FUERZAS CONSTANTES Y VARIABLES Trabajo realizado por una fuerza constante Una fuerza constante genera trabajo cuando, aplicada a un cuerpo, lo desplaza a lo largo de una determinada distancia. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento. Por otra parte, si una fuerza constante no produce movimiento, no se realiza trabajo. Por ejemplo, el sostener un libro con el brazo extendido no implica trabajo alguno sobre el libro, independientemente del esfuerzo necesario. El trabajo se expresa en Joules (J). Cuando la fuerza tiene la dirección de movimiento. L = F.d L: Trabajo realizado por la fuerza. f uerza. Cuando la fuerza aplicada tiene una inclinación α con r especto al movimiento. L = F.cos α .d Todas las fuerzas perpendiculares al movimiento m ovimiento no realizan trabajo. La fuerza puede no ser mecánica, como ocurre en el levantamiento de un cuerpo o en la aceleración de un avión de reacción; también puede ser una fuerza electrostática, electrodinámica o de tensión superficial. Si un objeto se mueve una distancia d en la dirección de una fuerza constante F aplicada sobre él, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define como w = F.d Existen muchos tipos de fuerzas: centrífuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto. Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable a un objeto se necesita el cálculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza varía según el objeto cambia de posición. REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta desde x = a hasta x = b debido a una fuerza que varía continuamente F(x). Consideramos una partición que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por a = x0 £ x1
Fuerzas variables TRABAJO de FUERZAS VARIABLES Voy a presentar un modo de calcular el trabajo de fuerzas variables (como la fuerza elástica). Empecemos por presentar un tipo de gráfico bastante útil: nos muestra el valor de una fuerza, F x , cualquiera en función de la posición -cambiante-, x , que ocupa un cuerpo. Se trata de un gráfico, como se ve, de fuerza en función de la p o s i c i ó n . En este caso en particular se trata de una fuerza constante, tiene siempre el mismo valor, y el subíndice x indica que la fuerza tiene la misma dirección que la posición (y del desplazamiento). Tomemos dos posiciones cualesquiera y llamémoslas x 1 y x 2 . Y calculemos el "area encerrada baja la curva" entre ese par de posiciones. Acá tenés el área que vamos a calcular. Como se trata de un rectángulo es sencillo: lado por lado, base por altura. La base es igual a x 2 — x 1 , y la altura es F . Ese producto no es otra cosa que el trabajo de la fuerzaF x en el desplazamiento (x 2 — x ) 1 . W F = F x . (x 2 — x ) 1 = F x . Δx
De modo que el área encerrada bajo la curva de este gráfico es igual al trabajo de la fuerza. No se trata, claro, de un área geométrica. Es un área que representa una magnitud física, en este cas o un trabajo. No se mide en unidades de superficie ( m ² , c m ² , o cualquier otra). Se mide en unidades de trabajo, por ejemplo el oule, J . Aceptado esto, podemos preguntarnos si con las fuerzas variables (o sea, que cambia de valor en cada posición) pasa algo equivalente. La manera de obrar es la siguiente: fraccionemos el desplazamiento en pequeños segmentos. El trabajo de la fuerza variable en el desplazamiento (x 2 — x ) aproxima mucho a 1 se la suma de los trabajos parciales representado por cada uno de los rectangulitos. Pero esa aproximación se puede aumentar tanto como uno quiera haciendo cada vez más pequeños los segmentos de desplazamiento que después tendremos que sumar. El análisis matemático permite hacer esas sumas de segmentos tan finitos que son invisibles. La notación es ésta: W = ∫F x d x
Que se lee así: el trabajo es igual a la suma integral de todos los productos entre el valor de la fuerza y el pequeño segmento de desplazamiento durante el que actúa la fuerza. O un poco más crípticamente: el trabajo es igual a la integral de la fuerza por el diferencial del desplazamiento. En los cursos iniciales de Física no se suele apelar a las habilidades ni a l os conocimientos de análisis matemático de los estudiantes, y No me salen no lo hace. Pero sí a las habilidades geométricas, que son mucho más básicas. Ya
que el cálculo de integrales es equivalente al cálculo de áreas. Por lo tanto tené presente esta conclusión que nos va a ser útil en la resolución de muchos ejercicios:
Calculo de la
Cálculo de Posición, Velocidad y Aceleración en el Movimiento Armónico Simple.
