DEFINICIONES BASICAS SEGMENTOS Y ANGULOS
S A N M A R C OS 2 0 1 1
C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
1.1 CONCEPT O DE GEOMET RIA La Geometría es la ciencia que estudia las propiedad es de las figuras geométric as, atendiend o a su forma, tamaño y relación entre ellas. Una figura geométric a es un conjunto no vacío de puntos, represent ada por líneas, superficie s y sólidos. Toda figura se distingue de otra por su tamaño y forma. LINEAS
-
SUPERFI CIES
comien'os, como una necesidad de solucionar el pro"lema de los
SÓLIDOS
deslindes
-
(delimitación) de tierras srcinados por las inundaciones periódicas del río *ilo en el antiguo +gipto.
-
L. ecta L. !ue"rada L curva L. #i$ta
cilindro cono esfera cu"o
1.2
1.3
ETIMOLO GIA La pala"ra Geometría procede de las pala"ras griegas %geos& que significa %Tierra& y %metron& que significa medida, es decir geometría deriva de la
CONCEPT OS PRIMITI VOS
pala"ra griega que significa %medida de la tierra&, concepto que no estuvo muy desligado de la
1.3.1 El Punto
Los conceptos primitivos no definidos de la geometría son el punto, la línea y el plano.
-
realidad en sus
456
+s un concep to imagin ario
-
Tiene u"icaci ón *o tiene longitu d anc-ur a o grosor Lo ideali' amos al cortars e dos rectas Un punto di"uja do a diferen cia de un punto concep tual, tiene tamañ o.
e designa al punto conceptua l por medio de una letra may/scul a junto al punto di"ujado o un aspa. Ejemlo! .0 $2
.1 $3
1.3.2 L" L#ne"!
-
-
-
-
-
-
+s un concep to imagin ario Tiene longitu d pero no anc-ur a o grosor *o se puede medir +s ilimita da en am"os sentid os 7uede ser recta, curva o una com"in ación de am"as La línea recta tiene direcci ón
Una línea se designa con letras may/sculas en dos puntos cualesquiera so"re ella o con una letra min/scula. La do"le flec-a, pone de manifiesto que la línea se e$tiende S A N M A R C OS 2 0 1 1
indefinidamente en am"os sentidos +jemplo a A
B
C
D
Punto$ Col%ne"le$. on aquellos que pertenecen a una misma línea recta. P unt o $ No Col%ne"le$. on aquellos que no est8n u"icados en una misma línea recta. 1.3.3 El Pl"no! +s un concep to imagin ario Tiene dos dimens iones *o se puede medir *o tiene espeso r uperfi cie plana ilimita da en todo sentid o
Po$tul"& o$ $o'(e l"no$ 9 +$isten infinitos planos 9 7or tres puntos noAB colineales pasa un plano y solamente uno 9 +n cualquier plano e$isten infinitos puntos y rectas
positivo que compara la longitud del segmento dado con la longitud del segmento unitario (u). 1.).1 PUNTO MEDIO DE UN SEGMEN TO Un punto 1 se llama punto medio de un segmento AC , si 1 est8 entre 0 y 2 y se verifica que 01 : 12.
1.) SEGMEN TO DE RECTA +s una porción de recta limitado por dos puntos denomina dos e$tremos.
2a B A
A
e denota por AB y se lee segmento 01. La medida de un segmento 01 denota por m AB o 01, y es un n/mero
a
B
1.).2 OPERACI ONES CON SEGMEN TOS 7ara sumar dos segmento s cualesquie ra, se
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a
C
toman en una recta dos segmento s consecutiv os cualesquie ra y congruent es respectiva mente a los segmento s que se quieren sumar. Sum"
O m 0>1 : α? #edida del 8ngulo 0>1 es igual a α? %$e+t(%/ &e un An0ulo +s el rayo que partiendo del vértice de un 8ngulo, lo divide en dos 8ngulos Bcongruentes.
a
A
(a + b)
D%*e(en+%" a
I. SEGN SU MEDIDA 1. An0ulo B Ll"no. Llamado tam"ién 8ngulo rectilíneo, es aquel 8ngulo cuyos lados son dos rayos opuestos es decir una recta. A u X medida C enA
An0ulo O'tu$o +s aquel 8ngulo cuya medida es menor que 4CD? pero mayor que 5D?
A
O
12 : 02 < 01 ANGULO rayos que tienen el mismo punto de srcen. Elemento
$ Lados OB
=értice > Not"+%-n 0>1 , 0>1 >, O
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b
OX
de
1isectri' C 0>1
m0>@ : m@>1 :α AO
O
Cl"$%*%+"+ %-n &e lo$ An0ulo$ Los 8ngulos se clasifican seg/n su medida, de acuerdo a su posición y seg/n sus
B
56 4 4 176
B istema e$agesimal α : 4CD?
).
An0ulo Re+to +s aquel 8ngulo cuya medidaB es igual a 5D?.
B
y
6.
(b - a)1
A
OA
O
02 : 01 ; 12
1.,
característ icas.
A
O
A
2.
An0ulo A0u&o. +s aquel 8ngulo cuya medida es menor que 5D? pero mayor que D?
A 8 56
O
A ,.
O O 4 4 56 O
B
A n0 ul o Nulo +s aquel 8ngulo cuya B medida es igual a D?
A
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B
adyacente s cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato .
mAO 8 6 II.
SEGUN LA POSICIO N DE SUS LADOS 1. An0ulo$ A&9"+ent e$. 3os 8ngulos son adyacente s cuando A tienen el mismo B vértice y lado O un com/n tal que los C 8ngulos se encuentra n a uno y otro lado del lado com/n.
0>1, 1>2, 2>3 y 0>3 son 8ngulos adyacente s alrededor de un punto 2.
0>1, 1>2 y 2>3 Lado Común son 8ngulos adyacente s.
B
C
A
0>1 y 1>2 son 8ngulos adyacente
o
0>1, 1>2 y 2>3 son 8ngulos adyacente s so"re una recta.
o
D
A B
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C
D
A B
O 0>1 y 1>2 son 8ngulos adyacente s compleme ntarios =
2.
8 56
:n0ulo$ Comlem ent"(%o$ on dos 8ngulos cuyas medidas suman 5D?.
8
3os o m8s 8ngulos ser8n
An0ulo$ A&9"+ent e$ Comlem ent"(%o$ on dos 8ngulos adyacente s cuyas medidas suman 5D?.
B
A
s, llamado tam"ién 8ngulos consecuti vos.
O
:n0ulo$ Oue$to$ o ( el V;(t%+e on dos 8ngulos en donde los lados de uno son los rayos opuestos del otro. +s decir, se determina n al tra'ar dos rectas secantes, D dic-os 8ngulos con congruent es (tienen la misma medida).
1.
III.
C
SEGUN SUS CARACTE R
=
8 56
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C
*ota
4. 2omplem ento de un 8ngulo es lo que le falta a este 8ngulo para medir 5D?.
8ngulos adyacente s suplement arios. = ).
COMPLEMENTO DE 8 56 > 8
*ota E 4? F HD I , 4I F HD& 5D? F C5?HDI F C5?J5IHD&
8 176 : n0 ul o $ Suleme nt"(%o$ on dos 8ngulos cuyas medidas suman 4CD?
*ota 6. uplemento de la medida de un 8ngulo es lo que le falta para medir 4CD?.
:n0ulo$ A&9"+ent e$ Suleme nt"(%o$ on dos 8ngulos adyacente s cuyas medidas suman 4CD?.
SUPLEMENTO DE 8 176 > 8
*ota K 4CD? F B 45?HD IF45?J5 IHD&
A
0>1 1>2
y son
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up
J,H 0ngulos +$ternos
*ota J 2uando la O pala"ra C suplemento se repite un
4,E
,C
del up ........ . up de α :α #ro.
0lternos Nnternos H
Ky
6yJ 0lternos +$ternos
veces par
4y
EyC
up del up ......... up de α : 4CD?B α = 8 176
3.
n/mero par de veces, el resultado es el mismo valor del 8ngulo y si el n/mero es impar, el resultado es su suplemento.
2onjugados Nnternos Ky J
#ro. veces impar
6 y H
ANGULOS ENTRE PARALELAS P"("lel"$ e llama rectas paralelas cuando no tienen ning/n punto en com/n y est8n situados en un mismo plano. L4 L4MMLE LE :n0ulo$ *o(m"&o$ o( &o$ (e+t"$ "l $e( +o(t"&o$ o ( un" Se+"nte 0ngulos Nnternos 6,K
2onjugados +$ternos 4y C E y Ongulos correspondiente s 4 y JA E y H K y CA 6 y ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS AL SER CORTADOS POR UNA 1 2 SECANTE 4
3
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5 8
6 7
a)
")
c)
Los 8ngulo s alterno s interno s o e$tern os son congru entes. Los 8ngulo s conjug ados interno s o e$tern os son suplem entario s. Los 8ngulo s corres pondie ntes son congru entes.
ANGULOS DE LADOS PARALEL OS i dos 8ngulos tienen sus lados respectivamente paralelos, ser8n congruentes cuando am"os 8ngulos sean agudos o cuando am"os
sean o"tusosA y ser8n suplementarios cuando uno de ellos sea agudo y el otro sea o"tuso.
a) ED ") EJ c)6D d) KD e) JD. Re$olu+%-n 8 AMBCND a
ac
b
b
(a + c + b )
O
4) α:θ
3ato # y * son puntos medios de 01 y 23.
0# : #1 : a , 2* : *3 :"
=
8 176
O α ; β : 4CD?
ANGULOS DE LADOS PERPENDICUL ARES i dos 8ngulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares ser8n congruentes cuando am"os sean agudos o cuando am"os sean o"tusosA y ser8n suplementarios cuando uno de ellos sea agudo y el otro o"tuso.
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PROLEMAS RESUELT OS 61.
o"re una línea recta se considera los puntos consecutiv os 0, 1, 2 y 3. Luego los puntos medios # y * de 01 y 23 respectiva mente. Pallar #* si 02 ; 13 : JD.
E)
3ato 02 ; 13 : JD (Ea ; c) ; (c ; E"): JD Ea ; Ec ; E" : JD E (a ; c ; "): JD E#* JD
MN 8 2, Rt". 62.
so"re una recta se u"ican los
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:
puntos consecutiv os 0, 1, 2 y 3. Luego los puntos medios # y * de 02 y 13 respectiva mente. Pallar #* si 01 ; 23 : HD
6).
o"re una recta se u"ican los puntos consecutiv os 0, 1 y 2 siendo %D& punto medio de 12, 01Q ; 02Q : 4DD. Pallar 0DQ ; 1DQ
MN 8 36 Rt". C 63.
o"re una recta se u"ican los puntos consecutiv os 0, 1, 2 y 3 tal que 1 es punto medio de 03 y 02 < 23 : JD. Pallar 12
a) ED ") EJ c) 6D d) KD e) HD
b
a x
A
4)
E)
3ato # y * puntos medios de 02 y 13 0# : *2 : a , 1* : *3 :" 3ato 01 ; 23 : HD (a ; $ B ") ; ($ ; " B a) : HD E$ : HD $ : 6D
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b
a
3ato 1 es punto medio de 03 01 : 13 :a
B
O
B
3ato 02 < 23 : JD (a ; $) < (a B $) : JD E$ : JD $ : EJ C 8 2, Rt".
KJ JD HD 3! J5 JC
b
4)
C a 4)
D nos 2omo pide 0>Q (a-x) ; 1>Q ponemos 0> : a y 1> : "
$? B Ey? ; 6y? : 4CD? $? ; y? : 4CD? $? : 4CD? B y? (N)
E)
Todo 8ngulo es positivo D? F $? B Ey? Ey? F $? (NN)
6)
NenNN Ey? F 4CD? B y? 6y? F 4CD? y? F HD?
E) 3ato > punto medio de BC
6) 3ato 01Q ; 02Q : 4DD (a B ")Q ; (a ; ")Q : 4DD E(aQ ; "Q) : 4DD
a) ") c) d) e)
C Re$olu+%-n
1>:>2:" E)
+n el gr8fico, -alle el m8$imo valor entero de y.
x-2!
a
x 4)
6,.
b
Re$olu+%-n
A
Rt". C
Re$olu+%-n
ABMNCD a
A O? = O? 8 ,6
a) 4D ") EJ c) JD d) 4DD e) ED
a) ED ") EJ c) b6D d) KD e) JD
Re$olu+%-n
aQ ; "Q : JD
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9 8 ,5 Rt". D 6@.
de tres 8ngulos consecutiv os so"re una recta est8n en progresió n aritmética . 2alcular la medida del mayor 8ngulo, si el menor y el mayor est8n en la relación de 6 a .
La diferencia entre el suplement o y el compleme nto de un 8ngulo es H veces el 8ngulo. +l suplement o del compleme nto de dic-o 8ngulo es a) 4J? ") J? c) 4DJ? d) 4ED? e) 4JD?
up α B 2omp α : Hα (4CD? B α) < (5D? B α) : Hα
E 8 16, Rt". C 6.
:
R : 4E? K)
+l mayor 8ngulo es c : R c : (4E?) + 8 7) Rt". E
67.
4)
2alcular $ si L4MMLE a) 4D? ") ED? c) 6D? d) KD? e) JD? 8"
L1
b a
c
a, " y c est8n en progresió n aritmética 3ato
*os p iden + + : up. 2omp. 4J? + : up. J?
4JR 4CD?
Re$olu+%-n
α : 4J?
E)
a;";c : 4CD? 6R ; JR ; R : 4CD?
a) 6D? ") 6H? c) KE? d) HD? e) CK?
Re$olu+%-n 4)
6)
a
c
E)
3 7
,
x
7"
L2
a
: 6R c : R " : a c 2
b
3k
" : JR
Las medidas
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Re$olu+%-n 7ropiedad (erruc-o ) CD? ; $ ; D? : 5D? ; 5D?
4)
E)
B 8 36 Rt". C 65.
+n la figura L4MMLE y L6MMLK, el valor numérico de 6$? B 4E? es
6)
a) 4J?
K) +
a;"; 44$? : 4CD?SS. N 0ngulos correspon dientes a : E$?, " : J$?...... NN NN en N E$? ; J$? ; 44$? : 4CD? 4C$? : 4CD? $? : 4D?
")4H?
Pallanfo + : 6$? B
4E? + : 6(4D?) < 4E?
c)4? d) 4C? e) 45?
E 8 17 Rt". D
L3
2x
L4
L4
EERCICIOS 4. 3ado los puntos colineales y consecutivos 0, 1, 2, 3 y + tal que 02 : 3+A 12 : 23 y: 2+4D.< 01 2alcule %13& 0)4D J
2) H 3)C ED
6 3)K J
Re$olu+%-n 2x
L3
L 3# # L 4
L2
a 5x
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b
11x
1) 2)
L2
11x
+)
E. o"re una recta se u"ican los puntos consecutivos 0, 1, 2 y 3A tal que 02 : 13A (13) (01 < 12) : 4E y (23) (12) : C. 2alcular %12& 0)4 E
5x
1)
+)
6. 3ados los puntos colineales y consecutivos 0, 1, 2 y 3A tal que 12:E(01): E(23) y (02) (13) : C4. 2alcular %12&
0)5 6
1) 2)
4E 3)H C
+)
K. o"re una recta se u"ican los puntos consecutivos 7, !, , , TA tal que 7 : ! : T y 7! ; T : H. 2alcular %7T& 0)H 1) J 2) 4E 3)4C +) 4J J. 3ados los puntos colineales y consecutivos 0, 1 y 2A # y * "isecan a AB y BC , respectivame nte 01 ; #* ; 12 : HDA -allar %02& 0)KD JD 6D 3)ED 4J
1) 2) +)
H. +n un recta se consideran los puntos consecutivos 0, 1, 2, 3, + y A tal que
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01 : 3+A 23 : +A 02 : 6DA 2 : KD y 01 ; 23 : 6D. Pallar %12& 0)4H 4J ED 3)4D J
1) 2) +)
. +n una recta se consideran los puntos consecutivos 0, 1, 2, 3 y +A tal que 6(2+) : E(02)A 0+ : JD y 01 ; 3+ : ED y %2& "iseca al segmento -allar B$ A %13& 0)ED 4D 6D 3)4J EJ
1) 2) +)
C. 3ados los puntos colineales y consecutivos 0, 1, 2 y 3 tal que K(01) : 6(12) : H(23) y 6(12 < 01):E(12 < 23) < EA -allar %13&
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0)ED H
1) 2)
4E 3)K 4
+)
5. +n una línea recta se consideran los puntos consecutivos 0, 1, 2 y 3A se sa"e que m 02: y se cumple las siguientes relaciones 01.03 : 12.23A 12 E < 01E: 01. 23. Pallar (23E) 0) mE m
1) 2)
44.i los $My del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de %a& es igual a los mMn de la diferencia entre el complemento de β y el suplemento del suplemento de β . Pallar β 0) KJ KD 2)JD 3) JJ HD
1) +)
4E. 3ados los 8ngulos consecutivos 0>1, 1>2 y 2>3, tal que m∠0>2 : DA :mCD y∠ 1>3 m ∠ 0>1 ; m∠2>3 : JD, calcular la medida del 8ngulo 1>2 0)6D KD 2)JD 3)HD D
1) +)
46.
m
3)m mEME
+)
4D.o"re una línea recta se consideran los puntos consecutivos 7, !, y con la siguiente condición 7! : m! y n B m;n : 4. 7 n ! 7 Pallar 0)m 1) n 2) m B n 3) (m < n)ME +) E(m B n)
Un llano 8ngulo es dividido por K rayos de tal manera que se forman 8ngulos consecutivos cuyas medidas est8n en progresión aritmética. 2alcular la medida del 8ngulo determinado por el primer y /ltimo rayo 0)
4DD
1)4DC 2)44E C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
3) 4ED 44D
+)
14% 2alcular %$&, si a;";c :46D y α ;β : D
16% +n la figura, L4 MM LE, calcule %$&.
a& n&
4C. eg/n el gr8fico. Pallar %$&. i L4 MM LE y L6 MM LK
2"&
b&
25& x&
2) 4D 0) ED 1) 4J 3) EJ +) 6D
15"&
0) HD 1) J 2) 5D 3) 4DD +) 44J
0)4DD 0)ED
1)4DJ
1)6D 2)KD 3)JD +)HD 15% i las rectas L4 y LE son paralelas y m es el complemento de n, 2alcular %$&.
45. Pallar el valor de %$&. i L4 MM LE y L6 MM LK
2)44D 3)44J +)4ED 4H. +n el grafico L 4 MM LE, -allar %$&
3"&
L4 x
'&
x&
5 4"&
5"&
0)4J 1)6D 2)ED 3)KD
'
LE
0)
0) 4D 1) 4J 2) ED 3) EJ +) 6D
1)D 2)CD 3)5D 4DD
4.2alcular a < " . i m < n : EJ L4 MM L E y L 6 MM LK
2 HD
+)
ED.
iendo L 4 MM LE. 2alcule %$ ; y&
+)HD
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0)5D 4CD ED 3) EJJ 6HD
1) 2) +)
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TRIANGULOS I DEFINICIÓN e llama tri8ngulo a la figura formada por 6 segmentos de recta que unen tres puntos no colineales. B
n*o $x*,.o, n*o /n*,.o, C
NOTACIÓN. Un tri8ngulo se denota por las tres letras may/sculas que llevan sus vértices, denomin8ndolo AB
7untos del tri8ngulo
*>T0 6. egión Triangular es una figura formada por los puntos del tri8ngulo y los puntos interiores al tri8ngulo. *>T0 K. 2uando se dice 8rea del tri8ngulo, se refiere al 8rea de la región triangular. CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS
A
∆ 012 :
-
BC
CA / A BC
Aten&%en&o " $u$ l"&o$ 4)
+quil8tero
E)
Nsósceles
6)
+scaleno
+lementos B
0
Lados AB, AC, BC =értices 0, 1, 2 a
c
X
A
0ngulos
b
C
,Z Nnternos X , Y +$ternos , ,
7erímetro (Ep) Ep : a ; " ; c emiperímetro (p)
p
a bc 2
*>T0 4. Las medidas de los lados del tri8ngulo se designan por la letra min/scula del vértice opuesto a dic-o lado. 12:a, 02:" , 01:c *>T0 E. Todo tri8ngulo divide al plano en tres su"conjuntos de puntos 7untos interiores al tri8ngulo 7untos e$teriores al tri8ngulo y S A N M A R C OS 2 0 1 1
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Aten&%en&o " $u$ n0ulo$ 4)
2/(O
ect8ngulo
$N4 5A
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO 4. La suma d e l as medidas de l os 8ngulos internos es igual a 4CD?.
O 3 $ 3 A C
@? ; V? ; W? : 4CD?
CA$O
E)
A+utn0ulo. us tres 8ngulos son agudos.
>"licu8ngulos
X
0
X
E. O'tu$n0ulo tiene un 8ngulo o"tuso
La me dida de u n 8n gulo e$ terno es igual a la suma de las medidas de los 8ngulos internos no adyacentes a él. 8 =
0
TEOREMA DE PIT:GORAS +n todo tri8ngulo rect8ngulo, la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la -ipotenusa. B
"? 8 '? = +?
c
X
β : @? ; W? γ : @? ; V?
3emostración 4) E) 6)
α ; @? : 4CD?
@? ; V? ; W? : 4CD? Ngualando α ; @? : @? ; V? ; W?
a
8 =
L.q.q.d.
C
A
b
6.
*>T0 J. +n todo tri8ngulo isósceles, al lado desigual se le llama "ase y al 8ngulo que se opone a ella se le conoce como 8ngulo en el vértice o 8ngulo desigual. Los dos 8ngulos de la "ase.
La suma d e l as medidas de l os 8ngulos e$ternos es igual a 6HD?.
0
B
9 An:;o d, ;a Ba,
ANLO $N $L $/C$
BA$ S A N M A R C OS 2 0 1 1
X
α ; @? : 4CD? β ; V? : 4CD? γ ; W? : 4CD? α ; β ; γ ; 4CD? : JKD?
A
C C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
= K.
=
8 3@6
E)
@? ; V? ; W? ; X? : 6HD?
T+>+#0 3+ L0 +@NT+*2N0 3+L TN0*GUL>. La medida de un lado es siempre menor que la suma de las medidas de los otros dos lados pero mayor que su diferencia.
X
B c
a
A
<
LINEAS NOTALES PUNTOS NOTALES
B
C
"+4'4"=+ 3emostración
Las líneas nota"les son aquellas que cumplen funciones específicas en el tri8ngulo, dic-as líneas son 0ltura, #ediana, #ediatri', 1isectri' interior, 1isectri' e$terior. 7untos *ota"les son 1aricentro, 2ircuncentro, +$centro
4) " F a ; c ....N E) a F " ; c a < c F " ....NN 6) 3e N y NN
1.
>rtocentro, Nncentro y
ALTURA. +s el segmento perpendicular tra'ado desde un vértice del tri8ngulo a la recta que contiene al lado opuesto. +n cada una de las siguientes figuras, el segmento 1P es una altura del tri8ngulo 012.
"+4'4"=+ J.
0
0 mayor lado se opone mayor 8ngulo y viceversa. 0 menor lado se opone menor 8ngulo y viceversa. 0 lados congruentes se oponen 8ngulos congruentes y viceversa.
B
B
B
PROPIEDADES DEL CUADRILATERO
4)
A
@:a;";c
b X a
S A N M A R C OS 2 0 1 1
c
C
A
C
A
ORTOCENTRO. +s el punto de concurrencia de las alturas de un tri8ngulo. +l ortocentro es un punto que puede estar en el interior del tri8ngulo, fuera de él o en el vértice del 8ngulo recto, seg/n los tri8ngulos sean 0cut8ngulos, >"tus8ngulos y ect8ngulos respectivamente. +ste punto tiene la propiedad de dividir a cada altura en dos segmentos cuyo producto es una constante. C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
C
B
9 OOC$NO
3
MEDIATRI +s una recta perpendicular a un lado del tri8ngulo en su punto medio, dic-a recta se encuentra en el mismo plano que contiene al tri8ngulo
OBANLO
A
C
ACANLO
B H! ORTOCENTRO +n el vértice de un 8ngulo recto de un tri8ngulo se u"ica el >rtocentro.
$CANLO
2
MEDIANA +s un segmento que une un vértice y el punto medio del lado opuesto. +n la figura # es el punto medio de 02, 1# se llama mediana.
B BM9 M,d.ana A
C
M
A
B
A
N
M S A N M A R C OS 2 0 1 1
1G : E (G#) 0G : E (G*) 2G : E (G7)
C
C
M
CIRCUNCENTRO JO +s el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un tri8ngulo. +l circuncentro es un punto que puede estar en el interior del tri8ngulo, fuera de él o en el punto medio de la -ipotenusa, seg/n los tri8ngulos sean 0cut8ngulos, >"tus8ngulos y ect8ngulos respectivamente. propiedad de ser+ste el punto centro tiene de lala circunferencia circunscrita al tri8ngulo (2ircunferencia circunscrita, es la que pasa por los vértices del tri8ngulo) y equidistan de sus vértices.
ARICENTRO JG! Llamado tam"ién centro de gravedad o gravicentro o centroide, es el punto de concurrencia de las tres medianas de un tri8ngulo. +l 1aricentro, siempre es un punto interior al tri8ngulo, divide a cada mediana en dos segmentos que est8n en la relación de 4M6 y EM6 de la mediana.
L #+3N0TNW
L
O O
O
02UT0*GUL>
K)
>1TU0*GUL>
+2T0*GUL>
ISECTRI INTERIOR . +s el rayo que partiendo del vértice de un tri8ngulo, divide al 8ngulo interior en E 8ngulos de igual medida. B
A
C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
D
x
+ +$centro relativo al lado 12 1@ 13
1isectri' Nnterior egmento de "isectri' interior.
INCENTRO JI! +s el punto de concurrencia de las "isectrices interiores. +l Nncentro, siempre es un punto interior al tri8ngulo. +ste punto tiene la propiedad de ser al centro de la circunferencia inscrita al tri8ngulo (circunferencia inscrita es la que toca a los lados del tri8ngulo, interiormente en tres puntos) y equidistar de los 6 lados.
