Universidad de las Fuerzas Armadas Armadas ESPE NOMBRE: FORMULARIO DE CÁLCULO VECORIAL DERIVADAS
1.
2
d ( C )=0 ; C =cte dx
4.cos2 x =2cos x −1 2
du dv −u d u dx dx = 2. 2 dx v v
()
3.
4.
5. sen x =
v
d u ( e ) =e u du dx dx
1 ( 1 −cos2 x ) 2
senAcosB B ± cosAse cosAsenB nB 6. sen ( A ± B )=senAcos A ±B ± B )= cosAcosB ∓ senAsenB 7.cos ( A
d du ( senu )=cos u dx dx
8.ln AB =lnA + ln B 9.ln A
B
=BlnA
5.
d du ( tan u )= sec 2 u dx dx
10.
d du dv ( uv )= v + u dx dx dx
6.
d du ( secu )= secu tan u dx dx
11.
d n ( u )= un−1 du dx dx
12.
d u ( a )= au lna du dx dx
13.
d du ( cos u )=−senu dx dx
14.
d du ( cot u ) =−csc 2 u dx dx
15.
d du ( cscu ) =−cscuctgu dx dx
du dx
d 7. ( arcsenu) = dx √ 1−u 2 du d dx 8. ( arctan u )= 2 dx 1+u
9.
du dx
d ( arcsecu) = dx u √ u2−1
−du
Prin!i"ales iden#idades #ri$%n%me#ri!as 2
2
1. sen x + cos x =1 2
16.
d ( arc cos u )= dx 2 dx √ 1−u
2
2. ctg x + 1=csc x 3.cos (−∅ )=cos ( ∅)
−du 17.
d ( arc ctgu ) = dx 2 dx 1 +u
−du 18.
2
13.cos2 x =1 −2 sen x
d ( arc cscu )= dx2 dx u √ u −1
2
2
14.cos x =
2
10.tan x + 1 =sec x
2
15. sen 2 x =
11. sen (− ∅ ) =− sen ( ∅ )
16.ln 12. sen 2 x =2 senx senx cosx cosx
& &
C%s ,-.
/
an ,-.
&
1 ( 1−cos 4 x ) 2
A =lnA −ln B B
lnA
17. e
Sen,-.
1 ( 1 + cos2 x ) 2
= A
'&
()
*&
+& /
1 2
√ 2
√ 3
2
2
√ 3
√ 2
&
2
2
1 2
√ 3
/
√ 3
N% e-is#e
3
INTEGRALES
1. ∫
dx = x + c a
n
2. ∫ a du = u
3. ∫ e du = e
u
¿
5. ∫ sec u du= ln 2
cscu ctgudu ctgu du =−cscu + c u −ctgu csc ¿
8. ∫ csc u du= ln
du
12. ∫
¿
¿
()
du u = +c arcsen 2 2 a √ a −u
2
| |
√ a +u 2
13. ∫
6. ∫ sec u du= tan u + c
9. ∫
du 1 a +u = +c ln a 2− u 2 2 a a − u
+c
u + tanu sec ¿
¿
11. ∫
+c
4. ∫ cos cos u du = senu + c
7. ∫
du u 1 = arctan + c 2 a a +u a
u
ln a
()
10. ∫
2
= ln|u + √ a2 + u2|+ c
du u √ u −a 2
a
+1
x n +c 14. ∫ x = n+ 1 n
15. ∫
cudu cu du =c ∫ udu udu
16. ∫
senu sen u du =−cos u +c u sec ¿
¿
()
u 1 = +c arcsec 2
17. ∫ tan tan u du =ln
¿
a
18. ∫
ctgu du =ln ( senu)+ c
19. ∫
sec u tan u du =secu + c 2
20. ∫ csc u du =−ctgu + c 21. ∫
du
√ 1−u
√
2
√
2
√
2
25. ∫ u
26. ∫ u
27. ∫ a
2
= arcsen( u )+ c
2
u
2
u
2
u
−a du = + a du=
du =arctan ( u ) +c 2 1 +u
23. ∫
du 1 u− a = +c ln 2 2 + a u a 2 u −a
