Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento m &u&(t) + k u = 0
u k
Condiciones iniciales. Problema del valor inicial. u(t
=
0) = u o
⋅
o
u& (t = 0) = v o
m
u& (t = 0) = v(t = 0) = v o
=
⋅
o
- Aω sen(ω ⋅ 0) + Bω cos(ω ⋅ 0) ⇒ B = v o / ω
u(t)
v
u(t) = u o cos(ω t) + o sen(ω t) ω
2 2 C = u +( v / ω) o o
ú0 C
u0
C Marzo 2009
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Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento Armónico
Sen mismo ω
Periódico
Cos u(t)
t
u(t) = u o cos(ω t) +
Marzo 2009
vo ω
sen(ω t)
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Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento ω
f
ω
Frecuencia Angular Frecuencia Natural
f =
er o o
k
=
=
radianes / segundos
m ω
ciclos / segundos
2π
2π
segundos
ω
u(t)
t T
Marzo 2009
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Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento ω
ω
k
=
m
T=2π
T=
2π
Rigidez
ω
T = 2π Marzo 2009
Masa
m k Dinámica Estructural. UIS
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Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento. Amplitud del movimiento v
u(t) = u o cos(ω t) +
o
sen(ω t) ω la amplitud del
Demostración de movimiento de la solución de la ecuación de movimiento de un oscilador simple sin amortiguamiento en vibración libre: u (t ) = u 0 cos(wt ) +
u0
u (t ) = C
w
sen(wt )
cos(wt ) + 2
haciendo : C = entonces :
v0
u0
C v0 / w
u0
+
v0 / w
(v0
=
senα
=
cos α
sen(wt )
w)
2
C
u0 v0 / ω
C u (t ) = C [senα cos(wt ) + cos α sen(wt )] u (t ) = Csen(wt + α )
Marzo 2009
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Respuesta a la Vibración Libre. Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento. u(t) = C sen (ω t +voα)
u(t) = u o cos(ω t) +
ω
C
sen(ω t)
u(t) = C [ sen α cos(ω t) + cos α sen( ω t) ] u(t)
=
( u + v o /ω 2 o
α
2
)
u0
v0 / ω
4 0
u0
C
3 1
5 2
C
T = 2π / ω Marzo 2009
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t
Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre Determinar la frecuencia natural y el período del sistema mostrado en la Figura, el cual consiste en un anuncio de peso P=2000 N, el cual está sostenido por una viga en voladizo a través de una barra. La viga, con un extremo empotrado, cuenta con una altura h=0.20 m, y un ancho b=0.20 m, un módulo de elasticidad E=1.8x104 MPa, y una longitud L=1 m. El cable tiene un diámetro de 0.02 m y cuenta con un módulo de elasticidad E=2.1x105 MPa y una longitud L=0.30 m
CHIO-Marzo 2011
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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre Solución :
Para determinar el período o la frecuencia del sistema es necesario calcular la rigidez (k) y la masa (m), una vez idealizado el sistema. 1. IDEALIZACIÓN
Finalmente se ha llegado a un sistema en serie CHIO-Marzo 2011
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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre 2. DETERMINACIÓN DE PROPIEDADES DE RIGIDEZ Y MASA
⇒ k e ⇒
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k e
=
k 1
+
k 2
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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre . Cálculo de k1 (aporte en rigidez de la viga) P=k∆⇒k= como
Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre . Cálculo de k2 (aporte del cable) P = k ∆ ⇒ ∆ =
como
para
∆
∆
=
P k
PL
= 1⇒ k =
AE L
siendo: A=π (r)² = π (1)²=3.1416x10- 4 m² E=2.1x105 MPa L=0.30 m entonces: CHIO-Marzo 2011
k2=219911.50 KN/m Dinámica Estructural. UIS
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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre . Cálculo de ke (rigidez del sistema) 1 k e
=
1 k 1
+
1 k 2
k e = 6971.7 KN/m
. Determinación de la masa (m), suponiendo aporte solamente del anuncio
m=
2000 N g
=
2000 N 10 m/ s2
m = 200 kg CHIO-Marzo 2011
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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre 3. DETERMINACIÓN DE LA FRECUENCIA ANGULAR ( ω) ω=
k m
=
6971.7x103 N/m 200 kg
. 4. DETERMINACIÓN DEL PERÍODO NATURAL (T) 2 π = ω T⇒ T =
2π
=
2π 187 rad/s
ω
T = 0.034 s
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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre 5. DETERMINACIÓN DE LA FRECUENCIA NATURAL (F)
f =
1 T
=
1 0.034 s
f = 30 c. .s Respuesta: La frecuencia natural del sistema es igual a 30 hz. El periodo natural del sistema es igual a 0.034 s.
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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre Una viga en voladizo y dos cables de acero, como se ilustra en la figura, sostienen un anuncio que pesa 2 KN. En este sistema, la viga de concreto reforzado (cuyo módulo de elasticidad es E=18 GPa) tiene una sección transversal de altura h=0.25 m, y un ancho b=0.20 m, y tiene una longitud de L=0.80 m. Los cables de acero (cuyo módulo de elasticidad es E=210 GPa) tienen un diámetro de 6 mm y una longitud L=0.45 m. ¿Cuál es la frecuencia angular, el período natural y la respuesta del sistema en vibración libre si una ráfa a de viento induce en el anuncio un desplazamiento inicial de 1 cm en dirección vertical y una velocidad inicial de 0.2 m/s en la dirección vertical?. Desprecie la masa de la viga y de los cables de acero. Utilice 9,81 m/s2 como valor de la gravedad.
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L = 0.80 m
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Ejercicio. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento. Vibración libre W= g= m= Ev = bv = hv = Iv = Lv = kv = Ec = dc = Ac = Lc = kc = kequiv = w= f= T= u(t=0) = v(t=0) = A= B=
KN m/s2 kg GPa m m m4 m MN/m GPa mm m2 m MN/m MN/m rad/s hz s cm m/s m m
Respuesta Frecuencia angular = 256.9 Periodo natural = 0.024 Respuesta del sistema u(t) = A*cos(wt) + B*sin(wt) donde: A= 0.01 B = 0.000778 w= 256.931
rad/s s
m m rad/s
ó res uesta del sistema en forma ráfica: 0.015 0.01 0.005 ) t ( u
t
0 -0.005
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-0.01 -0.015
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Tarea. Sistema de 1 GDL sin amortiguamiento en vibración libre El pórtico ilustrado en la figura tiene las siguientes características: Ancho de las columnas y vigas, b = 0.20 m; altura de la sección de las columnas y vigas, h = 0.30 m; módulo de elasticidad del material, E = 20 GPa; Longitud del vano, Lv = 3 m; altura de las columnas, H = 3 m; carga muerta uniformemente distribuida sobre la viga, w = 40 kN/m. Evaluar: a) La respuesta de la estructura modelada como un sistema de 1 GDL sin amortiguamiento en vibración libre (u0 = 3 cm y v0 = 15 cm/s en dirección horizontal). Evalúe la rigidez equivalente con un modelo de resortes en serie y en paralelo, ó utilizando los resultados de un análisis estructural. b) Cuánto varía la respuesta si la carga muerta es un 50% mayor?