B
B
I
A
,
C
A
C
ISECTRI ETERIOR! +s el rayo que partiendo del vértice de un tri8ngulo, divide al 8ngulo e$terior en E 8ngulos de igual medida. B
+l +$centro es siempre, un punto e$terior al tri8ngulo. +ste punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia e$inscrita al tri8ngulo (circunferencia e$inscrita es la que toca a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados en tres puntos respectivamente) y equidistar de un lado y de las prolongaciones de los otros dos. Todo tri8ngulo tiene 6 e$centros, cada uno de ellos relativo a uno de los lados del tri8ngulo. K CEVIANA +s el segmento que une un vértice de un tri8ngulo con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. 3esde un vértice se puede tra'ar infinitas cevianas. 7or lo tanto las ceviana no es línea nota"le. +l nom"re de ceviana se de"e en -onor al matem8tico italiano 2+=0 en 4HC.
B
17, 1!, 1 2evianas
BF: Segmento de Bisectriz Eterior
A
>
C
PROLEMAS RESUELTOS A
C
=
ECENTRO JE! +s el punto de concurrencia de dos "isectrices e$teriores, con la "isectri' interior del tercer 8ngulo del tri8ngulo. B
$
61.
Pallar @? a) ") c) d) e)
JD? HD? HJ? D? CD?
2"
x 35
25
Re$olu+%-n 2"
S A N M A R C OS 2 0 1 1
A
C
x ! D E S A RROL L A D O C U EST I ONA RI O 35 25
4) E)
62.
7or 0ngulo e$terno $ : y ; EJ? ........ (N) y : 6J? ; ED? .....(NN) (NN) en (N) $ : 6J? ; ED? ; EJ? B876 Rt".e +n la figura, +GP es un cuadrado. Pallar el valor de $ a) ") c) d) e)
HD? KJ? JD? 6D? ED?
=
Re$olu+%-n
B x
75
$
x
75
$
75
45
!
C
A 45
=
+n el tri8ngulo 70P J? ; KJ? ; y : 4CD? y : HD? ..... (N)
E)
+n 012 $ ; y : 5D ...... (NN) (N) en (NN) $ ; HD? : 5D?
6)
B836 63.
Rt".&
+n un t ri8ngulo 012, el 8 ngulo 0 mide JC?. Y2u8nto mide el 8ngulo 132 donde 3 es el punto de intersección de las "isectrices de los 8ngulos 1 y 2Z a) 4EJ? d) 5J?
S A N M A R C OS 2 0 1 1
4)
") 445? e) 4DE?
c) 44D?
C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
6,. Re$olu+%-n
+l 8n gulo 1 de un t ri8ngulo 01 2 mide KD?. Y2u8nto mide el 8ngulo 0+2 donde + es el punto de intersección de las "isectrices del 8ngulo interior 0 y 8ngulo e$terior 2Z a)4D? ")ED? c)6D? d)KD? e)JD? Re$olu+%-n
B
x
D A
58
C
B
∆1
32 $; α ; θ : 4CD? 0123 $: α;θ; A uma E$ : 4CD? ; A #itad B 8 56 =
A
$ 4"
2
x
4)
B 8 115 6).
A
$ : 5D? ; JC?ME
7or 8ngulo e$terno ∆012 E α ; KD? : Eθ #itad α ; ED? : Eθ ...... (N) ∆ 0+2 α ; $ : θ ........... (NN) Ngualando (NN) y (N) α ; $ : α ; ED?
Rt". '
Pallar el 8ngulo formado por la intersección de las "isectrices de los 8ngulos e$teriores de los 8ngulos agudos de un tri8ngulo rect8ngulo a)HD? ")KJ? c)6D? d)HJ? e)5D?
Re$olu+%-n
C
E)
6@.
B826 Rt".' Pallar @ si %N& es Nncentro del tri8ngulo 012, m 01 : 4KD?. B
$ x
B
a) ") c) d) e)
4DD? 44D? 4ED? 46D? 4KD? 14"
I
x =
4)
A
B8), S A N M A R C OS 2 0 1 1
B
C
uma d e 8 ngulos e $ternos e n ∆ 012 5D? ; Eα ; E θ : 6HD? E α ; Eθ : ED? #itad α ; θ : 46J ... (N) E) +n ∆ 1+2 α ; θ ; $ : 4CD .... (NN) 6) (N) en (NN) 46J? ; $ : 4CD? Rt".'
C
A Re$olu+%-n
14"
A
=
a
b
x $
D
4) 7ropiedad (7ro".K) 4KD? : 5D? ; aME $ : 5D? ; "ME C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
C
uma 4KD?; $ : 4CD? ; (a;")ME 4KD? ; $ : 4CD ; 5D 4KD? ; $ : ED? B8136
K.
2alcular %$&, si 01 : 12 y
T2 :
T3
Rt".&
PROLEMAS PROPUESTOS 4.
3e la figura 01 : 1+A 13 : 32A el tri8ngulo 013 es 0)
4D? 1) 4J? 2) ED?
3)6D? J. 0) 1) Nsósceles +quil8tero 2) 3) 0cut8ngulo ect8ngulo +) >"tus 8ngulo E. 3e la figura01 : 0+A 0 : +A 3 : 32A +2 : 2. 2alcular m∢102. i m∢32:KD?
0)KJ?
1)J?
3)JJ?
+)CJ?
6.
2)HJ?
3el gr 8fico ad junto determina la relación correcta, si 7!: 7.
+)KD?
2alcular %$&, si α B θ : 4C
0)4H? 3) 45?
1)+) 4? 6H?
2)4C?
H. +n un tri8ngulo 012 se tra'a la "isectri' interior , tal que mF130 : E? y mF123 : 6J?. 2alcular la mF103. 0) JH? 3) 4?
1) H6? +) ?
. +n la f igura
2) D?
<
2
,
03 : 6,
02 : C. Pallar %12& B
0) 6$ : Eθ 1)J$ : Eθ 2) $ : 6θ 3) K$ : θ +) $ : Eθ S A N M A R C OS 2 0 1 1
A
0)K 3)
< D
1)J +)C
C
2)H
C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
C. e tiene un triangulo isósceles #*7A #* : *7, en el cual se tra'a la ceviana (> . o"re (> se toma el punto %& tal que *! : * y la m∠*7 : 6H. Pallar la m∠#7! 0) 4C 1) ED 2)6D 3) 6H +) KJ 5. +n un triangulo rect8ngulo 012 recto en 1, se tra 'a la altura B2 . +n el triangulo 1P2 se tra'a la "isectri' interior BR . i 01 : 4D y 0P : . Pallar P 0)E 3)6,J
1)E,J +)K
!& x& ?&
0) EDD
1) 4D 2) 6DD
3) 66D
+) 6HD
2)6
4D. eg/n el grafico. Pallar el valor de %θ& 4
4
0) 4D 3) KD
1) ED +) JD
2)6D
44. 3e la figura. Pallar %12&, 01 : K y 2 : E B
2 A
0)4 3)K 4E. y ; $
1)E +)J
=
C
2)6
3e la figura. Pallar $ ;
S A N M A R C OS 2 0 1 1
C U ES T I O N A RI O D E S A RROL L A D O
TRIANGULOS II
4.
CONGRUENCIA DE TRI:NGULOS 3os tri8ngulos son congruentes, si tienen todos sus elementos (lados y 8ngulos) respectivamente congruentes.
AC
012 3+
4? 2aso (L.0.L.) 3os tri8ngulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y congruente el 8ngulo comprendido entre dic-os lados. B
AC
congruentes tienen
A
E.
DEF
6.
B
A
AC $
α
DEF
OSERVACIONE S θ α
α C
D
=
,
,
A
B E
8ngulo recto como 8ngulo conocido. 1 C"$o JC>C (2ateto, 2ateto) L0L 3os tri8ngulos rect8ngulos son congruentes, si tienen sus catetos respectivamente = congruentes.
i dos tri8ngulos son congruente s, son respectiva mente $ congruente s sus seis elementosA y a lados D congruente s se B oponen
$
8ngulos congruente s y recíprocam A ente.
si dos
8ngulos respectivamente congruentes y congruente el lado comprendido entre dic-os 8ngulos. B
θ
ˆ D A
C
K? $ 2aso (L.L.0.) 3os tri8ngulos son congruentes si α tienen α dos lados A = C D respectivamente congruentes y AC DEF congruente el 8ngulo que se E? 2aso (0.L.0.) opone al mayor 3os tri8ngulos son de dic-os lados.
≅
AB DE
B
A
+st8n comprendidos en los casos de congruencia ya estudiados, teniendo presente que necesitan sólo de E condiciones porque tienen el
nos dice a la ve' seis cosas, a sa"er
DEF
6? 2aso (L.L.L.) 3os tri8ngulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.
7ara que sean dos tri8ngulos congruentes es necesario que cumplan con uno de los siguientes casos generales
Una sola e$presión
C
0lgunos autores no consideran el K? 2aso LL0 (Lado, Lado, 0ngulo), mencionan solamente $ los tres primeros casos.
D CONGRUENCIA B DE TRIANGUL OS RECTANGULOS
C
D
AC DEF 2 C"$o JC>A (2ateto, 0ngulo) 0L0 3os tri8ngulos rect8ngulos son congruentes, si cateto ytienen un un 8ngulo agudo α respectivamente congruentes. = $
A
=
C
D
=
+n todo tri8ngulo isósceles, a lados congruentes se oponen 8ngulos congruentes. THALES DE MILETO (HDD 0.2.) Uno de los sa"io de la antigua G+2N0, demostró que la
AC DEF 3 C"$o JH > A (Pipotenusa, 0ngulo) 3os tri8ngulos rect8ngulos son congruentes, si tienen la -ipotenusa y un 8ngulo agudo respectivamente congruentes.
medida dedela "ase los 8ngulos de un tri8ngulo isósceles son iguales.
i 01 : 12 $ +ntonces
C
+ : $ ; y
+n todo tri8ngulo equil8tero, sus tres 8ngulos internos son congruentes.
A C
DISTANCIA DE UN PUNTO La distancia de un punto a una recta, es la longitud del Bsegmento
perpendicular desde el punto a la recta.
C
Demo$t("+%-n 4) 7or teorema
=
A B
y
B C
E)
AC DEF ) C"$o JH> C (Pipotenusa, 2ateto) 3os tri8ngulos rect8ngulos son congruentes, si tienen la -ipotenusa y un cateto respectivamente congruentes. (2aso LL0). B
α A
AC DEF T E O RE M A DE L TRIANGULO ISOSCELES
Demo$t("+%-n A
DTransitivida C
4) Tra'amos la "isectri' 13. E) ∆ 013 ≅ ∆ 312 por el caso L0L.
d de congruencia de 8ngulos. A
L
La medida de 7P es la distancia de 7 a la recta L. 0l punto %P& se le denomin a pie de la perpendi cular.
•
del isósceles.
D
A
A C
Q : $Q ; yQ
1
B
A
TEOREMA DEL TRIANGULO EUILATERO
•
C
La distancia de un punto a un segmento, es tam"ién la longitud del PROPIEDAD01 NOTA +n el E? segmento 23 es un 20> de $ perpendicular cuadrado, L4MMLE congruencia de desde el punto al tri8ngulos B x segmento o a la $ rect8ngulos, el L1 8ngulo agudo prolongación de 0 α segmento. dic-o puede ser C adyacente D +s decir C al = perpendicular a la cateto o puede ser recta que contiene opuesto al cateto. elX segmento. A A
C
L...&.
L.. .&.
D
0=
A
L2
B
A
B
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS. 1 TEOREMA DE LA ISETRI DE UN ANGULO.
Todo punto
2aso L0L 7#0 ≅
y 123 (2aso 0L0), por lo tanto
7#1
PA 8 P L...&. NOTA i dos líneas nota"les coinciden en un
que pertenece la tri8ngulo, "isectri' de aun entonces 8ngulo equidista tri8ngulo A de los lados del isósceles. 8ngulo. +jemplo θ siguientes α tri8ngulos o θ α isósceles. 70 : 71
dic-o es Los son
Demo$t("+%-n
≅
>17 >07 70 : 71 L.q.q.d.
2 T E OR E M A DE LA MEDIATRI Todo punto que pertenece a la mediatri' de un segmento equidista de los e$tremos del segmento dado.
A
70 : 71 M
Demo$t("+%-n
4) Tracemos *3MM01 +ntonces 0#*3 es un paralelogramo 0# : *3 03 : #* (N)
) TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
2aso PB0
Demo$t("+%-n
A 8 CD AD 8 C L...&.
3 TEOREMA! Los segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son congruentes. B
01 : 23
i por medio de el unpunto lado de un tri8ngulo se tra'a una recta paralela a otro lado, dic-a paralela divide al tercer lado del tri8ngulo en dos segmentos congruentes. +l segmento determinado por los puntos medios de dos lados del tri8ngulo mide la
E) #1* ≅ 3*2 (0L0) 1* : *2 32 : #* (NN)
mitad del tercer lado. H%-te$%$ B # punto medio de 01 (0# : #1) B La recta #* es paralelo C al lado 02. Te$%$ 1* : *2, #* :
, TEOREMA +l segmento que une los puntos medios de dos lados de un tri8ngulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud.
AC 2
03 : 12
K)
N y NN en NNN #* ; #* : #*:
L.q.q.d.
N
A Demo$t("+%-n ean 01 y 23 dos segmentos paralelos comprendidos entre las paralelas 12 y 03. Tra'ando el Bsegmento 13 quedan formados dos tri8ngulos congruentes 013
03 ; 32 : (NNN)
02⇒
B
M
6) 02
D
AC 2
H%-te$%$ ea el tri8ngulo 012 # punto medio de 01 C * de 12punto medio
A
B B
N
M
M
N
A
D
A
C
C
un tri8ngulo rect8ngulo mide la mitad de la longitud de la -ipotenusa.
Te$%$ #*MM02 #* : 02ME Demo$t("+%-n. B
Las medianas de un tri8ngulo concurren en un punto que dista de cada vértice el do"le de la distancia al punto medio
o
M
N
4) 7rolongam os #* -asta 7 tal que #*: *7 E) #1* ≅ *27 (caso L0L) mB : m*27 y #1 : 72 6) 0#72 es un paralelogramo. #*MM02
E(#*) : #7:02 AC ⇒ #*: L.q.q.d.
@ TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN EL TRIANGULO RECTANGULO .
La mediana A relativa a la -ipotenusa de
B
TRIANGULOS NOTALES
B
J"! +on$t"nte
N
a
a
2a a
a
2b
b
2
45
6"
a
a
M
C
TRIANGULO DE 36 @6
Demo$t("+%-n A M
B
N
4) 7or el punto # tracemos #*MM01 E) 1* : * 2
≅
45
3
2a
Te$%$ 1# : 02ME
6)
3"
A
2
1G : 72 : L.q.q.d.
del lado 2ba opuesto. Demo$t("+%-n.
H%-te$%$ C ∆ 012 m012 : 5D? 1# : #ediana
A
K) E"
4) 7rolongar 0* -asta 7 Ctal que 27MM1#
B
E) 1G* ≅ *72 (caso 0L0)
3"
(Teorema de los puntos medios)
a, (N)
#*1 #*2
6) de
(2aso L0L) 1# : #2 → 1# : 02ME PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS DE UN M TRIANGULO.
C
+n un tri8ngulo equil8tero 012 de lado Ea, tra'amos la altura 1P y o"servamos que 0P : P2 : a
G* : *7 : 1G : 72 ..
2a
T e 2a o r e m 6" a
3"
X
6"
Teorema los 7untos A
#edios0G : G7 : Ea PC G# : 2 : " ⇒ 72 : E" ...(NN)
a
2a
a
d e 7 i t 8 g o r a
C
s .
lado, a, tra'amos de un K$Q -ipotenusa : la diagonal 13, EaQ tri8ngulo o"servamos que de 4J? E$ rect8ngulo : @Q el; tri8ngulo 103 a y J? mide la aQ es:isósceles. cuarta parte de la (Ea)Q -ipotenusa. @Q ; P2 : a 2 B aQ : Ea ; a $: 2 KaQ 3 7it8go @Q : P2 : 6" 15 ras TEOREMA 3 6aQ a (E ; @Q : i la "ase a 2a 3 aQ de; un tri8ngulo a 0P) : aQ isósceles es 75 2 15 a 3 Ea B a C A de @Q veces : el largo M 3 2a 2a EaQ cada uno de los 0P : 4a dos lados a(E B congruentes, @:a 2 3) entonces el 8ngulo +nel 1P2 opuesto a la "ase (6D? y HD?) el es un 8ngulo cateto adyacente recto. +n el 103 a HD? mide la (KJ?) la mitad de la -ipotenusa es 2 -ipotenusa. Demo$t("+%-n veces el largo de 2ump le 4) Tra'amos un cateto. T+>+#0 4 a 7it8ga la mediana 1# TEOREMA 2 i un cateto oras AC +n un mide la-ipotenusa, mitad de tri8ngulo la 1# : 2 a ....... (N) rect8ngulo entonces el 8ngulo a 2 Q E) isósceles, el agudo adyacente 1P# 2 /2 ; (6D? y HD?) cateto es a dic-o cateto mide HD?. veces el largo de BM 1P : 2 la -ipotenusa. a A a
Q
a
a
a
B
C
Demo$t("+%-n 4) Tra'ar la mediana 1# E) ∆ 01#
45
+quil8tero α : HD? B
TRIANGULO RECTANGULO 45 ISOSCELES +n X un a cuadrado 0123 de 45 a
Demo$t(" +%-n
X
L.q.q.d.
A
....... (NN) 6) N en NN : AC 1P : 4 ( a EERCICIOS
α : HD? M
C
a
X
7it8g oras 45
) Q
$Q ; $Q : aQ E$Q TEOREMA : ) aQ La altura relativa
D
a
la
5D?
4.
+n
un
tri8ngulo 012 la medida del 8ngulo e$terior en el vértice 0 es el triple de la medida 8ngulo
del 2,
adem8s
la
K.
mediatri' interseca a en 7. 2alcular 17, si 12 < 01 : 5. 0) 6
1) H
3) K
+) J
E.
[l tri8ngulo 012 isósceles,
es
J.
01:12 y la altura tra'ada desde 2 mide 4D. si 7 es un punto cualquiera del lado
,
calcular la suma de las distancias de 7 a los lados congruentes. 0) 1) J H 3) +) 4D 4J
6.
1) HD? +) 6?
medio de calcular 7*. 0) E,J 3) E
,
1) 4 +) 4,J
+n un tri8ngulo 012 se tra'a tal la mediana que la mF01#:JD? y mF#12:HJ?. i 01:4C, calcular 1#. 0) 1) H C 3) +) 6 3 4E
C. +n un tri8ngulo 012, en AB y BC se u"ican los puntos 7 y ! respectivament e tal que 02 : !2, m∠012 : JDA m∠102 : DA m∠027 : JJA calcule la m∠!72. 2) J6?
0) 4J 1) 6D 2)6 d) KJ e) J6
5. 012 es un
mF2:EJ? 01 : H. i la y mediatri' de interseca a
+n un H. tri8ngulo 012, 01:H y 02:5. 7or 1 se tra'a
en 7, calcular 72. 1) K +)
+n un tri8ngulo rect8ngulo, la "isectri' interior del 8ngulo agudo mayor y la mediatri' de la -ipotenusa se intersecan en un punto so"re el cateto mayor. 2alcular la medida de uno de los 8ngulos agudos. 0) J? 3) KJ?
+n un tri8ngulo 012, mF 0:4DJ?,
0) 6 3) H
+n un tri8ngulo rect8ngulo 012, recto en 1, se sa"e que 02:4D y mF2:EH,J?. calcular la . medida de la altura 1P. 0) 1) 2) 6 K J 3) +) H
2) J
perpendicular a la "isectri' interior . i * es el punto
tri8ngulo o"tus8ngulo, o"tuso en 0, se tra'a la "isectri' interior 13, si m∠102 : Em∠031, 01 : a y 23 : ". 2alcular 12.
0) a;" 1) Ea;" 2) aB " 3) a;E" +) Ea;E" 1"% 012 es un tri8ngulo rect8ngulo, recto en 1, en la prolongación de se BA u"ica 7 y elenpunto el e$terior relativo a AC se u"ica el punto !, tal que BP PQ , si 02 : 07 ; 7! y m ∠102 : Em∠7!0. 2alcular la m∠02! 0) 6D 1) 6 2)KJ 3) HD +) J
11% 012 es un tri8ngulo rect8ngulo, recto en 1, en él se tra'anA la altura 1P y la ceviana interior BE , tal que 01 : 1+ : C, en el interior del tri8ngulo se u"ica 1+2 el punto 7, tal que m∠+72 : 5D y m∠+27 : m∠721, si 12 < 2+ : H. 2alcular 7P
0)6 3)H
1)K 2) J +)C
12% 3ado un tri8ngulo rect8ngulo 012 tal que 01 : 12, interiormente se u"ica el punto 7, si 17 : 6, 72 : , m∠172 : 5DA calcule 07. 0)6 1)K 2) J 3)H +) 13% 3ado un tri8ngulo 012 en la cual la "isectri' interior AE y la altura BH se intersecan en 7. Tal que m∠72P : 4J ye n AH se u"ica el punto !, s i QP ⊥ PC A !2 : E(17), calcule la m∠017. 0) 4J 6D 2)KJ d) J6 HD
1) e)
14% e tiene un tri8ngulo 012 en la cual se tra'a la mediana CM y la ceviana AN las cuales se intersecan en T, tal que #T : T2 y
T* : Ju, calcule 0T. 0) 4D 1) 4J 2) ED 3) ,J +) 4D
!OLIGONOS Y CUADRILATEROS DEFINICIÓN ean 7 4, 7E, 76, 7K,...... 7 nB4, 7n puntos distintos en el plano y no colineales con nE. La unión de los segmentos 7 4 7E, 7E,76, ......., 7 nB47n, 7n74, reci"e el nom"re 7>L\G>*>, si los segmentos de tienen las siguientes propiedades 3os segmentos con un punto com/n no de"en ser colineales. 3os segmentos cualesquiera sólo pueden interceptarse en sus e$tremos.
1
-
3
puntos medioslodellamaremos dos lados cualesquiera, diagonal media del polígono. OSERVACIÓN +n un polígono de n lados e$isten n vértices, n 8ngulos internos.
-
n
-
n-1
7
5
6
4
+n la figura, la parte punteada indica otros posi"les puntos y segmentos puesto que n es un n/mero natural cualesquiera igual o mayor que 6.
-
-
NO D$L OL@ONO NO $X$/O$
-
NO /N$/O$
Los puntos 7 4, 7E,.......,7n se llaman verticales del polígono. Los segmentos 7 47E, 7E76, ...., nB4 7polígono. , 7n74, son los lados del 3os segmentos con un vértice com/n determinan un 8ngulo al cual llamaremos 8ngulo interno del polígono. Un 8ngulo es 8ngulo e$terno de un polígono si y solo si forma un par lineal adyacente con uno de los 8ngulos internos del polígono.
7untos interiores al polígono. 7untos e$teriores al polígono 7untos que pertenecen al
polígono. Un punto est8 en el interior de un polígono si est8 en el interior de cada uno de los 8ngulos internos del polígono, y est8 en el e$terior, si no est8 ni en el interior ni en el polígono.
ELEMENTOS DEL !OL"GONO -
Un segmento que une dos vértices no consecutivos lo denominaremos diagonal del polígono. Un segmento que une los
NOTA 1 Todo polígono divide al plano en tres su"conjuntos de puntos
2
-
NOTA #%
+l perímetro del polígono es igual a la suma de todos sus lados. NOTA 3.
egión poligonal es una figura formada por los puntos del polígono y los puntos interiores al polígono.
+s aquel polígono cuyos lados son todos congruentes.+jemplo
CLASIFICACI$N DE !OL"GONOS Lo+ o;:ono+ +, c;a+..can ,n9 %&
!or e' n(mero de '%dos
Tri8ngulo 2uadril8tero 7ent8gono Pe$8gono Pept8gono >ct8gono *on8gono o +ne8gono 3ec8gono +ndec8gono o Undecagono 3odec8gono 7entadec8gono Ncos8gono
6lados Klados Jlados Hlados lados Clados 5 lados 4Dlados 44 lados 4Elados 4Jlados EDlados
).
12"
12"
12"
12" 12"
,.
Los polígonos restantes se llaman seg/n su n/mero de lados. 7or ejemplo polígono de 4K lados, polígono de EJ lados, etc. ' 1.
Pol#0ono Eu%n0ulo +s aquel polígono cuyos 8ngulos internos son todos congruentes
12"
Pol#0ono Re0ul"( +s aquel polígono que es a la ve' equi8ngulo y equil8tero. +jemplo
Po( $u *o(m" Pol#0ono C oneBo! +s interceptado en sólo dos puntos
6"
por una recta secante. 6"
H.
2.
Pol#0ono no ConeBo +s interceptado en m8s de dos
6"
Pol#0ono No Re0ul"( JI((e0ul"( +s aquel polígono que no cumple las condiciones del polígono regular.
puntos por una recta secante.
FÓRMULAS GENERALES EN UN 3.
Pol#0ono Eu%lte(o
POL
& */meros de diagonales que se pueden tra'ar desde un vértice. & 8 N>3 D */mero total de diagonales que se pueden tra'ar. D8
CUADRIL:TERO e llama cuadril8tero, al polígono de K lados. 2onsiderando la medida de sus 8ngulos internos pueden ser conve$o o cóncavo.
N ( N 3) 2
*/mero de diagonales que se pueden tra'ar desde %=& vértices
CON$XO
CNCAO
consecutivos. Elemento$ !VBN>
( V 1)( V 2 ) 2
B
C
0
S% uma de las medidas de los 8ngulos internos S% 8 176 JN>2
$
< D
A
Se uma de las medidas de los 8ngulos e$ternos Se 8 3@6 FORMULAS PARA POL
4) Lados AB, BC, CD DA E) =értices 0, 1, 2 y 3 6) 0ngulos Nnteriores @, V, W, X K) 0ngulos +$teriores α, β, γ, θ. Not" 1. +n todo cuadril8tero, la suma de las medidas de sus 8ngulos es 6HD?.
% #edida de un 8ngulo interno %8
180º ( N 2) N
e #edida de un 8ngulo e$terno e8
360º N
+ #edida de un 8ngulo central +8
360º N
CLASIFICACIÓN DE CUADRIL:TEROS CONVEOS 0tendiendo al paralelismo de sus lados, se clasifican en tres 7aralelogramos, Trapecios y Trape'oides.
A
PARALELOGRAMOS. on aquellos que tienen sus lados opuestos paralelos. e clasifican en
A1.
