PRESENTASI SISTEM GEOMETRI
B
GEOMETRI ELIPTIK (RIEMANN) Disajikan oleh: Kelompok 1
O C
A
Postulat Kesejajaran Riemann Teori Riemann kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euklid dengan mengasumsikan prinsip berikut ini:
Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain. Jadi, dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar.
Postulat Kesejajaran Riemann Teori Riemann kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euklid dengan mengasumsikan prinsip berikut ini:
Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain. Jadi, dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar.
•
Sifat penting dari Teorema 2 Corollary 3 Postulat Kesejajaran Euclid yaitu : ,
Dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan sejajar.
C
Diketahui :
l o
m
Dua garis yang berbeda l dan m yang tegak lurus
n
A
B
dengan garis n. o
Akan dibuktikan : l || m No 1 2 3
C’
Pernyataan Andaikan l dan m tidak sejajar Maka l dan m berpotongan di titik C Misal l dan m masing-masing berpotongan
Alasan Asumsi Akibat 1, dibuat Dibuat
dengan n di A dan B . 4
Perpanjang melalui A ke C’ dengan CA = AC’
Dibuat
C
Diketahui :
l o
m
Dua garis yang berbeda l dan m yang tegak lurus
n
A
B
dengan garis n. o
Akan dibuktikan : l || m No
Pernyataan
5
Lukis C’B
6
ABC ABC’
7
ABC
8
Jadi, ABC’ = ABC = 90o (merupakan sudut siku-siku)
9
BC dan BC’ tegak lurus dengan AB.
= ABC’
C’ Alasan Dari 2 titik dapat dibuat sebuah garis S-sd-s Akibat kekongruenan Akibat langkah 7 dan premis Akibat langkah 8
C
Diketahui:
l o
m
Dua garis yang berbeda l dan m yang tegak lurus
n
A
B
dengan garis n. o
Akan dibuktikan : l || m No 10 11
C’
Pernyataan BC dan BC’ serupa
Alasan Akibat langkah 9
Jadi, AC dan BC, atau l dan m memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama.
12 13
Jadi l dan m serupa (Berimpit) Hal ini kontradiksi dengan hipotesis kita bahwa l dan m adalah garis yang berbeda. Jadi, pengandaian kita salah dan teorema berlaku benar untuk l || m
Analisa Riemann : Sifat penting dari Teorema 2 Corollary 3 Postulat Kesejajaran Euclid ada pada : •
“ •
•
dan
serupa ”
Dalam bukti tersebut, Euclides menggunakan prinsip pemisahan (separation principle ). Bahwa C dan C’ berlainan
•
•
•
Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka C dan C’ dapat berimpit dan bukti teorema Euclides kurang benar Jika prinsip pemisahan tetap digunakan, C dan C’ harus berlainan Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa “dua titik menentukan satu garis”, artinya memungkinkan dua garis berpotongan pada dua titik.
Maka, ada dua teori yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann : 1. GEOMETRI SINGLE ELIPTIC Sebarang garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut.