24. ∫
a2
√ u −a − 2 ln |u + √ u − a |+c 2 2
2
a
2
2
2
√ u +a + 2 ln|u +√ u +a |+ c 2
−u du =
22. ∫
2
2
2
2
a
√ a −u + 2 arcsen 2 2
2
()
2
u +c a
| |
du
√ u − a 2
2
=ln|u + √ u2− a2|+ c
2 2 a −u
u= asenθ
a cos θ
a2 + u2
u= atanθ
a2 sec 2 θ
2 2 u −a
u= asecθ
a
b
P%lares A1
2
2
tan
2
θ
b
∫
∫
a
a
A = yk dx = ( yf − yo ) dx
A0reas Planas: re!#an$ulares
1 2
2
β
β
∫ r dθ 2
Param0#ri!as
∫ y dx
A1
∅
∅
V%l2menes: Re!#an$ulares 3 Param0#ri!as b
En #%rn% a - V1
d
∫ π yk dx 2
∫ π xk dy 2
En #%rn% a 3 V1
a
c ∝2
P%lares:
V1
Cen#r%ides: Varia4le %der
2 π 3 r Sen ( θ ) dθ 3 ∝1
∫
Re!#an$ulares 3 Param0#ri!as 1 56 ,78 2 Y .
%der
1 ,78 2 ( yf + yo ) . 8 Varia4le 76
1 , 2 ,-9-%.8 Y . M-1Area ; 3 8 M31Area ; b
Varia4le 76
M- 1
∫ Xk ∗ y dy
b
8
M3 1
a
b
Varia4le 56
M- 1
∫ a
b
a
Yk ∗1 2
b
∫
∫
a
a
∫ Xk 2∗1 X dy
A = yk dx = ( yf − yo ) dx
b
Y dx
8
M3 1
∫ Yk ∗ X dx a
1 , 2 78 Y .
P%lares: 1
,78 2 Y .
Varia4le 56
1
8 Varia4le 76
, 2 78 Y .
8
1 M3 1 3
A1
1 2
∅2
∫ r cos ( θ ) dθ 3
8
∅1
1 M- 1 3
∅2
∫ r Sen ( θ ) dθ 3
∅1
β
∫ r dθ 2
∅
Arandelas
f ( x ) [¿ ¿ 2 − g ( x )2 ] dx V 1
b
∫
π ¿ a
Re!#e de r%#a!i?n
En #%rn% a @3 V 1
Y (¿¿ k±ecta ) X ∗ ¿ dx
¿
!f
∫¿
2 π
!o
En #%rn% a @- V 1
X (¿¿ k±ecta ) Y ∗¿ dy
¿
!f
∫¿
2 π
!o
Primer e%rema de Pa""us V%lumen $enerad% "%r al$% $irand% !%n res"e!#% a la re!#a V1Área; 2 π ;L%n$i#ud L%n$i#ud a una re!#a
ax±by±c L1
√ a +b 2
2
L%n$i#ud de Ar!%s
M-1Area ; 3 8 M31Area ;
∫√ B
S1
A
∫√ B
A
8 S1
A
B
2
dx 1 +( ) dy 8 dy
∫ √ dx +dy 2
S1
A
2
dx dy ( ) +( ) du du
∫√ B
S1
2
∫√ B
2
dy 1 +( ) dx dx
A
2
∫√ B
2
dx dy ( ) +( ) d ∅ d∅ d∅
8 S1
A
2
d" " +( ) dy d∅ 2
Area en #%rn% a una su"er9i!ie de rev%lu!i?n B
∫
S x 1
En #%rn% al e>e -
√
dy 2 y∗ds=¿ 2 π y∗ 1 +( ) dx dx A B
∫¿
2 π
A
B
∫
S y 1
En #%rn% al e>e 3
B
∫¿
2 π
A
Se$und% e%rema de Pa""us Área $enerada "%r al$% !%n res"e!#% a la re!#a A1 S ;
2 π
;L%n$i#ud
Cen#r%ides en su"er9i!ie de rev%lu!i?n En #%rn% a - , x´ ; 0 . M3 1
S x ∗´ x B
√
B
∫¿
2 π
A
B
B
∫¿
2 π
A
Oder
√
dy 2 y ds =¿ 2 π y∗ 1 +( ) dx dx A
∫
S- 1
2
dy x∗ y ∗ds =¿ 2 π x∗ y∗ 1 +( ) dx dx A
∫
M3 1
√
2
dx x∗ds =¿ 2 π x∗ 1 +( ) dy dy A
2
8 S1
S∗´ x
M3 1
B
∫ x∗ds
M31
A
En #%rn% a 3 ,& ; y´ .
