Formulario Electromagnetismo Elementos de C´ alculo alcu lo III II I Coordenadas cartesianas xˆ yˆ
∧ yˆ ∧ zˆ zˆ ∧ x ˆ
= zˆ = x ˆ
∇V
= yˆ = Ax ˆ A x + Ay ˆ y + Az ˆ z
r = x ˆ x + y ˆ y + z ˆ z d r = dx ˆ dx ˆ x + dy ˆ dy ˆ y + dz ˆ dz ˆ z
∂V ∂ V ∂ V x ˆ+ yˆ + zˆ ∂x ∂y ∂z xˆ yˆ zˆ
=
∇ ∧ A
=
∇ · A
=
∇2V
=
A
∂ ∂x x
∂A x ∂x ∂ 2 V ∂x 2
∂ ∂y
∂ ∂z
Ay Az ∂ Ay ∂ Az + + ∂y ∂z 2 ∂ V ∂ 2 V + + ∂y 2 ∂y 2
Coorden Co ordenadas adas cil´ındricas ındri cas
ρˆ φˆ zˆ
x y z ρˆ φˆ ˆ φ zˆ ˆ ρ A r d r
∧ ∧ ∧
= = = = = = = = = = =
ρ cos φ ρ sin φ z cos φ ˆ x + sin φ ˆ y sin φ x ˆ + cos φ ˆ y zˆ ρˆ φˆ Aρ ˆ ρ + Aφ ˆ φ + Az ˆ z ρ ˆ ρ + z ˆ z dρ ˆ dρ ˆ ρ + ρ dφ ˆ φ + dz ˆ dz ˆ z
−
∇V
=
∇ ∧ A
=
∇ · A
=
2
∇ V
=
∂V 1 ∂V ˆ ∂ V ˆ ρ + φ+ ˆz ∂ρ ρ ∂φ ∂z ρˆ ρφˆ zˆ 1 ∂ ∂ ∂ ∂φ ∂z ρ ∂ρ Aρ ρAφ Az 1 ∂ 1 ∂A φ ∂ Az (ρA ( ρAρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z 2 1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ 2 V ρ + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ 2 ∂z 2
Coordenadas esf´ericas
rˆ θˆ φˆ
x y z θˆ ˆ φ rˆ A
∧ ∧ ∧
= = = = = = =
r sin θ cos φ r sin θ sin φ r cos θ φˆ rˆ θˆ Ar ˆ r + Aθ ˆ θ + Aφ ˆ φ
r = r ˆ r d r = dr ˆ r + r dθ ˆ θ + r sin θ dφ ˆ φ
rˆ = sin θ cos φ ˆ x + sin θ sin φ ˆ y + cos θ ˆ z θˆ = cos φ cos θ ˆ x + cos θ sin φ ˆ y sin θ ˆ z φˆ = sin φ x ˆ + cos φ ˆ y ∂V 1 ∂V ˆ 1 ∂V ˆ V = rˆ + θ + φ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ rˆ r ˆ θ r sin θ ˆ φ 1 ∂ ∂ ∂ A = ∂θ ∂φ r2 sin θ ∂r Ar rAθ r sin θAφ = 1 ∂ r2 Ar + 1 ∂ (sin θAθ ) + 1 ∂A φ A r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∂ 1 ∂ ∂V 1 ∂ 2 V 2 2 ∂V V = r + sin θ + r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ 2
−
−
∇ ∇∧ ∇· ∇
Elementos infinitesimales de Superficie, Vol´umen y Camino c´ırculo dS = ρ dρ dφ d = ρ dφ Stotal = πa 2
cil´ındro dS = ρ dz dφ dV = ρ dρ dφ dz Smanto total = 2πaL Vtotal = 2πa2 L
esf´era dS = r 2 sin θdθdφ dV = r 2 dr sin θdθdφ Stotal = 4πa2 Vtotal = 4/3πa 3
dS
dS
dS
dV
dV
(a) Disco
(b) Cil´ındro
(c) Esf´ era
Identidades vectoriales
B A B A A A C B
· ∧ ∧ · ∧ A A ∧ B ∧ C
Si A Si A (ΦΨ) (ΦF )
= = = = =
A B A B 0 B C A
·
− ∧
∧ · A · C B − A · B C
entonces B = 0 es paralelo a B A entonces B = 0 es perpendicular a B A = Φ Ψ+Ψ Φ + Φ F = Φ F
∧
·
∇ ∇ ∇ ∇∧ ∇∧ ∇ ∧ = (∇Φ) · F + Φ∇ · F ∇ · (ΦF ) B + ∇ · B A − ∇ · A B = · ∇ A − A · ∇ ∇ ∧ (A ∧ B) B − A · ∇ ∧ B = B · ∇ ∧ A ∇ · (A ∧ B) ∇2 ≡ ∇ · ∇ = ∇(∇ · F ) − ∇2 F ∇ ∧ (∇ ∧ F )
∇ ∧ (∇Φ) ∇ · (∇ ∧ A)
=
0
=
0
Teoremas Diferencial exacta dΦ =
∇Φ · dr
≡ ΦB − ΦA = AB dΦ = AB ∇ Φ · dr ∇ · r dΦ = dΦ du ( u) d ∇Φ = dΦ du ( ∇u)
∆BA Φ
Si Φ = Φ(u) en que u = u(r) es un campo escalar Si Φ = Φ(u) en que u = u(r) es un campo escalar
Teorema de Stokes: Considera un camino ce- Teorema de la Divergencia: Considera una rrado que delimita una superficie orientada (seg´un regla de la mano derecha al recorrer el camino).