ROMO. Llamado tam"ién Lo$"n0e. +s un paralelogramo que tiene sus K lados congruentes. Rom'o
o Lo$"n0e
Not" 2. 2uando en un pro"lema se menciona paralelogramo, se di"uja como un rom"oide. Not% )
+l 2uadrado es un rom"o y tam"ién es rect8ngulo. Not% *
A2.
Rom'o%&e. +s un paralelogramo.
3e todos los rect8ngulos de igual perímetro, el que tiene m8s 8rea es aquel cuya diferencia de lados es menor. 7or lo tanto el que tiene 8rea m8$ima es el cuadrado.
b
PROPIEDADES DEL PARALELOGRAMO AAL$LOAMO O
E
OMBO/D$
b
4.
+n todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes.
E.
+n todo paralelogramo, los 8ngulos opuestos miden iguales y los 8ngulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios.
6.
+n todo paralelogramo las diagonales se "isecan mutuamente. ('%$e+"n se cortan en su punto medio).
K.
Las diagonales de un rect8ngulo son congruentes (miden igual).
J.
Las diagonales de un rect8ngulo se interceptan en su punto medio, determinando K segmentos de igual longitud.
A.3 Re+tn0ulo . Llamado tam"ién Cu"&(%lon0o. +s un paralelogramo que tiene sus K 8ngulos rectos
E
b
A.)
Cu"&("&o. +s un paralelogramo que tiene sus K 8ngulos rectos y sus K lados congruentes. (7olígono egular de K lados).
B
C
O
A
D
llama "ase mayor y "ase menor. e su"Bclasifican en 6 .1
T("e+%o e$+"leno . +s aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales. B
OA 8 O 8 OC 8 OD H.
Las d iagonales d e u n r om"o son perpendiculares entre si y "isectrices de sus 8ngulos.
13 3iagonal mayor 02 3iagonal menor
E
.2
B
A
D
T("e+%o %$-$+ele$ +s aquel que tiene sus lados no paralelos congruentes (miden igual).
B 8 56
C
B
AO 8 OC O 8 OD
C
F 18"
E +
A
o
C
A
.3
D Las diagonales de un cuadrado son congruentes, perpendiculares y "isectrices de sus 8ngulos.
.
B
C
8 56
E
45
AC 8 D A
X 45
.
B
C
45
A
D T("e+%o R e+tn0ulo . +s aquel que tiene dos 8ngulos rectos.
Not" ,.
D
2uando se dice altura del trapecio, se
45 D
TRAPECIOS. on cuadril8teros que tienen dos lados opuestos paralelos y se les
so"rentiende que es la distancia entre las "ases. Not" @.
Me&%"n" &el t("e+%o +s el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Not" . Los 8ngulos adyacentes a una misma "ase de un trapecio isósceles y los 8ngulos opuestos son suplementarios. PROPIEDADES DEL TRAPECIO I
MEDIANA DE UN TRAPECIO! MN .
B
C
Demo$t("+%-n
AM8M CN8ND
N
M
MN 8
2
E)
1!2 ≅ !+3 ( ALA) 12 : +3 : " 2! : !+ 01+ Teorema de la "ase media
6)
D
a
e tra'a 2! cuya prolongación intercepta a 03 en +.
a b
A
4)
$
b
Demo$t("+%-n!
P 8
1. e tra'a 1* cuya prolongación intercepta a la prolongación de 03 en +. 2.
C,
2
b
l...&.
TRA!E-OIDES
simétrico respecto al eje 13 (lo que
AE. 2
MN 8
C.1 T("e/o%&e S%m;t(%+o! i una de sus diagonales es B mediatri' de la otra. La figura es
01+ Teo(em" &e l" '"$e me&%" #*B :
a
on cuadril8teros que no tienen ning/n lado paralelo a otro. +$isten dos clases
1*2 ≅ *3+ (caso 0L0) 12 : 3+ : " 1* : *+
3.
AE 2
7! :
a+b
ven al lado i'quierdo de 13 es igual a lo que ven al lado derec-o).
C
a b 2
A
l...&.
C T("e/o%&e S%m;t(%+o o %$o$+ele$
II SEGME NTO UE > UNE LOS PUNTOS M E DI O S DE LA S DIAGONALES DEL TRAPECIO! P
A $
a-b a
D
A 8 C AD 8 CD
b D
7erímetro (#*7!) : (02 ; 13) E)
+l 8rea del paralelogramo #*7! es igual a la mitad del 8rea del cuadril8tero 0123.
6)
+n el cuadril8tero conve$o se cumple que
0rea(#1*);0rea(73!):0rea(0#!);0rea(72*)
K)
+n el cuadril8tero cóncavo se cumple que
0ra(#1*)B0rea(73!):0rea (0#!);0rea (72*)
+.2 T("e/o%&e "$%m;t(%+o +s aquel cuadril8tero que no tiene ninguna simetría.
NN)
C
B
C
B
+
A
A D PROPIEDADES DEL TRAPEOIDE
N)
4)
+n todo trape'oide, al unir los puntos medios de los lados consecutivos, se forma un paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales de dic-o trape'oide. N
E)
α ; θ ; @ : 4CD?
6)
N
M
D
4)
NN
D >
CONVEO
1+2 JII
M
>
0123 E α ; Eθ ; m ; m D : 6HD? #itad α;θ; !A !D :4CD? (I
2
B
A
D
A
B
C
@ : !A 2 !D Demo$t("+%-n
A
2
C
CÓNCAVO
α ; θ ;
!A !D
8
#*7! es paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las medidas de las diagonales.
C
! B A !D
l...&.
2
X
A
D
4)
+123 θ : @ ; α ; m C N
E)
@; NN
6)
N en NN
NNN
Demo$t("+%-n! 4)
@ ; @ ; α ; mC : mA ; α
1037
α : mA ; α
W : α ; m A ; θ JI
E@ : m A B m C
E) 6)
8
1237 W;α;m C ;θ: 6HD?
(II
!A !C 2
l...&.
N;NN
EW;α ; m C ; θ : α ; m A ; θ ; 6HD?
EERCICIOS
EW ; m C B m A : 6HD?
#itad (III K) J)
W;
2
@;W:4CD? ( IV8III @;W:W;
@:
1%
!C !A
: 4CD? IV
!C !A
l.q.q.d.
2
B
D
x A $ C
Demo$t("+%-n
2) 4yK
2%
+s un polígono regular 0123+... la m 02+ :4KK. Y2u8ntas diagonales medias tieneZ 0) 4DD 1) 4JD 2) 4HD 3) 4D +) 45D
6. Los 8ngulos interiores 1, 2 y 3 de un pent8gono conve$o 0123+ miden D, 4HD y JD respectivamente. Las "isectrices interiores de los 8ngulos 10+ y 0+3, forman un 8ngulo que mide 0)6D 1)6J 2)KD 3) KJ +) JD
0) 4y6 1) 4yE 3) E y 6 +) E y K
!C !A 2
i la medida del 8ngulo e$terno de un polígono regular es %R& veces el interior. 2alcular %R& (R ∈ W).
K. +n un -e$8gono equi8ngulo 0123+, 12 : E, 3+ : 4, 23 : K y 0 : 6. Pallar su perímetro. 0)4D 1)4J 2)4C 3) EK +) EC
J. La diferencia del n/mero de diagonales de cierto polígono y el n/mero de 8ngulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus 8ngulos interiores es C. Y2u8ntos lados tiene el polígonoZ 0)K 1)J 2)C 3) 4E +) 4C
5. 2alcular el 8ngulo central de un polígono regular en donde al disminuir el n/mero de lados en E m8$imos n/meros de diagonales disminuye en 4J. 0)6D 1)KJ 2)6H 3) D +) 5D
H. Las medidas de los 8ngulos interiores de dos polígonos conve$os regulares
4D.+ n un trapecio 0123A m 0:m 1:5DA las "isectrices interiores de los 8ngulos 2 y 3 se intersecan en 7.
se diferencian en ED y las medidas los 8ngulos e$teriores suman 4DD.de Y2u8ntas diagonales tienen el polígono de mayor n/mero de ladosZ 0)E 1)4C 2)6E 3) KD +) JE . e tienen dos polígonos regulares cuyos n/meros de diagonales se diferencias en 6KE y cuyas medidas de sus 8ngulos, centrales est8n en la relación de E a 6. Pallar la diferencia de las medidas de sus 8ngulos interiores. 0)J 1)EJ 2)4D 3) KD +) JD C. +l perímetro de un oct8gono equi8ngulo 0123+GP es " " 2 , dic-o polígono tiene dos tipos diferentes de lados los cuales se presentan en forma alternada. Pallar A= B . 0) 2 2 1) 3 2 2) 3
3)
a2alcular es K.01, si la distancia desde el punto 7 0)H 1)C 2)4D 3)4E +)4H 44.+n un rom"o 0123, se tra'a ⊥ , tal que 0P : P3, calcular m 2. 0)6D? 1)KJ? 2)KD? 3)HD? +)J? 4E.+n un trapecio 0123 se sa"e que m F 1 : Em F 3A 12 : KA 01 : J. 2alcular la medida de la "ase mayor . 0)H 1) 2)C 3)5 +)4D 13%+n un rom"oide 0123 se tra'a la "isectri' (# en ). i 01 : H, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de y . 0)E 3)J
2 32
2
+)
42
1)6 +)E
2)K 3
2
7untos interiores a la circunferencia
7untos e$teriores CIRCUNFERENCIA I a la circunferencia
CIRCUNFERENCIA! La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto del mismo plano llamado centro. L/g%r geom0trico
+s el conjunto de puntos que go'an de una misma propiedad. La circunferencia divide al plano en tres su"conjuntos de puntos
7untos de la circunferencia.
NO $X$/O$ NO /N$/O$
H.
C"RCULO
Re+t" T"n0ente. +s aquella recta que tiene un sólo punto en com/n con la circunferencia (figura 7!). Fle+Q" o S"0%t" . +s el segmento que une a los puntos medios de la cuerda y el arco de menor longitud que su"tiende dic-a cuerda. (figura &' )
+s la figura formada por los puntos de la circunferencia y los puntos interiores a la circunferencia. .
ELEMENTOS M D
D/A M$
8O
B
5$CAN3$
A8 C
$
C O
O D/ 8A
O
TEOREMAS FUNDAMENTALES
A N 3A
$ N3 6$
>
a)
+l radio tra'ado c on respecto al punto de tangencia, es perpendicular a la recta tangente que la contiene. OT
1.
2.
R"&%o! +s el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia(figura O#, OA ). A(+o! +s aquella parte de circunferencia limitada por dos puntos de dic-a circunferencia (figura 01)
3.
).
,.
C ue ( & " ! +s el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia (figura DE ). D%met(o o Cue(&" M"9o(! +s la cuerda que pasa por el centro y es el do"le del radio. (figura BC ). Re+t" Se+"nte! +s cualquier recta que corta a la circunferencia en dos puntos (figura $% ).
RT
O
")
+n toda circunferencia, un di8metro o radio es perpendicular a una cuerda. i y solo si pasa por el punto medio de dic-a cuerda. i 01 #* +ntonces
A
MH 8 HN
O
M
B
N
c)
+n toda circunferencia a cuerdas congruentes se oponen arcos congruentes y viceversa. C B i 01 ≅ 23 A
CD
A d)
l...&. mAC 8 56
D
MEDIDA DE :NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
+n toda circunferencia, los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes (miden iguales).
A
B
2 D
CLASIFICACIÓN eg/n la posición del vértice del 8ngulo 4. 0ngulo 2entral 2uando tienen su vértice en el centro de la circunferencia
2
E.
0ngulos +$céntricos 2u8ndo no tienen su vértice en el centro de la circunferencia. +stos se clasifican en periféricos, internos y e$ternos.
E.4
0ngulos 7eriféricos on los que tienen sus vértices en la circunferencia. 7ueden ser inscrito, semiinscrito y e$inscrito
E.E
0ngulos internos on los que tienen sus vértices en el interior de la circunferencia.
E.6
0ngulos e$ternos on los que tienen su vértice en el e$terior de la circunferencia.
C
i 01 MM 23 +ntonces 03 ≅ 12 e)
i 02 es di8metro de una semicircunferencia y 1 es un punto cualesquiera de dic-a semicircunferencia, entonces m012 : 5D? B
A
"
Demo$t("+%-n 012 α ; α ; θ ; θ : 4CD? Eα ; Eθ : 4CD? #itad α ; θ : 5D?
C
DEFINICIONES! 1. ANGULO CENTRAL +s aquel 8ngulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, sus lados contienen cada uno un radio y su medida es igual al arco comprendido entre susA ladosA siempre y cuando esta medida del arco sea angular. O
B
> : 2entro
!ABC 2
8 mA 2.
ANGULO INSCRITO +s aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia, sus lados contienen cada uno una cuerda y su medida es igual a la mitad de la medida del arco que su"tiende sus lados.
B
).
ANGULO SEMINSCRITO! u vértice se encuentra en la circunferencia, un lado es una tangente y el otro contiene una cuerda y su medida es igual a la mitad de la medida del arco que su"tienden sus lados. A
A
o : 2entro
α:
L tangente
!AC
o
2
C
3.
ANGULO EINSCRITO +s el suplemento de un 8ngulo inscrito, su vértice se encuentra en la circunferencia, un lado contiene una cuerda y el otro
,.
C
θ : 0ngulo
+$inscrito D
C
8
E
interior la circunferencia, formadodepor dos secantes est8 que contienen dos cuerdas que se cortan y su medida es igual a la semi suma de los arcos interceptados por él y por su opuesto por el vértice.
Eα
α :m01
ANGULO INTERIOR u vértice se encuentra en el
A
B
L
B
lado la yparte e$terior de una secante su medida es igual a la mitad de la medida de todo el arco que no corresponde al 8ngulo inscrito.
B
!ABC
A
2
D
α : 02 ; 13
E
θDemo$t("+%-n ; α : 4CD?
Eθ ; Eα : 6HD? Eθ ; m02 : 6HD? Eθ : 6HD? B m02 Eθ : m012
@.
ANGULO ETERIOR u vértice se encuentra en el e$terior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados dos secantes, una secante y una tangente o dos tangentes. +n éste /ltimo caso se llama 8ngulo circunscrito.
La medida del 8ngulo e$terior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que su"tienden sus lados.
a)
8 A nC 1 7 6
J3
3e las tres fórmulas para 8ngulo circunscrito, la m8s utili'ada es la fórmula (E).
Lados ecantes A B
α:
AE BD
D
+s el lugar geométrico todosfijos los puntos que unidos a dos de puntos determinan 8ngulos constantes e iguales al 8ngulo dado. +l arco capa' es un arco de circunferencia y el segmento que une a los puntos fijos se denominan cuerda capa' o segmento capa'.
2
C
")
ARCO CA!A-
Lados tangentes y secantes
A B
Aco Caa?
$
D D
α : 03 B 13
E
=
C
c)
Lados tangentes circunscrito) A
α: n
(0ngulo
AnC
2
AC
B
A
(4)
2U+30 2070W
NOTA •
023+1 0rco capa' de todos los 8ngulos que miden α? 01 2uerda capa'
• •
+l arco capa' de los 8ngulos de 5D? es una semicircunferencia.
C
D, ;a .:a9 0n2 : 6HD? B 02
4.
eempla'ando en la fórmula tenemos = A C 8 176
J2
PROPIEDADES Las medidas de los 8ngulos opuestos de un cuadril8tero inscrito suman 4CD? C B
0n8logamente A
D
A AB
A BC
2
l...&.
Demo$t("+%-n 7or 8ngulo inscrito
6.
BCD 2
α:
uma
m012 : 5D?
2
A
BCD BAD 2
α;θ : α ;θ :
A 8 C
+n dos ci rcunferencias ta ngentes e$teriores cumple
BAD
θ:
2
2 2
360º
2
B
C
α;θ : 4CD? an:,n*,
E.
+n dos circunferencias tangentes interiores cumple m01 : m12
0, 1 y 2 7untos de Tangencia
Demo$t("+%-n 012 α ; α ; θ ; θ : 4CD?
C
Eα ; Eθ : 4CD?
A
#itad α ; θ : 5D? B
l.q.q.d. m012 : 5D?
7 y T 7untos de Tangencia K. Demo$t("+%-n
+l lado de un pent8gono regular su"tiende un arco de E?
A
B
01 : α:
α:
A AB 2
A BC 2
Ngualando
(0ngulo eminscrito) $
(0ngulo Nnterior)
C D
360º
A 8 2
J.
i una cuerda mide igual que el radio entonces dic-a cuerda su"tiende un arco de HD?
B 6"
A
6"
6"
o
Demo$t("+%-n 7or -ipótesis 4) 01 : adio
E)
Tra'amos los radios >0 y >1
6)
+l tri8ngulo 0>1 es equil8tero m0>1 : HD?
K)
0ngulo 2entral
l.q.q.d. H.
m01 : HD?
+l lado de un -e$8gono regular su"tiende un arco de HD? y la medida del lado del -e$8gono regular es igual a la medida del radio. B
A O
C
= $
D
3) 4JD? +) 4HD?
EERCICIOS
J. eg/n el gr8fico m 3T2 : m 2+ : E$. Pallar %$&
4. +n la figura Pallar % θ& 2
B
3
C $
A
X
0) 4C? 1) ED? 2) 6H? 3) KC? +) E? E. i 02 : 4 Pallar N!
D
N Nncentro.
2
0) 6D? 1) KD? 3) HD? +) D?
B I
H. Pallar %$& si 0, 1 y T son puntos de tangencia.
C
A
A
>
0) E
1) E
2
2) 6
2) JD?
2
3) K +) H
6. +n el gr8fico mostrado. Pallar el valor de %$&
x B
1""
0) β < Eα 1) α<β 3) Eα +) Eβ
X
2)α;β
. Pallar (> , si 07 : Km, %7& es punto de tangencia
0) CD? 1) 5D? 3) 44D? +) 4ED?
>
2)4DD?
K. +n la figura mostrada, -allar el valor de %$&. A
0) Em 3) Jm
X
6"
0) 4DD? 1) 4ED?
O
2) 4KD?
B
1) 6m +) Hm
2) Km
C. 2alcular %$&, si 0 y 1, son pu ntos de tangencia.
B
x&
A B
x& A
0) 4J 3) KJ
8"&
0) CD 3) KD
1) HD +) JD
2) D
2) 6D
4E.
e tiene una semicircunferencia de di8metro 01A en el arco 01 se u"ican los puntos 3 y 2 tal que la distancia de dic-os puntos -acia el di8metro son K y 6A calcule la medida del 8ngulo entre DC y AB si m 32 : 5D 0) 4H 1) ED 2) 6ME 3) J6ME +) C
46.
3ado un p aralelogramo 0123 l a circunferencia que contiene a los puntos 1, 0 y 3 interseca a BC en #. 2alcular la m ∠ 103, si 01 : J y #2 : H 0) 6 1) J6 2)K 3) 4DD +) C
5. 2alcular %$&, si 7, , , T y #. on puntos de tangencia. A x&
1) ED +) HD
B 4"&
M
0) 4D 3) 6D
1) 4J +) ED
4D.2alcular la m+, si %>& es centro.
2) 6J
AB 2BC
y
D
O
A
5"&
$
B
C
=
0) JD 3) KD
1) HD +) 6D
2) CD
44.2alcular %$&, si m01 : 4JD (%T& punto de tangencia)
CIRCUNFERENCIA II 3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 3os circunferencias de centro > 4 y >E en un mismo plano y de radios y r respectivamente, pueden tener las siguientes proposiciones. 1
C%(+un*e(en+%"$ Se+"nte$ u la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios y mayor que su diferencia. A
O
1
C%(+un*e(en+%"$ EBte(%o(e$! i la distancia entre los centros es mayor que la suma de sus radios.
O
d
d : >4 >E
2
B
R(4&4R=( +$istencia del tri8ngulo
O
O
1
2
d
Tiene dos puntos comunes (0 y
•
1) •
&R=( ).
La cuerda com/n 01 es perpendicular al segmento que une los centros C%(+un*e(en+%"$ O( to0on"le$ i el cuadrado de la distancia
2. C%(+un*e(en+%"$ t"n0ente$ eBte(%o(e$
entre es igual de a lalos suma los de centros los cuadrados radios. L
+s la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
2
L1
B
&8R=(
O
1
d
O
O
1
2
d
O
2
dQ : Q ; rQ T 7unto de Tangencia •
+l segmento que une los centros
pasa por el punto de tangencia. • La recta tangente com/n interior a am"as circunferencias es perpendicular al segmento que une sus centros.
mD41>E : 5D? L4 LE
ecta tangente a la circunferencia de centro > E en el punto 1 ecta tangente a la circunferencia de centro > 4 en el punto 1
,. C%(+un*e(en+%"$ t"n0 ente$ %nte(%o(e$
i la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios. L Tangente com/n L
A
M
B
O
O
O
1
2
d
d:Br
# 7unto de tangencia >#1 7NTOG>0 2
AB 2 2 * $ 2
T 7unto de Tangencia 9
La recta que pasa por los centros, tam"ién pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente com/n.
@.
•
O
1
d
d;rF 2
dF
Los puntos de una de ellas (circunferencia de centro > E) son interiores a la otra. (2ircunferencia de centro >4)
2
: Q B rQ
2 2 $ *
$2 *2
TEOREMAS RELACIONADOS A LA CIRCUNFERENCIA 1. e dice C%(+uque n*euna (en+circunferencia %" I n$+(%t" est8 inscrita en un polígono, si se encuentra en el interior de éste y sus lados son tangentes a dic-a circunferencia. 0 su radio se le llama N*03N>. B
C
B
A C
•
C%(+un*e(en+%"$ +on+;nt(%+"$ i la distancia entre los centros es cero, es decir, sus centros coinciden. (Tienen el mismo centro).
2
01 : E
•
.
2
AB
C%(+un*e(en+%"$ I nte(%o(e$ i la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
O
AB
A
D
r N*03N> 012
Tri8ngulo circunscrito
•
0123 2uadril8tero circunscrito
La circunferencia es inscrita
•
2.
C%(+un*e(en+%" C%(+un$+(%t" +s aquella circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono. 0 su radio se le llama 2N2U*03N>.
4. Las tangentes tra'adas desde un punto e$terior a una circunferencia son congruentes.
PA 8 P
A
B B
O
C
B
o A
C
A
•
2ircunradio
•
> 2ircuncentro
D
>07 ≅
•
012 Tri8ngulo inscrito
•
0123 2uadril8tero inscrito
•
La circunferencia es circunscrita.
3.
Demo$t("+%-n!
C%(+un*e(en+%" EB%n$+(%t" e dice que una circunferencia es e$inscrita a un tri8ngulo, si se encuentra en el e$terior de dic-o tri8ngulo y es tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados. 0 su radio se le llama +@03N>. =
>17 (K? caso)
PA 8 P
E. Los tangentes interiores comunes a dos circunferencias e$teriores son congruentes y la recta que pasa por los centros tam"ién pasa por el punto de intersección de dic-as tangentes. A 8 CD C A
O
B
OG
D
Demostr%ci1n a
A
l...&.
C
$
B
4) 70 : 73 E) 71 : 72
, T y + on puntos de
tangencia. ra +$radio elativo al lado 12 012 Tri8ngulo e$inscrito • • +n todo tri8ngulo, -ay tres circunferencias e$inscritas. •
umando 70;71:73 ; 72
A 8 CD l...&.
6. Los tangentes e$teriores comunes a dos circunferencias son congruentes y su punto de intersección se -alla so"re la recta que pasa por los centros. A
TEOREMAS DE TANGENTE
B O
OG
C
D
A 8 CD
TEOREMA DE STEINER +n todo cuadril8tero e$inscrito o e$inscripti"le la diferencia de las medidas de dos lados opuestos es igual a la diferencia de las medidas de los otros dos lados.
Demo$t("+%-n 4) 70 : 73 E) 71 : 72
A CD 8 AD C
estando 70 < 71 : 73 < 72 01:23
M B
lqqd.
x
TEOREMA DE PITOT
C
+n todo cuadril8tero circunscrito a una circunferencia o circunscripti"le, se cumple que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.
x
D N
Demo$t("+%-n
A = CD 8 C = AD B
A
x
!
4)
C
0# : 0* 01 ; 17 : 03 ; 3
! x
01 ; 12 ; $ : 03 ; 23 ; $
A CD 8 A D C m
n A
l...&.
n
m
D
Demostr%ci1n 01 : $ ; n 23 : y ; m
TEOREMA DE PONCELET +n todo tri8ngulo rect8ngulo la suma de las medidas de los catetos es igual a la medida de la -ipotenusa mas la medida del di8metro de la circunferencia inscrita.
A
umando 01 ; 23 : $ ; y ; n ; m 01 ; 23 : 12 ; 03 lqqd GENERALIANDO! +n todo polígono circunscrito con un n/mero par de lados, la suma de los lados no consecutivos es igual a la suma del resto de lados.
m
m
B
A = C 8 AC = 2(
r Nnradio
n
n
C
Demostr%ci1n 01 : m ; r 12 : n ; r umando 01 ; 12 : m ; n ; E r l. . . &.
Demostr%ci1n 7erímetro (012) : 01 ; 12 ; 02 : 01 ; $ ; y ; 02 : 07 ; 7erímetro (012) : E07
07
A = C 8 AC = 2(
#itad PROPIEDADES 4.
2 3 A!
+n todo tri8ngulo circunscrito se cumple
B
! A
6. 2ircunferencias e$inscritas relativas al lado 01 y al lado 12, cumple
$ : p < 02 y : p < 12 ' : p B 01
x
x
'44d
FA 8 CE
?
B
?
!
Demo$t("+%-n
C
4) E$ ; Ey ; E' : perímetro (012) E) mitad
A
C
$
$;y;':p Demostr%ci1n
$ ; 02 : p B 8 AC E.
=
l&
+n todo tri8ngulo e$Binscrito se cumple
07 : 0! :
4) 0 ; 02 : semiperímetro (∆012) E) 02 ; 2+ : semiperímetro (∆012) 6) Ngualando 0 ; 02 ; 02 ; 2+ FA 8 C E
l&
! emiperímetro del ∆ 012
K. 2ircunferencia e$inscrita relativa al lado 01 y circunferencia inscrita, cumple
x B
B89
2
D
x
70 : 0 : B 1+ :1G : 9
a+!
! A
2
C
!
$
>
x A
= x
! B !
a x+a
b N
b
C
E. 3e"emos tener en cuenta que la medida del 8ngulo semiBinscrito es igual a la medida del 8ngulo inscrito que su"tiende el mismo arco.
3emostración 72 : 32 $;$;a;":a;y;y;" E$ : Ey #itad L...&.
