UNIBERTSITATERA UNIBERTSIT ATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
Kalkul atu zer zer di stantzia dagoen (4, (4, 4, 3) koordenatuak dit uen A uen A puntutik B (1,1,0), C(1, 0, 1) eta D(0, 1, 1) puntuetatik pasatzen den planora. 2016 UZTAILA(A)
B, C eta D puntuetatik igarotzen den planoaren ekuazio inplizitua:
⃗⃗ 1,1,0,1 1,1,1,0 0,0,1,1 ⃗ 0,0,1,1 1,1,1,0 1,1,0,1 ,,, 1,1,1,0 1, 1, 1, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ℎ ( 2 → 0 → ( ) → 0 1 1 1 1 0 → 101 11 1 10 11 1 10 10 0→ 1 0 1 → 11· 11 1 11 0 2 0 → , , :: 0 | · , , 0} → ,, | · √ · { ⏞1 · ⏞4 ⏞1 · ⏞4 ⏞1 · ⏞3 2 4,4,4,3 } → , √ 1 1 1 √ 93 9√ 33 √ {20 Hiru bektoreak planokideak direnez,
planora dagoen distantzia:
puntutik puntutik
Problema honetan aplikatzen bada,
1
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
Izan bedi r zuzen bat pu ntu hauetati k p asatzen dena: P(1,2,3) eta Q(-1,0,1) a) Zehaztu ezazu zer ekuazio izango duen plano batek, baldin eta r zuzenarekiko perpendiku larra bada eta A(4, 2, 1) puntutik pasatzen bada. b) Zehaztu ezazu zer ekuazio izango duen plano batek, baldin eta r zuzenarekiko perpendiku larra bada eta B 2 , 1, 3 puntutik pasatzen bada. c) Kalkul a ezazu bi plano hor ien arteko dis tantzia. 2016 UZTAILA(B)
⃗ 1⃗,2,31,1,11,0,12,2,2 ⃗ 1,1,1 , , ⃗ ,,=,, 0 0 ,−,− 4210→1→ : 2,1,3 ,,=,, 0 0→ ,,− 2130→0→ :
a) Zuzenaren norabide-bektorea:
, edo honekiko
paraleloa den beste edozein, adibidez,
. Bektore hau, planoaren bektore
karakteristikoa edo normala da:
Hortaz, eskaturiko planoaren ekuazioa:
b) Era berean,
puntutik igaro eta r zuzenarekiko perpendikularra den planoa:
c) Bi plano hauek paraleloak direnez, beren arteko distantzia, plano bateko puntu batet ik beste planora dagoen distantzia da:
· | , , }→, | · √ · { 0 4,2,1 → , ′ |1 ·4 1·√ 121· 1| 1 √ ′ :0 1 1 √ 3
2
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
− −− −
Zehaztu zer plano den koor denatu-jatorri tik pasatzen dena, ekuazio hau duen zuzenaren paraleloa dena:
eta (0,1,1) eta (1,1,0) pun tuetatik pasatzen den zuzenaren paralelo a ere badena. 2016 EKAINA(A)
⃗ 1,1,1 ⃗ 1,1,00,1,11,0,1 01·1· :01·0· →: 01·1· 0 0 0 11 10 11 0→01 11 11 11 11 10 0→ → :
Zuzena planoarekiko paraleloa denez, zuzenaren norabide-bektorea , planoaren norabide-bektorea ere izango da. Planoaren beste norabide-bektore bat, emandako bi puntuek definitzen dute: Planoaren ekuazio parametrikoak:
Planoaren ekuazio inplizitua:
3
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
Plano hau emanda: x - 3y + 2z = 7 a) Zehaztu ezazu (3,-8,4) puntuaren puntu s imetr ikoa plano hor rekiko . b) Kalkulatu bi puntu simetrikoen arteko distantzia. 2016 EKAINA(B)
a) P(3,-8,4) puntutik igaro eta emandako planoarekiko perpendikularra den zuzenaren norabide-bektorea planoaren bektore normala da. Zuzen honen ekuazio parametrikoak:
31· 3 , 8, 4 ⃗ ⃗ 1,3,2 →:83· 42·
planoa eta zuzenaren arteko E ebaki-puntua:
2
→33 832 4 27 :327 3249847 31· 28 :83· 35147→ 42· 14 2
zuzenaren ekuazio parametrikoetan ordezkatuz, E ebaki-puntua lortzen da:
b) P
32 31· 2 1 86 2 2 → 1 , 2, 0 83· 42·2440 1,2,0 3,8,42 ,, →1,2,032 , 82 , 4 2→ 1 328→ 1 → 242 →4 , ′1,4,4 0 2 → 4 eta P’ puntuen arteko distantzia ′⃗ ⃗′ ′⃗ ⃗ 1,4,43,8,44,12,8 ′ ⃗′ 4 12 8 √ 2 24√ bektorearen modulua da:
4
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
⃗,, ⃗,,
a) Aurk itu zer ekuazio duen plano batek, jakini k P(-1, 2, 3) puntuti k pasatzen dela eta bektoreekiko paraleloa dela. b) Kalkul atu zer balio izan behar duen m-k aurreko atalean kalkulatutako planoa eta mx - y + 5z = 8 planoa perpendikularrak izan daitezen. 2015 EKAINA(A)
a) Planoaren bi norabide bektore eta puntu bat ezagunak direnez, planoaren ekuazio bektoriala koordenatu kartesiarretan:
:,,1,2,31,2,3 1,3,5 11·1· 22·3· : 33·5· 1 2 3 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ℎ( )2→ 0→ 11 23 35 0→ −− − −− − −− − →32 35 111 35 2 1123 30→ → 1· 12 21· 30 : Eta hemendik ekuazio parametrikoak:
Ekuazio inplizitua:
b) Bi plano perpendikularrak badira, beren bektore normalak edo karakteristikoak ere perpendikularrak izango dira:
⃗ 1,2,1 ⟹ ⃗ ⊥⃗ ⟺ ::·580 220 ⃗ ,1,5 ⟺⃗ ·⃗ 0⟺1,2,1·,1,50⟺250⇔ 5
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
⃗,,
Aurki tu zuzen bat , hau jak in da: har en b ektor e zuzentzai lea da, eta P’ puntutik pasatzen da, P’ puntua P(0,-2,0) puntuaren si metrik oa izanik planoarekiko.
:
2015 EKAINA(B)
Aurrena zuzenaren P’ puntua kalkulatu behar da. P’ puntu hau : 01· 0 , 2, 0 ⃗ ⃗ 1,3,1 →:23· 01· :35 →3 235 695 :23 6115→1 1“s” zuzenarenekuazio parametrikoetan ordezkat1 uz,1E ebaki 1 23·1 → 1 →1,1,1 :23 1 1 P’ puntua: 1,1,1 0,2,02 ,, →1,1,102 , 22 , 0 2→ 2 → 2 1 2 → 1 2 →4 →′2,4,2 1 2 → 2 “r” zuzenaren ekuazio ⃗ 2,14,,22,3 →: : planoarekiko P(0,-2,0) putuaren simetrikoa denez,
planoa eta zuzenaren arteko E ebaki-puntua:
-puntua lortzen da:
parametrikoak:
Ekuazio jarraia:
6
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
≡ −
Har di tzagun A(2,1,2) eta B(0,4,1) pun tuak eta r zuzen bat ekuazio hau duena:
a. Kalkul atu zuzenaren P punt u bat, A eta B puntuetatik distantzia berera dagoena. b. Aurk itu ezazu A puntuti k ig arotzen den r zuzenarekiko perpendik ularra den p lanoaren ekuazioa. 2015 UZTAILA(A)
a.
Zuzenaren ekuazio parametrikoak:
3 0 2 3 ≡2 2 →≡ 1 1 2 →≡32 2 , 2 , 3 2 ⃗⃗ , 2 , 3 22,1,2 2, 1 , 1 2 , 2 , 3 2 0 , 4 , 1 , 2, 2 2 ⃗ ⃗ 2 2 2 22 11 11 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 11 11 2 2 2 0 2 41 0 1 12 1 2 31 0 144 363=− 0→220→ , 2 , 3 2 ,,
Zuzenean dagoen edozein punturen koordenatuak parametroaren menpe adieraz daitezke ekuazio parametrikoen bitartez:
Beraz, P puntua:
b. A(2,1,2) puntutik igaro eta r zuzuenarekiko perpendikularra den planoaren ekuazio inplizitua:
: 0,,,,=,, :20 20 212·20→ →2140→7 :
Beraz:
7
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
{
zuzena eta
emanda,
GEOMETRIA
planoa
a. zehaztu zer balio izan behar duen a parametroak planoa eta zuzena paraleloak izan daitezen. b. Aurr eko atalean lor tut ako planoan al dago P(1, 0, -3) puntu a? 2015 UZTAILA(B)
a.