camino
dr = A
·
superficie
superficie cerrada que contiene un volumen
∇ ∧ A · nˆ dS
dS
A
n A ˆ dS =
superficie
·
volumen
∇ · A dv
dS A
superficie
A A
dr
dr
(d) Teorema de Stokes
(e) Teorema de la Divergencia
Fuerza El´ ectrica y Campo El´ ectrico Fuerza El´ectrica q1 ,q2 F K 0 e F q2, q1 q0 F
r1 − r2 ) 1 q2 ( = Kq|| Ley de Coulomb: Fuerza sobre q 1 debida a q 2 r1 − r2 ||3 2 1 9 2 = 4π0 9 10 [Nm /C ] Constante de fuerza 2 1 −12 2 = 4πK = 8,85 10 [C /N/m ] permitividad dielectrica del vacio −19 = 1,6 10 [C] Quanto de Carga = F q2 ,q1 Principio de accion y reaccion = F q0 ,q1 + F q0 ,q2 + . . . + F q0 ,qN Fuerza electrica total sobre q 0
−
≈ × × ×
Campo El´ectrico (r) = F q0 (r)/q 0 E r) = q E (r) F ( (r) = N Kq i (r−r3i ) E i=1 || r− ri ||
Campo el´ectrico que siente carga de prueba q 0 Fuerza electrica que experimenta carga q en posici´on r Campo en r por un sistema de cargas puntuales
Distribuciones continuas de carga Densidades de Carga Volum´etrica: ρq (r ) = l´ım ∆v→0 Lineal: λ(r ) = l´ım∆l→0 Superficial: σ(r ) = l´ım∆s→0
Elemento de carga asociado dq = ρq (r )dv dq = λ(r )dl dq = σ(r )ds
∆q ∆v . ∆q ∆l . ∆q ∆s .
Campo El´ ectrico generado por una distribuci´on cont´ınua de carga (r) = E
K dq (r − r ) ||r − r ||3
Algunos casos particulares Carga puntual q centrada en el origen.
Campo en todo el espacio:
= Kq rˆ (esf´ericas) E r2 Carga puntual q centrada en posici´ on r0 . Campo en todo el espacio: = Kq (r r0 ) E r r0 3
−
|| − ||
Cable recto a lo largo del eje z con densidad de carga lineal uniforme λ0 . Campo en todo el espacio: = 2Kλ 0 ρˆ E ρ Disco plano de radio a con eje azial coincidente con eje z y con densidad superficial uniforme σ0 . Campo sobre su eje axial: (x = 0, y = 0, z) = σ E 20
z
z 2 z + a2
|z| − √
zˆ
Plano infinito con densidad superficial uniforme σ0 contenido en plano XY . Campo en todo el espacio: (x,y,z) = σ z ˆz E 20 z
||
Energia potencial y Potencial el´ ectrico 0) luego existe campo scalar U tal que F = Fuerza el´ectrica es conservativa (es decir satisface F = dr = 0. La funcion U se denomina energia potencial electrica . Por el teorema de Stokes F
∇∧
·
−∇U .
