Formul ormular ario io de Prec Prec´ ´ alcu alculo lo.. 1.
5. Leyes de los logaritmos. a ) loga (P Q) = loga (P ) P ) + loga (Q) P b ) loga = loga (P ) P ) loga (Q) Q
Los Numeros. u ´meros.
1. Leyes de los exponentes y radicales. a ) am an = am+n d )
a b
n
n
=
g ) a1/n = j ) j )
b ) (am )n = amn
a bn
e)
√a
√ab = √a √b n
n
n
a = am−n n a
h ) am/n =
n
k )
n
a = b
c ) loga (Qn ) = n loga (Q)
c ) (ab) ab)n = an bn
m
f ) f ) a−n =
√am √a √b
e ) loga (ax ) = x
√
n
l )
n
√
m
n
d ) aloga (x) = x
1 an
i ) am/n = ( n a)
n
a=
f ) f ) loga (1) = 0
m
g ) aloga (a) = 1
√a
mn
h ) log(x log(x) = log10 (x)
2. Productos Productos Notables. Notables.
i ) ln(x ln(x) = loge (x)
− y) = x2 − y2 b ) Binomio al Cuadrado: (x (x ± y )2 = x2 ± 2xy + y 2 c ) Binomio al Cubo: (x (x ± y )3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 3xy 2 ± y 3
a ) Binomios Binomios Conjugados: Conjugados: (x (x + y )(x )(x
j ) j ) Cambi Cambioo de base base::
logb (Q) logb (a)
log loga (Q) =
2. Soluc Solucio ione ness Exact Exactas as de ecu ecuac acioiones Algebraicas
2
d ) d ) (x + y ) = x2 + 2 xy + y 2 e ) (x
−
− y)2 = x2 − 2 xy + y2 3
f ) f ) (x + y ) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3 g ) (x
6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.
− y)3 = x3 − 3 x2y + 3 xy2 − y3
a ) La Ecuaci´ on on Cuadr Cu adr´ ´ atica ati ca:: ax2 + bx + c = 0 tiene soluciones: b b2 4ac x= 2a 2 El n´ umero umero b 4ac se llama discriminante de la ecuaci´ on. on. i) Si b2 4ac > 0 las ra´ ra´ıces son reales y diferentes. 2 ii) Si b 4ac = 0 las ra´ ra´ıces son reales e iguales. 2 iii) Si b 4ac < 0 las la s ra´ıces ıces son so n complejas compl ejas conjugaconjug adas. b ) Para la Ecuaci´ on o n C´ ubica: ubica: x3 + ax2 + bx + c = 0 sean:
4
h ) (x + y ) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy3 + y 4 i ) i ) (x
− ±√ −
− y)4 = x4 − 4 x3y + 6 x2y2 − 4 xy3 + y4 5
j ) j ) (x + y ) = x5 + 5 x4y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy4 + y 5
−
− y)5 = x5 − 5 x4y + 10 x3y2 − 10 x2y3 + 5 xy4 − y5 3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces: k ) k ) (x
n
n
(x + y ) =
r=0
Nota:
− − −
n n−r r x y r
n n! = n Cr = r r!(n !(n r)!
−
Q=
3b
9
4. Factores Notables. a ) Diferencia Diferencia de Cuadrados: Cuadrados: x2
− y2 = (x ( x + y )(x )(x − y ) b ) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x )(x2 − xy + y 2 ) c ) Diferencia Diferencia de Cubos: Cubos: x3 − y 3 = (x ( x − y )(x )(x2 + xy + y 2 ) d ) d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ± 2xy+ xy + y 2 = (x± y)2 e ) x2 − y 2 = (x ( x − y ) (x + y ) 3− 3 f ) f ) x y = (x ( x − y ) x2 + xy + y 2 g ) x3 + y 3 = (x ( x + y ) x2 − xy + y 2 h ) x4 − y 4 = (x ( x − y ) (x + y ) x2 + y 2 i ) i ) x5 − y 5 = (x ( x − y ) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy3 + y 4 j ) j ) x5 + y 5 = (x ( x + y ) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy3 + y 4 k ) k ) x6 −y 6 = (x ( x − y) (x + y ) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 l ) l ) x4 + x2 y 2 + y4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 m ) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2
1
S =
− a2 ,
R=
3
R+
9ab
Q3 + R2 ,
54
T =
Entonces las soluciones son: a x1 =S + S + T 3 S + S + T a x2 = + + 2 3
−
x3 =
− −
S + S + T a + 2 3
− 27 27cc − 2a3
−
− 3
R
√ (S − T ) T ) 3 2 √ (S − T ) T ) 3 2
Q3 + R2
i i
El n´ umero umero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuaci´ on. on. i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ ra´ız real y dos son s on complejas conjugadas. ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ ra´ıces son reales y por lo menos dos son iguales. iii) Si Q3 + R2 < 0, las l as ra r a´ıces son reales y diferentes. di ferentes.
