Jr. Theodoro Valcárcel Nº 142 – Puno. Tf: 366774
Jr. 9 diciembre Nº 261- Juliaca. Tf: 322621
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Venimos desarrollando un proyecto educativo abierto, moderno y participativo, que crece y evoluciona día a día para brindar una formación de excelencia. Acompañamos a nuestros alumnos, adolescentes y jóvenes, a transitar esta etapa con valores éticos de convivencia a través de diferentes espacios humanísticos.
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Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
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TRABAJO PRACTICO Nº 8 SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
1) José los días lunes, martes y miércoles, fotocopió varias páginas en tres fotocopiadoras diferentes. El jueves, pensó cuál de las tres cobraba el menor precio por unidad y no pudo recordarlo. Después de mucho pensar, volcó lo que recordaba en tres matrices : F1
F2
F3
Lunes
15
20
40
Martes
0
25
50
26
40
8
Miércoles
precio Fotocopiadora 1
x
Fotocopiadora 2
Y
Fotocopiadora 3
z
15 20 40 la matriz A 0 25 50 26 40 8
x la matriz X y z
gasto
Lunes
2,80
Martes
2,75
Miércoles
2,56
la matriz
2,80 B 2,75 2,56
a) Efectúe el producto A X b) Con el producto A X efectuado, componga la ecuación matricial A X = B c) Halle los precios unitarios.
MENU 2) Resolver en R, si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, aplicando: a). Teorema de Cramer y b) Regla de Cramer
x y z 0 a ) 2x y 2z 2 2z 2x 4 y
x 5y 4z w 0 x 3y 2z w 1 b) z w 3x y w 5z 1
x y z 1 a ) 2x y 2z 8 x y z 2t 10 x z 6 5x 3y 2z 3 b ) 3x 4y 25 c ) 2x y 3z 3t 3 x y 3z 5u 2t 3 3x 2y 4z t 7 4y 3z 13 d) 2x 2y 6z 10u 4t 4 a) Clasificarlos 3) Dados los sistemas lineales :
b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché Frobenius y, si es posible, determinar el conjunto solución de cada uno de ellos.
MENU 4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos :
x 3z 2y b ) 4x 5y 6z 0 7 x 8y 9z
2x y z 0 a ) 3x 2y z 0 x y 2z 0
5) Determinar, si existen los valores de m R, tales que el sistema
x y z 1 x y mz 1 mx y z 0
Sea:
a) compatible determinado b)Incompatible c) Compatible indeterminado
6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?
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7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ?
8) Resolver en R2 los siguientes sistemas de inecuaciones :
3x1 2x2 3 d ) 6x1 4x2 8 7x1 14
y x a ) x 0 y 3
y 5 x b ) y x 3 y 1
y x x 4 c) x y 2 2
1
2a 4a
2b 4b
3a 5
3b 6
3c 7a
3d 7b
Producto de Matrices Matriz Inversa
Determinantes
Operaciones elementales por Gauss Jordan
Repasemos en el trabajo Práctico Nº 7 Teorema de Rouché Frobenius
1) Para multiplicar A x X, primero consideramos de qué clase es cada una de las matrices; la matriz A que tiene 3 filas y 3 columnas es clase 3x3 la matriz X que tiene 3 filas y 1 columna es clase 3x1
A(3x3) x
X(3x1)
=
15 20 40 A 0 25 50 26 40 8
B(3x1)
Coinciden el número de columnas de A con las filas de X
x X y z
x y
AxX
z
15 20 40 15x 20y 40z A X 0x 25y 50z 26x 40y 8z
0
25 50
26 40
8
15x + 20y + 40z 0x + 25y + 50z 26x + 40y + 8z
2,80 B 2,75 2,56
15x 20y 40z A X 0x 25y 50z 26x 40y 8z
Si A X = B 15x 20y 40z 2,80 0x 25y 50z 2,75 26x 40y 8z 2,56
A X es una matriz de 3 filas y 1 columna, igual que B
15x 20y 40z 2,80 0x 25y 50z 2,75 26x 40y 8z 2,56
A X = B se puede escribir como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
para hallar los precios unitarios debemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos.
Vamos a usar el método de los determinantes
x x
y
y
z
z
Es el determinante principal, conformado por los coeficientes de las incógnitas ordenados en filas y columnas
15x 20y 40z 2,80 0x 25y 50z 2,75 26x 40y 8z 2,56
i son los determinantes que resultan de reemplazar los coeficientes de la variable i por la columna de los resultados del sistema en el determinante
15
20
40
0
25
50
40
8
26
2,80
20
40
15
2,80
40
15
20
2,80
x 2,75
25
50
y 0
2,75
50
z 0
25
2,75
2,56
40
8
2,56
8
40
2,56
26
26
Con todos los valores de conocidos buscaremos
x x
y
y
z
z
Resolvemos cada uno de los determinantes Agregamos las dos primeras filas
Y sumamos los productos de las diagonales
A esto le restamos la suma del producto de las contradiagonales
15
20
40
0
25
50 ( 15 25 8 0 40 40 26 20 50 ) ( 26 25 40 15 40 50 0 20 8)
26
40
8
15
20
40
0
25
50
( 3000 0 26000 ) ( 26000 30000 0 )
29000 56000 27000 Agregamos las dos primeras filas
Y sumamos los productos de las diagonales
A esto le restamos la suma del producto de las contradiagonales
2,80
20
40
x 2,75
25
50 ( 2,80 25 8 2,75 40 40 2,56 20 50 )
2,56
40
8
2,80
20
40
( 560 4400 2560 ) ( 2560 5600 440 )
2,75
25
50
7520 8600 1080
( 2,56 25 40 2,80 40 50 2,75 20 8)
Misma técnica para resolver y y z
15
2,80
40
y 0
2,75
50 ( 15 2,75 8 0 2,56 40 26 2,80 50 )
26
2,56
8
15
2,80
40
0
2,75
50
( 26 2,75 40 15 2,56 50 0 2,80 8) ( 330 0 3640 ) ( 2860 1920 0 ) 3970 4780 810
15
20
2,80
z 0
25
2,75 ( 15 25 2,56 0 40 2,80 26 20 2,75)
26
40
2,56
( 26 25 2,80 15 40 2,75 0 20 2,56)
15
20
2,80
( 960 0 1430 ) ( 1820 1650 0 )
0
25
2,75
x
2390 3470 1080
x 1080 0,04 27000
y
y
810 0,03 27000
La fotocopiadora 1 cobra $ 0,04
La fotocopiadora 2 cobra $ 0,03 La fotocopiadora 3 cobra $ 0,04
z
z 1080 0,04 27000
3a
3b
3c
3d
4a
4b
5
6
7a
7b
Teorema de Rouché Frobenius En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
Para operaciones elementales y determinantes ver TP Nº 7
a11 x 1 a12 x 2 .......... a1n 1 x n 1 a1n x n b1 a21x 1 a22x 2 .......... a2n 1 x n 1 a2n x n b2 ............................................................................... ................................................................................. am 11 x 1 am 12 x 2 .......... am 1n 1 x n 1 am 1n x n bm 1 am 1 x 1 am 2 x 2 .......... amn 1 x n 1 amn x n bm a11 a12 A ... ... a m1
a12 a22 .... .... am 2
..... ..... ..... ..... .....
a1n a2n .... .... amn
a11 a12 A´ .... .... a m1
Definimos como matriz de coeficientes (A), a la matriz conformada por todos los coeficientes de las variables del sistema, ordenados según el mismo orden del sistema
a12 a22 .... .... am 2
...... ...... ...... ...... ......
Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna de los resultados de l sistema como última columna, tenemos la matriz ampliada (A´)
a1n a2n .... .... amn
b1 b2 .... .... bm
3a
3b
3c
3d
4a
La matriz A es de clase (m x n)
a11 a12 A ... ... a m1
a12 a22 .... .... am 2
A
4b
a1n a2n .... .... amn
6
7a
7b
La matriz A´ es de clase m x (n+1)
(mxn ) ..... ..... ..... ..... .....
5
a11 a12 A´ .... .... a m1
A´(mx (n 1)) a12 a22 .... .... am 2
...... ...... ...... ...... ......
