CAPITULO 6 POTENCIA COMPLEJA
6.1 INTRODUCCION La potencia potencia compleja compleja (cuya (cuya magnitud magnitud se conoce conoce como como potencia aparente) de un circuito eléctrico eléctrico de corriente corriente alterna, es la suma suma (vectorial) de la potencia que que disipa disipa dicho circuito y se transforma en calor o trabajo(conocida como como potencia potencia promedio, promedio, activa o real) y la potencia utilizada para la formación de los campos eléctrico y magnético de sus componentes que fluctuará entre estos componentes y la fuente de energía (conocida como potencia reactiva). Esta potencia potencia no es la realm realmente ente "útil", "útil", salvo cuando el factor de potencia es la unidad(cos unidad (cos φ=1), φ=1), y señala que la red de de alimentación de un circuito no sólo ha de satisfacer la energía consumida por los elementos resistivos, sino que también ha de contarse con la que van van a "almacenar" "almacenar" las bobinas y condensado condensadores. res. Se la designa con la letra letr a S y se mide en voltiamperios voltiamperios(VA (VA)) (la (la potencia potencia activa se mide en vatios(W vatios (W), ), y la reactiva se mide mide en voltiamperios voltiamperiosreac reactivos tivos (VAR) (VAR)
Definimos Definimos la potencia instantánea como como el producto de V ( t ) por i( t ) . Si
V(t ) VmSen wt v
i(t ) Im Sen wt i
y
P(t ) Vm Im Sen wt v Sen wt i
Por identidades trigonom trigonométricas la potencia instantánea queda: queda:
P( t )
V m Im 2
C os v i
V m Im 2
C os 2 w t v i
Si para hallar la potencia promedio para un periodo T
Pmed
1
T
P( t ) dt Pmed
Vm Im 2
Cos v i
Esta potencia la definimos como potencia real o activa que es aquella potencia que es absorbida por una carga resistiva, tomando los valores eficaces de tensión y corriente:
P VICos v i Pero esta potencia no contiene toda la información información de la potencia potencia absorbida por una carga dada. Por lo q que ue ahora hablaremos de una potencia compleja. Si tomamos los valores complejos V
V i y I I i
Definimos Definimos como como potencia compleja compleja al producto del fasor tensión por el fasor conjugado de la corriente: *
S V I V I v i S VI VI
173
S es el modulo de la potencia compleja que denominaremos potencia aparente cuyas unidades son los Volt-amperios.
S VICos v i jVISen v i 6.2 Potencia activa: Es la potencia que representa la capacidad de un circuito para realizar un proceso de transformación de la energía eléctrica en trabajo. Los diferentes dispositivos eléctricos existentes convierten la energía eléctrica en otras formas de energía tales como: mecánica, lumínica, térmica, química, etc. Esta potencia es, por lo tanto, la realmente consumida por los circuitos. Cuando se habla de demanda eléctrica, es esta potencia la que se utiliza para determinar dicha demanda:
P R E S VICos v i Wattios
6.3 Potencia reactiva: Esta potencia no tiene tampoco el carácter realmente de ser consumida y sólo aparecerá cuando existan bobinas o condensadores en los circuitos. La potencia reactiva tiene un valor medio nulo, por lo que no produce trabajo necesario. Por ello que se dice que es una potencia desvatada(no produce vatios), se mide en voltiamperiosreactivos (VAR) y se designa con la letra Q:
P I m S jVISen v i Volt Amperios reactivos
S P jQ El ángulo de desfase que hay en la tensión y la corriente de una fuente es el mismo relacionado con la impedancia o admitancia del circuito.
Z Z v i Porque la potencia compleja también puede ser expresada
S I Z 2
V 2 Z
2 2 S I R jI X
Para nuestro triangulo de impedancia considerando a
v i
2
En forma similar podríamos hacer nuestro triangulo de potencias si multiplicamos por I impedancias:
a cada corriente del triangulo de
174
6.4 Modulo de la potencia compleja:
ZI 2 2 P RI Q XI 2
Potencia aparente S Potencia activa Potencia reactiva
Definiremos como factor de potencia a la razón geométrica entre la potencia activa y la potencia aparente.
fdp
P S
Cos
v i ; es de factor de potencia nos da una ida inmediata de la cantidad de potencia activa o que se esta consumiendo por la carga resistiva, cuando más cerca de la unidad sea, la carga será más resistiva y si fdP 1 la carga es puramente resistiva y la potencia aparente es igual a la activa (el factor de potencia es adimensional) y si fdP 0 , la carga es puramente reactiva 0 fdP 1 Donde
En un circuito si la corriente adelanta a la tensión es que nuestra carga tiene una reactancia capacitiva y si la corriente atrasa a la tensión la carga será una reactancia inductiva, tomaremos como referencia a la corriente para definir el factor de potencia, es decir:
FdP en atraso (carga inductiva) FdP en adelanto (carga capacitiva)
Entonces usando triangulo de potencia quedara
Como ya hemos definido a la potencia aparente con el producto del voltaje por la corriente, en general todos los equipos que trabajen con CA especificaran su potencia en VA o KVA (Kilovolt-amperios) y su voltaje, ya que con estos valores podremos calcular en forma inmediata la corriente de trabajo.