Zuzenaren norabide bektorea, ekuazio inplizituak eratzen dituzten planoen bektore karakteristikoen arteko biderkadura bektorialak ematen digu:
⃗ ⃗ 32 → 3 , 1 , 1 241→⃗ 2,1,4 →⃗ ⃗ ×⃗ 32 11 415,14,1 1 3 1 0→⃗ ⃗2 , 1, : 2 ⃗ ⃗ ∥⟹ ⊥⃗ ⟹⃗ ·⃗ 0 5,14,1 · 2 , 1, 0 Emandako planoaren bektore karakteristikoa edo normala:
plano eta zuzena paraleloak izan daitezen zuzenaren
planoaren
norabide-bektoreak eta
betore karakteristikoak perpendikularrak izan behar dute:
1014140→4130 :42 1 34 1 0 2 13 1 3 13 10 2 139 3 134 1 0 2 139 2713 134 134 0 2 139 134 2313 0 1,0,3 9 4 23 ,,− 9 4 23 2 13 13 13 0 2·1 13 ·0 13 · 3 13 15 2 1213 2313 261223 13 13 ≠0→ planoaren ekuazioan
b.
ordezkatuz:
puntua planoan egon dadin, planoaren ekuazioa egiaztatu beharko luke:
8
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
{
zuzena eta
GEOMETRIA
planoa i zanik ,
a. Kalkula ezazu A-ren balioa zuzena eta planoa paralelo izan daitezen. b. Aurk itu ezazu plano bat r zuzenarekiko p erpendikul arra dena eta koor denatu- jator rit ik pasatzen dena. 2014 EKAINA(A)
a.
Zuzena eta planoak paraleloak izan daitezen zuzenaren bektore zuzentzaileak eta planoaren bektore karakteristikoa perpendikularrak izan behar dira.
Zuzenaren norabide-bektorea,
⃗ ⃗ 32 → 3 , 1 , 1 241→⃗ 2,1,4 →⃗ ⃗ ×⃗ 32 11 41 5,14,1 ⃗ 20 → 2,1, ⃗⃗5⊥,⃗ 14,⟺1⃗ ·⃗⃗ 0⟺ 2,1,5,14,1·2,1,0⟺10140⟺ ⃗ 5 , 14, 1 ⃗5,14,1,, Planoaren bektore normala edo karakteristikoa,
eta
bektoreen arteko iderkadura eskalarra zero,
Planoa r zuzenarekiko perpendikularra denez, zuzenaren
izango da.
planoaren bektore normala
norabide bektorea
: 0 ,,=,−,,,: 5140 20 :
Beraz; eskaturiko planoaren ekuazio inplizitua:
9
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
Kalkul a itzazu bi baldint za hauek betetzen dituen punt u baten koordenatuak:
: − + − : − + − 22 2 2, 13, 2 2 : 22 13 22 →: 13 22 · | , , }→, | · √ · {:0 22,13,22 | 131| 1 18| 13,22 }→, |32 24 {2:2,3 410 4 0 5 3 √ | 139| 2 0| 13,22 }→, |42 23 {2:2,4 390 4 3 0 5 zuzenaren punt ua izatea eta eta 4
planoetatik di stantzia berera
izatea.
2014 EKAINA(B)
zuzenaren ekuazio parametrikoak,
parametroaren menpe zuzenean dauden puntuen koordenatuak adierazi ditugu ekuazio parametrikoak erabiliz. Puntu batetik plano batera dagoen distantzia honako adierazpena ematen digu:
Beraz,
puntutik emandako plano bakoitzera dagoen
distantzia:
Distantzia hauek berdinduz,
118 20 → |118| | 2 0| 118 20 5 5 5 5 → 5 ± 5 →1185 205 → 1→ 2 2·1, 13·1, 2 2·1 22,13,22 → 2117 →22· 2117 , 13· 2117 , 2 2· 2117 ,, , ,
Parametroaren bi balio hauek ordezkatuz bi soluzioak lortzen dira,
10
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
P(2,-1,3) puntua eta
: + −
GEOMETRIA
, zuzena emanda:
a) Kalk ula ezazu P puntuaren r zuzenaren gaineko pro iekzioa. b) Kalkula ezazu P-ren eta r - ren art eko dis tantzia. c) Lor ezazu P puntuaren r zuzenarekiko si metrik oa. 2014 UZTAILA(A)
ekuazioa kalkulatuko dugu. Planoaren eta zuzenaren arteko ebaki puntua P’ bilatzen : 0 ⃗ , , 3,5,2 : 3 520 2 , 1, 3 3·25·:312·30→7 5270 Zuzena eta planoar3 en arteko P’ ebaki 3357522 270 ≡22 75 → 935254470 38380 : 3 5250 1 1 3 parametrik3 oetan ordezkatuz, P’puntua dugu: = 752 → ′,, 75 22 224 ⃗ ⃗′ 3,2,42,1,31,1,1→, ⃗√ Eta P puntuaren P’’ puntu simetrikoa r zuzenarekiko, erdikoa puntua P’duen PP’’ ′2 ′ 3,2,4 2,1,32 ,, 2,1,3,, 2· 3 , 2, 4 4,3,5,,→′′,, a) P puntua bere barnean duen eta r zuzenarekiko perpendikularra den planoaren dugun P puntuaren r zuzenarekiko simetrikoa da.