a1n a2n .... .... amn
b1 b2 .... .... bm
Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método apropiado, ver TP7)
r(A) r(A´)
El sistema tiene solución
si además
r(A) r(A´) n º de incógnitas
El sistema es Compatible determinado admite solución única
r(A) r(A´) n º de incógnitas
El sistema es Compatible indeterminado admite infinitas soluciones
r(A) r(A´)
El sistema es Incompatible NO tiene solución
2 a) El teorema de Cramer se aplica en el siguiente razonamiento Si
AX B
I X A 1 B
de manera que en el sistema de ecuaciones ordenado resulta
X A 1 B
x y z 0 2x y 2z 2 2z 2x 4 y Las incógnitas conforman la matriz
A 1 A X A 1 B
x y z 0 2x y 2z 2 2x y 2z 4
x X y z
donde la matriz de coeficientes es
y la columna de términos independientes conforma la matriz
0 B 2 4
1 A 2 2
1 1 1
Buscamos ahora la inversa de la matriz A
Para transformar aplicaremos el método de Gauss Jordan
2b
1 2 2
Conformamos un esquema con la matriz A a la izquierda y una matriz unidad de igual clase que A al la derecha Luego de sucesivas operaciones elementales en ambas matrices cuando tengamos a la izquierda una matriz unidad, a la derecha habrá quedado la matriz inversa de A A-1
A
I 1
I A-1
1
1
1
0
0
2
1
2
0
1
0
2
1
2
0
0
1
1
0
0
1 0 0
1
1
-3 -4 1
0
1
21 3 1
1
21 1 1
2
21 4 1
2
21 0 1
0
21 2 1 20 1 1
-2
1
0
1
2
0
1
20 0 0 1
2b
21 2 1 20 0 0 1 0
1
20 1 1
1 4 1 3 3 4 3 3
1 1 1 3 3 1 1 1 4 3 12 4 3 3
1 1 0 3 3
1 1 1 3 0 4 4 3
I=
1
0
1
0
1
4
0
0
3
3 4 3
1 2 4
1
3
3
3 1 3 1 3
1
3
1
0
0
0
0
1
0
2
0
0
1
1
A
1
0 2 1
4 0 1
1
4
0 1
4
4
0 0
4 4 2 4 6 2 3 3 2 3 3 3 3 4 3
1
1
4 1
3
1 4 1 3 4
4
= A-1
4 1 1 1 1 3 3 0 3 3 3 4 3
4 1 3 0 01 1 4 3 2b
1
1 ( 4 ) 4 1 1 3 3 3
1
1 ( 2 ) 2 1 1 3 3 3
0
1
1
1
1
0
0
0
3
4
2
1
0
0
1
0
2
0
1
1
0
1
0
1
4
0
0
4
3
3 3
1 2
4
3 3
3
1
3 1 3 1 3
11 1 3 3 0
0 0 1
2
0
0
10 0 3
1 ( 4 ) 4 3 3
1 ( 2 ) 2 4 2 3 3 3
11 1 3 3
1
2b
10 1 3
Conocida A-1 efectuamos el producto
A 1 B X
0 A 1 B X
0
1
2
0
1
4
1
2
1
4
1 4
3
00
1
2 0 0 ( 2) 1 ( 4 ) 0 0 4 4
2
7 1 1 3 1 0 ( ) ( 2 ) ( ) ( 4 ) 0 3 2 4 2 4
4 4
1 1 1 1 ( 2 ) ( ) ( 4 ) 0 1 4 2 4 2
4
7
La matriz X es
2
x X y z
De los resultado obtenidos tenemos que x 12
y 4
Te propongo que verifiques en la consigna que estos resultados son correctos. 2b
z 72
2 b) La Regla de Cramer es la aplicación generalizada para n incógnitas del método de los determinantes
Para resolver ordenamos el sistema
x 5y 4z w 0 x 3y 2z w 1 0x 0 y z w 0 3x y 5z w 1
x 5y 4z w 0 x 3y 2z w 1 z w 3x y w 5z 1
y lo clasificamos Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas conformamos cada uno de los determinantes
1
5
4
1
0
5
4
1
1
0
4
1
1
3
2
1
1
3
2
1
1
1
2
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
5
1
3
1
5
1
0
0
1
1
3
1
5
1
z
x
y
1
5
0
1
1
5
4
0
1
3
1
1
1
3
2
1
0
0
1
0
3
1
5
1
0
0
0
1
3
1
1
1
w
Y resolvemos cada uno de los determinantes Aplicando el método del desarrollo por los elementos de una línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1
5
4
1
1
3
2
1
0
0
1
1
3
1
5
1
( 1 )
31
Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna del elemento que reemplazamos multiplicamos por el elemento que reemplzamos (0 en el primer caso) y luego por el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna que contiene el elemento “elegido”
1
5
4
1
0 3
2
1 ( 1 )
1
5
1
3 4
1
0 1
2
1 ( 1 )
3
5
1
1 33
5
1
1 1
3
1
3
1
1
5
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no 4 es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
1 1
3
2 0 0 1 1 ( 4 ) ( 1) 1 28
3
1
5
1 ( 1 )
32
4
32
Resolvemos x por el desarrollo de los elementos de un línea
x
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
0
5
4
1
1
3
2
1
0
0
1
1
1
1
5
1
( 1 )
31
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
5
4
1
0 3
2
1 ( 1 )
1
5
( 1 )
3 4
32
0
4
1
0 1
2
1 ( 1 )
1
1
5
33
0
5
1
1 1
3
1
1
0
5
4
1 1
3
2 0 0 1 1 ( 4 ) ( 1) 1 19
1
5
1
x 23
1
1
1
Resolvemos y por el desarrollo de los elementos de un línea
y
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1
0
4
1
1
1
2
1
0
0
1
1
3
1
5
1
( 1 )
31
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
1
0
4
1
0 1
2
1 ( 1 )
1
5
1
1 ( 1 )
3 4
32
1 1 3
4
1
0 1
2
1 ( 1 )
3
5
1 3 3
1 1
1
0
4
1
2 0 0 1 1 ( 1) ( 1) 1 1
1
5
y 1
1
0
1
1
1
1
1
Resolvemos z por el desarrollo de los elementos de un línea
z
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1
5
0
1
1
3
1
1
0
0
0
1
3
1
1
1
( 1 )
31
Los tres primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
1
5
0
1
0 3
1
1 ( 1 )
1
1
3 4
0 1 3
1
1 ( 1 )
32
0
1
1
1 ( 1 )
1
1
5
0
1 1
3
1 0 0 0 ( 1) 1 ( 6)
3
1
1
z 6
1 33
5
1
0 1
3
1
3
1
1
Resolvemos z por el desarrollo de los elementos de un línea
w
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1
5
4
0
1
3
2
1
0
0
1
0
3
1
5
1
( 1 )
31
Los dos primeros términos y el último son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
1
5
4
0
0 3
2
1 ( 1 )
1
5
32
1 1
5
4
( 1 ) 3 4 1 1
3
2
3
1
5
4
0
0 1
2
1 ( 1 )
3
5
1 33
1
0 0 ( 1) 1 ( 6) 0
z 6
5
0
1 1
3
1
3
1
1
x 23 23 32 32
y
z 6 6 32 32
w
x z
y
1 1 32 32
w 6 6 32 32
Verificamos los resultados
x 5y 4z w 0 x 3y 2z w 1 0x 0 y z w 0 3x y 5z w 1
1 6 6 23 5 ( ) 4 ( ) 0 32 32 32 32 1 6 6 23 3 ( ) 2 ( ) 1 32 32 32 32 0 ( 23 ) 0 ( 1 ) ( 6 ) 6 0 32 32 32 32 3 23 ( 1 ) 5 ( 6 ) 6 1 32 32 32 32
3 a) Para resolver sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
1
1
1
1
2
1
2
8
5
3
2
3
1
1
1
1
0
3
4
10
0
2
3
8
0
1
0
1
4
0
0
1
1
3
3
3
para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada
1 3 1
7
3 10 3 4
x y z 1 2x y 2z 8 5x 3y 2z 3
3
21 3 1
2
5 1 2 1
2
21 4 1
5 1 3 1
1 ( 4 ) 4 1 1 3 3 3
1
2 ( 4 ) 8 1 3 3 3 3 20 4 2 10 8 8 3 3 3
3
3b
3c
3d
8
3
2 ( 1 ) 10 1
5 ( 1 ) 8 1
1 10 1 10 7 3 3 3
1
0
1
0
1
4
0
0
3
3 1 3
4 3 4 1 3
7
3 10 3 4 3
1
0
0
1
0
1
0
2
0
0
1
4
1 4 7 3 3 7 4 3 1 1 3 3 3 3 3
4 4 10 3 3 10 16 6 2 1 3 3 3 3 3
El rango de la matriz coeficientes es 3
r( A ) r( A´)
Y el rango de la matriz ampliada también es 3
el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices
r( A ) r( A´) nº incógnitas
x 1
y 2
z 4
Sistema compatible determinado (admite un solo conjunto solución)
Te sugerimos que verifiques estos resultados . . . 3b
3c
3d
x z 6 3x 4y 25 4y 3z 13
3 b) Para resolver sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
escribimos el sistema completo y ordenado
1
0
1
6
3
4
0
25
0
4
3
13
1
0
1
Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada
6
0
4
3
7
0
4
3
13 6
1
0
1
0
1
3
0
0
0
4
x 0y z 6 3x 4y 0z 25 0x 4y 3z 13
7
4
20
4
3 0 4 1
0
31 3 1
25
3 6 7 1
06 0 1 00 13 13 3 3 4 4 1 1 1 07 0 ( 3) 6 6 1 1 1 1 47 4 ( 3) 13 20 3 0 4 4 3c
3d
1
0
1
0
1
3
0
0
0
6 4
7
4
20
El próximo pivote debe elegirse en la 3º fila 3º columna, pero ese elemento es 0 (no puede ser pivote)
Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron
r( A ) 2
Y quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0)
r( A´) 3
pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
r( A ) r( A´)
Sistema incompatible Este sistema no tiene solución
3c
3d
3 c) Para resolver sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas
1
1
1
2
10
2
1
3
3
3
3
2
4
1
7
1
1
1
2
10
0
1
1
7
23
0
1
1
7
23
x y z 2t 10 2x y 3z 3t 3 3x 2y 4z t 7 Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 1
2 ( 1 ) 1 1
3 2
22 7 1
3 3
3 ( 1 ) 1 1
1
32 7 1
21 1 1
2 10 23 1
4 7
3d
31 1 1
3 10 23 1
1
1
1
2
10
0
1
1
7
23
0
1
1
7
23
1
0
2
5
13 23
0
1
1
7
0
0
0
0
0
1
11 2 1
2
10
1 ( 7 ) 5 1
1 ( 23) 13 1
7
1 ( 7 ) 0 1
1 23
11 0 1
1 ( 23) 0 1
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó Significa que las operaciones ta 4 columna, pero esos elementos son 0 elementales posibles concluyeron (no pueden ser pivote)
r( A ) 2
quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)
r( A´) 2
y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)
3d
Si
r( A´) 2
r( A ) 2
r( A ) r( A´)
Sistema compatible
Sistema compatible indeterminado Este sistema admite infinitas soluciones
r( A ) r( A´) nº de incógnitas
pero
1
0
2
5
0
1
1
7
0
0
0
0
x 2z 5t 13 y z 7t 23
13
Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de ecuaciones con las matrices coeficiente y ampliadas halladas 0 confeccionamos una tabla de valores para x 13 2 z 5 t despejamos x encontrar diferentes soluciones, y 23 z 7t despejamos y asignándole valores a z y t, encontramos x e y x y z t
23
S1
-13
-23
0
0
S2
-10
-17
1
1
S3
-8
-16
0
1 3d
x y 3z 5u 2t 3 2x 2y 6z 10u 4t 4
3 d) Para resolver sistema de tres Para aplicar las operaciones elementales, ecuaciones con cuatro conformamos primero la matriz de coeficientes incógnitas y la matriz ampliada
1
1
3
5
3
2
2
2
6
10
1
1
3
5
2
3
0
0
0
0
2
0
4
4
Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron
r( A ) 1 r( A´) 2
2
2 ( 1 ) 0 1
6
23 0 1
23 22 2 ( 5 ) 4 2 4 0 10 0 1 1 1 El próximo pivote debe elegirse en la 2da fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote)
Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
r( A ) r( A´)
Sistema incompatible Este sistema no tiene solución
4 a) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal Solo nos queda analizar si admite soluciones diferentes de la trivial (todas las variables igual a cero)
Sabiendo que el sistema homogéneo será siempre compatible
2x y z 0 3x 2y z 0 x y 2z 0 sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para visualizar mejor el rango de ellas
2
1
1
0
3
2
1
0
1
1
2
0
0
1
1
0
0
5
1
0
1
1
2
0
2 ( 1 ) 1 1
1
21 1 1
0
20 0 1
3 ( 1 ) 5 1
1
32 1 1
0
3 0 0 1
1
2
4b
0
1
1
0
0
5
1
0
1
1
2
0
0
1
1
0
0
0
4
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1 2
5 ( 1 ) 4 1
0
( 1 ) ( 1 ) 1 1 0
50 0 1
0
( 1 ) 0 0 4
( 1 ) 0 0 1
0
10 0 4
El rango de la matriz de coeficientes es 3
r(A ) 3
Por ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre)
r( A ) nº de incógnitas Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial
x y z 0 4b
4 b) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal ordenamos el sistema
1
2
3
0
4
5
6
0
7
8
9
0
1
2
3
0
0
3
6
0
0
6
12
0
1
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
0
x 2y 3z 0 4x 5y 6z 0 7x 8y 9z 0
x 3z 2y 4x 5y 6z 0 7x 8y 9z
5
4 2 3 1
6
4 3 6 1
0
40 0 1
8
7 2 6 1
9
7 3 12 1
0
70 0 1
2 ( 6 ) 3 1 3
0
20 0 3
12 36 ( 6 ) ( 6 ) 0 12 12 3 3
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote)
0
60 0 3
las operaciones elementales posibles concluyeron
1
0
1
0
El rango de la matriz de coeficientes es 2
0
1
2
0
0
0
0
0
r( A ) 2 nos interesa analizar la matriz
por ser el sistema homogéneo no ampliada (r(A) = r(A´) siempre)
r( A ) nº de incógnitas Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial Este sistema admite infinitas soluciones
x z 0 Recomponemos el sistema de ecuaciones, y 2z 0 proponiendo un sistema de ecuaciones equivalente del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z
Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones; asignándole valores a z , encontramos x e y
x
y
z
S1
1
-2
1
S2
-1
2
-1
S3
0
0
0
x z y 2z
1 1 m
5) Para determinar, si existen los valores de m R, tales que el sistema sea : a) compatible determinado, b)Incompatible y c) Compatible indeterminado x y z 1 Efectuamos 1 1 1 transformaciones x y mz 1 elementales por 1 m 1 Gauss-Jordan mx y z 0
1
1
1
0
0
0 1
1
1
m 1
0
1 2
1m 1m m
0
0
0 1m
0
0
1
1
1 1m
2m m 1m
1 1 0 1
m
1 1 m 1 1
1
1 1 2 1
m 1 1m 1
1
m 1 1m 1
0
m 1 m 1
1 1
(1 m ) 1 1 0 1m 0
1
m 1 1 m m 1 1m 1m 1m
(1 m ) (m 1) 1m (1 m )
2
m (m 1) m (1 m ) 2 2 m (1 m ) (1 m )
1 0 0
Transcribimos el resultado de la última transformación 1 0 0 Podemos apreciar claramente que: 1m
1m 1
0 1
2m m 1m
Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de coeficientes
Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila Por lo que si m = 1
r(A ) r(A´)
Para cualquier otro valor de m
Sistema incompatible
r(A) r(A´) n º de incógnitas
Sistema compatible determinado
6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ? Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos
Si la cantidad de estudiantes que 1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años tiene x y z 32 multiplicamos cada una de las edades por la cantidad de 18 años es x 2) El promedio de sus edades es 18,5. estudiantes que tienen esas edades y sumamos los productos 19 años es y 18x 19y 20z 18,5 y dividimos por el total de estudiantes para 32 hallar el promedio de las edades 20 años es z 3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años Con las tres ecuaciones planteadas, puedo conformar un sistema de tres x y z 6 ecuaciones con tres incógnitas que ordenado queda : x y z 32 x y z 32 18x 19y 20z 18,5 32 18x 19y 20z 592 x y z 6 x y z 6
1
1
1
32
18
19
20
592
1
1
1
6
1
1
1
32
0
1
2
16
0
2 2
26
1
0
1
16
0
1
2
16
0
0
2
6
1
0
0
19
0
1
0
10
0
0
1
3
16 16 19 2
x y z 32 18x 19y 20z 592 x y z 6 19
18 1 1 1
18 1 2 1 11 1 2 1
20
6 1
1
18 32 16 1
11 2 1
1 32 26 1
12 1 1
2
592
22 2 1 16
26 10 2
32
26
1 16 16 1
2 16 6 1
Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes luego de las transformaciones elementales resultan:
1
0
0
19
0
1
0
10
0
0
1
3
r( A ) r( A´)
El rango de la matriz de coeficientes es 3
r( A´) 3
r( A ) 3
El rango de la matriz ampliada también es 3
el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices
r( A ) r( A´) nº incógnitas
Sistema compatible determinado (admite un solo conjunto solución)
Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales
x 0y 0z 19 0x y 0z 10 0x 0y z 3
x 19 y 10
z 3
Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .
7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ? Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas : que sean iguales
r( A ) r( A´)
Si los rangos no son iguales, lo que puede suceder en un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas Si los rangos son iguales, con seguridad, al ser menor el número de ecuaciones que el número de incógnitas
que no sean iguales
r(A ) r(A´)
El sistema es incompatible no tiene solución
r(A) r(A´) n º de incógnitas
El sistema es compatible indeterminado tiene múltiples soluciones 7b
7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas y además es homogéneo Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no pueden ser diferentes, luego los rangos son iguales
r(A) r(A´)
Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número de incógnitas
r(A) r(A´) n º de incógnitas Entonces el sistema es compatible determinado, al ser homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la trivial
8 a) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada inecuación como una ecuación y la representamos gráficamente Trazamos primero un par de ejes coordenados Luego analizamos la inecuación y > x como si se tratar de y = x
y x Pero con trazos punteados porque no están incluidos los x 0 y 3 valores de y = x entre los que buscamos sino los de y > x sombreamos el semiplano que verifica
y>x
luego graficamos la región que verifica
x>0
Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras: El sombreado verde representa la primera inecuación El sombreado claro representa la segunda inecuación Se verifican ambas condiciones donde hay sombreado doble
No se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado 8b
8c
8d
Finalmente representamos la tercera inecuación y < 3 Queda determinada una región con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema Tengamos presente que esta es una región “abierta” porque las líneas que delimitan la región no están incluidas en el conjunto solución Por ejemplo el punto (1; 2) es una solución del sistema
y x x 0 y 3
2 1 1 0 2 3
6 2 2 0 6 3
Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo dos de las condiciones pero no la tercera Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ninguna como también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones 8b 8c 8d
8 b) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada inecuación como una ecuación y la representamos gráficamente Trazamos primero un par de ejes coordenados Luego analizamos la inecuación y < 5 - x como si se tratara de y=5-x con trazos punteados y 5 x porque no están incluidos los valores de y = 5 - x y x 3 entre los que buscamos sino los de y < 5 - x y 1
sombreamos el semiplano que verifica y < 5 - x
luego graficamos la región que verifica y x + 3 Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras: El sombreado verde representa la primera inecuación El sombreado marrón representa la segunda inecuación Se verifican ambas condiciones donde hay sombreado doble
No se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado 8c
8d
Finalmente representamos la tercera inecuación y 1 Queda determinada una región con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema esta es una región “abierta” en la línea verde pero “cerrada” en las otras dos Por ejemplo el punto (1; 3) es una solución del sistema
y 5 x y x 3 y 1
3 5 1 3 1 3 3 1
6 5 2 6 2 3 6 1
Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo la tercera condición pero no las otras dos Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ninguna como también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones 8c
8d
8 c) tenemos un sistema formado por una inecuación y una ecuación y x x 4 y 2x 4 que ordenada queda x x y 2 y 2 2 2 Trazamos primero un par de ejes coordenados Luego analizamos la inecuación y 2x - 4 como si se tratara de y = 2x - 4 sombreamos todo el semiplano que verifica la condición y 2x - 4 Representamos gráficamente
y
x 2 2
Las soluciones de este sistema deben verificar ambas condiciones: Pertenecer al semiplano sombreado
Pertenecer a la recta Verifican ambas condiciones los puntos de la recta que están en la región del semiplano Por ejemplo el punto (6, 5)
8d
8 d) tenemos un sistema formado por dos ecuaciones y una inecuación 3 3 3x1 2x2 3 x x 2 1 que ordenada queda 2 2 3 6x1 4x2 8 x 2 x1 2 2 7x1 14 x1 7 Trazamos primero un par de ejes coordenados 3 3 Representamos gráficamente x2 x1 2 2 3 Representamos gráficamente x2 x1 2 2 Luego analizamos la inecuación x1 7 como si se tratara de x1 = 7 sombreamos todo el semiplano que verifica la condición x1 7 Las soluciones de este sistema deben verificar las tres condiciones Pero las rectas paralelas no tienen puntos en común, luego este sistema NO TIENE SOLUCION
Yo creo bastante en la suerte. He constatado que cuanto más trabajo, mas suerte tengo. Thomas Jefferson
Lograremos cosas importantes
Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, sólo esa, puede ser la más feliz ó la mas amarga de tus horas. Pablo Neruda
Razonamiento Matematico
EJERCICIOS RESUELTOS
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Suma de Numero Naturales
n(n 1) 1 2 3 ... n 2 1. Calcular:
2. Calcular:
1 + 2 + 3 + ... + 20 = 20 x 21 = 210 2 E = 21 + 22 + 23 + ... + 40
1 + 2 + ...+ 20 + 21 + 22 + ... + 40 - ( 1 + 2 + ...+ 20 ) 40 x 41 20 x 21 E= 2 2
E = 820 – 210 = 610
Suma de Numero Cuadrados
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 ... n 6 2
2
2
2
1. Calcular:
12 2. Calcular:
+
22
+
32
+ ... +
202
=
20 x 21 x 41 = 2870 6
E = 112 + 122 + 132 + ... + 302
12 + 22 +...+ 102 + 112 + 122 +...+ 302 - ( 12 + 22 +...+ 102 ) 30x31x61 10x11x21 E= 6 6
E = 9465 – 385 = 9080
Suma de Numero Cubos
n(n 1) 1 2 3 ... n 2 3
3
3
2
3
1. Calcular:
13 + 23 + 33 + ... + 103 =
10 x 11 2
2
= 3025
Suma de Numero Pares
2 4 6 ... 2n n(n 1) # terminos = n 1. Calcular:
2 + 4 + 6 + ... + 40 = 20 x 21 = 420 # terminos = 20 2. Calcular:
2 + 4 + 6 + 8 + ... = 30 x 31 = 930 30 terminos
Suma de Numero Impares
n 1 1 3 5 ... n 2
2
# terminos =n + 1 2 1. Calcular:
1 + 3 + 5 + ... + 31 = # terminos = 16
31 + 1 2
2
= 256
2. Calcular:
1 + 3 + 5 + 7 + ... = 15 2 = 225 15 terminos
Calcular el valor de la siguiente suma: P = 0,1 + 0,4 + 0,9 + 1,6 + ... + 40
1 4 9 16 400 P ... 10 10 10 10 10 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 202 P= 10
20 21 41 6 p 10
2870 p 287 10
Calcular
130 sumandos
M = 4 + 5 + 7 + 3 + 6 + 5 + 9 + 3 + ... M = 9 + 10 + 11 + 12 + ... 65 sumandos M = (8 + 1) + (8 + 2) + (8 + 3) + (8 + 4) + ... + (8 + 65) 65 sumandos M = ( 8 + 8 + 8 + 8 + ... )+ ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 65 ) 65 sumandos
M = 65 x 8 + 65 x 66 2
65 sumandos
M = 520 + 2145 = 2665
Propiedades
1x2 + 2x3 + 3x4 + ... + n x ( n + 1) = n x (n +1) x (n + 2) 3 Calcular:
S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ... + 20x21 =
20 x 21 x 22 3
Calcular:
S = 7x8 + 8x9 + 9x10 + ... + 20x21 20 x 21 x 22 6x7x8 S= 3 3
S = 3080 - 112 S = 2968
Calcular:
S = 2 + 9 + 28 + 65 + 126 + ... + 1001 S = (1 + 1) + (1 + 8) + (1 + 27) + ... + (1 + 1000)
S = (1 + 13 ) + (1 + 23 ) + (1 + 33 ) + ... + (1 + 103 )
S = ( 1 + 1 + 1 + ... + 1)
+ ( 13 + 23 + 33 + ... + 103 )
10 sumandos
S = 10 +
10 x 11 2
2
S = 10 + 3025 S = 3035
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PROPUESTA DE PROYECTO DE CENTRO
MEJORANDO LAS HABILIDADES COGNITIVAS
VAMOS A TRABAJAR: RAZONAMIENTO ABSTRACTO RAZONAMIENTO VERBAL REFLEXIÓN
ATENCIÓN OBSERVACIÓN MEMORIA
MEJORA DEL RAZONAMIENTO ABSTRACTO Y VERBAL
EJERCICIOS QUE POTENCIAN EL RAZONAMIENTO ABSTRACTO Observación Observación de características: Semejanzas Diferencias
Grupos Clases Cambios y series Analogías
Departamento de Orientación. IES Galileo Galilei
MEJORA DEL RAZONAMIENTO ABSTRACTO Y VERBAL
¿Por qué es importante razonar con efectividad? OBJETIVOS: Si razonamos bien, conseguimos:
- Analizar y evaluar argumentos para aceptar o no las conclusiones. - Reconocer contradicciones e inconsistencias. - Decidir si se cree o no la información que llega.