175
6.5 POTENCIAS REALES Y CONSERVACIÓN DE LA POTENCIA EN CA Si tenemos un circuito en CA con conexiones serie y paralelo o combinación de estas, la potencia aparente total del circuito será igual a la suma de todas las potencias aparentes de cada rama.
Stotal S1 S 2 S 3
Entonces: La suma potencia activa total en un circuito es igual a la suma aritmética de
P
todas las potencias activas en cada rama del circuito T La potencia reactiva total en un circuito es igual a la suma aritmética de todas las potencias reactivas en cada rama del circuito
ST
PT2 QT fdP
QT
PT S T
6.6 CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA Si tenemos una carga que es alimentado por una línea de tensión la corriente que suministra a la carga debe intentarse que sea la menor posible, esto se logra haciendo una corrección del factor de potencia para una carga inductiva-resistiva la fuente alimentara con una corriente
i1
Para que la carga siga manteniendo sus características eléctricas colocaremos en paralelo
i
una carga capacitiva para que 1 y la tensión en sus terminales de la carga originada siga siendo
V AB Donde el valor del capacitor que se debe colocar es:
V 2 X C
QC PTan1 PTan 2
C
P Tan1 Tan 2 WV 2
POTENCIA
176
COMPLEJA PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA Nº01. Una carga tiene en su placa inscrita las siguientes especificaciones:
S 20KV A V 400V Cos 0.1 Si un alumno coloca un vatímetro en un determinado instante y observa que el vatímetro marca 4000W ¿qué reacción tendría el alumno?
Resolución: Corriente máxima
I
20000 400
50 A
¿Podrás Explicar que sucede?
PROBLEMA Nº02 El diagrama muestra la disposición de cargas en cada rama, encuentre la PT ,
QT , S T , el factor de potencia del circuito y la
corriente.
Solución:
Ptotal 700 100 100 900W
Qtotal 200 0
300
S T 0.994 Cos 0.994 6.34
I 9.05 6.34
100VAR(C )
ST 905.54V A
177
PROBLEMA Nº03 De la fuente mostrada en la figura se pide: La tensión en los terminales A-B cuando no se suministra carga. El valor de N (entero máximo) si se requiere que la corriente máxima en corto circuito sea como máximo 500A Si se conecta a la fuente una carga en paralelo de un condensador de 10 f en una resistencia de 10 . Calcule las potencias activas, reactiva, absorbidas por la carga, la tensión entre A-B, con el valor de N obtenidos.
Eg 120V 0 o Zg 0.5 j 2 f 50 Hz
Y Z
1
jWC 0.1 j 0.0031
R
1
Y
Z g
9.99 j 0.31
R g
j
X g
Resolución: Cuando la fuente no suministra potencia alguna la corriente es nula por lo que la tensión en sus terminales es de 120V
V AB 120V 120
I
2
0.5 2 N N paralelo
la
N
I
2
admitancia
500 2.062 120
120 N 2.062
500 A
equivalente
120 N 2.062
es
si se conecta la carga en
de
8.59
N 8
Y 0.1 j 0.0031
I
120 0
o
Z RC 9.99 j 0.31
o
2 0.5 j 9.99 j 0.31 8 8
120 0
10.615 j 0.06
11.3 j 0.0063
V I Z RC 119.34 1.44º
178
Potencia absorbida por la carga
S 113 1.4o 11.3 0.32o 1276.32 j 38.32 FdP
P S
PROBLEMA Nº04 Un motor de 5 HP con una eficiencia del 90% y un factor de potencia de 0.8 en atraso está conectado a una fuente de 220 a 60 Hz Determine: a)
El triangulo de potencias de la carga
b)
El capacitor que debe conectarse para hacer una corrección del
FdP
a 0.95 en atraso en el sistema después de la
corrección del FdP . Los cambios de corriente
Resolución: Encontrando la potencia eléctrica:
P0 1 HP 746W Pi P0
5 746
5 HP 5 746W
4144.44W
0.9 1 Cos 0.8 37.86 , en adelanto
P0 Pi
Q 4144.44Tan 37.86 3221.71V AR
S 4144.44 j3221.71 5249.36V A Debemos corregir el fdp a 0.95
Cos 0.95 18.19 o El valor del capacitor:
C
4144.44 Tan37.86 Tan19.67
220
2
377
C 95.37 f
I 1
5249.36
I 2
3907.30
220
220
23.86 37.86 17.76 19.67
PROBLEMA Nº05 179
Un transformador cuyas característica: S = 50 KVA 10/0.22 KV Alimenta a una planta industrial que consta de motores y hornos a un mismo voltaje. Se observa que un amperímetro conectado a una de las líneas del secundario del transformador da una lectura de 160 A y un waltímetro en el secundario da una lectura de 28.16 kw. Se coloca el único banco de condensadores disponible de potencia
QC 1 para corregir el factor de potencia y se observa que el
amperímetro no sufre alteración. ¿Cuál es la potencia de este banco de condensadores?.