El Potencial El´ectrico V se define como
U q→0 q en que q 0 es la carga de prueba que experimenta la fuerza. V = l´ım
Se satisface U ∆U W BA ∆BA V
= qV = q ∆V B = A F dr = = q1 ∆BA U =
−∆BA U = −q ∆ BA V B 1 1 · dr = − B E · dr = − − W F B A q q A A r = V (r0 ) − E · dr r
V (r) V (r) = V (r)
Energ´ıa Potencial Electrost´atica
·
=
por alg´ un camino de r0 a r distribuci´on de cargas puntuales
0
N Kq i i=1 || r− ri || K dq || r− r ||
distribuci´on continua de cargas
Algunos casos particulares Carga puntual q centrada en el origen. V =
Potencial en todo el espacio: Kq r
(esf´ericas)
Carga puntual q centrada en posici´ on r0 . Potencial en todo el espacio: V =
Kq r r0
|| − ||
Cable recto a lo largo del eje z con densidad de carga lineal uniforme λ0 . Potencial en todo el espacio: ρ V = V 0 2Kλ 0 ln donde V 0 = V (ρ0 ) es potencial de referencia ρ0
−
Disco plano de radio a con eje azial coincidente con eje z y con densidad superficial uniforme σ0 . Potencial sobre su eje axial: V (x = 0, y = 0, z) =
− 2σ0 |z| −
z + a 2
2
Plano infinito con densidad superficial uniforme σ0 contenido en plano XY . Potencial en todo el espacio: σ V (x,y,z) = V 0 z 20
−
||
Expansi´ on en serie de Taylor f (x) = f (x0 ) +
1 f (x) x=x0 (x 1!
|
− x0 ) + 2!1 f (x)|x=x
Algunas expansiones utiles para x (1 + x)n 1+x 1/ 1 + x 1/( 1 + x)3 1/(1 x) 1/(1 + x)
√ √ √ −
0
(x
− x0)2 + 3!1 f (x)|x=x
0
(x
− x0)3 + . . .
1 = 1 + nx + 21 n(n 1)x2 + . . . = (1 + x)1/2 = 1 + x/2 x2 /8 + . . . = (1 + x)−1/2 = 1 x/2 + 3x2 /8 + . . . = (1 + x)−3/2 = 1 3x/2 + 15x2 /8 + . . . = (1 x)−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . = (1 + x)−1 = 1 x + x2 x3 + x4 + . . .
− − − − − −
−
Dipolo el´ ectrico Dos cargas con signos opuestos separadas por distancia a peque˜ na.
q a −q
V (r, θ) p V E E F
= Kqar2cos θ = q a p·ˆ r = K r2 = Kqa 2cos θˆ r + sin θ θˆ r3
p·ˆ r)ˆ r− p = K 3( r3 =0 τ = p E
∧
Potencial del dipolo en origen orientado segun kˆ Momento dipolar Campo de dipolo en origen, orientacio arbitraria Campo de dipolo en origen orientado segun kˆ Campo de dipolo en origen, orientacion arbitraria Fuerza sobre el dipolo por campo externo Torque sobre el dipolo por campo externo
Ley de Gauss o de la Divergencia del campo el´ ectrico Flujo ΦE del campo electrico sobre una superficie cerrada y orientada exteriormente es igual a es la carga encerrada por el volumen definido por dicha superficie). dS ΦE E Q dq = ρ(r)dv = Q dS = E 0 (r) = ρ(r) E 0 ρ(r) = 0 E
∇·
·
≡ · ≡
∇·
λ(r)dl = σ(r)dS
Q 0
(donde Q
definici´on de flujo carga encerrada Ley de Gauss en forma integral Ley de Gauss en forma diferencial Si conozco E puedo calcular densidad de carga
Ecuaci´ on de Poisson y Laplace = De la Ley de Gauss en forma diferencial y substituyendo E el potencial ρ 2 V = 0
∇
−∇V se obtiene la Ecuaci´ on de Poisson para
−
(notar que si conozco el potencial puedo calcular la densidad de carga en cada punto r. Es decir ρ(r) = 0 2 V (r)).
∇
on de Laplace : En las regiones de densidad de carga nula se satisface la Ecuaci´
∇2 V = 0 que tiene soluci´on u ´ nica si se especif´ıca el valor del potencial en el contorno o borde de la regi´on donde ´esta ecuaci´ on tiene validez.
Materiales Conductores En general metales. Cargas se mueven libremente. Fuerzas superficiales impiden que cargas escapen.
