1
FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL. VECTORES: Norma de un vector: u
2
2
1
2
u u
Vector unitario:
Producto punto o producto escalar:
u
2
un
uv
u
n
u
i
vi u1v1 u 2 v2 u n vn
i 1
Cosenos directores: cos( )
u1 u
, cos( )
u2 u
, cos( )
u3 u
;
Angulo entre dos vectores: u v cos( )
Componente de v a lo largo de u: uv uv v cos( ) compu v cos( ) u
uv
cos 2 ( ) cos 2 ( ) cos 2 ( ) 1
Producto cruz o producto vectorial:
Área del triángulo es la mitad del u v u v sen( ) área del 2 2 2 u v u v (u v ) 2 paralelogramo Área del paralelogramo generado por u y generado por u y v v: A u v u1
u2
u3
Triple producto escalar: u (v w) v1
v2
v3
w1
w2
w3
v1
y y0 v2
z z 0 v3
; con
i
j
k
u v u1
u2
u3
v1
v2
v3
i(u 2 v3 v 2 u 3 ) j (u1 v3 v1u 3 ) k (u1 v 2 v1u 2 )
x x 0 tv1
Ecuaciones paramétricas de la recta: y y 0 tv 2 z z 0 tv 3
Ecuaciones simétricas de la recta:
Producto cruz o producto vectorial:
Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w: V u (v w) Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen del paralelepípedo generado por u, v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. Ecuación vectorial de la recta: r r 0 tv : donde v es el vector dirección, r 0 =(x 0 , y 0 ,z ) 0 =(x 0,y 0 ,z 0 0 y t es un escalar. x x0
u
v1v2 v3 0
Ecuación vectorial del plano: n (r r 0 ) 0 donde n es el vector normal al plano, r 0 , y 0 , z ) 0 =(x 0 0,y 0,z 0 0 y r =(x,y,z). x x0 tv1 su1
Ecuación escalar del plano que pasa por P 0 =(x =(x 0 , y 0 , z ) 0,y 0,z 0 0 y tiene como vector normal a n =(a,b,c): a( x x0 ) b( y y 0 ) c( z z 0 ) 0 . Distancia de un punto Q a un plano:
Ecuaciones paramétricas del plano: y y0 tv2 su2
z z 0 tv3 su3
D compn ( PQ)
PQ n n
ax0 by0 cz 0 d a2 b2 c2
Distancia de un punto Q a una recta L esta es ta dada por: D SUPERFICIES. Una superficie de revolución tiene la ecuación: x 2 + y 2 = [r(z)] 2 girando en torno al eje z y 2 + z 2 = [r(x)] 2 girando en torno al eje x x 2 + z 2 = [r(y)] 2 girando en torno al eje y
DERIVADAS PARCIALES
PQ u
, donde P es un punto cualquiera de la recta.
u
Ax 2 +
By 2 +
Cz 2 +
Superficies cuadráticas: Dxy + Exz + Fyz + Gx G x + Hy + Iz + K = 0
Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico.