Cálculo de Posición Cuando una masa presenta un Movimiento Circular Uniforme (MCU), el movimiento se puede graficar o proyectar enun papel, describiendo un movimiento en términos de una función senoidal, es decir, de un Movimiento ArmónicoSimple (MAS). Como los valores máximos y mínimos de l a función seno son: +1 y − 1, el movimiento se realiza en unaregión del eje x comprendida entre – A y +A, donde A es el radio de giro del mcu.El MAS de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la “proyección” (sombra que se proyecta) de un cuerpo que describe un MCU de radio igual a la amplitud y velocidad angular, sobre el diámetro vertical de lacircunferencia que recorre. Esto nos permite encontrar más fácilmente las ecuaciones del MAS sin tener que recurrir acálculos matemáticos complejos.La ecuación general de posición de cualquier movimiento armónico simple es: x(t) = Asen( ω t+ Φ ) donde: x: es la posición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la partícula que vibra (también se le llama “ elongación ” ) t: es el tiempo en segundos. A: es la amplitud. ω : es la frecuencia angular y se mide en radianes/s; se relaciona con la constante del resorte de la siguiente forma: Φ :
Es el ángulo de fase y su valor depende del instante que se selecciona como cero en la escala del tiempo, esdecir, cuando t = 0, Φ =0 CALCULO DE LA ACELERACION VELOCIDAD Y LA POSICION PARA FUERZAS DEPENDIENTES DEL
FUERZA DE ARRASTRE En dinámica de fluidos, el arrastre o fricción de fluido es la fricción entre un objeto sólido y el fluido (un líquido o gas) por el que se mueve. Para un sólido que se mueve por un fluido o gas, el arrastre es la suma de todas las fuerzas aerodinámicas o hidrodinámicas en la dirección del flujo del fluido externo. Por tanto, actúa opuestamente al movimiento del objeto, y en un vehículo motorizado esto se resuelve con el empuje. En la astrodinámica, dependiendo de la situación, el arrastre atmosférico se puede considerar como una ineficiencia que requiere energía adicional durante el lanzamiento del objeto al espacio o como una ventaja que simplifica el regreso desde la órbita.
Fuerza de Arrastre, el Fenómeno de Separación y las Variables que Participan Para poder entender y manejar el concepto de fuerza de arrastre primero hay que entender el concepto de capa límite del aire que es uno de los aspectos básicos del desarrollo de la mecánica de fluidos, esta es una capa muy delgada de aire cercana a los bordes donde los efectos de la viscosidad son importantes, mas específicamente es aquella capa de aire que se forma sobre la superficie de los cuerpos en movimiento y en la cual se ha demostrado que la velocidad del aire varía desde cero hasta la velocidad del flujo de aire sin obstáculos. Esta capa nos entrega también los gradientes de presión cerca de las superficies ya mencionadas y es la
causante de que se desprendan los contornos de estas generando las llamadas estelas. En la siguiente figura podemos ver esquematizado el concepto de capa límite con velocidad constante: En la región A la velocidad es la del fluido libre; en B la velocidad del fluido cambia de cero a 0,99V; en la región C hay turbulencia.
Existe también el llamado punto de separación, que es el punto en el que el flujo, debido a gradientes de presión que encontramos sobre la superficie de los cuerpos, deja de seguir el contorno del cuerpo (en este caso es el punto c). Ahora, si analizamos la capa límite, esta es arrastrada por el empuje del fluido y es retardada por la fricción en la pared, si la presión es favorable (que decrece en dirección del flujo), esta capa seguirá moviéndose hacia adelante. Pero como la velocidad cerca de la superficie es pequeña y la presión es favorable, el momentum del fluido puede ser insuficiente para abrirse el paso y esto podría hacer que el fluido se detenga o incluso retroceda. Es así como el flujo puede despegarse de la pared del cuerpo provocando el llamado fenómeno de separación. Podemos ver este fenómeno en la siguiente figura, donde S es el punto de separación y L la línea de separación.