Formul ormular ario io de C´ alcu alculo lo..
Funciones Funcion es Trigono rig onom´ m´ etricas etr icas::
Derivadas. En este formulario: k, c R son constantes reales, f = f ( f (x), u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x.
∈
Funci´ on:
Su Derivada:
f = sen(u sen(u)
f ′ = cos(u cos(u) u′
f = cos(u cos(u)
f ′ =
f = tan(u tan(u) f = csc(u csc(u)
F´ ormulas ormul as B´ asicas asi cas:: Funci´ on:
Su Derivada:
f = k
f ′ = 0
f = sec(u sec(u) f = cot(u cot(u)
·
− sen(u sen(u) · u′ f ′ = sec2 (u) · u′ f ′ = − csc(u csc(u) cot( cot(u u) · u′ f ′ = sec(u sec(u) tan( tan(u u) · u′ f ′ = − csc2 (u) · u′
Linealidad de la derivada: f ′ = k u′
f = k u
· f = u ± v f = k · u ± c · v
Funciones uncion es Trigonom´ rigon om´ etricas etricas Inversas:
·
Funci´ on:
f ′ = u′
± v′ f ′ = k · u′ ± c · v′
Regla del Producto: f ′ = u v′ + v u′
f = u v
·
·
·
f = arc sen( sen(u)
Su Derivada: u′ ′ f = ; 1 u2
f = arc cos( cos(u)
f ′ =
− √1u− u2 ; |u| < 1
f = arctan(u arctan(u)
f ′ =
u′ 1 + u2
f = arccsc(u arccsc(u)
f ′ = −
f = arcsec(u arcsec(u)
f ′ =
u √ ; |u| > 1 u u2 − 1
f = arccot(u arccot(u)
f ′ =
− 1 +u u2 ; |u| > 1
√ −
Regla del Cociente: Cociente: f =
u v
f ′ =
v · u′ − u · v′ v2
Regla de la Cadena (Composici´ on on de funciones) f ′ = [u(v(x))]′ v′ (x)
f = u(x) v(x)
◦
·
Regla de la Potencia:
· · f ′ = k · n · vn−1 · v′
f = k vn
·
′
u √ u u2 − 1
′
′
Funciones Hiperb´ olicas: olicas:
Funciones Exponenciales: u
f = e
f ′ = eu · u′
f = au
f ′ = au ln(a ln(a) u′
·
f ′ =
f ′ = cosh(u cosh(u) u′
f = sech(u sech(u)
u′ u ln(a ln(a)
f = coth(u coth(u)
·
Una Funci´ on elevada a otra Funci´ on on: on: v · u′ f ′ = uv v′ · ln(u ln(u) +
f = senh(u senh(u)
f = csch(u csch(u)
u
f = loga (u)
Su Derivada:
f = tanh(u tanh(u)
u′ f ′ =
f = ln(u ln(u)
Funci´ on:
f = cosh(u cosh(u)
·
Funciones Funcio nes Logar Log ar´ ´ıtmica ıtm icas: s:
f = u
′
f ′ = n vn−1 v′
f = vn
v
|u| < 1
u
3
· f ′ = senh(u senh(u) · u′ f ′ = sech2 (u) · u′ f ′ = −csch(u csch(u) coth( coth(u u) · u′ f ′ = −sech(u sech(u) tanh( tanh(u u) · u′ f ′ = −csch2 (u) · u′
Definici´ on on 1. Ecuac Ecuaci´ i´ on en Variables Separadas. on Consideremos la ecuaci´on on con forma est´andar: andar: M ( M (x)dx )dx + N ( N (y )dy )dy = 0
(1)
La soluci´ on se obtiene integrando directamente: on
M ( M (x)dx )dx +
N ( N (y )dy )dy = C
Definici´ on on 2. Ecuac Ecuaci´ i´ on en Variables Separables. on Las siguientes dos ecuaciones, son ecuaciones en variables separables.