A
B 89
mAC 8 mAD
J. La suma de la s medidas de los radios de las circunferencias e$inscritas relativas a los catetos de un tri8ngulo rect8ngulo, es igual a la medida de la -ipotenusa.
C
D
B
6. 3e"emos tener en cuenta que la
medida del 8ngulo adyacente a un 8ngulo circunscrito es igual a la arco que su"tiende losmedida lados dedeleste /ltimo.
Re+omen&"+%one$ "(" (e$ole( (o'lem"$ &e n0ulo$ en l" +%(+un*e(en+%"
8 mAC
4. e tiene dos circunferencias tangentes interiormente o tangentes e$teriormente, por lo general los datos est8n en una circunferencia y la incógnita est8 en la otra, trace en estos casos por el punto de contacto una tangente com/n.
A
OG
O
T0*G+*T+ 2>#]*
Demo$t("+%-n
C
α 8ngulo circunscrito θ ; α : 4CD? m02 ; α : 4CD?
Ngualando θ: OG
m02
lqqd
O
CUADRIL:TERO INSCRITO
inscripti"le +s aquel cuadril8tero que tienen sus cuatro vértices en una misma circunferencia.
CASO I
CASO II
B C
CASO III D A
α ; θ : 4CD?
α:β
α:β
EERCICIOS RESUELTOS CUADRIL:TERO INSCRIPTILE +s aquel cuadril8tero que puede inscri"irse en una circunferencia, para ello de"e cumplir cualquiera de los casos de cuadril8tero o de lala propiedad, sin que inscrito se di"uje circunferencia. +jemplo +l rect8ngulo, el cuadrado, el trapecio isósceles.
o"re la -ipotenusa 02 de un tri8ngulo rect8ngulo 012 se construye e$teriormente el cuadrado de del centro >. 2alcular la02+ medida 8ngulo >12. a)6D? d) J6?
")6H? e) HD?
B x
01 ≠ 12
A
A
45
C
C o
RECTAS ANTIPARALELAS
c)KJ?
Reso'/ci1n
B
4.
H"
D
3os rectas son antiparalelas con respecto a los lados de un 8ngulo, cuando forman con los lados del 8ngulo, un cuadril8tero inscripti"le. 0123 2uadril8tero
=
$
+l cuadril8tero 012> es inscripti"le ya que m012 ; m0>2 : 4CD? +ntonces
0123 es un cuadril8tero, adem8s 01 ; 23 : EK cm, 12 ; 03 : KD cm
OC
8 ), 8
2
B
Rt". C E.
C
+n la figura, calcular el producto @.VA si 01 : 46, 12 : 4J, 02:4K, 0! : @, !2 :V a) ") c) d) e)
A
K5 6D KE JH HK
> C
B
a) H cm ") C cm c) 4D cm d) 4E cm d) 4H cm Reso'/ci1n Nncognita 7! 3ato 01 ; 23 : EK 12 ; 03 : KD
$
$ A
21
x
13
> C
D
A
Re$olu+%-n
=
>
!
B
15 21
4. 7NT>T 17 ; 0! E. 7NT>T 72 ; !3 uma
01 ; 7! : 23 ; 7! : 01;23;E7!:12;03 EK ; E7! : KD
4.
7ropiedad 1 : +1 : semiperímetro (012) 1 : +1 : E4
7! :
E.
P 8 7
46 ; $ : E4
"0 2" 2
Rt".
$:C 6.
4J ; y : E4
K.
+l 7 roducto pta
6.
+n la figura mostrada. Pallar la medida del segmento 7!. i
y:H B . 9 8 )7
EERCICIOS 4. La -ipotenusa y un cateto de un tri8ngulo rect8ngulo miden 6D y EK. Pallar el radio de la circunferencia +$ < inscrita al otro cateto. 0) 4D 1) 5 2) 3) 4E +) C E. +n la figura -allar %$& si %>& es centro. " X
0) 6D? 3) J6?
1) 6? +) HD?
2) KJ?
0) HD? 1) D? 3) 5D? +) 4DD?
6. y+n!lason figura mostrada, Pallar %$& (7 puntos de tangencia)
. i 01 : 12. Pallar %$& B
0) 4D 2) 6D 3) KD D
7 0) 6D? 3) CD?
1) JD? +) CJ?
-allar
M 2"
B
1)ED? +) CD?
2)KJ?
J. +n el gr8fico mostrado -allar 1+ si m +13 : 6D?. B
C
D
X
A
O
0)4J? 3) 6D?
$
=
1)ED? +) HD?
2)EJ?
B
H. eg/n el gr8fico. Pallar %$&. 2" 1"
C. i La mediana de un trapecio circunscrito mide 5u. 2alcular su perímetro. 0) 4C 1) 6H 2) E
m
4D.La circunferencia inscrita en un tri8ngulo rect8ngulo 012 recto en 1, en donde 12 > 01, es tangente en * a 01 y en 7 a 12. +$teriormente se construye el trape'oide 12+3 en el cu8l la circunferencia inscrita es tangente en # a 13 y en ! a 12. Pallar 7! si +3 : J, 02 : 2+ y 3# ; 0* : 6 0)4 1)4,J 2)E 3) E,J +) 6 44.
X
A
"
C
3) KJ +) EK 5. +n un tri8ngulo 012, recto en 1 se tra'a la altura 1P y las "isectrices 1# y 1* de los 8ngulos 01P y 21P respectivamente. i #* : K. 2alcular la longitud del inradio del tri8ngulo 01 0)K 1)E 2)C 3)4 +)4E
"
4"
A
2) D?
K. +n la semicircunferencia m 0T. i %>& es centro.
0)KD? 3) HD?
X
+) HD
2"
X
A
2
1) ED
!
2) CD?
C
2alcular -ipotenusa
la longitud de la de un tri8ngulo
rect8ngulo de perímetro 6D, si el radio de la circunferencia inscrita a dic-o tri8ngulo mide E. 0)4D 1)4J 2)46 3) 4 +) ED
4E. 3e acuerdo al gr8fico 01 : 12. 2alcule +#,de si tangencia). *2 : Ccm. (0 y 3 son puntos
0) Kcm 1) Hcm 2) Ccm 3) " 2 cm +) 8 2 cm 46.3ado un trapecio isósceles 0123 (
BC MM AD ) circunscrito a una circunferencia de centro >. La prolongación de BO interseca a AD en 7. i 07:E7 3, calcular mF 103. 0) KJ° 1) HD° 2)J° 3) H6,J° +) E,J°
4K.i, la suma de las medidas de los arcos 01 y 23 es igual a 4HD°. 2alcule el valor de $. (0, 1, 2 y 3 son puntos de tangencia). 0) KD° 1) JD° 2) D° 3) CD° +)5D°
!RO!ORCIONALIDAD SEME5AN-A
CONCEPTO DE PROPORCIONA LIDAD elativo a proporción. RA-$N GEOM6TR ICA
3ado
dos
n/meros racionales a y " diferentes de cero, la ra'ón geométrica entre estos dos n/meros es el cociente aM". !RO!ORCI$N GEOM6TR ICA
i aM" y cMd son dos ra'ones iguales, la proporción geométrica es aM" : cMd, se lee %a es a " como c es a d&. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA S PROPORCIONE S GEOMTRICAS 3ada la proporción aM" : cMd se cumple 4. E.
c."
a.d :
(a;c)M (";d):aM"A (aBc)M("B d):aM" 6. (aB ")M":(cB d)MdA
(a;")M":(c; d)Md
AB
d : Hu
PROPORCIONA LIDAD ENTRE LONGITUDES DE SEGMENTOS ean los segmentos de longitudes a : Eu
a " : 6u
c : Ku
DE DF
d
Luego +&
COROLARIO DE THALES
"' 8
Toda paralela a un lado de un tri8ngulo que intercepta a los B otros dos lados, lo
7roporción
AC
PARALELAS EUIDISTA NTES
en partes divide directamente proporcionales .
i so"re una recta se toman puntos A y equidistantes por ellas se tra'an b paralelas, cualquier recta secante que intercepte a paralelas c dic-as quedar8 dividida en partes iguales.
DE // AC
B
D
C
= BD DA
D
$
L 1BA
C
EC
BD BE DE AB BC AC
DA
B
BE
$
A
A
=
EC
C
BC
L
TEOREMA DE2 LA BISECTRI L3
1isectri' interior
D
$= F = F
BC
B
AC
EF
c DF
c
!
a + AB AD
TEOREMA DE THALES c Tres o m8s rectas paralelas al ser interceptados por dos o m8s A rectas secantes determinan segmentos proporcionales. A AB DE BC EF
L4
BD
B
a
BC
(N)
m
D
DC
n
c
1isectri' e$terior 1
D B
45
$
45
x
c a
! +
a
C
A
=
C
=
AB
B
BC
TEOREMA DE MENELA O
TEOREMA DELB INCENT RO
(NN)
c
c
a I
a
c
d
BI
A A
L"&o$ Qom-lo0o$.B on lados opuestos a los 8ngulos a.".c :respectivament d.e.f e congruentes.
ID
D
C
= b I!
n
(oo(+%on"l% &"&.
a
In+ent( o
m
,
TEOREMA DE CE7A B CALCULO DE LA ISECTRI A LA HIPOTENUSA
Ic
a
x A
A
Ib
AB BC AC DE EF c DF
a. Ia ".c : d. e.f
45
45
b
d
1isectri' interior B 13 : @ c
! +on$t"nte &e
b
$
c
, C
D
c ∆ 012 ^ ∆ 3+
a 2 X
D
C SEMEJANZA DE TRIA
1isectri' e$terior 1 : @
NGUL OS
2 X
CRITERIOS DE
3os tri8ngulos se llaman
SEMEANA
semejantes cuando sus 8ngulos miden respectivament e iguales y los lados -omólogos proporcionales.
DE TRIANGULO 1.
CASO AAA.B si dos tri8ngulos tienen E
a b
=
8ngulos que miden respectiva mente iguales.
3.
CASO LLL . i dos tri8ngulos tienen 6 lados proporcio nales (ver figura uno de semejan' $
B
de
C
K. 0123 es trapecio,
PROPIEDADES DE SEME AN A
4.
FE // BC
B
C>
:
$E : a."
as de Tri8ngulo)
A
armónica puntos.
B
D
=
=
x
a-b
o
a
∆ 012 ^ ∆
A
CASO LAL.B i dos tri8ngulos tienen E lados proporcio
a
D
C A b
HACES ARMO
+ D :
E.
NICOS
2a - b
E
a :c (";c)
e llama -a' armónico todo sistema de K rectas concurrentes en > (0#1*) que pasan por los puntos 0.#.1.*. de una cuaterna armónica
nales y los 8ngulos comprendi dos miden iguales
a b
B c
J.a $: a-b
AB
A
a
b
b
c
DE
O
B A
A
Jb
C
M D
c
B
b
N
6.
012 ^ ∆
3+
Co(ol"(%o.B Toda sección rectilínea 0#1* de un -a' armónico, constituye una cuarterna
x
b
x
x
$
=
: ∆
a
$ M
Jc
A
b
3+ 2.
> + :$
a-b a b
POLIGONOS SEMEAN TESb
a x
3os polígonos son semejantes si sus 8ngulos
correspondiente s son congruentes y sus lados correspondiente s son proporcionales. 0sí, en la figura tenemos AB
A.B.
I I I I
BC
AC /
02(1+;+3): a.c;".d
C.
0 1
2 ≅ 3 ≅
2 3
B
l.q.q.d 02 13 : a.c ; ".d
C
0 ≅ 1 ≅
02.13 : a.c ; ".d
TEOREMA DE 7IETTE +n todo cuadril8tero 2 inscrito o c a inscripti"le, la ra'ón de las diagonales es a la ra'ón igual 2 de lasb sumas de los $ productos de
B C
B
ED
vértice 0 es igual a la suma de las distancias del punto 7 a los vértices 1 y 2.
02.+3: ".d uma
B.C.
b
d
C
A
PA 8 P = PC
CG
BG
A
A
D
AC
6. ∆
$ A
cC
∆ 012 ∼ b
c
d
tal :
a AC-BE BE
2+3
D
2
a
B
DG
E. ∆ 023 ∼ ∆ 12+
inscripti"le, el producto de2 las diagonales a es igualB a la suma de los productos de los lados opuestos. d
los lados quea concurren D sus e$tremos.
AG
4.Tra'ar 2+ que m+23 m021 : θ
TEOREMA DE PTOLOM EO +n todo cuadril8tero inscrito o
c
3emostración
Pol#0ono ACD Pol#0ono ACD
AC BD
A
Demo$t("+%-n Teorema 7tolomeo
C b
de
70 . : 71 . ; 72 .
c- a-b a- b-c
c
TEOREMA DE C8AD9 +n un tri8ngulo equil8tero inscrito en 012 una circunferencia, se u"ica un punto 7 so"re el arco 12 entonces cumple la distancia del punto 7 al
D 70 : 71 ; 72
PROLEMAS RESUELTOS 4.
+2 : 4JB
2alcular +. i FE // AC , perímetr o del tri8ngulo 1+ es
6)
x
x
A
Nncognita :$ E
y : ......... (4) E) y
4.
TP0L+
2 3
0 : 4DB
12
E.
Tra'ar TP0L+
6 12 6 12
* $ *
@:
$:K pta
*
@
2()(")
:
K.
"
@:
→ 72 13
pta. 6.
C
* $ *
$
A
6"
CE // BD
2alcular 1+. i 0 : 6A 1:+2: EA 02 : C, 23 : K
B
2alcular = $ B
= $
6"
6"
$
6
12 A
C
x
TP0L+
1
6"
D
2$*
10
12
6"
A
*
2alcular C +, si 0,1 y + son puntos de tangenci 15 a, : 5, $ r : K ( y r son radios) C
B
o1
+
$ *
Nncognita + : $ 4.
$
→
15
12
6"
x
'O
B
$
6
$
B
6"
eempla'ando (4) en (E)
E.
=
o
$ : 4E pta. c
Re$olu+%-n
=
4)
=
!
7erímetro (1+) : 7erímetro (0+2)
K)
B
A
1"
A
E$ ; y : 4DBy ; $ ; 4JB$ ; 4J E$ ; Ey : KD .... (E)
igual al perímetr o del trapecio 0+2, 01 : 4D, 02:12: 4J. a) 4D ") 44 c) 4E d) 46 e) 4K
esolución
$
a) 6HM46 ") K5M46 c) H6M46 d) EM46 e) CKM46 Re$olu+%-n
a) H K J E
") c) d) e)
D
a) 6 ") c)J d) e)
K H
Reso'/ci1n
B 2
x
= $ 3 2
A
8
C 12
4
D
10 3
#+*+L0> a " $ : d e (5 ; $)
Teorema #enelao
2+=0 a"6:d eH
de
4)
3ato 01 : 12 :
θ →
E)
3ato
: 4H
divido
B // AB
6.$.K:E.
E . 4E
3
6
B8
B8 )
5
pta
H.
pta
B
a) J ") c) d) e)5
Re$olu+%-n B
.
1 : 1+ :d " b +2 : e
6
7
C
$
C.
+n un tri8ngulo 012, 01 : K, 02:J y m0 : E(m2) F 5D?. 2alcular 12. a) J H C 5
H
C
E
A
C
$
16
∼
4
D
x
4
2
3
") c) d) e)
Re$olu+%-n B
x 01
x
- : 4E pta.
x A
e)EJ
B
=
3 (H+x)
4H 4
, D
4E
a) 4D ") c)4J d)
$
-Q : 4K K
2alcular la altura de un
,+o;c.Kn
a A
B
-
trapecio rect8ngul o cuyas "ases miden 5 y 4H, adem8s, sus diagonale s son perpendic ulares.
d 0 : a =
5
B 8 ,2, pta
"isectri' e$terior de 1 en 7 y a 12 en +.C i 1+ D = : K y +2 : 6. 2alcular 02. a) K,EJ ") K,J c) J,EJ d) J,J e) H,EJ Re$olu+%-n
A
α →
: ∆0+2 ∼ ∆ 1+7 θ → $ : α→6 K
6)
+n un tri8ngulo isósceles 012 (01:12) se tra'a la "isectri' interior de 0 que intercepta a la
J. 2alcular 2. i 03:HA 32:6
H C
01 : 17
5
A H
C
∆+12 ∼ ∆
+0 1 α→ $ : K →
B8@ pta θ→
$ 5
EERCIC IO S 4. +n un tri8ngulo 012, la mediatri' de 02 corta a 12 en 7 y a la prolongación de 01 en !. i E01 : 61! y 17 : 6. 2alcular 72. 0)H 1) 2),J 3)C +) 5 E. i 01 : y 12 : 5 son los lados de un 012,tri8ngulo si la "isectri' interior de 1 determina so"re 02 dos segmentos cuya diferencia
de longitudes es 4. Pallar 02. 0 4D
012, donde 12 : E01, se tra'a la altura 1P, tal que m ∠P12 : 6m∠01P. i 0P : E, calcular P2.
1) C 2)C,J 3)5,J 4D,J
+)
6. +n la figura 0! : !1, si LT:KA calcule L0. (T y ! son puntos de tangencia)
0)H 1)C 2)4D 3)4E +) 5 K. +n un tri8ngulo 012 se tra'an las cevianas interiores 1 y 1+ tal que los 8ngulos 01, 1+ y +12 miden 6, 6 y J6 respectivame nte. 2alcular +2 si 0 : K y + : 6. 0) 4C 1) 4 2) 4K 3) 4H +) E4 J. +n un tri8ngulo
0)K
1)
H
2)
C 3)4D 4E
+)
H. +n un tri8ngulo 012, por el punto de 01 se tra'a G paralelo a 02 ( G en 12) y luego se tra'a 7 paralelo a 0G ( 7 en 1G). 2alcular 2G si 17 :Jy 7G : 6. 0)6 1) K,E 2)E,K 3) 6,H +) K,C . +n un trapecio 0123 so"re 01 y 23 se u"ican los puntos 7 y ! respectivam ente tal que 7! MM 12 MM 03 y 6!3 : J2!. Pallar 7! si adem8s 12 : E, 03 : 4D. 0) K 1) J
2) H 3)H,J C
+)
C. +n un tri8ngulo 012 se sa"e que 02 : 4E, 12 : 4D se tra'a la "isectrí' interior 23 y luego 3# paralelo a 02 (# en 12). 2alcular 3#. 0) H 1) J 2)J,J 3)H,J HDM44
+)
5. +n un tri8ngulo 012, se tra'a el paralelogram o 0G32 (G es "aricentro de la región triangular 012). # es punto medio AC , de si AD y MD
intersecan a BC en + y respectivame nte, calcular AE ED
MF FD
.
0) 6MK 1) EM6 2)6ME 3) 6MJ +) EMJ
4D. 2alcular *G, si 2:J, 0123, +G+P son cuadrados y BE // CG
0) E 1) 6 2) 13 3) 13
2
1
46. e tiene un paralelogram o 0123 tal que un punto de AC dista de AB y AD Eu y 6u respectivame nteA si 01:4J. 2alcule 12
3) +) 45
ED
4H. e tiene un tri8ngulo isósceles 012 de "ase 02 en el cual se tra'an las alturas 17 y 0LA BP AL
4Q
02 y en a 12 tal que la tangente que pasa por 1 es paralela a 02. 2alcular 01 si 1 : 5 y 2 : 4H. 0)4J 4E
1) 2)
4C 3)45 4H
+)
+)
1
2
44. +n un tri8ngulo 012 se tra'a la "isectri' interior 13 y en BC se u"ica al punto + tal que DE MM AB , calcular 12 si 3+:6 y 12:6(01) 0) 4D 1)5 2) C 3) 4E +)4H 4E. e tiene un tri8ngulo 012 en el cual la ceviana interior AE interseca a la "isectri' 13 en *A si 1*:*3A 1+:K y +2:4EA calcule 01. 0) C 1) 2) 3) +) "
H 2 3
6
0)C 1)4D 2) 4E 3) 6 2 +) 4H 4K. i 01:4DA 12: C y # MM AC . 2alcule !T (7 y T son puntos de tangencia)
0) C 1) C,E 2)5,E 3) 5,H +) 4D 4J. e tiene un rom"oide 0123A en AD se u"ica al punto # tal que #3 : 6(0#)A si la distancia de # a AB es HA calcule la distancia del punto medio de MC -acia AB . 0) 1)4J 2) 4K
4C
A calcule 7L si 1!:J y !7:K. 0) H 1) 2) 3 6 3) 7
2
3
+)
3 2
4. +n un rect8ngulo 0123 en el lado 12 se toman los puntos 7 y ! tal que 17 : 7! : !2 y en el lado 03 se toman los puntos # y * tal que 0# : #* : *3. La diagonal 02 : ED es interceptada en y + por 1* y 37. 2alcular +. 0)J K E 3)H 6
1) 2) +)
4C. +n un tri8ngulo 012, una circunferenci a que pasa por 1 y 0 corta en G a
45.+n el cuadril8tero conve$o 0123, la recta que pasa por los puntos medios de 02 y 13 intercepta a 01 y 23 en 7 y ! respectivame nte. i 01 : a y 23 : ". Pallar 17M!3. 0) aM" 1) "Ma 2) (a;")Ma 3) aMa;" +) "Ma;"
RELACIONES METRICAS
RELACIONES MTRICAS 7ara el estudio de las relaciones métricas entre los elementos de los tri8ngulos, es indispensa"le sa"er el concepto de proyección.
+n la figura anterior, se muestran las proyecciones de un segmento 01 so"re la recta L en las diferentes posiciones.
P(o9e++%-n &e un unto La proyección de un punto 7 so"re una recta L, es el pie de la perpendicular 7I "ajada desde 7 -asta L.
DEFINICIÓN e llama relación métrica entre varios segmentos a la relación que e$iste entre sus medidas con respecto a una misma unidad.
77I se llama proyectante L se llama eje de proyección.
RELACIONES MTRICAS EN EL
TRI:NGULO RECT:NGULO i en un tri8ngulo rect8ngulo 012 recto en 1, se tra'a la altura 1P correspondiente a la -ipotenusa 02, o"servaremos que
L
G
P(o9e++%-n &e un $e0mento A $o'(e un" (e+t" L
9
La proyección del segmento 01 so"re la recta L es el segmento 0 I1I cuyos e$tremos son las proyecciones de los e$tremos 0B y 1 so"re L. B B B A
9 9
B
9
A A
A
B
A
A B A
L
A B
Los tri8ngulos 0P1, 1P2 y 012 son semejantes +l segmento m e s la proyección del cateto c so"re la -ipotenusa. +l segmento n es la proyección del cateto a so"re la -ipotenusa. La - ipotenusa " e s l a s uma d e las proyecciones de los catetos so"re la -ipotenusa. La p royección de l a - ipotenusa
B
9
A
A
7ara -allar la proyección de un segmento so"re una recta, "asta con "ajar las perpendiculares desde sus e$tremos -asta la recta.
so"re cateto.un cateto es este mismo La proyección de un cateto so"re el otro cateto es un punto que viene a ser el vértice del 8ngulo recto (1). B
9
a
c
E
A m
n b
C
1 5
2
1 c
2
1 a
2
H? .#. La ra'ón de los cuadrados de los catetos es igual a la ra'ón de los segmentos que la altura determina en la -ipotenusa. 4? . #. +2 : m "2 n
1P es media proporcional entre los segmentos de la -ipotenusa. -E : m.n E? . #. 2ada cateto es media proporcional entre la -ipotenusa y su proyección so"re ella.
3emostraciones 1 . #.
0P1 ∼
θ →_-_: _n_ ⇒ -E : m.n α→ m
cE: ".m
1P2 L.q.q.d.
-
aE : ".n
6? .#. (Teorema de 7it8goras) La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la -ipotenusa.
E? .#.
012 ∼
0P1
α →_c_ : _m_ ⇒ cE: ".m
5D?→ "
L.q.q.d.
c
cE ; a E : " E K? .#. La altura relativa a la -ipotenusa es cuarta proporcional entre la -ipotenusa y los catetos.
012 ∼ θ →_a_
5D? → "
1P2
_n_ :⇒ aE: ".n
L.q.q.d.
a
".-. : c.a J? .#. La inversa del cuadrado de la altura relativa a la -ipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos.
6? .#. cE : ".m aE : " . n suma cE ; aE : ".m ; ".n cE; aE : ".(m;n)⇒ cE;aE:"E L.q.q.d.
K? .#.
012 ∼
1P2
5D?→_"_: _a_⇒ ".- : c.a α→ c
L.q.q.d.
-
Demo$t("+%-n Teorema de 7it8goras
J? .#. cE : ".m ⇒_4_ : _4_ cE
".m
HC "2 8 Q2 = J' > m 2 AH +2 8 Q2 = m2 Re$t" " 2 +2 8 '2 2'm
aE : ".n ⇒ _4_ : _4_ ___ a suma _4_ ; _4_: cE aE
E
".n__ 4_ 4_ ; 4 " m n
"2 8 '2 = +2 2'm L...& Edo. Teorema de +uclides +l cuadrado del lado opuesto a un 8ngulo o"tuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados m8s el do"le producto de uno de estos lados por la proyección del otro so"re él.
m.n. : -E _4_;_4_: 4_ m;n ⇒_4_;_4_ : _4_ E E E E c a " m.n c a -E H?.#.
c
E
: ".m. a : ".n. cE m_ E a n L.q.q.d.
α 5D? a E : "E ; cE; E"m
E
divido
RELACIONES MTRICAS EN TRI:NGULOS OLICU:NGULOS
E
4? Teorema de +uclides! +l cuadrado del lado opuesto a un 8ngulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos del do"le producto de uno de estos lados por la proyección del otro so"re él. 4 56
"
2
8 '2 = +2 2'm a
c
A
B
(b-m)
b
m 3emostración
b
Teorema de 7it8goras HC "2 8 Q2 = J' = m 2 AH +2 8 Q2 = m2 Re$t" " 2 +2 8 '2 = 2'm "2 8 '2 = +2 = 2'm
E
m
a
c
C
NATURALEA DE UN TRI:NGULO
4.
ean a, " y c, las longitudes de los lados de un tri8ngulo 012, con el lado mayor de longitud a.
a 3 PROLEMAS RESUELTOS Las diagonales de un rom"o mide 4Ecm y 4Hcm. +l lado del rom"o mide a)5cm d) 4Ecm
")4Dcm e) 46cm
c)44cm
Re$olu+%-n
S%! "2 8 '2 = +2 enton+e$ AC e$ (e+tn0ulo
S%! "2 '2 = +2 enton+e$ AC e$ o'tu$n0ulo
8 6
6
8
S%! "24 '2 = +2 enton+e$ AC e$ "+utn0ulo
P%t0o("$ Q : HQ; CQ Q : 4DD 100 :
5
4
7
13
15
3 3
14
5
E. JE : 6E;KE E 6E;JE 4JE F46E;4KE Re+tn0uloO'tu$n0ulo A+utn0ulo *>T0
45
a
"
6" 2
45 a
2a
a 3"
: 4D
Rt". '
2alcular el valor de la altura 0P del tri8ngulo rect8ngulo 102, si 01 : H y 02 : C.
a) ") c) d) e)
C, K K, E K, C E, K K,
los vértices de los 8ngulos agudos mide J y "0 . 2alcular la medida de la -ipotenusa.
