MORTIGUAMIENTO DE COULOMB DE COULOMB COC 3100 COC 3100 ‐ INGENIERÍA SÍSMICA Profesora: Carolina Magna V.
VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB.
Hemos mencionado que el amortiguamiento real de las estructuras es una suma de distintos mecanismos de disipación de energía actuando simultáneamente y matemáticamente los hemos idealizado como un amortiguamiento equivalente. Sin embargo, esta aproximación es suficiente para la mayoría de las estructuras de la práctica, pero puede no ser apropiada cuando se introducen otros dispositivos friccionales al edificio para reducir sus vibraciones durante los sismos. El amortiguamiento de Coulomb resulta del roce producido entre dos superficies secas en contacto durante el movimiento. La fuerza de roce es donde es el coeficiente de roce, que se asume igual tanto para el caso estático como para el caso dinámico, y es la fuerza normal entre las dos superficies en contacto. La fuerza de roce es independiente de la velocidad una vez que se inicia el movimiento. La dirección de la fuerza de roce se opone al movimiento y su signo cambiará cuando la dirección del movimiento cambie. Por esta razón, se necesita una formulación y solución de dos ecuaciones diferenciales diferentes, una válida para el movimiento en una dirección y otra válida para el movimiento en la otra dirección. La siguiente figura muestra las dos componentes del movimiento y los distintos diagramas de cuerpo libre para el bloque:
Por lo tanto, la primera ecuación de movimiento sería:
Si tomamos, ⁄ , la cuya solución a esta ecuación es:
cos sin
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Posteriormente, cuando el sistema se detiene y avanza en sentido contrario, la ecuación de movimiento es:
y su solución sería:
cos sin Las constantes , ,
y
dependen de las condiciones iniciales de cada ciclo sucesivo de
movimiento. Además, se considera
⁄
y la constante
puede interpretarse como la
deformación estática del resorte a la fuerza de roce F. Si consideramos
0 0 y 0 0, se tiene que las constantes en la primera ecuación serían: 0
Entonces:
0
0 cos
Para el segundo ciclo, se cumple que:
0 ⁄
(medio ciclo)
⁄ ⁄ ⁄ 0
Desarrollando se tiene:
⁄ cos ⋅ ⁄ sin ⋅ ⁄ 0 ⁄ 0 cos ⋅ ⁄ 0 2 Igualando, se tiene: Además:
0 3
⁄ sin ⋅ ⁄ cos ⋅ ⁄ 0 0
Al sustituir en la segunda ecuación de respuesta, se tiene:
0 3 cos
⁄ 2⁄
Entonces, esta última ecuación es válida hasta que la velocidad sea cero de nuevo en el tiempo
2⁄ y en ese instante se tiene 0 4 . 2⁄ el movimiento se revierte y luego se describe por la primera ecuación de movimiento vista ( ), que tras evaluar las constantes , se tiene como respuesta: En el tiempo
0 5 cos
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2⁄ 3⁄
2
OJO: el tiempo que demora cada medio ciclo es ⁄ y la derivación de un ciclo completo es el período natural de vibración:
2 ⁄
Se observa que el período natural de vibración de un sistema con amortiguamiento de Coulomb es el mismo que para un sistema sin amortiguamiento, en contraste con el amortiguamiento viscoso que tuvo un efecto de “alargamiento del período”. En cada ciclo de movimiento, la amplitud se reduce en 4 . Entonces, entre ciclos sucesivos se tiene:
4 Por lo tanto, la evolvente de la curva de desplazamiento en el tiempo es una línea recta en vez de las dos funciones exponenciales vistas para sistemas con amortiguamiento viscoso:
¿Cuando la vibración libre de un sistema con fricción de Coulomb se detiene?
En cada ciclo la amplitud se reduce en 4 . El movimiento se detiene al final del medio ciclo en el cual la amplitud es menor a . En este punto, la fuerza del resorte actuando en la masa es menor a la fuerza de roce, , y el movimiento decae. La posición de reposo final de la masa es desplazada de su posición original de equilibrio y representa una deformación permanente en la cual la fuerza del roce y la fuerza del resorte se equilibran. Remeciéndole o pegándole, el sistema se sacudirá la suficiente hasta restaurar el equilibrio. El amortiguamiento real de las estructuras se debe en parte a la fricción de Coulomb, ya que este mecanismo puede detener el movimiento de vibración libre. Si el amortiguamiento fuera solamente viscoso, teóricamente el movimiento continuaría por siempre, con amplitudes infinitesimales. La variedad de mecanismos de amortiguación que existen en las estructuras reales raramente son modelados individualmente. Particularmente, la fuerza friccional de Coulomb que pueda existir no
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es considerada explícitamente a menos que un dispositivo friccional sea incorporado a la estructura. Incluso tales dispositivos es posible modelarlos mediante el uso de amortiguamiento viscoso equivalente para obtener resultados aproximados de la respuesta inelástica.
Ejemplo: Un pequeño edificio consiste en cuatro marcos de acero, cada uno con un dispositivo friccional, soportando una losa de hormigón armado como se muestra en la figura a) y b). La fuerza normal a través de cada uno de los pad friccionales ha sido ajustada para ser igual al 2.5% del peso de la losa (figura b) y c)). Un registro del movimiento del edificio en vibración libre a través del eje x se muestra en la figura d). Determine el coeficiente de roce efectivo.
Solución:
Se supone que el peso de los marcos es despreciable al comprarlo con el peso de la losa y que los mecanismos de disipación de energía distintos a los friccionales también son despreciables. Esto
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último es razonable, debido a que la amplitud del movimiento decae en forma lineal como se ve en la figura d). Primero determinamos y :
ó 4.5 0.5 ° 9
4
2 4 0.5
ú 5.5 0.1 0.6 ° 9 0.15
0.025 , siendo el peso de la losa, y su componente en la dirección lateral (horizontal), como se muestra en la figura a) y b), es 0.025cos . La
La fricción a los largo de cada barra es
fuerza total de fricción en la dirección lateral debida a las cuatro barras es:
4 0.025 0.1
16 0.08 20
0.08 0.08 0.08 0.154 0.08 0.08 0.767
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