)dx + M 2 (x)N 2 (y )dy )dy = 0 M 1 (x)N 1 (y)dx
dy = f ( f (x)g (y ) dx
(2)
(3)
Para determinar la soluci´on on de la Ec.(2), se divide la ecuaci´on on entre: M 2 (x)N 1 (y), para reducirla a la ecuaci´ on en variables separadas: on
La soluci´ on de la Ec.(3), se obtiene al dividir entre on g (y) y multiplicar por dx d x, para reducirla a la ecuaci´on on en variables separadas:
M 1 (x) N 2 (y ) dx + dy = 0 M 2 (x) N 1 (y )
1 dy = f ( f (x)dx )dx g (y ) ahora s´olo olo se integra directamente:
ahora s´olo olo se integra directamente:
M 1 (x) dx + M 2 (x)
N 2 (y ) dy = C N 1 (y )
1 dy = g (y )
f ( f (x)dx )dx + C
Definici´ on o n 3. Ecua Ecuaci ci´ on ´ on Lineal. La ecuaci´ ecuaci´ on lineal tiene la forma general: on a(x)y ′ + b(x)y = g (x)
(4)
a(x), se llama coeficiente principal. principal. La Ec.(4) se tiene que dividir entre a(x) para obtener la forma fo rma est´ es t´ andar an dar:: y ′ + P ( P (x)y = Q(x)
(5)
´ n es: La Ec.(5) tiene a 1 como coeficiente co eficiente principal y a partir de aqu´ aqu´ı se obtiene la soluci´ so luci´on on de la Ec.(4), La solucion o
−
y (x) = e
P ( P (x)dx )dx
P ( P (x)dx )dx
e
Q(x)dx )dx + C
Si Q(x) = 0, la soluci´on on es: y (x) = Ce
El termino termino e
P ( P (x)dx )dx
−
)dx P ( P (x)dx
se llama Factor Integrante Integrante de la ecuaci´on. on.
Definici´ on o n 4. Ecua Ecuaci ci´ on ´ on de Bernoulli. Tiene la forma: y ′ + P ( P (x)y = Q(x)y n
(6)
con n = 0 y n = 1, n puede ser positivo o negativo. Con el cambio de variable z = y −n+1 , la ecuaci´on on de Bernoulli se reduce a la ecuaci´ ecuaci´on on lineal: lineal:
z ′ + ( n + 1)P 1)P ((x)z = ( n + 1)Q 1)Q(x)
−
(7)
−
´ n de la Ec.(6) al resolver la Ec.(7), se obtiene que la solucion o Ec. (6) de Bernoulli es:
+1)P ((x)dx )dx − (−n+1)P y −n+1 = e (−n + 1)
16
e
( n+1)P +1)P ((x)dx )dx
−
Q(x)dx )dx + C
Definici´ on on 5. Ecuaciones Ecuaciones Exactas Exactas o en Diferenci Diferenciales ales Totales. Totales. Consideramos la ecuaci´on: on: M (x, y )dx )dx + N ( N (x, y )dy )dy = 0
(8)
donde se cumple: M y = N x . La soluci´on on se obtiene de calcular: i) ii)
u=
M (x, y )dx )dx,
calculamos: uy
iii)
v = [N ( N (x, y )
− uy ]dy ]dy
iv) iv)
La solu soluci ci´ on o ´n general impl´ıcita ıcita es: u + v = C
Definici´ on on 6. Factor Integran Integrante. te. Consideremos la ecuaci´on: on: M (x, y )dx )dx + N ( N (x, y )dy )dy = 0
(9)
donde M y = N x . Para determinar la soluci´on on de esta ecuaci´on, on, se tiene que reducir a una ecuaci´on on exacta; exa cta; as´ı que q ue primero se debe calcular uno de los dos posibles factores integrantes:
M y N x dx N
−
1) µ(x) = e
N x My dy M
2) µ(y ) = e
−
segundo se multiplica la Ec.(9) por el factor integrante que exista y se obtiene la ecuaci´on exacta: exacta: µM ( µM (x, y )dx )dx + µN ( µN (x, y)dy )dy = 0
(10)