- Modificar las creencias cuando surge una nueva evidencia. - No enjuiciar antes de obtener la información adecuada. - Formular y comprobar hipótesis.
MEJORA DEL RAZONAMIENTO ABSTRACTO Y VERBAL
RAZONAMIENTO ABSTRACTO
MEJORA DEL RAZONAMIENTO ABSTRACTO Y VERBAL
EJERCICIOS QUE POTENCIAN EL RAZONAMIENTO VERBAL
Sinónimos Antónimos Clasificación de palabras Identificación de definiciones Frases incompletas Analogías verbales
MEJORA DEL RAZONAMIENTO ABSTRACTO Y VERBAL
RAZONAMIENTO VERBAL
MEJORA DEL ESTILO COGNITIVO-REFLEXIVO
OBJETIVOS: Los/as alumnos/as reflexivos: Obtienen mejores calificaciones Permanecen más atentos en clase
Controlan mejor los movimientos Tienen más autocontrol Manejan mejor el lenguaje interior como autorregulador de la conducta
Resuelven mejor los problemas en general
MEJORA DEL ESTILO COGNITIVO-REFLEXIVO
EJERCICIOS QUE POTENCIAN EL ESTILO REFLEXIVO
Demora forzada
Análisis de detalles Autoinstrucciones Entrenamiento en solución de problemas Modelado participativo Reforzadores
MEJORA DEL ESTILO COGNITIVO-REFLEXIVO
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MEJORA DEL ESTILO COGNITIVO-REFLEXIVO
REFLEXIÓN
MEJORA DE LA ATENCIÓN OBJETIVOS: La capacidad de centrar la atención es el paso previo que facilita el ejercicio de la reflexión, la memoria y el aprendizaje en general.
Manejando bien la atención, se consigue seleccionar lo que interesa y almacenarlo en la memoria.
La atención selectiva hay que educarla, al igual que la capacidad de análisis y de crítica, necesarias para formar personas libres y dueñas de sus propios actos.
MEJORA DE LA ATENCIÓN
EJERCICIOS QUE POTENCIAN LA ATENCIÓN Resaltar diferencias
Buscar semejanzas Identificar formas iguales entre muchas parecidas Buscar una letra en un escrito Buscar información Diferenciar lo importante de lo que no lo es…
MEJORA DE LA ATENCIÓN
SEMEJANZAS-DIFERENCIAS
MEJORA DE LA PSICOMOTRICIDAD
El desarrollo de la psicomotricidad es imprescindible para la adquisición de los procesos de lectoescritura. OBJETIVO: Afianzar la psicomotricidad que en muchas ocasiones no ha sido convenientemente interiorizada y puede provocar alteraciones en las actividades relacionadas con la lectura y la escritura.
Departamento de Orientación. IES Galileo Galilei
MEJORA DE LA PSICOMOTRICIDAD
EJERCICIOS QUE POTENCIAN LA PSICOMOTRICIDAD
Ejercicios para reforzar y mejorar la orientación espacial.
Ejercicios para reforzar y mejorar la orientación temporal. Ejercicios para reforzar y mejorar el lenguaje propiamente dicho.
MEJORA DE LA MEMORIA
Atención y memoria son procesos cognitivos íntimamente relacionados. OBJETIVOS: Se obtendrán innumerables ventajas en el proceso enseñanzaaprendizaje mejorando en el alumnado las capacidades de centrar la atención, especialmente en el proceso atencional continuado y los procesos de memorización y evocación.
MEJORA DE LA MEMORIA
EJERCICIOS QUE POTENCIAN LA MEMORIA
Distintos ejercicios explicando cómo utilizar las habilidades
que tenemos para obtener el máximo de nuestra capacidad y desarrollarla con contenidos relacionados con los propios de cada materia.
MEJORA DE LA MEMORIA
MEMORIA
CONSEJOS PARA DESARROLLAR LA INTERVENCIÓN
- ANTES DE EMPEZAR EL PROGRAMA SE EXPLICA EN LAS CLASES QUÉ SE VA A HACER Y SU FINALIDAD. - SE LES DIRÁ QUE SE REALIZARÁN EJERCICIOS MUY SENCILLOS Y DIVERTIDOS QUE AYUDARÁN A MEJORAR SU ATENCIÓN, A REALIZAR MEJOR SUS TRABAJOS, A APRENDER MÁS Y CON MÁS
FACILIDAD. - BUSCAREMOS CONDICIONAMIENTOS POSITIVOS A NIVEL INDIVIDUAL Y A NIVEL DE GRUPO PARA LOS ALUMNOS QUE COLABORAN. - ES IMPORTANTE EL REFUERZO SOCIAL Y LA ALABANZA EN PÚBLICO.
Departamento de Orientación. IES Galileo Galilei
ESTRATEGIAS DE ACTUACIÓN EL/LA PROFESOR/A: - Dirige siempre la realización de los ejercicios.
- Da las indicaciones para que los alumnos/as no se anticipen a realizar las tareas y las hagan sin reflexionar. - Controla el tiempo prefijado. - Corrige verbalizando el proceso para resolver la tarea, actuando de modelo participativo y
reforzando a los alumnos/as con el fin de reforzar la reflexión. - Asigna a cada alumno/a la puntuación obtenida en cada ejercicio, que constará en el propio ejercicio. LOS/AS ALUMNOS/AS: - Podrán corregir en muchas ocasiones los ejercicios propios o cambiarlos con los compañeros. EL/LA TUTOR/A: - Contabiliza por meses y lo comenta en el aula.
RELACIÓN DIRECTA CON LAS COMPETENCIAS BÁSICAS DE LAS DISTINTAS MATERIAS
- Ciencias Naturales - Ciencias Sociales - Educación Física - Educación para la Ciudadanía - Educación Plástica y Visual - Informática - Latín
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Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
88
NOCIONES PREVIAS
SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º. RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
89
MENU
1.
a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza b.TEOREMA DE TALES
2. TEOREMA DE PITÁGORAS
1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas H
s h S H
h S. árbol pequeño (s)
A
Sombra del árbol grande (S)
H
B h
A’
B’
s
O
S
OB' BB' k (razón de proporcionalidad) OA ' AA'
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
91
1.b. TEOREMA DE TALES r
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten
E’ D’
C’ B’
E’’ D’’
C’’
A’ B’’ O A
O A
B
C
D
E
r’
A’
B’ B
OA OA ' AB A ' B' o tambien OB OB' OB OB'
TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.
92
Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal Sistema centesimal
(En la calculadora MODE DEG)
(En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo completo
Ángulo llano
Ángulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL
360º
180º
90º
60’
60”
CENTESIMAL
400g
200g
100g
100m
100s
2
/2
RADIANES
93
Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal
60 º
210º 50g
S. centesimal Radianes
S.sexagesimal S. centesimal Radianes
60g
100g
2π/3
5π/6
140º
240º 350g
90g 7π/8
25g 3
94
Ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal
60 º
45º
120º
54º
210º
90º
150º
66g 66m 66s
50g
133g 33m 33s
60g
233g 33m 33s
100g
166g 66m 66s
3
4
3 10
7 6
2
5 6
S.sexagesimal
140º
315º
157º 30’
81º
240º
22º 30’
171º 53’14”
S. centesimal
155g 55m 55s
350g
175g
90g
266g 66m 66s
25g
190g 98m 59s
Radianes
14 18
7 4
7 8
9 20
4 3
8
3
S. centesimal Radianes
2 3
95
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) B
B`
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son semejantes
B”
porque tienen los ángulos iguales. En consecuencia los lados son proporcionales :
A
A`
A”
C
AB A' B' A" B" ˆ sen C BC B' C B" C
BC B' C B" C ˆ cos ec C AB A' B' A" B"
AC A' C A" C ˆ cos C BC B' C B" C
BC B' C B" C ˆ sec C AC A' C A" C
AB A' B' A" B" ˆ tg C AC A' C A" C
AC A' C A" C ˆ cot g C AB A' B' A" B" 96
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO B Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
a
Se definen seis razones trigonométricas
c
Cateto adyacente o contiguo a C
A
b
ˆ sen C
cateto opuesto c hipotenusa a ˆ cos ec C
ˆ cos C
ˆ tg C
hipotenusa a cateto opuesto c
ˆ sec C
C hipotenusa a cateto adyacente b
cateto adyacente b hipotenusa a
cateto opuesto c cateto adyacente b
ˆ sec C
1 ˆ cos C
ˆ cos ec C
ˆ cateto adyacente b cot g C cateto opuesto c
1 ˆ sen C
ˆ 1 cot g C ˆ tg C 97
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS B DE UN ÁNGULO Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
a
ˆ sen C ˆ tg C ˆ cos C
c
Cateto adyacente o contiguo a C
A
b ˆ c sen C a ˆ b cos C a
c ˆ c a sen C ˆ tg C ˆ b b cos C a
C
a ˆ aa 1 sec C ˆ b b cos C a
a ˆ aa 1 cos ec C ˆ c c sen C a b ˆ b a cos C ˆ cot g C ˆ c c sen C a
ˆ cos C ˆ cot g C ˆ sen C ˆ 1 sec C ˆ cos C
ˆ cos ec C
1 ˆ sen C
ˆ 1 cot g C ˆ tg C 98
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa.
B a C
A
Es decir:
0
0
En consecuencia: b
C
ˆ c 1 0 sen C a
ˆ a 1 sec C b
ˆ b 1 0 cos C a
ˆ a 1 cos ec C c
ˆ c 0 tg C b
ˆ b 0 cot g C c 99
MENU
1.
R.T. DE 30º y 60º
2.
