LISTA DE TA/L Tabla 1: Masas equivalentes y coeicientes de rigide! de algunos sistemas""""""""""""""""""""""" 5
LISTA DE IL0STRACIONESY Ilustración 1: #$ndulo de torsión vertical %&ao' 2012("""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"") Ilustración 2: #$ndulo de torsión *ori!ontal %+ra*am' 2000(""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") Ilustración ): ,igura A %-*abana' 1991(""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""5 Ilustración .: ,igura / %-*abana' 1991("""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Ilustración 5: ,igura %-*abana' 1991("""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Ilustración : ,igura %-*abana' 1991("""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Ilustración 3: ,igura del e4ercicio 1(:"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Ilustración : ,igura del e4ercicio 2(""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 3 Ilustración 9: ,igura del e4ercicio )("""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
2
De&inición -e conoce como vibración torsional al movimiento oscilante resultante que e4erce un cuer6o r7gido con res6ecto a un e4e es6ec7ico" 8n otras 6alabras es el movimiento' de des6la!amiento angular' que e4erce un cuer6o sólido con res6ecto a un e4e i4o' que 6ara e4ercicios se usa comnmente una lec*a" 8s im6ortante mencionar que el des6la!amiento angular tambi$n lo es con res6ecto a la lec*a y no solo del cuer6o sólido" %&ao' 2012( 8isten varias ormas de que un movimiento como este se e4ecute' tales como: ; ;
Torsión de un miembro el
#ara determinar la constante de elasticidad de un sistema de torsión como el que acabamos de mencionar' necesitamos algunos conce6tos 6revios"
Par %e torión Mt omo se mencionó antes' se requiere de una condición 6ara generar este movimiento' como 6uede ser un 6ar de uer!as' en este caso un momento desbalanceado"
Ilustración 1: Péndulo de torsión vertical (Rao, 2012)
Ilustración 2: Péndulo de torsión horizontal (Graham, 2000)
omo resultado tenemos la siguiente ecuación:
M t =
G I o l
θ
onde: ;
Mt: #ar torsional que 6roduce el des6la!amiento en θ
;
θ "
: es6la!amiento angular"
;
G : Módulo de cortante"
;
I o : Momento de inercia %6olar( en la lec*a"
;
l : =argo de la lec*a"
Mo!ento %e Inercia
I o
omo se mencionó antes es el momento de inercia que e4erce la lec*a' al ser un cuer6o con masa e4erce este ti6o de movimiento' y es en sentido 6olar' esto quiere decir que se a6lica 6er6endicular a su e4e aial o longitudinal" =a ecuación de este momento es:
I o=
πd
4
32
onde:
d : i
;
Contante %e Reorte Toriona'
k t
Al momento en que el disco se des6la!a un
θ y salir de su 6osición de
equilibrio' la lec*a se ve aectada 6or este movimiento y 6roduce un 6ar de torsión
M t
" Al actuar de esta manera la lec*a acta como un resorte torsional cuya constante de restauración est< dada 6or la siguiente ecuación:
k t =
M t θ
=
G I o
πG d = l 32 l
4
Mediante la derivación de la segunda ley de >e?ton se 6uede deinir la ecuación del movimiento angular del disco con torsión alrededor del e4e aial" #ara esto se considera el diagrama de cuer6o libre del disco"
J 0 θ´ + k t θ =0
on esta ecuación 6odemos determinar la recuencia natural del sistema' la cual ser7a:
( )
w n=
k t
1 2
J 0
Adem
θ ( t ) = A 1 cos w π t + A 2 sin w π t
@ como se 6uede a6reciar' la solución a la ecuación dierencial es la re6resentación de un movimiento armónico sim6le"
A(ecto %e' ite!a 8ste as6ecto es muy obvio 6ero si la masa al etremo de la lec*a no es del ti6o circular se debe calcular la inercia de masa del disco" on el as6ecto anterior se deduce que la constante torsional del sistema de6ende en gran manera de la orma de la masa al etremo de la lec*a" =a resolución de la ecuación dierencial nos da como resultado una e6resión que re6resenta un movimiento armónico sim6le"
Tala 1: !asas e"uivalentes # coe$icientes de ri%idez de al%unos sistemas (&haana, 1''1)
Ilustración : i%ura * (&haana, 1''1)
Ilustración +: i%ura (&haana, 1''1)
Ilustración -: i%ura . (&haana, 1''1)
Ilustración /: i%ura (&haana, 1''1)
E.ercicio %e A('icación 1( n cilindro de masa m y momento de inercia de masa B0 rueda libremente sin desli!arse 6ero est< restringido 6or dos resortes de rigideces C1 y C2' como se
muestra en la Ilustración 3: ,igura del e4ercicio 1(: " 8ncuentre su recuencia natural de vibración' as7 como el valor de a que maimi!a la recuencia natural de vibración"
Ilustración : i%ura del eercicio 1): 1
2
1
J 0= m R ; J c = m R 2
2
2
+m R
2
on un des6la!amiento angular
θ
8cuación del movimiento:
´ + k ( R + a ) θ + k ( R + a ) θ=0 J c θ 1 2 2
w n=
√
2
2
( k + k ) ( R +a ) 1
2
J c
=
√
( k +k ) ( R +a ) 1
2
2
1.5 m R
2
8l valor m<imo de DaE ser< cuando a F &"
2( na barra uniorme de masa m y longitud l est< conectada a la bisagra en el 6unto A y a cuatro resortes lineales y a un resorte torsional' como se muestra en la Ilustración : ,igura del e4ercicio 2( " etermine la recuencia natural del sistema si C 5 2000 >Gm' Ct 5 1000 >;mGrad' m 5 10 Cg' y l 5 5 m"
Ilustración 3: i%ura del eercicio 2)
( )
J A θ´ =−w dθ− 2 k
l
θ
3
( )
l
2l
¿− 2 k
3
3
θ
2l 3
−k t θ
onde:
J A =J G + m d
2
=
1 12
w n=
w n=
√
√
ml
(
2
+m
l
2
¿
36
2
mgd + k l 9
2
+
ml
9∗10∗9.81∗5 6
1
8 9
9
ml
kl
2
ml
2
9
)
+ k t 9
2
2
=
√
(
θ´ +
2
mgd + 2 k
l
9
+
8 9
kl
2
)
+ k t
θ= 0
2
9 mgd + 10 k l + 9 k t
ml
2
2
+ 10∗2000∗5 + 9∗1000 10∗5
2
= 45.155
rad s
)( 8ncuentre la ecuación de movimiento de la barra r7gida uniorme HA de longitud l y masa m de la Ilustración 9: ,igura del e4ercicio )( " 8ncuentre tambi$n su recuencia natural"