V = cte. Esuperf. = 0 n
E
conductor
r
σ( r )
=0
V = cte.
= 0 F = E
sup E σ
= 0 en conductor en conductor (equilibrio), luego E V = 0 en conductor, luego V = cte en conductor Conductores son cuerpos equipotenciales es a superficie conductora E n ˆ justo en exterior de la superficie E = σ0 n ˆ justo afuera de superficie conductora = 0 E sup n ˆ densidad en superficie conductora
−∇ ||
⊥
·
TIERRA: material conductor a potencial cero.
Condensadores Sistema de dos conductores cargados con carga igual y contraria. Capacidad se define como
Q C ≡ ∆V Condensador de placas planas. Area A separaci´on d entre placas: A
C =
A0 d
d
Condensador cil´ındrico. Radios interior a y exterior b y largo :
C = b
|
2π0 ln(b/a)
a
l
Condensador esf´ erico de capas concentricas. Radios interior a y b:
C =
a
b
4π0 ba b a
|− |
|
M´ etodo de Im´ agenes Se resuelve 2 V = 0 via introducir cargas ficticias fuera de la region donde vale 2 V = 0, con tal que las cargas ficticias reproduzcan el valor del potencial en la region donde se quiere conocer V .
∇
∇
Im´ agenes para casos particulares Carga q a distancia d de plano conductor conectada a tierra: q
d
+ + + + + + + + + + + + + ++ + + + + ++ + + d
−q
carga imagen
Carga q frente a esf´era conductora de radio a conectada a tierra: q d
a d d’
q’
q
Cable conductor delgado frente a tierra: λ
d
plano conductor d
−λ
cable imagen
= =
− ad q a2 d
Corriente El´ectrica Densidades de corriente Si las cargas se mueven con velocidad v: = ρ qv. densidad volum´etrica de corriente J = σv . densidad superficial de corriente K = λv . densidad lineal de corriente I Relaci´ on entre corriente total I y densidad de corriente:
J · nˆ dS . · nˆ d. densidad superficial de corriente I = K densidad volum´etrica de corriente I =
en ambos casos n ˆ se refiere a un vector unitario perpendicular a la superficie dS o al segmento de longitud d.
Ley de Ohm = σ E . En que σ es la conductividad del medio. Establece que las corrientes se mueven en Esta dada por: J la direcci´on del campo.
Resistencia Electrica Es una consecuencia de la ley de Ohm. Establece que a lo largo de un camino la caida de potencial es proporcional a la corriente que circula: ∆V = R I . La resistencia R es la constante de proporcionalidad.
− E · dr ∆V R = = I J · dS Algunos ejemplos particulares 1. Resistencia de un cable recto de longitud y ´area A. Vale: R = unidad de largo.
ρ A,
en que ρ =
1 σ es
la resistividad por
2. Resistencia de un cable coaxial de radio interior a, y radio exterior b, y largo total , en que la superficie exterior (conductora de radio b) est´a a potencial V 1 y la superficie interior (conductora de radio a) ρ est´ a a potencial V 2 . Est´a dada por: R = 2π ln ab
Magnetost´ atica Fuerza magn´ etica sobre una carga puntual q que se mueve con velocidad v = qv F
∧ B
= B 0 zˆ uniforme Movimiento de una carga puntual en un campo B Frecuencia de Larmor: w = Radio de giro: R =
v w
qB0 m
mv qB0
=
= Fuerza magn´ etica sobre distribuci´ on de corriente: F
dJ B ∧ B d, con I = λv. = dq v = λv d = = I Densidad lineal de corriente: d J I d, luego: F = I dr ∧ B. Muchas veces conviene usar la combinacion: I d = Idr. Luego: F ∧ B dS , con K = σv. = dq v = σv dS = K dS , luego: F = K Densidad superficial de corriente: d J ∧ B dV , con J = ρ v. = dq v = ρ v dV = J dV , luego: F = J Densidad volumetrica de corriente: d J Torque magn´ etico sobre una distribuci´on de corriente: τ = r dF ∧ B) d. = d luego: τ = r ∧ (I Densidad lineal de corriente. Se tiene: d F I ∧ B Muchas veces conviene usar la combinacion: I d = Idr. Luego: τ = I r ∧ (dr ∧ B). ∧ B) dS . = K ∧ B dS luego: τ = r ∧ (K Densidad superficial de corriente. Se tiene: d F ∧ B) dV . = J ∧ B dV luego: τ = r ∧ (J Densidad volum´etrica de corriente. Se tiene: d F ∧
q
q
∧
Momento magn´ etico dipolar m 1 Espira cerrada de forma cualquiera: m = I r 2
∧ dr
Espira plana de ´area orientada A = A ˆ . Se tiene: m = I ˆ. n An
0 Fuerza y Torque sobre espira cerrada en campo uniforme B = 0 Fuerza magn´etica: F Torque magn´etico: τ = m
∧ B 0
Campo de inducci´ on magn´etica B (r) est´ atico Permeabilidad magn´etica del vac´ıo: µ 0 = 4π Ley de Biot-Savart: B =
µ0 4π
∧( dJ r− r ) || r− r ||3
× 10−7 [S.I.]