A
a) 13 d) E "0
B
C
Re$olu+%-n
") E 13 e) 46
Re$olu+%-n B
A 6
c
M
8 E
a
b
N
c 5
B
A
C 1"
a
4"
2b
C
P%t0o("$
4D- : H $ C 4D- : KC - : K,C 6.
c) 4D
#12 . cQ ; (Ea)Q : 01* (Ec)Q ; aQ : JQ Rt". +
!uinta cQ ; aQ : 46 "Q : 46 " : 13 02 : E" 02 : E
Re$olu+%-n J.
x+8
$ P%t0o("$ $Q ; ($;K)Q : ($;C)Q ($;K)Q : ($;C)Q B $Q ($;K)Q : (E$;C) . C ($;K) ($;K) : 4H($;K) $;K : 4H → $ : 4E $ ; C : ED Rt". + K. Las medianas de un tri8ngulo rect8ngulo tra'adas a partir de
2
uma JcQ ; JaQ : HJ
Los lados de un tri8ngulo rect8ngulo est8n en progresión aritmética cuya ra'ón es K cm. Pallar la medida de la -ipotenusa. a) 4Ecm ") 4H cm c) ED cm d) EK cm e) 6D cm
x+4
"0
13
Rt". '
+n u n r om"o l a suma de l as medidas de las diagonales es D cm y el radio del círculo inscrito mide 4E cm. Pallar la medida del lado. a) 4H cm d) EJ cm
") ED cm e) 6D cm
c) EK cm
Re$olu+%-n!
E. 6.
Trapecio Nsósceles 01+2 01 : +2 : $ 2onjugados internos
5D? ; m#1+ : 4CD?
b
12
a
m#1+ : 5D? +ntonces DE es di8metro
a K.
b
32+ 7it8goras (E)Q : $Q ; yQ ; "Q) ; (cQ ; dQ) KQ : (aQ KDD : 4D
3ato Ea ; E" : D #itad a ; " : 6J +levando al cuadrado (a;")Q : 6JQ aQ ; "Q ; Ea" : 4EEJ Q ; E(4E) : 4EEJ ( ; K5)( B EJ) : D
H.
: EJ
.
Rt". &
+n la figura mostrada. Pallar la medida del radio de la circunferencia, si 0#Q ; #1Q ; #2Q ; #3Q : KDDcmQ a) ") c) d) e)
e tiene un trapecio 0123 cuyas diagonales se cortan perpendicularmenteA si la "ase mayor 03 es igual a la diagonal 02 e igual a K. 2alcular la "ase menor 12, si 13 : 6 a)4
")E c)6
d)K e)J
Re$olu+%-n
B
x
C
B
4D cm 4J cm ED cm EJ cm KD cm
A
4
M
C
D
B
Re$olu+%-n
$ b
x
A
Rt". "
a M
$
x
4)
Tra'ar
O
d
A
4
D
BE // AC
m+13 : 5D? correspondientes 1+ : 02 : K +0 : 12 : $
x
3
4
C c E)
!
+13 7itagórico $;K:J $:4
Rt". "
D
3ato aQ ; "Q ; cQ ; dQ : KDD Nncógnita 4.
Tra'ar
BE // AC
C.
+n un t ri8ngulo re ct8ngulo 01 2, recto en 1 se tra'an la "isectri' interior 03 del 8ngulo 0 y la altura 1P cuya intersección es el
punto >. 03.>3:JD
2alcular
a)H ")J c)K
>1,
si
Em : 4HQ m : 4EC.... (NN)
d)C e)5
6)
Re$olu+%-n
NNenN @Q : 4EC @ : 6" 0 2
B
A
$:C
x
x
o
m
m
D
b
C
4. E.
3ato 03 . >3 : JD " (Em) : JD "m : EJ . #étricas 013 $Q : "m $Q : EJ $:J
5.
+n la siguiente figura, calcular la medida de la tangente com/n #* a am"as circunferencias, sa"iendo que la distancia entre los centros es ED m y que el radio mayor mide Cm y el radio menor mide K m a) 4Em d) 5m
")4Jm e)4Dm
c)4Hm
N
Rt". '
e tiene un tri8ngulo isósceles 012 (01 : 12). o"re la altura 2P se considera un punto 7 de manera que el 8ngulo 071:5D?A si 02 : 4H. 2alcular 70 a) C d) K
4D.
Rt". +
2
") H
c)C
2
O
O
M Re$olu+%-n
e) K
2
N
Re$olu+%-n O
B
2"
4 O
1
8
x
M 4
7it8goras > 4 7>E @Q ; 4EQ : EDQ
m
A
x
16
@:4H C
4)
071 . #+TN20 @Q : m ... (N)
E)
∆ 012 +uclides
2
1
Q : Q ; 4HQ B Em
pta.
PROLEMAS PROPUESTOS 4. i (01)(0P):6EA calcule 07 0) 4H 1) K 2) " 2
2
3) H +) 3
6
E. e tiene un cuadril8tero 0123 cuyas diagonales son perpendicularesA m∡123 : 5D? y 13 : 03A calcule 01M12 0) 6 1) 3 2) E 3) 2 +) 2/ 2
0)
6. i 0) 01 E : KA calcule 02 1) 2 2) 2 2 3) 2 3 +) 6
3
6
2)
6
1) 2
3
2)
3
3) 4 +)
. i 7P : PT : 6 y T1 : EA ca lcule (2 punto de tangencia)
7
3)
"
2
+)
J. i J(01):E(12) y 07:CA calcule 7!. 0)4H 1)6E 2) KJ 3)HD +) JD
6 2
4,C
K. e tiene una semicircunferencia de di8metro 01 y centro >A en AO se u"ica el punto ! tal que (0!) E ; (!1)E : 5DA luego se tra'a la cuerda 23 la cual es paralela a AB A si 23:HA calcule la distancia de ! -acia el punto medio de CD . 0) H 1) K
H. e tiene un tri8ngulo rect8ngulo 012 recto en 1A con di8metro 12 se tra'a una semicircunferencia que interseca a AC en 3A en el arco 32 se u" ica al pu nto tal que BF DC 4E A 03:6, 3+:6 y +2:EA calcule +.
0) K4MC 1)J 2) KMJ 3)K6M +) E5M6
C. i *2 : HA 12 : 6(01) y m1* : m*!2A calcular 0T. (T punto de tangencia) 0) 2 6 1) H
2
2) 6
2
3) K
2
+) J
2
5. i (01)(!*):EKA calcule 72 0) K 1) 2 6 2) 6 3) " +)
6
2
4D. +n un tri8ngulo rect8ngulo 012 recto en 1 se u"ica al punto # en BC y a * en AC tal que 1#:#2A m∡#*2:5D?A 0*:J y *2:KA calcule 0# 0) " 6 1) 3 3 2) 2 3) +) 3
punto 3 tal que 32 : 01A (12) E < (03)E : 4C y #3 : KA calcule 13. 0) E 1) 6 2) 4 3) 2 +) 3 4H.
44. e tiene un t ri8ngulo rect8ngulo 012 recto en 1 en el cual se tra'a la ceviana 1! tal que 0!:HA !2:E y 1!:6, calcule 12. 0) K 1) 6 2) 2 7 3) 10 +) 2
0) 3
4.
4C.
1) C 2) 5
E
3)
3
+)
3) 4E
+) H
es la
0) 3) 45.
1)
A calcule >T
2) +) 2
1"
6
7
2
e tiene un tri8ngulo 012A (01:4KA 02:46 y 12 : 4J)A con di8metro 01 se tra'a una
E
(23) < E(#2) : E 0)6 1) 2 2
2)
6
2
i 7! : EA P! : K y mediatri' de
4K. +n un trapecio 0123 ( BC// AD ) cuya "ase media mide EA calcular 3# si # es punto medio de AB y
6
#
46. +n un tri8ngulo 012A (01:cA 12:aA 02:" y m ∡012:E?)A calcular la m∡102. i aE B "E : "c 0) CK? 1)6H? 2) KE? 3) KJ? +) JK?
3)
1) 2)
+n un tri8ngulo 012 las medianas tienen por longitudes 5, 4E y 4JA calcule la longitud del lado menor de dic-o tri8ngulo. 0) 4D
6
3
71
2
4E. e tiene un cuadril8tero inscrito 0123 tal que 01:EA 12 : 23 : 2 3 y AD es di8metroA calcule el radio. 0)6 1) E,E 2) 4,H 3) E 2 +)
e tiene un cuadrante 0>1 (0> : >1), en OB se u"ica al punto * y se tra'a la semicircunferencia de di8metro >* que interseca a AN en PA si 0P : 5 y P* : KA calcule P1.
+) E
semicircunferencia en la región e$terior, la cual interseca a la prolongación de la mediana 2* en el punto !A calcule la distancia de ! -acia AB "2
4J. +n un tri8ngulo 012 se tra'a la mediana 1# y en ella se u"ica al
0) 37 3)
37
K
1)H +)
2) 12
3 2
RELACIONES METRICAS EN PA B P 8 PC B PD LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA DE LAS CUERDAS i en una circunferencia se tiene dos cuerdas secantes, el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.
2
A
P A B P 8 PC B P D
C
A
B 2
PA B P 8 PC B PD
Demo$t("+%-n ∆072 ∼ ∆137 (000)
B
B
C
D
Demo$t("+%-n ∆ 072 B ∆ 170 (000) θ →70 : 71 β →72 70 PA? 8 P B PC
L &
TEOREMA DEL PRODUCTO DE LOS LADOS +n un tri8ngulo inscrito en una circunferencia, el producto de las
A
C
PA? 8 P B PC L &
TEOREMA DE LAS SECANTES i desde un punto e$terior a una circunferencia se tra'an dos secantes, los productos de las medidas del total de la secante y su parte e$terna son iguales.
α →70 72 : 73 71 θ→
PA B P 8 PC B PD
L &
TEOREMA DE LA TANGENTE i desde un punto e$terior a una circunferencia se tra'an una secante y un tangente, la medida de la tangente es media proporcional entre las medidas del total de la secante y su parte e$terna.
D
Demo$t("+%-n ∆ 072 ∼ ∆ 173 (000) θ →70 : 73 α →72 71
medidas de dos lados cualesquiera es igual al producto de las medidas del di8metro y la altura relativa al tercer B lado. 2
c
a o
E
A
$
C
B a
c m
A B C 8 2R B H
-:
A
b
M
b 2
C
b 2
b
1# #ediana 1# m"
a-c2$
aQ ; cQ : TEOREMA DE STEWART i en un tri8ngulo se tra'a una ceviana interior se cumple que B
2 2 2! b b 2
0n8logamente aQ ; "Q :
2
2! c
c2 2
a
c x
"Q ; cQ : A
m
D b
n
2
2! a
C
'B? 8 "?m = +?n > 'mn TEOREMA DE LA MEDIANA +n todo tri8ngulo, la suma de los cuadrados de dos lados cualquiera es igual do"le del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado, m8s la mitad del cuadrado de este mismo lado.
a2 2
TEOREMA DE LA PROECCIÓN DE LA MEDIANA La diferencia de los cuadrados de dos lados de un tri8ngulo es igual al do"le producto del tercer lado por la proyección de la mediana so"re el tercer lado. 1# #ediana B M F m
a c m
i en un tri8ngulo se tra'a una mediana se cumple que A
m
b
C
M b
m 7royección de la mediana B
"? > +? 8 2'm
C B
TEOREMA DE OOTH N se cumple que M +n todo tri8ngulo la ra'ón entre la suma de los cuadrados
A
A
>
C
D
de las medianas con la suma de los cuadrados de sus lados es igual a `
c
AN 8 m" P 8 m' CM 8 m+
"? = '? = +? = &? 8 AC? = D? = )P?
COROLARIO.
2
2
!a !b !c 2
2
a b c
2
2
+n todo trapecio la suma de los cuadrados de las medidas de los lados no paralelos m8s el do"le del producto de las medidas de las "ases es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las diagonales.
3 "
C:LCULO DE LA ISECTRI
TEOREMA DE HERON (28lculo de 0ltura) p : semiperímetro p:
B
ISECTRI INTERIOR JD 8
a bc 2
B
? 8 "+>mn
a
c Eb
a
c
A
C
b -":
2 b
@
p( p a )(p b)(p c)
A
D
C
m
TEOREMA DE EULER +n todo cuadril8tero (conve$o, cóncavo ala"eado), la suma de los cuadrados de las medidas de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las diagonales m8s cuatro veces el cuadrado de la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales.
n
$:
2 a
acp(p b)
c
03 : m, 32 : n ISECTRI ETERIOR JF 8
a AP 8 PC
B
8 D
d
B? 8 mn "+
x
"
c
A
a
C
n m
=
B87 $:
2
6.
ac( p a )(p c)
c a
PROLEMAS RESUELTOS
4.
Pallar %$& a) H ") C c) 4E d) 5 e)
4 6
Pallar %$& a) ") c) d) e)
0 : m, 2 : n
K 6 C 5 H
a
B
Teorema de las ecantes 8
J(J;) : 70.71 $($;K) : 70.71 Ngualando @($;K) : J(4E) @($;K) : H(4D) 8@
Rt". +
K.
Pallar %$& H 5 J C 4D
A
x
Re$olu+%-n
x
Teorema de las cuerdas K$ : a(Ea) H(C) : a(Ea) Ngualando K$ : H(C)
a) ") c) d) e)
5
4
Re$olu+%-n
E.
7
a
a
8 12
Rt".&
x
Rt". e
Pallar %$& a) C ; $y ") 4H x c) K d) 4E e) H
A 2
!
B
5
5
4
1"
1" ! 4
Re$olu+%-n 4) Teorema de las cuerdas 4Dy : J(K) y : E ....... (4) E)
Teorema de la tangente $Q : K(4K ; y) ..... (E)
6)
eempla'ando (4) en (E) $Q : K (4K ; E)
Re$olu+%-n 4)
Teorema de las cuerdas Jy : 4D(E)
E)
y7ropiedad : K .......de(4) Tangentes 70 : 71 : $ ; y ........ (E) Teorema de la Tangente 70Q : $ ($;y;J) ....... (6) eempla'ando (E) en (6) ($ ; y)Q : $ ($;y;J) ....(K) eempla'ando (4) en (K) ($;K)Q : $($ ; K ; J) $Q ; C$ ; 4H : $Q ; 5$
6) K) J)
1@ 8 B J.
Rt". ' Re$olu+%-n 4) Teorema de teart E4$Q:4K(ED)Q;(46)QB4K()(E4)
Pallar %$& a) ") c) d) e)
ED 4D KD x EJ 4H
H 16
a
b
a
Re$olu+%-n 4) Teorema de la tangente $Q : a(a;") .............. (4) E)
Teorema de la secante 4H(4H;5) : a(a;") .....(E)
6)
Ngualando $Q : 4H(4H;5) $ : K(J) B 8 26
H.
étima 6$Q : E(ED)Q ; 46Q B 4K(E4) 6$Q : CDD ; 4H5 < E5K 6$Q : HJ $Q : EEJ B 8 1, C.
Pallar 1#. i el di8metro 02 1" , 0# : mide 4D y 03 : E #3, 3*0 : *2 B
a) ") c) d) e)
R t " . "
J H C 5
5 4D C H
H
13
x
x
5Q ; 46Q : E$Q ;
Re$olu+%-n B
2 2
a
2 2
B816
Rt".'
2 14
b b
x
A
J$Q : JDD
C
M
N D
Pallar %$& 46 4D 4J 4 4K
N D
Teorema de la mediana
a) ") c) d) e)
C
o M
Re$olu+%-n
.
A
Pallar %$& a) ") c) d) e)
EJD :
Rt". +
4) E)
13
x
2"
6)
3ato 02 : 4D 7it8goras 012 aQ ; "Q : 4DQ .... (4) Teorema de la mediana
aQ ; "Q : E$Q ; 2
1" 2
7
14 21
2
----(2)
K)
eempla'ando (4) en (E) 4DQ : E$Q ; EC B8@
5.
Rt".'
+n u n r om"o 0 123 s e u "ica e l punto medio 7 de BC , tal que 07Q ; 73Q : EJD. Pallar 01 a) H ") C c) 4D d) 4J e) ED
Teorema de la mediana ∆012 2
17 2 2 2
4JQ ; EDQ : E Re$olu+%-n EEJ ; KDD :
B
a
B 8 31
b M
Rt". &
4. i 01 : 5A E(1 2):6(23), calcule 3+. 0) 5 1) H 2) K 3) J +) 3 2
D 3ato 07Q ; 73Q : EJD aQ ; "Q : EJD ........ (4) Teorema de la mediana
aQ ; "Q : E Q ;
2
2
E. i !3 : 4A T 1 : E y *3 : 21A calcule 03 (3 y T son puntos de tangencia).
... (E)
eempla'ando (4) en (E) EJD :
0) 6 1) J 2) 2 3) K +) 2
2 2
816
Rt".+
Los lados paralelogramo miden 4J yde ED,un la diagonal mide 4. 2alcular la medida de la otra diagonal 2" a) EK ")B E c) 6D d) 64 e) 6H
Re$olu+%-n 15
x 2 17
x 2 A
2
PROLEMAS PROPUESTOS
4D.
28
C
A
6)
4EJD : $Q ; EC5 5H4 : $Q
E)
2
7or E
4)
2
D
3
6. i > es del: cuadrado 0123A 7! el : Ecentro y !2 6A calcule 01. C
0) 1) 10 2) 1 3)K +) 3 6
1) 2) 3) +)
K. i G es "aricentro de la región triangular 012A (*2)E < (0*)E : 4E. calcule 1G. 0) 2 / 2 1)E 2) 6 3) 2 2 +)K
4D.
4J E6 EJ KJ
i 0 , 1 , 2 y 3 son p untos d e tangencia. 2alcule 7P en función de ay" ab
J. i 7! : !P : EA calcule !1. 0) 6 1) 2 3 2) 2 2 3) +)
7
H. i 3P : P7 y 7T : KA c alcule (01) (23). (T punto de tangencia) 0) 4D 1)4H 2)4K 3)4E +) 8 2 . i 0123 es un r om"oideA 03 : HA 0 y ! son puntos de tangenciaA calcule 7!. 73⊥03 0) 2 3 1) " 2 2) 3 3 3)6 +)K C. +n el lado 02 de un tri8ngulo equil8tero 012 se u"ica al punto 7A luego se tra'a una circunferencia tangente a AC en 7 y que pasa AB por interseca BC 1A en adem8s y TA calcule T sia 07:H yy 72:6. 0) H 1) 3 2) 3) 6 2 +) "
AC CD 5. 3el gr8fico, calcule CP BC . 0) 4
0) 1) 2)
2
ab
3
ab
ab
3) +)
2
2 3
ab
!OLIGONOS REGULARES !ERIMETROS POLIGONO REGULAR! Un polígono regular es aquel que es equil8tero y equi8ngulo a la ve'. Todo polígono regular es inscripti"le y circunscripti"le.
PRINCIPALES POLIGONOS REGULARES
0-orainscrito vamos en a estudiar al polígono regular una circunferencia tal como se muestra en el gr8fico inferior, para lo cual se dan las siguientes definiciones.
8ngulos centrales.
0 continuación se presentan los lados y apotemas de los polígonos regulares así como las medidas de sus
1.
T(%n0ulo E u%lte(o C
L3
o A
-
-
3" 3"
A
o
3
L3 Ap
3"
$ 2
3"
L3
B
$
12"
3" 3"
12"
3
B
α : 4ED?
12"
Ln 2.
CENTRO JO +l centro de un polígono regular coincide con el centro de la circunferencia circunscrita al polígono.
Cu"&("&o H"
RADIO JR +s el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.
H"
L4
45
0p +s el apotema del polígono regular, α +s el 8ngulo central del polígono regular. 360º +
A
$
2
H"
L
4
45
Ap
$ 2 2
45 L4
A
TRIANGULO ELEMENTAL AO +s el formado por dos radios y un lado del polígono. Ln +s el lado del polígono regular de %n& lados.
"
B
α : 5D?
H"
3.
Pent0ono Re0ul"( 72
72
$ 10 2 2
72
72
A
B
A L5
Ap
$ "
α : E?
1
).
HeB0ono Re0ul"(
.
Do&e+0ono Re0ul"(
6" 6"
6"
6"
6" o
6"
6"
A
6"
6"
A
45
α : 6D?
$
2
2
360º +
LADO DE UN POL
A
8
45
A
45
B
L8
45
Ap
$
2 2
2
L
o
α : KJ?
@.
2 3
B
i en un pro"lema se dice que AB + , entonces se cumple que la m01:
o
2n
Ln
De+0ono Re0ul"(
10
o
$ 2
1
A
A
L 1"
Ap
B
$ "
3
OSERVACIÓN!
45
L 12
$ Ap 2
α : HD?
O+t-0ono Re0ul"(
45
A
2
1
45
2
$ 3
6"
L6 ,.
$
o Ap
6" 6"
0
12
6" 6"
6" 6"
6 $
6"
6"
6"
6"
10 2
α : 6H?
2 + 2$ 2 $ "$ 2 +
2
C:LCULO DEL APOTEMA DEL POL
NOTA
L5 L 1"
o
L6
A*
A
Ln
B
PERIMETRO DE FIGURAS +s el contorno de una figura geométrica.
0pt 0potema
TEOREMA.> La longitud de una circunferencia es igual a su di8metro multiplicado por el n/mero π.
adio >P1 7it8goras 0ptQ : Q B P1Q + $2 2
0pt : 0pt :
1 2
2 : Eπ
2 : π3
2
2 Longitud de la circunferencia adio de la circunferencia 3 3i8metro de la circunferencia
" $ 2 + 2
Zu; e$ el n[me(o \
CALCULO DEL LADO DEL POLIGONO REGULAR A Ln
"
B
+n el tri8ngulo 0>1 (Teorema de +uclides) LnE : E ; E < E. 2os α
π es 7odemos decir que de la longitud una circunferencia di8metro igualde a 4.
3esde -ace muc-o tiempo (cerca de KDDD años) se notó que el n/mero de veces en que el di8metro esta contenido en la circunferencia es siempre el mismo, sea cual sea el tamaño de esa circunferencia. +ste valor constante de la ra'ón 2M3 es un n/mero, apro$imadamente igual a 6,4K4J5E, el cual se representa por la letra griega π. Va los "a"ilonios -a"ían o"servado que
LnE : EE B EE 2os α LnE : EE (4B 2os α)
el 1va lor 1de π est8 comprendido entre 3 3 o sea EJMC F π F EEM en 8
7
fracciones decimales 6,4EJ F π F 6,4KE. Ln : General
2 (1 c )
ormula
+l valor m8s apro$imado de π es de 0rquímedes ( π : EEM) con error menor de 4M4DDD por e$ceso.
>tra e$presión muy nota"le es la de 0driano #ecio
3 3,1"12 113
....
+n 4C6, el inglés Xilliam -anRs calculó π con D cifras decimales e$actas πMK : 4B 4M6 ; 4MJ <4M ; 4M5 ..... +n 45CK en los +stados Unidos, calculo π con m8s de die' millones (e$actamente 4DD4665J) cifras e$actas.
4.
3ato 0 potema :
E.
0P : P1 :
6.
mA
2
: m B : KJ?
D
α
0ngulo central : 5D? : α 360º
5D? :
PROPIEDAD
: >P
: >P
⇒ AOB : 5D? :
K.
2
+
n:K
Rt". +
2
E. a
b
c
2
2
2
a
b D
.
+n un tri8ngulo 012, m 0 : HD? y el circunradio mide K. calcular 12 a)K ")H c)C d) 4 2 e) K 3 Re$olu+%-n
A
c
.
.
Las curvas son semicircunferencias 7 7erímetro de la figura som"reada
4
7 : π3
B
13" "-
4
D"to :K
6"6" 4
3"
C 12"
7or πME (3 : a ; " ; c) 4.
2onstruyo el ∆12+ di8metro : E : C
PROLEMAS RESUELTOS
E.
m 0 : + : HD? :
Y2u8l es el polígono regular,
6.
Triangulo nota"le 02+ +2 : K
D
2
1.
$ 6"
2
a
2
b
2
c
donde su apotema es la mitad de su ladoZ a) Pe$8gono ") 7ent8gono c) 2uadrado d) >ctógono e) *on8gono Re$olu+%-n
" A
45
2
45
B
12 : 6.
"
3
1+
es
BC 2
Rt". e
+n un tri8ngulo 012, m 0 : KJ? y el circunradio mide K. 2alcular 12. a) K ") H c) C d) K 2 e) K 3
Re$olu+%-n
o : 2entro
A
J.
45
"
4
4 45
C
3atos m 0 : KJ?, : K
0ngulo 2entral
K.
2 $
Rt". &
2
+n un tri8ngulo 012, m 0 : HD?
yla eldistancia circunradio K. 2alcularal delmide circuncentro lado 12. a) E ") 6 c) K d) H e) C Re$olu+%-n
d) 5D? Re$olu+%-n
e) 4DJ? 12
B
"
H" 4
4
6"
1
B
6"
2
6"
4
4
"
4
" 4
Rt". "
1
3, +n un tri8ngulo 012, 01 : K 12: K 2 y el circunradio mide K. 2alcular la medida del 8ngulo 1. a) KJ? ") HD? c) J?
A
3"
2
$:
2
H. "
E
$ 2
$:
Triangulo nota"le 1>2 $:
3
e) 2 : 3 Re$olu+%-n
m1>2 : 12 : 5D? 6.
d)
2:2
$ : 0potema del cuadrado________ 0potema del tri8ngulo +quil8tero
⇒ 12 : 5D?
E.
Rt". "
+n que relación est8n las apotemas del cuadrado y del tri8ngulo equil8tero inscrito en la misma circunferencia. a) 2 : 1 ") 3 4 c)
45
x
B
4.