la soluci´ on de la Ec.(10), que ya se sabe resolver, es la soluci´on de la Ec.(9). on Definici´ on o n 7. Funci unci´ on o ´n Homo Ho mog´ g´ enea. ene a. Se dice que una funci´on on f ( f (x, y ) es una “ funci´ “ funci´ on homog´enea enea de grado n” respecto a las variables x e y, si para cualquier valor real λ se cumple la propiedad: f ( f (xλ,yλ) xλ,yλ) = λn f ( f (x, y ) donde n
∈ R. En particular, cuando n = 0 se tiene una funci´ on homog´enea enea de grado cero, cero, se cumple que: f ( f (xλ,yλ) xλ,yλ) = f ( f (x, y )
Definici´ on on 8. Ecuaciones Homog´ eneas de Grado Cero. eneas Consideremos las ecuaciones: M ( M (x, y )dx )dx + N ( N (x, y )dy )dy = 0 dy = f ( f (x, y) dx
(11) (12)
Se dice que la Ec.(11) es homog´ enea enea de grado cero, si tanto M ( M (x, y ) y N ( N (x, y ) son funciones homog´ eneas eneas del mismo grado. La Ec.(12) ser´a homo h omog´ g´enea en ea si f ( f (x, y ) es una funci´on on homog´enea enea de grado cero. Las Ecs.(11) y (12) se transforman en ecuaciones en variables separadas al utilizar los cambios de variables: u = xy y v = xy . Si N es algebraicamente m´ as sencilla que M , M , se elige u = xy . Si M es algebraicamente m´ as sencilla que N , N , se elige v = xy . A) Con el cambio de variable u = xy . La Ec.(11) Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on on en variables separadas: dx N (1 N (1,, u) + du = 0 x M (1 M (1,, u) + uN (1 uN (1,, u)
la cual cual se inte integr graa dire direct ctam amen ente te
la soluci´ on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente u por on
y x
dx + x
N (1 N (1,, u) du = C M (1 M (1,, u) + uN (1 uN (1,, u)
en el resultado de la integral.
La Ec.(12) Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on on en variables separadas: du f (1 f (1,, u)
−u
=
dx x
du f (1 f (1,, u)
la cual se integra directamente
la soluci´ on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente u por on
17
y x
−u
=
dx + C x
en el resultado de la integral.
B) Con el cambio de variable v = xy . La Ec.(11) Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on on en variables separadas: dy M ( M (v, 1) + dv = 0 y N ( N (v, 1) + vM ( vM (v, 1)
la cual cual se inte integra gra dire direct ctam amen ente te
la soluci´ on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente v por on
x y
dy + y
M ( M (v, 1) dv = C N ( N (v, 1) + vM ( vM (v, 1)
en el resultado de la integral.
La Ec.(12) Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on on en variables separadas: dv 1 f (v,1) v, 1)
−v
=
dy y
dv
la cual se integra directamente
1 f ( f (v,1) v,1)
la soluci´ on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente v por on
x y
−v
=
dy + C y
en el resultado de la integral.
I. Wronskiano. y1
y2
y1
y2
··· ··· ···
.. .
.. .
.. .
′
′
y1
y2
′′
W [y1, y2 , . . . , yn ] =
′′
(n−1)
y1
(n−1)
y2
···
Rengl´ on on de las funciones.
yn ′
Primera derivada de las funciones.
yn ′′
Segunda derivada de las funciones.
yn
.. .