S y∗´ y
M- 1
√
B
2
dx x∗ y ∗ds =¿ 2 π x∗ y∗ 1 +( ) dy dy A
∫
M- 1
B
∫¿
2 π
A
B
∫
S3 1
√
2
dx x ds =¿ 2 π x ∗ 1 +( ) dy dy A B
∫¿
2 π
A
Oder M- 1
S∗´ y B
M-1
∫ y ∗ds A
=l%sari% Par<4%la :
Cir!ul%s :
r=
1 1− cos ( ∅ )
r =2 a sen ( ∅ )
r=
8
8
3 1 + cos ( ∅)
r =2 a cos ( ∅ )
8
2 2 r = 4 a cos ( ∅)
8 r =3 a cos ( ∅ )
r= a Cardi%ides :
r = a ( 1 + cos ( ∅ ) )
8
r = a ( 1− sen ( ∅ ) ) 2
2
Lemnis!a#a: r = a cos ( 2 ∅) 1
Cardi%ide d%s lad%s: r = 2 + cos(∅ )
r = a + cos ( ∅ )
8
r = a ( 1− cos ( ∅ ))
8
8
∅
4
Cardi%ide #res lad%s:
r = a cos ( ) 4
3
r C#so#der = 2 a− x 2
2
2
osa 4 $etalosr= asen 2 θ ; r =a sen 4 θ ecta r = asecθ Astro#de 3 3 x =asen θ ; y =a cos θ %#$oclo#de osa 3 $etalos " =a cos3 θ 2θ
&s$#ral "= e
Vectores
Distancia =
√ ( A 1− B 1) +( A 2− B 2 ) +( A 3 −B 3 ) 2
2
A.B=A1*B1+A2*B2+A3*B3 I AXB
j
2
si es 0 es perpendicular
k
A1 A2 A3
Si es 0 es paralelo
B1 B2 B3 Area del Paralelora!o = AXB A$+B%+&'=D
" (or!al
,$-A2+,%-B 2+,'-&2=r2
"
" Area del #rianulo =
AXB 2
)AB& r=radio
A ' B Pro%eccion B so/re A= | A|
"
" &os
&entro ,AB&
=
∅
A' B | A||B|
x ± x 1 y ± y 1 x ± ( 1 = = ; x =∓ x 1 ± At ; y =∓ y 1 ± B t ; ( =∓ ( 1 ± Ct ±A ±B ±C ± A ( x ± x 1 ) ± B ( y ± y 1 ) ±C ( x ± ( 1 )=0 n la pri!era or!ula. Arri/a eneral!ente los puntos por los ue pasa % a/ajo la nor!al o el plano =4*A.B=4*d
cuaciones de los planos paralelos a ( unidades de distancia Dado5 A$+B%+&'=D cuaciones es de la or!a A$+B%+&'=d
( )− d ) ( d − ) ) = = * * ; √ A2 + B2 +C 2 √ A 2+ B2 + C 2
6a$i!a ra'7n de un 8alor es el !odulo del radiente 9a direccion se:n la cual es !;$i!a la deri8ada es la direccion del radiente l radiente es la deri8ada parcial de $ en i % en j % ' en k Anulo ue or!an las super
cos ( ∅ ) =
∇ ∅ 1. ∇ ∅ 2
|∇ ∅ 1||∇ ∅ 2|
allar la deri8ada direccional ,Si no !e da un 8ector % !e da dos puntos restar entre ellos
)u=∇ ∅ '
d#recc#on |d#recc#on|
⃗
+ f + f )u Sen ( ∅ ) = cos ( ∅ )+ > se:n un anulo +x +y Si !e dan el radiente % su resultado interar parcial!ente i con d$ j con d% % k con d' iualar todo al resultado sacar la constante.