A = A’ A’
O A
2 garis berpotongan pada 1 titik garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang; 2 titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik
2. GEOMETRI DOUBLE ELIPTIC Dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang A ≠ A’ Diameter AA’
B ≠ B’
Garis busur AA’ A’
O B 2 garis berpotongan pada titik; setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang
A
B’
Representasi Geometri Double Eliptik Pada Bola Euclides Geometri Double Eliptik o Titik o Garis o Bidang o Segmen o
o
Jarak antara 2 titik
Sudut antara 2 garis besar
Representasi Euclides o
Titik pada bola
o
Lingkaran besar bola
o
Bola
o
o
o
Busur dari suatu lingkaran besar Panjang busur terpendek dari lingkaran besar yang melalui kedua titik itu Sudut pada bola antara 2 lingkaran
Sifat Kutub •
•
Misalkan l suatu garis Maka ada suatu titik k, yang disebut kutub dari l sedemikian hingga : –
–
•
•
K
Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l, tegaklurus pada l K berjarak sama dari setiap titik pada l
O l
Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut “ jarak polar” Jarak polar suatu kutub sampai garisnya adalah konstan
(Gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegaklurus pada ekuator)
Teorema 8.2
Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik
B
Pembahasan Teorema 8.2 Diketahui : o Bola seperti pada gambar di samping:
No
Pernyataan
1
Misalkan l suatu garis pada bola Euclides
2
Maka ada suatu titik B , yang disebut kutub
O C
l
Alasan Dibuat Sifat Kutub
dari l sedemikian hingga : o
Setiap segmen yang menghubungkan B dengan suatu titik pada l , tegaklurus pada l
o
B berjarak sama dari setiap titik pada l
3
Misal A dan C titik pada l dengan A ≠ C
Dibuat
4
Lukis CB dan AB
Dibuat
A
B
Pembahasan Teorema 8.2 Diketahui : o Bola seperti pada gambar di samping:
No 5 6
Pernyataan CB ⊥ l dan AB ⊥ l
O C
l
Alasan Akibat 2 dan 4 (Sifat Kutub)
CB dan AB yang tegak lurus l berpotongan
(bertemu) pada titik B
∴
A
Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik
Teorema 8.3
Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus pada garis itu.
Pembahasan Teorema 8.3 #a Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping. A BC Akan dibuktikan: DE o Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu No
Pernyataan
1
Misalkan l suatu garis pada bola Euclids
2
Maka ada suatu titik K , yang disebut kutub dari l
K
O
l
Alasan Dibuat Sifat Kutub
sedemikian hingga : o Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l , tegaklurus pada l o
3
K berjarak sama dari setiap titik pada l
Misal A, B, C, D, E, .... Himpunan titik-titik pada l
Dibuat
dengan A ≠ B ≠ C ≠ D ≠ E ≠ ..... 4
Lukis AK, BK, CK, DK, EK, .......
Dibuat
Pembahasan Teorema 8.3#a Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping. A BC Akan dibuktikan: DE o Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu No 5
K
O
l
Pernyataan
Alasan
AK ⊥ l ,BK ⊥ l, CK ⊥ l, DK ⊥ l, EK ⊥ l, dan
Akibat 4 dan Sifat Kutub
seterusnya berlaku untuk setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l , tegaklurus pada l 6
Karena setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l melalui titik K, akibatnya
Akibat 5
semua garis yang memuat segmen tersebut berpotongan di titik K.
∴
Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik
Pembahasan Teorema 8.3#b Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping. A BC Akan dibuktikan: DE o Setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus pada garis itu. No
Pernyataan
K
O
l
Alasan
1
Terdapat garis l dan kutub K
diketahui
2
Konstruksi garis-garis yang melalui K
3
Garis-garis yang dikonstruksi pd (2) pasti memuat segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l
Akibat 2
4
Segmen-segmen pada (3) tegak lurus l
Sifat kutub
5
Jadi, setiap garis melalui K akan tegak lurus l
dikonstruksi
Akibat 4
Teorema 8.4
Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 900 , A kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari 900 , tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari jarak polar q.
Teorema 8.4: Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 90o , A kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dari 90 o , tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari jarak polar 1. Ditunjukkan A < 90o , bila segmen BC < jarak polar
A’
O
B C
A
2. Ditunjukkan A = 90o , bila segmen BC = jarak polar
B
O C
A
3. Ditunjukkan A > 90o , bila segmen BC > jarak polar
B
O C
A
Teorema 8.5
Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar o dari 180
B
Teorema 8.5 Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping. Akan dibuktikan: o Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180o No
Pernyataan
1
Misalkan l suatu garis pada bola Euclides
2
Maka ada suatu titik B , yang disebut kutub dari l
O C
l
A
Alasan Dibuat Sifat Kutub
sedemikian hingga : o Setiap segmen yang menghubungkan B dengan suatu titik pada l , tegaklurus pada l o
B berjarak sama dari setiap titik pada l
3
Misal A dan C titik pada l dengan A ≠ C
Dibuat
4
Lukis CB dan AB
Dibuat
B
Teorema 8.5 Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping. Akan dibuktikan: o Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180o No
Pernyataan = 90o dan BCA = 90o
O C
l
Alasan
5
BAC
6
B
7
Pandang ABC ! Jadi, A + B + C > 90o + B + 90o > 180o
∴
Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180 o
> 0o (B positif)
A
Sifat kutub dan akibat 4 Diketahui Akibat 5 dan 6
Teorema 8.6
Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 3600.