R.T. DE 45º
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1) C Sea ABC un triángulo equilátero Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
60º
l
l
Trazamos una altura CH
A En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide 60º
y el ángulo C mide
30º
El lado BH mide
B
H
l l/2
C
Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras 2
l x 2 l2 2
x 2 l2
2
l 4
x2 x2
4l l 4 2
2
3l2 x 4
x
l 60º
2
3l 4
30º
x
l
3 2
H
B
l/2 101
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2) C
l 3 2
l 3 l 3 3 sen 60º 2 l 2l 2 30º
l
l l 1 cos 60 º 2 l 2l 2
l 3 l 3 3 cos 30º 2 l 2l 2
3 sen 60 º 2 3 tg 60 º 2 3 1 cos 60 º 2 2
1 2 1 3 tg 30 º 2 3 3 2 3 3 2
60º
H
B
l/2
Observa que: sen 60º = cos 30º
l l 1 sen 30 º 2 l 2l 2
sec 60º
1 2 cos 60º
sec 30º
1 2 cos 30º 3
cos 60º = sen 30º tg 60º = cotg 30º cotg60º = tg 30º sec 60º =cosec30º Cosec 60º =sec30º
cos ec 60º
1 2 sen 60º 3
1 1 3 cot g 60º tg 60º 3 3
cos ec 30º
cot g 30º
1 2 sen 30º
1 3 3 3 3 tg 30º 3 3 102
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1) C
D Sea ABCD un cuadrado Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º
l
Trazamos la diagonal AC
A En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide 45º
y el ángulo C mide
B
l
45º
C
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
Tª de Pitágoras
x
x l l 2
2
2
x 2l
2
45º
l
45º
x 2l 2
2
x l
2
A
l
B 103
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2) C sen 45º
l l 2
1 2 2 2 45º
cos 45 º
l l 2
l
1 2 2 2
l tg 45º 1 l
1 2 2 2 2 cos 45º 2 2 1 2 cos ec 45º 2 sen 45º 2
1 1 cot g 45º 1 tg 45º 1
l
45º
A sec 45º
2
l
B
Observa que:
sen 45º = cos 45º tg 45º = cotg 45º sec 45º =cosec45º
104
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS y 90º
C
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α grados, el ángulo C mide
90º
a
b
90º α
B
c
sen (90º )
c cos a
sec 90º
cos 90º
b sen a
cos ec 90º
1 1 sec sen 90º cos
c cot g b
cot g 90º
1 1 tg tg 90º cot g
tg 90º
A
1 1 cos ec cos 90º sen
105
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS y
2
C
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α radianes, el ángulo C mide
a
2
b α
B
c sen ( ) cos 2 a
2
c
A
1 1 sec cos ec 2 sen cos 2
b cos sen 2 a
1 1 cos ec sec 2 cos sen 2
c tg cot g 2 b
1 1 cot g tg 2 cot g tg 2 106
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA 2
sen cos2 1
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
C
b2 c 2 a2 Si dividimos la expresión anterior por a2
a
b2 c 2 a2 2 2 2 a a a Expresándolo de otra forma: 2
2
b c 1 a a O lo que es lo mismo: Que normalmente expresaremos de la forma:
b
α
B
c
A
sen2 cos 2 1
sen cos 1 2
2
107
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES C Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
b2 c 2 a2 B
a
b
α
c
A
Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2 2
2
b2 c 2 a2 2 2 2 c c c
2
b c a b2 b2 b2
Expresándolo de otra forma:
1 cot g cos ec 2
2
1 cot g2 cos ec 2
1 tg sec 2
2
1 tg2 sec 2 108
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1 Y
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
sen
sen 0º = 0 radio=1
O
Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,
P(x,y) sen
sen
sen
sen
cos 90º = 0
X
cos 0º = 1
cos 109
MENU
1.
R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
2.
VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULO
3.
VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTE
4.
R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
5.
R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
6.
R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
7.
R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas Uno de los lados del ángulo Y deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda a
O
1
X A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica.
111
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Y
ordenada y' y y radio r 1
sen cos
abscisa x' x x radio r 1
Q(x’,y’) P(x,y)
a
O
1
r
X
tg
ordenada y' y abscisa x' x
A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica) 112
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. Y1
B
sen g
b
g
a
cos b
O d
C
cos
-1
sen
cos g
-1
A
cos d
D
0
1
1 sen 1 1
sen d
sen b
El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1
X
1 cos 1
+ _ + _
_ + _ +
SIGNO DEL SENO
SIGNO DEL COSENO
-1
113
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. cotg d
cotg b
cotg g
Y
cotg
tg g
B
A
a
1
d
La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .
D
tg b
tg d
O
C
tg
tg
b
g
X
cot g
_ + _ + TANGENTE Y COTANGENTE
114
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º Y1
A
A’
En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º) Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
y 120º 60º
60º -1
-x
sen120º y sen 60º
y
O
cos120º x cos 60º
x
1
X
tg120 º
-1
sec 120º 2
3 2
cos ec 120 º
2 3 3
1 2
y y tg 60º 3 x x
cot g120 º
3 3 115
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º Y1
En la circunferencia goniométrica dibujamos 135º (quitamos 45º a 180º)
A’
A
45º -1
y
135º
y -x
45º
O
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
x
sen135º y sen 45º
cos135º x cos 45º 2 2 1 X tg135 º
-1
sec 135 º 2
2 2
cos ec 135º 2
y y tg 45º 1 x x
cot g135º 1 116
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º Y En la circunferencia goniométrica dibujamos 1
150º (quitamos 30º a 180º)
A’
A 150º
y
x
-x
O
sen150º y sen 30º
y 30º
30º -1
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
cos150º x cos 30º 3 2 1 X tg150 º
-1
2 3 sec 150 º 3
1 2
cos ec 150º 2
y y tg30º 3 x x 3
cot g150º 3 117
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Y
a y 180º- a ay
p-a
1
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a
180º-a y -1
sen 180 º y sen
A
A’
-x
y a
a
O
x
1
cos 180 º x cos X
tg 180 º
-1
sen sen
cos cos
y y tg x x
tg 180 º tg 118
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º).
Y1
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
1 2 3 cos 210º x cos 30º 2
A
sen 210º y sen 30º
210º y 30º
-1 -y
-x 30º
O
A’
x
1
X
tg 210 º
-1
cos ec 210º 2
y y 3 tg30º x x 3
cot g 210º 3 119
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º En la circunferencia goniométrica dibujamos 225º (añadimos 45º a 180º).
Y1
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
225º 45º
-x
-1
45º
O
2 2 cos 225º x cos 45º 2 2 1 sen 225º y sen 45º
X
-y
tg 225 º
-1
sec 225º 2
cos ec 225º 2
y y x x
tg 45º
1
cot g 225º 1 120
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º Y1
En la circunferencia goniométrica dibujamos 240º (añadimos 60º a 180º). Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
sen 240º sen 60º
240º
-1
O
1
X
cos 240º cos 60º tg 240º tg 60º
-1
sec 240º 2
cos ec 240 º
3 2
2 3 3
cot g 240 º
1 2
3
3 3 121
a y 180º+ a
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Y
ay
p+a
1
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a
sen 180 º y sen
A 180º+a y -1 -y
-x
a
a
O
A’
x
1
cos 180 º x cos X
tg 180 º
-1
sen sen
cos cos
y y x x
tg
tg tg 122
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
300º -1
1
O
sen 300º sen 60º
3 2
cos 300º cos 60º
1 2
X
tg300º tg 60º 3
-1
sec 300º 2
cos ec 300 º
2 3 3
cot g 300 º
3 3 123
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º).
sen 315º sen 45º 315º -1
cos 315º cos 45º O
1
X
2 2 2 2
tg315º tg 45º 1
-1
sec 315 º 2
cos ec 315º 2
cot g 315º 1 124
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º (las mismas que las de –30º) Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 330º (quitamos 30º a 360º).
sen 330º sen 30º cos 330º cos 30º -1
O
1
X
1 2 3 2
3 tg 30 º tg330º 3
2 3 sec 330 º 3
-1
cos ec 330º 2
cot g 330º 3 125
a y 360º-a
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMANY360º
a y 2 p-a
1
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 360º- a
sen 360 º y sen
A 360º-a -1
y
O
a a
x
1 -y A’
-1
sen 2 sen
cos 360 º x cos X
tg 360 º
cos 2 cos
y y tg x x
tg 2 tg 126
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS Y
ay -a
1
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a A y -1
O
a -a
x
sen sen
cos x
cos
1 -y X A’
-1
sen y sen
cos cos
tg
y y tg x x
tg tg 127
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA Y 1
y a
-1
sen 360 º sen
k
sen 2 sen
A
O
2k,
k
Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a
2p+
-1
360º k,
x
1
cos 2 cos X
cos 360 º cos
tg 2 tg
tg 360 º tg 128
a y 270º+a
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º Y
y
1
3 2
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a
sen 270 º x cos
A 270º+a -1
y
O
y
a
x -x
-1
3 sen cos 2
1
cos 270 º y sen X
tg 270 º
x x cot g y y
A’
3 cos sen 2
3 tg cot g 2 129
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y1
a y 90º - a
y
2
A’ En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 90º- a x
sen 90º x cos
A 90º-a -1
O
y
a
y x
1
cos 90º y sen X
tg 90 º
-1
sen cos 2
cos sen 2
x cot g y
tg cot g 2 130
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1.
Y
sen 0º = 0
1
sen 90º = 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0 -1
O
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0 131
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
Y
cosen 0º = 1
1
cosen 90º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1 -1
O
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1 132
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
Y
tg 0º = 0
1
tg 90º + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º - ∞ -1
O
-1
1X
tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º + ∞. Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º - ∞
tg 360º = 0 133
COTANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 0º + ∞
Y
cotg 90º =0
1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º - ∞ -1
O
-1
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 180º + ∞
cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de 0a-∞ cotg 360º - ∞
134
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO 1 sen 1
cos ec 1
1 cos 1
sec 1
tg
cot g
+ _ + _ SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE
_ + _ + SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE
cos ec 1 sec 1
_ + _ + SIGNO DE LA TANGENTE Y COTANGENTE
135
MENU
1.
FUNCIÓN SENO
2.
FUNCIÓN COSENO
3.
FUNCIÓN TANGENTE
4.
FUNCIÓN COTANGENTE
5.
FUNCIÓN SECANTE
6.