cuaci7n del plano conjunto a la super
fx ( ! 1, ! 2 ) y fy ( ! 1, ! 2 ) Despu?s despeja!os de la or!ula @-P3=$,P1P2*,X-P1+ %,P1P2*,>-P2 4inal!ente aplica!os el radiente del resultado en el punto ue nos dan saca!os su nor!al % aplica!os
⃗ = ⟨ A , B , C ⟩ - A ( X − ! 1 ) + B ( Y − ! 2 ) + C ( . − ! 3 )=0 * Apro$i!acion lineal teniendo ,$% % el punto P=,P1P2P3 9,$%=,P1P2P3+ X,P1P2P3*,X-P1+ >,P1P2P3*,>-P2+ @,P1P2P3*,X-P3 cuaciones del plano tanente % nor!al ∇ ∅ =( A , B , C ) , !=( X 1, Y 1, . 1 )
x ± x 1 y ± y 1 x ± ( 1 ; ecta nor/al , $er$end#cular al $lano = = ±A ±B ±C ± A ( x ± x 1 ) ± B ( y ± y 1 ) ±C ( x ± ( 1 )=0
cuacion del plano tanente
Si $=,t" %=,t " '=C,t
⟨
⟩
⃗ = dx , dy , d( ! ( x 1, y 1, ( 1 ) * dt dt dt cuacion nor!al
±
dx dy d( ( x ± x 1 ) ± ( y ± y 1 ) ± ( x ± ( 1 )=0 dt dt dt
cuacion tanente
x ± x 1 y ± y 1 x ± ( 1 = = dx dy d( ± ± ± dt dt dt Si ,$%'=0 % ,$%'=0
% P,$1%1'1
cuacion tanente
x − x 1
y − y 1
=
( − ( 1
=
| || || | + f +y +g +y
+ f +( +g +(
+ f +( +g +(
+ f +x +g +x
+ f +x +g +x
+ f +y +g +y
cuacion nor!al
| | | | | | + f +y +g +y
+ f + ( ( x − x ) + 1 +g +(
+ f +( +g +(
+ f + x ( y − y )+ 1 +g +x
+ f +x +g +x
+ f + y ( ( − ( )= 1 0 +g +y
9onitud de arco
∫√ b
0=
a
∫√ b
dy 2 dx 2 dy 2 ( ) +( ) dt 1 +( ) dx;0 = dx dt dt a
Si r,t=),t,tC,t b
∫
∫√
0= √ ( f ( t )) +( g ( t )) +( % ( t )) ; 0 = a
1
2
1
2
1
2
b
a
2
2
2
dx dy d( ( ) +( ) +( ) dt dt dt
b
|r (t )|=√ ( f ( t ) ) + ( g ( t ) ) + (% ( t ) ) - 0 =∫|r1 ( t )|dt 1
1
2
2
1
1
2
a
ector Enitario #anente
2 ( t )=
r 1 ( t )
|r 1 ( t )|
Curvatura
|r ( t ) X r ( t )| ( X escru( ) 2 1 ( t ) k ( t ) = 1 ;k ( t ) = 3 |r ( t )| |r1 ( t )| 1
ector unitario nor!al
* ( t ) =
2 1 ( t )
|2 1 ( t )|
ector Bino!ial
B ( t )=2 ( t ) X * ( t )
1 1
Plano nor!al % osculador (or!al co!ien'a a la deri8ada de r,t en el punto P ,$1%1'1 % r,P=,AB&
± A ( x ± x 1 ) ± B ( y ± y 1 ) ±C ( x ± ( 1 )=0 Plano oscilador F= # X ( Gscilador siendo %=,$
3 ( x ) =
| y 1 1 | 3 2 1 2
[ 1 +( y ) ]
" =
1
k
#orcion , 4
( r 1 (t ) X r 1 1 ( t ))∗r1 1 1 ( t ) 4 = |r1 (t ) X r 1 1 ( t )| 2
alores !;$i!os % !ini!os
) ( a , b )= fxx ( a , b ) ∗fyy ( a ,b )−[ fxy ( a , b ) ]
2
Si D0 % $$ ,a/0 es !Hni!o relati8o Si D0 % $$ ,a/)0 es !;$i!o relati8o Si D)0 es punto silla Distancia !as corta teniendo5