= Distribuci´ on lineal de corriente d J I d . Se tiene: B =
µ0 4π
∧( I r− r ) d || r− r ||3
= K dS . Se tiene: B = Distribuci´ on superficial de corriente d J
µ0 4π
= J dV . Se tiene: B = Distribuci´ on volum´etrica de corriente d J
∧( K r− r ) dS || r− r ||3
µ0 4π
∧( J r− r ) dV || r− r ||3
Algunos casos particulares = I ˆ 1. Campo en todo el espacio de un cable recto infinito con corriente I z. µ I 0 ˆ Est´ a dado por: B = 2πρ φ (cil´ındricas). = I φ. ˆ 2. Campo sobre su eje axial, de un cable circular de radio a con corriente I 2 µ Ia 0 = Est´ a dado por: B eje 2(z 2 +a2 )2/3 (cil´ındricas). . 3. Campo en torno a una distribuci´ on superficial plana de corriente K µ 0 ˆ . Est´ a dado por: B = 2 K n El vector n ˆ corresponde a la normal exterior a la superficie en cada cara de la distribuci´on de corriente.
∧
ˆ Est´ = K φ. 4. Campo de un solenoide orientado segun z y que lleva corriente superficial K a dado por: B =
µ K ˆz
en el interior del solenoide afuera del solenoide
0
0
Ecuaciones de maxwell para los campos est´aticos
∇ · E ∇ · B ∇ ∧ E ∇ ∧ B
ρq 0 = 0 = 0 = µ0 J =
Consecuencias: Potencial El´ ectrico y Magn´ etico
∇ ∧ E = 0 sigue que existe V tal que E = −∇V . 0 sigue que existe A tal ∇ ∧ A. De ∇ · B = que B = De
V (r) =
1 4π0
r) = A(
µ0 4π
dq ||drJ − r ||
||r − r ||
Ecuaci´ on de Poisson para potencial magnetico vector A ∇2 A = −µ0 J Vector potencial magnetico A y campo B asociado a una espira peque˜ na, de momento magn´ etico m y a ubicada en el origen del sistema de coordenadas . que est´ rˆ µ0 m A = 4π r3
∧
m r) µ0 (3 B = r 4π r5
·
−
m r3
1.
Medios materiales diel´ ectricos y magn´ eticos
1.1.
Medios diel´ ectricos Dipolo (dos cargas q y
1.1.1.
−q separadas en desplazamiento ∆r)
1. Momento dipolar el´ ectrico: p = q ∆r 2. Potencial el´ectrico de dipolo en origen con orientaci´on arbitraria: V dipolo =
K p· r r3
Polarizaci´ on P
1.1.2. 1. P 2. 3.
≡ dvd p (Polarizacion o momento dipolar el´ectrico por unidad de volumen). ρ = −∇ · P (Densidad volum´etrica de carga de polarizaci´on). · n σ = P ˆ (Densidad superficial de carga de polarizaci´on). pol.
pol.
Vector desplazamiento D
1.1.3.
1. D = 0 E 2.
− P
∇ · D = ρ
1.1.4.
libre
(equivale a Ley de Gauss:
D · dS = Q
encerrada libre
).
Medio lineal, is´ otropo y homog´eneo
= χ E 0 E (χE es la susceptibilidad diel´ectrica del material) 1. P 2. = k = 1 + χE (constante diel´ectrica del material) = r 0 E (la constante se conoce como la permitividad dielectrical del material, r 3. D = E constante relativa. A veces se anota k = ).