FUNCIÓN COSECANTE
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x 1 3 2 2 2
1 2
0
6 4
1 2
2
3
2 3 5 3 4 6
7 5 4 6 4 3
3 2
5 7 11 3 4 3
2
2 2
3 2
1
a sen a
0
6
4
3
2
2 3
3 4
5 6
7 6
0
1 2
2 2
3 2
1
3 2
2 2
1 2
0
5 4
4 3
1 2 3 2 2 2
3 2
5 3
1
7 4
11 3
1 3 2 2 2 2
2
0 137
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x
138
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 1 3 2 2 2
1 2
0
6 4
1 2
2
3
2 3 5 3 4 6
7 5 4 6 4 3
3 2
5 7 11 3 4 3
2
2 2
3 2
1
a COS
a
0
6
4
3
2
2 3
1
3 2
2 2
1 2
0
3 4
5 6
1 2 3 2 2 2
7 6
5 4
4 3
3 2
5 3
1
3 2
2 2
1 2
0
7 4
11 3
1 2 3 2 2 2
2
1 139
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x
140
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 3
1 3 3
0
3 3
6 4
3
2
2 3 5 3 4 6
7 5 4 6 4 3
3 2
5 7 11 3 4 3
2
1 3
141
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x
142
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x 3
1 3 3
0
3 3
6 4
3
2
2 3 5 3 4 6
7 5 4 6 4 3
3 2
5 7 11 3 4 3
2
1 3
143
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
144
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x
1
0
6 4
3
2
2 3 5 3 4 6
7 5 4 6 4 3
3 2
5 7 11 3 4 3
2
1
145
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x
146
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
1
0
6 4
3
2
2 3 5 3 4 6
7 5 4 6 4 3
3 2
5 7 11 3 4 3
2
1
147
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
148
MENU
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
150
1.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2.
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3.
R.T. DEL ÁNGULO MITAD
4.
TEOREMA DEL SENO
5.
TEOREMA DEL COSENO
6.
ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERON
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS M
B
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.
Y
sen b
A b
b
O
P
N
BP AM AN OB OB
AB cos OA sen OB
OB senb cos OB cos b sen OB X
sen b sen cos b cos senb 152
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS B
M
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.
Y
cos b
OP ON NP ON BM OB OB OB
A b
b
O
P
N
X
OA cos AB sen OB
OB cos b cos OB senb sen OB
cos b cos cos b sen senb 153
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS (otra forma de deducir la fórmula) cos b sen
b sen b sen b 2 2 2
sen cos b cos sen b 2 2
cos cos b sen senb
cos cos b sen senb
cos b cos cos b sen senb 154
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS sen b
sen cos b cos senb tg b cos b cos cos b sen senb
Simplificando
sen cos b cos senb cos cos b cos cos b cos cos b sen senb cos cos b cos cos b
Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb
tg tgb 1 tg tgb
sen b sen cos b cos senb
cos b cos cos b sen senb tg tgb tg b 1 tg tgb 155
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen b sen b sen cos b cos sen b sen cos b cos senb 1
sen cos b cos senb
cos b cos b cos cos b sen sen b
cos cos b sen senb
cos cos b sen senb tg tgb tg tg b tg b tg b 1 tg tg b 1 tg tgb tg tgb 1 tg tgb
156
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen b sen cos b cos senb sen b sen cos b cos senb
cos b cos cos b sen senb cos b cos cos b sen senb tg tgb 1 tg tgb tg tgb tg b 1 tg tgb
tg b
157
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen 2 sen sen cos cos sen 2 sen cos cos 2 cos cos cos sen sen cos2 sen2 tg 2 tg
tg tg 1 tg tg
2tg 1 tg2
sen 2 2 sen cos 2 2 cos 2 cos sen tg 2
2tg 1 tg2 158
R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble) 2 2 2 2 2 cos 2 cos sen 1 sen sen 1 2sen
2sen2 1 cos 2 1 cos 2 2 sen 2
1 cos 2 sen 2
2 2 2 2 2 cos 2 cos sen cos 1 cos 2 cos 1
2 cos2 1 cos 2 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 2 1 cos cos 2 2
sen
1 cos tg 2 1 cos
cos
1 cos 2 2
1 cos 2 tg 1 cos 2 159
MENU
1.
Teorema del seno
2.
Teorema del coseno
TEOREMA DEL SENO
Los lados de un triángulo son proporcionales a a b c los senos de los ˆ ángulos opuestos. sen Aˆ sen Bˆ sen C
El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
C
Consideremos un triángulo ABC. Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:
hC b sen Aˆ ˆ a sen Bˆ b sen A ˆ hC a sen B a b sen Aˆ sen Bˆ A
b
a
hC hA
c
Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:
H
B
b c ˆ h A b sen C ˆ ˆ b sen C c sen B ˆ ˆ sen Bˆ sen C h A c sen B 161
Medida de los ángulos en una circunferencia Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A b
O
b 180º-2
B
O
2b 180º-2b
2b
b
g C
360º-(180º-2 180º-2 b 360º - 360º + 2 2 b 2 2 b 2 b
2g
162
Medida de los ángulos en una circunferencia Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales
90º
g
g
180º Todos los ángulos
g
2g
g
inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.
163
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO a b c 2R ˆ ˆ ˆ sen A sen B sen C
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
A
B a
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto).
A’
C
a 2R 2R 2R ˆ 1 sen A' sen 90º Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:
a a 2R ˆ ˆ sen A sen A'
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. 164
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo 1 S c hc 2
La superficie del triángulo ABC es:
C
En el triángulo AHC :
h sen Aˆ C b
hC b sen Aˆ b
a
hC Sustituyendo en la primera expresión:
1 S c b sen Aˆ 2
A
c
H
B
165
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
1 S c b sen Aˆ 2 C Por el Teorema del seno :
a 2R ˆ sen A
a ˆ sen A 2R
Sustituyendo en la primera expresión:
1 a S c b 2 2R
b
a R
A
c
B
a b c S 4R 166
TEOREMA DEL COSENO
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
C
a2 h2 c m 2
h2 c 2 2cm m2 (en AHC)
b
h
b m c 2cm m 2
2
2
a
2
b2 m2 c 2 2cm m2 b2 c 2 2cm (Como en AHC
m = b . cos A)
Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:
A
m
c-m c
H
B
ˆ a2 b2 c 2 2 b c cos A b2 a2 c 2 2 a c cos Bˆ
ˆ c 2 a2 b2 2 a b cos C 167
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Clasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que:
ˆ a2 b2 c 2 2 b c cos A
C b
Si A < 90º
a B C
A
a b c 2
2
2
A
c
b
cos A >0
a
Si A = 90º
cos A = 0
a2 b2 c 2
( Teorema de Pitágoras )
c
B a
Si A > 90º
C
cos A < 0
b
a2 b2 c 2 B
c
A 168
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón 1 S c b sen Aˆ 2
La superficie del triángulo ABC es:
ˆ 2S c b sen A
ˆ 4S2 c 2 b2 sen2 Aˆ c 2 b2 1 cos2 A 2 2 2 2 b c a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ c b c b c b c b cos A 2 2 4 b c 2 2 2 2 2 2 C 4 c b b c a 4
2bc b
b c
2
2
c 2 a2 2bc b 2 c 2 a2 4
a a b c 4 2
2
2
b
hC
a
A
B
c H Por el Tª del coseno 2 2 2 b c a cos Aˆ 2b c 169
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón 1 S c b sen Aˆ 2 ˆ 2S c b sen A 2 2 2 2 b c a a b c 4S2 c 2 b2 sen2 Aˆ ... 4 La superficie del triángulo ABC es:
b c ab c aa b c a b c
b
C
hC
a
4
2p 2p a 2p c 2p b 4
4 p p a p c p b
A
c
H
B
FÓRMULA DE HERÓN
S2 p p a p c p b S p p a p b p c Si a+b+c=2p
(p será el semiperímetro) b+c-a=2p-2a=2(p-a)
.... 170
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos. 171
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PROBLEMA 11 En una encuesta realizada en una población sobre su
preferencia de tres diarios A, B y C se encontró el 52% leen el diario A, el 24% leen B, el 18% leen C, el 10% lee A y B, el 12% lee A y C, el 8% lee B y C y el 56% leen al menos uno de los tres diarios.
DETERMINAR: ¿Qué tanto por ciento leen un solo diario?
10% ¿Qué tanto por ciento leen exactamente dos de los
diarios? 54% ¿Qué tanto por ciento ninguno de los tres diarios?
44%
DESARROLLO: 56 (a b c) (10 x) (12 x) (8 x) x 56 30 x 6 x x 2 10 x 12 x 8 x x 56 64 x 8 x
A 52 52 (10 x) (12 x) x a 52 10 x 12 x x a 30 x a a 22 B 24 24 (10 x) (8 x) x b 24 10 x 8 x x b 6 x b b 2 C 18 18 (12 x) (8 x) x c 18 12 x 8 x x c x2c c 10
GRÁFICO:
A a
44
10-x x b
B
8-x
12-x
c
C
PROBLEMA 13 Un club deportivo tiene 48 jugadores de futbol, 25 de
básquet y 30 de beisbol, si el total de jugadores es 68 y
solo 6 de ellos figuran en los tres deportes:
DETERMINAR: ¿Cuántos figuran exactamente en un deporte?
39 deportistas (gráfico 2)
¿Cuántos figuran exactamente en dos deportes?
23 deportistas (gráfico 1)
DESARROLLO: a y x 6 25 a y x 19 x z b 6 48 x z b 42 c y z 6 30 c y z 24 sumo todo lo del gráfico a y x x z b c y z 85 (a b c) 2( x y z ) 85 reemplazo ( x y z ) 23 (a b c) 2(23) 85 19 x y 24 z y 42 x z x y z 6 68 (a b c) 46 85 x y z 91 68 a b c 39 x y z 91 68 x y z 91 68 x y z 23
GRÁFICO 1:
GRÁFICO 2: Basket a
6 b
Fútbol
z
c
Béisbol
PROBLEMA 15 Una persona come manzana o naranja cada mañana
durante el mes de mayo, si come naranja 25 mañanas y
manzana 18 mañanas.
DETERMINAR: ¿Cuántas mañanas come manzanas y naranjas?
12 mañanas
GRÁFICO: MANZANAS
13
12
6
NARANJAS
PROBLEMA 17 En el ensamblaje de autos de cierta planta, han resultado
120 unidades con fallas, las fallas son de embrague, dirección y caja de cambios. Sabiendo que 68 fallan en el embrague por lo menos, 32 en la dirección por lo menos, 40 fallan solamente en el embrague, 5 tienen fallas en embrague y dirección pero no en la caja de cambios, 17 tienen fallas en la dirección y caja de cambio pero no en el embrague.
DETERMINAR: ¿Cuántos autos fallan solo la caja de cambios?
0 autos
¿Cuántos autos tienen fallas en la caja de cambios por lo
menos? 40 autos
GRÁFICO: U 40 Embrague
25
5
10
Dirección
23
17
0
Caja de cambios
PROBLEMA 19 De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de
aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no llevan álgebra ni
aritmética.
DETERMINAR: ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos?
44 alumnos
DESARROLLO: 1) 49 - x B 2)53 - x A Sumo todos los llevan por lo menos algo 3)A B x 73 53 - x 49 - x x 73 - x 102 73 x 29
(53 - x) (49 - x) 24 20 44
GRÁFICO: U
Aritmética
53-x (A)
x
27
49-x (B)
Algebra
Anatomía y Fisiología Humana
MENU
ETIMIOLOGÍA ANATOMÍA: ANATHOMOS (GRIEGO)
ANA: por medio de THOMOS: corte DISECCIÓN: DISSECARE (LATINO)
DIS: separar
SECARE: cortar “SEPARAR A TRAVÉS DEL CORTE” ACTUALMENTE:LA DISECCIÓN ES EL MÉTODO DE
LA ANATOMÍA.