( = f ( x , y ) ; f ( x , y , f ( x , y ) ) ; ! ( x , y , ( ) ; ! ( a , b , c ) d = √ ( x −a )2+( y − b )2+( f ( x , y )−c )2 Para co!pro/ar distancia5
|
d=
Su$onga 5uela ecuac#on del $lano es Ax + By + C( =k
|
Ax + By + C(− k √ A + B + C ! ( a , b , c)
9a caja =$%' despejas ' de 2$'+2%'+$%=alor total % re!pla'as en sacas $ % % despejas $ % % % despu?s ' Multiplicadores de Lagrange
Se aplican para calcular 8alores e$trenos de ,$% % sujetos a una restricci7n ,$%'=k
f x = 6 g x ; f y = 6 g y ; f ( = 6 g ( ; g ( x , y , ( ) =k 8aluas los puntos calculados % !iras cual es de !a%or 8alor.
Si !e dan un punto % uere!os los puntos e$tre!os a este calcula!os
d
2
%
este sera !i ,$%' Paralelepipedo olu!en= 2$ 2% 2' Multiplicador de Lagrande con dos restricciones
Se aplican para calcular 8alores e$trenos de ,$% % sujetos a dos restricciones ,$%'=k % C,$%'=& l /eta es ,u pero para ue no se conundan con alo XD
f x = 6 g x + β % x ; f y = 6 g y + β % y ;f ( = 6 g ( + β % ( ; g ( x , y , ( )=k ; % ( x , y , ( )=C 8aluas los puntos calculados % !iras cual es de !a%or 8alor % ese 8alor es el !;$i!o en5
f ( x , y , ( ) Diferenciales y aproximaciones lineales
Dierencial total5 siendo '=,$%
d( = f x ( x , y ) dx + f y ( x , y ) dy;d( =
+( +( dx + dy +x +y
dx = 7 x = x −a;dy = 7 y = y −b Apro$i!acion lineal
0= f ( x , y ) ≅ f ( a , b ) + f x ( a , b )( x −a )+ f y ( a , b ) ( y −b ) 0= f ( x , y )= f ( a ,b )+ d( Incre!ento
7 ( = f ( x + 7 x , y + 7 y )− f ( a ,b ) Para tres o !as 8aria/les Dierencial total5
d8 =
+8 +8 +8 dx + dy + d( +x +y +(
dx = 7 x = x −a;dy = 7 y = y −b;d( = 7 ( = ( −c Apro$i!acion lineal
0= f ( x , y , ( ) = f ( a , b , c )+ f x ( a , b , c ) ( x −a )+ f y ( a , b , c ) ( y −b )+ f ( ( a , b , c ) ( ( −c ) Incre!ento
7 8 = f ( x + 7 x , y + 7 y , ( + 7 ( ) −f ( a , b , c )
rror !as rande ,l 8alor real es ,a/c
d8∗100 valor real Derivadas parciales
Deri8ada i!plHcita
S# f ( x , y ) =0 + f + x − 9 x 1 dy = y = = dx + f 9 y +y
−
S# f ( x , y , ( )=0 ; ( = f ( x , y ) ; f ( x , y , f ( x , y ) )=0 + 9 +( + x − 9 x = = +x + 9 9 ( +(
−
+ 9 +( + y − 9 y = = +y + 9 9 ( +(
−
Jela de la cadena caso I
Su$oner ( = f ( x , y ) x = g ( t ) ; y = % ( t ) d( + f dx + f dy = + dt + x dt + y dt d( + ( dx + ( dy = + dt + x dt + y dt Jela de la cadena caso II
Su$oner ( = f ( x , y ) x = g ( s ,t ) ; y =% ( s , t ) d( + ( + x + ( + y = + ds + x + s + y + s
d( + ( + x + ( + y = + dt + x + t + y + t
