MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
Los sistemas que se han considerado hasta ahora son idealizaciones en las cuales se considera que no existe fricción, que únicamente intervienen fuerzas conservativas de tal manera que no hay disminución de la energía mecánica y que una vez que el sistema se pone po ne en mov movimi imien ento to,, és éste te con contin tinúa úa osc oscila iland ndo o pa para ra sie siemp mpre re sin dis dismin minuci ución ón de su amplitud.
n la práctica los sistemas siempre tienen alguna forma de fricción y las oscilacione oscilaciones s van dismin dis minuy uyend endo o a men menos os qu que e se pro provea vea de alg algun una a for forma ma de ree reempl mplaza azarr la en energ ergía ía mecánica perdida por la fricción. !"emplo# el péndulo de un relo"$. La disminución en la amplit amp litud ud ori origin ginad ada a po porr la las s fue fuerza rzas s dis disipa ipativ tivas as es lla llama mada da el amortiguamiento , y e l movimiento corresponde a oscilaciones amortiguadas. ntre las diferentes posi%ilidades, el ca caso so má más s si simp mple le de an anal aliz izar ar es el de un una a fu fuer erza za de am amor orti tigu guam amie ient nto o qu que e es proporcional a la velocidad del cuerpo que oscila. ste tipo de comportami comportamiento ento se presenta en el movimiento de líquidos viscosos, como en el cas caso o de los amo amorti rtigu guad adore ores s de au auto tomóv móvile iles s o el de desli slizam zamien iento to en entre tre sup superf erfici icies es lu%ricadas con aceite. &e ilustra en la siguiente figura#
Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado i!re l concepto concepto del movimien movimiento to armónico armónico li%re no es realista realista porque el movimien movimiento to que descri%e la ecuación estudiada anteriormente supone que no hay fuerzas de retardo que actúan so%re la masa en movimiento. ' menos que la masa esté colgada en un vacío
perfecto, cuando menos ha%rá una fuerza de resistencia de%ida al medio que rodea al o%"eto. &egún se advierte en la figura, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador. E"ua"i#n di$eren"ia de movimiento amortiguado i!re n el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan so%re un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. n particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dx(dt. )uando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de *e+ton# 2
m
d x d t
dx dt
−kx − β
=
2
'l dividir la ecuación por la masa m, la ecuación diferencial del movimiento amortiguado
x(dt - ! β (m$dx(dt - !(m$x / 0 , o sea
i!re es d
2
d x 2
d t
Donde 2
+ 2
λ
dx dt
β m
λ =¿
2
+ ω x =0
2
,
ω
=
k m
l sím%olo λ sólo se usa por comodidad alge%raica, porque así la e"ua"i#n au%iiar queda m& ' &λm ' (& ) * y las raíces correspondientes son#
−b ± √ ( b ) −4 ac r= 2 ( a) 2
FORMULA GENERAL
'hora podemos distinguir tres casos posi%les que dependen del signo alge%raico de λ 1 +.
+ASO I: λ& , (& - *. 'quí, se dice que el sistema está so!reamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento, β , es grande comparado con la constante de resorte, . ! 'quí las raíces son números reales diferentes,
m1 , m 2
$
La solución general de la ecuación es#
La ecuación del movimiento es#
+ASO II: λ& , (& ) *. &e dice que el sistema está "r/ti"amente amortiguado puesto que cualquier peque2a disminución de la fuerza de amortiguamiento m1=m2 originaría un movimiento oscilatorio. ! $ La solución general de la ecuación es x!t$ /
x !t$ / e1 λt!c3- ct$. +ASO III: λ& , (& 0 *. &e dice que el sistema está su!amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es peque2o en comparación con la constante del resorte. 'hora las raíces
m1
y
m2
son comple"as#
ntonces, la solución general de la ecuación es#