2
Derivadas parciales de orden superior: 2 f 2 f f y f yy f ( x , y ) f f ; f ( x, y) x xx 2 2 x x x x y y y y 2 f 2 f f y f yx ; f ( x, y) f ( x, y) f x f xy x y x y x y x y x y
La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección del vector unitario u=(u 1 u ) , y ) 1 ,,u 2 2 en el punto (x 0 0,y 0 0 está dada por: Du f ( x 0 , y 0 ) u f ( x 0 , y 0 )
(u1 , u 2 ) ( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x0 , y 0 ))
La ecuación del plano tangente a la superficie supe rficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x 0 ,y 0 , z ) 0 ,y 0,z 0 0 está dada por: F ( x0 , y0 , z 0 ) x x0 , y y0 , z z 0 0 La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x 0 ,y 0 , z ) 0 ,y 0,z 0 0 está dada por: x x0 F x ( x 0 , y0 , z 0 ) t ;
y y0 F y ( x 0 , y0 , z 0 ) t ; z z 0 F z ( x 0 , y0 , z 0 ) t
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es: dz
z z dx dy x y
REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=g 1 ( s,t); y=g 2 ( s,t), entonces: 1(s,t); 2(s,t), z z x z y s x s y s
;
z z x z y t x t y t
Gradiente de z=f(x,y) f ( x, y ) ( f x , f y ) . Gradiente de w=f(x,y,z) f ( x, y, z ) ( f x , f y , f z ) Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z está dado por: F ( x, y, z ) ( F x , F y , F z )
Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto (x 0 , y ) 0,y 0 0 entonces: z dz f x ( x 0 , y 0 )dx f y ( x 0 , y 0 )dy Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto P=(x 0 ,y 0 ,z ) 0 ,y 0 ,z 0 0 es: ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1) x x0 , y y 0 , z z 0 0
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta normal en el punto P=(x 0 , y 0 , z ) 0,y 0,z 0 0 es: x x0 f x ( x 0 , y0 ) t ; y y0 f y ( x 0 , y0 ) t ; z z 0 t
REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces: dz z dx z dy dt x dt y dt
DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en donde z=f(x,y), entonces: F F x z x F F z x z
;
F F z y y F F z y z
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y). 2 (x ,y Sea D= f xx (x 0 , y )f (x 0 , y ), y ) xx (x 0,y 0 0 yy yy (x 0,y 0 0 f xy (x 0 0, y ), 0 0 donde (x 0 0,y 0 0 es un punto crítico de z=f(x,y), entonces: 1. f(x 0 , y ) (x 0 , y )<0 0,y 0 0 Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y f xx xx (x 0,y 0 0 2. f(x 0 ,y , y ) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y f (x ( x ,y , y )>0 0 0 0 xx xx 0 0 0 0 3. f(x 0 ,y , y ) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0 0 0 0 4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá SEA H ( x, y, ) f ( x, y ) (h ( x, y ) c )
resolver el sistema: H 0 x
;
H H 0 ; 0 y
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS. CILINDRICAS (r , , z )
tan 1 ( y x ) si x 0, y 0 2 2 2 1 x r cos( ) ; y rsen ( ) ; z z ; x y r ; tan ( y x ) si x 0 2 tan 1 ( y x ) si x 0, y 0 r 0; 0 2
ESFER ICAS ( , , ) x sen( ) cos( ); y sen( ) sen( ); z cos( ); 0, 0 2 ; 0
tan 1 ( y x ) si x 0, y 0 x 2 y 2 z 2 ; cos ( z / ); tan 1 ( y x) si x 0 2 tan 1 ( y x) si x 0, y 0 1
CAMBIO DE VARIABLE dr dθ f(x, y)dxdy f(rcos(θ ), rsen(θ )) r drd
POLARES
R
Q
dr dθ dz f(x, y, z)dxdydz f(rcos(θ ), rsen(θ ), z) r drd
CILINDRICAS :
R
Q
f(x, y, z)dxdydz f(ρ sen(φ )cos(θ ),ρ sen(φ )sen(θ ),ρ cos(φ ))ρ
ESFERICAS :
S
2
sen(φ )dρ dφ dθ
Q
SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR: r (t ) x(t )i y (t ) j ˆ
ˆ
CURVA EN EL PLA NO
r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k CURVA EN EL ESPACIO ESP ACIO, ENTONCES : ˆ
ˆ
ˆ
VECTOR VELOCIDAD v(t ) r ' (t ) RAP IDEZ v(t )