$:E
2x
4
A
x 3"
C
12"
4.
01:
"
3
2x , :K
⇒ 01 es el lado
4. E.
6.
3ato m 0 : HD?, : K
de un ∆ equil8tero
⇒ 12 : 4ED?
01 : 4ED?
0ngulo central
E.
12:
"
2
, :K
m1>2 : 12 : 4ED?
⇒ 12 es el lado de cuadrado
Triangulo nota"le >P2
m1>2 : 12 : 5D?
C
6.
0ngulo Nnscrito
$:
AB CD
$:
60º 30º
02 : E$ E$;4ED?;5D? : 6HD? E$ : 4JD
$ : 4J?
AC 2
K.
C.
$ : J? Rt". + .
2
:1:$
2
Rt". '
i u n c uadrado y un - e$8gono regular se inscri"en en una misma circunferencia, la ra'ón de sus apotemas es a) EM6 ") 6ME c) EM6 d) 3 / 2 e) 2 / 3
2alcular %$& si 01 : , 12 : 2 , D es centro de la semicircunferencia, 0> :
Re$olu+%-n B
$ : 0potema del 2uadrado C x A
O
D
a)4D? d)6D?
0potema del -e$8gono regular
(
")4J? e)6?
c)ED? $ 2
Re$olu+%-n
2 2 $ 3 3 2
H" B 6"
C 8
6" o
A
4.
3"
2 3
Rt". e
x
D
3ato 01 : ⇒ 01 lado del -e$8gono
01 : HD? E.
3ato 12 : 2 ⇒ 12 lado del cuadrado 12 : 5D?
6.
K.
01 ;12;23 : 4CD? HD?;5D?;23 :4CD? 23 : 6D? 0ngulo e$terior
5.
i un tri8ngulo equil8tero y un -e$8gono regular, sus perímetros miden iguales. 2alcular la ra'ón en la que se encuentran sus 8reas. a)EM6 d) 3 / 2
")6ME e)
c) 2 /3
2/3
Re$olu+%-n
a
3. 2alcular el radio de un círculo tangente a tres rectas dadas, una es el lado de un -e$8gono regular de EK 3 m de perímetro y las otras son las prolongaciones de los lados contiguos.
a
a
0) 4 3) K
a
a
a a
a a
a
a
a
a
0)Km 3) 4Dm
Orea equil8tero Oreadel deltriangulo -e$8gono regular $:
"%
6%
2 3
Rt". "
1. La -ipotenusa 12 de un triangulo 2 " 2 2 , rect8ngulo mide la "isectri' 07 es igual al cateto menor 01. 2alcular el cateto 01
1) E +) J
2) 6
2. La -ipotenusa 12 de un tri8ngulo rect8ngulo 012 mide " 2 2 u, el 8ngulo 2 es EE,J Pallar el cateto 01
0) 4 3)6
1) E +)6,J
2)4,J
1)Cm +) 4Em
2)5m
@. +l 8ngulo 1 de un tri8ngulo 012 mide JK, calcular 02 si el circunradio mide ( 1) m.
0)4m 3) E,Jm
PROLEMAS PROPUESTOS
0) 4 3) K
). +n un círculo se -an tra'ado dos cuerdas no paralelas 01 y 23, se une 0 con 3 y 1 con 2 cort8ndose en . 2alcular el 8ngulo 02 si 01 : r 2 y 23 : r ( 1) E 0) 5C 1) 4DD 2)44J 3) 44 +) 4ED ,. +n un tri8ngulo isósceles (01 : 02), los 8ngulos 1 y 2 miden 6D cada uno, se tra'an las alturas 1P y 2+. 2alcular P+ si 12 : 4Hm.
a $:
2)6
a
1) E +) J
1)4,Jm +) 6m
2)Em
. +n un tri8ngulo 012 el 8ngulo 0 mide KJ, el 8ngulo 1 mide 4ED y el lado 12 es E 2 m. 2alcular la distancia del circuncentro al lado 02. 0)D,Jm 3) E,Jm
1)4m +) 6m
2)Em
7. +l lado de un dodec8gono regular 6 3 3 . 0123+GPNb# es 2alcular el valor de la diagonal 0+. 0) 4 3) K
1) E +) J
2) 6
5. +l lado de un octógono regular 2 2 m.A 0123+GP mide se prolongan las diagonales 1P y 2+ -asta un punto de intersección 7. 2alcuar 71.
0)Jm 3)Em
1)Km +)4m
AC intersección entre y BE . 2alcule 73, si el circunradio de dic-o polígono es igual .
2)6m
16. e tiene un octógono regular 0123+GP en el cu8l se -an tra'ado las diagonales 0+ y 02. 2alcular el lado del octógono sa"iendo que 0+ < 02 : E (2 2 )
2
0) 3) K4
2
1) +) JE
2)6
11. e tiene un dodec8gono regular 0123+GPNb#. 2alcular el lado de dic-o polígono sa"iendo que 0G < 0+ : 6u. 0) 2) +)
3
2
3
3
2
3
(
3 1)
u u
1) 3) (
3
3
1)
2
3
u
u
u
12. un -e$8gono regular de Em de lado, se le prologa cada uno de sus lados en la misma longitud de su lado y en un mismo sentido. Pallar la apotema del polígono que resulte, al unir los e$tremos de estas prolongaciones. 0)4,Jm 3)Km
1)Em +)Hm
2)6m
13. +n un tri8ngulo 012 se cumple que mF 120:6D °, 01:Eu y 12: ( 1) u. 2alcule m F 102, sa"iendo que es agudo. 0) EK° 3) KJ°
1) 6H ° +) JK°
2) E
°
1). +l cuadrado 0123 y el tri8ngulo equil8tero 0+ est8n inscritos en una misma circunferencia. 7 es el punto de intersección entre EF y BC . 2alcule 7+, si 01:Ku. 0) 2) +)
2
2
(
3
2
3 1)
u 3
1) u
3) (
3
1)
2
3
u
u
u
1,. +n un octógono regular 0123+GP, 7 es el punto de
0) 2)
$ 2 2
+)
$
2$
2
1"
1)
2
3) 2
$ 2 2
$ 2 3 2
;re%s de regiones 2o'igon%'es 1. REGION TRIANGULAR +s una figura geométrica (conjuntos de puntos) que consiste en un tri8ngulo m8s su interior.
2.
REGION POLIGONAL +s una figura geométrica formada por la reunión de un n/mero finito de regiones triangulares en un plano, de modo que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o "ien un punto o un segmento.
@. OSERVACIONES 9 +ntendemos el 8rea de un tri8ngulo, 8rea de un cuadril8tero, 8rea de un polígono, como el 8rea de la región correspondiente. 9 3os regiones cualesquiera que tienen igual 8rea se llaman equivalentes, independiente de la forma que tenga cada región. +jemplo el tri8ngulo y el rect8ngulo que tiene igual 8rea, son equivalentes.
8m
8m
2
2
FIGURAS EUIVALENTES 9 i dos tri8ngulos son congruentes, entonces las regiones triangulares tienen la misma 8rea. 9 +s a partir del postulado de la 3. POSTULADO 0 toda región poligonal, le corresponde un n/mero real positivo /nico. K.
AREA DE UNA REGION POLIGONAL +l 8rea de una región poligonal es el n/mero real positivo que se le asigna seg/n el postulado anterior.
unidad de 8rea (8rea del cuadrado) se de muestran las fórmulas "8sicas que para el c8lculo de 8rea de las diferentes regiones elementales rect8ngulo, tri8ngulo, trapecio, etc. . AREA DEL CUADRADO +l 8rea de un cuadrado es igual a la longitud de su lado al cuadradoA o sea
: LE
L
,.
UNIDAD DE AREA 7or costum"re se escoge como unidad de 8rea a la unidad longitudinal
7.
al cuadradoA o sea
+l 8rea de un rect8ngulo es el producto de su "ase por la altura.
U : 4uE
L
AREA DEL RECTANGULO
u unidad de longitud U unidad de 0rea 4u
b : a."
a 4u
Demo$t("+%-n
+n la figura, 0, : a E, 0E : "E ;;04;0E : total E;aE;"E :(a;")E E;aE;"E :aE;Ea";"E E
: 0rea ( ∆012)
B
#itad
!5 +5 : 2 2
:a." L.q.q.d. a
E
b
: 1
!5 +5
A
a
2
b
L.q.q.d.
11.
AREA DE UN TRIANGULO EUILATERO +l 8rea de todo tri8ngulo equil8tero es igual al cuadrado de la longitud del lado multiplicado por el factor 3 . "
B 3"
b
:
a-b
3"
L
L E
2
a Demo$t("+%-n
A
6"
6"
L 2
7or 8rea del rect8ngulo
L
C
L 2
E : a."
:
a-b
: 0rea (∆012)
:
2
3 "
2
16.
C n
b
b-5 2
b
AREA DE UN TRIANGULO RECT:NGULO +l 8rea de un tri8ngulo rect8ngulo es igual al semiproducto de las longitudes de los catetos.
m
2
a
5.
A
!+ 5
2
: b
2
Demo$t("+%-n : 0rea (∆0P1) ; 0rea (∆1P2)
E
A
b-5
m;n : "
2ancelando a y " E : Ea"
a
:
AREA DE UN TRIANGULO CUALUIERA +l 8rea de todo tri8ngulo es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la altura relativa a dic-o lado.
Demo$t("+%-n 4.
E.
:
5 ...............(N) 2
6D?yHD?
-:
:0rea(∆012)
3 ................(NN)
2
b-c
6.
2
(NN) en (N) 2 2
:
:
2
L.q.q.d.
"
4.
:
E.
5
(NN) en (N)
FUNCION DE SUS LADOS
: p(p a )(p b)(p p semiperimetro p:
1).
b-c 2
%:+
FUNCIÓN DEL INRADIO +l 8rea de todo tri8ngulo es igual al producto del semiperimetro y el inradio. B
c)
a bc 2
b 2
4.
:
E.
Teorema de Peron
.-.............................(N) 2
- :
b
:
: 0rea (∆012) r Nnradio 7 semiperimetro p(p a )(p b)(p c)
p(p a )(p b)(p c)
L.q.q.d.
13.
FORMULA TRIGONOMETRICA +n todo tri8ngulo, el 8rea se puede e$presar como el semiproducto de dos lados, por el seno del 8ngulo comprendido entre ellos. B E
b
C
:p.r
Demo$t("+%-n : 0rea (0;1);0rea(1N2); 0rea(0N2) AB-*
:
c
C
....
(NN) en (N) b 2 % 2 b
/
A
p( p a )(p b)(p c)
(NN) 6.
L...&
AREA DE UN TRIANGULO EN
Demostración
A
..........................(N)
2
%:+ ; 5 c%:+ ; .......(NN)
S8
(Teorema de Perón) B : 0rea (∆012) a c E C A b
b-5
c
6.
12. AREA DEL TRIANGULO EN
%:+
Demo$t("+%-n
3
3
:
:
: p.r 1,.
BC-*
AC-*
2 2 2 AB BC AC * 2
L.q.q.d. AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCION DEL CIRCUNRADIO
+l 8rea de todo tri8ngulo es igual al producto de las longitudes de los tres lados, divido por el cu8druple del circunradio B
c
a
'=+>" 8'=+=">2" 8 2>2" 1. RELACIONES FUNDAMENTALES EN EL TRIANGULO 2onsideremos un triangulo 012 cualquiera de 8rea , de inradio r, circunradio , e$radios, ra,r",rc y altura
E
-a,-",-c. entonces A
C
b
: 0rea (∆012)
N. +l 8rea de un tri8ngulo es igual a la raí' cuadrada del producto del inradio y los tres e$radios.
abc
:
"$
2ircunradio
S8
Demo$t("+%-n b-5 2
...........(N)
ac
...........(NN)
4.
:
E.
-:
6.
(NNN) en (N)
2$
NN. La inversa del in radio es igu al a la suma de las inversas de los e$radios 1
b ac 2 2$
:
:
⇒
abc
*
1 *a
1 *b
1 *c
"$
L.q.q.q
NNN. La inversa del inr adio es igual a
1@. AREA DE UN T RIANGULO E N FUNCION DE UN ERADIO
la suma de las inversas de las alturas. 1
+l 8rea de todo triangulo es igual al producto del e$radio relativo a un lado y la diferencia entre el semi perímetro y dic-o lado.
*
*a
S 8 J>"("
1
a
B c
a
b
a
C
*b
$
a
("! EB("&%o (el"t%o "l l"&o " ! $em%e(%met(o
1 5a
1 5b
1 5c
N=. +$radios en función de las alturas 1
A
* *a *b *c
1 5b 1 5a
1 5c 1 5c
1 5a 1 5b
1 1 1 1 *c 5 a 5 b 5 c
V . A &e m $ (e+o(&emo$ teo(em" &e Ste%ne( *a *b *c * " $
17. TEOREMA DE URLET
el
+l 8rea de un tri8ngulo rect8ngulo es igual al producto de las longitudes de los dos segmentos determinadas por la circunferencia inscrita so"re la -ipotenusa. A
4. 2apitulo de circunferencia
S 8 m. n
m
-
2 : 7
S 8 A(e" JAC
0 : r
-=
E. : p.r
-
B
C
A
6. 4. en E.
m
: 2. 0
B
Demo$t("+%-n
ED. +l 8rea de un tri8ngulo rect8 ngulo
n
L.q.q.d
n
es
C
igual
al
producto
de
las
longitudes de los e$radios relativos
Demo$t("+%-n
a los catetos 4. 3el gr8fico 12 : r;n y 01 : r;m E4.
BC-AB
E. :
2
S 8 (".(+
→ E : (r;n)(r;m)
E : rE ;rm ; nr ;mn ........ (4) 6. : p.r → : (m;n;r).r......(E) K. estando (4) y (E)
: mn Lq.q.d. 45. ea 012 un tri8ngulo rect8ngulo 012 recto en 1. (ver figura). e di"uja la circunferencia e$inscrita relativa a uno de los catetos que es tangentes a la prolongación de la -ipotenusa en . +ntonces cumple
: 0rea(012)
S 8 FC. FA
+l
8rea d e u n t ri8ngulo
rect8ngulo es igual al producto del inradio y el e$radio relativo a la -ipotenusa.
" -b
-b
a -5 2 b-5 A*:a ( DEF) 2
-b
A*:a ( ABC )
-b
S 8 (.('
A*:a( ABC)
A*:a(DEF)
Demo$t("+%-n 4. :p.r
b
") elación de 8reas al tra'ar una ceviana
....(4)
E. 2apitulo de circunferencia : rp"
a
B
....(E)
a
E
6.
eempla'ando (E) en (4)
: r" .r : r.r" EE.
A
a
1
2
2a
2
D
b
C
L.q.q.d BD
+l 8rea de un triangulo
rect8ngulo es igual al producto de las longitudes de los dos segmentos que
2eviana
S1 8 A(e"J AD
determina en la -ipotenusa, la respectiva circunferencia e$inscrita. a -5 %1 2 b-5 %2 2
S 8 m.n E6.
2>#7002N>* 3+ +GN>*+ TN0*GUL0+, 7>7N+303+ i dos tri8ngulos tienen igual altura, sus 8reas son proporcionales a sus respectivas "ases.
N.
S2 8 A(e"J DC %1 %2
E A
a
C
D
a b
L...&.
NN. i dos tri8ngulos tienen igual "ase, sus 8reas son
$
B
= b
proporcionales a sus respectivas alturas.
B
B
$
M E
1
E
1
2
A
D
C
b
S1 8 A(e"J AC S2 8 A(e"J DEF
b
3
2
A
4
C
(
] 4 : 0rea (∆#1*)A E : 0rea (∆0#7) 6 : 0rea (∆#*7)A K : 0rea (∆*72)
b-5 1 %1
%1
2 b-5 2 %2 2
NNN.
N
2
=
1
%2
51
L...&.
52
9
i do s tr i8ngulos ti enen un la do congruente y las respectivas alturas congruentes entonces son equivalentes. B
7or ser congruentes los
tri8ngulos #1*, 0#7, #*7 y *72 se tendr8n
$
4 : E : 6 : K :
E
1
A*:a(ABC)
2
D b
A
S1 8 S2 8 N=.
b
C
"
=
>"servación
b-5 2
+l 8rea del trapecio 0#*2 es
+n todo tri8ngulo, una mediana cualquiera determina dos tri8ngulos parciales equivalentes. B B& : #ediana
igual al triple del 8rea del tri8ngulo #1*. B
4 : 0rea (01#) E : 0rea (#12)
E
A b
1
M
2
S 1 8 S2 8
b-5 2
N
3
C
M
b
=. +n todo tri8ngulo, al unir los puntos medios de los tres lados, se determinan cuatro tri8ngulos parciales equivalentes.
A
C
=N.
+n todo tri8ngulo, al tra'ar las tres medianas se determinan seis
B -
tri8ngulos parciales equivalentes
-
M x
2
A N
-
-
!
x
N
1
G 10N2+*TO
B
M
?
A
C
(
G 10N2+*T>
!
?
3
4: E:6 :
A*:a(ABC) 3
C
(
4. E$ ;' : Ey ; ' #NT03 $:y E. Ey;$ : E' ; $ #NT03 y:' 6. Luego $:y:' =NN. +n todo tri8ngulo, si se une el "aricentro con los tres vértices se
4 : $;y , E : $;' , 6: y;' +n todo tri8ngulo, al unir el "aricentro con los puntos medios de dos lados cualesquiera, se determina una región triangular cuya 8rea equivale a la doceava parte del 8rea total.
N@.
B 3
-
determinaequivalentes tres tri8ngulos parciales
M
2
B
N
a
6
-
2a
C
A
1
12S 8 A(e" J AC
2
3
C
A
G! ARICENTRO S1 8 S28S3 8
A*:a(ABC) 3
S1 8 2B S 2 8 29 S382/
S8
A*:a(ABC)
L...&.
12
@. i dos tri8ngulos tienen un 8ngulo congruente o 8ngulos suplementarios entonces sus 8reas son proporcionales a los productos de los lados que forman ese 8ngulo que mide igual o suplementarios.
esos
8ngulos B
=NNN. +n todo tri8ngulo, al unir el "aricentro con los puntos medios de los tres lados, se determinan tres regiones equivalentes.
=
A
$
C
AF-AE A*:a ( AFE )
A*:a ( ABC )
2 AB-AC
%:+
2 A*:a ( AFE)
10
AF-AE
A*:a ( ABC)
@N.
4. +ncontrar el 8rea de un tri8ngulo cuyos lados miden 4D, 4E y 4Kcm. 0) 4D 7 1) EK 6 2) 4E
%:+
3) 4K
AB-AC
i dos tri8ngulos son semejantes entonces sus 8reas son proporcionales a los cuadrados del cualquier par de elementos -omólogos.
E. 2alcular
6
el
8rea
+)
6
de
tri8ngulo
equil8tero, sa"iendo que elmide radio de la circunferencia inscrita Ecm. 0) 4E 3 1) H 3 2)K 3 3) E 3 +) H
B BG E
a
1
1
E 1
2
a
2
2
A
b1
AG
C
CG
b2
4. ea la ra'ón de semejan'a de los tri8ngulos 012 y 0I1I2 b1 5 1 a 1 *1 b2 52 a2 *2
...........(4)
b1 -5 1
E.
%1
%2
%1 2 → b 2 -5 2 %2
b1 5 1 b2 5 2
....(E)
2
6. eempla'ando (4) en (E) %1
b1 b 1 %2 b 2 b 2
%1 %
2
b 1 2
b
2
5 1 2
5
%1 %2
2
b1 b2
a 1 2
a
2
2
* 1 2
*
EERCICIOS
2
2
2
6. +n un tri8ngulo 012 las alturas se cortan en %D&. i 02 $ >1 : KE. 2alcular el 8rea del cuadril8tero 012> 0)K E 1) E4 2)4C 3) 6C +)4K K. +n un tri8ngulo rect8ngulo 012 recto en 1, se tra'an la mediana B& y la "isectri' interior BN . 2alcule el 8rea de la región triangular #1*, si 01:Hcm y 12:Kcm. 0) 4,EcmE 1) 4,Kcm E 2) 4,JcmE 3) 4,HcmE +) 4,Ccm E J. +n un cuadrado 01 23 se tra'a la tangente 1T a la semicircunferencia interior de di8metro 03. +n el arco 0T se u"ica un punto por el cual se tra'a una tangente a la semicircunferencia mencionada, B cortando a ABE. 2alcule en 7 y ael 8rea en i 07.!T:Hcm de !. la región triangular 71!. E 0) HcmE 1) 5m 2) 4EcmE E E 3) 4Cm +) EDcm
H. 3os catetos de un tri8ngulo rect8ngulo miden 01 : m y
02 : EKm. 2alcular el 8rea del tri8ngulo rect8ngulo cuyos vértices son el ortocentro, el circuncentro y el incentro del tri8ngulo indicado. 0) 4EmE 1) 4E,JmE 2) 4JmE E 3) EDm +) EJmE . Los lados de un tri8ngulo 012 miden 01 : E4m, 02 : ECm y 12 : 6Jm. e tra'an las "isectrices 27 y 0!, las cuales se cortan en el punto N. 2alcular la el 8rea del triangulo 2N!. 0) EDmE 1) 6DmE 2) KJmE E E 3) Dm +) Jm C. Los catetos 01 y 02 de un tri8ngulo rect8ngulo miden Cm y Hm respectivamente. # y * son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de centro %>& y la e$inscrita relativa al lado 02. Pallar el 8rea del tri8ngulo >#*. 0)4mE 1) EmE 2)6mE E E 3)Km +) Jm 5. Los lados de un tri8ngulo rect8ngulo miden 01 : 6Dm, 02 : KDm y 12 : JDm. e tra'a la "isectri' 1L y la altura 0P cort8ndose am"as en el punto #. 2alcular el 8rea del tri8ngulo 01#. 0) HDmE 1) CDmE 2)5DmE 3)4EDmE +) 46JmE 4D. +n un tr i8ngulo rect8ngulo 01 2 recto en 0, se tra'a 0P altura relativa a la -ipotenusa y las "isectrices 17 y 2+ cort8ndose en y cortando a la altura en G y #. i la distancia de a G# es de Em. 2alcular el 8rea del tri8ngulo G#, si 0+ : Jm y 07 : Hm. 0) 4mE 3) E,JmE
1) EmE +) 6,JmE
2) 6mE
44. +l tri8ngulo 012 tiene como lados 01 : EDm, 02 : H m, 12: 4Dm. e tra'a la altura 2+ y por + se tra'a +# perpendicular a 02. 2alcular el 8rea del triangulo +#2. 0) 4DmE 1) J,JmE 2) CmE 3) ,EmE +) H,EmE 4E. +n un tri8ngulo 012 sus lados miden 01 : 4Em, 12 : 4Hm y 02 : EDm. 7or el punto medio # del lado 02 se levanta una perpendicular que corta al lado 12 en *. Tomando como di8metro #* se construye una circunferencia que corta a 12 en !. 2alcular el 8rea del tri8ngulo #!*. 0) 44mE 1) 4E,JmE 2) 5mE 3) 46mE +) 46,JmE 46. e da un tri8ngulo isósceles 012 (01 : 12) en donde 02 : Jm y la altura 0P mide Km. 2alcular el 8rea del tri8ngulo 1>P siendo %>& la intersección de las alturas 0P y 17 0) EJMHmE 1) mE 2)MCmE E E 3) K5M5Hm +) 4Km 4K. e tiene dos circunferencias e$teriores de radios 4 y C metros respectivamente cuyas tangentes interiores son perpendiculares. 2alcular el 8rea del tri8ngulo formado por dic-as tangentes y una de las e$teriores com/n a las dos circunferencias. 0) KmE 1) CmE 2) 5mE E E 3) 4Dm +) 4Em
AREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Y CIRCULARES 1. :REA DEL CUADRADOJS
2
02 diagonal menor 13 diagonal mayor
45 d L
). :REA DEL TRAPECIO JS 45
:d→L:
2
: LQ → : :
2
2
C
-
E
m
M
2
N
-
A
D
a
: 0rea (∆013) ; 0rea (∆132)
2 2
:
2. :REA DEL PARALELOGRAMOJS b
E
E
: m:
b
b
B
L
L
AC-BD
:
a-5
b-5
2
a
b
2
a
2
b
" "ase menor
2
m mediana -altura
E
a "ase mayor
-5
:m.-
b
a-5 b-5
2
b
,. TEOREMA
:".-
""ase - altura
3. :REA DEL ROMO JS B
i se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los e$tremos del otro lado no paralelo, se forma un tri8ngulo cuya 8rea es igual a la mitad del 8rea del trapecio. B
L
C
L
A
C
"
E 2
X
-
m
M
E
N X
E 2
-
L
L
D
: 0rea (∆012) ; 0rea (∆032) : :
AC-BO 2
AC-OD 2
AC ( BO OD ) 2
A
D
:
A*:a( ABCD) 2
: 0rea (∆2#3)
Demostr%ci1n : E@ : E
!2
5 2
: 0rea (0123)
!-5
:
2
:
5
2
--------(1)
2
51
A*:a (ABCD)
BO 52
2
OD
@. :REA DEL TRAPECIO JS : ".-
AC 5 1
:
7ero m.- : 0rea (0123)
%:+
51
BO
%:+
%:+
52
OD
%:+
uma
-4;-E:13 enα....(E)
0rea (0123)
B
C
(E) en (4)
:
AC-BD %:+ 2
-
M
E
5. TEOREMA +n todo cuadril8tero conve$o se cumple, que al unir los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramoA cuya 8rea es igual a la mitad del 8rea del cuadril8tero.
b
-
A
O
B
A*:a ( ABCD ) A*:a ( C&D) 2 A*:a ( ABCD ) b-5 2 2
: ".-.
C
N
Demostr%ci1n
2
M
(
1
A
L.q.q.d
3
4
D
>
. :REA DE UN TRAPEOIDE JS
:
B
A*:a ( ABCD ) 2
A E E
2
Demostr%ci1n 2omparación de Oreas
1
C
: 0rea (∆023) ; 0rea (∆012) :
AC-5 1 2
AC-5 2
umando las E e$presiones 4 ; 6 :
2
:
7.