U
Pembahasan Teorema 8.6 Diketahui : o Bola Euclides. Akan dibuktikan: o Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360 o No
O M
Pernyataan
1
buat garis l
2
Maka ada suatu titik B dan Z, yang disebut kutub dari l
K z Alasan Dibuat Sifat Kutub
sedemikian hingga : o Setiap segmen yang menghubungkan B dan Z dengan suatu titik pada l , tegaklurus pada l 3
Misal M dan K titik pada l dengan M ≠ K
Dibuat
4
Lukis UM, UK, ZM, dan ZK
Dibuat
U
Pembahasan Teorema 8.6 Diketahui : o Bola Euclides Akan dibuktikan: o Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360 o No 5
Pernyataan UMZK adalah segiempat
= 90o , UKM = 90o ZMK = 90o , ZKM = 90o
6
UMK
7
U
8
Pandang segiempat UMZK U + M + Z +K = U + 180o + Z + 180o > 360o
> 0o (B positif) Z > 0o (B positif)
Jadi jumlah sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360 o
O M
K z Alasan Dari langkah 4 Sifat Kutub diketahui Dibuat
Teorema 8.7
Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul.
Pembahasan Teorema 8.7 Diketahui :segiempat saccheri ABCD (lihat definisi segiempat saccheri) Buktikan : sudut-sudut puncak segiempat saccheri ABCD sama dan Tumpul (m∠ = ∠ > 90 D
A
F
E
C
B
Misal m∠ = ∠ = x 90 + 90 + x + x > 360 2x > 180 x > 90
Teorema 8.8
Dalam segiempat Lambert ABCD dengan A = B = C = 90o , maka sudut keempat D tumpul
Pembahasan Teorema 8.8
Diketahui : segiempat lambert ABCD dengan mA = mB = mC = 90 Buktikan : mD > 90 Bukti : Berdasar teorema jumlah sudut segiempat > 360 maka 90 + 90 + 90 + m D > 360 mD > 360 – 90 - 90 – 90 mD > 90
Teorema 8.9
Tidak ada persegi dalam Geometri Elliptic.
Pembahasan Teorema 8.9
Andaikan ada persegi dalam geometri elliptik Dengan mengacu pada definisi persegi Persegi adalah segiempat dengan keempat sudutnya siku-siku (= 90),Dan setiap sisinya kongruen (sama panjang) Maka jumlah sudut dalam persegi = 360 Hal ini kontradiksi dengan teorema yang menyatakan bahwa Jumlah sudut dalam segiempat > 360 Jadi, dalam geometri elliptik persegi tidak ada
Teorema 8.10
Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen
Pembahasan Teorema 8.10
No
Pernyataan
1
diketahui dua segitiga sebangun yaitu ABC dan AB’C’ dengan B,B’,C,C’ pada garis l
2
Maka suatu titik A , yang disebut kutub dari l
Alasan Diketahui Sifat Kutub
sedemikian hingga : o Setiap segmen yang menghubungkan A dengan suatu titik pada l , berjarak sama. Maka AB=AB’, AC=AC’
3
Karena sisi-sisi yang sebanding pada 2 segitiga sebangun adalah sama maka kesebangunan itu adalah kekongruenan
Akibat 2 dan sifat kekongruenan