Se decide instalar otro banco de condensadores con potencia la potencia del nuevo Banco de Condensa?
QC 2
A
con lo cual la corriente disminuye a 142,2 Amp. ¿Cuál es
w
10000 I
I
2 2 0 V
I C 2
I C
1
Z
C 1
C 2
Resolución: De los datos podemos encontrar el fdp:
A 160 A w 28.16x103 w V 220 v S 220 x160 35200 cos
P S
28.16x10
S 50 KVA Trafo 10/0.22 KV
3
35200
0.8 36.87
El Voltaje de entrada lo coloca como referencia entonces como las cargas son inductivas la corriente se atrasa 36.87 a la tensión.
I 160 A I 160 36.87
I T 160
I C
160
V 200 0
V 220 0
I c1 2 x160 sen 36.87
36.87
I c1 192 xc1
V I c
160 sen 36.87
220 192
I 160 36.87
180
Qc1 I 2 d . X c 1922
220
192
Qc1 42240var
Qc1 42.24 k var Otro Banco Condensador Del gráfico
160cos 36.87
142,2 cos 160cos 36.87
142,2cos
cos 0.9
25.82
36.87
I T 142,2
I 160
I c2 160sen 36.87 I c2 160sen 36.87 142.2sen 25.82 34.1 También: 142, 2sen 25.82
V 220 0 142,2 sen
I c2
I c2 34.1 Amp X c2
2 220 QC2 I c22 . X c2 34.1 x 7502 34.1 34.1
220
Qc2 7.502 k var PROBLEMA Nº06 Un Motor funciona normalmente a 220 voltios y 60 Hz, absorbiendo una corriente de 11 amperios retrasado 30 ° con respecto al
voltaje, el motor es instalado mediante una línea monofásica de “R” por conductor con un condensador en serie “C” que se alimentan desde una fuente de 220 v y 60 Hz. Si se desea que el motor opera normalmente, calcular: a) b) c)
El máximo valor de “R” y el valor del condensador para esta condición. El ángulo de la tensión en la entrada, después de la conexión de “C”. La potencia media disipa en el sistema. R
C
R
Linea Generador
Condensador y carea
181
Resolución jX c
2R
R ( / conductor) R(Total Línea) 2
V g 220V
220 V
V n
11 Amp
V m 220 0
I m 11 30 V g V2 R VC V m 220 V2 R V C 220 0 Diagrama fasorial
V m 200
V 2 R 220sen30
220cos30
V g 220 V c
V 2 R
Im *
VC 220 sen30
*
220cos 30 V 2 R 220
V C 110
V 2 R 29.47
182
Pero:
V2 R I x 2R 29.47 11 x 2 x R
R 1.34 El capacitor: Vc
I X c 110 11 x X c X c 10
Pero:
X c
1
wc
10
1 377c
c
1 10 x 377
2.65 x10 4
c 265 F Pmedia del sistema:
S Vg x I m* 220 30 x 11 30 220 x 11 S 2420 j 0 Q 0 ; P 2420 watts Otra forma:
P2 R I m2 2 R 112 2 x 1.34 324.28 watts
Pmotor VI cos 220 x 11cos 30 2095.78 Ptotal 2420 watts
PROBLEMA Nº07 Se han de suministrar 750 kw a 2200 v y 60 Hz en los extremos de una línea de 10 KM, siendo los parámetros de la línea
R L 0.162 / Km
K 0.277 / Km , por conductor. Determinar que valor tendrá el voltaje y el factor de y L potencia (f.d.p) en la estación generadora y la pérdida de potencia de una línea en %, cuando el fdp de la carga en los extremos de la línea es de 80% en atraso, así mismo calcule la potencia cedida por la estación generadora y el rendimiento en el transporte. Finalmente haga usted el diagrama fasorial de tensiones y corrientes. Resolver gráficamente u analíticamente.