ds
r ' (t ) dt VECTOR ACELERA ACEL ERA CIO N a(t ) r ' ' (t ) aT T (t ) a N N (t ) VECTOR TANGENTE UNITARIO T (t )
r ' (t ) r ' (t )
VECTOR NORMAL NORMA L PR PRINCIPA INCIPA LUNITARIO N (t ) VECTOR BINORMAL BINOR MAL
T ' (t ) T ' (t )
B(t ) T (t ) N (t )
COMPONENTE S DE LA ACELERA ACEL ERA CIO N
COMPONENTE S DE LA ACELERA ACEL ERA CIO N
aT a(t ) T (t )
v(t ) a(t )
a N a(t ) N (t )
v(t )
d 2 s
2
dt 2
a(t ) a 2 T
v(t ) a(t ) v(t )
ds K dt
2
FORM ULAS PA PARA RA LA CURVATURA EN EL PLANO PLA NO K
y ' '
K
3
1 y' 2
C DADA POR
x' y ' ' y ' x' '
x'
2 32
y '
2
y f ( x)
2
C DADA POR x x(t ), y y (t )
FORM ULAS PA PARA RA LA CURVATURA EN EL PLANO PLA NO O EN EL ESPACIO ESP ACIO K K
T ' (t ) r ' (t )
r ' (t ) r ' ' (t ) r ' (t )
3
a(t ) N (t ) v(t )
2
RECUERDE RECUE RDE QUE LAS FORM ULAS CON PRODUCTOS VECTORIALE S SOLO SE APLICAN APL ICAN A CURVAS EN EL ESPACIO ESP ACIO. AR EA DE LA SUPERFICIE
dS
R
INTEGRAL DE L NEA DE UN CAMPO VECTORIAL VECTORIAL (TRABAJO (TRABAJO REALIZADO) REALIZADO)
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) dA 2
2
R
LONGITUD DE ARCO b
s
a
b
r ' (t ) dt
a
b
F dr F Tds F ( x(t ), y(t ), z (t )) r ' (t )dt C
C
ˆ
r (t ) x (t )i y (t ) j ˆ
x' (t )2 y ' (t )2 z ' (t ) 2 dt
a
SI F ES UN CAMPOVECTORIAL DE LA FOR MA F ( x, y ) M i N j Y C VIENE DAD A POR ˆ
ENT ONCE S
ˆ
F dr Mdx Ndy C
C
SI F ES UN CAMPOVECTORIAL DE LA FOR MA F ( x, y , z ) M i N j P k Y C VIENE DAD A POR ˆ
r (t ) x (t )i y (t ) j z (t )k ENT ONCE S ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
F dr Mdx Ndy Pdz C
C
ˆ
INTEGRAL DE LÍNEA
SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI M N
SI C ESTA DADA POR r (t ) x(t )i y (t ) j ˆ
ˆ
b
y
f ( x, y)ds f ( x(t ), y(t )) x' (t ) y' (t ) dtj 2
C
2
ˆ
ˆ
b
C
a
f ( x, y, z )ds f ( x(t ), y(t ), z (t )) x' (t ) y ' (t ) z ' (t ) dt 2
x
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI
a
SI C ESTA DADA POR r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k ˆ
2
i
ˆ
2
rot ( F )
j
k ˆ
ˆ
x
y
P N P M N M j 0 i k z y z x z x y
M
N
P
ˆ
ˆ
ˆ
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO, SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES: ENTONCES F dr f dr f ( x(b), y(b)) f ( x(a), y(a)) 1. F ES CONSERVATI VO. ESTO ES F f PAR A ALGUNA f
2. F dr ES INDEP ENDIE NTE DEL CAMINO
C
C
DONDE f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR: F ( x, y) f ( x, y) 3. F dr 0 PAR ATODA CURVA C CERRADA SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA. M N AREA DE LA SUPERFICE dS r u r v dA divF ( x, y ) S D x y x y z x y z SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F DONDE : r u i j k , r v i j k u u u v v v M N P ES divF ( x, y, z ) x y z TEOREMA DE GREEN INTEGRALES DE SUPERFICIE C
C
ˆ
ˆ
N
Mdx Ndy x
C
R
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
M dA y
z g ( x, y )
N M C F dr R x y dA R rot ( F ) k dA
ds 1 g x ( x, y ) g y ( x, y ) dA 2
2
ˆ
F N ds div( F ) dA C
R
f ( x, y, z )dS f ( x, y, g ( x, y )) 1 g ( x, y) g ( x, y) dA Forma escalar F N dS F g ( x, y) i g ( x, y) j k dA Forma vectorial (normal hacia arriba) 2
S
S
ˆ
S
y
ˆ
ˆ
R
Forma paramétrica
f ( x, y, z )dS f ( x(u, v), y(u, v), z (u, v))dS S
F N dS F r r dA S
Forma escalar
D u
F N dS div( F )dV
y
R
x
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS). Relaciona una integral triple sobre una región sólida Q, con una integral de superficie sobre la superficie de Q
2
x
v
Forma vectorial
R
Q
TEOREMA DE STOKES. Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el borde de S.
F dr (rot ( F )) N dS C
S