.. .
(n−1)
yn
Derivada de orden n
− 1 de las funciones.
• Si el W [ W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente dependiente (LD). • Si el W [ W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente independiente (LI). ´ lculo de yh (x). Ecuaci´ (1) Calculo a on on Auxiliar. Primero. Dada la ecuaci´on: on: an y (n) + an−1 y (n−1) +
· · · + a2y′′ + a1y′ + a0y = g(x)
(13)
establecer la ecuaci´on on homog´enea enea asociada: asoc iada: an y(n) + an−1 y (n−1) +
· · · + a2y′′ + a1y′ + a0y = 0
(14)
· · · + a2m2 + a1m + a0 = 0
(15)
Segundo. Establecer la ecuaci´ on auxiliar : auxiliar : an mn + an−1 mn−1 +
la Ec.(15) es un polinomio de grado n, en la variable m. Al resolver este polinomio se pueden tener: ⋆ ra´ ra´ıces reales y diferentes difere ntes ⋆ ra´ ra´ıces reales repetidas repeti das
⋆ ra´ıces ıces conjugadas conjug adas complejas, complej as, y ⋆ ra´ıces ıces conjugad co njugadas as complejas comp lejas repetidas repeti das
Por esta raz´on on yh (x) consta de cuatro partes: yh (x) = y1 (x) + y2 (x) + y3 (x) + y4 (x), ¡¡ no necesariamente existen los cuatro casos !! Caso i. Ra´ıces ıces Reales y Diferentes, Difere ntes, y1 (x). Sean m1 , m2 , m3 , . . . las ra´ ra´ıces reales y diferentes de (15), entonces, una parte de yh (x) se escribe como: y1 (x) = C 1 em1 x + C 2 em2 x + C 3 em3 x +
(16)
···
Caso ii. Ra´ıces ıces Reales Repetidas, Repeti das, y2 (x). Sean m = m1 = m2 = m3 = m4 las ra r a´ıces reales repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:
···
y2 (x) = C 1 emx + C 2 xemx + C 3 x2emx + C 4 x3emx +
18
···
(17)
Caso iii. Ra´ Ra´ıces Conjugadas Conjug adas Complejas, Complej as, y3 (x). Sean m1 = α1 β 1 i, m2 = α2 β 2 i, m3 = α3 β 3 i , . . . las ra´ ra´ıces complejas conjugadas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:
±
±
±
y3 (x) = eα1 x C 1 cos(β cos(β 1 x) + C 2 sen(β sen(β 1 x) +
eα2 x C 3 cos(β cos(β 2 x) + C 4 sen(β sen(β 2 x) +
eα3 x C 5 cos(β cos(β 3 x) + C 6 sen(β sen(β 3 x) +
Nota: Nota: Obs´ ervese ervese que se toma el valor positivo positivo de β en todos las casos.
···
(18)
Caso iv. Ra´ Ra´ıces Conjuga C onjugadas das Complejas Co mplejas Repetidas, Repeti das, y4 (x). Sean m1 = α βi = m2 = α βi = m3 = α βi = las ra´ ra´ıces conjugadas complejas repetidas rep etidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:
±
±
±
···
y4 (x) = eαx C 1 cos(βx cos(βx)) + C 2 sen(βx sen(βx)) +
eαx C 3 cos(βx cos(βx)) + C 4 sen(βx sen(βx)) +
x
2 x
eαx C 5 cos(βx cos(βx)) + C 6 sen(βx sen(βx)) +
Nota: Nota: Obs´ ervese ervese que se toma el valor positivo positivo de β en todos las casos.
···
(19)
• Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS). Sean y1, y2, . . . , yn, n soluciones LI de la Ec.(14). Entonces el conjunto {y1, y2 , . . . , yn } se llama Conjunto Fundamental de Soluciones para la Ec.(14). ´lculo de soluciones particulares y p (x) para la Ec.(13) (2) Calculo a Ec.(13)..