183
Resolución:
2 0.162 j 0.227
Parámetros de la línea
Z L 3.24 j 4.54 5.58 54.5
Km
x10 Km
2 R L jX L
V L 750 Kw
V g
V C
C
2200V 60 Hz
fdp 0.8
Generador
carea
Línea 10 Km
V c 2200
V c 2200 0 fdp 0.8 j 36.87 VI cos P 220 xIx 0.8 750 x103 I 426.14 I 426.14 36.37 V g V L VC V L I x Z L
V L 426.14 36.87 x
5.58 54.5
V L 2377.86 17.63
184
Diagrama Fasorial
IX L 426.14 x 4.54 1934.68 IR 426.14x3.24 1380.7 Vg2 2200 cos 36.87 IR 2 2200sen36.87 IX L
2
Vg 4523 voltios tan
2200 sen 36.87 1934.68 2200cos 36.87 1380.7
46 36.87 46 36.87 9.13
V g 4523 9.13 cos46 0.7 fdpgerenador 0.7 Stotal 4523 9.13 x 426.14 36.87 1927431.2 46 1338906.2 j1386478 PT 1339 Kw ; QT 1386 K var 2
Plinea I 2 P 426.14 x3.24 588.36 kw Rendimiento en el trasporte
P PotÚtil . 750 motor 56% Pot .Total Ptotal 1339
185
PROBLEMA Nº08 Encuentre la magnitud y posición de fase de la corriente de los 2 generadores conectador en paralelo, así como también la pot. Generada y la pot. absorbida en el circuito que se muestra.
Z L1
Z L
2
Z 1
c a r g a
+
E 1 Generador 1
E1 1350 0
E 2 1300 10
Z1 1 j 3
Z 2 1 j3
Z L1 2 j1
Z 2 +
-
Línea
Z L2 2 j1
Carga: en vacío
Resolución Circuito equivalente +
6 j8
-
I
+
+
1350 0
1300 10 -
-
1350 0 1300 10 6 j 8 I
I I
1350 0 1300 10
6 j8 69.75 j 225.74 6 j8
22.24 j 7.96
I 23.6219.69
V L 22.24 j 7.96 6 j8 V L 69.76 j 225.368i V L 236.22 72.82
186
I
E 2 23.62
19.69 10
72.82
1350
1300
236.72
Potencia en la Impedancia Pto. En G1 2
P1 VI cos 1 1350 x 23.62 x cos 19.69 P1 30022.55 watts
P L I 2 R 23.62 x6 P L 3347.42
Pto. En G2
PG1 P2 PL
P2 VI cos 2 1300 x 23.62 x cos 15031
PG1 26674.85 3347.42
P2 26674.85
PG1 30022.27
PROBLEMA Nº09 En el circuito dela figura, se tienen 2 motores cuyas características son: Motor M1: 400 HP - Cos φ 0.8- inductivo – eficiencia 0.85 Motor M2: 75 HP - Cos φ 0.8 - atraso- eficiencia 0.85 M2 trabaja a plena carga y ambos rotores son alimentados a través de una línea R= 1.6 ohmios, L= 6.355x10-3 Henrios. El generador es de 2.3 KV. Y se conoce que entrega en los bornes una potencia de 200W. Hallar la potencia que consume el motor M1, la tensión de operación de los motores M1 y M2 y la potencia total que entrega el generador.
187
Resolución De (a):
R
r
1 . 6 Z 1 C os 3 7
P 200KW Cos37 0.8 Sen37 0.6 Luego:
200 KW 1.6 Z 1 0.8 I 2 ............(1)
Donde:
I
2.3KV
Zeq1
I
2.3KV
1.6 0.8 Zeq 2.39 0.6 Zeq 2
2
...........(2)
188
De (1) y (2) obtenemos:
I 2
Zeq 19 .57
200KW 1.6 ZeqCos37
I 107.48 A W motores 19.64 I 2 Cos37 19.64 0.8107.48
2
W M 181.504KW
189
Calculemos W2:
n2 P.C . 75 HP n
75 HPx 0 .746 KW
W 2 x1 HP
0 .85
W 2 65.82KW
W 1 W M W 2 ;
W 1 115.684KW
Como:
n
P HP 0.85 x115.684 x1 HP PHP 0.746KW W 1 1
P HP1 131 .8 HP
190
