
b
c
Q y
B
β
x
a
α
Si: a>b>c Se cumple:
θ
P A
B
a – b
Para que el triángulo exista es suficiente que se verifique sólo una de las relaciones anteriores. PROPIEDADES ADICIONALES
a
c
β
1. α
C
b
:
a – c
R
ngulos Interiores: ngulos Exteriores: ∠PAB : m∠PAB = x m∠BAC = α ∠QBC : m∠QBC = y m∠ ABC = β ∠RCA : m∠RCA = z m∠BCA = θ REGIÓN TRIANGULAR Es la unión del triángulo y su región interior.
A
2p = a + b + c
Semiperímetro (p) :
p=
b–c
C z
∠BAC : ∠ ABC : ∠BCA :
Perímetro (2p)
Si: α > β > θ Se cumple: a>b>c
b
a+b+c 2
x
β
Se cumple: x = α + β + θ
θ
m
2. n
α
PROPIEDADES FUNDAMENTALES x
Propiedad 1. Suma de las medidas de los ángulos interiores. 3.
β α
θ
Se cumple: α + β + θ = 180°
y tú los pr im eros…!!!
m
αα
Se cumple: α + β = m + n
n
β β
Se cumple: x=
m + n 2
Pag. 85
GEOMETRIA 4.
-
Triángulo Rectángulo A
m
α
Se cumple: α + β = m + n
β α
b c
n
β
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS 1. Según sus lados Triángulo Escaleno: (a b c)
B
AB y BC : catetos
AC : hipotenusa Se cumple: b2 = a2 + c2
B
β
a
c
α≠β≠θ
θ
C
b
Triángulo Isósceles: (a = c
b)
B
β
α
1.
En un triángulo ABC, la m∠ BAC = 4m∠BCA. Si AB=4. Calcule el mayor valor entero de BC. A) 13 B) 15 C) 16 D) 12 E) 14
2.
En un triangulo KLM se trazan las medianas LQ y KP ( Q ∈ KM y P ∈ LM ). Si LQ=24 y KP=30, entonces la mayor longitud del lado KM es: A) 45 B) 55 C) 50 D) 60 E) 65
3.
En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores AM y CN intersectándoce en I. se ubica el punto D exterior y relativo al lado AC, de modo que AI=4, IC=12 y CD=15, calcular el máximo valor entero de AD, si AC toma su mínimo valor entero. A) 20 B) 21 C) 23 D) 27 E) 25
4.
ABC es un triángulo isósceles (AB=BC) se ubica un punto interior D de modo que m∠ BAD = 50 .
Se cumple: α = θ < 90°
a
c
θ
A
C
b
AC : Base
Triángulo Equilátero: (a = b = c) B
β c
a
α
θ b
A
2.
Se cumple: α = β = θ = 60° C
Si m∠ DAC = 30 y m∠ DCB = 25 . Calcule m∠DBC . A) 5 B) 7 C) 10 D) 9 E) 8
Según sus ángulos Triángulos Oblicuángulos -
5.
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo C se interceptan en E, las bisectrices de los ángulos ABC y AEC, se interceptan en Q e interceptan al lado AC en P y R. Si PQ=4 entonces PR mide: A) 4,5 B) 3 C) 5 D) 3,5 E) 4
6.
EN un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores BD y CF, luego se trazan los rayos FP y DP tal que: m∠ BFP = 3 y m∠PFC 2 m∠CDP 3 m BAC m FPD ∠ ∠ = , entonces la es: = Si m∠PDB 2
Triángulo Acutángulo B
β α
θ
A
C
α < 90°
-
β < 90° ; Triángulo Obtusángulo
;
θ < 90°
B
β α
;
β < 90°
A) 60 −
B) 54 −
C) 36 −
D) 18 − 2
10
10
10 5
E) 90 −
θ
A
α > 90°
T. de Pitágoras
Se cumple:
α A
C
a
10
C
;
θ < 90°
y tú los pr im eros…!!!
7.
Hallar la distancia del ortocentro al circuncentro, en un triángulo rectángulo cuyos catetos mide 6 y 8 respectivamente.
Pag. 86
GEOMETRIA A) 4 B) 6 D) 3 8.
9.
C) 7 E) 5
Hallar la distancia del ortocentro al baricentro en un triángulo cuyos catetos miden 18 y 24. A) 5 B) 10 C) 14 D) 12 E) 15
1.
Calcular “x”. Si: AS = SQ; PB = BC B
Según en el gráfico, calcular m ADC , si : AE=ED, m ACD = 40º y el triángulo ABC es equilátero A) 20º B) 10º C) 30º D) 40º E) 50º
S x A
2.
n m
y
a
3. B) 30º
C
En el gráfico: a+ b – m – n = 108°; calcular x + y
10. Según el gráfico: AB=BDy CD=CE Calcular “x”
A) 10º D) 20º
Q
P
b
x
Calcular “x”. Si β + θ = 100°
C) 15º E) 60º
x 2β
2θ
11. Calcular m ABC ,si AF=FC=DE=DF=EF
4.
A) 30º B) 45º C) 37º D) 53º E) 60º
Calcular x“ si: AB = BC y DE = EF. Además α + β = 100° B α
E
F
β 80°
x
12. Calcular m∠ ACF, si BC=CD y θ-α=50º
A
5.
C
D
Según el gráfico, calcular θ, si: a + b + c + d = 340° d
2θ
c
θ b
a A) 40º D) 53º
B) 50º
C) 60º E) 45º
θ
6.
Según el gráfico, calcular x.
13. Calcular el valor de “x” si : AE=EB=EF=FD=DCy m∠BAC= m∠FDE
x 70°
θ
A) 45º/7 C) 45º/4 E) 22º15’
θ
β β
B) 45º/11 D) 22º30’
y tú los pr im eros…!!!
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