Prim Primer er M´ etodo: etodo:Coeficientes Indeterminados. La soluci´ solucion o´n y p (x) depende de la forma que tiene g (x). Por esta raz´on on se utiliza la siguiente tabla: si g (x) es k
entonces yp (x) se propone como
− cte
an
xn
A
+ an
−
1
xn−1
+
· · · + a2
x2
+ a1 x + a0
An xn + An 1 xn 1 + −
−
cos(ax)
A cos(ax) + B sen(ax)
sen(ax)
A cos(ax) + B sen(ax)
eax
Aeax
· · · + A2 x2 + A1 x + A0
Si g(x) es una multiplicac multiplicaci´ i´ on de las anteriores formas, yp (x) se propone como una multiplicaci´on on o n de las respectivas yp (x).
Una vez propuesta y p(x), se debe calcular la soluci´on on gener g eneral al homog´ homo g´enea enea yh (x) y verificar que los t´erminos erminos de y p (x) no aparezcan en yh (x); pero si alg´ un un t´ermin er minoo de y p (x) aparecen en yh (x), entonces, se deber´a multiplicar multiplic ar dicho t´ermino ermino 2 3 n por x o x o x . . . o por alguna potencia x , hasta que dicho t´ermino ermino de la soluci´on on particular particular y p (x) no aparezcan en la soluci´on on yh (x). Desp De spu´ u´es es y p (x) debe derivarse seg´un un las derivadas que aparecen en la Ec.(13); ya calculadas las derivadas, se sustituyen en la Ec.(13) para comparar coeficientes y determinar sus respectivos valores. on on de Par´ ametros amet ros.. Segundo Segundo M´ etodo: etodo:Variaci´ Cuando el t´ermino ermino independiente indep endiente g (x) no tiene la forma de alguno de los de la tabla de coeficientes indeterminados, es cuando se utiliza variaci´ on de par´ ametros. ametros. Se debe determinar el conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuaci´on homog´ homo g´enea enea asociada aso ciada (14). En general, gen eral, una manera de determinar un CFS para la Ec.(14), es a partir de la soluci´on gener g eneral al homog´ h omog´enea yh (x) = C 1 y1 (x) + C 2 y2 (x) + C 3 y3 (x) + + C k yk (x), el CFS es:
···
{y1(x), y2(x), y3 (x), . . . , yk(x)} Primero.S´ olo olo se trabajar´a con EDO-LOS de segundo y tercer orden. Entonces se deben determinar los conjuntos fundamentales de soluciones y1 (x), y2 (x) o y1 (x), y2 (x), y3 (x) , seg´ un se trate de una EDO de segundo o tercer un orden respectivamente.
{
} {
}
19
Segundo. Caso i. Ecuaci´ on on de segundo orden. La soluci´ solucion o´n particular tiene la forma: y p(x) = u1 y1 + u2 y2 donde: u′1 = u′2 =
−g(x)y2 ,
u1 =
g (x)y1 , W [ W [y1 , y2 ]
u2 =
W [ W [y1 , y2 ]
g (x)y2 dx W [ W [y1 , y2]
−
g (x)y1 dx W [ W [y1 , y2]
Caso ii. Ecuaci´ on on de tercer orden. La soluci´ solucion o´n particular tiene la forma: y p (x) = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3 donde: ′
′
g (x)[y )[y2 y3 − y3 y2 ] u′1 = ,
u1 =
W [ W [y1 , y2 , y3 ] ′
′
g (x)[−y1 y3 + y3 y1 ] u′2 = ,
u2 =
W [ W [y1 , y2 , y3 ] ′
′
g (x)[y )[y1 y2 − y2 y1 ] u′3 = ,
u3 =
W [ W [y1 , y2 , y3 ]
′
′
g (x)[y )[y2 y3 y3 y2 ] dx W [ W [y1 , y2 , y3 ]
− ′
′
g (x)[ y1 y3 + y3 y1 ] dx W [ W [y1 , y2 , y3 ]
−
′
′
g (x)[y )[y1 y2 y2 y1 ] dx W [ W [y1 , y2 , y3 ]
−
Finalmente la soluci´on on general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh (x) y las y p (x) obtenidas por coeficientes indeterminados y/o por variaci´on on de par´ametros. ametros. II. Transformada de Laplace L . La transformada de Laplace de una funci´on on f ( f (t) existe si f ( f (t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0 , orden exponencial. L
{f ( f (t)} =
una vez calculada la integral, representamos por F ( F (s) a Y en general: L g (t) = G(s), L h(t) = H (s), . . .