A*:a ( BAD ) A*:a ( BCD ) < %3 " "
4 :
D
AC( 5 1 5 2 )
4 ; 6 :
2
FÓRMULA TRIGONOMTRICA JS C
A
"
"
E
"
-----(1)
0nalógicamente A*:a( ABCD) -----(2) E ; K : A$EA ( ABCD )
1
A*:a ( ABCD)
%1 % 3
B E
A*:a ( BAD ) A*:a ( BCD ) "
" %2 %"
A$EA ( ABCD ) "
% A*:a ( ABCD )
: 0rea (0123)
2
D
:
A*:a (ABCD) 2
L.q.q.d
>"servación Ngualando (4) y (E)
: 0rea (0123), p :
4 ; 6 : E ; K
b
a
12. :(e" &el Cu"&(%lte(o %+;nt(%+o JS
JTeo(em" &e Leu&e$&o(*
d
-
C
-a
B
-b
-c
A
c -
D
c
-
I
:
A
:
a bc/
(a c a )(b b)(a c c)(b )
:
2
cab
: 0rea (0123)
S8
Demostr%ci1n :
: :
2
b-*
2
c-*
CUADRANGULARES
13.1 i en un cuadril8tero conve$o se tra'an las diagonales se determina cuatro tri8ngulos parciales y cumple que los productos de las 8reas de los tri8ngulos opuestos son iguales.
-*
2
2
a bc/ * 2
: p.r.
L...&
abc
13. PROPIEDADES DE LAS REGIONES
0rea (0N1) ; 0rea (1N2) ; 0rea (2N3) ; 0rea (0N3) a-*
abc
Demo$t("+%-n 4) 7NTP>T a;c : ";d : p E) Teorema de 1ramagupt-a
D
d
: p.r. p:
2
9 e deja la demostración al lector
16. :REA DEL CUADRIL:TERO CIRCUNSCRITO +n todo cuadril8tero circunscrito a una circunferencia, el 8rea es igual al producto del semiperímetro y el radio de dic-a circunferencia. B
a bc/
S1 . S3 8 S2 . S)
L.q.q.d
C B
11.
:(e" &el Cu"&(%lte(o In$+(%to JTeo(em" &e ("m"0utQ"
:
(p
a )(p
B
b)(p
c)(p
b
a
3
4
D
A
Demostr%ci1n
b
c
2
1
)
C
a
d
A
4) D
2omparación de Oreas %1 %2
a b
<
%" %3
a b
E)
Ngualando %1 %2
Demostr%ci1n
%"
4)
7ropiedad 46.E 0rea (071) : 0rea (273) : @
E)
7ropiedad 46.4 @Q : 4 . E → @ : % : 4 ; E@ ; E ..... (E) (4) en (E)
%3
S1 . S3 8 S2 . S)
L...&
13.2 +n todo trapecio, las 8reas de los tri8ngulos laterales determinados al tra'ar las dos diagonales, son iguales. +s decir dic-os tri8ngulos son equivalentes.
1
6) K)
:(
:(
C
B
1
)Q; E
%1
%1
;
%1 %2
%2
% 2 ---(1)
;(
%2
)Q
)Q
:REA DE REGIONES CIRCULARES
2
E A
D
b
S1 8 S2
Demostr%ci1n 4)
b-5 2
Orea (013) : Orea (023) : 4 ; W : W ; E
E)
CIRCULO. +s la región del plano limitada por una circunferencia Teo(em" 1 . +l 8rea de todo círculo es igual al semiproducto de la longitud de su circunferencia y el radio Orea del 2írculo 2 Longitud de la circunferencia
C82 R
implificando W S1 8 S2
oD
:
L...&.
:
D 2
2R . R 2
S8
R?
3 3i8metro : π 13.3 i 0123 es Trapecio
:
D
2
2
4
C
B X
II.
1
X
2
A
D
4 : 0rea (172) E : 0rea (073) : 0rea (0123) :
adio
D 2
SECTOR CIRCULAR +s la porción del círculo limitada por dos radios Teo(em" 2. +l 8rea de todo sector circular de radio y 8ngulo %α& es 0reacentral del ector 2ircular πQ BBBBBB 6HD? s BBBBBB α?
%1 % 2 2
o
S
R 2
360º
(N)
>escentro E π BBBBB 6HD? esradio BBBBBB α es longitud de arco
2R : 360º
2
i α ; β : 4CD? ⇒en α : en β S8
(NN)
3ividendo N entre NN S
")
R 2
B R
S8
2
SEGMENTO CIRCULAR +s la porción del círculo limitada por una cuerda y su respectivo arco. A o
:
R
360
:
i α ; β : 4CD? : en α : en β
2
R 2Sen 2
S8
R Sen 2 2
IV. a)
A
CORONA CIRCULAR e llama así a la región del plano e$terior a la menor de dos circunferencias concéntricas e interior a la mayor Orea de la 1 2orona 2ircular : π Q B π rQ
R Sen 2 180
S8
0
o
C
o
ONA O FAA CIRCULAR +s la porción de círculo limitada por dos cuerdas paralelas. Las " ases a u n m ismo l ado d el centro. Orea de la faja circular B
< 12 segmento
2
2
03 segmento
R (360 ) Sen Sen 2 180
V.
B
m1>2 : β? : πQ B
: 0rea del egmento 2ircular
2
360º
D
B
:
2
m0>3 : α?
A
R
Las "a ses a di ferentes la dos de l centro. > 2entro C 0rea de la faja circular o
III.
R Sen Sen 2 180º
:
S8 7it8goras
JR? > (?
Q B rQ : :
AB
VI. m0>3 : α m1>2 : β
S 8 03segmento < 12segmento
4
a
la
TRAPECIO CIRCULAR > es el centro es 8rea del trapecio circular o D
b
C E
A
2
2
01 es cuerda tangente circunferencia menor
D
AB 2
a
B
: : S8
2
$
360º
*
360º 2
360
di8metro 02
2
2
(R r )
a b xh 2
a Longitud del arco 01
Demo$t("+%-n. 4.
4 :
8
6 : E.
8
01Q, E : 02Q
4 ; E :
8
(01Q ; 12Q)
8
6.
4 ; E :
K.
S1 = S2 8 S3
02Q L.q.q.d.
LUNULAS DE HIPÓCRATES
1
X
A
B
Un Tercio de circulo
R 2
R 2
2
3
4 y E son 8reas de las l/nulas. Orea del tri8ngulo 012 S1 = S2 8 S Demo$t("+%-n 7or la propiedad 4
6" Un cuarto de circulo Un e$to de circulo
(4 ; @) ; (E ; W) : (@ ; ; W)
PROPIEDAD 1 B
1
o
A
S1 = S2 8 S
2
L.q.q.d.
PROPIEDAD 2
C
3
B
S 8 S2 S1
S1 = S2 8 S3 4 E 6
2
La #itad de circulo
12"
o
12Q,
" Longitud del arco 23 OSERVACION +n algunos pro"lemas donde no sea necesario resaltar el 8ngulo central del sector circular al que -agamos referencia escri"iremos las e$presiones directas para el 8rea, como una fracción del círculo correspondiente
8
Orea del semicírculo de di8metro 01 Orea del semicírculo de di8metro 12 Orea del semicírculo de
X A
1
0 <
2
0rea del tri8ngulo 012
C
Demo$t("+%-n 7or la propiedad 4 (W;@;4);(4;V;X) : (W ; E ; X) $ ; 4 ; y ; 4 : E
; 4 : E
S 8 S2 > S1
L.q.q.d.
PROPIEDAD 3
B
1
2
3
A
C
4
S) 8 S1 = S2 = S3 Demo$t("+%-n 7ropiedad E K < 6 : 0rea (012) L/nulas 4 ; E : 0rea (012) Ngualando K < 6 : 4 ; E S) 8 S1 = S2 = S3
L.q.q.d.
PROLEMAS PROPUESTOS 4. Las diagonales de un cuadril8tero miden 6Dm y KDm. 2alcular el 8rea del cuadril8tero sa"iendo adem8s que dic-as diagonales forman un 8ngulo de 6D. 0) 4DDmE 1) EDD mE 2) 6DD mE 3) KDD mE +) JDD mE E. o"re la circunferencia de un cír culo de Hm de radio se toma el punto %#&, luego -aciendo centro en %#& y con radio 6 2 m. se tra'a un arco en el interior, cortando a la circunferencia en los puntos 0 y 1. 2alcular el 8rea de la l/nula que se -a formado.
0) 4EmE 1) ED mE 3) 6H mE +) KH mE
2) 6D m
E
6. e ti ene un re ct8ngulo 012 3 en la que 01 : 4Em y 12: HmA se toma como di8metro 01 y se construye el semicírculo en el interior del rect8ngulo y luego -aciendo centro en 0 y 1 se construyen en el interior del cuadrado, cuartos de círculos. 2alcular el 8rea com/n a los tres arcos. 0) H( 3 3 B π) 1) H( 3 2 B π) 2) K( 3 3 ; π) 3) E( 3 3 B π) +) 6( 3 3 ; π) K. 0123+, es un -e$8gono regular da lado Hcm. 2on centro en %0&, se tra'a un arco 2+. Luego con centro en %3& se tra'a un arco de radio Hcm. -allar el 8rea de la región que encierran dic-os arcos. 0) (6Dπ B 36 3 ) 1)(6DπB 3 2 ) 2) ( 3 3 ;Hπ) 3) ( 3 3 B 6Dπ) +) ( 3 3 B 6Hπ) J. 02 es di8metro de una semicircunferencia circunscrita al tri8ngulo isósceles 012. 2on centro en 0 y radio 02, se tra'a un arco 2, estando en la prolongación de 01. Luego e$teriormente al tri8ngulo 012 se di"uja otra semicircunferencia de di8metro 0. Pallar el 8rea de la región que encierra las curvas 012, 2 y 0, si la región triangular 012 tiene un 8rea de CmE. 0) KπmE E 3) Cπ m
1) J πmEE +) 4Hπm
2)Hπ mE
H. o"re el di8metro 02 de un semicírculo se toma el punto 1 y se di"uja interiormente dos semicircunferencias 01 y 12 (01>12). Pallar el 8rea de la región que encierran los arcos 01, 12 y 02,
si el segmento tangente com/n a 01 y 12 mide Ccm. 0) HKπcmE 3) 4HπcmE
1)EKπcmE 2)6EπcmE +) CπcmE
. Un rect8ngulo de KCm E de superficie esta inscrito en una circunferencia de 4D metros de di8metro. Pallar el perímetro del rect8ngulo 0) KCm 1) ECm 2)6Dm 3) KDm +) EJm C. +n el interior de un rect8ngulo 0123, se u"ica el punto %7& y en 03 se u"ica el punto %#&, tal que el tri8ngulo #73 es equil8tero. 2alcular el 8rea de la región cuadrangular 1327, si #3: E0#:4Eu. 0) 2) 3)
27
18
2 3u
3u 3u
1)
3u 2
2
2
+) )"
3u
2
5. Pallar el 8rea de un trapecio rect8ngulo cuyas "ase miden K y 46 metros, sa"iendo que una diagonal es perpendicular a un lado 0) KEmE 3) 6HmE
1) J4mE +) HD mE
2)HKmE
4D. e tiene un cuadrado 0123, en la prolongación de 03 se u"ica el punto %#& y en 23 al punto %L& tal que 3#*L sea un cuadrado y 0#:4Du. 2alcular el 8rea de la región cuadrangular 01*# 0)EJ uE 3)4DD uE
1) 6D uE +) HD uE
2)JDuE
44. Pallar el 8rea de un rom"o 0123 si %#& "iseca a 12A 0# corta 13 en , #:Eu y <1#:KJ. 0) 4EuE 3) KCuE
1) EKuE +) HDuE
2)6HuE
4E. Pallar el 8rea de un trapecio rect8ngulo 0123, si 03⊥32A la "ase
menor es 32:KA el lado no paralelo 21 : 46 y la diagonal 31 : 4J. 0) HCuE 1) CuE 2)CCuE 3) 5CuE +) 4DD uE 46. Pallar el 8rea de región limitada por el rect8ngulo 0123. i las proyecciones de 01 y 03 so"re 02 son Km y Cm repectivamente 2
12 2 m 0) 2 "8 2 m 13 3 m2 3)
2
1) 2" +) 26
2 m 2 3 m
2)
rect%s< 2'%nos, Diedros< triedros = 2o'iedros
GEOMETR
3ada una recta cualquiera L, -ay por lo menos un punto 7, tal que 7 no pertenece a L. 3ado un plano cualquiera #, -ay por lo menos un punto 7, tal que 7 no pertenece a #.
".
POSTULADOS DEL PLANO a. Todo plano contiene al menos tres puntos no colineales. ". 3os pu ntos cu alesquiera d e un plano determinan una recta, que esta contenida en el plano.
c.
Do$ (e+t"$ $e+"nte$. L1
L2
"
R
d.
Do$ (e+t"$ "("lel"$. L1
L2
U
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO a. Re+t"$ $e+"nte$.B 2uando se
POSTULADOS DELcontiene ESPACIO a. +l espacio al menos cuatro puntos que no son coplanarios. ". 7or u n p unto d el e spacio p asan infinitas rectas. c. 7or u na recta d el e spacio p asan infinitos planos. DETERMINACIÓN DE UN PLANO Un plano queda determinado por a. T(e$ unto$ no +ol%ne"le$.
intersectan y tiene por tanto un punto com/n. Las rectas secantes son coplanares.
L1
P
".
Re+t"$ "("lel"$.B 2uando se encuentran en un mismo plano y no se intersectan.
-B P
".
-A
-
C
L
Un" (e+t" 9 un unto eBte(%o( " ell".
-
A L
E
L2
1
L2
E
c. Re+t"$ +o%n+%&ente$.B 2uando se superponen, para lo cual "asta que tenga dos puntos comunes.
L L
1
'.
2oincidentes. La recta est8 contenida en el plano, en cuyo caso todos los puntos de la recta pertenecen al plano. 7ara que sean coincidentes, "asta que la recta y el plano tengan dos puntos comunes.
2
d. Re+t"$ "l"'e"&"$ .B Llamado tam"ién rectas que se cru'an, son aquellas rectas que no est8n en un mismo plano y no tiene ning/n punto com/n.
L L
B 1
L
2
M
A
R
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA UN PLANO 3ados una recta L y un plano #, que pueden estar situadas de tres distintas maneras. ". ecantes.> Cu"n&o $e %nte($e+t"n l" (e+t" 9 el l"no $-lo t%enen un unto +om[n. L
M
+.
7aralelos.B +n cuyo caso no tienen punto com/n alguno. L
M
P(o%e&"& 7ara que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que dic-a recta sea paralela a una recta del plano. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS a. Pl"no$ $e+"nte$.B 2uando se intersectan y tiene por tanto una recta com/n llamada intersección de dos planos. L
RECTAS !ER!ENDICULARES
".
Pl"no$ "("lelo$.B on aquellos que no tienen punto com/n alguno.
P
PLANO. La longitud del segmento de perpendicular tra'ada del punto al plano.
O
c.
on aquellas dos rectas que al interceptarse o al cru'arse en el espacio forman 8ngulo recto. ANGULO DE UNA RECTA SECANTE CON UN PLANO +s el 8ngulo que -ace la recta con su proyección so"re el plano. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN
Pl"no$ +o%n+%&ente$.B 2uando se superponen, para lo cual "asta que tenga tres puntos comunes no colineales.
MENOR DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS UE SE CRUAN +s la longitud del segmento de perpendicular, com/n a am"as.
>
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO i una recta es perpendicular a un plano entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano. P(o%e&"& 7ara que una recta sea
P
ANGULOS ENTRE DOS RECTAS ALAEADAS +s el 8ngulo que forman uno de ellos con una paralela a la otra tra'ada por un punto cualquiera de la primera.
L1
L3
L2
perpendicular a un plano condición necesaria y suficiente queesdic-a recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano. TEOREMA DE LAS 3 PERPENDICULARES i desde el pie de una perpendicular a un plano tra'amos una segunda perpendicular a una recta del plano, entonces toda recta que une el pie de la segunda perpendicular con un punto cualquiera de la perpendicular al plano ser8 perpendicular a la recta del plano.
α +s el 8ngulo que forman las rectas
que se cru'an L4 y LE
m732 : 5D? ANGULO DIEDRO C A +s la figura formada por dos D semiplanos que tienen la misma recta B deMsrcen com/n
0 los semiplanos se les denominan caras y a la recta com/n arista a.
diedro. +l 8ngulo y el diedro son suplementarios.
La medida de un 8ngulo diedro θ esta dada por la medida de su 8ngulo plano o rectilíneo que es aquel 8ngulo determinado al tra'ar por un punto cualquiera de la arista 01, dos rectas perpendiculares a la arista, una
m2 ; m : 4CD?
=
contenida en cada cara. A
A
D
> $
C
B
(
".
'.
B
RECTA DE M:IMA PENDIENTE i dos planos se interceptan, la recta de uno de ellos, que forma el 8ngulo m8$imo con el otro, es perpendicular a la intersección de am"os planos.
$
Los diedros se clasifican similarmente a los 8ngulos en el plano SEMIPLANO ISECTOR +s aquel semiplano que partiendo de la arista de un diedro, lo divide en dos diedros de igual medida.
Pipótesis Tesis 0 ∈7 m012 m032 02 ⊥ ! 01 ⊥ #* 01 ecta de m8$ima pendiente A
+#N7L0*> 1N+2T>
>
7# : 7*
M
C
α
M
α N
P(o%e&"&.B Todo punto so"re el semiplano "isector, se encuentra a igual distancia de las caras del diedro. TEOREMA i los lados de un 8ngulo plano son perpendiculares a las caras de un
D
B
N
PLANOS PERPENDICULARES on aquellos planos que al interceptarse forman diedros rectos. a. i u na r ecta e s pe rpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella es perpendicular al primero. ". i dos planos son perpendiculares entre sí, toda recta contenida en uno de ellos y
B 2aras B =értice B 0ristas B 3iedros
a b c
perpendicular a al suotro intersección, es perpendicular plano.
$
a, ", c +l punto = =0, =1, =2. α , β, γ
A
B
-
C
*otación
AREA DE LA PROECCIÓN DE UN TRIANGULO EN EL PLANO B
Triedro =B012
PROPIEDADES DE LOS TRIEDROS a. +n todo tri edro, una cara es meno r que la suma de las otras dos, pero mayor que su diferencia.
A
" < c F a F " ; c
". C
0rea (0P2) : 0rea (012). 2os θ 0*GUL> 7>LN+3>, LN3> > 0*GUL>N3+ +s la figura formada por tres o m8s planos (caras), que se cortan dos a dos y cuyas intersecciones (aristas) concurren en un mismo punto denominado vértice. ANGULO TRIEDRO +l triedro es un 8nguloide de tres caras, tres aristas y tres diedrosA es el 8ngulo poliedro de menor n/mero de caras que puede -a"er, no pudiendo ser m8s que conve$o.
+n todo triedro, l a s uma de s us caras es mayor que D? pero menor que 6HD?. D? F a ; " ; c F 6HD?
c.
+n todo triedro a m ayor cara se opone mayor diedro y a caras congruentes se oponen diedros congruentes.
d.
+n todo triedro, l a s uma de s us diedros es mayor que 4CD? pero menor que JKD?
CLASES DE POLIEDROS
a. ". c. d. e. f. g. -.
CLASIFICACION DE TRIEDROS Triedro escaleno us 6 caras tienen diferentes medidas. Triedro isósceles 3os de sus caras miden iguales. Triedro eq uil8teros us 6 caras tienen igual medida (no necesariamente de HD?) Triedro rect8ngulo Una de sus caras miden 5D?. Triedro "irect8ngulo 3os de sus caras miden 5D? cada una. Triedro trirect8ngulo us 6 c aras miden 5D? cada una. Triedro imétrico +s aquel formado por las prolongaciones de las aristas de un triedro. Triedro polar o suplementario 3os triedros son suplementarios cuando las caras de uno son los suplementos de los diedros del otro. POLIEDROS
a.
7oliedros 2onve$os.B 2uando al considerar cualquiera de las caras, todo el sólido queda a un mismo lado de él.
".
7oliedros 2óncavos.B 2uando al considerar alguna de las caras, todo el poliedro queda repartido a uno y otro lado de la
cara considerada. TEOREMA DE EULER +n todo poliedro se cumple que su n/mero de caras m8s el n/mero de vértices es igual al n/mero de aristas m8s E. 2 ; = : 0 ; E TEOREMA +n toda poliedro la suma de los 8ngulos en todas sus caras es igual a 6HD? por el n/mero de vértices menos E.
on aquellos sólidos limitados por cuatro o m8s regiones poligonales planos no coplanares llamados caras. +lementos B 2aras on polígonos B 0ristas >0, >1, 01,..... B =értices >, 0, 1,.... B3iagonal +s el segmento que une dos vértices que no est8n en la misma caras. B 3iedros B Ongulos poliedros O
D
A
C B
0ng. : 6HD? (=BE) caras PROBLEMAS PROPUESTOS
4. La distancia del punto %7& del espacio, a un plano %P& es 4Jm y la proyección de (> so"re el plano %P& mide Cm, ! ∈L y L ⊂ %P&. Pallar la distancia de %7& a L. 0)4m 1)4Cm 3) EDm +) 1
2)45m 2m
E. 3ado el rect8ngulo 0123, 01 : Em y 12 : Km. 7or el vértice %1& se levanta un segmento B$ de longitud 6m perpendicular al plano del rect8ngulo. i %#& es punto medio de AD . Pallar $M 0) 13 m 1) 17 m 2) 8m
3)
1 m
+)
21m
6. 3esde un punto %7& a un plano, se tra'an las o"licuas 70 y 71 (0 y 1 so"re dic-o plano), formando los 8ngulos de 6D y KJ respectivamente con el plano. i 70: H. Pallar 71 0)6 1) 3 2 2) K 3)
3
3
+)
2
6
K. 3el centro %>& del círculo circunscrito a un tri8ngulo equil8tero 012 de lado %a& se levanta la perpendicular >3 al plano del tri8ngulo y se une el punto 3 con los tres vértices del tri8ngulo 012. 2alcular la longitud del segmento >3 para qu e el t riedro sea trirect8ngulo. 0)a 1)aME2)D,Ja 3) D,K4a +) E J. +n un triedro 012, el diedro 0 es recto y las caras 01 y 02 son tri8ngulos de KJ. 2alcular la cara 12. 0)6D 1)HD 2)D 3) 5D +) 4ED H. e tiene un tri8ngulo 012 de 8rea JDcmQ por 01 se pasa un plano que forma un diedro con el plano el tri8ngulo. Y2u8l es el 8rea del tri8ngulo proyectado so"re el plano, si el diedro mide HD?Z 0) 4DDcmQ 1) KDcmQ 2) 6DcmQ 3) EJcmQ +) JDcmQ . Y2u8l es el 8rea de la proyección de una cara de un tetraedro regular so"re otra cara cualquiera, si la 3
arista del tetraedro 3 cmQE 0) D.CcmQ 1) mide 2)D.JcmQ 3) 2 cmQ +) E 3 cmQ
cmZ
C. +n el tri8ngulo 012 recto en 1, 01:6, 12:KA so"re la perpendicular al plano del tri8ngulo levantado por el vértice 1 se toma un punto .
Pallar la distancia de al lado 02, si 1 : 4,C 0)4 1) E 2) 6 3)6,J +)K 5. 012 es un tri8ngulo rect8ngulo isósceles (01 : 12 : E). 7or %2& se levanta 2T perpendicular a su plano. Pallar T# siendo # punto medio de 01 adem8s T2:02 0)4 1)4,J 2)E 3)6 +)6,J 4D. 3esde un punto %7& de la cima de un poste se o"serva los puntos 0 y 1 del suelo a una misma distancia, adem8s el 8ngulo 170 : HD. Pallar la altura del poste sa"iendo que el 8ngulo que forma 70 con el suelo es KJ y que 01 : 4D 0)J 1)4D 2)4J 3)4E +)J 2 44. e tiene un cuadrado de lado igual a K. 7or 1 se levanta 17 perpendicular a su plano, tal que 17 : . i %#& es punto medio de 23. Pallar la medida del 8ngulo formado por 7# y 03. 0)6D 1)KJ2 )6 3)J6 +)HD 4E.
+n un pl ano %P & est8 contenido una circunferencia de centro %>& y radio Jm así mismo la longitud de la cuerda #* es Cm, 7or %>& se levanta la perpendicular >0 al plano %P&. iendo el 8ngulo que forman el plano %P& y el plano 0*# de J6, calcular el 8rea de la región triangular. 0) 4DmE 1) EDmE 2)6DmE 3) KDmE +) KCmE
S$LIDOS GEOM6TRICOS
I. PRISMA +s el sólido geométrico que tiene por "ases polígonos paralelos e iguales y por caras laterales paralelogramos.
aL E
BA$
A/A LA$AL
CAA LA$AL
=olumen : 1 . BA$
III.
PRISMA R EGULAR +s un prisma recto, cuyas "ases son polígonos regulares.
CLASIFICACIÓN
N. Los prismas se cl asifican se g/n sus "ases en a) 7risma triangular, si su "ase es un tri8ngulo. ") 7risma cuadrangular, si su "ase es un cuadril8tero. c) 7risma pentagonal, si su "ase es un pent8gono.
IV. PRISMA OLICUO +s aquel prisma cuyas aristas laterales son o"licuas a las "ases, sus caras laterales son paralelogramos (rom"oides), la altura es menor que la arista lateral. Se++%-n Re+t" &el P(%$m" JS R
II.
+s la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales.
PRIMA RECTO.
+s aquel prisma que tiene sus
aristas laterales perpendiculares a las "asesA sus caras laterales son rect8ngulosA arista lateral igual a la altura del prisma. 0L : 0rea Lateral Ep1 : 7erímetro de la "ase 1 : 0rea de la "ase
BA$ $CC/N $CA
E
0L : (Ep1) (-) - : 0ltura 0T : 0rea total 0T : 0L ; E1
(LANO
: Orea de la sección recta. Ep : 7erímetro de la sección recta. 0L : (Ep) (aL) aL : 0rista lateral 0T : 0L ; E1 =olumen : 1.-
=olumen : . aL
V. PARALELEP
Cl"$%*%+"+%-n a) 7aralelepípedo ectangular
D
a a
+s un prisma, llamado tam"ién caja rectangular, ortoedro o
a
a
rectoedro. rect8ngulos.Todas sus caras son
=olumen : a6 0L : KaQ
c D
c
0T : HaQ
b
b
3:a
a
3
+ ROMOEDRO +s un paralelepípedo o"licuo. Todas sus caras son rom"os.
=olumen : a"c 0L : Eac ; E"c
T>*2> 3+ U* 7N#0 TN0*GUL0 +2T> +s el sólido que se determina al interceptar a una prima recto con un plano no paralelo a su "ase.