Podemos definir entonces la fuerza de arrastre como la fricción entre un objeto y el fluido por el
que se mueve que actúa de manera opuesta al movimiento. Matemáticamente hablando la fuerza de arrastre es: Donde las variables son:
Cd :coeficiente de arrastre. rf : densidad del medio. A : área de la sección transversal al movimiento. v :la velocidad. Sabemos tambíen que Cd es una función del número de Reynolds, Re( número valioso que sirve para definir el comportamiento de un fluido principalmente la transición del flujo laminar al
turbulento). Re vale: donde
l : longitud del objeto medida a lo largo de su sección transversal . h : viscosidad dinámica del fluido. Para un amplio intervalo de números Re, la forma funcional del coeficiente de arrastre Cd se
puede escribir. Para Re<1, el primer término domina. Para 1000 < Re < 200000, el coeficiente de arrastre Cd es aproximadamente igual a 0.4. Como podemos ver, las variables que participan en la fuerza de arrastre son:
El libro A History of Pi , de Petr Beckmann, es algo más que lo que indica su título. El autor hace interesantes incursiones, no sólo en la historia de la matemática en general, sino también del pensamiento humano. A propósito de Arquímedes, el primer matemático que no desdeñó la experiencia como fuente de conocimiento, dice:
Plutarco, Platón y Aristóteles, los padres del snobismo intelectual, enseñaron que la experimentación era propia solamente de esclavos, y que las
leyes de la naturaleza podían ser deducidas meramente mediante el uso del agudo intelecto humano, y Aristóteles usó este agudo intelecto para deducir que los cuerpos más pesados caen hacia el suelo más rápidamente, que los hombres tienen más dientes que las mujeres, que la Tierra es el centro del universo, que los cuerpos celestes nunca cambian, y mucha más de esa sabiduría, pues era un prolífico escritor. De hecho, Aristóteles fue batido en su propio terreno, por aguda deducción intelectual sin ayuda de observación experimental. Mucho antes de que Galileo Galilei arrojara las esferas de madera y de piedra desde la torre inclinada de Pisa, [Arquímedes] hizo la interesante pregunta: "Si una piedra de 10 unidades de peso cae diez veces más deprisa que una de una libra, ¿qué ocurrirá si ato ambas piedras? ¿Caerá el conjunto más deprisa que la piedra de 10 porque pesa 11, o más lentamente porque la piedra de 1 retardará la de 10?
Desde Galileo sabemos que en todas las hipótesis la velocidad de caída es la misma... aproximadamente, si prescindimos de la resistencia del aire. Pero si la tomamos en consideración, la piedra de 10 kg cae más aprisa que una de 1 kg, pues dicha resistencia es comparativamente mayor en ésta. Vamos a responder a la pregunta de Arquímedes. Estudiemos antes el movimiento en el seno del aire, suponiendo que la resistencia de éste es proporcional al cuadrado de la velocidad:
F = -kv² Donde es k = fk WS, siendo (sistema MKS):
f : factor de forma. Para una superficie plana, f = 1, para una esfera, f = 1/2.
k W: Constante de resistencia unitaria del aire. k W = 0,6 N s2/m4
S : Superficie frontal que se opone al aire. Para un círculo, S = D²/4
La ecuación de la caída de un cuerpo será:
Fácilmente se deduce que existe un límite a la velocidad que puede alcanzar el cuerpo. Viene dado por la igualdad mg = kv L² , es decir, cuando el peso del cuerpo iguala la resistencia del aire. A partir de entonces, el cuerpo caerá con una "velocidad límite" uniforme, que vale:
La integración de la anterior ecuación diferencial conduce a las expresiones:
Donde ch, th son las razones trigonométricas coseno hiperbólico y tangente hiperbólica, y log es el logaritmo neperiano. De ahí pueden calcularse fácilmente los distintos recorridos. Y ahora viene la triple respuesta:
a) Si sustituimos las dos esferas por una sola de la misma masa conjunta, ésta caerá más deprisa. Pero Arquímedes hablaba de atar las dos esferas. Y entonces la cuestión es distinta:
b1) Si las dos esferas caen presentando al aire su máxima superficie, caerán más lentamente que la de 10 kg, y más deprisa que la de 1 kg.
b2) Pero si caen de forma que la de 10 kg vaya al frente, el conjunto caerá más deprisa que ésta sola.
De hecho, ¿qué ocurrirá en la realidad? Aunque inicialmente la caída se produjera según (b1), la fuerza de resistencia del aire formaría un par de fuerzas que tendería a verticalizar el conjunto (como en una bomba de aviación arrojada por un avión), de manera que pronto éste caería según (b2). Por tanto, la respuesta es siempre que el conjunto cae más aprisa. Exponemos seguidamente los resultados de todos estos cálculos, suponiendo que g = 3
9,81 m/s², y que las bolas son esféricas, con densidad = 2.700 kg/m . Estos son los recorridos efectuados al cabo de 10 segundos en cada uno de los casos considerados:
CASO
vL (m/s)
Caso teórico Esfera de 1 kg Esfera de 10 kg
490,50 388,09 433,47
72,42 106,30
Esfera de 11 kg
108,00
z(10) (m)
434,95
E1+E10 (b1)
101,12
428,63
E1+E10 (b2)
111,48
437,81
¿Qué ocurre, por ejemplo, en el caso de un paracaidista? Los valores típicos son:
m= 80 kg = 784,8 N
k W = 1/16 N s2 /m4
S = 50 m
2
La velocidad final está en torno a los 4 m/s