{ }
∞
{ }
L
e−st f ( f (t)dt
0
{f ( f (t)}.
Propiedades de la Transformada de Laplace.
• La transformada de Laplace es lineal porque: {kf ( kf (t)} f (t) + k2 g (t)} L {k1 f ( L
= kL f ( f (t) = k1 L f ( f (t) + k2 L g (t)
{ } { }
{ }
donde: k , k1 y k2 son constantes.
• Transformada de una Derivada. L {y } = ′ L {y } = ′′ L {y } = ′′′ L {y } = L
{y(n)}
Y ( Y (s) sY ( sY (s) y (0) s2 Y ( Y (s) sy(0) sy(0) y ′ (0) s3 Y ( Y (s) s2 y (0) sy′ (0)
− − −
.. . = sn Y ( Y (s)
− −
− y′′(0)
− sn−1y(0) − sn−2y′(0) − · · · − sy(n−2)(0) − y(n−1)(0)
20
∞) y es de
• Primer Teorema de Traslaci´on on o de Desplazamiento: at f (t)} = F ( F (s − a) L {e f ( Primero identificamos el valor de a y se calcula L {f ( f (t)} = F ( F (s). Segundo se calcula F ( F (s) s=s−a , y as´ as´ı se cumple que at L {e f ( f (t)} = F ( F (s − a). • Funci´on on Escal´on on Unitario Unitario de Heaviside, Heaviside, denotada denotada como U (t − a) o H (t − a). 0, 0 ≤ t ≤ a; H (t − a) = U (t − a) = 1, t ≥ a. • Funci´on on por partes en t´ erminos erminos la l a funci´on on escal´on on unitario. Sea f 1 (t) 0 ≤ t ≤ a f 2 (t) a ≤ t < b f ( f (t) = f 3 (t) b ≤ t < c f 4 (t) t ≥ c
entonces:
f ( f (t) = f 1 (t)U (t) + f 2 (t)
• Segundo Teorema de Traslaci´on: on:
− f 1(t) U (t − a) +
f 3 (t)
− f 2(t) U (t − b) +
f 4 (t)
− f 3(t) U (t − c)
L {f ( f (t)U (t − a)} = e−asL f ( f (t) t=t+a
Primero se identifica el valor de a y f ( f (t). Segundo, se calcula f ( f (t) que
L
{f ( f (t)U a} = e−as L
f ( f (t)
t=t+a
t=t+a
. Tercero se calcula
L
f ( f (t)
t=t+a
. Y as a s´ı se s e tiene tien e
III. Transformada Inversa de Laplace L −1 .
Sea F ( F (s) la transformada de Laplace de alguna funci´on f ( f (t). Entonces, se dice que f ( f (t) es la transformada inversa de Laplace de F ( F (s), y se denota con L −1 F ( F (s) = f ( f (t).
{
}
• La Transformada Inversa de Laplace es Lineal porque: −1 {kF ( L kF (s)} = − 1 {k1F ( L F (s) + k2 G(s)} =
kL −1 F ( F (s) − 1 k1 L F ( F (s) + k2 L −1 G(s)
{ } { }
{
}
donde: k , k1 y k2 son constantes. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace.
• Forma Inversa del Primer Teorema de Traslaci´on. on. L
−1 {F ( F (s − a)} = eat f ( f (t)
• Forma Inversa del Segundo Teorema de Traslaci´on. −1 {e−as F ( L F (s)} = f ( f (t) t=t−a U a Primero identificar el valor de a y F ( F (s). Segundo calcular − − 1 as L e F ( F (s) = f ( f (t) t=t−a U a.
{
}
L −1
21
{F ( F (s)} = f ( f (t). Tercero evaluar f ( f (t) t=t−a y as a s´ı se s e tien t ienee que q ue