Sino cualuier cosa aplicas diara!a del ;r/ol
df + f + x + f + y = + ds + x + s + y + s 6?todo de la cadena. 6?todo eneral
df + f + x 1 + f + x 2 + f + x# = + + :+ ds# + x 1 + s + x 2 + s + x# + s $presar la Jela de la &adena para el caso5
8 = f ( x , y , ( ,t ) ; x = x ( u , v ) ; y = y ( u , v ) ; ( = ( ( u , v ) ; t = t ( u , v )
+ 8 + 8 + x + 8 + y + 8 + ( + 8 + t = + + + + u + x +u + y + u + ( + u + t +u #ercer Parcial Area de una supercicie de interaci7n do/le
∬
S=
√ ( )( ) 2
+y +y + 1+ +( +x
2
&oordenadas &ilindricas 2 2 2 x =rCos ( θ ) ; y =rSen (θ ) ; ( = ( ; x + y =r ; tan (θ )=
y x
∭ f ( x , y , ( ) d ;∭ f ( rCos ( θ ) ,rSen (θ ) , ( )∗(rd(drdθ ) &oordenadas sericas
x =rSen ( ∅ ) cos ( θ ) ; y =r Sen ( ∅ ) Sen ( θ ) ; ( =rCos ( ∅ ) ; x + y + ( =r 2
2
2
2
f ( x , y , ( ) d ;
∭ f ( r Sen (
∅
) cos ( θ ) ,rSen ( ∅ ) Sen ( θ ) ,rCos ( ∅ ) )∗( r 2 Sen ( ∅ ) drdθd ∅ ) ¿ ∭¿
Kaco8iano
( )
+ x +r !olares y /od#f#cadas : < = +y +r
+x +θ +y +θ
Polares5 K=r Polares 6odi
2
x y + 2 =r 2 ; x =arCos ( θ ) ; y=brSen ( θ ) ; < =abr 2 a b
&ilindricas
( ) ( ) ( )
+x +r +y < = +r +( +r
+x +θ +y +θ +( +θ
+x +( +y =r +( +( +(
+x +θ +y +θ +( +θ
+x +∅ +y =r 2 Sen ( ∅ ) +∅ +( +∅
sericas
+x +r +y < = +r +( +r
&a!/io de 8aria/le
+x +u +y < = +u +( +u
+x +v +y +v +( +v
+x +8 +y +8 +( +8
De!ostraci7n de un ca!po conser8ati8o o irrotacional
∇ X9 = 0
l potencial escalar
∅
siendo 9 = A# + B= + Ck siendo A B % & unciones o
escalares
+∅ + ∅ + ∅ = A ; = B ; =C -+ ∅= A + x ; + ∅ =B + y ; + ∅=C + ( +x +y +( Intera!os las e$presiones de la derecCa % to!a!os cada una de las e$presiones para or!ar
∅
Para allar el tra/ajo en un ca!po conser8ador o irrotacional 8alua!os
∅
en el inter8alo en el cual nos dan los puntos
(
)
,Yf ,.f > = ∅ ¿( Xf Xo, Yo, .o )
Para allar el tra/ajo en un ca!po no conser8ador o no irrotacional ❑
❑
❑
∫
∫
∫
C
C
C
> = 9 dr = A# + B= + Ckdr = Adx + Bdy + Cd( &a!/ia!os la 8aria/le a t pri!ero calculando los li!ites
X − Xo Y −Yo . − .o = = =t Xf − Xo Yf −Yo .f − .o X =t ( Xf − Xo ) + Xo 8alua!os en lo ue 8aria cada una % conocere!os los li!ites de #
X = Xo ; Xo=t ( Xf − Xo )+ Xo -t =0 X = Xf ; Xf =t ( Xf − Xo ) + Xo - t =1 ace!os lo !is!o con > % @ % se deter!inan esos li!ites de t Despues ree!pla'a!os
X =t ( Xf − Xo ) + Xo ; Y =t (Yf −Yo )+ Yo;. =t ( .f −.o )+ .o ❑
1
C
0
n