≡ /0 la
4. Condiciones de borde o frontera entre dos diel´ectricos de distinta constante: 2 n 1 n D ˆ = D ˆ + σlibre 2 tˆ = E 1 tˆ E
· ·
· ·
(componentes normales discontinuas) (componentes tangenciales continuas)
1.2.
Medios magn´ eticos
1.3.
= r ∧ d r y corriente I ) Dipolo magn´ etico (loop de corriente con “´ area” A
1. Momento dipolar magn´ etico: m = I A
dipolo = 2. Vector potencial de dipolo m´agnetico en origen con orientaci´on arbitraria: A
1.4.
(r) Magnetizaci´ on M
1. M 2. 3.
≡ ddvm (Magnetizaci´on o momento dipolar magn´etico por unidad de volumen). = ∇ ∧ M (Densidad J volum´etrica de corriente de magnetizaci´on). = M ∧ n K ˆ (Densidad superficial de corriente de magnetizaci´on). mag.
mag.
µ0 m∧ r 4π r 3
Vector campo magn´ etico H
1.5.
= 1. H 2.
1 µ0 B
− M
∇ ∧ H = J
libre
1.6.
(equivale a Ley circuital de Ampere:
H · dr = I
cruza libre
).
Medio lineal, is´ otropo y homog´eneo
= χ M 1 B (χM es la susceptibilidad magn´etica del material) 1. M µ0 2.
1 µr
=1
−χ
M
= 1 B = 3. H µ relativa.)
1 µr µ0 B (la
constante µ es la permeabilidad magn´etica del material, µ r
≡ µ/µ0 la constante
4. Condiciones de borde o frontera entre dos medios magn´eticos de distinta constante: 2 n 1 n ˆ = B ˆ B 2 tˆ = E 1 tˆ + K libre H
· ·
2. 2.1.
(componentes normales continuas)
· ·
(componentes tangenciales discontinuas)
Campos variables en el tiempo Ley de Faraday-Lenz
Si hay flujo variable en el tiempo en una cierta superficie, se induce a lo largo del camino que delimita dicha superficie una f.e.m. o caida de potencial = ∆V que se relaciona con las variaciones del flujo magn´etico sobre la superficie que delimita dicho circuito (o camino). Se tiene:
−
=
− dΦdtB
dS y dr. Las variaciones pueden ocurrir porque la superficie var´ıa, el campo donde ΦB (t) B E var´ıa o la orientaci´on de la superficie var´ıa o cualquier emzcla de estas. la forma diferencial de esta ley es:
≡ ·
≡ ·
∇ ∧ E = − ∂ ∂tB
Circuito que se traslada. Una manera alternativa de calcular cuando el cable o circuito se traslada con velocidad v en cada punto, es: =
2.2.
−
dΦB = dt
(v
dr B)
∧ · −
∂ B ∂t
· dS
Corriente de desplazamiento
Para respetar la conservaci´on de carga en las ecuaciones de Maxwell se introduce un t´ermino ∂ ∂tD (llamado corriente de desplazamiento) en la expresi´ on de la ley de Maxwell que corresponde a la ley circuital de Ampere: ∂ D B = µ ) 0 (J libre + ∂t ∂ D D En medios no diel´ectricos se tiene J = 0 ∂ E .
∇∧
≡
∂t
∂t
2.3.
Resumen Ecuaciones de Maxwell en el vacio.
∇ · E
=
∇ ∧ E ∇ · B ∇ ∧ B
=
1 ρq 0 ∂ B
− ∂t
= 0 + 0 ∂ E ) = µ0 (J ∂t
mas la ecuaci´on de continuidad o conservaci´on de carga:
∇ ∧ J = − ∂ρ∂tq 3.
Resumen Ecuaciones de Maxwell en medios materiales (lineales, is´ otropos y homog´ eneos). Forma diferencial
Forma integral
= ρ D = − ∂ B ∇ ∧ E ∂t ∇·B = 0 = J + ∇ ∧ H ∇·
libre
libre
∂ D ∂t
en que:
D · dS E · dr S B · dS H · dr 1
= Q
encerrada libre
d · dS = − dt B · dS = S 2 B
= I
cruza
libre
= 0 E + P = E D y
= 1 B − M = 1 B H µ0 µ m´ as la ecuaci´ on de continuidad o conservaci´ on de carga: ∇·
J
libre
=−
∂ρ ∂t
libre