0T : 0L ; E1 0T : Eac ; E"c ; Ea" 3Q : aQ ; "Q ; cQ
a
*ota (a;";c)Q : aQ;"Q;cQ;Eac;E"c;Ea"
uma de las Q 6 dimensiones :
3Q ; 0
1
c
b B
T
=olumen : 1
a b c 3
0T : 0 L ; 1 ; 4 '
CUO O HEAEDRO R EGULAR +s paralelepípedo en el cual todas sus caras son cuadrados.
TRONCO DE UN PRISMA RECTANGULAR OLICUO
+s el sólido que se determina al interceptar a un prisma o"licuo con un plano no paralelo a su "ase. 0T : 0L ; 1 ; 4
a E
1
1
c
b
E
B
2
=olumen :
=olumen : 1
E3
a bc 3
(51 5 2
53)
N.
7or e l n /mero d e l ados d e s u "ase en a) 7ir8mide triangular, si su "ase es un tri8ngulo, llamado tam"ién tetraedro. ") 7ir8mide cuadrangular, s i su "ase es un cuadril8tero. c) 7ir8mide pentagonal, si su "ase es un pent8gono, etc.
II. PIR MIDpir8mide E REGULcuya AR . "ase es +s:una un polígono regular, sus caras laterales son tri8ngulo isósceles iguales. +l pie de la altura coincide con el centro de la "ase. APOTEMA 3+ U*0 7NO#N3+ +GUL0 +s el segmento perpendicular tra'ado desde el vértice de la pir8mide a una arista "8sica.
3
aL
PIR:MIDE +s el sólido geométrico que tiene como "ase un polígono que tienen un vértice com/n que viene a ser el vértice de la pir8mide y los otros dos vértices de cada tri8ngulos coincide con los vértices de la "ase respectivamente.
E
A
o
L
a L
0p : 0potema de la 7ir8mide ap : 0potema de la "ase. 0pQ:-Q;apQ
a
Q : -Q ; Q
L
: adio de la circunferencia circunscrista a la "ase. 0L : emiperímetro de la "ase $ 0 p
$/C$ CAA LA$AL A/A LA$AL
0T : 0L ; 1
E
E
=olumen : A/A B/CA
Cl"$%*%+"+%-n
A*:a : =a ba: 5 3
BA$
III.
PIRAMIDE I RREGULAR!
+s aquella que no cumple con las condiciones de la pir8mide regular. TEOREMA i se corta una pir8mide cualquiera por un plano paralelo a la "ase se o"tiene una pir8mide parcial semejante a la pir8mide total. P(o%e&"&e$ 4)
puntos medios de las "ases de una cara lateral.
b E
i dos pir8mides semejantes, las 8reas deson sus "ases son proporcionales a los cuadrados de sus dimensiones -omólogas. Los vol/menes de dos pir8mides semejantes, son proporcionales a los cu"os de sus dimensiones -omólogas.
E)
A
B
0L : (p" ; p1) 0p 0T : 0L ; " ; 1 p" y p1 emiperímetro de "ases. =olumen :
5
7ir8mide B3+ ∼ 7ir8mide < 012
3
(% b % B % b - % B )
PROLEMAS RESUELTOS
D4.
E D
Pallar el n/mero de caras de un prisma que tiene 6HD aristas
= $
a) 4ED d)4E6
")4EK 4E4 c) 4EE e)
Resolución
A
2 */mero de 2aras del prima $ */mero de 2aras laterales
C B
%D %E %F 5 %A %B %C ' A*:a( DEF) A*:a(ABC)
%D 2 %A
2
--
3
120
2 : $;E → 2: 4ED;E
52 '
360
2
C 8 122 Rt". + 3
3
V=@!:+ /: =a p>*?!>/: % DEF %D 5 V=@!:+ /: =a p>*?!>/: % ABC %A 3 ' 3
TRONCO DE PIR:MIDE REGULAR +s el sólido que se determina al interceptar a una pir8mide regular con un plano paralelo a su "ase. us caras laterales son trapecios isósceles iguales. Aotem" &el T(on+o &e P%(m%&e Re0ul"( +s el segmento que une los
E.
Pallar el n /mero de v értices de un prisma que tiene 4ED aristas.
a) CD d)C6
") C4 e)CK
c) CE
Reso'/ci1n = */mero de vértices del prisma @ */mero de caras laterales @:
120 3
→ $ : KD
= : E$ →
= : E(KD)
aE ;
V 8 76 Rt". " Pallar la suma de las medidas de los 8ngulos de todas las caras de un prisma que tiene %0& aristas
6.
a) 4ED? (0BE) ") 4CD? (0BE) c) 6HD? (0BE) d) EKD? (0B6)
4)
*/mero de caras laterales uma de las medidas de los 8ngulos de todas las caras del prisma. : E 4CD?($BE);6HD?$ ..(4)
E)
$:
6)
eempla'ando (E) a (4)
A 3
J.
Rt". &
") 4H c) ED d) EK e) EC
Re$olu+%-n
x a
x
6
a
$:
D
a
2 2
4) 3ato 3 : ED 3 cm...(4) E) ormula 3 : a 3 ...(E) 6) aNgualando 3 : ED (E):(4) 3 cm a : EDcm a : Edm K) =olumen : a6 =olumen : (Edm) 6 Volumen 8 7&m3 Rt". e
H.
2alcular el volumen de una pir8mide regular, si su apotema mide 4J y la arista de la "ase mide 4C 3
a) 64K 3 ") HEC 3 c)5E 3 d) 54H 3 e) KEC 3
a
4) E$ : a
2alcular el volumen de un -e$aedro regular cuya diagonal mide ED 3 cm. a) CD cm6 ") CDD cm6 c) KDD cm6 d) CD dm 6 6 e) C dm
a
La distancia de un vértice al centro de la cara opuesta de un 6 . 2alcular el 8rea cu"o es total.
a) 4E
:H
a
: 4ED?0 < ED ; 4ED?0 : EKD? 0 < ED?
K.
2
a
A A 2 360 º 3 3
S 8 2)6JA>3
2
Re$olu+%-n
....(E)
: 6HD?
a 2
aE : K K) 0T 0rea Total 0T : HaE 0T : H(K) AT8 2) Rt". &
e) EKD? (0BE) Re$olu+%-n @
2
...(4)
E) 7it8goras a E;$E: 6 E ...(E) 6) eempla'ando (4) en (E)
C. Reso'/ci1n E
15
a) 4DD d)CD
.
H H
3"
6"
3
18
Reso'/ci1n
B 5
=olumen :
6)
1 0rea de la "ase
K)
3
2
.
3
2"3 3 12
K :
3
=olumen :
30() 2
Rt". +
") HcmE c) CcmE e) KcmE
5 ( B b B-b ) 3
6 16 b 16 -b 3
6b:4H ;";K b b 2 6 : 4H ; $E ; K$ $E ; K$ < E4 : D ($ ; ) ($ B 6) : D $:6 2 ' 838 5
3"
3
Reso'/ci1n =olumen :
triangular
5
+l volumen de un tronco de pir8mide cuadrangular regular es Kcm6. i su altura mide Hcm y el 8rea de una de sus "ases es 4HcmQZ Y2u8l es el 8rea de la otra 1aseZ
a) 6cmE d) 5cmE
prisma
pípedo.
1 : EK6 3 ..(6) eempla'ando (4) y (6) en (E)
Volumen 8 52
del
..(E)
"
=olumen
volumen
o"licuo vale la mitad del paraleleB
E)
18 3
c) 5D
3
3 7it8goras E - ;5E :4JE - : 4E...(4)
B
") 4EJ e)J
.
3"
+l
4)
2alcular el volumen de un prisma triangular o"licuo. i el 8rea de una cara lateral es 6D y la distancia de la arista lateral opuesta a dic-a cara es J.
Rt". &
=olumen : J
pta. e
EERCICIOS 4. +n un prisma recto triangular 012 < 0I1I2I, #1I: J, 01 : 12 : H, m∠012 : 4ED. 2alcular el volumen del prisma si %#& es punto medio de 02. 0)4E 2 1)EK 3 2)EK 2 3)6H 3 +)4C 6 E. 2alcular el volumen de un prisma recto 0123 < 0I1I2I3I cuya "ase 0123 es un trapecio isósceles, sa"iendo que 00I : 03 : E12 : 4E y 01 : J. Las "ases son 03 y 12 y 03> 12. 0) K6E 3) 4DK
1)4JH +) 6DD
2) 64E
3% +n un recipiente c/"ico que contiene
6Jm6 de agua se introduce un cu"o maci'o de modo que el agua se eleva -asta alcan'ar el nivel del recipiente. i la arista del cu"o maci'o es la mitad de la arista del recipiente, calcular el volumen del recipiente. 0) EDm6 1) KD m6 2)HD m 6 6 3) CD m +) 4DD m6
total es CCcm E. 2alcular el volumen del paralelepípedo. 0) 6Ecm6 1) HDcm6 2)6Hcm6 3) EKcm6 +) KCcm6 H% La "ase de un prisma recto es un
rom"o de 8rea . Las 8reas de las secciones diagonales son iguales a 4 y E. Paller el volumen del prisma.
4% La "ase de un prisma triangular
0)
regular es inscripti"le en una circunferencia de radio igual a C √6 cm. i la altura del prisma es el do"le del apotema de la "ase. Pallar el 8rea lateral del sólido. 0) JH 3 1) 45E 3 2) JH 3) ECC 3 +) ECC 5% +l desarrollo de la superficie lateral
de un prisma triangular regular es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 6m. Pallar el volumen del prisma. 0) 6 ME 1) E 6 M6 2) E 6 3) 6 6 ME +) 6 6 6% 2alcular el volumen de un prisma
regular cuadrangular 0123 < +GP, si el 8rea de la "ase es Km E y m ∠+1P : 6D. 0) 4Hm6 1) H 3 m6 2)C 2 m6 3) K 6 m6 +) J m6 2alcular el volumen de un prisma 7% regular de "ase pentagonal si se sa"e que el apotema de la "ase mide Ku y el 8rea de una cara lateral es 4H uE. 0) CDu6 1)4EDu6 2)4KDu6 6 6 3) 4HDu +) 4CDu arista lateral de un 8% La paralelepípedo rectangular mide Kcm y las otras dos medidas est8n en la relación de 4 a 6. i el 8rea
%%1%2 6
%%1%2
1)
2)
%%1%2 "
3)
%%1%2 3
%%1%2
+)
2
1"% 2alcular el volumen de un rectoedro,
sí su diagonal mide 4D y forma un 8ngulo de KJ con la "ase y un 8ngulo de 6D con una cara lateral. 0) 4ED 1) 4ED 3) 4DD +) 4EJ
2 2
.
2) 4EJ
11% +n
una pir8mide triangular, su apotema mide 4H y sus aristas laterales miden ED. Palle el 8rea lateral de dic-a pir8mide. 0) JD 1)HDD 2)JH 3) H4D +) H4H
4E.
i una pir8mide posee EKE aristas. 2alcular su cantidad de vértices y su cantidad de caras. 0) 4ED A 4ED 1) 4EE A 4EE 2) 4EK A 4E4 3) 44C A 4EH +) 4EH A 44C
CILINDRO Y CONO CILINDRO RECTO O CILINDRO DE REVOLUCIÓN +s el sólido generado por un rect8ngulo cuando gira alrededor de uno de sus lados tomado como +b+.
" a
emiBeje menor emi < eje mayor
→ →
: πa"
DESARROLLO DE SU SUPERFICIE BA$
,n,a*.?
>
:
LA$AL
EE DE UN TRONCO DE CILINDRO +s el segmento de recta que une los centros de las "ases de un tronco de cilindro, es igual a la semisuma de la generatri' m8$ima y la generatri' mínima
2
4. E. 6.
Lateral : Eπrg Total : Eπr (g ; r) =: π rQ -
CILINDRO OL
+b+ :
i se corta a un cilindro recto con dos planos paralelos se o"tiene un cilindro o"licuo cuyas "ases son elipses. $L/$ $CC/N $CA
:
O
R
TRONCO DE CILINDRO RECTO +s el sólido que se determina al cortar a un cilindro recto con un plano secante no paralelo a sus "ases.
001
2
4. E. 6.
Lateral : Eπ . +b+ Total : E π . +b+ ; πQ ; πa" =: πQ . +b+
E
>
$L/($
O
1
$L/$
4.
Lateral : Eπde g la ección ecta : adio
$,
o
:
C@CLO
E.
Total : Lateral ; E 1ase
6. =olumen : ección recta $ g =olumen : 1ase $ -
ELIPSE a b
CONO RECTO O DE REVOLUCIÓN
+s el sólido generado por la rotación de un tri8ngulo rect8ngulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos, tomado como eje. +l cateto eje es la altura del cono, el otro cateto es el radio de la "ase y la -ipotenusa es la generatri' del cono.
E
$L/$
:
E
De$"((ollo &e $u $ue(*%+%e :
TRONCO DE CONO RECTO O DE REVOLUCIÓN +s el sólido que se determina al cortar a un cono recto con un plano paralelo a su "ase. e puede considerar como el sólido generado por la rotación de un trapecio rect8ngulo alrededor del lado perpendicular a las "ases.
: LA$AL
:
E
4. Lateral : πrg Lateral : πgQ α:
*
º
360º
- 360 º
4. Lateral : πg (r ; )
E. Total : πr (g ; r) 6. = :
1 3
E. Total : πg . (r ; ) ; π(Q ; rQ)
πrQ-
CONO OL
1 3
1ase . - :
1 3
πa"-
1ase : π a"
6. = :
5
3
(Q ; rQ ; r)
A 15
:J
PROLEMAS RESUELTOS 4.
+n la figura %>& es el centro de la, "ase inferior del cilindro cuya 8rea lateral se desea calcular, si >0 : 4H. 0) 5Hπ 1) CKπ 2) 4ECπ 3) 46Eπ +) 4DHπ
=olumen : πE(4D) =olumen : πJE(4D) Volumen 8 2,6
6.
Re$olu+%-n
"
Rt". "
+n u n c ono r ecto d e r evolución cuya altura mide H la mediatri' de una de intercepta a la sus alturageneratrices tal que el segmento de mediatri' determinado mide E. Pallar el 8rea lateral del cono.
A 15
a) 4Hπ d) 6Dπ
16
x "
4) E) 6)
16
→
"
: 2
Tri8ngulo >10(4J? y J?)
$:
c) EKπ
Re$olu+%-n
B
") EDπ e) Eπ
6
2
$:K
: 2
elaciones #étricas - : 4H$ - : 4H(K) : HK 0L 0rea lateral 0L Eπ0L Eπ(HK) AL 8 127
4) 0L 0rea lateral del cono 0L : πg ........(4) E) emejan'a de tri8ngulo ; $ 2 6 2
Rt". +
E.
2alcular el volumen de un cilindro de revolución de 4Dcm de altura. i el desarrollo de su superficie lateral tiene por 8rea 4DDπcmE a) EJDπcm6 ") EKDπcm6 6 c) E4Dπcm d) CDπcm6 Re$olu+%-n
g : EK ........(E) 6) eempla'ando (E) en (4) 0L : π(EK) AL 8 2)
Rt". +
EJERCICIOS
E F 1"
1""
1"
1% $; d,+ao;;o d, ;a + ,.c., ;a*,a; d, n c.;.ndo ,c*o ,+ n cadado d, P,a QR% Ca;c;a ,; So;m,n d,; c.;.ndo%
Eπ (4D) : 4DDπ
A)
S
#2 π
D)
S
#5π
B)
S
#3TTπ
C)
#4π $)
S
#4π
S
o"tiene al desarrollar el 8rea lateral del cono es ECC y la generatri' es 4Dm. 0) EKπm6 1) 4ECπ 2) 6Eπ 3) 6Hπ +) 4DDπ
2% n c.;.ndoU c!a a;*a ,+ .:a; a; d.Pm,*o d, ;a ba+,U *.,n, n P,a *o*a; d, 12πcm2% Ca;c;a + So;m,n% A) 8πcm3 D) 4 2 πcm3
B)16πTm3 C)32πcm3 $) 8 2 πcm3
5.
3% $; d,+ao;;o d, ;a + ,.c., ;a*,a; d, n c.;.ndo *.,n, na d.a:ona; .:a; a 13% . ;a a;*a d,; So;m,n 9 c.;.ndo m.d, 5U ca;c;a + A) 72"#V B)18"#V C) H"#V D)45#V $)36"#V
6
A) 16πT3 D) 32πT3
B) 64π T 3 $) 6" πT3
. Un cono de revolución tiene como radio de la "ase Hm y como altura Cm. 0 que distancia del vértice se le de"e cortar con un plano paralelo a la "ase de tal manera que el 8rea total del pequeño cono o"tenido sea igual al 8rea lateral del cono total. 0) √KD 3)4H C.
1) √JD +)4D
2) √ED3
Pallar el volumen de un cono si el 8ngulo del sector circular que se
6
4D.
Un recipiente tronco cónico de radios 6 y H en las "ases contiene agua -asta los EM6 de su alturaA se le introduce una esfera de 4CEπ m6 tal que queda sumergida elev8ndose el nivel de agua -asta enrasar la "ase superior. Pallar la altura del recipiente. 0) 4Hm 1) 4C 2)6J 3) ED +) 4J
44.
Un cilindro maci'o de plomo tiene un di8metro %3& y una altura %3& se funde el cilindro para o"tener E sólidos un cono recto y una esfera. i el cono tiene una altura 3 una "ase con di8metro %3&. Y!ue di8metro tendr8 la esferaZ. a)3M6 ")3ME c)3 d)E3 e)63
C) 8 πT3
H. e tiene un tronco de cilindro de revolución cuya generatri' mínima es nula, la generatri' m8$ima mide Cm, el radio de la esfera inscrita mide Em. Pallar el volumen del tronco. 0) EKπm6 1) 6Hπm6 2) KEπm6 3) KCπm6 +) HDπm6
6
0) 3) HKC JHKππm m6 1) +) H6H HDDππm m6 2)KCKπm
4% Ca;c;a ,; So;m,n d, n c.;.ndo d, ,So;c.KnU +. ,; P,a d, + +,.c., d, *o*a; ,+ 24π 2 ! + +,cc.Kn ax.a; ,+ na ,:.Kn cadada% A) 12π 2 B) 16π 2 C)18π 2 D) 24Tπ 2 $) 28Tπ 2 5% a;;a ,; So;m,n d,; c.;.ndo d, ,So;c.Kn :,n,ado o na ,:.Kn cadada d, d.a:ona; 4 2 W, :.a a;,d,do d, no d, ++ ;ado+
Pallar el volumen de un cono equil8tero. a"iendo que la esfera inscrita tiene un radio que mide Hm.
4E.
Los radios de las "ases de un tronco de cono recto miden y r ( mayor que r). Y2u8l de"e ser la medida de la altura para que el 8rea lateral sea igual a la suma de las 8reas de las "asesZ a) c)
2$* ($ * ) $* ($
*)
")
" $* ($
d)
*) $* 2 ($ * )
e) n.a.
Es?er% Rot%ciones de s1'idos ") Wona de una
SUPERFICIE ESFRICA
"ase o casquete
esférico
+s la superficie por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su di8metro tomado como eje.
F 2
E
E
$$ C/CN=$$NC/A M$NO
F4
2
2.
C/CN=$$NC/A MAX/MA
PARTES DE LA SUPERFICIE ESFRICA 1.
ONA ESFRICA
HUSO ESFRICO +s la parte de la superficie esférica limitado por dos semicircunferencias m8$imas qT tienen un mismo di8metro. Puso : πQ .
+s la parte de la superficie la esfera comprendido entrede dos planos paralelosA cuando los dos planos son secantes se o"tiene, la 'ona de dos "ases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se o"tiene la 'ona de una "ase o casquete esférico.
º
0º
O
a)
ESFERA
Wona de dos "ases F 2
E
+s el sólido generado por la rotación de un semicírculo alrededor de su di8metro tomado como eje.
E
=:
" 3 $ 3
A
PARTES DE VOLMENES DE ESFERA 1.
$
Se+to( e $*;(%+o . +s el sólido generado por un sector circular que gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice
E
$
B
sin cortarlo. =:
2 3
$
2
5
=: 3.
E
1 6
2
AB
-5
Se0mento E $*;(%+o +s la parte del volumen de una esfera limitado por dos planos paralelosA cuando los dos planos son secantes se o"tiene un segmento esférico de dos "ases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se o"tiene un segmento esférico de una "ase. 1
E
E
2
=: v:
2 3
$
2
1 6
5 3
5
2
*12 *22
5
E
-
2.
An%llo E$*;(%+o
+s el sólido generado por la rotación de un segmento circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro del círculo a que pertenece del segmento circular.
=: ).
1 * 2 5 3 5 6 2
Cu^" E$*;(%+"
+s la parte de la esfera limitado por dos semicírculos m8$imos que tienen su mismo di8metro.
$X$
d A
CYA
=2uña : π6 $
= : E πd . 0
º
270º
TEOREMAS DE PAPPUS GULDIN
!ROBLEMAS RESUELTOS
4.
+l volumen del sólido generado por la rotación so"re el segmento 01 del tri8ngulo.
1 TEOREMA
C
+l 8rea de la superficie que genera una línea plana cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que descri"e su centro de gravedad por la longitud de la línea.
A
a) ") c) d) e)
$$
A d C%%
B
4cm
Hcm
B
4JEπ cm6 E65π cm6 E4Dπ cm6 4JHπ cm6 45Hπ cm6
Reso'/ci1n C
: Eπd . L01 2 TEOREMA
+l volumen que gira genera una superficie plana cuando alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que descri"e su centro de gravedad por el 8rea de la superficie plana.
A
4)
4cm
Hcm
021 elaciones #étricas rE : K(5) r:H
B
E)
a) HDDcmE c) 5DDcmE e) 4HDDcmE
0l girar, se forma dos conos =olumen :
6
2
6
3
2
"
3
") CDDcmE d) 4EDDcmE
Re$olu+%-n
=olumen : 4DCπ ; KCπ
8rea de la segunda esfera =olumen : 4JHπ Rt". &
2
"00 S
E.
+n una esfera de radio se inscri"e un cono de altura - y "ase de radio r, la relación entre r, - y es a)-;r:E c) E;-E: Er e) E; rE : Er-
")- :;r d)rE; -E :E-
6.
2 3
S
00cm 2
Una esfera de co"re se funde y con el metal se -acen conos del mismo radio que la esfera y de altura igual al do"le de dic-o radio Y2u8ntos conos se o"tienenZ a) 4 ")E c)6
Re$olu+%-n
pta. c
d)K
e)J
Re$olu+%-n $ */mero de conos $ 2 2 $ "$ 3
E
B82
x
4) E) 6)
$;:$:-<
SS.(4)
7it8goras rE;$E : E
.....(E)
E
E
rE;(-B) :E : E ;-EBE-; (2 = Q28 2RQ H.
3
R t " . ' EJERCICIOS
eempla'ando (4) en (E) E
3
O
Rt". d
Los radios de dos esferas son entre si como E es a 6. i el 8rea de la primera es KDDcmE Y2alcular el 8rea de la segunda esferaZ
4. 3eterminar a que distancia del centro de una esfera de radio R ( 2 ) m se de"e seccionar con un plano para que la diferencia de las 8reas de los casquetes esféricos determinados sea igual al 8rea de la sección que divide a la esfera en dic-os casquetes. a)D,Hm ")D,Cm c)4m d) Em e) 6m E. Pallar el 8r ea de la sec ción que se determina al intersecarse una esfera y un cono, am"os inscritos en un
cilindro recto cuyo radio de la "ase es m . a) EπmE ") KπmE c) CπmE E E d) 4Eπm e) 4Jπm K 6. e tiene una es fera cuyo radio mide 4m, un cilindro y un cono equil8tero circunscrito a esta esfera -allar la suma de los vol/menes de los tres sólidos. 1H
a)
m
3
")
3
13
26
3
c)
m
3
3
m
3
d)
6
m
3
e)
3
14
m
3
3
K. +n una esfera de radio se -a lla inscrito un cono circular recto de altura %-&, -allar la superficie lateral del cono. h ( 2 R h) R a) ")
h
( 2 R h) R
2
c) h 2R(2R h) d) h Rh e) h (3R h) R J. 2alcular el volumen de una esfera circunscrita a un octaedro regular de 4Mπm6 de volumen. a) 4m6 ") D,Jm6 c)4,Jm6 6 d) πm e) *.0. H. ean + 4 y +E dos esfera, si el volumen de + E es el do"le del volumen +4 y el radio de E1 3 16 cm . Pallar el volumen de +E.
a) H4Eπcm6
")
12
cm 3
3
cm 3
c)K4Eπcm6 d) 128 e) 3 6 JJEπcm . Pallar el 8rea total de un cono circunscrito a dos esferas tangentes e$teriores cuyos radios son 4 y 6m. a) 5πmE ") 6HπmE c)EπmE d) C4πmE e) 4EDπmE
DC.La suma de las inversas de las medidas de las K alturas de un tetraedro es 4MH. Pallar la medida del radio de la esfera inscrita. a) E d)4E
") 6 e)n.a.
c)H
D5.2alcular el volumen de la cuña esférica, 8rea del -uso esférico de 6D? essideel4DC πmQ. a) HEKπm6 ") H6Dπm6 c) HKDπm6 d) HKCπm6 e) HJD πm6 4D.+s una esfera de 4Jm de radio, dos planos paralelos distantes Cm, seccionan a la esfera. Pallar el 8rea de la 'ona. a) HJ6.HD mQ ") J6.HD mQ c) K6.HD mQ d) 66.HD mQ e) n.a. 44.Un cilindro maci'o de plomo tiene un di8metro %3& y una altura %3& se funde el cilindro para o"tener E sólidos untiene cono una rectoaltura y una3 esfera. i el cono una "ase con di8metro %3&. Y!ue di8metro tendr8 la esferaZ. a)3M6 d) E3
")3ME e) 63
c)3
4E.Los radios de las "ases de un tronco de cono recto miden y r ( mayor que r). Y2u8l de"e ser la medida de la altura para que el 8rea lateral sea igual a la suma de las 8reas de las "asesZ a) c)
2$* ($
*)
$* ($ * )
") d)
" $* ($
*)
$* 2 ($ * )
e) Er
46.e circunscri"e un cono circular recto a E esferas tangentes e$teriormente de radios E y H. +valuar la altura del cono
a)4C d)4E
")4 e)ED
c)4J
2