FRACCIÓN DE AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO Francisco Tello 1 1Escuela
de Ingeniería Civil, Universidad Nacional de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.
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RESUMEN Mediante la ecuación diferencial del movimiento para vibración libre y otras
), con este factor se determina el coeficiente de amortiguamiento crítico del sistema ( ) para finalmente hallar la fracción de amortiguamiento crítico () . Esta fracción tiene valores diferentes, esto relaciones se puede hallar el factor de amortiguamiento (
dependerá del tipo de material, estructura y fundamentalmente del nivel de esfuerzos al que está sometida la estructura, además este factor se puede utilizar para el análisis de daños en edificaciones. A continuación se estudiará la fracción de amortiguamiento crítico.
Palabras clave: amortiguamiento, amortiguamiento crítico, vibración, estructura. ABSTRACT By means of the differential equation of motion for fre e vibration and other relations, the damping factor (β) can be found, with this factor the critical dampin g coefficient of the
system ( )) is determined to finally find the critical damping fraction (ζ). This fraction has different values, this will depend on the type of material, structure and fundamentally on the level of stress to which the structure is subjected, besides this factor can be used for the analysis of damages in buildings. Next, the critical damping fraction will be studied.
Keywords: damping, critical damping, vibration, structure. INTRODUCCIÓN Dentro del estudio de dinámica de estructuras resulta importante conocer, antes de entrar al estudio de la fracción de amortiguamiento crítico (
), acerca del sistema de
un grado de libertad y las características dinámicas que estas tienen, éstas características se pueden definir analizando la vibración libre no amortiguada del sistema, es decir el sistema tiene amortiguamiento por fricción el mismo que se considera considera viscoso en el cual 1
la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad, obteniendo finalmente la ecuación diferencial del movimiento para un sistema de un grado de libertad:
̈() + ̇() + () = 0 Donde m, c, k son la masa, el coeficiente de amortiguamiento y rigidez del sistema,
(1)
̈(),
̇(), (), son la aceleración, velocidad y desplazamiento relativos de la masa con respecto al suelo.
Se debe conocer esta ecuación para poder definir la fracción de amortiguamiento crítico
), que es lo que se estudiará, la misma que se incluirá a la ecuación antes mencionada,
(
ecuación (1) y se podrá resolver tanto analíticamente como empleando métodos numéricos, para llegar a dibujar los diagramas de acel eración, velocidad y desplazamiento del sistema.
MATERIAL Y MÉTODOS Fracción de amortiguamiento crítico Para hallar la fracción de amortiguamiento crítico se debe definir lo siguiente:
= = 2 Donde
(2)
(3)
es la frecuencia natural de vibración del sistema, factor de amortiguamiento.
Ahora se divide la ecuación (1) para m y reemplazamos las ecuaciones (2) y (3), teniendo la siguiente ecuación:
̈() + 2̇ () + () = 0
(4)
La solución de esta ecuación diferencial se obtiene utilizando la sustitución:
() =
(5)
Esto conduce a la siguiente ecuación característica:
+ 2 + = 0
(6)
Esta ecuación tiene como soluciones: 2
1, = − ± −
(7)
En función del discriminante de la expresión (7) se distinguen tres casos, amortiguamiento crítico, amortiguamiento supracrítico y amortiguamiento subcrítico. El que se va a estudiar es el amortiguamiento crítico, el mismo que se define como el valor
del coeficiente de amortiguamiento para el cual el discriminante se anula, teniendo la siguiente relación:
− = 0 De donde se obtiene el factor de amortiguamiento crítico
(8)
:
=
(9)
Teniendo en cuenta la ecuación (3), el coeficiente de amortiguamiento crítico se define como:
= 2 = 2
(10)
Utilizando la relación (2) se tiene que:
= 2√ Con todo esto se define
fracción del amortiguamiento crítico
(11)
() de un sistema como
la relación entre el coeficiente de amortiguamiento (c) y su coeficiente de amortiguamiento crítico
(): =
(12)
El valor de depende del tipo de material, estructura y fundamentalmente del nivel de esfuerzos al que está sometida la estructura como se muestra en la tabla 1. Normalmente este amortiguamiento es menor del 8% cuando la estructura se encuentra en el rango elástico, para el rango inelástico este valor se incrementa. Para estructuras de mampostería el amortiguamiento está entre el 7 y 8%.
Para finalizar se debe indicar que el factor se puede obtener con estudios de vibración ambiental y es una manera de saber si una estructura tiene o no tiene daño. Si los valores
de son menores al 1% la estructura no presenta daño pero si estos valores superan esta
3
cantidad se deberá determinar las zonas más débiles del edificio mediante un análisis estático no lineal y así poder reforzar la estructura.
RESULTADOS Y DISCUCIÓN Se tiene como resultado que la fracción de amortiguamiento crítico es la relación del amortiguamiento (c) y su amortiguamiento crítico
(), la misma que dependiendo
del material, estructura y del nivel de esfuerzos sometidos a la estructura tendrá valores diferentes. Es interesante saber que mediante el valor de esta fracción de amortiguamiento crítico se puede saber si una estructura tiene daños, cl aro que hay métodos más completos para saber eso pero como un método aproximado y práctico se lo podría utilizar.
CONCLUSIONES
El coeficiente de amortiguamiento crítico
es una característica propia del
sistema, ya que depende solamente de otras características propias del sistema como lo son la masa y la rigidez.
Para determinar la fracción de amortiguamiento crítico se necesita conocer la ecuación diferencial del movimiento para vibración libre, con esta ecuación se puede hallar el coeficiente de amortiguamiento crítico para finalmente determinar la fracción de amortiguamiento crítico.
La fracción de amortiguamiento crítico es la relación entre el amortiguamiento del sistema y su amortiguamiento crítico, sus valores pueden cambiar según el material, la estructura y el nivel de esfuerzos sometidos a la misma.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aguiar, R. 2003. Análisis sísmico por desempeño. Páginas 221-224, Quito, Ecuador. Barbat, A. 1982. Cálculo sísmico de las estructuras . Páginas 52-55, Barcelona, España. Bozzo, L., y Barbat, A. 2000. Diseño sismoresistente de edificios.Técnicas convencionales y avanzadas. Páginas 34-39, Barcelona, España. Hurtado, J. 2000. Introducción a la dinámica de estructuras. Primera edición. Páginas 1520, Manizales, Colombia. Cassano, A. 2009. Análisis de estructuras bajo acciones dinámicas. Páginas 20-24, Paraná – Entre Ríos, Argentina 4
TABLAS
Tabla 1. Valores de amortiguamiento ζ recomendados por Newmark y Hall . (Aguiar, 2003)
NIVEL DE TENSIONES
Tensiones de servicio menores al 50% de los de fluencia
Tensiones a nivel de fluencia o cercanos a la fluencia
TIPO Y CONDICIÓN DE LA ESTRUCTURA
(EN %)
Tuberías Vitales
1a2
Acero soldado, hormigón pretensado, hormigón muy reforzado con pequeño amortiguamiento
2a3
Hormigón armado con fisuramiento considerable
3a5
Acero apernado y/o remachado; estructuras de madera con uniones apernadas o clavadas.
5a7
Tuberías Vitales
2a3
Acero soldado, hormigón pretensado sin pérdida completa de la pretensión
5a7
Hormigón pretensado con pérdida completa del pretensado
7 a 10
Hormigón armado
7 a 10
Acero apernado y/o remachado, estructuras de madera con uniones apernadas
10 a 15
Estructuras de madera con uniones clavadas
15 a 20
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