DEFINICIÓN
Ciencia que tiene por objeto el estudio de las formas estructuras del cuerpo humano.
CLASIFICACIÓN POR EL TAMAÑO:
- Anatomía MICROSCÓPICA - Anatomía MACROSCÓPICA POR EL TIPO DE ESTUDIO: - A. DESCRIPTIVA - A. TOPOGRÁFICA ANATOMÍA DEL DESARROLLO: - ETAPA PRENATAL - ETAPA NATAL - ETAPA POSNATAL ANATOMÍA APLICADA.
POR EL TAMAÑO A. MACROSCÓPICA
A. MICROSCÓPICA
<100 um
Histología Citología
(Estudio de los órganos o partes del cuerpo lo suficientemente grandes como para que se puedan observar a simple vista).
> 100 um
Organología
POR EL TIPO DE ESTUDIO DESCRIPTIVA
TOPOGRÁFICA
Estudio de la morfología y la estructura del cuerpo por:
Estudio del
Órganos Aparatos Sistemas
Cuerpo humano por Regiones
Planos de disección
Puntos de referencia
ANATOMÍA DEL DESARROLLO POSTNATAL PRENATAL
NATAL NEONATO (0-28 d) LACTANTE (28d-6s) PREESCOLAR ESCOLAR PUBERTAD ADOLESCENCIA JUVENTUD ADULTEZ SENECTUD
BLASTOCITO (1-2 S) CIGOTO MORULA (4 d) BLÁSTULA (5 d) GASTRULA (2 s) EMBRIÓN (3-8 s) FETAL (9-40 s) CORONAMIENTO: salida del feto PARTO: expulsión total del feto ALUMBRAMIENTO: expulsión placenta
ANATOMÍA APLICADA Estudio de la estructura y de la morfología de los órganos
del cuerpo en su relación con el diagnóstico y el tratamiento de las enfermedades. - A. Patológica: Estudio de Enfermedades desde el punto de vista histológico. Biopsia: Tejido vivo Necropsia: Tejido muerto
- A. Quirúrgica - A. Radiológica: Anatomía aplicada al estudio de imágenes radiológicas. - A. Endoscópica - A. Gammagráfica: A. aplicada al estudio con radioisótopos (radiactivos). - A. Ultrasonográfica: aplicada a la ecografía (sonido).
RAMAS DE LA ANATOMÍA CARDIOLOGÍA: Corazón y sus enfermedades. DERMATOLOGÍA: Piel y sus enferm. EMBRIOLOGÍA: Desarrollo del nuevo ser. ENDOCRINOLOGÍA: Hormonas. Estructura, funciones, enfermedades
funcionales. ENTEROLOGÍA: Intestinos. ESPLANNOLOGÍA: Vísceras del sistema digestivo, respiratorio y genitourinario. ESTESIOLOGÍA: Órganos de los sentidos. ESTOMATOLOGÍA: Cavidad oral u bucal. GASTROLOGÍA: Estómago y sus enfermedades. GEUSIOLOGÍA: Sentido del gusto. GINECOLOGÍA: Enfermedades propias de la mujer.
MIOLOGÍA: Músculos, estructura, función y enfermedades. NEFROLOGÍA: Riñones. NEUROLOGÍA: Sistema nervioso.
ODEOLOGÍA: Órganos sexuales. ODONTOLOGÍA: Dientes. OFTALMOLOGÍA: Estruct., funciones y enferm. del globo ocular. ONCOLOGÍA: Tumores o neoplasias.
OSTEOLOGÍA: Huesos, estruc., funciones y enfermedades. OTOLOGÍA: Estruct., funciones y enfermedades del oído. PATOLOGÍA: Enfermedades en general. RINOLOGÍA: Fosas nasales. SEMIOLOGÍA: Signos y síntomas de las enfermedades. SIDESMOLOGÍA: Articulaciones. TERATOLOGÍA: Malformaciones fetales.
•Posición anatómica. •Diferentes posiciones. •Planos de movimiento. •Regiones corporales •El aparato locomotor •El esqueleto •El hueso •La articulación
•El cartílago •La cápsula, la sinovial, la sinovia •Los ligamentos •El músculo
•Formas musculares •Formas de contracción
Posición anatómica Términos posicionales y direcciones comúnmente utilizados cuando el cuerpo está en posición anatómica estándar: 1. Superior /craneal /cefálico 2. Inferior /caudal 3. Anterior /ventral /frontal 4. Posterior /detrás 5. Medial /interno 6. Lateral /externo 7. Proximal (más cerca del tronco) 8. Distal (más lejos del tronco)
DIFERENTES POSICIONES: Bipedestación Cuadrupedia Decúbito: acostado
D. dorsal: supino D. ventral: prono D. lateral D. pasivo: no puede moverse D. activo: - d. a. optativo: cualquier posición - d. a. preferencial: posición preferida - d. a. obligado: posición imperativa Trendelemburg: acostado inclinado 30º con la horizontal.
PLANOS DE MOVIMIENTO
a)Eje sagital o antero posterior
a)Eje transversal u horizontal
a)Eje frontal o coronal.
REGIONES CORPORALES REGIÓN AXIAL: Comprende las regiones ubicadas sobre el eje del cuerpo: -Cabeza - Cuello - Tórax - Abdomen - Pelvis
• REGIÓN APENDICULAR: Comprende los miembros superiores e inferiores.
EL APARATO LOCOMOTOR
El conjunto de huesos y músculos del cuerpo humano forman el aparato locomotor.
El aparato locomotor realiza las respuestas musculares ordenadas
por el sistema nervioso. Son los movimientos
ARTICULACIONES
JEL SISTEMA NERVIOSO
Permite el trabajo armonioso entre el esqueleto, las articulaciones y los músculos para que puedan generar el movimiento.
SISTEMA ESQUELÉTICO
El hombre posee un sistema esquelético,
LOS HUESOS,
unidos unos con otros para formar un armazón resistente y al mismo tiempo articulado. Este armazón tiene diferentes funciones: Sostener y dar forma al cuerpo. Proteger algunos órganos internos, (encéfalo, corazón,…) Servir de anclaje a los músculos, cuando los músculos se mueven
tiran de los huesos a los que están unidos permitiendo todo tipo de movimientos.
EL ESQUELETO Los huesos están constituidos básicamente por tres tipos celulares:
- Los OSTEOCITOS que forman el tejido óseo, producen sales de calcio y fosfatos para mantener la dureza del hueso. - Los OSTEOBLASTOS producen colágeno y proteínas que le confieren al hueso flexibilidad y resistencia a las presiones. - Los OSTEOCLASTOS dirigen la masa ósea lesionada, dejando una cavidad que será ocupada por osteoblastos, los cuales originan tejido nuevo.
SISTEMA ESQUELÉTICO
En un hueso podemos diferenciar con claridad dos zonas: • Sustancia ósea donde se encuentra el hueso
compacto o diáfisis, que es la porción central de los huesos largos; el hueso esponjoso ubicado en los extremos de éste, es elástico y flexible y el periostio
o membrana fibrosa de la superficie externa del hueso, sirve de sostén para los vasos sanguíneos y los nervios que se dirigen al hueso y para que en él se fijen los terminales de tendones y ligamentos. • La médula ósea ubicada dentro del hueso compacto,
es de color rojo o amarillo de acuerdo con la cantidad de grasa que contenga; los huesos del cráneo y del tórax contienen siempre médula roja.
TIPOS Huesos largos: son aquellos en DE los que la longitud predomina sobre la H anchura y el espesor. Son ejemplos claros U el fémur, la tibia, el húmero, etc. E Huesos cortos: son aquellos en los S que las tres dimensiones son similares. Es el O caso de las vértebras, el calcáneo, el astrágalo, S etc. Huesos planos: son dos laminillas planas de hueso compacto entre las cuales se halla hueso esponjoso.
En el cuerpo humano hay más de 200 huesos, unas 100 articulaciones y más de 650 músculos que actúan de forma coordinada.
LAS ARTICULACIONES
Las superficies están recubiertas de un revestimiento blanco anacarado y brillante:
EL CARTÍLAGO Su composición es parecida a la del hueso, aunque más hidratada y elástica. Su función es proteger el hueso que tiene debajo. Al realizar un movimiento, el cartílago se ve sometido a dos tipos de solicitaciones: 1. Por presión (sobre todo en las articulaciones de los mmii) 2. Por fricción, al producirse movimientos. El cartílago puede verse dañado, debido a algún golpe, o por desgaste excesivo (por ej.: si las superficies no ajustan bien una con otra) La lesión cartilaginosa se llama artrosis, a menudo acompañada de dolor, rigidez articular y muscular.
EL CARTÍLAGO El cartílago no tiene vasos, es nutrido por la sinovial y por el hueso al que recubre. También pueden encontrarse otras formaciones en la articulación como: - Los fibrocartílagos: (entre los distintos cuerpos de las vértebras) - Rodetes de fibrocartílago (en el hombro por ej. ) - Meniscos intraarticulares (los más conocidos son los que están en la rodilla, pero también los hay en otras articulaciones. Su función: protección suplementaria y mejora de la congruencia articular
Una especie de manguito fibroso mantiene juntas las superficies:
LA CÁPSULA ARTICULAR Es una membrana fibrosa que
engloba toda la articulación , va de un hueso a otro e impide que los segmentos óseos se desplacen en exceso. La cápsula articular, junto con los ligamentos, se encarga de asegurar el contacto entre las superficies articulares.
LOS LIGAMENTOS Un ligamento es una banda de tejido fibroso que une dos huesos
vecinos. Normalmente es un espesamiento de la cápsula, pero también puede estar fuera o dentro de ésta.
LOS MÚSCULOS 2
TIPOS DE MUSCULO: 1. Músculo estriado, voluntario, esquelético.
2. Músculo liso, involuntario, visceral.
3. Músculo cardíaco (estriado involuntario).
ESTRUCTURA MUSCULAR
La célula muscular es la fibra muscular o miocito, pero la unidad funcional es el sarcómero
Contracción Une el vientre muscular con el hueso En el ser humano hay cerca de 660 músculos esqueléticos, que representan el 45% del peso total del organismo.
COMPOSICION QUIMICA 75% de agua, 5% de sales inorgánicas, 20% de proteínas
Gracias a la colaboración entre huesos y músculos, el cuerpo humano mantiene su postura, puede desplazarse y realizar múltiples acciones.
CABEZA Parte más superior del cuerpo que contiene: •El encéfalo •Los órganos especiales de los sentidos •La boca •La nariz y las estructuras relacionadas
CUELLO
Sección estrecha, como la parte del cuerpo que conecta la cabeza con el tronco.
TÓRAX
Caja constituida por hueso y cartílago que contiene los principales órganos de la respiración y la circulación y que cubre parte de los órganos abdominales.
CAVIDAD TORÁCICA
MEDIASTINO
ABDOMEN Región del cuerpo comprendida entre el tórax y la pelvis.