Beraz,
-puntua,
zuzenaren ekuazio
b) P puntuaren eta r zuzenaren arteko distantzia,
c)
zuzenkiaren mutur bat da:
11
bektorearen modulua da:
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
{
zuzena eta
GEOMETRIA
pl anoa emanda
a. Kalkula ezazu zer balio izan behar duen A parametroak zuzena eta planoa p aralelo izan daitezen. b. A = 12 kasurako, kalkula ezazu zuzenaren eta planoaren arteko ebakidura. 2014 UZTAILA(B)
a.
Zuzena eta planoa elkarrekiko paralelo direnez, zuzenaren norabide-bektorea eta planoaren bektore karakteristikoa perpendikularrak izango dira.
Zuzenaren norabide-bektorea,
⃗ ⃗ 20 → 2 , 1, 1 ⃗ ⃗ ⃗ 41→⃗ 1,1,4 → × 21 11 14 3,7,1
Planoaren bektore normala edo karakteristikoa,
⃗ 3531 → 3,5, 3,7,1·3,5,0⟺ ⃗3,7,1⃗ ⊥⃗⃗ ⟺3⃗,·5,⃗ 0⟺ ⟺9350⟺ eta
bektoreen arteko iderkadura eskalarra zero,
b. A=12 planoaren ekuazio ordezkatu eta gero, planoaren ekuazioaz eta zuzenaren ekuazio inplizituez eraturiko ekuazio sistema ebatziuko dugu:
41 1 1 4 1 1 1 4 1 − 20 ⟹ → 2 1 1 0 0 1 7 2 − 351231 3 5 1 2 31 0 2 0 34 17 68 → 1 54 1→16 → 1 1 4 1 17 7 7 → ⟹ +→ 00 10 147 382 →7 7 2→172→ →1438→ 3814 →
Hortaz, zuzenaren eta planoaren arteko ebaki-puntua:
12
,,
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
− − +
ekuazioaren bidez defin itu tako r zuzena eta
planoa emanda. Kalkula i tzazu a-ren eta b-ren balioak kasu hauetan: a) r zuzena planoarekiko perpendik ularra da. b) r zuzena planoaren barnean dago.
2013 EKAINA(A)
A = (2,1,0) punt ua eta 2x + 3y + 4z = 0 ekuazioa duen
pl anoa emanda:
π
a) Aurk itu ezazu zein d en A pu nt ut ik di st ant zia m ini mo ra dagoen ren pun tua, eta kalkul a ezazu d ist antzia hori . b) Aurk itu ezazu π planoarekiko A-ren simetr iko a den B punt ua.