∫ Adx + Bdy +Cd( y nos 5ueda∫ [ A ( t ) + B ( t ) +C ( t ) ] [ ( Xf − Xo ) ( Yf −Yo ) ( .f − .o ) ] [ dt ] Si anali'a!os el ❑
∫ 9 dr $or $artes ( Xo ,Yo , .o ) - ( X 1, Y 1, . 1) - ( X 2, Y 2, . 2) - ( Xf , Yf , .f ) C
n el caso de ue sean a!/os puntos iuales X o > o @ ser; iual al nu!ero repetido % su dierencial ser; 0 si este 8aria entonces se interar con el dierencial
de la 8aria/le ue ca!/ia % sus li!ites ser;n los respecti8os ca!/ios % se !antendr;n los n:!eros ue se repitieron. Si se repiten !as li!ites se sacara la pendiente de los !is!o % se pondr; la una 8aria/le con respecto de la otra el li!ite
X − Xf Y −Yf = Xo− Xf Yo −Yf #GDG #I( LE SJ ( 9 GJD( I(DI&ADG PAJA 9GS 9I6I#S JSP&#IGS Interales de linea ❑
❑
C
c
∫ f ( x , y , ( ) ds =∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , ( ( t ) )
√( ) ( ) ( ) 2
2
2
dx dy d( + + dt dt dt dt
r f ( x ( t ) , y ( t ) , ( ( t ) ) [¿ ¿ 1 ( t ) ] dt ❑
❑
C
c
∫ f ( x , y , ( ) ds =∫ ¿ r ( t ) = x# + y= + (k ree/$la(a/oslos valores5ue /e dende x, y , ( enfunc#on de t y des$uesder#va/os los /#s/os Gtra !anera de 8er si es un ca!po conser8ati8o es5
+! +? = + y +x Para deter!inar la unci7n potencial
+ 9 + 9 = ! ; =? - + 9 = ! + x ; + 9 =? + y +x +y Se intera las dos ulti!as partes !ostradas %
❑
C
)
∫ !dx +?dy =∬ ( ++?x − ++ !y ) dxdy Interal de Super
❑
S
∬ A /ds =∬ A / dxdy |nk | J es la pro%ecci7n de S en el plano $'
❑
❑
S
∬ A /ds =∬ A / dxd( |n=| J es la pro%ecci7n de S en el plano %'
∬ A /ds =∬ A / d(dy |¿| S
∇ s=
+S +S +S # + = + k +x + y +(
|∇ s|= /=
√( ) ( ) ( )
+S 2 +S 2 +S 2 #+ = + k +x +y +(
∇s
|∇ s|
n es#gual a # , = , k de$end#endodel $lano, y se %ace $roducto $unto con / Si no nos dan los li!ites saca!os de S % pone!os las dierentes 8aria/les con respecto a las otras. Si esta!os en un cierto plano la 8aria/le ue so/ra es cero j!. Plano $% entonces '=0 #eore!a de la di8erencia de Mauss Siendo 4=Pi+Lj+Jk ❑
❑
S
S
+ + ) dxdyd( ∬ 9 /ds =∭ ( ++ !x + +? +y +( Si uere!os co!pro/ar este teore!a de/e!os sacar la interal de super
dxdy ∮ A dr =∬ ( ∇ XA ) ' n∗|nk | S
n iual!ente depende del plano
dr dr ; ry = ∮ A dr =∬ ( ∇ XA ) ' * ∗ds;* =rxXry;r = x# + y= + (k ; rx= dx dy S
Jee!pla'a!os ' de la ecuaci7n ue nos entreuen % procede!os a reali'ar el proceso iual!ente dependiendo del plano
(
# ( ∇ XA )= + +x !
(
= + +y ?
k + +(
)
# = k ( rx Xry )= A B C ) & 9
)
