Persamaan Parabolik
Persamaan Eliptik
Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik Yunita S. Anwa Anwar r Universitas Universitas Mataram
Mataram, April 2016
Persamaan Parabolik
Persamaan Eliptik
Bentuk Kanonik dari Persamaan Parabolik Bentuk kanonik dari persamaan parabolik adalah: u vv = f (v , z , u , u v , u z )
Diberikan B 2 4AC = 0. Akan dicari fungsi v = v (x , y ) dan z = z (x , y ) sedemikian hingga
−
B 1 (v , z ) = 2Av x z x + B (v x z y + v y z x ) + 2Cv y z y = 0 C 1 (v , z ) = Az x 2 + Bz x z y + Cz y 2 = 0
Cukup digunakan C 1 = 0 karena dari B 2 4AC = 0 akan mengakibatkan B 1 = 0, yaitu akan dicari solusi dari persamaan
−
C 1 (v , z ) = Az x 2 + Bz x z y + Cz y 2
=0
Persamaan Parabolik
Persamaan Eliptik
Persamaan karakteristik: z x = z y
−B −
√
B 2 2A
− 4AC = − B
2A
Ditetapkan z (x , y ) adalah konstan, yaitu diferensial total dz adalah nol, yaitu dz = z x dx + z y dy = 0
−→
dy = dx
Sehingga persamaan karakteristiknya menjadi: dy = dx
−
z x B = 2A z y
− z z
x
y
Persamaan Parabolik
Persamaan Eliptik
Dengan mengintegralkan masing-masing persamaan (terkadang diperlukan pemisahan variabel sebelum pengintegralan) diperoleh: dy = dx
−
z x B = 2A z y
c = z (x , y )
→
Untuk v (x , y ) dipilih sebarang fungsi sedemikian hingga Jacobian J =
v x z x
v y = v x z y z y
− z v = 0 x y
Persamaan Parabolik
Persamaan Eliptik
Contoh-Contoh
Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial u xx + 2u xy + u yy = 0 Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial u xx + 6u xy + 9u yy = 0 Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial x 2 u xx 2xy u xy + y 2 u yy + x u x + y u y = 0
· − ·
·
·
·
Persamaan Parabolik
Persamaan Eliptik
Bentuk Kanonik dari Persamaan Eliptik Bentuk kanonik dari persamaan eliptik adalah: u vv + u zz = f (v , z , u , u v , u z )
Diberikan B 2 4AC < 0. Akan dicari fungsi v (x , y ) dan z (x , y ) sedemikian hingga
−
A1 = Av x 2 + Bv x v y + Cv y 2 = C 1 = Az x 2 + Bz x z y + Cz y 2 B 1 = 2Av x z x + B (v x z y + v y z x ) + 2 Cv y z y = 0.....( )
∗
√ Pada persamaan (*) dikalikan dengan i = −1 diperoleh A(v − z ) + B (v v − z z ) + C (v − z ) = 0 2
2
x
x
x
y
x y
2
2
y
y
2Av x iz x + B (v x iz y + v y iz x ) + 2Cv y iz y = 0
Persamaan Parabolik
Persamaan Eliptik
Didefinisikan fungsi φ = v + iz . Kemudian kedua persamaan dijumlahkan sehingga Aφ2x + B φx φy + C φ2y = 0
Selanjutnya, φx φy
√
− B ± i =
2
4AC 2A
− B
=
−
Sehingga diperoleh persamaan karakteristik, dy B = dx
√
± i
4AC 2A
2
− B
Lakukan proses pengintegralan, kemudian pilih v (x , y ) = Re (φ) dan z (x , y ) = Im(φ)
dy dx
Persamaan Parabolik
Persamaan Eliptik
Contoh Example Tentukan solusi dari u xx + xu yy = 0, x > 0 Uji Nyali... 4=5?
−20 = −20 −36 + 16 = −45 + 25 16 − 36 + = 25 − 45 + (4 − ) = (5 − ) 4− =5− 81 4
9 2 2
9 2
4 = 5 ???
9 2 2
9 2
81 4