P (1,0, -2) pun tua eta r zuzena
: {
-
π
2013 EKAINA(B)
emanda:
a. Zehaztu ezazu zuzen bat, r ebakitzen duena, r - ren perpendik ularra dena eta punt utik pasatzen dena. b. Kalkula ezazu P punt uaren eta r zuzenarekiko haren simetr ikoa den Q puntuaren arteko distantzia. 2013 UZTAILA(A)
A = (1, -1, 0) eta B = (2,0, 3) puntu ak emanda. a) Aurk it u al dai tek e pl ano bat A eta B lotzen dituen zuzenarekiko perpendik ularra d ena eta, gainera, C = (2, 2, 3) puntuti k pasatzen dena? Baiezkoan, aurki tu ezazu plano hor ren ekuazioa; ezezkoan, arrazoitu erantzuna. b) Aurk it u dai tek e A, B eta C-tik pasatzen den zuzen bat? Baiezkoan, aurkitu ezazu zuzen horren ekuazioa; ezezkoan, arrazoitu erantzuna. 2013 UZTAILA(B)
A(1, 2, 3), B(1, -2, 4) eta C(1, -3, a) puntu ak emanda: a) Kalkula ezazu a parametro aren balioa A, B eta C puntu ak lerrokatut a daitezen. b) a = 5 kasuan, aurkit u ezazu jator rit ik pasatzen den eta, gainera, A, B eta C puntuak d auzkan pl anoaren perpendikul arra den zuzena. 2012 EKAINA(A)
x + y + z = 4 planoa AB segmentuarekiko perp endikul arra da, eta bi zati berdin etan erdibit zen du segmentua. A pun tua (1, 0, 0) da. Aurki tu it zazu B pu nt uar en k oo rd enatuak , eta k alk ul a ezazu AB segmentuaren eta planoaren arteko ebaki-puntu a. 2012 EKAINA(B)
13
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
A(-1, 3, 2), B(2, -1, -1) eta C(a - 2, 7, b) puntuak emanda: Kalkul a itzazu a eta b parametroen balioak puntu horiek l errokatuta daitezen. Aurrek o at alean kal kulat ut ako bal ioetarako, au rk it u ezazu P(0, -3, 5) punt utik pasatzen den eta AC bektor earen perpendiku larra den planoaren ekuazioa. 2012 UZTAILA(A)
3 x + 4 y + 5 z = 0, 2 x + y + z = 0 plan oak eta A(-1, 2, 1) punt ua izanik: a) Kalkul a ezazu A puntut ik eta aurreko bi pl anoen arteko ebakidurazuzenetik pasatzen den planoa. b) Kalkula ezazu plano bat B(0, 0, -3) puntu tik pasatzen dena eta aurreko ataleko planoaren paraleloa dena. 2012 UZTAILA(B)
Izan bitez
r
eta s zuzen hauek:
: :{
Kalkulatu r eta s zuzenekin perpendiku larra den eta P = (3, −1, 2) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa. 2011 EKAINA(A)
Izan bitez x − y + z = 0 ekuazioko π planoa eta P = (2, 1, 3) puntua. Kalkulatu P puntuaren simetrikoa π planoarekiko, eta jarraitu tako prozedura azaldu. 2011 EKAINA(B)
Aurki tu zer ko or denatu izan beh ar di tu en punt u bat ek A = (0,−1,1) punt uaren simetr ikoa izan dadin r zuzenarekiko , r zuzenaren ekuazioa hau izanik:
: :
2011 UZTAILA(A)
Izan bi tez P = (0,2,5) pun tua eta r zuzen hau
Kalkulatu r zuzena barruan duen eta P puntuti k i garotzen den planoaren ekuazioa, eta prozedura arrazoitu. 2011 UZTAILA(B)
Izan bitez A eta B espaziok o pun tuak, eta A = (3, 4, 1 + 2a), B = (−3, a,0) haien koord enatuak. Kalkulatu A eta B punt uetatik i garotzen den zuzenaren ekuazio parametrikoa. Galdera hau erantzun, eta arrazoit u: Existi tzen al daa parametroaren baliorik non (9, 4, 6) punt ua zuzenean dagoen? 2010 EKAINA(A)
14
UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBETAKO ARIKETAK
GEOMETRIA
Izan bedi A = (1, 0, 2), B = (0, −1, 3) eta C = (a, 2, −4) puntuetatik igarotzen den planoa. Posib le al da a parametroaren balioa aurk itzea P = (−2,3,0) puntua planoan egon dadin? Baiezkoan kalkul atu balio hor i. 2010 EKAINA(B)
Izan bi tez A = (4, 1, 1) eta B = (2, u, 3) espazioko punt uak. batekiko simetrikoak dira. Kalkulatu pl ano horr en ekuazioa u parametroaren arabera, eta prozedura arrazoitu. Ba al dago u parametroaren baliorik non (0, 0, 0) punt ua planoan dagoen? 2010 UZTAILA(A)
Kalkulatu A = (0, 1, 2) eta B = (1, 0, 2) puntuetatik igarot zen d en zuzenaren eta P = (3, 2, −1) punt uaren arteko dist antzia. Deskr ibatu, eta arrazoit u, zer pauso eman diren kalku lu ho ri egiteko. 2010 UZTAILA(B)
15