Contiene: - la porción inferior del esófago - estómago - intestino preperitoneo - hígado - bazo - páncreas y otras vísceras
retroperitoneo
MIEMBRO SUPERIOR
MIEMBRO INFERIOR INGUINAL
GLÚTEA PERINEAL
CRURAL POPLÍTEA PATELAR
PIERNA
PIE
SURAL
CAVIDADES CORPORALES
VENTRAL
DORSAL
La cavidad dorsal tiene el encéfalo y a la médula
espinal, dichos órganos están revestidos por MENINGES.
CABEZA Craneana: encefálica y cerebelosa Ocular Óptica
ABDOMEN • Preperitoneal (abdominal propiamente dicho). • Retroperitoneal.
Oral nasal
TÓRAX • Anteriores: pleural: pulmones mediastínica: timo, corazón, tráquea pericárdica: corazón • Posteriores: vertebro medular: médula espinal y vasos.
PELVIS • Pelvis mayor • Pelvis menor
TOPOGRAFÍA ABDOMINAL EPIGASTRIO
(Hígado, estómago)
HIPOCONDRIO DRCHO (Hígado, vesícula biliar) HIPOCONDRIO IZDO (Estómago, bazo)
FOSA LUMBAR DRCHA
REGIÓN UMBILICAL
(Riñón, colon ascendente)
(Intestino delgado, páncreas)
FOSA ILIACA DRCHA (Ciego, apéndice)
FOSA LUMBAR IZDA (Riñón, colon descendente, en ocasiones el bazo)
FOSA ILÍACA IZDA HIPOGASTRIO (Vejiga, sistema ginecológico)
(Sigmoides)
PELVIS
• Región inferior, formada por cuatro huesos, los dos huesos coxales, el sacro y el coccix. Se divide en la pelvis mayor o falsa y la pelvis menor o verdadera por un plano oblicuo que atraviesa el sacro y la sínfisis del pubis.
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Ángulo: Concepto y definición Es la porción de un plano contenido entre dos
semirrectas que tienen su origen en común. Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. El ángulo se designa con una letra griega o tres letras con el vértice en medio (α; β; AOM; ABC; etc)
Ángulo: Concepto y definición Sus componentes son: LADOS: Son las semirrectas. VÉRTICE: Es el punto común de los lados. VALOR O DIMENSIÓN: Es la abertura de los lados.
Clasificación de los ángulos
Ángulos Agudos: son aquellos que miden menos de 90 grados.
Ángulo Recto: es aquel que mide 90 grados.
Ángulo obtuso: son aquellos que miden más de 90 y menos de 180 grados.
Clasificación de los ángulos
Ángulo Llano o Extendido: es aquel que mide 180 grados.
Ángulo Convexo: son aquellos que miden más de 180 y menos de 360 grados. Ángulo Completo: es aquel que mide 360 grados.
Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si su suma es un
ángulo recto. Complemento de un ángulo agudo es su diferencia con él ángulo recto.
Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si su
suma es un ángulo extendido. Suplemento de un ángulo cóncavo es su diferencial al ángulo extendido.
Ángulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en
común y los otros dos en línea recta. Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice Son aquellos ángulos que tienen un vértice en común y
los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Necesariamente son iguales.
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS L // M
1 3
5 7
2 4
L
6 8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Correspondientes
<1 y <5
1
2
<2 y <6 3
<3 y <7
4
L
<4 y <8 L // M 5 7
6 8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Internos
1
<3 y <6 <4 y <5
3
2 4
L
L // M 5 7
6 8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Externos
1
<1 y <8 <2 y <7
3
2 4
L
L // M 5 7
6 8
M
Bisectriz Es la semirrecta, que partiendo del vértice divide al
ángulo en dos ángulos iguales.
Triángulos El triángulo es una figura geométrica formada por tres
lados, unidos en tres puntos llamados vértices. La costumbre es utilizar letras mayúsculas para nombrar los vértices; la letra minúscula representa el lado opuesto al vértice correspondiente, o su longitud. Un lado, o su longitud, se puede también nombrar utilizando el nombre de los dos vértices en sus extremos.
Triángulos La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es 180º
Clasificación de los triángulos (tiene hipervínculos)
Según sus ángulos
Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo
Según sus lados
Triángulo escaleno Triángulo isosceles Triángulo equilátero
Elementos de un triangulo Altura Es la perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta al lado opuesto. Existe una por cada vértice. El punto de intersección de las alturas se conoce como ortocentro (O en las figuras).
Área de un triangulo b = base del triangulo h = Altura del triangulo
Perímetro de un triangulo 2s = a + b + c s = semiperímetro
Elementos de un triangulo Mediana o Transversal de Gravedad Es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, como ta en la figura. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad (T en la figura).
Elementos de un triangulo Bisectriz interior Es la recta que pasa por un vértice y
divide al ángulo interior en dicho vértice en dos partes iguales, como AR en la figura. Las tres bisectrices internas se cortan en tres puntos llamados incentros.
Bisectriz exterior Divide en dos partes iguales al
ángulo exterior a dicho vértice, como AV en la figura. Las tres bisectrices externas se cortan en tres puntos llamados excentros (I en la figura).
Elementos de un triangulo Mediatriz o simetral Es una recta perpendicular a un lado en su punto medio, como HK en la figura. Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro (como H en la figura) que es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo.
Teorema de Pitágoras Relaciona los catetos y la hipotenusa de un
triángulo rectángulo
c 2 = a2 + b 2 2 c
a2 = h + q2 b2 =
2 c
h + p2
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Circunferencia y Círculo
Circunferencia y circulo Circunferencia Es el lugar geométrico de todos los puntos ubicados en un mismo plano, tal que equidistan de otro punto fijo llamado Centro. La distancia entre el centro y cada uno de los puntos se llama Radio. La circunferencia es una línea curva convexa y su longitud es igual a 2пR.
Circunferencia y círculo Círculo Es la porción del plano encerrada por la circunferencia . El área de la superficie es igual a 2
r
Circunferencia y círculo Una recta puede estar fuera de la
circunferencia sin cortar un solo punto de ella. Se dice entonces que la recta es exterior a la curva. Si la recta tiene un punto en contacto,
entonces esta recta se llama tangente. Y el punto de contacto es conocido como punto de tangencia (Punto T). La perpendicular a la tangente por el
punto de tangencia se llama Normal a la curva en dicho punto, y se confunde con el radio.
Circunferencia y círculo Si se sigue acercando la recta
tangente hacia el centro, cortará a la curva en dos puntos, y esta recta se llama Secante. La
porción de la secante, comprendida entre los dos puntos de corte se llama Cuerda.
Circunferencia y círculo Segmento circular: Es la superficie encerrada entre una cuerda y el arco subtendido por esta cuerda. El área del segmento circular dependerá de la distancia de la cuerda al centro.
Sector Circular: Es la porción del círculo encerrado entre dos radios de la curva y el arco comprendido entre dichos radios. El área del sector circular dependerá de la abertura existente entre los dos radios.
Circunferencia y círculo Posiciones relativas entre dos circunferencias: Circunferencia Exterior a otra: Aquellas circunferencias que no tienen ningún punto en común. Circunferencia Interior a otra: Cuando una de las circunferencias tiene su centro dentro del círculo, pero no existe punto de contacto entre las dos.
La circunferencia de centro O2 es interior a la circunferencia O1, mientras que la de centro O3 es exterior.
Circunferencia y círculo Posiciones relativas entre dos
circunferencias: Circunferencias Concéntricas: Son
aquellas que tienen el mismo centro. Las circunferencias no se tocan en ningún punto.
La parte del circulo mayor comprendida entre las dos circunferencias se llama Corona o anillo circular y su área es
( R2 r 2 )
Circunferencia y círculo Posiciones relativas entre dos circunferencias: Circunferencias Tangentes: Tienen un solo punto en común.
Circunferencias Secantes: Son Circunferencias que se
cortan.
Teorema de Thales
"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales , T y S transversales,
En el dibujo: Si L1 // L2 // L3
los segmentos a, b, c y d son proporcionales
T
S
Es decir: L1 a b
=
a
c
c L2
d b ¿DE ACUERDO?
d L3
Un ejemplo: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x
L1 Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales
L2
T
x 15
S Es decir:
8 = X 24 15
8
Y resolvemos la proporción
24
24 • x = 8 • 15 X =8 • 15 24
X=5
Fácil
L3
Otro ejemplo: Formamos en la figura L1la//proporción L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD
L3
L2
3 2
=
x+4 x+1
x+1
L1 D
Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8
T
x+4 C
3x - 2x= 8 - 3
X=5 S Luego, como CD = x + 4
CD= 5 + 4 = 9
3
2
Si pensamos en una pirámide.. TRIÁNGULOS DE THALES
Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide H(altura de la pirámide) h (altura de bastón) s (sombra)
S (sombra)
Triángulos de Thales
En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón de semejanza
A
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: AE ED = AB BC
E
D
O también AE = AB ED BC
B
A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L”
C
Calcula la altura del de siguiente Aplicaciones estaedificio idea Escribimos la proporción Por que 3+12=15
3 15 = x 5 x
Y resolvemos la proporción 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25
5 3
12
En elejercicio triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE Otro Formamos la proporción 8 12 = X+3 2x+3
Por que x+3+x = 2x+3
C
D
Resolvemos la proporción
12 8
8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24
A
x+3
4x = 12 X = 12 = 3 4
Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6
E
x
B
Teorema de Euclides Relaciona los lados de un triángulo
rectángulo con sus proyecciones
a2 = c · q b2 = c · p hc2 = p · q
ab hc c
Teorema de la bisectriz AQ = bisectriz del ángulo CAB
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Polígonos
Polígonos Porción de plano limitado por líneas rectas,
llamada línea poligonal. En geometría se conoce como poligonal a la línea formada por segmentos cerrada (polígono) o abierta.
Polígono inscrito y circunscrito Un polígono está inscrito en una circunferencia se
todos sus vértices son puntos da la circunferencia. Esa circunferencia se dice circunscrita al polígono.
Clasificación de los polígonos Según su forma CONVEXOS - Todos sus ángulos son convexos CONCAVOS - Al menos un ángulo cóncavo REGULARES - Todos sus ángulos y lados iguales IRREGULARES - Al menos un lado distinto
Según número de lados
Área de un polígono
Clasificación de los triángulos Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus tres
ángulos agudos.
Clasificación de los triángulos Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo
recto El lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, como HK en la figura , se denomina hipotenusa, y los otros dos lados se llaman catetos.
Clasificación de los triángulos Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene
un ángulo obtuso
Clasificación de los triángulos Según sus lados Triángulo escaleno: es aquel que tiene los tres lados de diferente longitud, y sus tres ángulos también diferentes
Clasificación de los triángulos Según sus lados Triángulo isósceles: es aquel que tiene los tres lados iguales entre sí, y además los ángulos interiores que se oponen a estos lados, tienen igual medida y se llaman ángulos básales. El ángulo formado por los dos lados iguales de un triángulo isósceles, es el ángulo del vértice. El tercer lado se conoce como base.
Clasificación de los triángulos Según sus lados Triángulo equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados iguales, y sus ángulos interiores también iguales y miden 60 grados cada uno.
